Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC

Trần Thị Nhung

PHÂN THÚC CHÍNH QUY
NHIEU BIEN VÀ CÁC DANG
TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THAC SY TOÁN HOC

Thái Nguyên - 2017


ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC

Trần Thị Nhung

PHÂN THÚC CHÍNH QUY
NHIEU BIEN VÀ CÁC DANG
TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cap
Mã so: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THAC SY TOÁN HOC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC
GS.TSKH. NGUYEN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2017


i

Mục lục
MỞ ĐẦU

3

Chương 1. Một so dang đai lượng trung bình

cơ bán

4

1.1 Khai trien Newton......................................................................4
1.2 Định lý ve các giá trị trung bình cộng và nhân................................6
1.3 Bat đang thúc AM-GM suy rộng...................................................19
Chương 2. Phân thức chính quy và chính quy

suy rộng

22

2.1 Phân thúc chính quy..................................................................22
2.1.1

Phân thúc chính quy một bien........................................22

2.1.2

Phân thúc chính quy nhieu bien....................................24

2.2 Phân thúc chính quy suy rông....................................................28
2.2.1

Phân thúc chính quy suy rộng một bien..........................28

2.2.2

Phân thúc chính quy suy rộng nhieu bien......................30

Chương 3. Các dang toán liên quan

33

3.1 Một so ky thuật vận dung bat đang thúc AM-GM........................33
3.1.1

Đieu chính và lna chon tham so.....................................33

3.1.2

Ky thuật tách, ghép và phân nhóm.................................40

3.2 Các dang toán liên quan.............................................................47
3.2.1

Bieu dien một so dang đa thúc nhieu bien.....................47 .

.51

3.2.2

Bat đang thúc dang phân thúc giua các đa thúc . . .55

KET LUẬN

59

TÀI LIfiU THAM KHÁO

60


4

MỞ ĐẦU
Phân thúc huu tý, đặc biệtt là phân thúc chính quy là một trong nhung khái
niệm cơ bán cna chương trình Toán ó bậc phổ thông. Đặc biệt, ó các trưòng
THPT chuyên và các lóp chuyên toán có rat nhieu dang toán liên quan đen
hàm phân thúc chính quy. Trong các kỳ thi hoc sinh giói Toán trong nưóc và
các kỳ thi Olympic Toán cna các nưóc trên the giói, có nhieu bài toán ve dãy
so, bat đang thúc, phương trình, bat phương trình và hệ bat phương trình,... sinh
bói các hàm so dang phân thúc và vì the can biet cách vận dung tính đặc thù
cna bieu thúc phân thúc đã cho. Hiện nay các tài liệu có tính hệ thong ve van
đe này còn chưa đưoc đe cập nhieu.
Đe đáp úng nhu cau hoc tập và giáng day môn Toán ó bậc pho thông,
luận văn Phân thúc chính quy nhieu bien và các dang toán liên quan nham hệ
thong và giái quyet các bài toán liên quan đen phân thúc chính quy. Lu¾n

văn này đưoc chia làm ba chương:
Chương 1. Một so dang đai lưong trung bình cơ bán
Chương 2. Phân thúc chính quy và chính quy suy rộng.
Chương 3. Các dang toán liên quan.
Đe hoàn thành luận văn này, trưóc nhat tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân
thành sâu sac tói GS.TSKH. Nguyen Văn Mậu đã dành thòi gian hưóng dẫn,
chí báo tận tình và giúp đõ tôi trong suot quá trình xây dnng đe tài cũng như
hoàn thành luận văn.
Tiep theo, tôi cũng xin gúi lòi cám ơn chân thành tói các thay cô đã
đoc, kiem tra, đánh giá và cho tôi nung ý kien quý báu đe luận văn đưoc
hoàn thiện hơn. Qua đây, tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn tói Ban giám
hi¾u, phòng Đào tao, khoa Toán - Tin Trưòng ĐHKH, Đai hoc Thái Nguyên
và các ban đong nghiệp đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong suot quá trình hoc
tập tai trưòng.


