Tổng hợp các dạng toán tịnh tiến biến hình lớp 11 ôn thi năm học 2017 2018

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN

TỔNG HỢP BÀI TẬP PHÉP
TỊNH TIẾN

–

PHÉP BIẾN

HÌNH CÁC DẠNG TRONG ÔN

11
HỌC 2017-2018 (
QUYỀN )
Mục Lục
THI TOÁN LỚP

NĂM
ĐỘC

:

1. 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN
3. PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 1

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
I. 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
2

2

Câu 1. Tìm m để  C  : x 2  y 2  4 x  2my  1  0 là ảnh của đường tròn  C ' :  x  1   y  3  9


qua phép tịnh tiến theo vectơ v   3;5  .
A. m  2

B. m  2

C. m  3

D. m  3

Câu 2. Cho parabol  P  : y  x 2  mx  1 . Tìm m sao cho  P  là ảnh của  P ' : y   x 2  2 x  1 qua


phép tịnh tiến theo vectơ v   0,1 .
A. m  1

B. m  1

C. m  2

D. m  

 là:
Câu 3. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ảnh tam giác FEO là qua T
AB

A. ABO
Câu

4.

 C ' :  x  7 

B. ODC
Trong

2

mặt

phẳng

C. AOB
Oxy,

cho

đường

D. OCD
tròn

C  :  x  4

2

2

  y  5   36

và


 x  x ' a
2
  y  2   36 là ảnh của  C  qua 
. Vậy tọa độ v là:
 y  y ' b

A.  3;7 

B.  3; 7 

C.  3;7 

D.  3; 7 



Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho v   2; 1 . Tìm tọa độ điểm A biết ảnh của nó là điểm A '  4; 1


qua phép tịnh tiến theo vectơ v :
A. A  2;0 

B. A 1;1

C. A  2;3

D. A  0; 2 


Câu 6. Ảnh d ' của đường thẳng d : 2 x  3 y  1  0 qua phép tịnh tiến theo vectơ v   3; 2  là:
A. d ' : 2 x  y  1  0

B. d ' : 2 x  3 y  1  0

C. d ' : 3x  2 y  1  0

D. d ' : 2 x  3 y  11  0

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v   a; b  . Với mỗi điểm M  x; y  ta có M '  x '; y '  là ảnh

 
của M qua phép tịnh tiến theo v . Khi đó MM '  v sẽ cho
x '  x  a
y'  y  b

A. 

x '  x  a
y'  y  b

B. 

 x  x ' a
 y  y ' b

 x  x ' a
 y  y ' b

C. 

D. 


Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A  4;5  . Phép tịnh tiến v  1; 2  biến điểm A thành
điểm nào trong các điểm sau đây?
A. A '  5;7 

B. A ' 1;6 

C. A '  3;1

D. A '  4;7 

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 2


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN

Câu 9. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó?
A. 0

B. 2

C. 1
2

Câu 10. Cho đường tròn  C  :  x  2    y  2 

2

D. Vô số


 16 và v   3;4  . Đường tròn  C ' là ảnh của

 C  qua phép Tv . Vậy  C ' cần tìm là:
2

2

B.  x  5    y  6   16

2

2

D.  x  4    y  5   16

A.  x  5    y  3  16
C.  x  3   y  6   16

2

2

2

2

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường thẳng  d  : 2 x  y  3 qua phép tịnh tiến

v  1;3 là:

A.  x  2 y  6

B. 2 x  y  6

C. 2 x  y  8

D.  x  2 y  8


Câu 12. Cho đường thẳng d : x  2 y  1  0 . Ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ u  1; 2  là:
A. 2 x  y  4  0

B. x  2 y  1  0

C. 2 x  y  4  0

D. x  2 y  4  0

2

Câu 13. Cho đường tròn  C  :  x  1  y 2  4 . Ảnh của  C  qua phép tịnh tiến theo vectơ

u   1;3 là:

2

2

A. x 2   y  3  10

B. x 2   y  3  4

C. x  2 y  z  1  0

D. x  y  z  4  0

Câu 14. Cho 2 điểm A 1; 2  và B  0; 1 . Ảnh của đường thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ

u   3; 2  là:

A. 3 x  y  1  0

B. 3 x  y  12  0

C. x  3 y  9  0

D. x  3 y  12  0


Câu 15. Ảnh của đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  4  0 qua phép tịnh tiến theo vectơ u   2;1 .
2

