Một vài phương pháp tính tổng các số tạo thành dãy số có quy luật

Kinh nghiệm dạy học
trong dạy và học toán THCS
Một vài phơng pháp tính tổng các số
tạo thành d y số có quy luậtã
A/ đặt vấn đề
Trong nhà trờng THCS , tất cả các em học sinh đều đợc rèn kỹ năng tính giá trị
biểu thức, thờng xuyên bồi dỡng kỹ năng tính nhanh , tính hợp lý. Tuy nhiên khi
gặp các bài toán tính tổng hữu hạn các số lập thành dãy số có quy luật , thì hầu hết
các em , kể cả học sinh giỏi , có năng khiếu về môn toán cũng thờng tỏ ra rất lúng
túng , rất bối rối , bởi lẽ các em cha có phơng pháp giải loại toán này . điều đó
cũng dễ hiểu vì trong chơng trình THCS rất ít tài liệu đề cập đến vấn đề này , các
em học sinh cha có ý thức tìm tòi , phân tích , lựa chọn cách giải . Trong nhiều kỳ
thi học sinh giỏi môn toán , tìm tòi , phân tích , lựa chọn cách giải .Trong nhiều kỳ
thi học sinh giỏi môn , đặc biệt là môn toán 6 , các em học sinh thờng để mất điểm
ở các bài toán loại này . Để bổ xung kiến thức cho các em học sinh khá giỏi , và
nâng cao chất lợng học sinh giỏi ,tôi đã đi sâu và tìm hiểu kỹ một số phơng pháp
cơ bản để tính các tổng hữu hạn .
B/ Giải quyết vấn đề :
I > Phơng pháp dự đoán và quy nạp :
Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a
1
+ a
2
+ .... a
n
(1)
Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã
cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng
chứng minh đợc .
Ví dụ 1 : Tính tổng S

n
=1+3+5 +... + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S
1
= 1
S
2
= 1 + 3 =2
2

S
3
= 1+ 3+ 5 = 9 = 3
2

... ... ...
Ta dự đoán Sn = n
2

Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng
giả sử với n= k ( k

1) ta có S
k
= k
2
(2)
ta cần phải chứng minh S
k
+ 1 = ( k +1 )

2
( 3)
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1+3+5 +... + (2k 1) + ( 2k +1) = k
2
+ (2k +1)
vì k
2
+ ( 2k +1) = ( k +1)
2
nên ta có (3) tức là S
k+1
= ( k +1)
2

theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh
vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n
2

Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán
học .
1, 1 + 2+3 + .... + n =
2
)1(
+
nn
2, 1
2
+ 2
2

+ ..... + n
2
=
6
)12)(1(
++
nnn
3, 1
3
+2
3
+ ..... + n
3
=
2
2
)1(






+
nn
4, 1
5
+ 2
5
+ .... + n

5
=
12
1
.n
2
(n + 1)
2
( 2n
2
+ 2n 1 )
II > Ph ơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a
i
, i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai
số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a
1
= b
1
- b
2

a
2
= b
2
- b
3

.... .... .....

a
n
= b
n
b
n+ 1
khi đó ta có ngay :
S
n
= ( b
1
b
2
) + ( b
2
b
3
) + ...... + ( b
n
b
n + 1
)
= b
1
b
n + 1

Ví dụ 2 : tính tổng :
S =
100.99

1
.......
13.12
1
12.11
1
11.10
1
++++
Ta cã :
11
1
10
1
11.10
1
−=
,
12
1
11
1
12.11
1
−=
,
100
1
99
1

100.99
1
−=
Do ®ã :
S =
100
9
100
1
10
1
100
1
99
1
.......
12
1
11
1
11
1
10
1
=−=−++−+−
• D¹ng tæng qu¸t
S
n
=
)1(

1
......
3.2
1
2.1
1
+
+++
nn
( n > 1 )
= 1-
11
1
+
=
+
n
n
n
VÝ dô 3 : tÝnh tæng
S
n
=
)2)(1(
1
......
5.4.3
1
4.3.2
1

3.2.1
1
++
++++
nnn
Ta cã S
n
=








++
−
+
++






−+







−
)2)(1(
1
)1(
1
2
1
........
4.3
1
3.2
1
2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
S
n
=









++
−
+
++−+−
)2)(1(
1
)1(
1
......
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
S
n
=
)2)(1(4
)3(