Chương 1. M®t so dang đai lưang
trung bình cơ bán
1.1

Khai trien Newton
Ta nhac lai khai trien Newton (xem [1], [3]) cho c¾p so và b® so.

Đ%nh lý 1.1 (Khai trien nh% thúc Newton). Vói a, b là các so thnc và n là
so tn nhiên lón hơn bang 2, ta luôn có
n

(a + b) =

n.

Ckan−kbk

n

(1.1)

k=0

trong đó
Cnk

=

n!

.
k!(n − k)!

Công thúc (1.1) goi là công thúc nh% thúc

Newton.

Đ%nh lý 1.2 (Khai trien Newton). Cho n và m là các so nguyên dương. Vói
bat kỳ x = (x1, x2, · · · , xn) trong Rn, ta có
(x1 + x2 +· · · + xn )m =
α

. m!
x ,

α!

(1.2)

|α|=m

α

α

trong
đó α! = α1!α2! · · · αn! vói α = (α1, α2, · · · , αn) trong Nn, xα = x 1 x 2 . . .
αn
x
1

n

2

và tong chay qua tat cá α có the có trong N thóa mãn |α| = α1 + α2 + · · · +
αn = m.
Đ%nh lý 1.3 (Khai trien Taylor). Cho m®t đa thúc
f (x) =

n
.
j=0

ajxj.

n


Khi đó, h¾ so thú j cna f (x) có the bieu dien đưoc dưói dang
aj =

1

(j)

trong đó f

(j)

fj! (0),

(0) úng vói đao hàm cap j tai 0.

ChÚng minh. Lay đao hàm lan thú j cna xk, ta đưoc
k!
.
xk =
xk−j, neu j k
d
≤
.j
(k − j)!
dx
và

Ta có

.
.j d

n

f (x) =

.

ak
k=
0

dx

.
k
d
x
= 0, neu j > k,.
.j
dx
k!
n
.
k
x =
akxk−j, vói bat kì j nam giua 0 và

n..
(k − j)!
k=j

f j (0) = j!aj .

Khi đó
Suy ra

aj = 1

fj! (0).
Đ%nh lý 1.4. Cho n là m®t so nguyên dương. Ta đ¾t
.
1 n n
1 2
x . .n
g(x) = x
x +···
2
+
+
(j)

Khi đó g(n)(0) =
n!.
ChÚng minh. Ta có
g(x) =
xn

.

.
n

1 + 1x + · · · + xn−1

= xnh(x),


2
trong đó

.
h(x) = 1
+

n
1
x + · · · 1 n−1
x
2
n
+

.n
.


Áp dung công thúc Leibniz

.
n
(n)
g (x) =
j=0

=
d

n
.

j=
0

V¾y
nên

.
n!

.

n−j

d

h(x)

xn. d

(n − j)!j! dx
n !n !

.j

.

xj.

(n − j)!j!j!

dx
. .j

h(x).

dx

g(n)(0) = n!h(0) = n!.

1.2

Đ%nh lý ve các giá tr% trung bình c®ng và nhân
Tiep theo, ta se đe c¾p đen đ%nh lý ve bat đang thúc giua giá tr% trung

bình c®ng và trung bình nhân (còn goi là bat đang thúc AM-GM 1) và dang
bat đang AM-GM suy r®ng. Đ¾c bi¾t, trong chương này trình bày m®t so
phương pháp chúng minh bat đang thúc AM-GM cna các nhà toán hoc noi
tieng.

Đ%nh lý 1.5 (xem [1]-[2]). Giá sú x1, x2, . . . , xn là các so không âm. Khi đó
x1 + x2 + · · · + xn
“

√n

x1 x2 · · · xn .

n
Dau đang thúc xáy ra khi và chí khi x1 = x2 = · · · = xn.

(1.3)

H¾ quá trnc tiep cna bat đang thúc AM-GM là bat đang thúc giua trung
bình nhân và trung bình đieu hòa (goi và viet tat là bat đang thúc GMHM.2)
H¾ quá 1.1 (Bat đang thúc GM-HM, xem [1]). Vói moi b® so dương a1, a2, . . . ,
an, ta đeu có
√n
n
1
a1 a2 · · · an 1 1
+ + ··· .
“
a1 +
an
a
2

Dau đang thúc xáy ra khi và chí khi a1 = a2 = · · · = an.

