Tổng hợp các dạng toán tịnh tiến biến hình lớp 11 ôn thi năm học 2017 2018

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN

TỔNG HỢP BÀI TẬP PHÉP
TỊNH TIẾN

–

PHÉP BIẾN

HÌNH CÁC DẠNG TRONG ÔN

11
HỌC 2017-2018 (
QUYỀN )
Mục Lục
THI TOÁN LỚP

NĂM
Đ ỘC

:

1. 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN
3. PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 1

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
I.

32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

2
2
2
2
Câu 1. Tìm m để ( C ) : x + y − 4 x − 2my − 1 = 0 là ảnh của đường tròn ( C ') : ( x + 1) + ( y + 3) = 9

r

qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 3;5 ) .
A. m = −2

B. m = 2

C. m = 3

D. m = −3

2
2
Câu 2. Cho parabol ( P ) : y = x + mx + 1 . Tìm m sao cho ( P ) là ảnh của ( P ') : y = − x − 2 x + 1 qua

r

phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 0,1) .
A. m = 1

B. m = −1

C. m = 2

D. m = ∅

uur
Câu 3. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ảnh tam giác FEO là qua TuAB
là:

A. ∆ABO
Câu

4.

( C ') : ( x − 7 )

B. ∆ODC

Trong
2

mặt

phẳng

C. ∆AOB

Oxy,

cho

đường

tròn

D. ∆OCD

( C ) : ( x − 4)

2

+ ( y − 5 ) = 36
2

và

 x = x '+ a
r
2
+ ( y + 2 ) = 36 là ảnh của ( C ) qua 
. Vậy tọa độ v là:
 y = y '+ b

A. ( 3;7 )

B. ( −3; −7 )

C. ( −3;7 )

r

D. ( 3; −7 )

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho v = ( 2; −1) . Tìm tọa độ điểm A biết ảnh của nó là điểm A ' ( 4; −1)
r

qua phép tịnh tiến theo vectơ v :
A. A ( 2;0 )

B. A ( 1;1)

C. A ( 2;3)

D. A ( 0;2 )

r
d
:
2
x
−
3
y
+
1
=
0
v

Câu 6. Ảnh d ' của đường thẳng
qua phép tịnh tiến theo vectơ = ( 3; −2 ) là:

A. d ' : 2 x − y + 1 = 0

B. d ' : 2 x − 3 y − 1 = 0

C. d ' : 3x + 2 y + 1 = 0

D. d ' : 2 x + 3 y − 11 = 0

r

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = ( a; b ) . Với mỗi điểm M ( x; y ) ta có M ' ( x '; y ') là ảnh
r

uuuuur r

của M qua phép tịnh tiến theo v . Khi đó MM ' = v sẽ cho
x ' = x + a
y' = y + b

A. 

x ' = x − a
y' = y −b

B. 

 x = x '− a

 y = y '− b

C. 

 x = x '+ a
 y = y '+ b

D. 

r
A
4;5
(
)
v
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
. Phép tịnh tiến = ( 1;2 ) biến điểm A thành

điểm nào trong các điểm sau đây?
A. A ' ( 5;7 )

B. A ' ( 1;6 )

C. A ' ( 3;1)

D. A ' ( 4;7 )

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 2

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 9. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó?
A. 0

B. 2

C. 1

Câu 10. Cho đường tròn ( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 2 )
2

2

D. Vô số

r
= 16 và v = ( −3;4 ) . Đường tròn ( C ') là ảnh của

( C ) qua phép Tvr . Vậy ( C ') cần tìm là:
A. ( x + 5) + ( y − 3) = 16

B. ( x + 5) + ( y − 6 ) = 16

C. ( x + 3) + ( y − 6 ) = 16

D. ( x + 4 ) + ( y − 5) = 16

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường thẳng ( d ) : 2 x + y − 3 qua phép tịnh tiến
r
v = ( 1;3) là:

A. − x + 2 y − 6

B. 2 x + y − 6

C. 2 x + y − 8

D. − x + 2 y − 8
r

Câu 12. Cho đường thẳng d : x − 2 y + 1 = 0 . Ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 1; 2 ) là:
A. 2 x + y − 4 = 0

B. x − 2 y − 1 = 0

C. 2 x + y − 4 = 0

D. x − 2 y + 4 = 0

2
Câu 13. Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + y 2 = 4 . Ảnh của ( C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ

r
u = ( −1;3) là:

A. x 2 + ( y − 3) = 10

B. x 2 + ( y − 3) = 4

C. x + 2 y + z + 1 = 0

D. x + y − z − 4 = 0

2

2

Câu 14. Cho 2 điểm A ( 1;2 ) và B ( 0; −1) . Ảnh của đường thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ
r
u = ( 3; −2 ) là:

A. 3x − y + 1 = 0

B. 3x − y − 12 = 0

C. x + 3 y − 9 = 0

D. x + 3 y − 12 = 0
r

2
2
Câu 15. Ảnh của đường tròn ( C ) : x + y − 4 x − 2 y − 4 = 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;1) .

A. ( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 9

B. x 2 + y 2 = 9

C. ( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 3

D. x 2 + y 2 = 3

2

2

2

2

r

Câu 16. Cho 3 điểm A ( 1;2 ) , B ( 2;3) , C ( 6;7 ) . Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ u các điểm A, B,
C lần lượt biến thành các điểm A ' ( 2;0 ) , B ', C ' . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. C ' ( 7;5 )

B. B ' ( 3;5 )

r
u
C. = ( 1; 2 )

D. C ' ( 7;9 )

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 3


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 1;3) và B ( 2; −4 ) , tọa độ M ' là ảnh của
uur
M ( −4;3) qua phép tính tiến TuAB
là:

A. M ' ( 4;3)

B. M ' ( −5;10 )

C. M ' ( −3; −4 )

D. M ' ( 3; −4 )

B. C ( 6;1)

C. D ( 0;3)

D. E ( 0; −3)

r
A
3;
−
1
(
)
v
Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy cho
, phép tịnh tiến theo vectơ = ( 3;2 ) thành điểm nào

sau đây:
A. B ( 6;3)

uuu
r

uuur

uuu
r uuur

Câu 19. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến vectơ AB thành vectơ CD với AB = CD ?

A. Một

B. Hai

C. Ba

D. Bốn

r
Câu 20. Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ' được gọi
r
là phép tịnh tiến theo vectơ v thỏa mãn
uuuuur
r
uuuuuu
r r
uuuuur
r
uuuuur
r
A. MM ' = −v
B. M ' M = v
C. MM ' = kv
D. MM ' = −v

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn

( C ) có phương trình:

x2 + y 2 − x − 2 y − 3 = 0

A. x 2 + y 2 + 7 x − 2 y + 9 = 0

B. x 2 + y 2 + 5 x − 2 y − 3 = 0

C. x 2 + y 2 − 7 x − 2 y + 9 = 0

D. x 2 + y 2 + 5 x − 2 y + 3 = 0

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 3;6 ) , B ( −1;5 ) , C ( 0; 2 ) . Gọi G là trọng tâm của tam
uuu
r
giác ABC. Ảnh của G qua phép tịnh tiến theo vectơ AB là
 26

10 

 10

A.  ; − ÷
3
 3

26 

B.  ; − ÷
3 
 3

 10 10 

; ÷
 3 3

 26

C.  −

26 

D.  ; − ÷
3 
 3

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn ( C ) và ( C ') có phương trình lần lượt là

r
x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 11 = 0 và x 2 + y 2 + 6 x − 8 y + 9 = 0 . Phép tịnh tiến theo vectơ u biến đường tròn
r
( C ') thành đường tròn ( C ) khi đó tọa độ vectơ u là:

A. ( −4;6 )

B. ( 4; −6 )

C. ( 4;6 )

r

D. Đáp án khác

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến Tvr với v = ( 2;1) , cho đường tròn

( C ) : ( x − 2)

2

2
+ ( y − 3) = 25 . Tìm ảnh của đường tròn ( C ) ?

A. ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 25
2

2

B. ( x − 2 ) + ( y − 3) = 25
2

2

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 4


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
C. ( x − 3) + ( y − 2 ) = 25
2

D. ( x − 4 ) + ( y − 4 ) = 25

2

2

Câu 25. Tạo ảnh của đường tròn

( C ') : ( x − 3)

r
v = ( −3;2 ) là đường tròn ( C ) có phương trình

2

2

+ ( y + 1) = 25 qua phép tịnh tiến theo vectơ
2

A. x 2 + ( y + 1) = 5

B. ( x − 6 ) + ( y + 3) = 25

C. x 2 + ( y + 1) = 25

D. x 2 + ( y − 1) = 25

2

2

2

2

2

r

Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy và vectơ u = ( 1; −2 ) . Ảnh của đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) = 4
2

2

r

qua phép tịnh tiến vectơ u là:
A. ( C ') : ( x − 1) + ( y + 3) = 4

B. ( C ') : ( x − 3) + ( y + 5 ) = 4

C. ( C ') : x 2 + ( y + 5 ) = 4

D. ( C ') : ( x + 2 ) + ( y + 1) = 4

2

2

2

2

2

2

2

Câu 27. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Tvr ( M ) = M ' ⇔ T−uuvr ( M ') = M

B. Tvr ( M ) = M ' ⇔ Tvr ( M ') = M

C. Tvr ( M ) = M ' ⇔ T−uuvr ( M ) = M '

D. Tvr ( M ) = M ' ⇔ T−uuvr ( M ') = M '

r

Câu 28. Cho điểm A ( −2;5 ) và vectơ v = ( 3; −2 ) . Tìm tọa độ của A ' sao cho A là ảnh của A ' qua
r

phép tịnh tiến vectơ v
A. A ' ( 2;4 )

B. A ' ( 2;2 )

r

C. A ' ( −5;7 )

D. A ' ( 5;1)

Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy cho v = ( −2;3) , ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 . Gọi ( C ') là ảnh của
đường tròn ( C ) qua phép tịnh tiến Tvr . Phương trình ( C ') có dạng:
A. ( x + 4 ) + ( y − 6 ) = 9

B. ( x − 4 ) + ( y + 6 ) = 9

C. x 2 + y 2 = 9

D. ( x − 4 ) + y 2 = 9

2

2

2

2

2

3
3
2
Câu 30. Cho hai đồ thị của hàm số f ( x ) = x + 3 x + 1 (C) và g ( x ) = x − 6 x + 15 x − 2

r

r

( C ') .Tìm

vectơ v = ( a; b ) sao cho khi tịnh tiến đồ thị ( C ) theo vectơ v ta được đồ thị ( C ') .
r
v
A. = ( 2; −9 )

r
v
B. = ( 2;11)

r
v
C. = ( −3;2 )

r

r
v
D. = ( −9;2 )

