Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán đại số lượng giác t1

y =0
-3o T
+ 75
—
<=>i
ư = 2

x

= 1 1 -5 7 5

<=> X = y = 0 hoặc

y=-

3 + 75

x = (-4 + 275)y
y=0
3, ^

4y^=(-6-2VÌ)y
^

Hệ phưcmg trình (2") tương đương với
x = Ị - 4 - 2 7 5 jy

y —-------------

L
2

x = (-4 -2 7 5 )y

x = 11 + 575

<=> X = y = 0 hoặc

3+7s
y=— ^

Kê't hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình

2

;

3+7s
và' í il il + 5c v/5ĩ ;----——
V
2 J
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là l l - s T S ; - ^
V
2
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình

J

và [ l ĩ + 5 7 5 ;\

^
2

[ x^+2xy^ =2x^y + 4
Ix^ +2y^ =xy + x + 2y

Lời giải.
Nhân phương trình thứ hai với -2 rổi cộng v ế với vê'với phương trình đầu ta được
Ịx^ + 2xy^ ] - 2 (x^ + 2y^ Ị = (2x^y + 4 ) - 2 (xy + X + 2y)

<=>(x^ - 2x^ ) + (2xy^ - 4y^) = (2x^y - 2xy - 4y) + (4 - 2x)
<=> x^ (x - 2 ) + 2y^ (x - 2 ) = y (x - 2)(2x + 2 ) - 2 (x - 2 )
< » ( x - 2 ) ( x ^ - 2 x y + 2 y ^ - 2 y + 2) = 0<=>(x-2) ( x - y f + ( y - l f +1 =0
o x = 2 (vì ( x - y f + ( y - l f + 1 > 0 )
Thay X = 2 vào phương trình thứ hai ta có
4

+ 2y^ = 2y + 2 + 2y o 2y^ - 4 y + 2 = 0<=>y = l

Vậy phương trình có nghiệm là (x;y) = (2;l)
N hận xét: Việc nhân vào với -2 được "mò mẫm" như sau: Nhận thâ'y rằng đôì với
biến y thâ'y có sự tương đổng về bậc trong hai phương trình có ở hệ, do đó ta
nhân với phương trình hai một sô' thực a khác không rồi cộng vê' với vê' với
phương trình đầu ta được
363


ịx^

+2xy^ j + aỊx^ + 2y^ j = Ị2x^y + 4Ị + a ( x y + x + 2y)

<=>(2x + 2a)y^

+ ax + 2 a jy + x^ +ax^ - a x - 4 = 0

Ta sẽ chọn a sao cho đúng với mọi y , suy ra
2x + 2a = 2x^ + ax + 2a = x^ + ax^ - ax - 4 = 0 (*)
Ta có 2x^ + ax + 2a = 0<=> 2x(x + a ) - a x + 2a = 0 => -a x + 2a = 0 => X = 2 => a = -2
Dễ thâý X = 2, a = -2 thỏa mãn (*), do đó ta có lòi giải như trên.
Ví dụ 12. Giải các hệ phương trình sau:

. |2x^ + 3y = y^ + X+ 3

1

2.

[2y^ + 8 = x^ + x + 7y

I

x^ = 8y^ + 3y

[x^ + y = 4y^ +x

Lời giải.
1. Cộng v ế với vê'của hai phương trình ta có
2x^ + 3y + 2y^ + 8 = y ^ + x + 3 + x^ + x + 7y
<=>x^ - 2 x + y^ - 4y + 5 = 0 < ^ ( x - l f + ( y - 2 f =0 < íí.x -l = y - 2 = 0 o | ’^"^
Thay X = 1; y = 2 vào hệ thây thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (l;2) .
2. Phương trìrủi thứ hai nhân với -3 rồi cộng v ế với v ế với phương trình thứ nhâ't ta được

x^ - sỊx^ + y) = 8y^ + 3y - 3(4y2 + xỊ
<íí. x^ - 3x^ + 3x - 1 - 8y^ - 12y^ + 3y -1
< r > ( x - lf - ( 2 y - l f <=>x = 2y
Thay vào phương trình thứ hai ta được (2y)^ + y =" 4y^ +2y<=>y = 0=>x = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y) = (0;0) .
Nhận xét: Các biê'n X, y trong mỗi phương trình độc lập với nhau. Do đó ta sẽ chọn

a bằng cách lâ'y phương trình thứ nhâ't (hoặc phương trình thứ hai) nhân với a
rồi cộng với phương trình thứ hai sao cho đưa về dạng phương trình
(ax + b)" = ± ( a ' y + b ')".
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau;
[ựx + y = ^ x + y

(x + y ) Ịsxy - 4 Vx j = -2

[V ^ -y = ^ x - y - 1 2

(x + y)(3xy + 4 V ỹ ) - 2

364


Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ
Các ví d ụ
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:

[272x + y = 3 - 2 x - y (l)
x ^ - 2 x y - y ^ = 2 (2)

Lời giải.
Phương trình ( 1 ) viết lại: 2x + y + 2yj2x + y - 3 = 0 ( 3)
(t > 0), khi đó ( 3) trở thành: t ^ + 2 t - 3 = 0<=>t = l thỏa mãn (t > 0)

Đặt t = yj2\ + y

Với t = 1 thì ^2x + y = l<=>2x + y = l<=>y = l - 2 x
Thay vào phương trình ( 2 ) ta được x^ - 2x(l - 2x) - (1 - 2x)^ = 2
o x^ - 2x + 4x^ -(1 - 4x + 4x^) = 2 <=> x^ - 2x + 4x^ - 1 + 4 x - 4x^ = 2 <::>x^+2x-3 = 0
X= 1

y = -l

X = -3

y =7

Vậy hệ có nghiệm

và (-3;7).

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau;

1.