1


ChÚng minh. Sú dung bat đang thúc AM-GM đoi vói b® so xk :=
ak
(k = 1, 2, . . . , n), ta có ngay bat đang thúc GM-HM.
1

Arithmetic mean value -Trung bình c®ng, Geometric mean value -Trung bình nhân.
Harmonic mean -Trung bình đieu hòa

2


Cho đen nay, ngưòi ta đã biet đen hàng trăm cách khác nhau đe chúng
minh Bat đang thúc giua giá tr% trung bình c®ng và trung bình nhân.
Moi cách chúng minh Đ%nh lý 1.5 đeu có nhung đ¾c thù theo ý tưóng và
muc tiêu riêng cna các nhà toán hoc. Có nhung cách chúng minh (cna m®t
so nhà khoa hoc noi tieng) xuat phát tù nhung ý tưóng tưóng như không
liên quan trnc tiep gì tói các giá tr% trung bình c®ng và trung bình nhân cna
b® so dương đã cho.
Sau đây, ta se trình bày m®t so cách chúng minh tương đoi sơ cap và
de hieu giúp ta nhìn nh¾n các mó r®ng sau đó m®t cách h¾ thong và có tính
lôgic tn nhiên (xem [1]).
1.2.1. Quy nap kieu Cauchy
Đây là kieu quy nap theo c¾p hưóng (lên-xuong) do Cauchy đe xuat
vào năm 1821.
Tù h¾ thúc b¾c hai
u2

1

2

+ u2 “ 2u1u2, ∀u1, u2 ∈ R,

(1.4)

ta suy ra
x1 + x2

√

x1x2, ∀x1, x2 không âm.

(1.5)

2
“
x3 + x4
Thay x1, x2 lan lưot bang các bien mói x1 + x2
, tù (1.5) ta
đưoc
nh¾n
và 2
2
1
x1 + x2 + x3 + “
x4 . x 1 + x2 x3 +
x4 .

2 “
4
2
2
1
1 1
√
“ [(x1x2)2 (x3x4)2 ] 2 = 4 x1x2x3x4.
(1.6)
Tiep tuc quá trình như trên ta thay bat đang thúc (1.3) đúng vói n = 2, 4, .
. . và nói chung, đúng vói n là lũy thùa cna 2. Đây chính là quy nap theo
hưóng lên trên.
Bây giò ta thnc hi¾n quy trình quy nap theo hưóng xuong phía dưói. Ta
chúng minh rang, khi bat đang thúc (1.3) đúng vói n (n > 1) thì nó cũng
đúng vói n − 1. Thay xn trong (1.3) bói
x1 + x2 + · · · +
xn−1 n − 1


và giu nguyên các bien xi khác, tù (1.3) ta thu đưoc
x1 + x2 + · · · + xn−1
n−1
x1 + x2 + · · · + xn−1
+
“
.
.
n
1
x1 + x2 + · · · + xn−11 n

hay

“ (x1x2 · · ·
xn−1)n

n−1
1

.x + x + · · · + x
.
1
2
n−1 n
.
n−1

x1 + x2 + · · · + “
· · · x n−1)
xn−1
(x1x2
n−1
Rút gon bieu thúc trên, ta thu đưoc
√
“ n− 1
x1 + x2 + · · · +
xn−1 n − 1 x1 x2
1
n−
1

· · · x n−1.

Tù ket quá đã chúng minh theo c¾p hưóng (lên-xuong), ta thu đưoc phép
chúng minh quy nap cna Đ%nh lý 1.5.
Tiep theo, theo đúng cách chúng minh quy nap kieu Cauchy, ta chúng
minh đưoc các bat đang thúc sau đây.
Bài toán 11.1 (Bat đang thúc Ky Fan). Giá sú x1, x2, . . . , xn là các so dương
trong .0, 2.. Khi đó
n
n
Q
Q k
(1 − xk)
k=1 x
k=1
n
n
.
..
.
.n .
.
k n
(1 −
k=1 x ™
xk )
k=1

Dau đang thúc xáy ra khi và chí khi x1 = x2 = · · · = xn.
Bài toán 1.2. Giá sú x1, x2, . . . , xm là các so không âm và n = 1, 2, . . ..