Câu 31. Trong mặt phẳng Oxy, phép tịnh tiến điểm M ( 1;0 ) qua v là phép đồng nhất khi:
r

A. v = ( 1;0 )

r

B. v = ( 0;1)

r

C. v = ( 1;1)

r

D. v = ( 0;0 )

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 5


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn ( C ) : ( x + m − 2 ) + ( y − 3 − m ) = 10 ;
2

r
2
+ ( y + 5 − m ) = 10 . Biết ( C ') = Tvr ( ( C ) ) . Tìm v ?
r
r
r
A. v = ( 2; −8 )
B. v = ( 6 − 2m;2m − 2 ) C. v = ( 3 − m; m − 1)

( C ') : ( x − 4 + m )

2

2

r

D. v = ( 6; −2 )

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B
Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2; m ) , bán kính R = m 2 + 5 .
2 = −1 + 3
⇒ m = 2.
m = −3 + 5

Đường tròn ( C ') có bán kính tâm I ' ( −1; −3) , bán kính R ' = 3 . Ta có 
Câu 2. Chọn đáp án D

r

Giả sử M ( x; y ) ∈ ( P ) là ảnh của M ( x '; y ') ∈ ( P ') qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 0;1)
x = x '
x ' = x
⇔
⇒ y − 1 = − x2 − 2x + 1 ⇔ y = − x2 − 2x + 2
 y = y '+ 1  y ' = y − 1

Ta có 

Câu 3. Chọn đáp án B

uur
Ảnh tam giác FEO là qua TuAB
là ∆ODC .

Câu 4. Chọn đáp án D

r

Đường tròn ( C ) có tâm I ( 4;5 ) , đường tròn ( C ') có tâm I ' ( 7; −2 ) ⇒ v = ( 3; −7 )
Câu 5. Chọn đáp án A
Ta có A ( 2;0 )
Câu 6. Chọn đáp án D
x ' = x + 3
 x = x '− 3
⇔
y' = y − 2
 y = y '+ 2

Giả sử M ( x '; y ') ∈ d ' là ảnh của điểm M ( x; y ) ∈ d ⇒ 
Suy ra 2 ( x '− 3) − 3 ( y '+ 2 ) + 1 = 0 ⇔ 2 x '− 3 y '− 11
Câu 7. Chọn đáp án A
x ' = x + a
y' = y + b

Ta có 

Câu 8. Chọn đáp án A

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 6


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Ta có A ' ( 5;7 )
Câu 9. Chọn đáp án C
Có 1 phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó.
Câu 10. Chọn đáp án B
Ta có ( C ') : ( x + 5 ) + ( y − 6 ) = 16
2

2

Câu 11. Chọn đáp án C
Ta có d ' : 2 x + y − 8 = 0
Câu 12. Chọn đáp án D
Ta có d ' : x − 2 y + 4 = 0
Câu 13. Chọn đáp án B
Ta có ( C ') : x 2 + ( y − 3) = 4
2

Câu 14. Chọn đáp án B
r
u = 3;−2

(
)
A ( 1;2 ) , B ( 0; −1) 
→ A ' ( 4;0 ) , B ( 3; −3 ) ⇒

x−4 y
= ⇒ 3 x − y − 12 = 0
1
3

Câu 15. Chọn đáp án A

( C ) : x2 + y 2 − 4x − 2 y − 4 = 0 ⇔ ( x − 2)
r

2

+ ( y − 1) = 9 ⇒ I ( 2;1) ; R = 3
2

Theo công thức tịnh tiến T : u = ( 2;1) ⇒ J ( 4;2 ) ⇒ ( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 9 .
2

2

Câu 16. Chọn đáp án A
r

Ta có u = ( 1; −2 ) ⇒ B ' ( 3;1) , C ' ( 7;5 )
Câu 17. Chọn đáp án C

uuu
r
AB = ( 1; −7 ) ; M ( −4;3) ⇒ M ' ( −3; −4 )

Câu 18. Chọn đáp án B
C ( 6;1)

Câu 19. Chọn đáp án A
uuu
r

r

Biến AB thành chính nó là vectơ 0
Câu 20. Chọn đáp án D
Câu 21. Chọn đáp án D

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 7


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
2

1
17
2

1 
x + y − x − 2 y − 3 = 0 ⇔  x − ÷ + ( y − 1) = ⇒ I  ;1÷
2
4


2 
2

2

Tịnh

tiến

theo

phương

Ox

về

bên

trái

3

đơn

vị:

r
 5 
v = ( −3;0 ) ⇒ J  − ;0 ÷ ⇒ ( C ' ) : x 2 + y 2 + 5 x − 2 y + 3 = 0

 2 

Câu 22. Chọn đáp án C
r
 2 13  uuu

 10 10 

Ta có G  ; ÷, AB = ( −4; −1) ⇒ G '  − ; ÷
3 3 
 3 3
Câu 23. Chọn đáp án B

r

Dễ thấy hai tâm là I ( 1; −2 ) và J ( −3;4 ) suy ra u = ( 4; −6 )
Câu 24. Chọn đáp án D
2
2
Tâm I ( 2;3) suy ra ảnh là tâm J ( 4;4 ) , suy ra ảnh đường tròn: ( x − 4 ) + ( y − 4 ) = 25

Câu 25. Chọn đáp án B
2
2
Tâm I ( 3; −1) suy ra tâm tạo ảnh J ( 6; −3) , suy ra tạo ảnh là đường tròn ( x − 6 ) + ( y + 3) = 25 .