2

B. x 2  y 2  9

2

2

D. x 2  y 2  3

A.  x  4    y  2   9
C.  x  4    y  2   3



Câu 16. Cho 3 điểm A 1;2  , B  2;3 , C  6;7  . Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ u các điểm A, B,
C lần lượt biến thành các điểm A '  2;0  , B ', C ' . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. C '  7;5 

B. B '  3;5 



C. u  1; 2 

D. C '  7;9 

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 3


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;3 và B  2; 4  , tọa độ M ' là ảnh của
 là:
M  4;3 qua phép tính tiến T
AB

A. M '  4;3

B. M '  5;10 

C. M '  3; 4 

D. M '  3; 4 


Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy cho A  3; 1 , phép tịnh tiến theo vectơ v   3;2  thành điểm nào
sau đây:
A. B  6;3

B. C  6;1

C. D  0;3


D. E  0; 3






Câu 19. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến vectơ AB thành vectơ CD với AB  CD ?
A. Một

B. Hai

C. Ba

D. Bốn


Câu 20. Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ' được gọi

là phép tịnh tiến theo vectơ v thỏa mãn


 





A. MM '  v
B. M ' M  v
C. MM '  kv
D. MM '  v

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn

 C  có phương trình:

x2  y2  x  2 y  3  0

A. x 2  y 2  7 x  2 y  9  0

B. x 2  y 2  5 x  2 y  3  0

C. x 2  y 2  7 x  2 y  9  0

D. x 2  y 2  5 x  2 y  3  0

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  3;6  , B  1;5  , C  0; 2  . Gọi G là trọng tâm của tam


giác ABC. Ảnh của G qua phép tịnh tiến theo vectơ AB là
26 10
A.  ;  
 3

10 26
B.  ;  

3

 3

3 

10 10
C.   ; 


26 26
D.  ;  

3 3

 3

3 

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn  C  và  C ' có phương trình lần lượt là


x 2  y 2  2 x  4 y  11  0 và x 2  y 2  6 x  8 y  9  0 . Phép tịnh tiến theo vectơ u biến đường tròn

 C ' thành đường tròn  C  khi đó tọa độ vectơ u là:

A.  4;6 

B.  4; 6 

C.  4;6 

D. Đáp án khác


Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến Tv với v   2;1 , cho đường tròn

C  :  x  2

2

2

  y  3  25 . Tìm ảnh của đường tròn  C  ?
2

2

A.  x  2    y  4   25

2

2

B.  x  2    y  3  25

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 4

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
2

2

2

C.  x  3   y  2   25

2

D.  x  4    y  4   25
2

2

Câu 25. Tạo ảnh của đường tròn  C ' :  x  3   y  1  25 qua phép tịnh tiến theo vectơ

v   3;2  là đường tròn  C  có phương trình
2

B.  x  6    y  3  25

2

2

D. x 2   y  1  25

A. x 2   y  1  5

2

2

C. x 2   y  1  25


2

2

Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy và vectơ u  1; 2  . Ảnh của đường tròn  C  :  x  2    y  3  4


qua phép tịnh tiến vectơ u là:
2

2

A.  C ' :  x  1   y  3  4

2

2

2

2

B.  C '  :  x  3   y  5   4

2

C.  C ' : x 2   y  5   4

D.  C '  :  x  2    y  1  4

Câu 27. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Tv  M   M '  T
 M '  M
v

B. Tv  M   M '  Tv  M '  M

C. Tv  M   M '  T
M   M '
v

D. Tv  M   M '  T
 M '  M '
v



Câu 28. Cho điểm A  2;5  và vectơ v   3; 2  . Tìm tọa độ của A ' sao cho A là ảnh của A ' qua


phép tịnh tiến vectơ v

A. A '  2;4 

B. A '  2;2 

C. A '  5;7 

D. A '  5;1



Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy cho v   2;3 ,  C  : x 2  y 2  4 x  6 y  4  0 . Gọi  C ' là ảnh của
đường tròn  C  qua phép tịnh tiến Tv . Phương trình  C ' có dạng:
2

2

2

2

A.  x  4    y  6   9

B.  x  4    y  6   9

C. x 2  y 2  9

D.  x  4   y 2  9

2

Câu 30. Cho hai đồ thị của hàm số f  x   x 3  3 x  1 (C) và g  x   x 3  6 x 2  15 x  2



vectơ v   a; b  sao cho khi tịnh tiến đồ thị  C  theo vectơ v ta được đồ thị  C ' .




