Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán đại số lượng giác t2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (24.98 MB, 347 trang )
N G U Y ÊN PH Ú KHÁNH
(Tái bản
Ịần thứ nhâU
TRỌNG TÂM
a:, k iế n th ứ c
PHƯƠNG PHÁP
9
GĐG
H à N ội
NHÀ XUẤT BẢN
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ
Nộ7
^
N G U Y ỄN PH Ú KHÁNH
(Tái bản
lần thứ nhẩt)
TRỌNG TÂM
KIẾN THỨC
PHƯƠNG PHÁP
"•'•1
—
\ 1 ‘SS
\ l â
y [ 1}
□
hl
ĐM
H à N ội
niHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội
Điện thoại: Biên tập: (04) 39714896;
Quản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập: (04) 39715011
Fax; (04) 39729436
Chịu trách nhiệm xu ất bản:
G iám đốc - Tổng biên tập: TS. PH Ạ M T H Ị TRÂM
B iên tập:
HẢI NHƯ
C hế bản:
N H À SÁCH H Ồ N G ÂN
T rìn h bày bia:
N H À SÁCH H ồ N G Â N
Đối tác liên kết xuất bản:
N H À SÁCH H Ồ N G ÂN
20C N guy ễn T h ị M in h K h ai - Q1 - TP. Hồ C hí M in h
SÁCH LIÊN KÊT
TRONG TÂM KlẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
ĐẠI SỐ LƯỢNG GIÁC__________________________________________
Mã số: 1L - 68ĐH2015
In 1.000 cuô'n, khổ 17 X 24cm tại Công ti cổphần Văn hóa Văn Lang.
Địa chỉ: số6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q. Bình Thạnh - TP, Hồ Chí Minh
Sô xuất bản: 268- 2016/CXB,IPH/30 - 53/ĐHQGHn ’
Quyêt định xuất bản số; 144 LK-TN/QĐ - NXBĐHQGHN,
In xong và nộp lưu chiểu quý I năm 2016.
n â ẻ
ã íầ c ù
Đại thi hào VVilliam A.VVard từng nói: "Người thầy trung bình chi biết nói,
người thầy giỏi biết cách giải thích, người thầy xuất chúng biết cách minh họa,
còn người thầy v ĩ đại biết cách truyên cảm hứng”.
Và tác giả thực sự hi vọng cuốn sách này sẽ trở thành ng u ồ n cảm h ứ n g cũng
n h ư tư liệu b ổ ích cho các bạn thí sinh trong kì thi Đ ại học sắp tới. Nội d u n g
cuốn sách được trình bày theo từ ng vấn đề, tương ứ n g từ n g chương, bài gần
giống sách giáo khoa và câu trúc đ ề thi Đại học của Bộ Giáo dục và Đ ào tạo
(theo chương trình giảm tải hiện hành).
"T rọng tâm k iế n thứ c và p h ư ơ n g p h áp giải toán: Đ ại số và Lượng giác" là
một trong nhữ ng cuốn thuộc bộ sách "Trọng tâm kiên thức và phương pháp giải
toán", do tác giả biên soạn.
Bộ sách gồm 6 tập:
Tập I: K hảo sát hàm số và ứ n g d ụ n g đạo hàm
Tập II: H àm số m ũ - Logarit, Tích p h ân , Đ ại số tổ hợp, Xác suất - số phứ c
Tập III: Đ ại số và Lượng giác
Tập IV: H ìn h học trong k h ô n g gian
Tập V: H ìn h học tro n g tọa độ
Tập VI: Bất đẳng thứ c và b ài toán max - m in tro n g các bài kiểm tra, thi
học k ì và tro n g kì th i tuyển sin h Đ ại học
Với cách viết khoa học và sinh động giúp bạn đọc tiếp cận với m ôn Toán m ột
cách tự nhiên, không áp lực, bạn đọc trở nên tự tm và năng động hơn; hiểu rõ
bản châ't, biết cách phân tích đ ể tìm ra trọng tâm của vâh đ ề và biết giải thích, lập
luận cho từ ng bài toán. Sự đa dạng của hệ thống bài tập và tình hu ô h g giúp bạn
đọc luôn hứ ng thú khi giải toán.
Trong sách, các ví d ụ m inh họa được chọn lọc, sắp xếp từ dễ đến khó và dẫn
dắt đến n h ữ ng bài toán thi Đại học. Tác giả chú trọng gợi m ở lời giải đ ể bạn đọc
3
khám phá, bạn đọc sẽ ngạc nhiên với con đường tìm tòi của m ình và đư a ra
phưcmg pháp giải đầy thú vị, sau mỗi lời giải chúng tôi đều có các lời bình, đúc
kết kũứi nghiệm .
N hững câu hỏi m ở trong sách có nội d u n g cơ bản bám sát sách giáo khoa và
câu trúc đ ề thi Đại học, đổng thời phân chia bài tập thàrửi các dạng toán có lời
giải chi tiết. H iện nay đ ề thi Đại học không khó, tổ hợp của nhiều vân đ ề đơn
giản, như ng chứa nhiều câu hỏi m ở nếu không nắm chắc lý thuyết sẽ lúng túng
trong việc tìm lời giải bài toán. Với m ột bài toán, không nên thỏa m ãn ngay với
m ột lời giải m ình vừa tìm được mà phải cố gắng tìm nhiều cách giải n h ất cho bài
toán đó, m ỗi m ột cách giải sẽ có thêm phần kiến thức mới ôn tập.
