Bài tập chương 8, 9, 10 giải bài tập sách truyền động điện ned mohan

CHAPTER 8: DESIGNING FEEDBACK CONTROLLERS FOR MOTOR
DRIVES
QUESTIONS:
1-What are the various blocks of a motor drive?

Truyền động động cơ bao gồm các khối:
•
•
•
•

PPU: điều khiển thay đổi điện áp phần ứng động cơ.
Động cơ dc kích từ độc lập bằng nam châm vĩnh cửu.
Tải cơ gồm tải thế năng, tải li tâm…
Khối khuếch đại sai lệch: đầu ra như moment, tốc độ sẽ được phản hồi so sánh
với giá trị chuẩn. Sai số giữa giá trị mong muốn và giá trị thực tế được khối
điều khiển khuếch đại sai số loại trừ và tối thiểu hóa.

4-Draw the dc-motor equivalent circuit and its representation in Laplace domain.
Is this representation linear?


Mạch tương đương của động cơ dc (bao gồm cả tải cơ).
Phương trình tương đương của động cơ trong miền thời gian:
v a (t) = ea (t) + R a ia (t) + L a

d
i (t)
dt a

ea (t) = k E ωm (t)

T (t) − TL
d
ωm (t) = em
dt
J eq
Tem (t) = k T ia (t)

Biến đổi các phương trình trên qua miền Laplace:
Va (s) = Ea (s) + (R a + sL a )I a (s)
⇒ I a (s) =

Va (s) − Ea (s)
R a + sL a

Ea (s) = k E ωm (s)

τe =

Đặt:
⇒ I a (s) =

La
Ra

là hằng số thời gian điện.

1 / Ra
V (s) − Ea (s)
s  a
1+

1 / τe

Giả sử, bỏ qua moment tải, ta có:
ωm (s) =

Tem (s)
sJ eq

Từ đây, ta có mô hình hóa của động cơ:


Hệ thống trên được xem là tuyến tính vì ta có thể xem moment tải bằng không. Trong
thực tế, tải lớn và thay đổi liên tục (tức là tải cơ không tuyến tính) làm nhiễu loạn hệ
thống dẫn đến toàn bộ hệ thống không tuyến tính. Một phần khác làm cho hệ không
tuyến tính là điện áp và dòng điện đặt vào cung cấp cho động cơ là không tuyến tính,
vượt qua giới hạn tuyến tính.
5-What is the transfer function of a poportional-integral (PI) controller?

Hàm truyền của bộ điều khiển PI là:
W(s) =

y ra
V (s)
k
k
s
= c = k p + i = i (1 +
)
y vao E(s)
s

s
ki / kp

Trong đó: kp là hệ số điều khiển tỉ lệ (P)
ki là hệ điều khiển tích phân (I)

E(s) = X* (s) − X(s)

là sai số giữa giá trị mong muốn và giá trị thực tế

Khâu tỉ lệ có tác dụng khuếch đại sai lệch tiến đến gần giá trị mong muốn nhưng
khâu này vẫn chưa đáp ứng sai lệch cần phải bù sai lệch và khâu tích phân có tác dụng
tiếp tục bù sai lệch tĩnh.
10-How would we have designed the PI controller of the torque loop if the effect
of the speed were not ignored?
Vì ảnh hưởng của tốc độ không bỏ qua nên moment tải cơ TL không thể bỏ qua.
Tem − TL = J eq

dωm
dt


Bằng cách biến đổi sơ đồ, ta có:

PI

 1/PI

kPWM

 1/kPWM

1 / Ra
1 + sτ e

kT

kE

Giản ước sơ đồ và biến đổi ta có hàm truyền GI,OL(s) dạng vòng hở:
14-Draw the position-loop block diagram.
Từ mô hình hóa của động cơ:

Mô hình hóa của PPU:

1
sJ eq


Mô hình hóa của thuật toán điều khiển PI:

Theo điều khiển cấu trúc ghép tầng và biến đổi đơn giản hóa các mạch vòng moment,
mạch vòng tốc độ phía trong ta có sơ đồ khối của mạch vòng vị trí:

18-How would we have designed the position controller if the closed speed loop
were not approximated by unity?
Hàm truyền vòng kín của mạch vòng tốc độ là:
G Ω ,CL (s) =

G Ω ,OL (s)

1 + G Ω ,O L (s)

Sơ đồ khối của mạch vòng vị trí là:


PROBLEMS AND SIMULATIONS
8-1 In a unity feedback system, the open loop transfer function is of the form
G OL (s) =

k
1 + s / ωp

. Calculate the bandwidth of the closed-loop transfer funtion.