A. v   2; 9 
B. v   2;11
C. v   3;2 
D. v   9; 2 

Câu 31. Trong mặt phẳng Oxy, phép tịnh tiến điểm M 1;0  qua v là phép đồng nhất khi:




A. v  1;0 
B. v   0;1
C. v  1;1
D. v   0;0 

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

 C ' .Tìm

Page 5

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
2

2

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn  C  :  x  m  2    y  3  m   10 ;

2
  y  5  m   10 . Biết  C '   Tv   C   . Tìm v ?



A. v   2; 8 
B. v   6  2m; 2m  2  C. v   3  m; m  1

 C ' :  x  4  m 

2



D. v   6; 2 

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B
Đường tròn  C  có tâm I  2; m  , bán kính R  m 2  5 .
 2  1  3
 m  2.
m  3  5

Đường tròn  C ' có bán kính tâm I '  1; 3 , bán kính R '  3 . Ta có 
Câu 2. Chọn đáp án D



Giả sử M  x; y    P  là ảnh của M  x '; y '   P '  qua phép tịnh tiến theo vectơ v   0;1
x  x '
x '  x

 y  1   x 2  2 x  1  y   x2  2 x  2
 y  y ' 1  y '  y  1

Ta có 

Câu 3. Chọn đáp án B
 là ODC .
Ảnh tam giác FEO là qua T
AB

Câu 4. Chọn đáp án D



Đường tròn  C  có tâm I  4;5  , đường tròn  C ' có tâm I '  7; 2   v   3; 7 
Câu 5. Chọn đáp án A
Ta có A  2;0 
Câu 6. Chọn đáp án D
x '  x  3
 x  x ' 3


y'  y  2
 y  y ' 2

Giả sử M  x '; y '  d ' là ảnh của điểm M  x; y   d  
Suy ra 2  x ' 3  3  y ' 2   1  0  2 x ' 3 y ' 11
Câu 7. Chọn đáp án A
x '  x  a
y'  y  b

Ta có 

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 6


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 8. Chọn đáp án A
Ta có A '  5;7 
Câu 9. Chọn đáp án C
Có 1 phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó.
Câu 10. Chọn đáp án B
2

2

Ta có  C '  :  x  5    y  6   16
Câu 11. Chọn đáp án C
Ta có d ' : 2 x  y  8  0

Câu 12. Chọn đáp án D
Ta có d ' : x  2 y  4  0
Câu 13. Chọn đáp án B
2

Ta có  C ' : x 2   y  3  4
Câu 14. Chọn đáp án B

u  3;2 

A 1;2  , B  0; 1 
 A '  4;0  , B  3; 3  

x4 y
  3 x  y  12  0
1
3

Câu 15. Chọn đáp án A

 C  : x2  y 2  4 x  2 y  4  0   x  2 


2

2

  y  1  9  I  2;1 ; R  3
2

2

Theo công thức tịnh tiến T : u   2;1  J  4;2    x  4    y  2   9 .
Câu 16. Chọn đáp án A


Ta có u  1; 2   B '  3;1 , C '  7;5 
Câu 17. Chọn đáp án C


AB  1; 7  ; M  4;3  M '  3; 4 

Câu 18. Chọn đáp án B
C  6;1

Câu 19. Chọn đáp án A




Biến AB thành chính nó là vectơ 0
Câu 20. Chọn đáp án D

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 7


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 21. Chọn đáp án D

2

1
17
2

1 
x  y  x  2 y  3  0   x     y  1   I  ;1
2
4

2 
2

Tịnh

2

theo

tiến

phương

Ox

về

bên

trái

3

đơn

vị:


 5 
v   3;0   J   ;0    C '  : x 2  y 2  5 x  2 y  3  0
 2 

Câu 22. Chọn đáp án C
 2 13  

 10 10 

Ta có G  ;  , AB   4; 1  G '   ; 
3 3 
 3 3
Câu 23. Chọn đáp án B



Dễ thấy hai tâm là I 1; 2  và J  3; 4  suy ra u   4; 6 
Câu 24. Chọn đáp án D
2

2

Tâm I  2;3 suy ra ảnh là tâm J  4;4  , suy ra ảnh đường tròn:  x  4    y  4   25
Câu 25. Chọn đáp án B
2

2

Tâm I  3; 1 suy ra tâm tạo ảnh J  6; 3 , suy ra tạo ảnh là đường tròn  x  6    y  3  25 .
Câu 26. Chọn đáp án B





Ta có I  2; 3 , khi đó II '  u   xI '  2; yI '  3  1; 2 
2

2

 I '  3; 5    C '  :  x  3   y  5   9 .