Khi giải m ột bài toán, thay vì dùng thời gian đ ể lục lọi trí nhó, thì ta cần phải
suy nghĩ phân tích đ ể tìm ra phư ơng pháp giải quyết bài toán đó. Đối với Toán
học, không có h a n g sách nào là thừa. Từng trang, từ ng dòng đều phải hiểu. Môn
Toán đòi hỏi phải kiên nhẫn và bền bỉ ngay từ lứiững bài tập đơn giản nhâ't,
nhữ ng kiến thức cơ bản nhâ't, vì chúih n h ữ ng kiến thức cơ bản mới giúp bạn đọc
hiểu được nhữ ng kiến thức nâng cao sau này.
Giờ đây, chúng tôi chợt nh ớ tới câu nói của Ludvvig Van Beethoven: "Giọt
nước có th ể làm mòn tảng đá, không phải vì giọt nước có sức mạnh, mà do nước
chảy liên tục ngày đêm. Chi có sự phấn đâu không mệt mỏi mới đem lại tài năng.
Do đó ta có thê’khẳng định, không nhích từng bước thì không bao giờ có th ể di xa
ngàn dặm".
Mặc dù tác giả đã d àn h nhiều tâm huyết cho cuôh sách, song sự sai sót là điều
khó ữ án h khỏi. C húng tôi rất m ong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu
của quý độc giả đ ể nh ữ n g lần tái bản sau cuôh sách được hoàn thiện hơn.
Tác giả
CHỦ ĐÊ 1: PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. CHUẨN KIẾN THỨC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg. Đặt
D = Dj n Dg. Mệnh đề chứa biến "f(x) = g(x)" được gọi là phương trình một ẩn; X
được gọi là ẩn sô"(hay ân) và D gọi là tập xác định của phưcmg trình.
Xq e D gọi là m ộ t n g h i ệ m của p h ư o T i g t r ì n h f(x) = g ( x ) n ế u "f(xg) = g(xQ)" là m ệ n h
đề đúng.
Chú ý: Các nghiệm của phưong trình f (x) = g(x) là các hoành độ giao điểm của đồ
thị hai hàm số y = f(x) và y = g (x ).
2. PhưoTig trình tương đương, phương trình hệ quả.
a) Phương trình tương đương: Hai phương trình (x) = gj (x) và Ỉ2 (x) = g 2 (x)
được gọi là tưong đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Kí hiệu là (x) = g, (x) <=> (x) = g 2 (x).
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phưcmg trình gọi là phép biên
đôi tương đương.
b) Phương trình hệ quả; Í2 (x) = g 2 (x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình
(x) = g^ (x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phưong trình
(^) = gi
là (^) ^ Bi (^) h (x) = 82 (^)
c) Các định lý:
Định lý 1: Cho phưong trình f (x) = g(x) có tập xác định D; y = h(x) là hàm số xác
định trên D. Khi đó trên D, phương trình đã cho tương đưong với phương trình sau:
1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
2) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x)
0 với mọi X e D.
Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ
quả cùa phương trình đã cho.
f(x) = g (x )^ f^ (x ) = g^(x).
Lưu ý: Khi giải phương trình, ta cần chú ý:
• Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của
phương trình phải đôì chiếu với điều kiện xác định.
• Nêu hai vê'của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai v ế của nó ta
thu được phương trình tương đương.
• Khi biêh đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được
nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu đê’loại
bỏ nghiệm ngoại lai.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: TÌM ĐIỂU KIỆN XÁC ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
Phương pháp giải
- Điều kiện xác định của phương trình bao gổm các điều kiện đê giá trị của
f (x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
- Điều kiện đ ể biểu thức
.
•
7 f ũ ) xác định là f (x) > 0
f(x)
xác đinh là f (x) íit 0
xác định là f (x) > 0
7f(x)
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tim điều kiện xác địiứi của phương trình sau:
1. x +
^ =1
x^ - 4
2.1 +
3. 1 + V 2 x -3 - V 3 x -2
x+1
4. V 4 -2 x
x ^ -3 x + 2
Lời giải.
1. Điều kiện xác định của phương trình là x^ - 4
0 » x^
4 <=> X ±2 .
, , ,
<,
Í3-x>0
íx<3
2. Điêu kiện xác định của phương trình là (
_ _<=>1
.•o2
^
x-2>0
x>2
x>
3. Điều kiên xác đinh của phương trình là ]
4. Điều kiện xác định của phương trình là
^ ^
3x - 2 > 0
-í
2
x>ỉ
3
3
<» X> -
Ị
Í4-2x>0
[x ^-3 x + 2?t0
x<2
[
Ị(x-l)Ịx^+x-2j7tO
x<2
Ị(x-l)^(x-2)ĩit0
x<2
x<2
Xíti <=>
x^r
x^2
Ví dụ 2.
Tìm điều kiện xác định của phưcmg trình sau rổi suy ra tập nghiệm của nó:
1. 4x + V4x- 3 = 2 \l3 -4 x +3
2. V-x^ + 6 x - 9 + x^ = 27
3. r/x + V x - 2 = V - 3 - x
4. Ặ x - 3 f ( 5 -3 x ) + 2x = V 3 x -5 + 4
Lời giải.
4x-3>0
1. Điều kiện xác định của phương trình là <
<=> -i
^
^
|3-4x>0
3
X> 4 o_ X =_ -3
3
4
x<4
Thử vào phương trình thây X= — thỏa mãn.
Vậy tập nghiệp của phương trình là s =
2. Điều kiện xác định của phương trình là -X^ + 6 x - 9 > 0 < = > - ( x - 3)^ > 0 <=> X= 3.
Thay X= 3 vào thây thỏa mãn phương trình.
Vậy tập nghiệp của phương trình là s = Ị s Ị .
3. Điều kiện xác định của phương trình là
x>0
x>2
X< -3
X< 15-3x>0
3 <=>x
_ _= -5 .