. x + x + · · · + x . n xn + xn + · · · + xn
Khi đó
1

2

m

2
™ 1
m
m
Dau đang thúc xáy ra khi và chí khi x1 = x2 = · · · = xm.

m

.

1.2.2. M®t so dang đa thNc đoi xNng sơ cap
Đa thúc P (x1, x2, . . . , xn) vói b® n bien so thnc x1, x2, . . . , xn đưoc
hieu là hàm so (bieu thúc) có dang
N
.
P (x1, x2, . . . , xn) =
Mk(x1, x2, . . . , xn),


k=0

j

trong đó
Mk(x1, . . . , xn) =
.

x 1 · · · xjn, ji ∈ N (i = 1, 2, . . . , n).

aj
j

1 ··· n

j1 +···+jn =k

1

(1.7)

n

Trong muc này ta quan tâm chn yeu đen các dang đa thúc đong b¾c bien so
thnc và nh¾n giá tr% thnc, đ¾c bi¾t là các đa thúc đoi xúng sơ cap quen
biet liên quan đen các hang đang thúc đáng nhó trong chương trình toán
trung hoc pho thông.
Trưóc het, ta nhac lai công thúc khai trien nh% thúc Newton:
n

(x + a) =

n
.
k=0

. .
an−kxk.
kn

Neu ta coi (x + a)n như là tích cna n thùa so: (x + a)(x + a) · · · (x + a),
thì khi đó tích
(x + a1)(x + a2) · · · (x + an)
cũng có the viet dưói dang m®t bieu thúc tương tn như công thúc khai trien
nh% thúc Newton như sau:
n

trong đó

. .
(x + a1)(x + a2) · · · (x + an) n pjn−kxk,
. k
=

 p1




k=0

= a1 + a2 + · · · + an

,
.
n
aiaj

1™i2 ™n

p

(1.8)
.n.
=
,
 2
2

· · · · · · · · · · · ·

= a 1a 2 · · · a n .
n
p
V¾y nên, neu các nso a1, a2, . . . , an đeu dương (ho¾c không âm và
không đong thòi bang 0) thì không mat tính tong quát, ta có the coi
các so p1, p2, . . . , pn đeu là so dương (không âm). Tù (1.8), ta thu đưoc



p1




p2



a1 + a2 + · · · + a,n
‚ . n aiaj
.
.
,1™i=
.n.

···

pn

········· 2
√
= n a1a2 · · · an .

=

(1.9)

,

Ta thay, p1 chính là trung bình c®ng, pn là trung bình nhân, và do đó,
các pj khác cũng là các đai lưong trung bình can đ¾t tên cho chúng như là

nhung đoi tưong cơ bán can t¾p trung nghiên cúu.
Đ%nh nghĩa 1.1 (xem [1]-[2]). Cho a là b® n so dương {a1, a2, . . . , an}
(n “
1, n ∈ N). Khi đó
f (x) = (x + a1)(x + a2) . . . (x + an)
= xn + E1(a)xn−1 + E2(a)xn−2 + . . . + En(a),
trong đó
n

E1(a) =

.

i=1

ai, E2(a) =
.

aiaj, . . . , En(a) = a1a2 . . . an.

