chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương i.
hàm số lượng
giác và
phương trình
lượng giác.
Nguyễn bảo vương
TàI LIệU Có ĐáP áN Và Hdg

Các em học sinh theo dõi facebook: />để nhận được nhiều tài liệu hay hơn.

Giáo viên muốn mua

file word liên hệ

0946798489 để biết thêm chi tiết.

Nm hc: 2017-2018


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
BµI 1.

HµM Sè L­ỵng gi¸c

a. kiÕn thøc cÇn nhí.

 Hàm số sin: y  sin x

Tính chất:
•Tập xác định  .
•Tập giá trị: 1;1 ,có nghĩa là 1  sin x  1, x   .


•Hàm số tuần hồn với chu kì 2 , có nghĩa sin x  k 2   sin x với k   .

 


•Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k 2;  k 2 và nghịch biến trên mỗi
 2
2



3
 k 2 , k   .
khoảng   k 2;

 2
2
• y  sin x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1).
y

f(x) = sin(x)

1

3π

π
-3π

-2π

-π
3π
-

-

π

2
O

2

-1

2

π

2π

3π
x

2

Hình 1.
•Một số giá trị đặc biệt:
sin x  0  x  k ,(k  )

sin x  1  x 


 k 2,(k  )
2

sin x  1  x  


 k 2,(k  )
2

 Hàm số cơsin: y  cos x
Tính chất:
•Tập xác định  .
•Tập giá trị: 1;1 ,có nghĩa là 1  cos x  1, x   .


•Hàm số tuần hồn với chu kì 2 , có nghĩa cos x  k 2   cos x với k   .
•Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k 2; k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng

k 2;   k 2  , k   .
• y  cos x là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2).

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 1


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>y
1

-3π

f(x) = cos(x)

-π
-

3π

π
π

3π

-2π

-

2

2

O

π

3π

2

2

-1

x

2π

Hình 2.
•Một số giá trị đặc biệt:


 k ,(k  )
2
cos x  1  x  k 2,(k  ) .
cos x  0  x 

cos x  1  x    k 2,(k  ) .

 Hàm số tang: y  tan x 

sin x
cos x

Tính chất:





•Tập xác định:  \ 
  k  k  



2



•Tâp giá trị là  .
•Hàm số tuần hồn với chu kì  , có nghĩa tan x  k    tan x ,(k  ) .

 


•Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k ;  k , k   .
 2
2


• y  tan x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận
mỗi đường thẳng x 


 k , k   làm đường tiệm cận.(Hình 3)
2
y

-2π

-

3π
2

-π

-

π
2

π
O 2

f(x) = tan(x)

π

3π

2

2π

x

Hình 3.
•Một số giá trị đặc biệt :
tan x  0  x  k , k  

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 2


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

tan x  1  x 

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>

 k , k   .
4

tan x  1  x  


 k , k   .

4

 Hàm số cotang: y  cot x 

cos x
.
sin x

Tính chất:





•Tập xác định:  \ k  k   .
•Tập giá trị:  .
•Hàm số tuần hồn với chu kì  , có nghĩa cot x  k    cot x ,(k  ) .
•Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng k ;   k  , k   .
• y  cot x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận
mỗi đường thẳng x  k , k   làm đường tiệm cận (Hình 4).
y
f(x)=cotan(x)

-2π

-

3π
-π
2

-

π
2

O

π
2

π

3π 2π
x
2

Hình 4
•Một số giá trị đặc biệt :

cot x  0  x 


 k , k   .
2

cot x  1  x 


 k , k   .

4

cot x  1  x  


 k , k   .
4

ii. c¸c d¹ng to¸n th­êng gỈp vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i.

Dạng toán 1: Tìm tập xác đònh của hàm số.


 Phương pháp giải:
Khi tìm tập xác định của hàm số, ta cần chú ý:
• Các hàm số y  sin x , y  cos x xác định trên .

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 3


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai
• Hàm số y 

P x 
Q x 

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

/>
xác định khi Q x   0. Từ đó suy ra:

-

Hàm số y  tan x xác định khi cos x  0.

-

Hàm số y  cot x xác định khi sin x  0.

• Hàm số y 

f x  xác định khi f x   0.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định D của hàm số y 

k 

A. D   \ 
 , k   .
 2

 

C. D   \ 
  k 2, k   .
 2

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y 

 

A. D   \ 
  k , k   .
 2

C. D  .

sin x  2
sin x .cos2 x





B. D   \ 
  k , k  
.


2



D. D   \ k , k   .

2 cos x  3
.
sin x  1

 



B. D   \ 
  k 2, k  
.


 2







D. D   \ 
  k 2, k  
.


2




 Áp dụng làm các bài tập sau:
Câu 1. Hàm số y 

cos x

2 sin x  3

 k 2, k   .


có tập xác định là:

 




A.  \ 
B.  \ 

  k , k  
.
 3


6



 







5
2
C.  \   k 2,
D.  \ 
 k 2, k  
 k 2, k  
.
  k 2,
.
 6



6
3

3




 x  
Câu 2. Hàm số y  tan    có tập xác định là:
 2 4 
 

A.  \ 

  k 2, k   .
 2

 3

C.  \ 
  k 2, k   .
 2






B.  \ 
  k , k  
.


2



D. .



Câu 3. Tập xác định của hàm số y  cot 2x    2 là:

3 

 





A.  \ 
B.  \ 
  k , k   .
  k 2, k  
.
 6



6



 5 k 



 k


, k   .
, k  
C.  \ 
C.  \ 

 
.
 12



2
2
6





Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 4


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai
Câu 4. Hàm số y 

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
1  cos x
có tập xác định là:
1  sin x






B.  \ 
  k , k  
.


2





k 

D.  \ 
 , k  
.


2




A.  \ k , k   .

 


C.  \ 
  k 2, k   .
 2

sin x
Câu 5. Cho hàm số y 
và k  . Khoảng nào dưới đây khơng nằm trong tập xác
1  tan x
định của hàm số?
 