Nếu X5^ 3 thì (*)<=> -^
o -i
3x-5>0
x> —
3
Vậy điều kiện xác định của phương ữình là X= 3 hoặc X:
Thay X= 3 và X= — vào phương trinh thây chỉ có X= 3 thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là s = Ị s Ị .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tim điều kiện xác định của phương trình sau:
1.
- —
x^-x-1
2 . 1 +^ / ) ^ ^ =^ / ) n ’
3. l + V 2 x - 4 = V 2 - 4 x
4.
„ V 2 x - 6-
x+1
x^ - 3x + 2
Bài 2: Tim điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
1. 4x + 2 \l4 x -3 = 2 y Ịịx -3 + 3
2.
3. yíĩx + V x - 2 = y j2 -x + 2
Bài 3: Giải các phương trình:
4. Vx^ - 4x^ + 5 x - 2 + X = \l2 - x
x^+x-l +x=l
2. 3x + Vx - 8 = n/ 4 - x
1. 2 x - V x - 8 ==Vs - X +16
Dạnp 2:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG p h é p BIEN ĐỔI t ư ơ n g đ ư ơ n g v à h ệ q u ả
Phương pháp giải
Đê giải phương ưìrửi, ta thực hiện các phép biên đổi đê’ đưa về phương trình tương
đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một sô' phép biến
đổi thường sử dụng:
• Cộng (trừ) cả hai v ế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác
định của phương trình, ta thu được phương trình tương đương phương trình
đã cho.
• Nhân (chia) vào hai vê'với một biểu thức khác không và không làm thay đổi
điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trìiứi tương đương
với phương trình đã cho.
• Bình phương hai vê' của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của
phương trình đã cho.
• Bình phương hai vê' của phương trình (hai vê' luôn cùng dâ'u) ta thu được
phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Các ví dụ___________________________________________________________________
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
,1. 11 + ——
1 = — ------5
x -3 x ^ -x -6
„
x^
1
/— r
2. -J=== = —f= = = -^Jx-2
Vx-2 Vx-2
3. Vx + 3 ( x ^ - 3 x ^ + 2 ) = 0
4. Vn/ x -l ( x^ - X- 2 ) = 0
Lời giải.
1. ĐKXĐ:
X 3
[x^-x-6í*0
<=>
ị x^3
[x;*-2
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
8
1 + —^ _ = 7-- :Ậ.----TT <=> (x -3 ) ( x + 2 ) + X + 2 = 5 <=> x^ = 9 <=> X = ±3 .
x - 3 ( x - 3 ) ( x + 2)
V
y
Đôì chiêu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là X = - 3 .
2. ĐKXĐ: X > 2
Vói điều kiện đó phương trình tương đương với
x^ = l - ( x - 2 ) < » x ^ + x - 3 = 0<=>x=
Đôì chiêh với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
3. ĐKXĐ: X > - 3 .
4 x V s =0
,
Phương trình tương đương với
x'^ -3x^ +2 = 0
X = -3
X = -3
0
X = -3
x^ - 1 = 0 <=> x = ±l
( x2 - i ) ( x 2 - 2 ) = 0 ^
LV
1
X = ±yỈ2.
x^ -2 = 0
Đô'i chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
X = -3, X = ±1 và X = ±\Ỉ2 .
x>0
4. ĐKXĐ: ị r-
Vx-1>0
íx>0
<^ị
<=>X>1.
X>1
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
v>/x- 1 = 0
x^-x-2 =0
X= 1
<=> x = - l
x=2
ĐỎI chiêu với điều kiện ta cỏ nghiệm của phương trình là X = 1 và X = 2 ■
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1. n/2 x - 3 = V4x^ -1 5
3. l2x + 1| = |x —2 I
2.
-3 x + 4 = 8 - 3 x
4. |2x + l| = x - l
■
Lời giải.
2x-3>0
1. ĐKXĐ:
,
n
4x^ - 1 5 > 0
Vói điều kiện (*) phương trình tương đương với Ụ lx - 3 j
<=>2x - 3 = 4x^ -1 5 o 4x^ - 2 x - 1 2 = 0<=>x = - Ệ hoặc X = 2 .
2
Thay vào điều kiện {*) ta thây chi có X = 2 thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhâ't X= 2.
2. ĐKXĐ:
- 3x + 4 > 0 o
^
3Ý 7
1 + — > 0 (luôn đúng với mọi
X- —
X)
Bình phương hai vê' của phương trình ta được
x^ - 3x + 4 = (8 - 3x)^ <=> x^ - 3x + 4 = 9x^ - 48x + 64
q
2
45 ± Vl05
16
Thay vào phương trình ta thấy chi có X =
và đó là nghiệm duy nhất của
phương trình.
3. Phương trình tương đương với (|2x + 1|
= ^|x - 2 ^
<=> 4x^ + 4x +1 = x^ - 4x + 4 « 3x^ + 8 x - 3 = 0 o x = -3 hoặc X = Ậ .
3
Vậy phương trình có hai nghiệm là X = -3 và X = —.
4. ĐKXĐ: x - l > 0 < = > x > l ( * ) . T a c ó |2x + l| = x - l=> (2x + = (x - 1)^
4x^ + 4x +1 = x^ - 2x +1 <=>3x^ + 6x = 0 :=> X = -2 hoặc X = 0 .
Đô'i chiếu vối điều kiện (*) ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.____________________________________________
Ví dụ 3. Tim nghiệm (x; y) với X là số nguyên dương của phương trình sau:
V2 0 - 8X +
-
y2 = y n/7 - 4x
Lời giải.
,
... , . . ,
^
.