Câu 27. Chọn đáp án A

 
Tv  M   M '  MM '  v


Ta có  



   Tv  M   M '  T v  M '  M
T v  M '   M  M ' M  v  MM '  v

Câu 28. Chọn đáp án C




 2  x A '  3
 A '  5;7 
5  y A '  2

Ta có A ' A  v   2  x A ' ;5  y A '    3; 2   
Câu 29. Chọn đáp án C
2

2

Ta có  C  :  x  2    y  3  9  I  2; 3

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 8


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN




Khi đó II '  v   xI '  2; y I '  3   2;3  I '  0;0    c '  : x 2  y 2  9
Câu 30. Chọn đáp án B
 y  x3  3 x  1
x '  x  a
Ta có 

3
2
 y '  y  b  y  b   x  a   6  x  a   15  x  a   2
 x3  3 x 2 a  3 xa 2  a 3  6  x 2  2 xa  a 2   15  x  a   2  b  x 3  3 x  1

3a  6  0

a  2

 3a 2  12a  15  3

 v   2;11
 a 3  6a 2  15a  2  b  1 b  11


Cách khác nhanh hơn như sau:
2


a  2
 v   2;11
b  12  1  11

3

Ta có g  x    x  2   3 x  6   x  2   3  x  2   12  
Câu 31. Chọn đáp án D

Phép tịnh tiến theo vectơ–không chính là phép đồng nhất.
Câu 32. Chọn đáp án A
 
 I  2  m; m  3
 v  II '   2; 8 
 I '  4  m; m  5 

Ta có 

II. CHUYÊN ĐỀ: PHÉP BIẾN HÌNH
 biến:
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến T
DA

A/. B thành C.

B/. C thành A.

C/. C thành B.

D/. A thành D.

  biến điểm A thành điểm:
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến T
AB  AD

A/. A’ đối xứng với A qua C.

B/. A’ đối xứng với D qua C.

C/. O là giao điểm của AC và BD.

D/. C.

Câu 3: Cho đường tròn (C) có tâm O và đường kính AB. Gọi  là tiếp tuyến của (C) tại điểm A. Phép
 biến  thành:
tịnh tiến T
AB

A/. Đường kính của (C) song song với  .

B/. Tiếp tuyến của (C) tại điểm B.

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 9


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
C/. Tiếp tuyến của (C) song song với AB.

D/. Cả 3 đường trên đều không phải.



Câu 4: Cho v  1;5  và điểm M '  4; 2  . Biết M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv . Tìm M.

A/. M  5; 3 .

B/. M  3;5  .

C/. M  3; 7  .

D/. M  4;10  .



Câu 5: Cho v  3;3 và đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 . Ảnh của  C  qua Tv là  C '  :
2

2

B/.  x  4    y  1  9 .

2

2

D/. x 2  y 2  8 x  2 y  4  0 .

A/.  x  4    y  1  4 .
C/.  x  4    y  1  9 .

2

2



Câu 6: Cho v  4; 2  và đường thẳng  ' : 2 x  y  5  0 . Hỏi  ' là ảnh của đường thẳng  nào qua Tv :
A/.  : 2 x  y  13  0 .

B/.  : x  2 y  9  0 .

C/.  : 2 x  y  15  0 .

D/.  : 2 x  y  15  0 .

Câu 7: Khẳng định nào sai:
A/. Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
B/. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C/. Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.
D/. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Câu 8: Khẳng định nào sai:
A/. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
B/. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
C/. Nếu M’ là ảnh của M qua phép quay QO ,  thì  OM '; OM    .
D/. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M  6;1 qua phép quay Q O ,90 là:
 
o

A/. M '  1; 6  .

B/. M ' 1; 6  .

C/. M '  6; 1 .

D/. M '  6;1 .

Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép quay Q O ,90 , M '  3; 2  là ảnh của điểm :
 
o

A/. M  3; 2  .

B/. M  2;3 .