3
 k 2 .
A.   k 2;  k 2.
B.   k 2;

2
2
 2


 3



3
3

 k 2;
 k 2 .
 k 2 .
C. 
D.   k 2;


 4
 2
2
4
Câu 6. Hàm số y 
A. .

 Đáp án:

1D

cos x  1
có tập xác định là:
3  sin x
B.  \ k 2, k   . C. k 2, k   .
2C

3D

4C

D. .
5A

6C

Dạng toán 2: Xác đònh tính chẵn, lẻ của hàm số.


 Phương pháp giải:
Khi xác định tính chẵn, lẻ của hàm số y  f x  ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
• Nếu D khơng là tập đối xứng, nghĩa là x  D sao cho x  D thì ta kết luận ngay hàm số

y  f x  khơng, chẵn, khơng lẻ.
• Nếu D là tập đối xứng ta thực hiện bước 2.
Bước 2.
• Nếu f x   f x  với mọi x  D thì hàm số y  f x  là hàm số chẵn.
• Nếu f x   f x  với mọi x  D thì hàm số y  f x  là hàm số lẻ.
• Nếu x  D mà f x   f x  hoặc f x   f x  thì hàm số y  f x  là hàm số khơng
chẵn (khơng lẻ).
Chú ý: Khi xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ta cần lưu ý:
• x  , sin x    sin x .

• x  , cos x   cos x .

 

• x   \ 
  k , k  , tan x    tan x . • x   \ k , k  , cot x    cot x .
 2

Ví dụ 3. Hàm số nào sau đây khơng phải là hàm số lẻ?

A. y  sin x .
B. y  cos x .
C. y  tan x .
Ví dụ 4. Hàm số y  sin x . cos x là:
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

D. y  cot x .

Trang 5


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
A. Hàm số khơng có tính chẵn, lẻ.
C. Hàm có giá trị lớn nhất bằng 1.

B. Hàm chẵn.
D. Hàm lẻ.

 Áp dụng làm các bài tập sau:
Câu 7. Hàm số y  sin x . cos 2x là:
A. Hàm chẵn.
B. Hàm khơng có tính chẵn, lẻ.
C. Hàm khơng có tính tuần hồn.
D. Hàm lẻ.
tan 3x
Câu 8. Hàm số y 

thỏa mãn tính chất nào sau đây?
sin 3 x
A. Hàm chẵn.
B. Hàm khơng có tính chẵn , lẻ.
C. Xác định trên .
D. Hàm lẻ.
Câu 9. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
tan x
cos x
A. y  sin2 x .
B. y  sin2 x .cos x . C. y 
D. y 
.
.
cos x
sin x
Câu 10. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
tan 2x
A. y 
. B. y  sin x .cos 2x . C. y  cos x sin x . D. y  cos x sin 3 x .
2
tan x  1
Câu 11. Trong các hàm số sau, hàm số nào khơng là hàm chẵn và cũng khơng là hàm lẻ?


1
A. y  tan x 
B. y  2 sin x   .
.


sin x
4 
D. y  sin 4 x  cos4 x .

C. y  sin x  tan x .

 Đáp án

7D

8A

9C

10C

11B

Dạng toán 3: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số.


 Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số lượng giác, ta biến đổi hàm số đã cho
về dạng y  a  b sin t hoặc y  a  b cos t .
Và sử dụng kết quả: 1  sin t  1,  1  cos t  1.
Ví dụ 5. Hàm số y  2 sin x cos x  cos 2x có giá trị lớn nhất là:
A. 3.

B. 2 2.

C. 2.

D. 2.

Ví dụ 6. Hàm số y  sin x  cos x   cos 2x có giá trị nhỏ nhất là:
2

A. 1.

B. 1  2.

C. 0.

D. 1  2.

 Áp dụng làm các bài tập sau:
Câu 12. Hàm số y  sin x  cos x   cos 2x có giá trị lớn nhất là:
2

A. 1  2.
Câu 13. Hàm số y 

B. 3.

C. 5.

D. 2.

3 sin x  cos x có giá trị nhỏ nhất là:

A. 1  3.

B.  3.
C. 2.
D. 1  3.
cos x  1
Câu 14. Cho hàm số y 
. Mệnh đề nào trong số các mệnh đề sau là sai?
cos x  2
A. Tập xác định của hàm số là .

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 6


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0.
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  2.
D. Hàm số tuần hồn với chu kì T  2.
Câu 15. Hàm số nào sau đây có giá trị lớn nhất bằng 2.
A. y  tan x  cot x .
B. y  2 tan x .


C. y  2 cos x  sin x .

D. y  sin 2x   .

4 
Câu 16. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3  4 sin2 x cos2 x là:
A. 1.
B. 2.
C. 1.
12A
13C
14D
 Đáp án

D. 3.
15C

16B

Dạng toán 4: Tìm chu kì của hàm số lượng giác.