Í 20- 8x>0
7
Néu phương trinh có nghiệm (x; yj thì X phải thỏa mãn j
o X< —.
Vì X là số nguyên dương nên X = 1 .
Thay X = 1 vào phương trình ta được \ỈĨ2 +-ịỏ - y^ = y\/3 (*).
Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6 - y^ > 0.
{*)
=>
-
y^ = x/3(y - 2) => 6 - y^ = 3(y - 2)^ => 4y^ - 1 2 y + 6 = 0 => y =
Thử vào phương trình {*) thấy chỉ có y =
Vậy phương trình có nghiệm là 1;
là thỏa mãn.
3 + ^/3
Ví dụ 4.Tim m để cặp phương trình sau tương đưcmg;
10
1. mx^ - 2 ( m - l ) x + m - 2 = 0 ( l ) v à ( m - 2 ) x “ -3x + m^- 15 = 0 (2)
2. 2 x - + m x - 2 = 0 (3)và 2x^+(m + 4 ) x ^ + 2 ( m - l ) x - 4 = 0 (4)
Lời giải.
1. Giá sử hai phương trình (1) và (2) tương đương.
Ta có (l) o (x - l)(mx - i n + 2 ) = 0 o x = l hoặc mx - m + 2 = 0.
Do hai phương trình tương đưong nên X = 1 là nghiệm của phương trình (2).
Thay X = 1 vào phương trình (2) ta được
(m -2 ) - 3 + m^ -15 = 0 <=>
+ m - 2 0 = 0 o m = - 5 hoặc m = 4 .
7
7
Với m = -5; Phương trình (1) trở thành -5x + 12x - 7 = 0c5>x=— hoăc X = 1 .
5
7
10
Phương trình (2) trờ thàn h -7 x -3 x + 10 = 0 o x = - — hoặcx = l.
Suy ra hai phương trình không tương đương
1 hoặc
Với m = 4 : Phương trình (1) trờ thành 4x 7 -6 x + 2 = 0 o x = —
X
= 1.
1
Phương trình (2) trở thành 2x 2 -3 x + l = 0 o x = —
hoặc X = 1 .
Suy ra hai phương trình tương đưong
Vậy m = 4 thì hai phương trình tưong đưong.
2. Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương.
Ta có 2x^ + (m +4)x^ + 2(m - l)x - 4 = 0 o (x + 2)Ị2x^ + mx - 2j = 0
o X = -2 hoặc 2x^ + mx - 2 = 0.
Do hai phưong trình tương đưong nên
Thay
X
X
= -2 cũng là nghiệm của phương trình (3).
= -2 vào phương trình (3) ta được 2(-2)^ + m( - 2 ) - 2 = 0 o m = 3.
Với m = 3 phương trình (3) trờ thành 2x 2 + 3 x - 2 = 0 o x = -2 hoặc X = -1 .
Phương trình (4) trở thành 2x^ + 7x^ + 4 x - 4 = 0<=>(x + 2)^ (2x + 1) = ũ
o
X
= -2 hoặc
X
= —. Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4).
Vậy m = 3 thì hai phương trình tương đương.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2 -x
4 _x^
2.
2x
1
/r
11
3. n/ ^ ( x^ -16) = 0
4.
=0
-2x-3
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1. Vx-2 = Vx^ - 8
3. |2x + 3| = |2x - 3|
2. Vsx^ - x - 9 = x - l .
4. |2x - 1| = 3x - 4
Bài 3: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương:
1. y} +mx-1 = 0 (l)và ( m - l ) x ^ + 2 ( m - 2 ) x + m - 3 = 0 (2)
2. (2m-2)x^ - ( 2m + l)x + m ^ + m - 1 7 = 0 ( 3 ) v à ( 2 - m) x ^ + 3x + 1 5 - = 0 (4)
HƯỚNG DẢN GIẢI:
D ạn g 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Bàil:
1 . ĐKXĐ: x^ - x - 1 ; é 0 o x 7 ^ ^ ^ ^ .
2
Íx-1>0
2. ĐKXĐ: {
Ị x -2> 0
3 . ĐKXĐ:
<=> X >
2.
Í2x-4>0
OX£0.
2 - 4x > 0
x>3
2x-6>0
4. ĐKXĐ: ,
o
x^ -3x + 2;í0
«
X>3
Bài 2:
3 1. ĐKXĐ: X > - . Dê thấy
X
3
= — là nghiệm của phương trình.
2. ĐKXĐ: -x^ + X - 1 > 0 <=>- |
X-
ị
1)
—> 0 C5>X £ 0
4
Vậy tập nghiệp của phương trình là s = 0 .
x>0
3. ĐKXĐ: - x - 2>0<=>x = 2. Thử lại phương trình thấy
2-x>0
X
= 2 thòa mãn
Vậy tập nghiệm cùa phương trình là s = Ị 2j .
4. DKXĐ: Ịx’ - 4 x ^ + 5 x - 2 > 0 ^ ( x - l f ( x - 2)> 0
[
2-x>0
[
x<2
X= 1
x=2
Thay vào phương trình ta có tập nghiệm của phương trình là
12
s = {1}.
Bài 3
1. Xét phương trình: 2 x - V x - 8 = VS-X +16.
íx-8>0
jx>8
Điều kiện : <
o
_ Cí> X = 8.
8-x>0
x<8
(1)
Thay .r = 8 ta thấy (1) được thoá mãn. Vậy nghiệm của phương trình (1) là .r = 8.
2. Xét phương trình:
.. , , í x - 8 > 0
Điêu kiện: <
o
[4-x>0
3x + Vx-8 = V4 íx>8
1
<=> X e 0.