How does the bandwith depend on k and

ωp

?

The bandwidth is defined as the frequency at which the gain drops to -3dB. As a firstorder approximation in many practical systems:
Closed-loop bandwidth

≈

fc

We have find crossover frequency fc (
G OL (s) =

L(ω)

=0):

k
1 + s / ωp

⇒ G OL (jω) =

G OL (jω) =

k
ω
1+ j
ωp

=

k

k
2

 ω
1+ 
 ωp ÷
÷



−j

ω
ωp

 ω
1+ 
 ωp


2


÷
÷


k
1+ (

ω 2
)
ωp

Gain magnitude of a first-order system open loop:
L(ω)

(dB)

log

ωp

k
ωp

log

ω


k

L(ω) = 20 log G OL ( ω) = 20 log

1+ (

ω > ωp → 1 + (

When

ω 2
)
ωp

ω 2
ω
) = ( )2
ωp
ωp

⇒ ωc = kωp

⇒ fc =

2π
kωp
≈ fc =

Closed-loop bandwidth

2π
kωp

Bandwidth depend on inverse (

kωp

)

8-2 In a feedback system, the forward path has a transfer function of the form
G(s) =

k
1 + s / ωp

, and the feedback path has a gain of kfb which is less than unity.
Calculate the bandwith of the closed-loop transfer function. How does the
bandwith depend on kfb.

G(s) =

k
1 + s / ωp

kfb


k
1 + s / ωp
k fbG ( s )
WCL (s) =
=
k
1 + k fb G ( s )
1 + k fb
1 + s / ωp
k fb

Set (kw=kfb.k), we have:
kw
1 + s / ωp
WCL (s) =
kw
1+
1 + s / ωp

Simplilarly Problems1, we have:
≈ fc =

Closed-loop bandwidth

2π
k w ωp

8-5 In designing the position loop of Example 8-4, include the speed loop by a
first-order transfer function based on the design in Example 8-3. Design a P-type
controller for the same open-loop crossover frequency as in Example 8-4 and for
a phase margin of 60 degrees. Compare your result with those in Example 8-4.
Từ Example 8-3, ta có các hệ số của thuật toán điều khiển PI là:
k pΩ = 0,827; k iΩ = 299,7
Hàm truyền vòng hở của mạch vòng tốc độ là:
 k k  1 + s / (k iΩ / k pΩ ) 0,827 × 0,1  1 + s / (0,827 / 299,7) 
G Ω ,OL (s) =  iΩ T ÷
=
÷
2
 J ÷
s
152 × 10 −6 
s2

eq


1 + 362,4s 544,7 + 197399, 3s
= 544,7 ×
=
s2
s2

Hàm truyền vòng kín của mạch vòng tốc độ là:

G Ω ,CL (s) =

G Ω ,OL (s)
1 + G Ω ,OL (s)

=

544,7 + 197399, 3s
544,7 + 197400, 3s + s 2


Hàm truyền vòng hở của mạch vòng vị trí là:

G θ ,OL (s) =

kθ
k
544,7 + 197399, 3s
G Ω ,CL (s) = θ ×
s
s 544,7 + 197400, 3s + s 2

Hàm truyền vòng hở có 4 cực.

kθ
544,7 + 197399,3s
×

s 544,7 + 197400,3s + s 2
Phase Margin (PM)=
Thay thế

φpm,θ = 60o

và

ωcθ = 62,8 rad / s

= −180o + φpm,θ
s = jωcθ

vào phương trình trên, ta có

kθ

8-8 Obtain the time response of the system designed Example 8-4, in terms of the
change in position, for a step-chance of the load-torqe disturbance.
Hàm truyền step change:

θ* (s) =

1
s

1
1
1
1

θ(s) = ×
= −
s 1 + s / kθ s 1 + s / kθ

Chuyển qua miền thời gian, ta có đáp ứng thời gian là:


8-9 In the example system of table 8-1, the maximum output voltage of the dc-dc
converter is limited to 60V. Assume that the current is limited to 8 A in
magnitude. How do these two limits impact the response of the system to a large
step-change in the reference value?