 Phương pháp giải:
Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác ta cần lưu ý rằng:
• Hàm số y  sin x , y  cos x có chu kì T  2.
• Hàm số y  tan x , y  cot x có chu kì T  .
• Hàm số y  sin ax  b , y  cos ax  b , a  0 có chu kì T 

2
.
a

• Hàm số y  tan ax  b , y  tan ax  b , a  0 có chu kì T 


.
a

• Nếu hàm số f1 có chu kì là T1 , f2 có chu kì là T2 thì hàm số f  f1  f2 có chu kì T với T là
số nhỏ nhất sao cho T  kT1  lT2 : k , l  * .
Ví dụ 7. Hàm số y  2 cos2 x  1 là hàm tuần hồn với chu kì:
A. T  .

B.T  2.

C. T   2 .

D. T 


.
2



x
Ví dụ 8. Hàm số y  sin   x   cos là hàm tuần hồn với chu kì:

 2
3
A. T  .

B.T  2.

C. T  3.

D. T  6.

 Áp dụng làm các bài tập sau:
Câu 17. Hàm số y  1  cos 2x có chu kì là:
A. T  2.
B.T  2 .
C. T  .
Câu 18. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
x
x
x
A. cos và sin . B. sin x và tan x .
C. cos x và cot .
2
2
2




Câu 19. Chu kì của hàm số y  2 sin 2x    3 cos 2x   là:

3 
4 

A. T  2.

B.T  .

C. T 


.
2

D. T 

.

D. tan 2x và cot2x .

D. T  4 .

Câu 20. Chu kì hàm số y  sin 2x  2 cos 3x là:

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 7


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai
A. T  2.



Đáp án

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
C. T 

B.T  .

17C

18B

2
.
3
19B

D. T 


.
3
20A

Dạng toán 5: Xác đònh hàm số có đồ thò cho trước.


 Phương pháp giải:
Khi xác định hàm số lượng giác có đồ thị cho trước, ta cần chú ý đến các yếu tố sau:
• Các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua;

• Xác định chu kì của đồ thị hàm số thơng qua đồ thị.
Ví dụ 9. Hình vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây:

x
A. y  sin .
2

x
B. y  cos .
2

x
C. y   cos .
4

 x
D. y  sin   .
 2 

Ví dụ 10. Hình vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây:



x
A. y  sin .
B. y  sin x .
2
Áp dụng làm các bài tập sau:

x

C. y  cos .
2

D. y  cos x .

Câu 21. Hình vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây:

A. y  sin 2x .
B. y  sin 3x .
C. y  cos x .
Câu 22. Hình vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây:

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

D. y  cos 2x .

Trang 8


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

A. y  tan 2x .

B. y  cot 3x .

 Đáp án

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>

x
C. y  tan .
2

21A

D. y  cot 2x .
22A

Ph­¬ng ph¸p sư dơng casio ®Ĩ gi¶I qut d¹ng to¸n t×m tËp x¸c ®Þnh.
Bước 1. Chọn đơn vị sử dụng
Bước 2. Nhập biểu thức vào máy tính
Bước 3. Thử các giá trị tường minh.

1
. Tập xác định của hàm số là:
2 cos x  1




 

 

A. D   \ 
B. D   \ 
  k 2, k  
.
  k 2, k  

.




 6

 4









 



C. D   \ 
D. D   \ 
  k 2, k  
.
  k , k  
.





 3

2






Ví dụ 11. Cho hàm số y 

Sử dụng máy tính CASIO fx – 570MS, bằng cách thực hiện theo thứ tự:
• Chọn đơn vị là radial ta ấn: wwww2
• Nhập biểu thức 2 cos x  1 ta ấn: 2kQ[)p1



• Ta lần lượt thử với các giá trị x  , x  , x 
qr…
6
4
3

Dễ thấy x 
thì kết quả máy tính bằng 0 . Nên chọn C.
3
Ngồi ra, phương pháp này có thể áp dụng cho các bài tốn phương trình lượng giác, vấn
đề này sẽ nói sau.
iii. bµi tËp tr¾c nghiƯm tù lun (cã ®¸p ¸n).

Câu 1.

Tập xác định của hàm số y  1  sin x là:
A. D  1;1 .



B. D  0;1
 

C. D  .

Câu 2.

Tập xác định của hàm số y  1  cos2 x là:

Câu 3.

A. D  1;1 .
B. D  0;1.
C. D  .


Tập xác định của hàm số y  tan x  cot x là:







A. 
x   | x   k , k  
.


2




C. x   | x  k , k   .

D. D  1;1.
D. D   \ 1 .






B. 
x   | x  k , k  
.


2





D. x   | x    k 2, k   .

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 9


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai
Câu 4.

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
Tập xác định của hàm số y  cot x 




A. 
x   | x  k , k   .


2


k
C. 
, k   .
x   | x 



5

1
là:
cos2 x





B. 
x   | x  k , k  
.


3








k
D. 
, k  
x   | x 

.


7





Câu 5.

Tập xác định của hàm số y  1  cos x là:

Câu 6.

A. D  1;1 .
B. D  .
C. D  1;1.


Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ?

Câu 7.

A. y  cos x  sin2 x .
B. y  sin x  cos x .
C. y   cos x .
D. y  sin x . cos 3x .
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y   sin x .

B. y   sin x  cos x .
2

D. y  sin x . cos x .

C. y   cos x  sin x .

Câu 8.

Giá trị lớn nhất của hàm số y 
A.

Câu 9.

2 2
.
4

2
.
11

cos x  2 sin x  3
là:
2 cos x  sin x  4

B. 4 8.

Giá trị bé nhất của hàm số y 

A.