[x<4
X.
Vậy phương trình (2) vô nghiệm.
D ạng 2:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIEN Đ ố l TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ
Bài 1:
X7ì 2
1. DKXĐ :
o X 9Í: ±2
■4;í 0
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
x=0
(thỏa mãn)
4 - x ^ + x + 2 = 6<=>x^-x = 0 o
X= 1
2. ĐKXĐ: X < 3
Phương trình cí>2x = l - ( 3 - x ) o x = -2 (thỏa mãn)
3. ĐKXĐ;
X>
-1
Phương trình tương đương với
^ỉx +ì= 0
X
-16 = 0
<=>
x = -l
x = ±4
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm cứa phương trình là
[ X<3
4. ĐKXĐ: \
. PT o X = 3 (không thỏa mãn điều kiện).
X -1
Bài 2: 1. X = 3
2. x=2
3.x = 0
X
= -1 và
X
=4.
4. x = 3
Bài 3:
1. Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương.
Ta có (m - l)x^ + 2(m - 2) x + m - 3 = 0 <=>x = - l hoặc (m - l ) x + m - 3 = 0.
Do hai phương trình tương đương nên X = -1 cũng là nghiệm cùa phương trìnli (1)
Thay X = -1 vào phương trình (1) ta được m = 0
Với m = 0 thay vào hai phương trinh ta thấy không tương đương.
Vậy không có giá trị nào của m thòa mãn.
2. Cộng vế với vế để khử m^ ta thu được phương trình mới có thể nhẩm nghiệm
13
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẪT
VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
A. CHUẨN KIẾN THỨC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Đ ịnh nghĩa.
• Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a, b là
sô' thực và a ÍẾ0
•
Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax^ + bx + c = 0 với
a, b, c là sô' thực và a 0
2. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1).
•
•
Nê'u a^O : (l) <=> X= ■■—. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất X= - —
a
■
a
Nêu a = 0 : phương trình (1) trở thành Ox + b = 0
Thl: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x e M
Th2; Với b 0 phương trình vô nghiệm
3. Giải và biện luận phương trình ax^ + bx + c = 0
• Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1)
•
Nếu a^O : A = b^ - 4ac
T hl: A > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt X :
Th2: A = 0 phương trình có nghiệm kép X = -
-b ± VÃ
2a
b
2a
Th3: A < 0 phương trình vô nghiệm.
4. Đ ịnh lí Vi-ét và ứng dụng,
a) Đ ịnh lí Vi-ét.
Hai sô' Xj và X2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 khi và chỉ
khi chúng thỏa mãn hệ thức Xj + X2
b
và X|X2 = —.
a
b) ứ n g dụng.
• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
•
Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f (x) = ax^ + bx + c có hai nghiệm Xj
và X2 thì nó có thê’phân tích thành nhân tử f(x) = a ( x - X j ) ( x - X 2 ).
14
•
Tìm hai sô'khi biê't tổng và tích của chúng: Nê'u hai sô'có tổng là
•
p thì chúng là nghiệm của phương trình x^ - Sx + p = 0 .
Xét dâu của các nghiệm phương trình bậc hai:
s và tích là
Cho phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 (**), kí hiệu
s=
, p = —. Khi đó:
a
a
+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dâu khi và chi khi p < 0
' a >0
+ Phương trình Ợ) có hai nghiệm dương khi và chi khi ■p > 0
s>0
A >0
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi - p > 0
s<0
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
I
ax + b = 0
Phương pháp giải
Đê’giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ta dựa vào kê't quả đã nêu ở trên.
Lưu ý:
a ;it 0
• Phương trình ax + b = 0 có nghiệm <=>
a =b =0
[a = 0
Phương trình ax + b = 0 vô nghiệm <=>•
b ^O
• Phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhâ't <=>a ^ 0
Các ví d
ụ
__________________________
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số:
1. ( m - l ) x + 2 - m = 0
2. m ( m x - l ) = 9x + 3
3. (m + l)^x = (3m + 7)x + 2+ m
Lời giải.
1. Phương trình tương đương với ( m - l ) x = m - 2
+ Với m - l = 0 o m = l : Phương trình trở thành Ox = -1
Suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với m - l 7 í : 0 o m í Ế l ; Phương trình tương đương với X =
m -2
m -1
Kê't luận:
m = 1; Phương trình vô nghiệm
m
1: Phương trình có nghiệm duy nhâ't X =
m -2
m -1
2. Tacó m(mx - 1) = 9x + 3 o Ịm ^ -9 jx = m + 3
+ Với m ^ -9 = 0<=>m = ±3:
15
•
•
Khi m = 3: Phương trình trở thành Ox = 6 suy ra phương trình vô nghiệm
Khi m = -3 : Phương trình trở thành Ox = 0 suy ra phương trình nghiệm
đúng với mọi Xe R
^ = —-— .
m2_9 m - 3
+ Với m^ - 9 ^ 0 c í > m7 í ± 3 : Phương trình tương đương với X=
Kết luận:
m = 3: Phương trình vô nghiệm
m = -3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi X&M
1
m ±3: Phương trình có nghiệm X= m -3
3. Phương trình tương đương với (m + l ) ^ - 3 m - 7 X= 2 + m
o
2+m
m - m- 6
+ Với m^ - m - 6 = 0 o m = -2 hoặc m = 3:
• Khi m = 3; Phương trình trở thành Ox = 5 suy ra phương trình vô nghiệm
• Khi m = -2 : Phương trình trở thành Ox = 0 suy ra phương trình nghiệm
đúng với mọi x e M .