^y^-l+Vx=3

2 .

x^ + y^ = 82

+ aỊ ỵ \ = 78

Lời giải.
1. Đặt u = Vx và V = ^y^ - 1 .
[u + v = 3
Khi đó, hệ đã cho trờ thành: < A / A

\

íu + v = 3
. <=> i ,

u ^ + ( v ^ + l ) = 82

Đặt

s = u + v ,p = uv . Với điều kiện

1u 4 +

v

^=81

- 4P > 0 thì hệ (♦) viết lại:

[s = 3

_ [^ = 3

_ [p = 0 u
|S ‘‘ -4S^P + 2 P ^ = 8l ' ^ | p ^ - 18P = o '^ l S = 3

=

ls = 3

Tritờng hợp 1: s = 3, p = 0 . u, V là nghiệm của phương trình
trình này có hai nghiệm X = 0 hoặc X = 3.
Khi đó:

fu = 0

íx = 0

[v = 3

Ịy = ^'

(*)

- 3X = 0, phương

_
íu = 3
íx = 9
hoặc ■!
=> <
[v = 0
[y = l

Trường hợp 2: p = 18,s = 3 không thỏa mãn vì

- 4P < 0

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: (x;y) = Ịo ;^ 8 2 Ị,(9 ;l).
365


2. Điều kiện: xy > 0.
Đây là hệ phương trình đô'i xiíng với X và y . Nhưng ta chưa thể giải ngay khi dựa
vào tính châ't của nó. Do đó, ta phải tìm đại lượng bâ't biên khác của hệ phương trình.
Với điều kiện xy > 0 ta xét hai trường hợp:

Trường hợp T. X> 0,y > 0. Ta đặt u = Vx,v = yịỹ
Trường hợp 2: X< 0,y < 0 . Ta đặt u = \ f ^ , v =
Cả hai trường hợp đều đưa hệ về hệ phương trình:

V _ 7

u
V

u

^

uv

u^v +v^u =78

Tương tự trên, ta được kết quả: (x;y) = (-9 ;-4 ), (-4 ;-9 ), (4; 9), (9; 4).
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau;

x + y + ^x^ - y ^ =12

.

2

1 1

y ự x ^ - y ^ =12

x2+y2_Ị

.

2- ^ = 1
X

+

x2 + y 2 + 4 ^ = 22

y

Lời giải.
1. Điều kiện: X > y . Đặt <

u=

- y ^ , u >0

V = X+ y

r
u.2 A
X = - y không thỏa mãn hệ nên xét x ^ - y ta có y = — V V
Vy
u + v = 12
Hệ phương trình đã cho có dạng:

uí

u ^

u =4

. 2

V- -

=12^

v =8

12V
THI:

TH2:

/ 2
2
íx = 5
vx - y = 4
<=> ■
<=>
v =8
x+y =8
lỳ " 3
u =4

u =3
v =9

=3
1X + Ỵ = 9

Cí>

íx = 5
[y = 4

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm; (x;y) = (5 ;3 ),(5 ;4 ).
2. Điều kiện: X íi 0, y

0, x^ + y^ - 1 ìí 0

Đặt u = x^ + y^ - l ; v = —.

y

366

hoặc

|u = 3
|v = 9


Hệ cho trở thành:

=1
u V
u +1 + 4v = 22

1 4

( 1)

u V
u = 2 1 -4 v

( 2)

Thay (2) vào (1) ta được: — - — + —= !<=> 2v^ - 13v + 21 = 0<r>v = 3 hoăc V = —
4v V
2
2211 -4
-1 = 9

• Nếu V = 3 thì u = 9, ta có hệ; ■

^

x ^ + y ^ = 10 ^
ìx = 3y

ly

x = -3

x=3

ly = - i

ly = i

• Nếu V = -r thì V = 7, ta có hê:
2
+y^ -1 = 7
X_ 7

,y“ 2

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:

y = 4.

y = -4.

x^ + y^ = 8
<=>i
7
x=-y
T

hoặc •
x = 1 4 j—
53
y = -4

[x = -3 jx = 3
iy = - l ' ị y = l '

ẳ

X = -14

I

Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau:
3x 2 + y

2x^ - y ^ - 4 ( x - y ) = l
1.

2. •
x^ (x - 2 )^ + 2 = (xy - 2y)(xy - 4x)

= y2

x^(x^+45] = y (y ^ -1 5 j

Lời giải.
2(x2-2x)-(y^-4y) = l
1. Hệ phương trình tương đương với
Ịx^-2xj - Ị x ^ - 2 x j | y ^ - 4 y j + 2 = 0
I ^
_2x
2a - b = 1
Đăt <
khi đó hệ trở thành , .
a2-ab + 2 = 0
[b = y•2 - 4-y-

í

b =2a-l

Ị

b =2a-l

b = 2a - 1

^ |a 2 -a (2 a -l) +2=0 ^ |a2-a-2 =0 ^ ^
- l = x ^ -2 x
x ^ -2 x + l = 0
3. a = - 1
Với

_ ta có
<íí> <
b = -3
-3 = y ^ - 4 y
ly^-4y + 3 = 0

a = -1
a=2

,

,
a = -l , ^ a = 2
<=>-^
hoăc <
lb = -3
|b = 3
''
'■

X= 1
-í y = l

_y = 3
367


, ía = 2
, 2 = x ^ -2 x
Với <

ta có
[b = 3
ị2 = Y ^ - 4 y

x ^ -2 x - 2 = :0
<
[y ^ -4 y -3 = 0

X = 1 ± Vs
<=> I

|yy-= 2±V7

Vậy hệ có nghiệm (x;y) là
(1;1),(1;3),( i + V3;2 + V 7),( i + n/3 ;2 -> /7 ),( i - V 3;2 + V7) và ( l- V 3 ;2 - V 7 ) .

3x"+y = y^

I y2_3x2 = y

y'>-x'‘ =15(3x^ + y)

Ịy'* - x“ =15y^

2. Hệ phương trình tương đương với
•

Với y = 0 từ hệ suy ra X = 0 .
y- — =1

y

Với yitO ta có hệ phương trình (*) tương đương với

2_^_1C
2 =^^

y "
w X
Đặt —

y

y - 3z = 1

z , hệ trở thành

y^ - t} -1 5
y = 3z +1

y = 3z + l

í

i(3z + l) ^ -z ^ =15

y =4
Với <
suy ra

y = 3z + l

[8 z2 + 6 z - 14 = 0

— =1
ư

|x^=4

17
17
4 suy ra ■
Với
x2
7
--- = ---z=
4
l
4
y

Z= 1 <
_tí> y = '^ hoặc
u 7
lz -l
z=—
4

ị x = ±2

17
17
y
=
4
>^=4
<=>i
2 119
VĨĨ9
X = —1x=±
16

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (2 ;4),(-2;4),

•JĨĨ9
4 '

368

4

VĨĨ9 _17
4 ' 4

và

y ='
z=

17

7
4


Lời giải.
Đặt u = Vx > 0, V = yịỹ > 0 .