D. D  .

C. 2.

D. 1.

cos x  2 sin x  3
là:
2 cos x  sin x  4

B. 0.

1
C.  .
2

D. 1.

Câu 10. Giá trị lớn nhất của hàm số y  cos x  sin x là:
2 2
B. 4 8.
C. 2.
D. 1.
.
4
Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số sau đây bằng bao nhiêu y  sin x  cos x .
A.

A. 2.
B. 2.
C. 1.
Câu 12. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng 0;   ?

D. 0.

A. y  sin x .
B. y  cos x .
C. y  tan x .
D. y  x 2 .
Câu 13. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hồn?
A. y  2x  3 sin x .

B. y  sin x  cos x  x .

2

C. y  sin x .
D. y  x sin 2 x .
Câu 14. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hồn?
A. y  x cos2 x .

B. y  cos2 x .

C. y  x 2  cos2 x .

D. y  x 2 .

Câu 15. Chu kì của hàm số y  sin 2 x là:

A. T  .
B. T  2.
C. T   2 .
Câu 16. Chu kì của hàm số y  sin 2x  cos 3x . là:
A. T  .

B. T  3.

C. T 

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489


.
6

D. T  4.

D. T  2.

Trang 10


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
Câu 17. Chu kì của hàm số f x   cot x  cot
A. T  .

B. T  2.

Câu 18. Chu kì của hàm số y  cos x  tan

x
x
 cot . là:
2
3
C. T  3.

D. T  6.

x
. là:


A. T  .
B. T  2.
C. T   2 .
Câu 19. Tập giá trị của hàm số y  sin2 x  2 sin x  5 là:

D. Khơng có chu kì.

A. T  4; 8 .
B. T  0;1 .
C.T   3;5 .
 
 

 
2
Câu 20. Tập giá trị của hàm số y  cos x  cos x  1 là:

D.T  .

3 
B. T   ; 3 .
C.T  1; 4 .
D.T  .
 
4 


Câu 21. Cho hàm số f x   sin 2x  2 cos 3x . Chu kì tuần hồn của hàm số bằng:
A. T  3; 3 .



2
B. T  .
C. T  2.
.
3
Câu 22. Giá trị lớn nhất của biểu thức sin4 x  cos4 x là:
A. T 

A. 0.

B. 1.

D. T  4.

1
D. .
2

C. 2.

Câu 23. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos 2x  4 cos x là:
A. 5.
B.  3.
C. 0.
Câu 24. Tập giá trị của hàm số y  2 sin 2x  3 là:

D. 1.

A. T  0;1 .
 

B. T  2; 3 .
C.T  2; 3 .
D.T  1;5 .
 


 
x
x
Câu 25. Cho hàm số f x   2 tan  3 tan . Chu kì tuần hồn của hàm số là:

2
3
A. T  12.
B. T  6.
C. T  3.
D. T  .
2
Câu 26. Giá trị bé nhất của biểu thức cos x  sin x bằng:

3
C. 1.
.
2
Câu 27. Giá trị lớn nhất của biểu thức cos2 x  sin x bằng:
A. 2.

B.

5
C. .
4
Câu 28. Tập giá trị của hàm số y  1  2 sin 3x là:
A. 2.

1C
11B
21C

A. T  1;1 .



Đáp án.
2C
3B
12D
13C
22B
23B

B. 0.

B. T  0;1 .
 
4A
14B
24D

5B
15A
25B

D. 1.

C.T  1; 0 .


6D
16D
26C

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

D. 0.

7C
17C
27C

D.T  1; 3 .


8C
18D
28A

9A
19A

10B
20B

Trang 11


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

BµI 2.

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

/>
PH¦¥NG TR×NH L­ỵng gi¸c c¬ b¶n

I. kiÕn thøc cÇn nhí.
 Phương trình sin x  a

1

• a  1 : Phương trình 1 vơ nghiệm.
• a  1 : Gọi  là một cung sao cho sin   a. Khi đó 1  sin x  sin  và 1 có các

x    k 2, k  
.
nghiệm 
x





k
2

,
k




 Chú ý:

-



   và sin   a thì ta viết   arcsin a.
2
2
x     k 360 , k  
.
Phương trình sin x  sin   có các nghiệm: 



x  180    k 360 , k  
Trong một cơng thức nghiệm của phương trình lượng giác, khơng được đồng thời
dùng hai đơn vị độ và radian.
Khi 

 Phương trình cos x  a

2

• a  1 : Phương trình 2 vơ nghiệm.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 12


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489

Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
• a  1 : Gọi  là một cung sao cho sin   a. Khi đó 2  cos x  cos  và 2 có các

x    k 2, k  
nghiệm 
.
x    k 2, k  

 Chú ý:
-

Khi 0     và cos   a thì ta viết   arccos a .

-

x     k 360 , k  
.
Phương trình cos x  cos   có các nghiệm: 


x    k 360 , k  

 Phương trình tan x  a

 3

• `Phương trình 3 xác định khi x 


 k , k  .
2

• a   , tồn tại cung  sao cho tan   a , Khi đó 3  tan x  tan  và 3 có nghiệm

x    k , k  .

 Chú ý:


   và tan   a thì ta viết   arctan a.
2
2

-

Khi 

-

Phương trình tan x  tan   có các nghiệm: x     k 180 , k  .

 Phương trình cot x  a

4

• `Phương trình 4 xác định khi x  k , k  .
• a   , tồn tại cung  sao cho tan   a , Khi đó 4   cot x  cot  và 4 có nghiệm

x    k , k  .

 Chú ý:
-

Khi      và cot   a thì ta viết   arccot a.