+ Với m^ - m - 6íẾ0<=>míẾ-2 và míẾ3:
^
.
m +2
1
Phương trình tương đương với X= — ----------= -------- .
m^ - m - 6 rn - 3
Kê't luận:
m = 3: Phương trình vô nghiệm
m = -2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x e M
m
3 và m ^ - 2 : Phương trình có nghiêm X= — —
______m - 3 ____________________________
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với a,b là tham sô':
1. a ^ ( x - a ) = b ^ ( x - b )
2. b ( a x - b + 2) = 2(ax + l)
Lời giải.
1. Ta có a^ ( x - a ) = b^ ( x - b ) <=> Ịa^ - b ^ j x = a^ - b ^
+ Với a^ - b^ = 0 <=> a = ±b
• Khi a = b : Phương trình trở thành Ox = 0 suy ra phương trình nghiệm
đúng với mọi x e M .
•
Khi a = - b và b 0 : Phương trình trớ thành Ox = -2b^ suy ra phương
trình vô nghiệm
(Trường hợp a = -b ,b = 0 => a = b = 0 thì rơi vào trường hợp a = b )
2
i2
^
+ Với a -b ?iO<=>aíẾ±b: Phương trình tương đương với X =
16
a^-b^
a ^ + a b + b^
a^ -b '
a +b
Kết luận:
a = b : Phương trình nghiệm đúng với mọi x e M
a = - b và b ?!=0 : Phương trình vô nghiệm
a ít ±b : Phương trình có nghiêm là X= ------—------a +b
2. Ta có b ( a x - b + 2) = 2(ax + l)
a =0
b=2
+ VỚĨ a ( b - 2 ) = 0<=>
•
a ( b - 2 ) x = b^ - 2 b + 2
Khi a = 0 : Phương trình trờ thành Ox = b^ - 2b + 2 , do
b^ - 2b + 2 = (b - 1)^ +1 > 0 nên phương trình vô nghiệm.
•
Khi b = 2 : Phương trình trở thành Ox = 2 suy ra phương trình vô nghiệm
3^0
(
; Phương trình tương đương với X= — ^ ^
+2
.
Kết luận:
a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vô nghiệm.
_
. . ............................................... .
b ^ -2 b + 2
a ÌẾ0 và b íí 2 thì phương trình có nghiệm là X=
,(b-2)
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình sau với a,b là tham sô':
1. (m^ - m)x = 2x + m^ -1
2. m (4mx - 3m + 2) =: x(m +1)
Lời giải.
1. Ta có (m^ - m)x = 2x + m^ -1 <=>(m^ - m - 2)x = m^ -1
Phương trình có nghiệm duy nhâ't <íí> a
Vậy với m íí -1 và m
0 hay m ^ - m - 2 í t 0 ' »
| m5 ^ - l
m;í2
2 thì phương trình có nghiệm duy nhâ't
2. Ta có m ( 4 m x - 3 m + 2) = x(m + l ) o Ị 4 m ^ - m - l j x = 3m^ - 2 m
Phương trình có nghiệm duy nhâ't <=> a
Vậy với m ^
1 "ỉ"
8
0 hay 4m^ - m - l ? t 0 < ^ m ì t
1±VĨ7
o
— thì phương trình có nghiệm duy nhâ't
Ví dụ 4. Tìm m đ ể đổ thị hai hàm sô' sau không cắt nhau y = (m + 1) x^ + 3m^x + m
và y = (m + l)x^ + 12x + 2
Lòi giải.
17
Đổ thị hai hàm sô' không cắt nhau khi và chi khi phương trình
(m + l)x^ +ớm
+3m^xX+ m = (m ++ I^x
l)x^ -h
+12x
1ZX + 2 vô nghiệm
í m^ - 4 = 0 ím = ±2
<=> sỊm ^ - 4 j x = 2 - m vô nghiệm <=>I
<=>om =-2.
2-m;t0
m;í2
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.
c Ằ c BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham sô':
1. (2m - 4 ) x + 2 - m = 0
2. (m + l)x = (3m^ - l)x + m -1
Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau:
x + a - b x + b - a b ^ -a ^
ax-1
2
2 . ^ ^ + ^ - = -^^-----a
b
ab
x-1
x+1
x^-1
Bài 3: Tìm m đ ể phương trình sau vô nghiệm:
1 - ---------------- ^
----------------- H )
1. (m^ - m)x = 2x + m^ - 1
(2)
2. m^ (x - m ) = X- 3m + 2
Bài 4: Tim điểu kiện của a,b đê’phương trình sau có nghiệm:
^ 2x-a , 2x-b
, ,
2. —----- b = —------- a (a,b?t0)
1. a ( b x - a + 2) = (a+ b - l ) x +1
Bài 5: Giải và biện luận các phương trình:
1.
+ 5jx + 3 = 2 (x -m )
2. m^(x-1 ) = 2(2x-3 ) + m
3.
mx - m - 3
=2
x+1
Dạng 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
ax^ + bx + c = 0
Phương pháp giải
Để giải và biện luận phương trình dạng ax^ + bx + c = 0 ta dựa vào kết quả đã nêu ở ữên.
Lini ý:
• Nê'u a = 0 ; trở về giải và biện luận phương trình dạng (1).
•
Nếu a ^ 0 : A = b ^ - 4 a c ,
T hl: A > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt X:
Th2: A = 0 phương trình có nghiệm kép X:
Th3: A < 0 phương trình vô nghiệm.
Các ví dụ
Lời giải.