2\ _ u v

2/ 2

v (u ^ -v > | ^

- v ^ + 2u^v^ = —uv ( 1 )

=>

Ta có hệ:
u^Ịu^ + v ^j= 3 u v

uỊu^ + v ^ j= 3 v

uv = 0
Mặt khác

j (u v )

= —(uv)

o

4
4_3
u - V =—
2
Nếu uv = 0= > u = v = 0=>x = y = 0 .Thừ lại thây thỏa mãn.
uv = 1

2

7
Nếu u^-v"^ = — thay vào ^1^ ta có: 2 (u v ) —

1
u = ^2
v=—
^
«■
Vói:- 4
1
4 3«u -V = —
8 3 4 1 „
u
—
u
1
=
0
l
2

l
2
Thử lại thây thỏa mãn.

— = 0<=>

3
uv = —
4

uv= 1

3
v=
uv = —
4u
4
Vói:<
<=>
4
4 3
8_3 4
^
u -V = —
u — u --------- 0
2
2
256

'

3V3

u=

4

<=>
V= ■

s

■

Cách 1:
9y^ ( 3x ^ - 1 ) = -125
27x^y^ +125 = 9y^ ( 1 )
V
/
<=>.
45x^y + 75x = 6y^
45xV + 75x = 6y^
Từ phưcmg trình ( 1 ) => y

0

369


2 7 x ^ + ^ =9

Hệ phương trình

27x^y^+125 = 9y^(l)
45x^ 75x ,
^ ^ +1 ^ =6
y
Ỷ

45x^y + 75x = 6y^

/ x U ^ + v^=9
5 . Hê (*)<=> -^ .
.
v =[u v (u + v) = 6

Đặt

. [u = 2

[x = -

w ='

ly = 5

* v ớ i Ị ''" ^ = > v=2

(3x)" +
<=> \

(•)
í
3x.= 3x + - = 6
y)
y\

[u = 2
Íu = l
<=>-^
hoăc <
[v = l
[v = 2

5
y =l
2

Cách 2:
9y3 (3x3

_ i 25

45x3y + 75x = 6y3

|27x3y3 +125 = 9y3 (l)^^
1 45x3y + 75x = 6y3

Từ phương trình (l) => y ÍÉ0.

í 27x3y3+125 = 9y3

^
,
Hệ(»*)<=><^
^ =>54x3y3-135x3y2-225xy + 250 = 0,
[45x3y2 +75xy = 6y3
ta đặt t = x y , ta được phương trình: 54t3 - ISSt^ - 225t + 250 = 0
■ 10
10
t =—
3
^ 3
5
, 5
o ( 3 t - 1 0 ) ( 6 t - 5 ) ( 3 t + 5) = 0 o t = - => xy = — ^
6
^ 6
5
t--3
^
3
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (x; y) =

(2

] fl.

w

>

/

«

.

_ /—

2j

Ví dụ 7. Giải các hệ phương trình sau:
2
2 1
^ _c
X +y + -T + 2=^
1. -Ị
X
y
( x y - l f = x 3 -y 2 + 2

370

2.

2
3

X = —

[ s x - y = 3^x + y

[3x + y = 3 ự x - y

3
5

-T = 9


Lời giải.
1. ĐKXĐ:

X5tO
[y ^ 0
2
2 1
^ _c
X + y + -T + 2 ^ ^
X y

Hệ phương trình tương đương với

x^y^ - 1 - x^ + y^ = 2xy
2
(x+—
lì +^
l ì =5
yl
yj
<=> i
<=>{

^
í x+—
1^ í
lì
x y --------—
+ —=- 2'ì
yxy y X
l
yj
1
a =x+—
X
^ , khi đó hệ phương trình trở thành j ^
^
Đặt
[ ab = 2
b = y- £
2

<=>

2

1
X

^ _c
y

£

l(a + b) =9

|a + b - + 3

ab = 2

1 ab = 2

I ab = 2

|(a + b) -2 a b = 5

ía + b = 3
Với hệ phương trình \
thì a,b là nghiệm của phương trình
[ ab = 2
-3 X + 2 = 0<=>

'x = l
x =2

Do đó, hệ có nghiệm (a;b) là (2;l) và (l;2)
í a + b = —3
Với hệ phương trình <
thì a, b là nghiệm của phương trình
X^ + 3X + 2 = 0 o

x = -l
X = -2

Do đó, hệ có nghiệm (a;b) là ( - 2 ;- l) và ( - l;-2 )
Vì a

X+ -

X+

> 2 nên chỉ còn hai trường hợp sau
1

x ^ -2 x + l = 0 _
THI: (a;b) = (2 ;l), khi đó ta có
1 ^ 2
l =y - i
[y ^ -y -l =0
y
^

X= 1

X

Do đó, hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x;y) là 1;

l + ^/5

i± V s

và 1;

I - S

371


-2 = x + -

+2x + l = 0

X

TH2: (a;b) = ( - 2 ;- l) , khi đó ta có

-l =y - i
y

X = -1

<=>

|y ^ + y - l = 0

(
Do đó, hệ phưcmg trình ban đầu có nghiệm (x;y) là

- 1;

V

y=-

- l + ^/5
và
2 7

Vậy hệ phưong trình ban đầu có nghiệm (x; y) là í l . ỉ ± ^ ì í i . l z ^ ì
l ' 2
' 2 .
-

1;

-ĩ+ s

va

I

- 1;

- l- V s
2 7

2. Đặt ^
^
, a > 0, b > 0 khi đó 2a^ + b^ = 3x + y, a^ + 2b^ = 3x - y
[^ x -y =b
___
Ía 2 + 2 b 2 = 3 a (l)