1™i
Đ¾t E0(a) = 1. Ta goi Er(a) (r ∈ {1, . . . , n}) là các hàm (đa thúc)
đoi xúng sơ cap thú r (Er(a) là tong cna tat cá các tích r so khác nhau cna
b® so a).
Ký
hi¾u

Pr(a)
=

r!(n − r)!
E(.
n!
r a)

Đ%nh nghĩa 1.2. Giá sú x1, x2, . . . xn là b® n các so thnc không âm (ký
hi¾u bói (x)) và y1, y2, . . . , yn là b® các so thnc không âm khác (đưoc ký
hi¾u bói (y)).
Hai dãy (x) và (y) đưoc goi là đong dang (và ký hi¾u (x) ∼ (y) neu ton
tai λ ∈ R (λ ƒ= 0) sao cho ta có xj = λyj (j = 1, . . . , n).
Bài toán 1.3. Cho a là b® (a1 . . . an) các so thnc dương. Đ¾t P0 = 1,


Pk = Pk(a); Er = Er(a). Chúng minh rang
Pk−1.Pk+1 ™ Pk 2 (k = 1, 2, . . . n − 1).


(Neu các ai đeu dương và không đong thòi bang nhau thì ta có dau bat
đang thúc thnc sn).
Lài giái. Giá sú
f (x, y) = (x + a1y)(x + a2y) . . . (x + any) = E0xn + E1xn−1y + ·
· · + Enyn, Ei là tong tat cá các tích i so khác nhau,
k!(n − k)!
Ek.
n!
y

Pk
=

x

Vì tat cá các ai > 0 và t
:=

= 0 và v
:=

= 0 không phái là nghi¾m cna

x

y
x
y
phương trình f (t, 1) = 0 và f (1, v) = 0, tương úng, = 0 và = 0
nên
x
y
không phái là nghi¾m b®i trong các phương trình nh¾n tù đao hàm cna nó.
Tù đó ta có the ket lu¾n rang các so Pi dương, túc là phương trình
Pk−1x 2+ 2Pkxy + Pk+1y = 0
nh¾n đưoc tù f (x, y) = 0 bang cách lay vi phân liên tiep theo x và y. Do
phương trình này có nghi¾m thnc nên Pk−1Pk+1 ™ P 2.
Bài toán 1.4. Chúng minh bat đang thúc
Er

k

1E r+1™

−
r

E2.

1P k+1™
−
k

P 2.

Lài giái. Tù bat đang thúc trong Bài toán 1.3, ta có
Pk
Suy ra
(k − 1)!(n − k +
1)!
E
n!
hay

. k !(n − k )! .2

E2

(k + 1)!(n − k −
1)!

k−
1

n!

Ek+1 ™

(k + 1)(n − k + 1) k−
1 .
™ E2.
Ek+1
E
k(n − k)
k
Tù đây, ta có ngay đieu phái chúng minh.

n!

k


Bài toán 1.5. Cho các so ai > 0 (i ∈ {1, . . . , n}) và không đong thòi
bang nhau. Chúng minh bat đang thúc
1
2

1

1

P1 > P 2 > P 3
n
3 > · · · > Pn .

(1.10)


Lài giái. Theo bat đang thúc trong Bài toán 1.4, ta có
P0P2 < P 12
(P1P3)2 < P24
.........
2r

r

(Pr−1Pr+1) < Pr
Suy ra
(P0P2)(P1P3)2 . . . (Pr
1P
⇒P

)r < P 2P 4 · · · P 2r

−

r

r

r

1
r+1

1
r

r+1
r+1

1 2

r+1

⇒ Pr > Pr+1 .

Nh¾n xét 1.1. Ta de dàng chúng minh Pr −1Pr+1 < P

2

bang phương

r

pháp quy nap.

Th¾t v¾y, giá sú bat đang thúc đúng vói n − 1 so dương a1, a2, . . . ,
an−1
và
đ¾t
Er , P là các Er, Pr tao bói n − 1 so ay và giá sú tat cá các so đó
r

r

r

không đong thòi bang nhau.
Khi đó E rr = anErr− ⇒ Pr =
1

Tù đó suy ra n2(P −1
P
r

r+
1

r

Pr
+r

r

an P r .

