Chuen de ham so luong giac rat hay- ngan gon, day du-new2009

Chuyên đề 1: hàm số lợng giác.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Hàm số y = sin x.
*/ Tập xác định: D =
Ă
;
*/
x Ă
ta luôn có:
1 sin 1x
;
*/ Hàm số y = sin x là một hàm số lẻ trên
Ă
và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ
2

.
*/ Đồ thị:
-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2
-1
1
x
y
0
2. Hàm số y = cos x.
*/ Tập xác định: D =
Ă
;
*/
x Ă
ta luôn có:

1 cos 1x
;
*/ Hàm số y = cos x là một hàm số chẵn trên
Ă
và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ
2

.
*/ Đồ thị:
-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2
-1
1
x
y
0
3. Hàm số y = tan x.
*/ Tập xác định:
\ ,
2
D k k



= +


ÂĂ
;
*/ Hàm số y = tan x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ

;
*/ Đồ thị:
-3/2 - -/2 /2 3/2
-1
1
x
y
/4
-/4
4. Hàm số y = cot x.
*/ Tập xác định:
{ }
\ ,D k k

= ÂĂ
;
1
*/ Hàm số y = cot x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ

;
*/ Đồ thị:
-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2
-1
1
x
y
/4
-/4
0
5. Chú ý.

Một số các giá trị đặc biệt của các hàm số lợng giác:
*/
sin 1 2 ,
2
x x k k


= = + Â
;
*/
sin 0 ,x x k k

= = Â
;
*/
sin 1 2 ,
2
x x k k


= = + Â
;
*/
cos 1 2 ,x x k k

= = + Â
;
*/
cos 0 ,
2

x x k k


= = + Â
;
*/
cos 1 2 ,x x k k

= = Â
;
*/
tan 1 ,
4
= = + Âx x k k


;
*/
tan 0 ,x x k k

= = Â
;
*/
tan 1 ,
4
x x k k


= = + Â
;

*/
cot 1 ,
4
= = + Âx x k k


;
*/
cot 0 ,
2
x x k k


= = + Â
;
*/
cot 1 ,
4
x x k k


= = + Â
;
II. Kỹ năng cơ bản.
2
Tìm tập xác định; xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và vẽ đợc đồ thị của một hàm số l-
ợng giác.
III. Một số ví dụ
A. Ví dụ tự luận.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

1/
cos2y x=
2/
sin 3y x=
3/
1
siny
x
=
4/
2
cos 4y x=
Giải.
1/ Do
2 ,x x Ă Ă
nên hàm số đã cho có tập xác định là
D
=
Ă
.
2/ Hàm số
sin 3y x=
xác định khi và chỉ khi
3 0 0x x
. Vậy tập xác định của
hàm số đã cho là
[
)
0;D = +
.

3/ Hàm số
1
siny
x
=
xác định khi và chỉ khi
1
0.x
x
Ă
Vậy tập xác định của
hàm số đã cho là
{ }
\ 0D = Ă
.
4/ Hàm số
2
cos 4y x=
xác định khi và chỉ khi
2
2
4 0
2
x
x
x

. Vậy tập
xác định của hàm số đã cho là
(
] [
)
; 2 2;D = +
.
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số:
1/
1 cos
sin
x
y
x

=
; 2/
2 cos3y x=
;
3/
cot
3
y x


= +
ữ

; 4/
tan 2
6
y x


=
ữ

.
Giải.
1/ Hàm số
1 cos
sin
x
y
x

=
xác định khi và chỉ khi
sin 0 ,x x k k

Â
. Vậy tập
xác định của hàm số đã cho là
{ }
\ ,D k k

= ÂĂ
.

