Đề thi học sinh giỏi tỉnh lạng sơn môn toán 9 năm học 2014 2015(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 31/3/2015
(Đề thi gồm 01 trang, 5 câu)

Câu 1 (4 điểm)
Cho biểu thức: A 

x2
x 1
1
với x  0, x  1


x x 1 x  x 1 1  x

1. Rút gọn biểu thức A
2. Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với x > 0, x  1.
Câu 2 (4 điểm)
Giải phương trình: x2  6 x  10  2 2 x  5 .
Câu 3 (4 điểm)
Cho phương trình x 2  2(a+1)x+2a=0 (1) (Với a là tham số)
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a.
2. Tìm a để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của một hình chữ
nhật có độ dài đường chéo là 2 3 .
Câu 4 (6 điểm)

Cho góc xOy có số đo bằng 600. Đường tròn có tâm K tiếp xúc với tia Ox tại
M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp
tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường
thẳng MN tại E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN tại F.
1. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng với nhau.
2. Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp.
3. Gọi D là trung điểm của PQ. Chứng minh tam giác DEF đều.
Câu 5 (2 điểm)
Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện: x  y  6 .
6 8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  3x  2y  
x y
--------------------------- Hết--------------------------Họ và tên thí sinh:………………………………………. Số báo danh:…………….


HƯỚNG DẪN
C
â
u
1

2
3

Nội dung

x
x  x 1
Chứng minh được 0 < A < 1 nên A không nguyên
PT  x2  8x  16  2 x  5  2 2 x  5  1

 ( x  4)2  ( 2 x  5  1)2 nghiệm PT là x = - 2

2,0

Có  '  a 2  1  0 với mọi a nên PT luôn có nghiệm
 x  x  2a  2
Theo giả thiết x12  x22  12 , theo Vi-et  1 2
 x1.x2  2a
Nên: (2a  2)2  4a  12 hay a = 1; a = -2

1,5
1

Rút gọn được A 

4

5

Điểm

2,0
1,5
2,5

1,5
6

Ta có: ( a  b )2  0 nên a  b  2 ab với a, b dương

0,5


Từ giả thiết:

1

12
16
)  ( y  )  3.6  2.6  2.4
x
y
Nên 2P  38  P  19 vậy minP = 19 khi x = 2, y = 4

0,5

2 P  3( x  y)  (3x 