-

Phương trình cot x  cot   có các nghiệm: x     k 180 , k  .
Ph­¬ng ph¸p casio ®Ĩ gi¶I to¸n tr¾c nghiƯm ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c
Với mục đích là kiểm tra nghiệm của phương trình lượng giác.
Dạng 1. Nghiệm phương trình lượng giác F sin;cos; tan; cot  0 . Để kiểm tra nghiệm
ta dùng chức năng tính bảng giá trị (Table).
Khi làm việc với hàm lượng giác, máy tính phải đưa về chế độ RAD ® : Shift >Mode>4.
Phương pháp:
Nhập hàm, chuyển tất cả phương trình về 1 vế trái, vế phải ln bằng 0.
Nhận xét trước các phương án để chọn khoảng xét:
+ Nếu các nghiệm đều dương thì chọn khoảng xét là  0;2 .





+ Nếu có nghiệm âm thì chọn ;   .





 
+ Chọn 1 vòng đường tròn lượng giác là để xét k 2  hay k hay k  .
2 

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 13


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
Xét các giá trị nghiệm chọn bước nhảy thích hợp. Sau khi có bảng, thì nếu cột

F X   0  X là nghiệm.
Ví dụ: giải phương trình sin 3x  sin x  cos 3x  cos x có nghiệm là:
A.



 k 2;  k 
2
4

B.




 k ;  k 
2
4





D. k ;  k  k   .
 k ;  k
2
8
2
8
Ấn mode 7. Nhập hàm sin 3X  sin X  cos 3X  cos X
Start?: 0
End? 2
C.

Step:


8



là nghiệm chọn C.
 k và
8

2
2

Nhìn vào cột F(X) nhanh chóng chọn đáp án
II. Mét sè vÝ dơ.
Ví dụ 1.

Phương trình sin x  cos x có số nghiệm thuộc đoạn 0;   là:
 
A. 1.
B. 4.
C. 5.
D. 2.

Ví dụ 2.

Phương trình sin 2x  1 có nghiệm là:

Ví dụ 3.

Ví dụ 4.

A. x 


 k 4, k  .
2

B. x 


 k , k  .
2

C. x 


 k 2, k  .
4

D. x 


 k , k  .
4

Phương trình sin 2
A. x 


 k 2, k  .
2

B. x 

C. x 

3
 k 3, k  .
2

D. x  k , k  .

3
 k 2, k  .
2

Phương trình 2 cos x  3  0 có tập nghiệm trong khoảng 0;2  :

  11 



A. 
 ;
.

6 6 



Ví dụ 5.

x
 1 có nghiệm là:
3

 2 4 

B. 

 ; .

 3 3 


  5 


C. 
 ; 
.

3 3 




 5 7  


D. 
 ; 
.

6 6




Phương trình sin  cos 2x   1 có nghiệm là:

A. x  k , k  .
C. x 


 k , k  .
2

B. x    k 2, k  .
D. x  


 k , k  .
6

IIi. Bµi tËp tr¾c nghiƯm (cã ®¸p ¸n).

x
 1 có nghiệm là:
2
A. x  2  k 4 , k  .
B. x  k 2, k  .

Câu 29. Phương trình cos

C. x    k 2, k  .

D. x  2  k , k  .

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 14


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
Câu 30. Phương trình cos2 3x  1 có nghiệm là:
B. x 

A. x  k , k  .

k
, k  .
2

k
k
D. x 
, k  .
, k  .
3
4


Câu 31. Phương trình tan x    0 có nghiệm là:

4 
C. x 


 k , k  .
4
C. x  k , k  .
A. x 

3
 k , k  .
4
D. x  k 2, k  .
B. x 



Câu 32. Phương trình cot x    0 có nghiệm là:
4 

A. x  


 k , k  .
4

B. x 


 k , k  .
4



D. x   k 2, k  .
 k 2, k  .
4
4
2


Câu 33. Trong 0;   , phương trình sin x  1  cos x có tập nghiệm là:
 
  
  3 


  

A. 
B. 
C. 0;   .
D. 
 .
 ; 
.
0; ; 
.
 2 
 2 2 



 2 




Câu 34. Trong 0;2  , phương trình cos 2x  sin x  0 có tập nghiệm là:


 7 11 
  7 11 



 5 7  

  7  5 


A.  ;
B. 
D. 
.
 ; ;
 . C. 
 ; 
.
 ; ; 
.
 6 6 
 2 6 6 




6 6

6 6 6 






Câu 35. Trong 0;2  , phương trình sin 2x  sin x  0 có số nghiệm là:

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
C. x  

Câu 36. Phương trình sin x  3 cos x  1 có số nghiệm thuộc 0; 3  là:
A. 2.

B. 3.

Câu 37. Số nghiệm của phương trình
A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 6.



2 cos x    1 thuộc 0;2  là:



3 
C. 1.

D. 3.



Câu 38. Số nghiệm của phương trình sin x    1 thuộc 0; 3  là:



4 
B. 0.

A. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 39. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
A.

3 sin x  2.

C. 2 sin x  3 cos x  1.

1
1
B. cos 4x  .
4
2
D. cot2 x  cot x  5  0.

Câu 40. Trong các phương trình sau, phương trình nào vơ nghiệm?
A. sin 2x  cos 2x  1.
B. sin 2x  cos x  0.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 15


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai
C. sin x 

2
.
5

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
D. sin x  3 cos x  0.

x
 3 trong khoảng 0;2  là:

4




 2 

 3 

  2 

  3 

A. 
B. 
C. 
D. 
 
.
 
.
 ; 
.

 ; 
.