Hệ phưong trình trở thàrm <
[2 a2 + b ^ = 3 b (2)
Trừ vê'với v ế của hai phưong trình (1) và (2) ta được
b^ - a^ = 3(a - b) <=>(a - b)(3 + a + b) = 0 <=>

a =b
a = -b - 3

Với a = b thay vào phương trìrửi (1) suy ra 3a^ = 3a <=>

a = 0=>b = 0
a = l= > b = l

Vói a = - b - 3 thay vào phương trình (1) suy ra
(-b - 3)^ + b^ = 3b <=>2b^ + 3b + 9 = 0 (vô nghiệm)
T H l: a = b = O t a c ó | f ĩ Z = ‘’ « j ; ‘ * > ;= “ o í ; ' ' ‘’
[ , 1 ^ =0
[x -y = 0
Ịy=^0
T H 2:a = b = l t a c ó í ' ( ĩ ^ ' ' o | ; “ ">' = ' « | ’‘ = ’
[x -y = i
ly = o
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x;y) là (0;0) và (l;0).
x^ + l + y (y + x) = 4y
: dụ 8. Giải hệ phương trình sau: <,
.
(x^ + l)(y + x - 2 ) = y

Lời giải.
De thâ'y y = 0 không thỏa mãn phương trình ( l ) .

x^ + l + y (y + x) = 4y(l)
Với y

0 hệ cho
■ jx 2 + l)(y + x - 2 ) = y(2)

372

-l± ^/5

- \ - S


+1

<=>

+y+x=4

^X
2 +l

II
Đặt u =

y

x2+l

(1

(y + x - 2 ) = l
^
,v = y + X- 2

/V
íu + v = 2
ív = 2 - u
Khi đó hệ (*) <» I
<=>J
[u (2 -u ) = l
x^ +1

|u = l
V= 1

=1

y + X- 2 = 1

_ x ^ + l = y _ x = l= > y = 2
<=>-Ị
-^ <=>
X= -2 => y = 5
y = 3 -x

Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x;y) là (l;2 ),(-2 ;5 ) .
Ví dụ 9. Giải các hệ phương trình sau:
5(x2+ y2Ị = y - 2 x

sỊx^ + y ^ j = 6 xy+ 2

2.
sỊx^ + y^ j + 2x = y + 8xy

2x^ +3x = 2y^ + y + 3

Lờí giàỉ.
(x + y f + [ 2 ( x - y ) ] ^ =2

1. Hệ phương trình tương đương với

(x + y) + 2(x - y) + (x + y)2(x - y) = 3
[ a = X+ y
Ị a 2 + b 2 = 2 ^ |( a + b f - 2 a b = 2
Đăt <,
,
X, hê phương trình trờ thành
[b = 2 ( x - y )
]a + b + ab = 3
] a + b + ab = 3
Đặt

|a + b = s
,
ab = p

> 4P khi đó hệ phương trình (*) trở thàrủì

js^ - 2 ( 3 - S ) =2

|s ^ + 2S - 8 = 0

p=3-s

p=3-s

Ị

ís = 2

<=>j

Ị

-2 P = 2

[ s+p=3

s =2
S = -4
p =3-s

fS = -4
(thỏa mãn) hoặc <
(loại).

, ís = 2
, ía + b = 2
.................
, ,

Với j
ta có j
suy ra a,b là nghiệm của phương trình
X ^-2 X + 1 = 0<=>X-1.
Do đó hệ phương trình
có nghiệm là (a; b) = ( l ; l ) .

373


í

l= x + y

á
1

<=>

Đặt ■{ _^
/h ệ phươne trình trở thành ,
/
X _
[x -3 y = b ^
^
1 2ab + (a + b) = 0
<íí> •

a=b

(a + b)^ -2 a b = 0

a=b

2ab + (a + b) = 0

[2a^ +2a = 0

a = 0 <í:í>
a = -1

a =b =0
a = b = -1

, Í3x + y = 0
íx = 0
Với a = b = O tacó-^
<=>ì
[x -3 y = 0
[y = 0

í

,
,
/ 3x + y = -1
Với a = b = -1 ta có <
X- 3y = 1

1

--Ĩ.

^~ 5
1
5

í 2 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (0;0) và Ị
V ll--xx++. y^ /l l--yy== l
Ví dụ 10. Giải hệ bâ't phương trình sau: ị•
3

|xMy| 4
L ời giải.
Đặt u = Vl - x,v = y ị l - y ĐK: u, V > 0, k.hi đó hệ được biến đổi về dạng:
+ =^
l-u ^ + l-v ^ < 2

j0 < u < l
U u ^ - ề u + lằ O

<=>00<:í>00
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) thoả mãn:
y = 1- Ị i - n/ 1 - x Ị
xẠ ~ ỵ ^ +Ỵyll-x^ =1 (l)
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình: •
[ ( l- x ) ( í + y )= 2

(2)

374


Lèn giải.
....
íl- x ^ > 0
í|x |< l
Điêu kiện: <
<=>i
h -y ^ ìO
l |y |s i
Đặt:

X

= cosa; y=cos|3 với a,p

e

[O; 7i] .

Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành: <=>

<=>

a + ạ =2
sina - cosa - sina.cosa

[cosa.sinp + cosp.sina=l
1^(1 - cosa)(l + cosp) = 2

•1 = 0 (* )

Với t = sina - cosa, |t| < >/2 => sina.cosa =

1 -r

1 -t^
Khi đó, phương trình (♦) trở thành: t ------ -— 1 = 0 tức t^ + 2t - 3 = 0, phương
trình này có nghiệm t = 1 thỏa mãn điều kiện.
Với t = 1 tức sina - cosa = 1 hay ^/2sin a - — = l <=>a = — =í>p = 0 (do a + p = — ).
V 4;
Vậy hệ đã cho có nghiệm: (x;y) = ( 0 ;l) .

