TỔNG ÔN LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 11

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />MỤC LỤC
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />Trang
Chương I.
HÀM SỐ LƯNG GIÁ C VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Bài 1. Các hàm số lượng giác -------------------------------------------------------- 1
Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản ---------------------------------------------- 13
Bài 3. Một số phương trình lượng giác đơn giản ----------------------------------- 22
Bài tập ôn tập chương I --------------------------------------------------------- 35

Chương II.
TỔ HP VÀ XÁC SUẤT
A- Tổ hợp
Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản ------------------------------------------------------ 39
Bài 2. Tổ hợp – hoán vò – chỉnh hợp ----------------------------------------------- 47
Bài 3. Nhò thức NewTon ------------------------------------------------------------ 63
B- Xác suất
Bài 4. Biến cố và xác suất của biến cố --------------------------------------------- 73
Bài 5. Các quy tắc tính xác suất ---------------------------------------------------- 83
Bài 6. Biến ngẫu nhiên rời rạc ------------------------------------------------------ 90
Bài tập ôn tập chương II --------------------------------------------------------- 97
Chương III.

DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học--------------------------------------------Bài 2. Dãy số ---------------------------------------------------------------------Bài 3. Cấp số cộng ---------------------------------------------------------------Bài 4. Cấp số nhân ---------------------------------------------------------------Bài tập ôn tập chương III ------------------------------------------------------

Chương IV.

102

109
121
133
144

GIỚI HẠN

Bài 1. Giới hạn của dãy số -------------------------------------------------------- 149
Bài 2. Giới hạn của hàm số – hàm số liên tục ---------------------------------- 166
Bài tập ôn tập chương IV ------------------------------------------------------- 184

Chương V.

ĐẠO HÀM

Bài 1. Khái niệm Đạo Hàm-------------------------------------------------------- 188
Bài 2. Đạo hàm số hợp – đạo hàm cấp cao – vi phân --------------------------- 198
Bài tập ôn tập chương V ------------------------------------------------------ 207.

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>


/> /> /> /> /> />Chương I
HÀM SỐ LÏNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Bài 1 CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC.
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1) Hàm số y = sinx:
 Tập xác đònh D = .
 y = sinx là hàm số lẻ do: x  D thì  x  D và sin(  x) =  sinx.
 Hàm số tuần hoàn với chu kì 2, tức là sin(x + 2) = sinx, x.


 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    k2,  k2  , k  và nghòch
2
 2

3


biến trên mỗi khoảng   k2,
 k2  , k  .
2
2

 Tập giá trò của hàm số là: [-1; 1].
 Đồ thò của hàm số sinx như (hình 1) sau:
y

y =sin x

1


2

3

2




2

3
2

2

x

-1

2) Hàm số y = cos x:
Hình 1
 Tập xác đònh D = .
 y = cosx là hàm số chẵn do: x  D thì  x  D và cos(  x) = cosx.
 Hàm số tuần hoàn với chu kì 2, tức là cos(x + 2) = cosx, x  D.


Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k2, k2 , k 

và nghòch

biến trên mỗi khoảng k2,   k2 , k  .




Tập giá trò của hàm số là: [-1; 1].
Đồ thò của hàm số cosx như (hình 2) sau:
y

f(x)

1

3

2




2


2

-1



3
2

x

2

y = cos x

Hình 2 1

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/> />

/> /> /> /> /> /> />3) Hàm số y = tan x:



\   k : k   .
2


y = tanx là hàm số lẻ do: x  D thì  x  D và tan (  x) =  tanx.



Tập xác đònh D =




Hàm số tuần hoàn với chu kì , tức là tan(x + ) = tanx, x  D.








Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    k,  k  , k  .
2
 2


Đồ thò nhận các đường thẳng x   k, k 
làm các đường tiệm cận của
2
đồ thò hàm số.
Tập giá trò của hàm số là: .
Đồ thò của hàm số tanx như (hình 3)sau:

y

f(x)



3
2



y = tan x




2

x


2

3
2

Hình 3

4) Hàm số y = cot x:
 Tập xác đònh D =

\ k : k 

.




y = cot x là hàm số lẻ do: x  D thì  x  D và cot(x)   cot x.
Hàm số tuần hoàn với chu kì , tức là cot(x + ) = cotx, x.