3

2

3 3 

2 2 









2
Câu 42. Tập nghiệm của phương trình cos x  cos 2x  0 trong khoảng 0;2  là:

  3 

 3 

  



A. 0;   .
B. 
C. 
D. 
0;  .
 ; 
.
0; 
.
 2 


2 2 

 2





Câu 41. Tập nghiệm của phương trình 3 tan

Câu 43. Phương trình cos  sin x   1 có nghiệm là:
A. x  k , k  .
C. x 

B. x    k 2, k  .


 k , k  .
2

D. x 


 k , k  .
4

Câu 44. Phương trình cos  cos 3x   1 có nghiệm là:
A. x 



 k , k  .
8
4

B. x 



 k , k  .
4
2

C. x 




 k , k  .
6
3

D. x 


 k , k  .
2

sin x  1
có tập nghiệm là:
tan x  1
 





A. 
B. 
  k , k   .
  k 2, k  
.
 2



2




 



C. .
D. 
  k 2, k  
.


 2




Câu 45. Phương trình

Câu 46. Phương trình

sin 2x  2 cos x  sin x  1
tan x  3

 

A. 
  k 2, k   .
 3


 



C. 
  k 2,   k 2, k  
.
 3

2



 0 có tập nghiệm là:



 

B. 
  k 2, k  
.


 3



 




D. 
  k 2, k  
.


2





Câu 47. Phương trình sin 3x  cos 2x  sin x  0 có tập nghiệm trong 0;   là:


  3 

A. 
 ; 
.

4 4 








B. 
 
.

4





 3 

C. 
 
.

4





   3 

D. 
 ; ; 
.

6 4 4 





Câu 48. Phương trình cos 2x  2 cos2 x  1  0 có tập nghiệm là:









A. 
B. 
  k , k  
.
  k , k  
.




2
4

4






 

C. 
D. k , k   .
  k 2, k   .
 4

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 16


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai
Câu 49. Phương trình 2 cos

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
x
 3  0 có nghiệm là:
2

A. x  

5
 k 4, k  .
3

B. x  

5
 k 2, k  .
6

C. x  

5
 k 4, k  .
6

D. x  

5
 k , k  .
3

Câu 50. Phương trình
A. x 

3 tan x  3  0 có nghiệm là:


 k , k  .
3


 k , k  .

6
Câu 51. Mệnh đề nào sau đây sai?
C. x 

B. x  


 k 2, k  .
3

D. x  


 k , k  .
3


 k 2, k  .
2
B. sin x  0  x  k , k  .
A. sin x  1  x  

C. sin x  0  x  k 2, k  .
D. sin x  1  x 


 k 2, k  .
2





Câu 52. Nghiệm của phương trình sin x 2 cos x  3  0 là:
x  k 

A. 
, k  .
x     k 2 

6
x  k 2 

C. 
, k  .
x     k 2 

3

x  k 

B. 
, k  .
x     k 

6
D. x  


 k 2, k  .

6

Câu 53. Nghiệm của phương trình cos2 x  cos x  0 thuộc 0;   là:



B. x  0.
C. x   .
D. x   .
.
2
2
Câu 54. Phương trình cos2x  0 có nghiệm là:

x    k 2



6
A. 
B. x   k , k  .
, k  .
4
2
x  5  k 2

6

A. x 

C. x  

2
 k 2, k  .
3

Câu 55. Phương trình sin 3x 
A. x 

D. x 

2
có nghiệm là:
2

k
, k  .
4


k 2
 k 2

;x  
, k  .
12
3
4
3
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

C. x 


 k , k  .
4

B. x  k , k  .
D. x 

 k

, k  .
6
2
Trang 17


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai
Câu 56. Nghiệm phương trình cos x 
A. x 

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
1
 0 là:
2



 k 2, k  .
6

B. x 

5
 k , k  .
6


2
D. x    k 2, k  .
 k 2, k  .
3
3
Câu 57. Nghiệm phương trình tan x  1  0 là:
C. x  

A. x 


 k , k  .
2

C. x  


 k , k  .
4

B. x 


 k , k  .
4

D. x 

3
 k 2, k  .
4

Câu 58. Nghiệm phương trình 3 tan x  3  0 là:
A. x 


 k 2, k  .
3

B. x  


 k , k  .
6

C. x 


 k , k  .
6

D. x  


 k , k  .
3

Câu 59. Nghiệm phương trình cot2x 
A. x  k
C. x 

1
3

là:


, k  .
4

B. x  k , k  .


k 2
 k 2

;x  
, k  .
12
3

4
3

Câu 60. Nghiệm phương trình sin 9x  

D. x 

 k

, k  .
6
2

19
là:
18


B. x  k , k  .
, k  .
4
 k
C. x  
D. Vơ nghiệm.
, k  .
6
2
Câu 61. Phương trình tan 4x  0 có nghiệm là:
A. x  k

A. x  k
C. x 


, k  .
4


k 2
 k 2

;x  
, k  .
12
3
4
3

B. x  k , k  .
D. x 

 k

, k  .
6
2

3
có nghiệm là:
2

1

k
1  k
A. x  

;x   
, k  .
4 12
2
4 6
2

Câu 62. Phương trình sin 4x  1 


 k 2; x    k 2, k  .
2
1
k
C. x 

, k  .
24
12
B. x  

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 18

Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai
D. x 

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
165
115
 k 180 ; x  
 k 180 , k  .
2
2