Ví dụ 12. Tim tham số thực a để hệ

^ (1)
1 + a ' c ó nghiệm.
3x^ +10xy-5y^ < -2 ( 2 )

x^ + 2 x y -7 y ^

Lời giải,
Phương trình (l)x ^ + 2 x y -7 y ^ > - l + -

ĩ
+a

<=> -2x^ - 4xy + 14y^ < 2 ---- ỉ - ( 3 ) .
Cộng ( 2 ) và ( 3) vê'theo vê', ta được: x^ + 6xy + 9y^ < — — <=>(x + 3y)^ < — — ( 4),

4
Từ (4) suy ra điều kiện cần để hệ có nghiệm là; 0 < — — tức a < -1 .

Tóm lại, ta có hệ •

(x + 3y) < - -

+a

{*)

3x^ +10xy-5y^ s - 2

375


Xét hệ phương trình:

(x + 3 y f =0

tức

3x^ + 10xy-5y2 = - 2
x = -3y
2

y

[x = -3y
[Sx^+lO xy-Sy^ = -2

x = -3y

1

4

y‘ 4

,
3
1 . - ,_ 3
^ 1 / X
x = - ^ , y = ^ hoặc x = ^ , y = - ^ (*♦).
4
Vói mọi a < -1 , ta có:
1 + a nên kết quả của (* *) cũng là nghiệm của hệ (♦).
-2 <-2
Vậy a < -1 là giá trị cần tìm.
N hận xét: Qua bài toán trên, ta đúc kê't: "hễ " gặp phương trình có dạng:
fj(x,y) = 3jX^+bjXy + Cjy^ >0

Ỉ2

làm xuâ't hiện phương trình hệ quả

^2y^ - ^

m ) , thì ta biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng:

ífỊ(x ,y )> a Ị+ k j(m )
‘
, sau đó suy ra a 2Íj ( x ,y j - a j f 2 (x,y) > k (m j
[f2(x,y)> a2 + k2(m )
^ [ Í 3 ( x . y ) f ^ k g ím ).
fi( x ,y ) > a i + k j(m )
Do vậy hệ phương trình đã cho tương đương
^ k 3 (m )
Từ (ì-j suy ra điều kiện cần để hệ có nghiệm là I

j

(*)

'

Gọi D là tập nghiệm của hệ này với ẩn m thì m £ D là điều kiện cần của bài toán.
Vói m £ D , ta có: I ^
[fl(x,y) = a i
[f3 (x,y) = 0
Giải hệ (*

376

^

, suy ra nêu ( xq; yQj là nghiệm của hệ;

(♦ *) thì (xQ;yQ) cũng là nghiệm của hệ (*) với mọi m £ D .
chứng tỏ hệ có nghiệm.


CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
8(x^ +

) + 4xy +

1ị
2x + x+y

• =

—^ = 13
(x + y r

1

4xy+ 4^x 2 + y2Ị +

:7(1)
{-* yf

2.
2x + ^ — = 3(2)
X+ y
^ '

X^ + y + xy + x“'y + xy^ = —

(l)

x^ +y^ + x y (l + 2x) = - - ( 2 )
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
1.

IX /y _ 7
+J — = - F = + i
'y Vx y p ỹ

■y/x^+ỹ^ + y/2xỵ = 8^/2
2. ^
sỉx + y ịỹ = 4

x^/)ỹ + yyịxỹ = 78
3.

+ y^ + yịĩxỹ = 8\Í2
y/x + yỊỹ = 4

Bài 3: Giải các hệ phương trình:
^ Ị ^ / ^ +^ / ^ =4

2.

[x\/x + y ự ỹ = 35

’ Ịx^ +y^ =128

3, (

I^yỊỹ+

2(x + y) = 3| ếx^y + ^xy^ 1
V
y
^ +^ =6

Bài 4: Xác định các giá trị của a sao cho hệ sau có nghiệm duy nhất:
ịVx + 1 + ,y y - l =a
[x + y = 2a +1
Bài 5: Giải các hệ phương trình:

x^y + xy^ + x^ + y + xy = -

x^ - x y + y^ = 3 ( x - y )
1.

2.

i
x^ + xy + y^ = 7 (x - y)^

X

4

_2

2

3

+2x y + y +xy = - —

377


Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:
1.

3.

xy + x + l = 7y

2 |y ( l + 2x3y) = 3x'

x^y^ + x y + 1 = 13y^

"Ịl + 4x^y^ =5x^

x^ - 2xy + X+ y = 0
x^ - 4x^y + 3x^ + y^ = 0

Bài 7: Giải hệ phương trình:
1.

[x^ +3xy^ = 6 x y - 3 x - 4 9

Ix^ - y^ = 35

[x^ - 8xy + y^ = lOy - 25x - 9

[2x^ +3y^ = 4 x - 9 y

x +y

J

x+y

J= 1

Bài 8: Giải hệ phương trình

[4
Bài 9: Giải hệ phương trình:
=1

1.

[2x^ -y ^ = 2 y - x
Bài 10: Giải hệ phương trình:

2.

[^7x + y +ự2x + y =5
!7 2 x + y + x - y = 1

[x‘* + 4x^ + y^ - 4 y = 2
[x^y + 2x^ +6y = 23

Í3x + 3 y - J ) w = l
Bài 11: Giải hệ phương trình: < _____ ^ _____
{x,y e M)
[v5x + 3 + yj5y + 3 = 4

378


H Ư Ớ N G D Ẫ N GIẢI

MỘT SỐ VÍ DỤ VỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI HAI ẨN
D ạng 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT v à
MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1:
1. Ta có y = 5 - 2x th ế vào phương trình hai ta được;
’x = 2=>y = l
4x^ + (5-2x)^ =17<=>2x^ - 5 x + 2 = 0<^

x = ^=> y = 4
2 ^

Vậy nghiệm của hệ là: (x;y) = (2;1),(—;4 ) .
2. Ta có y = 8 - 3x thay vào phương trình đầu ta được:
x^(8 - 3x) = 16 <=> 3x^ - 8x^ +16 = 0

(x - 2)^(3x^ +4x + 4) = 0 « x = 2.

Vậy hệ có nghiệm là X= y = 2 .
3. Từ phương trình 2 => x^ = 3(y^ + 2) (3) thay vào phương trình 1 ta được:
'x = 0
2
X^ - 8x = y(y^ + 2) = y — <=> x(3x^ - xy - 24) = 0 <=>
3x^ - 24

y=-

Với X= 0 thay vào (3) ta có: y^ + 2 = 0, vô nghiệm.
3x^ - 24
2
Với y = ----------- thay vào (3) ta được: x'^ = 3
X= ±3 => y = ±1

x^ =9
<=>13x^-213x^+864 = 0 0

+6

í%
_^/78 •
2 96 <=>
X= ±, — => y =
X = -—
V13
^
13
13

/% _ V t8^

Vậy hệ có bôh nghiệm: (x;y) = (±3;±1),

Bài 2: Ta có X = m - y thay vào phương trình hai ta được; 2(m - y) - 3y =1
<=> y^ + 4my +1 - 2m^ =0 (*). Hệ có nghiệm <=>{*) có nghiệm
2

2

I

I

<=> A' = 4m"^ -(1 - 2m'^) > 0 <=> m >

1

I
I
1
. Vậy m > - p là những giá trị cần tìm.
re

379


Bài 3:
í y = 2x - 4
1. Hệ phương trình <=> i .