Hàm số nghòch biến trên mỗi khoảng k,   k , k  .



Đồ thò nhận các đường thẳng x  k, k 
hàm số.
Tập giá trò của hàm số là: .
Đồ thò của hàm số cot x như (hình 4) sau:




y

làm các đường tiệm cận của đồ thò

f(x)

y = cot x



Hình 4

x

2

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/> /> /> />B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề1:
Tìm tập giá trò, tập xác đònh của các hàm số lượng giác.
Phương pháp:
 Để tìm miền xác đònh của hàm số y = f(x) ta dựa vào điều kiện xác định của hàm
số:
1
* Nếu y =
thì hàm số được xác đònh khi A(x)  0.

A(x)
* Nếu y = A(x) thì hàm số được xác đònh khi A(x)  0.

1
thì hàm số được xác đònh khi A(x)> 0.
A(x)
 Để tìm miền giá trò của hàm số lượng giác chúng ta thường dùng các bất đẳng
thức lượng giác cơ bản sau:
 1  sin x  1, x.
 1  cos x  1, x.
để tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số.
* Nếu y =

Ví dụ1: Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
a) y=

1  x2
 2  sin2 x
3  cos x

b) y =

1  cos x
.
1  cos x

Giải:

 3  cos x  0
a) Từ điều kiện xác đònh của hàm số là: 

(*).
2
2  sin x  0
Ta có: (*) luôn đúng với mọi x  . Vì 1  cos x  1 nên 3- cosx > 0, x.
Do -1  sinx  1, x nên 0  sin 2 x  1. Suy ra: 2-sin 2 x>0
Vậy miền xác đònh của hàm số là D= .

b) Hàm số y =

1  cos x
được xác đònh khi:
1  cos x

1  cos x
0

 1  cos x  0  cos x  1  x  k2, k  .
1  cos x
1  cos x  0
Vậy D = \ k2 : k  .

Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:

3

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 
a) y = 2 sin  x+   3
 4

b) y = 1  cos(x3 )  2.

Giải:

a)

 
y = 2 sin  x+   3 có miền xác đònh D= .
 4
 
 
Vì  1  sin  x+   1, x nên  2  2sin  x+   2.
 4
 4
 
Do đó:  2  3  y  2sin  x+   3  3  2.
 4
 
Vậy giá trò lớn nhất của hàm số là y = 3  2 khi sin  x+   1.
 4
 
Giá trò nhỏ nhất của hàm số là y = 3  2 khi sin  x+   1.
 4

b) Hàm số y = 1  cos(x3 )  2 .

Vì  1  cos(x 3 )  1, x nên 1  cos(x 3 )  0,

nên hàm số có miền xác đònh là D= . Hơn nữa:
0  1  cos(x 3 )  2 nên 0  1  cos(x 3 )  2.
Do đó:  2  y  1  cos(x 3 )  2  2  2.
Vậy giá trò lớn nhất của hàm số là y =

2  2 khi cos(x 3 )  1.

Giá trò nhỏ nhất của hàm số là y =  2 khi cos(x 3 )  1.

Vấn đề 2:
Vẽ đồ thò các hàm số lượng giác.

Phương pháp:
1) Vẽ đồ thò hàm số lượng giác: y = sin(ax), a > 0: Ta chỉ cần xét sự biến thiên của
2
nó trên một đoạn có độ dài bằng một chu kì T 
, chẳng hạn là đoạn
a
 2  Ta lập bảng giá trò và vẽ đồ thò.
 0; a  .
Tương tự cho các hàm số y = cos(ax); y = tan(ax); y = cot(ax).
2) Vẽ đồ thò hàm số lượng giác dạng: y = sin(ax + b) + c: Ta làm theo các bước
sau:
 Vẽ đồ thò hàm số dạng y = sin(ax) ( làm như 1) trên).
 Đồ thò của hàm số y = sin(ax + b) có được từ đồ thò (C) của hàm số
y = sin(ax) bằng cách tònh tiến (C) sang trái |b| đơn vò nếu nếu b > 0 và tònh

4

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

tiến (C) sang phải |b | đơn vò nếu b < 0.
Đồ thò hàm số y = sin(ax + b) + c có được từ đồ thò (C’) của hàm số
y = sin(ax + b) bằng cách tònh tiến (C’) lên trên |c| đơn vò nếu c > 0 và tònh
tiến (C’) xuống dưới |c| đơn vò nếu c < 0.