C/. M  3; 2  .

D/. M  2; 3 .

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 10


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M  3; 4  qua phép quay Q O ,45 là:
 
o

7 2 7 2
;
.
2 
 2



A/. M ' 



2

2

2 7 2

B/. M '  
;
.
2 
 2
7 2

C/. M '  
;
.
2 
 2

2

D/. M ' 
;

.
2 
 2

Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép quay Q O , 135 , M '  3; 2  là ảnh của điểm :


o

5 2 5 2 
;
.
2 
 2



A/. M 

 5 2

2

2

B/. M  
;
 .
 2 2 

2

 2

C/. M  
;
.
2
2 


2

D/. M 
;
.
2 
 2

II/. Bài tập tự luận:



1/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v  3; 4  và đường thẳng  : x  y  6  0 . Viết phương trình đường thẳng
 ' là ảnh của  qua phép tịnh tiến Tv .

2/. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  : 2 x  y  3  0 . Viết phương trình đường thẳng  ' là ảnh của
 qua phép quay Q O ,90o .





3/. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  4 y  8  0 . Viết phương trình đường tròn

 C '  là ảnh của  C  qua phép quay QO ,120  .
o



4/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v  3; 2  và đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  4 y  1  0 . Viết phương trình
đường tròn  C '  là ảnh của  C  qua phép tịnh tiến Tv .


5/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v  5; 4  và điểm M  3; 2  . Gọi M ' là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv ,
M '' là ảnh của M ' qua phép quay Q O ,90o . Tìm tọa độ M '' .





[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 11


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN


6/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v  1;3 và điểm M  4; 7  . Gọi M ' là ảnh của M qua phép quay Q O ,90 ,

 
o

M '' là ảnh của M ' qua phép tịnh tiến Tv . Tìm tọa độ M '' .


7/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v  4;1 và đường thẳng  : x  2 y  5  0 . Gọi  ' là ảnh của  qua phép
quay Q O ,90 ,  '' là ảnh của  ' qua phép tịnh tiến Tv . Viết phương trình  '' .
 
o



2

2

8/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v  2;5  và đường tròn  C  :  x  2    y  1  25 . Gọi  C '  là ảnh của  C 
qua phép tịnh tiến Tv ,  C ''  là ảnh của  C '  qua phép quay Q O ,90 . Viết phương trình  C ''  .
 
o

9/. Cho đường tròn C  I , R  , trên  C  lấy hai điểm cố định B và C, một điểm A thay đổi trên  C  . Họi H
là trực tâm ABC , B’ là điểm đối xứng với B qua tâm I.




b/. Tìm tập hợp điểm H khi A thay đổi.

a/. CMR AH  B ' C

10/. Cho đường tròn C  I , R  và điểm A nằm ngoài đường tròn  C  . Điểm B thay đổi trên đường tròn  C  .
Dựng ABC đều. Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi.
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

D

B

A

B

D

B

C

A

D

B

C

IV.

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN

I.Tóm tắt lý thuyết :




1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ v  a; b  . Phép tịnh tiến theo véc tơ v  a; b  là phép




biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho MM '  v
Ký hiệu : Tv .

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 12


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
2.Các tính chất của phép tịnh tiến :
a/ Tính chất 1:
*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’.
b/ Tính chất 2:
* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự của ba điểm đó .
HỆ QUẢ :
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn
thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một
đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó .
3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến


- Giả sử cho v  a; b  và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’

x '  a  x
y '  y  b

thì M’ có tọa độ là : 

4. Ứng dụng của phép tịnh tiến
BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM
Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình
H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ).
Cách giải :
- Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc
tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ).
- Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc
tơ cố định .
- Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích .
Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó .
Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định .
Giải

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 13


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho
 
nên B’C là một véc tơ cố định  AH  B ' C . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến
thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của
 

(O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v  B ' C
- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc
 
tơ : OO '  B ' C . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần
tìm .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường
tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .
Giải :




- Theo tính chất hình bình hành : BA=DC  AB  CD . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên


AB cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo AB , cho nên D chạy
trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O




- Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ OO '  AB . Từ O’ quay
đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D.
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và
 
điểm M’ trên (O’R’) sao cho MM '  AB .
Giải
a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo

véc tơ AB . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép

tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn
(O’;R’).
b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R)
với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB
c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho .
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường
thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác
MPQ và NPQ ?
Giải
- Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt

 
QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : MH  2OA  BA . Vậy phép

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 14


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN


tịnh tiến theo BA biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên

đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến BA .
- Tương tự đối với tam giác NPQ .
- Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh
của A,B .
BÀI TOÁN 2:
TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN

NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )
Cách giải
 Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là
đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ).
 Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất
 Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố
dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi
Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d .
Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một
đoạn cho trước không đổi .
Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường
thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng
AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất .
Giải





- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên MN  U .


- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM .
- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy
điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ
nhất .
Giải
- Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực
hiện theo cách của bài toán trên như sau :

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 15


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN






- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo CD  U  QQ ' .Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ .
Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng .
- Các bước thực hiện :






+/ Tìm Q’ sao cho : CD  U  QQ '
+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N
+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .
BÀI TOÁN 3:



VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO u   a; b 

KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ).
Cách giải :
 Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C )
 Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến
 Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 . Đó chính là phương trình của (C’ ) cần
tìm .


Ví dụ . Trong mặt phẳng (Oxy) cho u  1; 2 
a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :
+/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ?
+/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0
b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : x 2  y 2  4x  y  1  0
x2 y2
c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) :   1
9
4

d/ Viết phương trình ảnh của (H) :

x2 y2

1
16 9

Giải
a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng. Theo công
x '  1 x
 x  x ' 1


 y '  2  y  y  y ' 2

thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có : 

Thay x,y vào phương trình các đường ta có :
- Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0  3x’-5y’-12=0

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 16


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
- Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0
2

2

b/ Đường tròn (C’) :  x ' 1   y ' 2   4  x ' 1  y ' 2  1  0 hay : x 2  y 2  6x  5 y  10  0

 x ' 1
c/ Đường (E’) :

2

9

 x ' 1
d/ Đường (H’):

 y ' 2 


2

4

2

16

 y ' 2 


2

9

 x  1
1

2

9

 x  1
1
16

2

 y  2


2

4

 y  2


1

2

9

1

Bài tập về nhà :
Bài 1. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và một điểm A trên (O;R) . Xác định
 
điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho MN  OA .
Bài 2. ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9)
Bài 3. ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang 7 )
Gợi ý
 
 : M  N . Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) . Mặt khác N lại
Bài 1. Vì : MN  OA  TOA

nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách tìm :
- Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N
- Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M
Bài 2.
a/ Bài 4-trang 9-HH11NC.




- Vì A,B cố định suy ra : AB  U .
 





 



- Từ giả thiết : MM '  MA  MB  MM '  MB  MA  AB . Chứng tỏ : TAB : M  M ' .
- Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) .
b/ Bài 5.
 x1'  x1cos  y1 sin   a

 x2'  x2cos  y2 sin   a
;
N
'
 '

'
 y1  x1 sin   y1cos  b
 y2  x2 sin   y2cos  b

- Tọa độ của M’ và N’ là : M ' 

- Khoảng cách d giữa M,N và khoảng cách d’ giữa M’N’ .
2

Ta có : MN   x2  x1    y2  y1 
M 'N ' 

 x2  x1 

2

2

 cos   sin     y
2

2

2

2

 y1   cos 2  sin 2   

2

 x2  x1    y2  y1 

2

- Phép F là phép dời hình

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 17


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
x '  x  a
. Đây là công thức của phép tịnh tiến .
y'  y  b

- Khi :   0  sin   0; cos  1  
c/ Bài 6.

- Nếu F1 : M  x; y   M '  y;  x  ; N  x '; y '   N '  y ';  x ' thì khoảng cách giữa hai điểm MN và M’N’
2

2

2

2

là : MN   x ' x    y ' y  ; M ' N '   y ' y     x ' x  . Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là

phép dời hình .
- Nếu : F2 : M ( x; y )  M '  2x; y  ; N  x '; y '  N '  2x '; y ' . Khi đó khoảng cách hai điểm là :
MN 

2

 x ' x    y ' y 

2

2

2

; M ' N '  4  x ' x    y ' y  .

- Rõ ràng : MN< M’N’ : Do đó đây không phải là phép dời hình vì theo định nghĩa : Phép dời hình
là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách giữa chúng .
Bài 3.
a/ Bài 2- trang 7.
- Từ B và C kẻ các đường thẳng // với AG . Sau đó đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ là hình
bình hành )
- A’ sẽ trùng với G . Tam giác GB’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG .




- Nếu D là ảnh của phép tịnh tiến theo véc tơ AG thì : AG  AD  D phải trùng với G .
b/ Bài 3-trang 7.
 x A'  3  1  2

 A '  2;7  và tọa độ của điểm
 y A'  5  2  7

- Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến : A '  
 xB '  1  1  2
B' 
 B '   2;3 .
 yB '  1  2  3

- Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d và M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : là ảnh của đường
thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v thì theo công thức tọa độ củ phép tịnh tiến ta có :
x '  x 1
 x  x ' 1
. Thay vào phương trình của d : (x’+1)-2(y’-2)+3=0 . Hay d’: x’M '

 y '  y  2  y  y ' 2

2y’+8=0 .
Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. ĐỊNH NGHĨA :

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 18


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
* Cho đường thẳng d . Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó . Biến mỗi điểm M không
thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ , được gọi là phép đối xứng qua
đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox . Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua
x '  x
( Đó chính là biểu thức tọa độ )
y '  y

phép đối xứng trục thì : 
3. TÍNH CHẤT

a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ .
b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn
thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một
đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính .
4. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Định nghĩa :
* Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính
nó .
5. ỨNG DỤNG

BÀI TOÁN 1. TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM
Bài toán :
Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi . Tìm quỹ tích của điểm M khi A thay đổi .
Cách giải .
 Bước 1: Xét một vị trí bất kỳ của A và M . Sau dó tìm trên H có một đường thẳng cố định là
trung trực của đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ).
 Nếu A chạy trên một đường (C ) nào đó , theo tính chất của phép dối xứng trục , thì M chạy
trên đường (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục .
Ví dụ 1. ( Bài 10-tr13-HH11NC ) .

Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy
dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H nằm trên một đường tròn cố định .
Giải
- Vẽ hình . Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC . Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ . Nối CH’
- Chứng minh IH=IH’ . Thật vậy

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 19


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Ta có : A  BCH ' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)
CH  AB
 A  BCH  2  . Từ (1) và (2) suy ra : BCH  BCH '
CI  AH '

Mặt khác : 

Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vuông góc với HH’ , chứng tỏ BC là
đường trung trực của HH’ . Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC . Cho nên khi A chạy trên đường
tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn
(O;R) qua phép đối xứng trục BC
- Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng . Vì
thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C .
* Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC .
- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung
điểm I của A’H .
- A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH )
- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm

của HH’ . Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối
xứng nhau qua BC.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H
a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng
nhau
b/ Gọi O1 , O2 , O3 là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm
O1 , O2 , O3 bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Giải .
a/ Giả sử O1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví dụ 1 O1
chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương
tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) .
b/ Ta hoàn toàn chứng minh được O1 , O2 , O3 là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB .
Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam
giác O1O2O3 .
BÀI TOÁN 2. TÌM ĐIỂM

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 20


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B . TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO
MA+MB NHỎ NHẤT. ( Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ), MA  MB ĐẠT GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm về hai phía của d )
Cách giải :
 Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d
 Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M . Là điểm cần tìm .
 Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất .

Ví dụ 1. (Bài 9-tr13- HH11NC)
Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Hãy tìm điểm B trên Ox , điểm C trên Oy
sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất .
Giải .
- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox
- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm
- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .
Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A
qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) . Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA
=CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) ).
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d . Tìm điểm M trên d sao cho
MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?
Giải
- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d
- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .
- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó :
MA+MB=MA’+MB=A’B .
- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B  A ' B . Dấu bằng chỉ xảy ra khi
A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’ .
Ví dụ 3. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho
MA  MB đạt GTLN .
Giải .
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 21


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN

- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .
- Thật vậy : MA  MB  MA ' MB  A ' B . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó :
M ' A  M ' B  M ' A ' M ' B  A ' B . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng

với M’.
Ví dụ 4 . Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d
a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực
của đoạn thẳng MM’
b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo
thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài .
Giải
Vẽ hình :
a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán
- Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R)
qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với
(O’;R’)
- Từ đó suy ra cách tìm :
 Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần
lượt là (C’) và (C’’)
 Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại M 1 , M 2 . Sau đó kẻ hai đường thẳng
d’’ và d’’’ qua M 1 , M 2 cắt (O;R) và (O’;R’) tại M '1; M '2
 Các điểm cần tìm là  M1M '1  và  M 2 M '2 
b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngoài của góc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng
nhau qua d . Từ đó suy ra cách tìm :
- Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) là ảnh
của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến
chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đó ta suy ra cách tìm M :
 Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d
 Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M . Chính là điểm cần
tìm .

