Copy of Quy tich.doc

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
i.Các bài toán tìm tập hợp điểm
Bài 1: Cho đờng tròn (O; R) và tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp đ-
ờng tròn (O; R) Kẻ đờng kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC.
Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD =
MC.
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của của góc BMx.
b) Gọi K là giao thứ hai của đờng thẳng DC với đờng tròn (O). Tứ giác
MIKD là hình gì? vì sao?
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di động
trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm trên một đờng tròn cố định.
d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đờng thẳng AD với đờng tròn (O). P là
giao điểm thứ hai của phân giác góc IBM với đờng tròn. Chứng minh rằng, đ-
ờng thẳng DP luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.
H ớng dẫn:
a) Góc
AMB =
(1/2)sđAB (góc
nội tiếp (O)
chắn AB )
Góc AMx =
180độ - Góc
AMC = 180độ -
(1/2)sđcungABC = (1/2)sđcungAC =(1/2)sđcungAB
vậy: Góc AMB = Góc AMx hay MA là tia phân giác của Góc BMx
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
1
x
N
G
K

D
I
C
O
A
B
M
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
b) +Tam giác MCD cân => Góc MCD = Góc MDC = (1/2)Góc BMC ( góc
ngoài của tam giác)
lại có Tam giác ABC cân => I là điểm chính giữa của cung BC => Góc
IMC = Góc IMB = (1/2)Góc BMC
vậy Góc MCD = Góc IMC => IM song song với CD
+ Góc MCD = Góc MDC = Góc BMI => BI = MK =>Góc MIK = Góc
IMB => IK song song với MD
Vậy MIKD là hình bình hành.
c) D thuộc đờng tròn (A; AC)
Gọi N là điểm trên AI sao cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD = (2/3)AC
= hs
=> G thuộc đờng tròn (N; (2/3)AC)
----------------------------
Bài 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (O; R). Gọi D là điểm
chính giữa của cung BC không chứa A. Vẽ đờng tròn qua D và tiếp xúc với AB
tại B. Vẽ đờng tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai
của hai đờng tròn này.
a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng.
b) Một đờng tròn tâm K di động luôn đi qua A và D, cắt AB, AC theo thứ
tự tại M và N. Chứng minh rằng BM = CN.
c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh

2
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
H ớng dẫn:
a) + góc BED = góc DBx = góc ACB
+ góc CED = góc DCy = góc ABD
=> góc BEC = gócABD + gócACD = 180 độ.
=> B, E, C thẳng hàng.
b) cung BD = cung DC => góc BAD = góc CAD => cung DN = cung DM
=> DM = DN
cung BD = cung DC => DB = DC
góc DCN = góc DBM
=> Tam giác BMD = tam giác CND => BM = CN.
c) Tính đợc DI = 2KD sin
2
(A/2) =>(DI/DK) =2 sin
2
(A/2) =hs
K thuộc trung trực của AD => I thuộc đờng thẳng vuông góc với AD cắt
AD tại P sao cho (DP/DA )=sin
2
(A/2)
-----------------------------------
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
3
x
y
I
N
M
E

D
C
A
B
K
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển
động trên các cạnh AB, AC sao cho AM = CN.
a) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm
cố định khác A.
b) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Hớng dẫn:
a) Đờng cao AH cắt đờng tròn ngoại
tiếp tam giác AMN tại P
=> tam giác AMP = tam giác CNP =>
PA = PC
=> P là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC => P cố định.
b) Tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm trên đờng trung trực
của AP.
------------------------------
Bài 4. Tìm quỹ tích đỉnh C các tam giác ABC có AB cố định, đờng cao BH
bằng cạnh AC.
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
4
P
H
I
N
A

C
B
M
E
C
A
B
H
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
H ớng dẫn:
Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại A, trên đó lấy E sao cho AE = AB
=> tam giác ACE = tam giác BHA
=> góc ACE = 90 độ => C thuộc cung chứa góc 90 độ dựng trên AE.
Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, góc A =45
0
, góc B = góc C = 90
0
.
a) Chứng minh rằng BD cố độ dài không đổi.
b) Gọi E là giao của BC và AD, F là giao của DC và AB. Chứng minh EF
có độ dài không đổi.
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
H ớng dẫn:
a) góc B = góc D = 90
độ => B, D thuộc đờng tròn
đờng kính AC
góc A = 45 độ => BD =
R
2
= hs.

b) Tam giác CDE vuông cân => CD = ED
tam giác ADF vuông cân => DA = DF
=>Tam giác ACD = tam giác FED
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
5
I
H
J
E
F
D
O
C
A
B
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
=> EF = AC = hs
c) Trung trực của AF cắt trung trực của AE tại J, cắt (O) tại H và I
=> H, I là điểm chính giữa của hai cung AC => H, I cố định.
góc HJI = góc BCD = 135 độ
=> J thuộc cung chứa góc 135 độ dựng trên HI.
----------------------------------
Bài 6: Cho đoạn thẳng AB cố định. Một điểm M di động trên đoạn AB.
Dựng về cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AB các hình vuông
AMDE, MBGH. Gọi O, O' tơng ứng là tâm các hình vuông trên.
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn OO'.
b) Chứng minh rằng AH và EG đi qua giao điểm N khác M của các đờng
tròn ngoại tiếp các hình vuông AMDE và MBGH.
c) Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và D có các đ-

ờng kính AOB và AO'C vuông góc với nhau tại A. Một đờng thẳng d đi qua A
và cắt các nửa đờng tròn không chứa điểm D của (O), (O') tơng ứng tại các
điểm M, N khác A.
a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CAN đồng dạng.
b) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động.
c) Tiếp tuyến M của (O) cắt AD tại I. Chứng minh rằng: IM
2
= IA. ID.
d) Tìm vị trí của cát tuyến d để cho tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp tuyến
tại N của (O') cắt nhau tại một điểm thuộc đờng thẳng AD.
d) Xác định vị trí của d sao cho tứ giác MNCB có diện tích lớn nhất. Tìm
giá trị lớn nhất đó theo R và R'.
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
6