~
1 - 3x(2x - 4) + (2x - 4 r = -5
y=2x-4

x = 3, y = 2
x = -7 , y = -18.

ix^ + 4 x - 2 1 = 0

Vậy nghiệm của hệ là (3; 2), (-7; -18).
(x^ + xy) =2x + 9

(1)

xy = 3x + 3 - -

(2)

2. Hệ phương trình <=>

,2

Thay (2) vào (1) ta được:

x^+3x + 3- ^
2 y

:2x+ 9

<í:> x^ + 12x^ + 48x^ + 64x = 0 o x(x + 4)^ = 0 <=>

x=0
X = -4

Ta thây x = 0 không thoả m ãn cả (1) và (2), nên loại.
17
Thay X= -4 vào (2) ta được y = —
17
Thay x = -ấv'ay= — vào (1), ta thây (1) được thoả mãn.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là - 4 ; ^

D ạng 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
B àil:
1. Điều kiện: X ? il;y 9t - 1 . Đặt —-— = a ,—-— = b
^
x-1
y+1
2a + b :
2a + b = 5b:
4
Ta có hệ: <
<=>
4=>x = 2,y = 3
<=>
<=>
.
14
a =1
2a + 6b = —
a = —- 3b

a + 3b = —
4
4
4
2.Đ ặt A = ---- ----- , B = ------ -----x + y -1
2 x + y -3
1
Í3 A + 2B = 5
A=1
A =1
x + y -1
Ta có hệ:
_
<=>i
_
<z> .^
<=>
1
2 A -5 B = -3
2 A -5 B = -3
B=1
2x + y - 3

380


<=> í " " ’! ; ' ' ’
[2x + y - 3 = l

[2x + y = 4 « 1[y" =° 0'

Bài 2;
1. x^ - 3 x ( y - l ) + y^ + y (x -3 ) = 4 < = > ( x - y - l) ( x - y + 4) = 0
fx -y =l
TH I: x - y - 1 = 0, ta có hệ: ị
^
[x -x y
THI: X- y = - 4 , ta có hệ:

=> (x;y) = (l;0 ) ,( - l;- 2 )

r[ V
—A
x—
- y\r —
= -4

[x -x y -2 y = 1

2. Dùng phương pháp cộng hoặc th ế ta được 2xy + 2 y - x - l = 0
1
<=>(x + l)(2y -1 ) = 0 <=> X = -1 hoặc y = —
THI: Với X= -1 , ta được y ^ - y - 2 = 0<=>y = - l hoặc y = 2
Ta được hai nghiệm

và (-1;2)

_ 1
1
9

-1 ± \fĩÕ
TH2: Với y = —, ta đươc x ^ + x - —= 0 o x = --- ——
^ 2
4
2
Ta được hai nghiệm

- l- ^ /Ĩ Õ ì ] ^ í - l + ^/ĨÕ 1
-----và — —^
\

f

-1 + Vĩũ !_
-ĩ-^ /ĨÕ 1
và
Vậy hệ có bôn nghiệm (-1 ;-1 ); (-1 ;2 );
2
'2
2
'2
\
Bài 3:
+ l - x j + y ^ = 0 do

1.

yí^O

<=>—

+y+

7x^ +1 - X = 0

(3 )

Từ ( 2 ) ,( 3) suy ra: —+ y - 2 —+ y - 3 = 0 <íí>—+ y = -1 hoặc —+ y = 3
U
J
J
y
y
Thay vào ( 3 ) giải ra ta có nghiệm (0 ;-l)
2. ( 1 ) o

.
~ ^
=y- 3o
^ x ^ + y -V x ^ + S

+ y - Vx^ +3 = X, kết hợp phương trình ( 2 ),

ta được: Vx + Vx^ + 3 = 3 o x = l= > y = 8
Bài 4:
1. Cộng hai v ế phương trình, ta được: 2x^ +

+ 3xy - 7 x - 5 y + 6 = 0

o y ^ - ( 5 - 3 x ) y + 2x^ -7 x + 6 = 0 o ( y + 2 x - 3)(y + X- 2 ) = 0.

Hệ đã cho có nghiệm: (1;1);(2;-1)

381


2. Phương trình đầu suy ra;
1 . 0 - y)2 , i ĩ L .

, (X^ y )! -

= (X - y)^ . (X . y) -

X+y

X+ y
yỶ + (x + y) -

- y>
X+ y

——— 1 = 0 <=> (x - y)^
X+ y

X+ y

+ (x + y - l ) = 0

'
( x- y) ^ ^(x + y - l ) = 0<=>x + y - l = 0<=>x + y = l 'v n . Ê i : Ị t ì l > 0 ^
<=> 1 + x+y

X+ y
Thay X+ y = 1 vào phương trình thứ hai ta được x - y + l = l<=>x = y =>x = y = -

D ạng 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đ ố l XỨNG
Bài toán 01:
Bài 1:
1. Đặt s = X+ y, p = xy . Khi đó hệ trở thành:
ÍS + 2P = 2
|s(S^-3P ) = 8

2 -S
p =<=> i
S (S ^ -^ ^ ) =8

=>2S^ +3S^ - 6 S - 1 6 = 0 cí.(S -2)(2S ^ +7S + 8) = 0
oS

= 2=>P = 0 =>x,y là nghiệm phương trình: X ^-2 X = 0 o X = 0,X = 2.

, ..
íx = 0
íx = 2
Vây nghiêm của hê là: <
u K
[y = 2
[y = 0
2. Đặt s = X+ y; p = x y . Khi đó hệ trở thành:
| s (S2 -3 P ) = 19

ỊSP = -8S

jSP = 2 -8 S

|s (8 + P) = 2

|s ^ - 3 ( 2 - 8 S ) = 19

Ị s ^ + 2 4 5 -2 5 = 0

ís = l
2
^ X, y là nghiệm của phương trình: X - X - 6 = 0 <=> Xj = 3; X2 = -2 .
1p = —6
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = (-2; 3), (3;-2).
3. (x;y) = (l;l)
4. (-2 ;0 ),(0 ;-2 ),(-> /2 ;V 2 ),(V 2 ;-V 2 )
Bài 2:
1. Trừ vê'vc5i vê'của hai phương trình trên ta được:
x=y
x^ - y^ = X- y <=>(x - y)(x + y -1 ) = 0 <=>
x=l-y

382


• Với x = y=>x^=5x<=ỉ>x = 0, x = 5
Vc3i X= 1 - y =>

^

^

= 3 y + 2(1 - y ) o

^

^

^

- y - 2 = 0 <=>

^

~

[y = 2=>x = - l

.