 Tương tự áp dụng cho (O’;R’)
- Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d .

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 22


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
BÀI TOÁN :3
TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 . Tìm tọa độ điểm B đối xứng với
điểm A qua đường thẳng d ?
Cách giải :
 Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của AB thì điều
 
 AB.U  0
kiện : 
 H  d

1
 2

 Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B
Ví dụ 1.
Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x
Giải
- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua
 
MN .U  0 1

d thì điều kiện là : 
2
 H  d



x 2 y 3
- Ta có : MN   x  2; y  3 U  1;1 H  
;
.
 2

2 

 x  2  .1   y  3 .1  0
x  y  5  y  2

- Điều kiện (*)   x  2 y  3


 N   3; 2 
x

y

1
x

3





 2
2

Ví dụ 2.
Cho điểm M(2;-3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d : y-2x=0
Giải
- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua
 
MN .U  0 1
d thì điều kiện là : 
2
 H  d



x 2 y 3
- Ta có : MN   x  2; y  3 U  1; 2  H  
;
.
2 
 2

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 23

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
1

 x  2  .1   y  3  .2  0
y

x  2 y  4  0 
 14 1 
3
- Điều kiện (*)   x  2 y  3


 N   ; 

 3 3
y  x  5

 x   14
 2
2

3

BÀI TOÁN :4
CHO ĐƯỜNG (C ) VÀ ĐƯỜNG THẲNG d HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C’)
LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d
CÁCH GIẢI
 Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B
 Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d
 Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương trình đường thẳng
(m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d .
Giải
 x  2 y  2  0  x  2
.A(-2;-2)

x  y  0
 y  2

- Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : 

- Trên d’ lấy điểm M (3;3) . Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d .Gọi H là trungđiểm của
 
MN .U  0 1
MN thì điều kiện để M,N đối xứng nhau qua d là : 
(*)
2
 H  d



x3 y 3
- Ta có : MN   x  3; y  3 U   2;1 H  
;

 2

2 

 x  3 2   y  3 .1  0

2x  y  9  x  5
- Điều kiện (*)   x  3  y  3 


 N   5; 1 .
x

2
y

7
y


1

2.

2

0





 2 
 2

- Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có véc tơ chỉ phương là AN   7;1 , nên (m) có

phương trình là :

x2 y2

 x  7 y  12  0 .
7
1

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 . Lập phương trình đường thẳng (m)
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ .

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 24


BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Giải
- Tìm tọa độ điểm A là giao của d với d’ . Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ hai phương trình :
3

x

2x  y  2  0

 3 8
7

 A   ; 


 7 7
x  3y  3  0
y  8

7

- Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2)
- Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ . Khi đó nếu M,N đối xứng nhau qua d’

 
MN .U  0 1

thì điều kiện : 
(*) Với H là trung điểm của MN , U là véc tơ chỉ phương của d’ . Ta
2
 H  d


x y2
có : MN   x; y  2  U   3; 1 H   ;
.
2 2 

3

3x.   y  2  .1  0
x



3x-y  2


 3 1
5
- Điều kiện (*)   x


 N   ; 
 y2
 5 5
x  3y  0  y  1
 2  3.  2   3  0




5



3 1

6

33



- Đường thẳng (m) =(AN) đi qua N    ;  và có véc tơ chỉ phương AN    ;   / /U   2;11 .

 5 5
 35 35 
3
1
y
5
5  0  11x  2 y  7  0 .
2
11

x

Do đó (m) :

Ví dụ 3 . Cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  4x  2 y  1  0 và đường thẳng d : 2x-y+2=0. Hãy viết
phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục d .
Giải
Do tính chất của phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có cùng bán kính . Cho nên ta chỉ cần tìm
tọa độ tâm I’ của (C’) đối xứng với tâm I của (C ) .
Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2 .


- Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , U  1; 2  là véc tơ chỉ phương của đường
 
 II '.U  0
thẳng d . Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : 
 H  d

1
(*)

2



x  2 y 1 
-Ta có : II '   x  2; y  1 U  1; 2  H  
;
.
 2

2 

[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018

Page 25