Ví dụ 3: Vẽ đồ thò các hàm số sau:
a) y = sin 4x

a) Hàm số y = sin 4x.

x
b) y = cos .
3
Giải:

Miền xác đònh: D= .

 

Ta chỉ cần vẽ đồ thò hàm số trên miền  0; 
 2
2 
(Do chu kì tuần hoàn T=
 )
4 2
 
Bảng giá trò của hàm số y =sin 4x trên đoạn  0;  là:
 2

3
5

5
3



x
0
8
16
24
4
16
8
3
2
16
y

2
2
3
2
3
0
1
0 -1
0
2
2
2
2
2

Ta có đồ thò của hàm số y = sin4x trên đoạn  0;  và sau đó tònh tiến cho các
 2


đoạn: ...,   ,0 ,  ,  ,.... ( xem hình 5 sau).
 2  2 
y

1


2




4



8


8

3

8


4

3
8


2

x

y = sin 4x

-1

Hình 5

5

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> 
/> /> 
/> /> />




/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />x
b) Hàm số y = cos .
3
Miền xác đònh: D= .

Ta chỉ cần vẽ đồ thò hàm số trên miền 0;6

2
 6)
1/ 3
x
Bảng giá trò của hàm số y = cos trên đoạn 0;6 là:
3

3
3
9
15
21
33
x
0
3
6
2
4
2
4
6
6
y
3
3
2
2
1
0
-1 0
1
2
2
2
2
x

Ta có đồ thò củ a hàm số y= cos trên đoạn 0;6 và sau đó tònh tiến cho các
3
đoạn: ..., 6,0 , 6,12 ,.... (hình 6 ).
(Do chu kì tuần hoàn T=

y

f(x)

y = cos

1

9 
2

3
2

3

 3
2

9
2

3

x

3

x

-1

Hình 6

Ví dụ 4: Từ đồ thò của hàm số y =sinx, (C) . Hãy vẽ các đồ thò của các hàm số sau:
 
 
a) y = sin  x+ 
b) y= sin  x+   2.
 4
 4
Giải :
Từ đồ thò của hàm số y = sinx, (C) như sau:
y

y

y = sin x

1

2

 3
2




2


2



3
2

2

x

-1

Hình 7

Hìnhnh2 7

6

Hình 7

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
a) Từ đồ thò (C), ta có đồ thò y = sin  x+  bằng cách tònh tiến (C) sang trái
 4


một đoạn là đơn vò, ta được đồ thò hàm số y = sin  x+  , (C') như (hình 8)
4
 4
sau:


y = sin  x+ 
4


y

f(x)

1

7 
4

 5
2

 3
4


4


4

5
4

3
4

x

9
4

-1

Hình 8


b) Từ đồ thò (C’) của hàm số y = sin  x+  , ta có đồ thò hàm số
 4
 
y = sin  x+   2 bằng cách tònh tiế n (C’) lên trên một đoạn là 2 đơn vò, ta

 4

được đồ thò hàm số y = sin  x+   2, (C'') như (hình 9) sau:
 4
y

f(x)

 
y = sin  x+   2
 4

3

2

1

7 
4

 5
4

 3
4

x




4 Hình 9 4

3
4

5
4

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
(A) Hàm số y = sin x có tập xác đònh là .
(B) Hàm số y = cos x có tập xác đònh là .
(C) Hàm số y = tan x được xác đònh khi cosx  0.
(D) Hàm số y = cot x được xác đònh khi sinx  0.
(E) Hàm số y = tanx.cotx có tập xác đònh là .
2. Hàm số nào sau đây có tập xác đònh là ?
(A) y = tanx
(B) y = cotx
2
(D) y = cot x + 1
(E) y = sin2x +1 .

(C) y = tan2x + 1

7

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> />

/> /> /> />

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />3. Tập xác đònh của hàm số y= 1+ tan2x là:

 3 
k

(A) \ 
(B) \ 
(C) \ 
 
 , 
 ,k 
2

2 
2 2 

k



(D) \ 

,k .
  k, k   (E) \  
2

2


4. Tập xác đònh của hàm số y = cot 2x là:
k



(A) \ 
(B) \ 
(C) \ k, k 
 ,k 
  k, k  
2
2




k

(D) \ 
(E) Một kết quả khác.
 ,k 
3


5. Nối mỗi hàm số ở cột bên trái với một tập xác đònh của nó ở cột bên phải sao cho
hợp lí:
A.

y = |sin x|

B.

y = tan x

C.

y = tan 3x

D.

y = cot x

E.

y = cot 4x

1.
2.
3.
4.
5.
6.

  k


\ 
, k  .
6 3

\ k, k  .