)2)(1(
1
2.1
1
2
1
++
+
=








++
−
nn
nn
nn
VÝ dô 4 : tÝnh tæng
S
n
= 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )
Ta cã : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!
..... ..... .....

n.n! = (n + 1) –n!
VËy S
n
= 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n!
= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
VÝ dô 5 : tÝnh tæng
S
n
=
[ ]
222
)1(
12
.......
)3.2(
5
)2.1(
3
+
+
+++
nn
n
Ta cã :
[ ]
;
)1(
11
)1(
12

222
+
−=
+
+
ii
ii
i
i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do đó S
n
= ( 1-








+
++






+
22222

)1(
11
.....
3
1
2
1
)
2
1
nn
= 1-
22
)1(
)2(
)1(
1
+
+
=
+
n
nn
n
III > Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6 : Tính tổng
S = 1+2+2
2
+....... + 2
100

( 4)
ta viết lại S nh sau :
S = 1+2 (1+2+2
2
+....... + 2
99
)
S = 1+2 ( 1 +2+2
2
+ ...... + 2
99
+ 2
100
- 2
100
)
=> S= 1+2 ( S -2
100
) ( 5)
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2
101
S = 2
101
-1
Ví dụ 7 : tính tổng
S
n
= 1+ p + p
2
+ p

3
+ ..... + p
n
( p

1)
Ta viết lại S
n
dới dạng sau :
S
n
= 1+p ( 1+p+p
2
+.... + p
n-1
)
S
n
= 1 + p ( 1+p +p
2
+..... + p
n-1
+ p
n
p
n
)
S
n
= 1+p ( S

n
p
n
)
S
n
= 1 +p.S
n
p
n+1

S
n
( p -1 ) = p
n+1
-1
S
n
=
1
1
1


+
p
P
n

Ví dụ 8 : Tính tổng

S
n
= 1+ 2p +3p
2
+ .... + ( n+1 ) p
n
, ( p

1)
Ta có : p.S
n

= p + 2p
2
+ 3p
3
+ ..... + ( n+ 1) p
n +1

= 2p p +3p
2
p
2
+ 4p
3
p
3
+ ...... + (n+1) p
n
- p

n
+ (n+1)p
n
p
n
+ ( n+1)
p
n+1
= ( 2p + 3p
2
+4p
3
+ ...... +(n+1) p
n
) ( p +p + p + .... p
n
) + ( n+1) p
n+1
= ( 1+ 2p+ 3p
2
+4p
3
+ ....... + ( n+1) p
n
) ( 1 + p+ p
2
+ .... + p
n
) + ( n +1 ) p
n+1

p
.
S
n
=S
n
-

1
1
)1(
1
1
+
+
++
−
−
n
n
Pn
P
P
( theo VD 7 )
L¹i cã (p-1)S
n
= (n+1)p
n+1

-
1
1
1
−
−
+
P
p
n
 S
n
=
2
11
)1(
1
1
)1(
−
−
−
−
+
++
P
p
p
Pn
nn

IV > Ph ¬ng ph¸p tÝnh qua c¸c tæng ®· biÕt
• C¸c kÝ hiÖu :
n
n
i
i
aaaaa
++++=
∑
=
......
321
1
• C¸c tÝnh chÊt :
1,
∑ ∑ ∑
= = =
+=+
n
i
n
i
n
i
iiii
baba
1 1 1
)(
2,
∑∑

==
=
n
i
i
n
i
i
aaaa
11
.
VÝ dô 9 : TÝnh tæng :
S
n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1)
Ta cã : S
n
=
∑∑ ∑∑
== ==
+=+=+
n
i
n
i
n
i
n
i
iiiiii

11 1
22
1
)()1(

V× :

6
)12)(1(
2
)1(
....321
1
2
1
++
=
+
=++++=
∑
∑
=
=
nnn
i
nn
ni
n
i
n

i
(Theo I )
cho nªn : S
n
=
3
)2)(1(
6
)12)(1(
2
)1(
++
=
++
+
+
nnnnnnnn
VÝ dô 10 : TÝnh tæng :
S
n
=1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)
ta cã : S
n
=
∑ ∑
= =
−=−
n
i
n

i
iiii
1 1
2
)3()13(
=
∑∑
===
−
n
i
n
i
ii
11
2
3
Theo (I) ta cã :
S
n
=
)1(
2
)1(
6
)12)(1(3
2
+=
+
−

++
nn
nnnnn