n
n
− P 2) = A +
Ban

r−1

+ Can2 ,

r

trong đó

2 r
r
A ={(n − r)2 − 1}P Pr+
−
(n
−
r)
P
r−
r

1

1

r

P

B
=
(

− r + 1)(r +
1).P r

r+1

r


+ (n − r − 1)(r − 1)P r

r+1−

r−
1

r−
2

r
− 2(r − 1)P r Pr+1
r−
r
2 2
C =(r2 − 1)P r P
2 − r P .
r−2 r

r−1

Vì các ai không đong thòi bang nhau nên theo giá thiet ta

Pr
P

r

r−1Pr+1
r
r

r

r

r

có

r

< PrPr−2 − Pr < Pr−1
r

Pr

r

r

r

r

r

r−2Pr+1 < Pr−1Pr ⇒ A < −Pr, B < 2Pr−1Pr, C < Pr−1
n2r(Pr 1P − P r) < −(P r − a
) ™ 0.
P
−

r+1
r

r

n r−1

Đieu này van đúng khi a1 = a2 = . . . = an−1. Khi đó an ƒ=
a1. Tù bat đang thúc (1.10), ta thu đưoc bat đang thúc sau:


H¾ quá 1.2.

p1 “ p2 “ . . . “ pn,


a1 + a2 + · · · +
an

trong đó

p1



p2

· · ·

pn

=

. n

,

‚
aiaj
.
.
,1™i=
.n.
,
2

·········
√
= n a1a2 · · · an .

Đ¾c bi¾t, p1 “ pn. Đó chính là bat đang thúc giua giá tr% trung bình c®ng và
trung bình nhân.
1.2.3. Quy nap kieu Ehlers
Ta chúng minh Đ%nh lý 1.5 đoi vói b® so dương x1, x2, . . . , xn mà

Khi đó (1.3) có
dang

x1x2 · · · xn = 1.

(1.11)

x1 + x2 + · · · + xn “ n.

(1.12)

Giá thiet (1.3) đúng vói b® n so thóa mãn (1.12). Xét b® n + 1 so
dương thóa mãn đieu ki¾n:
x1x2 · · · xnxn+1 = 1.
Giá thiet rang (không mat tong quát) x1 và x2 là hai so tù b® n + 1 so
trên có tính chat:
Khi đó
hay

x1 “ 1, x2 ™
1.
(x1 − 1)(x2 − 1) ™ 0
x1 x 2 + 1 ™ x1 + x 2 .

Tù (1.13) và do b® n so x1x2, x3, . . . , xn+1 có tính chat

(x1x2)x3x4 · · · xn+1 = 1,

(1.13)


suy ra
x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 “ 1 + x1x2 + x3 + x4 + · · · + xn + xn+1 “
1 + n.
Đ%nh lý đưoc chúng minh.
1.2.4. Đong nhat thNc Hurwitz
Xét hàm so n bien thnc f (x1, x2, . . . , xn). Ký hi¾u P f (x1, x2, . . . , xn)
là tong các f theo tat cá n! hoán v% cna các đoi so xi. Vói quy ưóc như v¾y,
ta
n
n
n
có
.
P
n
x
1 = (n − 1)!(x1 + x2 + · · · + xn),
P x1x2 . . . xn = n!x1x2 · · · xn.
Xét các bieu thúc
theo công thúc sau đây
 gk xác đ%nh
n−1
g1 = P [(x 1 − xn−1)(x1 − x2)],

2

n−2
n−2

g2 =
g3 =

P [(x1n−3− x2n−3
)(x1 − x2)x3],
P [(x
− x )(x1 − x2)x3x4],
2
. . . . . . . . 1.


gn−1 = P [(x1 − x2)(x1 − x2)x3 . . . xn].
Nh¾n xét rang khi các xi (i = 1, 2, . . . , n) đeu không âm thì các bieu
thúc gi (i = 1, 2, . . . , n), theo đ%nh nghĩa, cũng nh¾n giá tr% không âm.
Th¾t v¾y, ta có
gk = P [(xn−k − xn−k)(x1 − x2)x3x4 . . . xk+1]
1

2

= P [(x1 − x2)2(xn−k−1 + · · · + xn−k−1)x3x4 . . . xk+1]
1

2

luôn luôn là m®t so không âm khi các xi “ 0.
M¾t khác ta lai có

g1 = P xn + P xn − P xn−1x2 − P xn−1x1
1

2

1

= 2P xn − 2P xn−1x2.
1

2

1

Hoàn toàn 
tương tn, ta cũng có
g2
= 2P x1n−1x2 − 2P 1xn−2x2x3,


g3
= 2P xn−2x2x3 − 2P xn−3x2x3x4,
1
1
.........