\   k, k   .
2


 k

\  , k  .
4

 k

\  , k  .
2

.

6. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
(A) Đồ thò của hàm số y = sin x đối xứng qua gốc tọa độ O.
(B) Đồ thò của hàm số y = cos x đố i xứng qua trục Oy.
(C) Đồ thò của hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O.
(D) Đồ thò của hàm số y = cot x đối xứng qua gốc tọa độ O.

(E) Cả 4 câu trên đều sai.
7. Đồ thò hàm số y = tan x có bao nhiêu tiệm cận:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) một số hữu hạn lớn hơn 4
(E) Vô số.
8. Với k  , nếu hàm số y = sinx đồng biến (nghòch biến ) trên (a; b) thì cũng đồng
biến (nghòch biến) trên khoảng nào sau đây?
(A) (a  k2; b  k2) (B) (a  k2; b  k)
(C) (a  k; b  k2)
k
k
(D) (a  k; b  k)
(E) (a  ; b  ).
2
2
9. Với k  , nếu hàm số y = cot x nghòch biến trên (x; y) thì cũng nghòch biến trên

8

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />khoảng nào sau đây?
k

k
(A) (x  k2; y  )
(B) (x  k; y  k)
(C) (x  k; y  )
2
2


(D) (x  ; y  k)
(E) (x  ; b  k).
2
2
10. Số nguyên âm k lớn nhất thoả mãn sin(x  k2)  sin x là:

(A) 1
(B) 0
(C) -1
(D) -2
(E) Không có.
11. Đồ thò của hàm số y= sin x có thể nhận được từ đồ thò hàm số y= cos x bằng cách
nào?

(A) Tònh tiến qua trái đồ thò hàm số y= cosx một đoạn có độ dài .
2

(B) Tònh tiến qua phải đồ thò hàm số y= cosx một đoạn có độ dài .
2

(C) Tònh tiến lên trên đồ thò hàm số y= cosx một đoạn có độ dài .
2


(D) Tònh tiến xuống dưới đồ thò hàm số y= cosx một đoạn có độ dài .
2

(E) Tònh tiến qua phải đồ thò hàm số y= cosx một đoạn có độ dài
và lên trên một
4

đoạn có độ dài .
4

12. Hàm số y  3sin  2x   có chu kì tuần hoàn là:
3

(A) 2
(B) - 2
(C) 
(D) 
(E) / 2.
13. Với k  , cho hàm số f(x) = cos 3x . Số T thoả tính chất
f(x + T) = f(x), với mọi x là?
(A) k2
(B) k
(C) k2 / 3
(D) k / 2
(E) Một kết quả khác.
14. Với k  , cho hàm số f(x) = sin 2x + cos 3x . Số T nào sau đây thỏa tính chất
f(x + T) = f(x), với mọi x ?
(A) 2
(B) 

(C) / 3
(D) 2 / 3
(E) / 4.
15. Giá trò lớn nhất của hàm số y = 4 sin 2 x  1 là:
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0.

16. Giá trò nhỏ nhất của hàm số y = 2  cos  3x   là:
4

(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) Không xác đònh được.
9

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />17. Cho các hàm số sau:

1

III. y  sin 2x  cos 2x.
3
Hàm số nào sau đây thỏa mãn tính chất: f(x  k)  f(x), k  , x là:
(A) Chỉ I
(B) Chỉ II
(C) Chỉ III
(D) Chỉ I và II
(E) Cả I, II và III .
18. Đồ thò của hàm số y = sinx cắt đồ thò hàm số y =1 tại mấy điểm?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) Một số hữu hạn lớn hơn 3
(E) Vô số.
19. Với k  , hàm số y = sinx đạt giá trò lớn nhất tại các điểm nào sau đây:


(A)  / 2
(B)  k
(C)  k
2
2

k
(D)  k2
(E)
.
2
2
x

20. Số điểm chung của đồ thò hàm số y = sinx và y =
là:
2
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) Một số hữu hạn lớn hơn 3
(E) Vô số.
21. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
(A) y = tanx
(B) y = cotx
(C) y = sinx
(D) y = cos x
(E) y = sinx +cosx.
22. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
(A) y = 3cosx + sin2x (B) y = sinx +cosx
(C) y = sin(x2) + cosx
cos x
tan x
(D) y =
(E) y =
.
2
1  sin x
3  cos 2 x
23. Tập giá trò của hàm số y = 4sinx -2
(A) [-6; 0]
(B) [-6; 2]
(C) [0; 2]
(D) [0; 4]

(E) [2; 4].
24. Giá trò nhỏ nhất của hàm số y = sinx- cosx là:
(A) 2
(B) 1
(C) - 2
(D) -1
(E) 0.
2
25. Giá trò lớn nhất của hàm số y = sin x  sin  x   là:
3 

(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
(E) -1.

I. y = 3sin2x

II. y= sinx.cosx

10

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477

/> /> /> />

/> /> />

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />1
là:
3  2 | sin x |
1
(B)  ;1
2 

26. Tập giá trò của hàm số y =
(A) [ 0; 1]

1
(C)  ;1
3 

1
(D)  ;  
(E)
.
3

27. Hàm số nào sau đây đồng biến trong khoảng 3; 7 / 2 ?

I. y = sin x
II. y = cos x
II. y = tan x
(A) Chỉ I

(B) Chỉ II
(C) Chỉ III
(D) Chỉ I và II
(E) Chỉ II và III.
28. Hàm số y = cos x nghòch biến trong khoảng nào sau đây:
9 11 
9
11 
(A)  ;5 
(B)  ;
(C)  5;


2 
 2 2 

 2

(D) 5;6
(E) Cả 4 câu trên.


29. Từ đồ thò (C) của hàm số y = cos x. Đồ thò hàm số y = cos  x   có từ (C) bằng
2

cách:
(A) Tònh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là / 2.
(B) Tònh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là / 2.
(C) Tònh tiến (C) lên trên một đoạn có độ dài là / 2.
(D) Tònh tiến (C) xuống dưới một đoạn có độ dài là 1 và / 2.

(E) Đối xứng (C) qua gốc tọa độ O(0; 0).
30. Từ đồ thò (C) của hàm số y = sin x. Đồ thò hàm số y = cosx + 1 có từ (C) bằng cách:
(A) Tònh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là  / 2 và lên trên 1 đơn vò.
(B) Tònh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là 1 và lên trên đoạn có độ dài / 2.
(C) Tònh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là  / 2 và lên trên 1 đơn vò.
(D) Tònh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là 1 và lên trên đoạn có độ dài  / 2 .
(E) Tònh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là  / 2 và xuống dưới 1 đơn vò.

1. E
5. A-6
6. E
11. A
16. D
21. D
26. C

D. BẢNG TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM
2. E
3. D
4. A
B-3
C-1
D-2
7. E
8. A
9. B
12. C
13. D
14. A
17. E

18. E
19. D
22. E
23. B
24. C
27. E
28. A
29. B

E-4
10. C
15. B
20. B
25. A
30. C.

11

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />1. (E)

2. (E)
3. (D)

4. (A)
5.
6. (E)
7. (E)

8. (A)
9. (B)
10. (C)
11. (A)
12. (C)
13. (D)
14. (A)

15. (B)
16. (D)

E. HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
k

Miền xác đònh của hàm số y= tanx.cotx là D  \ 
 ,k  .
2

tanx xác đònh  cosx  0.

cot 2x xác đònh  sin 2x  0  2x  k  x 

Đồ thò các hàm số tanx; cotx; sin x đối xứng qua gốc tọa độ O và hàm
cos x đối xứng qua trục tung Oy.


Các tiệm cận là x=  k, k  .
2
Do hàm sin có chu kì k2.
Do hàm cot có chu kì k, k  .
sin(x-2) = sinx.
 là số dương nhỏ nhất thỏa f(x + ) = f(x).