2
có nghiệm là:
2
1

k
1  k
A. x  

;x   
, k  .
4 12
2
4 6
2


B. x    k 2; x    k 2, k  .
2





Câu 63. Phương trình cos 2x  30  

C. x 

1
k

, k  .
24
12

D. x 

165
115
 k 180 ; x  
 k 180 , k  .
2
2

Câu 64. Các giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình sin x 
A. x 


 k 2, k  .
3

B. x 

C. x 

5
 k 2, k  .
6

D. x  

Câu 65. Nghiệm của phương trình sin x  
A. x 


 n , n  .
3

C. x  1

n

Câu 66. Nghiệm của phương trình sin x 
n 1

A. x  1

C. x  1

n


 k , k  .
6

 k 2, k  .
6

3
là:
2
n 1

B. x  1


 n , n  .
4

1
?
2

D. x  1

n


 n , n  .
3


 n , n  .
3

2
là:
2


 n , n  .
4


 n , n  .
4

Câu 67. Nghiệm của phương trình cos x  

B. x 


 k , k  .
8

D. x 

2
.
2

1
là:
2

A. x  


 k , k  .
6

B. x  


 k 2, k  .
6

C. x  


 k , k  .
3

D. x  

2
 k 2, k  .

3

Câu 68. Nghiệm của phương trình cos x  
A. x  


 k , k  .
6

3
là:
2
B. x  

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489


 k 2, k  .
6

Trang 19


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
5
5

D. x  
 k , k  .
 k 2, k  .
6
6
Câu 69. Phương trình tan x  1 có nghiệm là:
C. x  

A. x 


5
 k
 k 2; x 
 k 2, k  . B. x  
, k  .
6
6
4
2

C. x 


 k , k  .
4

D. x  



 k , k  .
6

Câu 70. Phương trình cot x   3 có nghiệm là:
A. x 


5
 k
 k 2; x 
 k 2, k  . B. x  
, k  .
6
6
4
2

C. x 


 k , k  .
4

Câu 71. Phương trình sin 2 3x 

D. x  


 k , k  .
6

3
có nghiệm là:
4

A. x  

 k

, k  .
6
2

B. x 

C. x  

2 k 

, k  .
9
3

D. x  

1
k
 , k  .
10 5


k

, k  .
12
4

Câu 72. Phương trình tan 2 2x  3 có nghiệm là:
A. x  

 k

, k  .
6
2

B. x 

C. x  

2 k 

, k  .
9
3

D. x  

Câu 73. Phương trình cot2 4x 

1

k
 , k  .
10 5

k

, k  .
12
4

1
có nghiệm là:
3

A. x  

 k

, k  .
6
2

B. x 

C. x  

2 k 

, k  .
9

3

D. x  

1
k
 , k  .
10 5

k

, k  .
12
4

1
. Tập xác định của hàm số là:
2 cos x  1
 

 



A. D   \ 
B. D   \ 
  k 2, k   .
  k 2, k  
.
 6




 4



 




 

C. D   \ 
D. D   \ 
  k 2, k  
.
  k , k  
.
 3




 2





x  
Câu 75. Số nghiệm của phương trình cos     0 thuộc đoạn 2; 4  là:
 2 4 

Câu 74. Cho hàm số y 

A. 1.

B. 2.

C. 3 .

D. 4.
Câu 76. Phương trình cos x  sin x có số nghiệm thuộc đoạn ;   là:


A. 2.

B. 4.

C. 5 .

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

D. 6.

Trang 20


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489

Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>


Câu 77. Số nghiệm của phương trình sin x    1 thuộc đoạn ;2  là:



4 
A. 1.

B. 2.

D. 0.

C. 3 .


Câu 78. Giải phương trình sin2 2x  cos2 (x  )
4

x    k 

4
A. 
B.
, k  .


x   k 

2
3


x     k 

4
C. 
D.
, k  .
x    k 

12
3



x    2k 

4
, k  .

x    k 

12
3



x    k 

4
, k  .

x    k 

12
3


ĐÁP ÁN
1A

2C

3A

4B

5D

6B

7D

8B

9B

10C

11C

12C

13A

14A

15A

16C

17C

18A

19A

20B

21A

22D

23C

24A

25A

26B

27C

28C

29B

30B

31D

32D

33A

34A

35D

36C

37B

38C

39D

40D

41C

42D

43C

44A

45D

46C

47A

48A

49D

50D

BµI 3.

MéT Sè PH¦¥NG TR×NH L­ỵng gi¸c th­êng gỈp

i. kiÕn thøc cÇn nhí.
Tài liệu chỉ nhắc đến các dạng tốn thường gặp.
ii.c¸c d¹ng to¸n th­êng gỈp vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i.

Dạng toán 1: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
a sin x  b cos x  c  0 .


 Phương pháp giải:
a

chia 2 ve

a sin x  b cos x  c 

2
2
a b

cos 

a b

a


 sin x   
sin 

2

a 2 b 2
b

a 2 b 2

c
2

a b

2

2

sin x 

b
2

a b

2

cos x 

c
2

a  b2

DK

Dap An

a 2 b 2 c 2

3 sin 2x  cos 2x  1.

Ví dụ 1.

Giải phương trình:

Ví dụ 2.

Giải phương trình: 5 sin 2x  12 cos 2x  13

Hướng dẫn: Chia hai vế cho 2.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 21


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
Hướng dẫn: Chia hai vế cho 13.

3 sin 2x  cos 2x  2 cos x  1.
Hướng dẫn: sin 2x  2 sin x cos x , cos 2x  2 cos2 x  1.

Ví dụ 3.

Giải phương trình:

Ví dụ 4.