2

gn−1 = 2P x1x2 . . . xn−1 − 2P x1x2 . . . xn.


Lay tong các gi, ta thu đưoc
g1 + g2 + · · · + −
gn

1

n
= 2P
xx ...x .
1 2
1 x − 2P

Theo đ%nh nghĩa thì (1.14) chính là
xn + xn + · · · + xn
1

2

n

− x1x2 · · · xn

n
=

(1.14)

n

1
2n
!

(g1 + g2 + · · · + gn−1) “ 0.

1.2.5. Đang thNc hàm
Xét bài toán xác đ%nh giá tr% lón nhat cna bieu thúc
M (x1, x2, . . . , xn) = x1x2 · · · xn
vói đieu
ki¾n

x1 + x2 + · · · + xn = a, xi “ 0, i = 1, 2, . . . , n.

Ký hi¾u giá tr% lón nhat cna M là fn(a) úng vói n ∈ N và a > 0.
Ta co đ%nh xn và như v¾y can chon x1, x2, . . . , xn−1 thóa mãn đieu ki¾n
x1 + x2 + · · · + xn−1 = a − xn
đe tích x1x2 · · · xn−1 là lón nhat.
Tù đây suy ra
fn(a) =
max

[xn fn−1(a − xn )], n = 2, 3, . . . ,

0™xn™a

trong đó f1(a) = a.
Thnc hi¾n đoi bien xi = ayi, i = 1, 2, . . . , n, ta thu đưoc

fn(a) = anfn(1).
Tù đây suy ra
n−1

fn(1) = fn 1(1)[ max y(1 y)
−

0™y™1

Tù h¾ thúc f1(1) = 1 ta thu đưoc fn(1)
=
cna Đ%nh lý 1.5.
. a .n
V¾y nên fn(a) =
.n

]

=

fn−1(1)(n −
1)

n−1

.

nn
1
n

n

, chính là đieu phái chúng minh


1.2.6. Đong nhat thNc Jacobsthal
Sú dung hang đang thúc quen biet
tn − nt + n − 1 = (t − 1)[tn−1 + tn−2 + · · · + t − (n − 1)], n ∈ N∗,
tn + n − 1 “ nt, ∀t “ 0, n ∈ N∗ .

ta suy ra

(1.15)

Ký
hi¾u
‚
.

n

Y x i.
1
An =
n x , G =,
. .i n
i=
n
n

1
i=
1

Khi đó ta có đong nhat thúc (Jacobsthal) sau:
An
=
Theo (1.15)
thì

Gn−1 (n − 1)
. An−1
n

+.

Gn
Gn−1

.n.

.

Gn−1

Gn
. G .n
+ 1 − n.
“ n
n

Gn−1
Gn−1
A
n−
Tù (1.17) và (1.16) ta thu
Gn .
1
đưoc
Gn−1 .

An “

(n − 1)

hay

G

n

(1.16)

n−
1

− (n − 1) +
n

n−1

G

n−1
An − Gn
“

Tù đây suy ra An “ Gn.
1.2.7. CNc tr% cúa hàm so

n (An−1 − Gn−1), n > 1.

(1.17)


Như ta đã thay, phương pháp quy nap "tien-lùi" cna Cauchy cho ta
thu¾t toán huu hi¾u đe chúng minh bat đang thúc giua giá tr% trung bình
c®ng và trung bình nhân. Phái chăng, ta có the chúng minh bat đang thúc
giua giá tr% trung bình c®ng và trung bình nhân theo phương pháp quy
nap thông thưòng? Đieu này thnc hi¾n đưoc thông qua các đong nhat
thúc như đã thay ó các muc trên. Sau đây, ta sú dung phương pháp kháo
sát hàm so m®t bien đe thnc hi¾n phép chúng minh quy nap bat đang
thúc trên.