18
2a
-b± VÃ
2a
1. Ta có A = 1 - 4m
Với A > 0 C5>1 - 4m > 0 o m < —: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
X=
1 ± Vl - 4m
1
Với A = 0 o 1 - 4m = 0 <=>m = —: Phương trình có nghiệm kép X= —
,
,
Với A < 0 <=>1 - 4m < 0 <=> m > - : Phương trình vô nghiệm
Kết luận
m < —: Phương trình có hai nghiệm phân biệt X =
1
^
1
m = —: Phương trình có nghiệm kép X = —
m > —: PhưoTig trình vô nghiệm
2. + THI :Với m + l = 0<=>m = - l khi đó phương trình trở thành 2 x - 3 = 0<=>x = ;
+ TH2: Với m + l7t0<=>m#-l khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai
Ta có A '= m ^ - ( m - 2 ) ( m + l) = m + 2
Khi A > 0 o m + 2>0<=>m>-2, khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt
m ± Vm + 2
m +1
Khi A = 0<=>m + 2 = 0 o m = -2 khi đó phương trình có nghiệm l à
Khi A<0<=>m + 2 <0c í >m<- 2 khi đó phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
X = --------- ------------ .
=2.
3
m = -1: Phương trình có nghiệm là
X
=—
m = -2: Phương trình có nghiệm là
X
=2
m > -2 và m
X
-1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
X=
m ± Vm + 2
m +1
m < -2 : Phưcmg trình vô nghiệm.
ỉ. (2 m + 5m + 2)x^ ■4mx + 2 = 0
_
9
1
+ THI: Với 2m"^ +5m + 2 = 0c=>m=-2 hoăc m =
.
2
Khi m = -2 phương trình trờ thành 8x + 2 = 0 o x = Khi m = - —phương trình trờ thành 2x + 2 = 0<=>x = -l
19
,
+ TH2: Với 2m^ + 5m + 2 0 <=>
m 5É-2
1 , khi đó phương trình đã cho là phương
m^
2
trình bậc hai
Ta có A' = 4 m^ - 2( 2m^ +5m + 2) = -2(5m + 2)
2
Khi A' > 0 o -2(5m + 2) > 0 o m <
5
, phương trình có hai nghiêm phân biêt
2m ± ự-2(5m + 2)
2m^ + 5m + 2
2
Khi A' = 0 o m = - — phương trình có nghiêm kép
5
Khi A' < 0 o m >
2
5
X
= -5
phương trình vô nghiêm.
Kết luận
m = -2 phương trình có nghiệm
X
=- -
X
= -1
1
m = - — phương trình có nghiệm
m=
2
phương trình có nghiêm (kép)
5
m < —2 ,
5
X
= -5
u--'™ phân
u- biêt
U-I
và m?^ — , phương trình có hai■nghiêm
2
_ 2m ± V-2(5m
+ 2)
^
--------------2m^ +5m+2
X= — ^
m > - — phưong trình vô nghiêm.
5
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với a,b là tham số:
ax^ - 2(a + b)x + a + 2b = 0.
Lời giải.
+ THI: Với a = 0 phương trình trớ thành -2bx + 2b = 0 o bx = b
Khi b = 0 phương trình là Ox = 0 do đó phưong trình nghiệm đúng với mọi
Khi b 0 phưong trình có nghiệm là X = 1
+ TH2: Với a 0 phương trình là phương trình bậc hai
Ta có A’ = (a + b)^ - a ( a + 2b) = b^
Khi b = 0 phương trình có nghiệm kép
X
= £_Lk
a + b + b a + 2b
a
a
a +b -b
X= -
Khi b 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là
X = -
20
X
Kết luận: a = b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi X.
a = 0 và b 0 phương trình có nghiệm duy nhất X = 1.
a 0 và b = 0 phương trình có nghiệm kép
X
=
,
a
a 0 và b 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là
X
=^^
và
X
= 1.
Ví dụ 3. Tìm m đê’ phương trình mx^ + x + m + l = 0
2. Có hai nghiệm phân biệt
1. Có nghiệm kép
Lời giải.
1. Với m = 0 phương trình trờ thành phương trình bậc nhất X +1 = 0 suy ra m = 0
không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m 5É0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi và
chỉ khi
m T^O
m Ti 0
a Tí: 0
<z> <
<=> <
<=> <
A= 0
l - 4 m ( m + l) = 0
4m^+4m-l = 0
Vậy m
-l±^Ỉ2
m Tí:0
-1 ± ^/2
nr =
- 1 ± n/2
thì phương trình có nghiệm kép.
2. Vối m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất X +1 = 0 suy ra m = 0
không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m Ti 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm
phân biệt khi và chỉ khi
-1 -V Ỉ
A > 0 o 1 - 4m( m+l ) > 0 « 4m^ + 4 m - 1 < 0 »
^ _
-1 + V2
m >-1 -7 2
m <■
^
Vậy m Tt 0 và
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
-1 + 72
m >-
Ví dụ 4. Tìm m đê phương trình sau có nghiệm
1. x^ - mx + m + 3 = 0
2. (1 + m)x^ - 2mx + 2m = 0
Lời giải.
1. Phương trình có nghiệm khi và chi khi A > 0
m >6
o m^ - 4 ( m + 3)> 0 Ci> m^ - 4 m -12 > 0 o
m <-2
21
Vậy với m 6 ( - 00;-2] u [6; +00) thì phương trình có nghiệm
2. Với m = -1 phương trình trở thành 2 x - 2 = 0<=>x = l suy ra m = -1 thỏa mãn yêu
cầu bài toán
Với m -1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi A' > 0
<=>m^ - 2 m (l + m ) > 0 <=> m^ + 2m < 0 c : > - 2 < m < 0
Vậy với -2 < m < 0 thì phương trình có nghiệm
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm m để phương trình x^ -3 m x + (2m^ - m - l ) = 0 có nghiệm kép và tìm
nghiệm kép đó
Bài 2: Cho phương trình: mx^ - 2mx + m +1 = 0
1. Giải phương trình đã cho khi m = -2 .
2. Tìm m đ ể phương trình đã cho có nghiệm
Bài 3: Giải và biện luận phương trình
1. (m - 2)x^ - 2(m + l)x + m - 5 = 0 2. (m - 2)x^ - (2m - l)x + m + 2 = 0
Bài 4: Tùy thuộc vào giá trị của tham sô' m, hãy tìm hoành độ giao điểm của đường
thẳng d : y = 2x + m và Parabol (P): y = (m - l)x^ + 2mx + 3 m -1 .