Vậy nghiệm của hệ: (0;0), (5; 5), (-1;2), (2 ;-l).
2. Điều kiện: x, y ÍẾ0
Í2x^ + x^y = 3
7
ì,
,
,
„
H ệoT
/

= > 2(x^-y^) + x y (x -y ) = 0
[2y^ +y^x = 3
o (x - y )(2x^ + 3xy + 2y^) = 0 <r>x = y (Do 2x^ + 3xy + 2y^=2(x + —y ) ^ + ^ y ^ > 0 )
4
8
Thay vào hệ ta được: 3x^ = 3<=>x = l = y .
Vậy hệ có nghiệm: X = y = 1.
3. ( - l ; - l ) , (0;0), (l;l), { S ; S ) , { S - , S )

4. (l;l)

Bài 3:
• Giả sừ hệ có nghiệm (xQ;yQ) thì (yo;Xo) cũng là nghiệm của hệ nên đê’hệ có
nghiệm duy nhất thì trước hê't Xq = yg.
Thay vào hệ ta được: Xq -

+ m = 0 phương trình này có nghiệm duy nhâ't

2xg

o A ' = l - m = 0 < » m = l.
• Với m = 1 hệ trở thành:
<íí> (x - 1)^ + (y - 1)^ = 0

^ ^ ^ = í> x ^ + y ^ - 2 x - 2 y + 2 = 0
[y = x ^ -x + l
X = y = 1. Thử lại ta thây thỏa mãn hệ

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Bài 4:

1. (x;y) = (l;l).
2. Nghiệm (x;y) của hệ là (l;l)/

l + Vs 1 + n/ s ' í - l + V ^ .- l + V ẵl
2
'
2 J
l
2 '
2 J' l

Bài 5: Hệ phương trình có nghiệm duy nhâ't khi: m =
Bài 6: ĐKXĐ: x

0, y

, m=1

0

Đặt u = x + —,v = y + — với |u| > 2, |v| > 2, hệ trên trở thành;
X
y
í

u+v =5

Ịu^ + v^ -3 (u + v) = 15m -1 0
<=>

Ị

íu + v = 5
Ị(u + v)^ -3 u v(u + v )-3 (u + v) = 15m -1 0

u +v =5

íu + v = 5

|l2 5 - 1 5 u v - 1 5 = 1 5 m -1 0

|u v = 8 - m

383


=i> M, y là nghiệm của phương trình: f i - 5 t + 8 = m (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm t j , tj với
It^l > 2, |t 2 | à 2 ( t ^ ,t 2 không nhâ't thiê't phân biệt).
Xét hàm sô' f(t) = t^ - 5 t + 8 với |tl> 2 .
7
Từ bảng biến thiên ta có hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi —< m < 2 hoặc m>22.
Bài 7:
1. Đăt u = x + -i;v = y + —ta có x ^ + 4 r = (x + —1 - 3 x - ỉ ( x + —| = u - 3 u
X
y
\
X/
x\
x/

1
lui = xX + ỉ— =
=|x|
1x1+ 1— ^> 22.|ĩ>^-ỉ
,1ịlxl. = 2 , |v| = |vl + — > 2.|iyL 1 = 2
X
X
X
i
Khi đó, hệ trở thành

íu + V = 5

íu + v = 5

iu ^ + v ^ - 3 ( u + v) = 15 m -1 0

[uv = 8 - m

o u, V là nghiệm của phương trình bậc hai f (t) = t^ - 5t + 8 = m
Hệ có nghiệm <=> f (t) = m có hai nghiệm tj,Í 2 thỏa mãn Itj| > 2;| t 2 | s 2 .
Lập bảng biên thiên của hàm sô' f (t) với 11| > 2

2. (x + y + l)(xy + X + y) = 5 + 2(x + y) <íí>(x + y + l)(xy + X + y) = 2(x + y +1) + 3
<=>(x + y + l)(xy + X + y - 2) = 3 = 3.1 = 1.3 = (-3).(-l) = (-l).(-3)
Xét các trường hợp:
J x +y +l = 3
^ í x +y =2 ^ jx =l
THI

Ịxy + x + y - 2 = l
Ịxy = l
[y = l
_
íx + y + l = - l
íx + y
TH2: ^
<»1
[xy + x + y - 2 = -3
[xy = l

= -2 fx = - l
<=>1
[y =“ l

íx + y + l = l
íx + y = 0
TH3: s
^
<=> i
, vô nghiệm
[xy + x + y - 2 = 3
[xy = 5
„
íx + y + l = -3
TH4: ị
[xy + x + y - 2 = - l

fx + y
[xy = 5

= -4
, vô nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm (x;y) = (-1;-1),(1;1)

384


Bài 8:
1. Hệ cho viê't lại:

í

(x -l)2 + (y -l)2 = 5

[(x -l)(y -l)[(x -l) + (y -l)] = 6 ‘

íu = x - l
[v = y - l

.. í u^+v^=5
[uv(u + v) = 6

.

Ju + V = 3
[u.v = 2

íu = x - l = l

íu = x - l = 2
íx = 3
[x = 2
Giải ra được; <
_ hoặc <
=> <
hoặc <
[v = y - l = 2
[v = y - l = l
[y = 2
Ịy = 3
2 .H ịc h o v iẽ ,iạ i: p - l ) ( y - 2) -

-1 ) - 4 (y - 2 ) = 5

I(x 2 -lf+ (y -2 )^ = 1 0
Đặt

(u + v) -2 u v = 10
^ ^ , thu được hệ
^
^
<=> <Ị'
[v = y - 2
[uv + 4(u
1(u + v)
v) = 5 ' ^ Ị[uv + 4(u + v) = 5

<=> ]
Iuv

ịu
v = 45
THI:

TH2:

u=3
[v = - l
íu = - l
v=3

Ju + V = 2
(vô nghiêm) hoăc i
’
’ ịu
11 v = - 3

Ju = 3

Ju = - 1

| v = -1" Ịv

= 3

tìm được hai nghiệm (x;y) = (2;l) và (x;y) = (-2;1).

tìm được nghiệm (x; y) = (0; 5).