  2  
2
Vì cos 3  x+   cos(3x  2)  cos3x và
là số dương nhỏ nhất
3 
3
 
thỏa yêu cầu.
f(x+k2) = sin 2(x + k2) +cos3.(x+k2 )=
=sin (2x + k4) + cos(3x+ k6) = sin2x+ cos 3x.
y = 4sin 2 x-1  4.1-1=3.


y = 2 + cos  3x+   2 -1=1.
4


17. (E)
18. (E)

19. (D)
20. (B)
21. (D)

22. (E)
23. (B)
24. (C)

25. (A)

26. (C)

k
,k ..
2

Do phương trình sin x=1  x=


 k2 , k 
2

nên có vô số nghiệm.


 k2 , k  .
2
Dựa vào đồ thò hàm sin x và đường thẳng y = x/2.
Dựa vào đònh nghóa.
Dựa vào đònh nghóa.
Do -4  4sinx  4  -4-2  4sinx-2  4-2  -6  y  2.
 
y = sin x- cos x= 2sin  x-   - 2.
 4

 

 2 


y=sin x-sin  x-   2 cos  x   sin  3 cos  x   .Vậy y  3.
3
3
3
 3 


y = sinx  1 nên giá trò lớn nhất bằng 1 khi x =

Ta có: 0  |sinx|  1  2  2 | sin x | 0 nên
12

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />1  3 - 2|sinx|  3 

27. (E)

28. (A)

Dựa vào đồ thò.

1
 y  1.
3


Hàm cos x nghòch biến trên  ,   nên hàm số nghòch biến trên
2 


  4;   4  .
2


29. (B)
30. (C)

13

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/>PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
/>A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
/> /> />B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

/> /> /> /> /> /> /> 
/> /> 
/> /> /> /> /> /> />Bài 2

Các phương trình lượng giác cơ bản: Là các phương trình có dạng: sin x = m ;
cos x = m; tan x = m; cotx = m, trong đó x là ẩn số và m là một số cho trước.
Ví dụ : sin x = 0 là phương trình lượng giác cơ bản.

Vấn đề :

Giải các phương trình lượng giác cơ bản.
Phương pháp:
a) Giải phương trình: sin x = m (1).
 Nếu |m| >1 thì phương trình (1) vô nghiệm .
  
 Nếu |m|  1 thì đặt m = sin với    ;  .Khi đó:
 2 2
 x    k2
(1)  sinx = sin  
, k  là nghiệm của
 x      k2
phương trình (1).
  
Chú ý:    ;  ở trên,thường được kí hiệu là: = arcsin m.
 2 2
b) Giải phương trình: cos x = m (2).
 Nếu |m| >1 thì phương trình (2) vô nghiệm.
 Nếu |m|  1 thì đặt m= cos với   0;  .Khi đó:
 x    k2
(2)  cos x = cos  

, k  là nghiệm của
x    k2
phương trình (2).
Chú ý:   0;  ở trên,thường được kí hiệu là: = arccos m.

c) Giải phương trình: tan x = m (3).


Đặt điều kiện xác đònh: cosx  0  x 


+ k, k  .
2

  
Đặt m = tan với     ;  .Khi đó:
 2 2
(3)  tan x = tan  x    k, k  . là nghiệm của phương
trình (3).
  
Chú ý:     ;  ở trên,thường được kí hiệu là: = arctan m.
 2 2


13

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />d) Giải phương trình: cot x = m (4).
 Đặt điều kiện xác đònh: sinx  0  x  k, k  .
 Đặt m = cot với   (; ).Khi đó:
(4)  cot x = cot  x    k, k  . là nghiệm của phương
trình (4).
Chú ý:   (; ) ở trên, thường được kí hiệu là: = arccot m.

Ví dụ1: Giải các phương trình sau:

3
1

c) tan 2x=
d) cot(x- )= 3.
2
3
3
Giải:
cos 5x =2: vô nghiệm ( do 2 > 1  cos5x )
3
3

cos3x 
.Vì
 cos nên phương trình trở thành:
2
2

6


 3x  6  k2

cos 3x= cos  
,k  .
6
3x     k2

6
 k2

 x  18  3
Vậy 
, k  là nghiệm của phương trình.
 x     k2

18
3
1
1

tan 2x 
.Vì
 tan nên phương trình trở thành:
6
3
3



tan 2x=tan  2x   k, k  .
6
6
 k
Vậy x  
, k  là nghiệm của phương trình.
12 2


cot(x  )  3.Vì 3  cot nên phương trình trở thành:
3
6

 
 
cot  x-  = cot  x-   k, k  .
6
3 6
 3

Vậy x   k, k  là nghiệm của phương trình.
2

a) cos 5x=2

a)
b)

c)

d)

Chú ý:

b) cos 3x=

 sin x = 1  x 


 k2, k  ;
2

cos x = 1  x  k2, k  .