Câu 26. Chọn đáp án B

uur

r

Ta có I ( 2; −3) , khi đó II ' = u ⇔ ( xI ' − 2; y I ' + 3) = ( 1; −2 )
⇒ I ' ( 3; −5 ) ⇒ ( C ') : ( x − 3) + ( y + 5 ) = 9 .
2

2

Câu 27. Chọn đáp án A

uu
r
uuuuur r
Tvr ( M ) = M ' ⇔ MM ' = v
uu
r
uur
uuuuuu
r
r
uuuuur r ⇒ Tvr ( M ) = M ' = T− vr ( M ') = M
Ta có  uur
T− vr ( M ') = M ⇔ M ' M = −v ⇔ MM ' = v

Câu 28. Chọn đáp án C
uuuu
r r

−2 − x A ' = 3
⇒ A ' ( −5;7 )

5
−
y
=
−
2
A'


Ta có A ' A = v ⇔ ( −2 − x A ' ;5 − y A ' ) = ( 3; −2 ) ⇔ 
Câu 29. Chọn đáp án C
Ta có ( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) = 9 ⇒ I ( 2; −3)
2

uur

2

r

Khi đó II ' = v ⇔ ( xI ' − 2; yI ' + 3) = ( −2;3) ⇒ I ' ( 0;0 ) ⇒ ( c ') : x 2 + y 2 = 9
Câu 30. Chọn đáp án B

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 8


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
 y = x3 + 3 x + 1

x ' = x + a
⇒
Ta có 
3
2
 y ' = y + b  y + b = ( x + a ) − 6 ( x + a ) + 15 ( x + a ) − 2
⇒ x 3 + 3x 2 a + 3xa 2 + a 3 − 6 ( x 2 + 2 xa + a 2 ) + 15 ( x + a ) − 2 − b = x 3 + 3x + 1
3a − 6 = 0
r
a = 2

⇒ 3a 2 − 12a + 15 = 3
⇒
⇒ v = ( 2;11)
a 3 − 6a 2 + 15a − 2 − b = 1 b = 11


Cách khác nhanh hơn như sau:
r
a = 2
⇒ v = ( 2;11)
b = 12 − 1 = 11

Ta có g ( x ) = ( x − 2 ) + 3x + 6 = ( x − 2 ) + 3 ( x − 2 ) + 12 ⇒ 
2

3

Câu 31. Chọn đáp án D
Phép tịnh tiến theo vectơ–không chính là phép đồng nhất.

Câu 32. Chọn đáp án A
r uur
 I ( 2 − m; m + 3)
⇒ v = II ' = ( 2; −8 )
 I ' ( 4 − m; m − 5 )

Ta có 

II. CHUYÊN ĐỀ: PHÉP BIẾN HÌNH
uur
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến TuDA
biến:

A/. B thành C.

B/. C thành A.

C/. C thành B.

D/. A thành D.

uur uuur
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến TuAB
+ AD biến điểm A thành điểm:

A/. A’ đối xứng với A qua C.
C/. O là giao điểm của AC và BD.

B/. A’ đối xứng với D qua C.
D/. C.

Câu 3: Cho đường tròn (C) có tâm O và đường kính AB. Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại điểm A. Phép
uur
tịnh tiến TuAB
biến ∆ thành:

A/. Đường kính của (C) song song với ∆ .

B/. Tiếp tuyến của (C) tại điểm B.

C/. Tiếp tuyến của (C) song song với AB.

D/. Cả 3 đường trên đều không phải.

ur

Câu 4: Cho v ( −1;5 ) và điểm M ' ( 4; 2 ) . Biết M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tvur . Tìm M.

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 9


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
A/. M ( 5; −3) .

B/. M ( −3;5 ) .

C/. M ( 3;7 ) .

D/. M ( −4;10 ) .

ur

2
2
Câu 5: Cho v ( 3;3) và đường tròn ( C ) : x + y − 2 x + 4 y − 4 = 0 . Ảnh của ( C ) qua Tvur là ( C ') :

A/. ( x − 4 ) + ( y − 1) = 4 .

B/. ( x − 4 ) + ( y − 1) = 9 .

C/. ( x + 4 ) + ( y + 1) = 9 .

D/. x 2 + y 2 + 8 x + 2 y − 4 = 0 .

2

2

2

2

2

2

ur

Câu 6: Cho v ( −4; 2 ) và đường thẳng ∆ ' : 2 x − y − 5 = 0 . Hỏi ∆ ' là ảnh của đường thẳng ∆ nào qua Tvur :
A/. ∆ : 2 x − y − 13 = 0 .

B/. ∆ : x − 2 y − 9 = 0 .

C/. ∆ : 2 x + y − 15 = 0 .

D/. ∆ : 2 x − y − 15 = 0 .