^Jx + a + yỊy +a + Vz + a = 3^

a^ +1

, khi a > 1

Giải hệ phưong trình
Va - X + ^ Ịa -y + Va - z = 3i

a'' -1

Xét các véc to: u = ỊVx + a ; yjy + a ; Vz + a ) , V = ( l ; 1; l)
= > ( u . v ) < | u | .|v| =>(Vx + a + ^y + a + V z + a) < 3(3a + X+ y + z) (l)
Tương tự (Va-X + ự a - y + V a - z j < 3 ( 3 a - x - y - z )
2

(2)
2

=>ỊVx + a + J y + a + V z + aj + ( V a - x + ự a - y + V a - z ) <18a
Cộng hai phương trình của hệ ta được:
ỊVx + a +-Jy + a+ Vz + aj + (Va - X + , J a - y + V a - z j =18a
Tức là dâu đẳng thức phải xảy ra trong các bâl đẳng thức (1) và (2), hay:

385


+ a = yfz +a

x+a ;

a^ +1

1 —?—
a ^ -l
Va-X = ^ a - y = V a-Z =,
1 a

<=>x = y = z = -

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x = y = z = —
a

M Ĩ oỒịM S Ệ ĐỘỊ >®ỌNG LOẠI II
( x - l) Ịy 2 + 6 Ị = y Ịx 2 + l]
Bài 1;
(y - l)Ịx^ + 6j = xỊy^ + lỊ

I

2

2

2

xy + 6x - y - 6 = yx + y

Ịyx^ + 6y - x^ - 6 = xy^ + X

Trừ v ế theo vê'ta được: 2xy(y - x) + 7(x - y) + (x - y)(x + yj = 0

<=>(x - y)(x + y - 2xy + 7 ) = 0 <íí>
Với

X

= y thay vào hệ ta được: x^ - 5x + 6 = 0 <=>

x=y
x + y -2 x y +7 = 0

x=y =2
x = y =3'

Với x + y - 2 x y + 7 = 0 « ( l - 2 x ) ( l - 2 y ) = 15 ( 1 ).
Mặt khác cộng vê'theo v ếh ai phương trình đã cho ta được:
x^ + y 2 - 5 x - 5 y + 12 = 0 c ^ ( 2 x - 5 ) ^ + ( 2 y - 5 f =2 ( 2 )
Đặt: a = 2 x - 5 ,b = 2 y - 5 .
T ừ ( l ) v à ( 2 ) t a c ó h ê : |^
^
^
Ị(a + 4)(b + 4) = 15

-2 a b = 2
ab + 4(a + b) = - l

(x;y) = (3;2), (2;3)

[ab = -1
ía + b = -8
1ab = 31

•vô nghiệm

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (2;2), (2;3), (3;2), (3;3).
Bài 2: Nếu (xQ;yo) là nghiệm của hệ thì các cặp sô' sau cũng là nghiệm của hệ
(yo'^o)Đê’hệ có nghiệm duy nhâ't khi (xQ;yQ) = (yo'^o)

^0 = yo •

Khi đó, hệ trờ thành; Xg = Xg - 4xg + axg o Xg Ịxg - 5xg + a j = 0
<:í> Xg = 0 hoặc Xg - 5xg + a = 0
Với

386

Xg

= 0 thì

yg

= 0 suy ra hệ đã cho có nghiệm duy nhâ't Va e ^ .


Vậy đ ể hệ luôn có nghiệm duy nhâ't khi và chi khi Xq - 5xq + a = 0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép bằng 0 .
Dễ thây Xq - 5xq + a = 0 không thể có nghiệm kép.
25
Do vậy Xg - 5xg + a = 0 vô nghiệm khi <=> A < 0 tức 25 -4 a < 0< = > a > — .
25

Với a > — , lây (l) - ( 2 ) theo vế, ta được
y^ - x^ = x^ - y^ -ề Ịx ^ - y ^ j + a ( x - y ) tức (x -y )Ịx ^ + y^ - 3 x -3 y + aj = 0 <=> X= y ,
VIì x^ +y^ - 3 x - 3 y + a = —(2x + y -3 )^ + ~ ( y “ l)^ + (a -3 )> 0 ,V a >

25

X= y
Với X= y thay vào hệ đã cho trở thành: ì ,
0
,
tức
x^ = x^ - 4x^ + ax
X= y
<
X
.1

<=> X= y = 0

í
25 V
+ a ----4 jj
2J l

25
Vậy a > — là điều kiện cẩn và đủ đê’hệ có nghiệm duy nhâìt.
Bài 3: Nêu (xQ;yo) là nghiệm của hệ thì các cặp sô'sau cũng là nghiệm của hệ
(yo;’^ o )'(4 -x o ;4 -y o ).(4 -y o ;4 -x o ).
Vì hệ có nghiệm duy nhâ't, nên xảy ra khả năng (xo;yo) - (yo'^o)

thê'ta tìm

được Xq = 2 .
Với Xq = 2 thay vào hệ ta được a - 2 = -\/4--3V lO ^^, 2 < a < — .
a - 2 = V 4 -3 V lO -3 a
Đặt V l0 -3 a = t, t > 2, khi đó ta có: <
t - l = 4 -V 4 -3 V lO -3 a
(a -2 )^ = 1 0 -3 t

.
..
,
(3 )= > (a -t)(a + t - 4 ) = 3 ( a - t ) tức ( a - t)(a + 1 - l ) = 0<=>a = t

( t- 2 ) ^ = 1 0 -3 a
vì a + 1- 1 > 1
2

,

Khi đó ( 3) suy r a ( a - 2 ) = 1 0 -3 < = > a ^ -a -6 = 0<=>a = 3
[V7 + x + J l l - y =10
Với a = 3, hệ cho trở thành: < ____
____
, giải tương tự trên.
[77 + y + V1 1 -X =10
Vậy a = 3 thỏa mãn đề bài.

387