2/ Hàm số
2 cos3y x=
xác định khi và chỉ khi
2 cos3 0x
. Mà
2 cos3 0x x Ă
. Vậy hàm số đã cho có tập xác định là
D = Ă
.
3/ Hàm số
cot
3
y x


= +
ữ

xác định khi và chỉ khi
sin 0 ,
3 3 3
x x k x k k



+ + +
ữ

Â
. Vậy tập xác định của hàm số

đã cho là
\ ,
3
D k k



= +


ÂĂ
.
3
4/ Hàm số
tan 2
6
y x


=
ữ

xác định khi và chỉ khi
2
cos 2 0 2 2 , .
6 6 2 3 3 2
x x k x k x k k

+ + +
ữ

Â
Vậy tập
xác định của hàm số đã cho là
\ ,
3 2
D k k


= +


ÂĂ
.
Lu ý:
+/ Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để f(x) có nghĩa.
+/ Tìm tập xác định của hàm số lợng giác, ta cần lu ý tập xác định của 4 hàm số l-
ợng giác nói trên và một số giá trị đặc biệt của nó.
Ví dụ 3: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:
1/ y = x
2
sin 3x 2/ y = cosx + sin
2
x
3/ y = tanx.cos2x 4/ y = 2cosx 3sinx.
Giải.
1/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = x
2

sin 3x là
D
=
Ă
.
x D
ta có:
*/
x D
;
*/ f(-x) = (-x)
2
sin(-3x) = - x
2
sin3x = - f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên
Ă
.
2/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = cosx + sin
2
x là
D
=
Ă
.
x D
ta có:
*/
x D
;

*/ f(-x) = cos(- x) + sin
2
(- x) = cosx + sin
2
x = f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên
Ă
.
3/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = tanx.cos2x là
\ ,
2
D k k



= +


ÂĂ
.
x D
ta có:
*/
x D
;
*/ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên D.
4/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = 2cosx 3sinx là
D
=

Ă
.
Ta có
5 2
f
4 2


=
ữ

, mặt khác
2
f
4 2


=
ữ

nên
f f
4 4



ữ ữ

.
Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ.

Lu ý:
*/ Phơng pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x):
+/ Tìm tập xác định D của hàm số.
+/ Xét x D nếu
( ) ( )
x D
f x f x



=

thì hàm số là hàm số chẵn.
Nếu
( ) ( )
x D
f x f x



=

thì hàm số là hàm số lẻ.
4
*/ Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng là trục Oy; Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối
xứng là gốc tọa độ O.
Ví dụ 4: 1/ Chứng minh rằng
( )
cos2 cos2x k x k

+ = Â
. Từ đó, vẽ đồ thị hàm số y
= cos2x.
2/ Từ đồ thị hàm số y = cos2x, hãy vẽ đồ thị hàm số
cos2y x=
.
Giải.
1/ Ta có
( ) ( )
cos2 cos 2 2 cos2 , .x k x k x k

+ = + = Â
Do đó hàm số
y = cos2x tuần hoàn với chu kỳ

. Ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số y = cos2x trên một đoạn
có độ dài bằng

, rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài

ta đợc đồ thị
hàm số. Mặt khác, hàm số y = cos2x là hàm số chẵn, nên ta lại chỉ cần vẽ đồ thị hàm số
đó trên đoạn
0;
2




sau đó lấy đối xứng qua trục tung, ta đợc đồ thị hàm số trên đoạn

;
2 2





.
Đồ thị hàm số y = cos2x:
-3/2 - -/2 /2 3/2
-1
1
x
y
/4
3/4
5/4
-/4
-3/4-5/4
0
2/ Ta có


= =

<

cos2 cos2 0
cos2
cos2 cos2 0

x nếu x
y x
x nếu x
. Vậy đồ thị hàm số
cos2y x=
(nét
liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = cos2x bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm trên
trục hoành và lấy đối xứng phần dới trục hoành qua trục hoành.
-3/2 - -/2 /2 3/2
-1
1
x
y
/4
3/4
5/4
-/4
-3/4
-5/4
0
Ví dụ 5: Từ đồ thị hàm số y = tanx, hãy vẽ đồ thị hàm số
1/
tan
4
y x


=
ữ

2/ y = tanx -
1
2
Giải.
5