Câu 7: Khẳng định nào sai:
A/. Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
B/. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C/. Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.
D/. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Câu 8: Khẳng định nào sai:
A/. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
B/. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
C/. Nếu M’ là ảnh của M qua phép quay Q( O ,α ) thì ( OM '; OM ) = α .
D/. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M ( −6;1) qua phép quay Q( O ,90 ) là:
o

A/. M ' ( −1; −6 ) .

B/. M ' ( 1;6 ) .

C/. M ' ( −6; −1) .

D/. M ' ( 6;1) .

Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép quay Q( O ,90 ) , M ' ( 3; −2 ) là ảnh của điểm :
o

A/. M ( 3; 2 ) .

B/. M ( 2;3) .

C/. M ( −3; −2 ) .

D/. M ( −2; −3) .

Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M ( 3; 4 ) qua phép quay Q( O ,45 ) là:
o

7 2 7 2
;
÷.
2 ÷
 2


A/. M ' 



2 7 2

B/. M '  − ;
÷.
2 ÷

 2


[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 10


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN


2

2

7 2

C/. M '  − ; −
÷.
2 ÷
 2


2

;−
D/. M ' 
÷.
2 ÷
 2



Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép quay Q( O ,−135 ) , M ' ( 3; 2 ) là ảnh của điểm :
o

5 2 5 2 
;−
÷.
2 ÷
 2




 5 2

2

2

B/. M  − ; ÷
÷.
 2 2 

A/. M 

2

 2

;
C/. M  −
÷.
2
2 ÷



2

D/. M  ; −
÷.
2 ÷
 2


II/. Bài tập tự luận:

ur

1/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v ( 3; 4 ) và đường thẳng ∆ : x + y − 6 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ '
là ảnh của ∆ qua phép tịnh tiến Tvur .
2/. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : 2 x + y − 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ ' là ảnh của
∆ qua phép quay Q( O ,−90o ) .
2
2
3/. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y + 4 x + 4 y − 8 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C ')

là ảnh của ( C ) qua phép quay Q( O ,120 ) .
o

ur

2
2
4/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v ( −3; 2 ) và đường tròn ( C ) : x + y − 4 x − 4 y − 1 = 0 . Viết phương trình

đường tròn ( C ') là ảnh của ( C ) qua phép tịnh tiến Tvur .
ur

5/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v ( 5; −4 ) và điểm M ( 3; 2 ) . Gọi M ' là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tvur ,
M '' là ảnh của M ' qua phép quay Q( O , −90o ) . Tìm tọa độ M '' .
ur

6/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v ( −1;3) và điểm M ( 4;7 ) . Gọi M ' là ảnh của M qua phép quay Q( O ,90 ) ,
o

M '' là ảnh của M ' qua phép tịnh tiến Tvur . Tìm tọa độ M '' .

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 11


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
ur

7/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v ( 4;1) và đường thẳng ∆ : x + 2 y − 5 = 0 . Gọi ∆ ' là ảnh của ∆ qua phép
quay Q( O ,90 ) , ∆ '' là ảnh của ∆ ' qua phép tịnh tiến Tvur . Viết phương trình ∆ '' .
o

ur

2
2
8/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v ( 2;5 ) và đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) = 25 . Gọi ( C ') là ảnh của ( C )

qua phép tịnh tiến Tvur , ( C '') là ảnh của ( C ') qua phép quay Q( O ,90 ) . Viết phương trình ( C '') .
o

9/. Cho đường tròn C ( I , R ) , trên ( C ) lấy hai điểm cố định B và C, một điểm A thay đổi trên ( C ) . Họi H
là trực tâm ∆ABC , B’ là điểm đối xứng với B qua tâm I.
uuuur

uuuuu
r

a/. CMR AH = B ' C

b/. Tìm tập hợp điểm H khi A thay đổi.

10/. Cho đường tròn C ( I , R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn ( C ) . Điểm B thay đổi trên đường tròn ( C ) .
Dựng ∆ABC đều. Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi.
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

D

B

A

B

D

B

C

A

D

B

C

IV.

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN

I.Tóm tắt lý thuyết :

r

r

1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ v ( a; b ) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v ( a; b ) là phép
uuuuur r
biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho MM ' = v
Ký hiệu : Tvr .
2.Các tính chất của phép tịnh tiến :
a/ Tính chất 1:
*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’.

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 12


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
b/ Tính chất 2:
* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự của ba điểm đó .
HỆ QUẢ :
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn
thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một
đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó .
3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
r

- Giả sử cho v ( a; b ) và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’
x ' = a + x
y' = y +b

thì M’ có tọa độ là : 

4. Ứng dụng của phép tịnh tiến
BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM
Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình
H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ).
Cách giải :
- Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc
tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ).
- Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc

tơ cố định .
- Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích .
Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó .
Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định .
Giải
- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho
uuur uuuur
nên B’C là một véc tơ cố định ⇒ AH = B ' C . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến
thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của
r uuuur
(O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v = B ' C

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 13


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ
uuuur uuuur
: OO ' = B ' C . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường
tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .
Giải :

uuur uuur
- Theo tính chất hình bình hành : BA=DC ⇒ AB = CD . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên
uuur
uuur
AB cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo AB , cho nên D chạy

trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O

uuuur uuu
r

- Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ OO ' = AB . Từ O’ quay
đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D.
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và
uuuuur uuu
r
điểm M’ trên (O’R’) sao cho MM ' = AB .
Giải
a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc
uuur
tơ AB . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép
tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn
(O’;R’).
b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R)
với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB
c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho .
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường
thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ
và NPQ ?
Giải
- Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt
uuuur
uuu
r uuu
r

QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : MH = 2OA = BA . Vậy phép
uuu
r
tịnh tiến theo BA biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên
uuu
r
đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến BA .
- Tương tự đối với tam giác NPQ .
- Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh
của A,B .