Bài 5: Giải và biện luận các phương trình:
2 2mx-m^+m-2
1. ( m - l ) x ^ - 2 x + 3 = 0
^
x^-1
Bài 6: Tim m đ ể phương trình sau vô nghiệm:
1. x^ - 2mx + m + 3 = 0
2. ( m- l ) x ^ - ( 2 m - 2 ) x + 2m = 0
Bài 7: Tim m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị
(c):y :
2x + ĩ
tại hai điểm
x+1
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng V3 (O là gôc tọa độ).
Bài 8: Giải và biện luận các phương trình sau:
1. x^ - 2mx + m + 2 = 0
2. mx^ - 2mx + m +1 = 0
3. x^ - ( a + b)x + ab = 0
4. (m - l ) x ^ + 2mx + 2m - 1 = 0 .
Bài 9: Tìm tâ't cả các giá trị của tham sô' m để:
1. Đường thẳng y = -X + m cắt đổ thị hàm sô' y :
x2-l
tại 2 điểm phân biệt A, B sao
cho AB = 4.
’
'
x^ + X- 1
2. Đường thăng y = -2x + m căt đổ thị hàm sô' y = --- —— tại hai điểm phân biệt
X
A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.
,
,
2x + l
3. Đường thăng d : y = -X + m căt (C): y = ——— tại hai điểm phân biệt A,B sao cho
x+2 ’
AB nhỏ nhâ't.
22
.
,
3x + 2
4. Đường thắng y = X + m cắt (C): y =
tại c , D sao cho ABCD là hình bình
hành. Trong đó A, B là giao điểm của (C) với đường thẳng y = X.
5. Đường thẳng d : y = mx + 2m +1 cắt đồ thị (C): y = ——— tại hai điểm phân biệt
A,B cách đều hai trục tọa độ.
6. Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng d : y = X + m luôn cắt đồ thị (C):
"Ị
y=
tai 2 điểm phân biêt A và B. Goi
, k 2 lần lươt là hệ sô' góc tại A và B.
2x-l
Tìm m đểkj + k 2 lớn nhâ't.
__ ^
_ệ_
Bài 10:
1. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau
vô nghiệm: a^x^ + Ịa^ + b^ -c ^ jx + b^ = 0 .
Dạng 3: MỘT số
ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT
Phương pháp giải
Hai sô' Xj và X2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 khi và chỉ
khi chúng thỏa mãn hệ thức X, + X2 = - — và XjX2 = —.
a
a
ứ n g dụng.
• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
•
Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f (x) = ax^ + bx + c có hai nghiệm Xj
và X2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a ( x - X j ) ( x - X 2 ) .
•
Tim hai sô' khi biết tổng và tích của chúng; Nếu hai sô' có tổng là
•
thì chúng là nghiệm của phương trình x^ - Sx + p = 0 .
Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 (*), kí hiệu
s và tích là p
s=
, p = —. Khi đó
a
a
+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dâ'u khi và chi khi p < 0
A >0
+ Phương trình {*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi <P > 0
s>0
A >0
+ Phương trình {*
*) có hai nghiệm âm khi và chi khi <P > 0
s<0
23
Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử.
Các ví dụ______________________________________________________
Ví dụ 1. Cho phưong trình 2x^ - mx + 5 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 2.
Tìm m và tìm nghiệm còn lại.
Lời giải.
Cách 1; Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có XjX2 = —
Giả sử Xj = 2 suy ra Xj
m
„ 5 m
Mặt khác Xj+X 2 = — =>2 + —= — =>m
4 2
13
Vậy m = — và nghiệm còn lại là —
Cách 2: Thay X = 2 vào phương trình ta được 8 - 2m + 5 = 0 <=> m :
13
5
5
Theo hệ thức Vi-ét ta có XjX2 = — mà Xj = 2 nên X2 = —.
Vậy m = — và nghiệm còn lại là —.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1. f(x) = 3x^-14x + 8
2. g(x) = -x'* + 5x^ - 4
3. P(x;y) = 6x^ - l l x y + 3y^
4. Q(x; y) = 2x^ - 2y^ - 3xy + X - 2y
Lời giải.
2
1. Phương trình 3x -1 4 x + 8 = 0<=>x = — hoặc X = 4
2
í
Suy ra f(x) = 3 X - - ( x - 4 ) = ( 3 x - 2 ) ( x - 4 )
V
2. Phương trình - x ‘* + 5x^ - 4 = 0<=>-Ịx^ j + 5x^ - 4 = 0<=>x^=l hoặc x^ = 4
Suy ra g(x) = -Ịx^ - l j Ị x ^ - 4j = - ( x - l ) ( x + l ) ( x - 2 ) ( x + 2 )
3. Xét phương trình 6x^ -1 ĩxy + 3y^ = 0 ẩn X.
= ( l l y f -4.18y^ =49y^
lly±7y
y
3y
Suy ra phương trình có nghiệm là X = — ------ - <:> X = — hoặc X = —
3y
Do đó P(x;y) = 6
V
24
3y
:(3x-y)(2x-3y)