 3 2
Giải phương trình: 2 sin   x   sin x   
.
 4


4 
2



 sin x  cos x
.
Hướng dẫn: sin   x  
4

2

Ví dụ 5.





Giải phương trình: 2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x  1.





Hướng dẫn: 2 cos x  3 sin x cos x  2 cos2 x  3 sin 2x .
Ví dụ 6.

Giải phương trình: sin 8x  cos 6x  3 sin 6x  cos 8x 
Hướng dẫn: sin 8x  3 cos 8x 

3 sin 6x  cos 6x .

 Áp dụng làm các bài tập sau:
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Tập nghiệm của phương trình: sin x  3 cos x  2 là:
 5

 5






 k , k  
 k 2, k  
A. 
B. 

.

.




 6

 6





 








C. 
D. 
  k , k  
.
  k 2, k  
.




 2

6





Phương trình 2  a  sin x  1  2a  cos x  3a  1 có nghiệm khi:

a  2


a  1
1
1

A.

B. 
C.   a  2.
D. 2  a  .
.
2 .
a   1

2
2

a  2
2
Nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 là:

A. x  k 2, k  .
B. x   k 2, k  .
4

 x  k 2
x    k 2


4
C. 
D. 
, k  .
, k  .
 x    k 2



x



k
2



2
4

Phương trình 3 sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây?



1


A. sin 3x     .
B. sin 3x     .


6 
2
6 
6

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 22


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai



1
C. sin 3x     .

6 
2
Câu 5.

Câu 6.


 1
D. sin 3x    .

6  2

Điều kiện để phương trình 3 sin x  m cos x  5 vơ nghiệm là:
m  4
A. 
B. m  4.
C. m  4.
D. 4  m  4.
.

m  4
Tổng các nghiệm của phương trình cos 2x  sin 2x  1 trong khoảng 0;2  là:
A.

Câu 7.

7
.
4

B.

14
.
4

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

15
.
8

D.

13
.

4

3 cos 2x là:


x    k 

3
B. 
, k  .
4
x    k 

9
3


x     k 

3
D. 
, k  .
2


x 
k

9
3



Tổng các nghiệm của phương trình cos 2x  3 sin 2x  1 trong khoảng 0;   là:
B. .

A. 0.
Câu 9.

C.

Nghiệm của phương trình 2 sin x cos x  1 


x    k 2

3
A. 
, k  .
4
x    k 2

9
3


x     k 2

3
C. 
, k  .

2

2
x 
k

9
3

Câu 8.

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>
Phương trình

C. 2.

D.

2
.
3

2 sin x  cos x  1
 m có nghiệm khi:
sin x  2 cos x  3

m  2

1

1
1
A. 
B. 2  m  .
C.   m  2.
D.   m  2.
.
1
m  
2
2
2

2
Phương trình m  2 sin x  2m cos x  2 m  1 có nghiệm khi:

m  4
A. 
.
m  0

m  0
B. 
.
m  4

Giải phương trình

3 sin x  cos x  1  0.

x

A. 
x

x

C. 
x


 k
, k  .

  k
3
 2k 
, k  .
4

 k 2
3

Giải phương trình 3 sin 2x  cos 2x 

x  7   k 

24
A. 
, k  .

x    k 

24


C. 4  m  0.

D. 0  m  4.

x  k 

, k  .
B. 
x  2   k 2

3
x  k 

, k  .
D. 
x  2  k 

3
2.


x  7   k 2

24
B. 

, k  .
x    k 2

24


Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 23


Tt GIA SƯ CHư sê- 094.6798.489
Số 17. Hoàng Văn Thụ. TT. Chư Sê. Gia Lai

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
/>

x  7   k 

24
2 , k  .
C. 

k

x 


24
2




x  5  k 

24
D. 
, k  .
x    k 

24


Câu 13.

Giải phương trình sin 3x  3 cos 3x  2 cos 5x


x  5  k 
x  5  k 


48
5 , k  .
48
4
A. 
B. 
, k  .
x   5  k 

x   5  k 2


12
12




x  5  k 
x  5  k 


48
4 , k  .
48
4 , k  .
C. 
D. 
x   5  k 
x   5  k 


12
2
12



Câu 14.

Giải phương trình


x

A. 
x



x

C. 
x


Câu 15.

3 sin 2x  cos 7x   sin 7x  cos 2x


k 2

10
5 , k  .
7
2

k

54
9



k

10
5 , k  .
7
2

k
54
9







x    k 3

10
5 , k  .
B. 
7



x 
k

54
3


x    k 2

10
5 , k  .
D. 
7

2
x 
k

54
9


Giải phương trình 4 sin 4 x  cos4 x  3 sin 4x  2.


x

A. 
x




x

C. 
x



 k

4
7
, k  .


  k
12
7


 k

4
3
, k  .


  k
12

3



x    k 

4
5
B. 
, k  .

x    k 

12
5


x    k 

4
2
D. 
, k  .

x    k 

12
2


Câu 16.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 sin x  m 3 cos x  2m có
nghiệm.
A. 2  m  2.
B. 1  m  1.
C. m  2.
D. 2  m.

Câu 17.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin2 x  m sin 2x  1 có
nghiệm.
A. m  0.
B. m  1.
C. m  2.
D. m  .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 sin x  4 cos x  5 .
A. min y  0, max y  12.
B. min y  0, max y  10.

Câu 18.

C. min y  0, max y  5.
Câu 19.

D. min y  2, max y  5.

sin x  2 cos x  1
.

sin x  cos x  2
B. min y  1, max y  1.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 
A. min y  2, max y  1.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ngun B¶o V­¬ng - 0946798489

Trang 24