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 14


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN

BÀI TOÁN 2:
TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN
NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )
Cách giải
• Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là
đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ).
• Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất
• Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố
dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi
Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d .
Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một
đoạn cho trước không đổi .

Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường
thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng
AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất .
Giải

uuuu
r ur

- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên MN = U .
ur

- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM .
- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy
điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất
.
Giải
- Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực
hiện theo cách của bài toán trên như sau :
uuur

ur

uuuur

- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo CD = U = QQ ' .Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ .
Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng .
- Các bước thực hiện :

uuur

ur

uuuur

+/ Tìm Q’ sao cho : CD = U = QQ '
+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 15


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .
BÀI TOÁN 3:

r

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO u = ( a; b ) KHI
BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ).
Cách giải :
• Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C )
• Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến
• Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 . Đó chính là phương trình của (C’ ) cần
tìm .
r

Ví dụ . Trong mặt phẳng (Oxy) cho u = ( 1; −2 )
a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :

+/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ?
+/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0
b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4x + y − 1 = 0
c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) :
d/ Viết phương trình ảnh của (H) :

x2 y 2
+
=1
9
4

x2 y 2
−
=1
16 9

Giải
a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng. Theo công
x ' = 1+ x
 x = x '− 1
⇒
 y ' = −2 + y  y = y '+ 2

thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có : 

Thay x,y vào phương trình các đường ta có :
- Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 ⇔ 3x’-5y’-12=0
- Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0
b/ Đường tròn (C’) : ( x '− 1) + ( y '+ 2 ) − 4 ( x '− 1) + y '+ 2 − 1 = 0 hay : x 2 + y 2 − 6x + 5 y + 10 = 0

2

x '− 1)
c/ Đường (E’) : (
9

2

2

( y '+ 2 )
+
4

2

( x − 1)
=1⇔
9

2

( y + 2)
+
4

2

=1

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 16


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
x '− 1)
d/ Đường (H’): (

2

16

( y '+ 2 )
−

2

9

( x − 1)
=1⇔
16

2

( y + 2)
−

2

9

=1

Bài tập về nhà :
Bài 1. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và một điểm A trên (O;R) . Xác định
uuuu
r uuu
r
điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho MN = OA .
Bài 2. ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9)
Bài 3. ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang 7 )
Gợi ý

uuuu
r uuu
r
uuur : M → N . Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) . Mặt khác N lại
Bài 1. Vì : MN = OA ⇒ TOA

nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách tìm :
- Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N
- Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M
Bài 2.
a/ Bài 4-trang 9-HH11NC.

uuur ur

- Vì A,B cố định suy ra : AB = U .

uuuuur uuur

uuur

uuuuur

uuur uuur

uuu
r

- Từ giả thiết : MM ' + MA = MB ⇒ MM ' = MB − MA = AB . Chứng tỏ : TuABuur : M → M ' .
- Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) .
b/ Bài 5.
 x1' = x1cosα − y1 sin α + a
 x2' = x2cosα − y2 sin α + a
; N ' '
- Tọa độ của M’ và N’ là : M '  '
 y2 = x2 sin α + y2 cosα + b
 y1 = x1 sin α + y1cosα + b

- Khoảng cách d giữa M,N và khoảng cách d’ giữa M’N’ .
Ta có : MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2

M 'N ' =

( x2 − x1 )

2

2

( cos α + sin α ) + ( y
2

2

2

− y1 )

2

( cos α + sin α ) = ( x
2

− x1 ) + ( y2 − y1 )
2

2

2

2

- Phép F là phép dời hình
x ' = x + a
. Đây là công thức của phép tịnh tiến .
y ' = y +b

- Khi : α = 0 → sin α = 0; cosα = 1 ⇒ 
c/ Bài 6.

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 17


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
- Nếu F1 : M ( x; y ) → M ' ( y; − x ) ; N ( x '; y ') → N ' ( y '; − x ' ) thì khoảng cách giữa hai điểm MN và M’N’
là : MN = ( x '− x ) + ( y '− y ) ; M ' N ' = ( y '− y ) + ( − x '+ x ) . Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là
2

2

2

2

phép dời hình .
- Nếu : F2 : M ( x; y ) → M ' ( 2x; y ) ; N ( x '; y ' ) → N ' ( 2x '; y ' ) . Khi đó khoảng cách hai điểm là :
MN =

( x '− x )