Bài tập chương 9
Bài 9.4
θe =

Electical angle:
ns (θ e ) =

p
θ
2

where

Ns
sin θ e
2

General: Amulti-pole machine

θe =

p
n
θ= θ
2
2

→ ns (θe ) =

Bài 9.5

Ns
sin θ e
2

θ e = 2θ ( p = 4 poles )


H a (θ e ) =

Ns
ia cos θ e
plg

Ba (θ e ) = µ0 H a (θ e ) =
Fa (θ e ) = l g H a (θ e ) =

µ0 N s
ia cos θ e

plg
Ns
ia cosθ e
p

Bài 9.8

Ta có:

2π
4π


ims (t ) = I m  cos ωt∠00 + cos(ωt − )∠1200 + cos(ωt − )∠2400 
3
3



The expression in the square brackets is:
2π
4π

0
0
0
cos ωt ∠0 + cos(ωt − 3 )∠120 + cos(ωt − 3 )∠240 
2π
2π
4π

4π 

=  cos ωt cos 00 + cos(ωt − ) cos
+ cos(ωt − ) cos
3
3
3
3 

1
2π
1
4π
= cos ωt − cos(ωt − ) − cos(ωt −
)
2
3
2
3
1
2π
2π
1
4π
4π
= cos ωt − (cos(ωt ) cos( ) + sin(ωt )sin( )) − (cos(ωt ) cos( ) + sin(ωt )sin( ))
2
3
3
2

3
3
1 1
3
1
3
= cos ωt − (− cos(ωt ) +
sin(ωt ) − cos(ωt ) −
sin(ωt )
2 2
2
2
2
1
3
= cos ωt + cos(ωt ) = ∠ωt
2
2

Bài 9.12
Ta có:
ur
ur
E ma = V a = 120 2∠00
r
I ma = 5 2∠ − 900

At t=0 or

ωt = 0

r
3 ur
3
e ms = E ma = 120 2∠00 = 254.6∠00
2
2
r
3r
3
i ms = I ma = 5 2∠ − 900 = 10.6∠ − 900
2
2

Draw their space vector :
ωt = 0

uur
ems

a-axis
uur
ims

Bài 9.17
Ta có Eq 9.14 :

r
3

N r
ems (t ) = jω ( π rl s ) Bms (t )
2
2

n( s ) =

For a multi-pole machine with p>2:

Ns
p

r
3
N r
⇒ ems (t ) = jω ( π rl s ) Bms (t )
2
p
Lm =

3  πµ0 rl Ns 2 
( ) 

2  lg
p 

Bài 9.19
r
3
N r

3  πµ rl Ns 2  l g p r
ems (t ) = jω ( π rl s ) Bms (t ) = jω  0 (
) 
Bms (t )
2
p
2  lg
p  µ0 N s

Ta có:


Lm =

Vì:

3  πµ0rl Ns 2 
( ) 

2  l g
p 

;

r
l p r
ims = ( t ) g Bms (t )
µ0 N s

r

r
ems (t ) = jω Lmims (t )

Vậy :
CHƯƠNG 10
Question Chapter 10:
2. Draw the overall block diagram of a PMAC drive. Why must they operate in
a closed-loop?
Aw:

PMAC operate in a closed-loop because the rotor windings of the machine are
supplied by controlled currents.
4. Ideally, what are the flux-denisity distributions produced by the motor anh the
stator phase windings?
Aw: Flux lines leave the rotor at the north pole to re-enter the air gap at the
south pole. The rotor-produced flux-density distribution in the air gap (due to
flux lines that completely cross the two air gaps) has its positive peak B
directed along the north pole axis.
7. Why do we need to measure the rotor position in PMAC drives?
Aw: Because, at the any timet, the three stator currents combine to produce a
stator current space vecto is (t) which is controlled to be a head of (or leading)
the sapce vecto Br (t) by angle of 900 in direction of rotation. This justifies the
choice of 900 :it results in the maximum torque per a,pere of stator current
because at any other angle some conductor will experience a force in te


direction opposite that on other conductors, a condition which will result in a
smaller net torque.
13. In calculating the voltages induced in the stator windings of a PMAC motor,
what are the two components that are superimposed? Describe the procedure

and expressions.
Aw:
In the stator windings, emfs are induced due to two flux-density distributions:
1) As the rotor rotates with an instantaneous speed of ωm (t), so does the
space vector Br (t). This rotating flux-density distributrion cuts the stator
windings to induced a back-emf in them.
2) The stator phase windings currents under a balanced sinusoidal steady
state produce a rotating flux-density distribution due to the rotating is (t)
sapce vector. This rotating flux-density induces emf in the stator
windings, similar to those induced by the magnetizing currents in the
previous chapter.
17. What is an LCI-synchronous motor drive? Describe it briefly.
Aw: Applications such as induced-draft fans and boiler feed-water pumps in the
central power plants of electric utilities require adjustable-speed drives in very
large power ratings, often in excess of one megawatt.

The block diagram of LCI drives is shown in Fig. 10-12, where the synchronous
motor has a field winding on the rotor, which is supplied by a dc current that
can be adjusted, thus providing another degree of control.
19. Why are there problems of sability and loss of synchronism associated with
line-connected synchronous machines?
Aw:
It can be explained as follows: for values of δ below 90 degrees, to supply
more power, the power input from the mechanical prime-mover is increased
(for example, by letting more steam into the turbine). This momentarily speeds
up the rotor, causing the torque angle δ associated with E to increase.


20. How can the power factor associated with sychronous generators be made to
be leading or lagging?

Aw:
The reactive power associated with synchronous machines can be controlled in
magnitude as well as in sign (leading or lagging). To discuss this, let us assume,
as a base case, that a synchronous generator is supplying a constant power, and
the field current If is adjusted such that this power is supplied at a unity power
factor, as shown in the phasor diagram of Fig. 10-14a.
Over-Excitation Now, an increase in the field current (called over-excitation)
will result in a larger magnitude of Efa (assuming no magnetic saturation, E
depends linearly on the field current If ). However, Ef sin δ must remain
constant (from Eq. 10-26, since the power output is constant). This results in
the phasor diagram of Fig. 10-14b, where the current is lagging Va. Considering
the utility grid to be a load (which it is, in the generator mode of the machine), it
a absorbs reactive power as an inductive load does. Therefore, the synchronous
generator, operating in an over-excited mode, supplies reactive power like a
capacitor does. The three-phase reactive power Q can be computed from the Ia,q
as reactive component of the current
Q=(3.V.Ia,q)/2

Under-Excitation: In contrast to over-excitation, decreasing If results in a
smaller magnitude Ef , and the corresponding phasor diagram, assuming that the
power output remains constant as before, can be represented as in Fig. 10-14c.
Now the current Ia leads the voltage Va, and the load (the utility grid) supplies


reactive power as a capacitive load does. Thus, the generator in an underexcited mode absorbs reactive power like an inductor does.
Bài tập:
10-3. Động cơ ba pha, 2 cực không chổi than, hằng số momen kT = 0.5
Nm/A. Tính dòng điện trong các pha nếu động cơ tạo momen xoắn ngược
giữ ở 5 Nm, = -45o.
Giải:



10-4. Động cơ ba pha, 4 cực không chổi than, hằng số momen kT = 0.5
Nm/A. Tính dòng điện trong các pha nếu động cơ tạo momen xoắn ngược
giữ ở 5 Nm, = 45o.
Giải:



10-7. Động cơ ba pha không chổi than, 2 cực từ có hằng số momen kT và
hằng số điện áp kE là 0.5. L = 15 mH (bở qua điện trở trên cuộn dây. TL =
5 Nm, tốc độ 5000 rpm. Tính điện áp trên mỗi pha.
Giải
=>


Ta có:
Vậy: và