2

+ ( y '− y ) ; M ' N ' = 4 ( x '− x ) + ( y '− y ) .
2

2

2

- Rõ ràng : MN< M’N’ : Do đó đây không phải là phép dời hình vì theo định nghĩa : Phép dời hình
là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách giữa chúng .
Bài 3.
a/ Bài 2- trang 7.
- Từ B và C kẻ các đường thẳng // với AG . Sau đó đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ là hình
bình hành )
- A’ sẽ trùng với G . Tam giác GB’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG .
uuur

uuur

- Nếu D là ảnh của phép tịnh tiến theo véc tơ AG thì : AG = AD ⇒ D phải trùng với G .
b/ Bài 3-trang 7.
 xA' = 3 − 1 = 2
↔ A ' ( 2;7 ) và tọa độ của điểm
 yA' = 5 + 2 = 7

- Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến : A ' = 
 x = −1 − 1 = − 2
B ' =  B'
↔ B ' = ( −2;3) .
 yB ' = 1 + 2 = 3

- Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d và M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : là ảnh của đường thẳng
d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v thì theo công thức tọa độ củ phép tịnh tiến ta có :

x ' = x −1
 x = x '+ 1
M '
⇒
. Thay vào phương trình của d : (x’+1)-2(y’-2)+3=0 . Hay d’: x’-2y’+8=0
 y ' = y + 2  y = y '− 2

.
Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. ĐỊNH NGHĨA :

* Cho đường thẳng d . Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó . Biến mỗi điểm M không
thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ , được gọi là phép đối xứng qua
đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 18


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox . Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua
x ' = x
( Đó chính là biểu thức tọa độ )
y' = −y

phép đối xứng trục thì : 
3. TÍNH CHẤT

a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ .
b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn
thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một
đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính .
4. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Định nghĩa :
* Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính
nó .
5. ỨNG DỤNG

BÀI TOÁN 1. TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM
Bài toán :
Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi . Tìm quỹ tích của điểm M khi A thay đổi .
Cách giải .
• Bước 1: Xét một vị trí bất kỳ của A và M . Sau dó tìm trên H có một đường thẳng cố định là
trung trực của đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ).
• Nếu A chạy trên một đường (C ) nào đó , theo tính chất của phép dối xứng trục , thì M chạy
trên đường (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục .
Ví dụ 1. ( Bài 10-tr13-HH11NC ) .
Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy
dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H nằm trên một đường tròn cố định .
Giải
- Vẽ hình . Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC . Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ . Nối CH’
- Chứng minh IH=IH’ . Thật vậy
Ta có : ∠A = ∠BCH ' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)
CH ⊥ AB
⇒ ∠A = ∠BCH ( 2 ) . Từ (1) và (2) suy ra : ∠BCH = ∠BCH '
CI ⊥ AH '

Mặt khác : 

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 19


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vuông góc với HH’ , chứng tỏ BC là
đường trung trực của HH’ . Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC . Cho nên khi A chạy trên đường
tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn
(O;R) qua phép đối xứng trục BC
- Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng . Vì thế
trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C .
* Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC .
- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung
điểm I của A’H .
- A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH )
- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của
HH’ . Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng
nhau qua BC.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H
a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng
nhau
b/ Gọi O1 , O2 , O3 là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm
O1 , O2 , O3 bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Giải .
a/ Giả sử O1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví dụ 1 O1
chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương
tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) .

b/ Ta hoàn toàn chứng minh được O1 , O2 , O3 là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB .
Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam
giác O1O2O3 .
BÀI TOÁN 2. TÌM ĐIỂM
CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B . TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO
MA+MB NHỎ NHẤT. ( Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ), MA − MB ĐẠT GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm về hai phía của d )
Cách giải :
• Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 20


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
• Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M . Là điểm cần tìm .
• Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất .
Ví dụ 1. (Bài 9-tr13- HH11NC)
Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Hãy tìm điểm B trên Ox , điểm C trên Oy
sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất .
Giải .
- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox
- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm
- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .
Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua
Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) . Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA
=CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) ).
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d . Tìm điểm M trên d sao cho
MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?

Giải
- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d
- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .
- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B .
- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B ≥ A ' B . Dấu bằng chỉ xảy ra khi
A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’ .
Ví dụ 3. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho
MA − MB đạt GTLN .
Giải .
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d
- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .
- Thật vậy : MA − MB = MA '− MB = A ' B . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó :
M ' A − M ' B = M ' A '− M ' B ≤ A ' B . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với

M’.
Ví dụ 4 . Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 21


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực
của đoạn thẳng MM’
b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo
thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài .
Giải
Vẽ hình :
a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán

- Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R)
qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với
(O’;R’)
- Từ đó suy ra cách tìm :
• Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần
lượt là (C’) và (C’’)
• Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại M 1 , M 2 . Sau đó kẻ hai đường thẳng
d’’ và d’’’ qua M 1 , M 2 cắt (O;R) và (O’;R’) tại M '1 ; M '2
• Các điểm cần tìm là ( M 1M '1 ) và ( M 2 M '2 )
b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngoài của góc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng
nhau qua d . Từ đó suy ra cách tìm :
- Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) là ảnh
của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến
chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đó ta suy ra cách tìm M :
• Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d
• Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M . Chính là điểm cần tìm
.
• Tương tự áp dụng cho (O’;R’)
- Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d .
BÀI TOÁN :3
TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 . Tìm tọa độ điểm B đối xứng với
điểm A qua đường thẳng d ?
Cách giải :

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 22

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
• Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của AB thì điều
uuur ur
 AB.U = 0
kiện : 
 H ∈ d

( 1)
( 2)

• Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B
Ví dụ 1.
Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x
Giải
- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua
uuuu
r ur
 MN .U = 0 ( 1)
d thì điều kiện là : 
( 2)
 H ∈ d

uuuu
r
ur
 x+ 2 y +3
;
- Ta có : MN = ( x − 2; y − 3) U = ( 1;1) H = 
÷.
2 

 2
( x − 2 ) .1 + ( y − 3) .1 = 0
x + y = 5  y = 2

⇔
⇒
⇔ N = ( 3; 2 )
- Điều kiện (*) ⇔  x + 2 y + 3
x
=
y
+
1
x
=
3
=



 2
2

Ví dụ 2.
Cho điểm M(2;-3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d : y-2x=0
Giải
- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua
uuuu
r ur
 MN .U = 0 ( 1)

d thì điều kiện là : 
( 2)
 H ∈ d

uuuu
r
ur
 x + 2 y −3
;
- Ta có : MN = ( x − 2; y + 3) U = ( 1; 2 ) H = 
÷.
2 
 2
1

( x − 2 ) .1 + ( y + 3) .2 = 0
y=

x + 2 y + 4 = 0 

 14 1 
3
⇔
⇒
⇔ N = − ; ÷
- Điều kiện (*) ⇔  x + 2 y − 3
=
 3 3
y = x +5


 x = − 14
 2
2
3


BÀI TOÁN :4

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 23


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
CHO ĐƯỜNG (C ) VÀ ĐƯỜNG THẲNG d HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C’)
LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d
CÁCH GIẢI
• Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B
• Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d
• Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương trình đường thẳng
(m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d .
Giải
 x − 2 y − 2 = 0  x = −2
⇒
.A(-2;-2)
x − y = 0
 y = −2

- Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : 

- Trên d’ lấy điểm M (3;3) . Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d .Gọi H là trungđiểm của
uuuu
r ur
 MN .U = 0 ( 1)
MN thì điều kiện để M,N đối xứng nhau qua d là : 
(*)
( 2)
 H ∈ d
uuuu
r
ur
MN
=
x
−
3;
y
−
3
U
= ( 2;1)
(
)
- Ta có :

 x+3 y +3
H =
;
÷

2 
 2

( x − 3) 2 + ( y − 3) .1 = 0
2x + y = 9  x = 5

⇔
⇒
↔ N = ( 5; −1) .
- Điều kiện (*) ⇔  x + 3  y + 3 
 x − 2 y = 7  y = −1
 2 − 2.  2 ÷− 2 = 0



uuur
- Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có véc tơ chỉ phương là AN = ( 7;1) , nên (m) có

phương trình là :

x+2 y+2
=
⇔ x − 7 y − 12 = 0 .
7
1

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 . Lập phương trình đường thẳng (m)
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ .
Giải
- Tìm tọa độ điểm A là giao của d với d’ . Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ hai phương trình :

3

x=−

2x
−
y
+
2
=
0


 3 8
7
⇔
⇒ A = − ; ÷

 7 7
x + 3y − 3 = 0
y = 8

7

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 24


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN

- Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2)
- Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ . Khi đó nếu M,N đối xứng nhau qua d’

uuuu
r ur
 MN .U = 0 ( 1)
ur
thì điều kiện : 
(*) Với H là trung điểm của MN , U là véc tơ chỉ phương của d’ . Ta
( 2)
 H ∈ d
uuuu
r
ur
 x y+2
có : MN = ( x; y − 2 ) U = ( 3; −1) H =  ;
÷.
2 2 
3

3x. − ( y − 2 ) .1 = 0
x=−

3xy
=
−
2




 3 1
5
⇔
⇒
↔ N = − ; ÷
- Điều kiện (*) ⇔  x
 y+2
 5 5
x + 3y = 0  y = 1
 2 + 3.  2 ÷− 3 = 0




5
uuur

ur





- Đường thẳng (m) =(AN) đi qua N =  − ; ÷ và có véc tơ chỉ phương AN =  − ; − ÷/ /U = ( 2;11)
 5 5
 35 35 
.
3 1

Do đó (m) :

6

33

3
1
y−
5=
5 = 0 ⇔ 11x − 2 y + 7 = 0 .
2
11

x+

Ví dụ 3 . Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4x + 2 y + 1 = 0 và đường thẳng d : 2x-y+2=0. Hãy viết
phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục d .
Giải
Do tính chất của phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có cùng bán kính . Cho nên ta chỉ cần tìm
tọa độ tâm I’ của (C’) đối xứng với tâm I của (C ) .
Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2 .
ur

- Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , U = ( 1; 2 ) là véc tơ chỉ phương của đường
uur ur
 II '.U = 0
thẳng d . Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : 
 H ∈ d

( 1)

(*)
( 2)

uur
ur
 x + 2 y −1 
II
'
=
x
−
2;
y
+
1
U
= ( 1; 2 ) H = 
;
(
)
-Ta có :
÷.
2 
 2
( x-2 ) .1 + ( y + 1) .2 = 0
 x+y = 0
x = 1

⇔
⇒

↔ I ' = ( −3;3)
- Điều kiện (*) ⇔   x + 2   y − 1 
 2 x − y + 9 = 0  y = −1
2.  2 ÷−  2 ÷+ 2 = 0
 

 

- Vậy (C’): ( x + 3) + ( y − 3) = 4 .
2

2

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 25