14

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> />C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
 sinx = -1  x    k2, k  ; cos x =- 1  x    k2, k  .
2

 sin x = 0  x  k, k  ;

cos x = 0  x   k, k  .
2

1. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình sin x = 0 ?


3
(A)
(B)
(C)
4
2
4
3
(D) 
(E)
.
2
3
2. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình cosx 
?
2


11
(A)
(B) 
(C)
6
6

6
11
(D) 
(E) Cả bốn câu trên đều đúng.
6
3. Số nghiệm của phương trình tanx = 1?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) Một số hữu hạn lớn hơn 3
(E) Vô số.
4. Tập nghiệm của phương trình cos x = 0 là:





(A)  
(B)   k, k  
(C)   k2, k  
2
2

2




(D)   k2, k   (E) Vô nghiệm.
 2


5. Số nghiệm của phương trình 3 tan(2x  60 )  3 trong (-90 ,90 ) là ?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4.
x

6. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình 2 tan   30    2 là:
6



(A) 90
(B) 180
(C) 990 hoặc 630
(D) 315
(E) 0 .

15

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> />


/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
5
7. Tập nghiệm của phương trình cos  x   
là:
6 2





(A) 
(B) 
(C)   k2, k 
  k2, k  
  k, k  
4

2



(D) 
(E)  .
  k2, k  
6

 k
8. Họ nghiệm x  
, k  là nghiệm của phương trình nào sau đây?

8 2

I. cos  2x    0
II. cos 8x  1
III. sin 4x =1
4

(A) Chỉ I
(B) Chỉ II
(C) Chỉ III
(D) Chỉ I và III
(E) Chỉ I và II.
9. Nối mỗi phương trình ở cột bên trái với một phương trình tương đương của nó ở cột
bên phải?
1. cos 2x = 0
A.
3cosx  
2. cot x = 0
B.
sin x  0
C.
sin x =1
3. 3.cos(2x  4)  
D.
E.

cos x = 0
cos x = 1

4. cos x =1

5. cos x = 0
6. sin x.cosx = 0.
10. Nghiệm của phương trình cos 3x =1 biểu diễn trên đường tròn lượng giác là hình ?
(A) Tam giác đều
(B) Tứ giác đều
(C) Ngũ giác đều
(D) Lục giác đều
(E) Cả 4 câu trên đều sai.
11. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình cos 2x=0 ?








(A) sin  x    0
(B) sin  x   .cos  x    0
(C) cos  x    0
4
4
4
4









(D) ta n  x    0
(E) cot  x    0 .
4
4


12. Nối mỗi phương trình ở cột bên trái với một tập nghiệm tương ứng của nó ở
cột bên phải ?

A.
sin 2x =0
1. x   k, k  .
2
2
2
B.
cos x – Sin x = 0
2. x  k2, k  .


3. x  k, k  .
C.
sin  x    0
2

 k



,k  .
4. x  
D.
ta n  x    0
2 2
2


2 sin x  3.
E.
5. x   k2, k  .
2
16

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />1  4.cos x
x 
1  sin   
2 4

(B) 
  k2, k 
2

13. Tập xác đònh của hàm số y 



(A) 
  k4, k  
2


6.

.

là:





(C)



\   k2, k  
2




\   k4, k   (E) Một kết quả khác.

2

sin x  1
14. Với giá nào của m thì hàm số y 
có tập xác đònh là ?
m  sin x
(A) m > 0
(B) m < 0
(C) m > 0 hoặc m < 0
(D) m >1 hoặc m <-1 (E) Một kết quả khác.
15. Số nghiệm của phương trình 2cosx = m là:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) Vô số nghiệm
(E) kết luận phụ thuộc vào m.
 
16. Với giá trò nào của m thì phương trình cos x= m có đúng một nghiệm trong  0;  ?
 2
(A) m  1
(B) m  1 .
(C) 0  m  1
(D) -1  m  1
(E) m > 1 hoặc m <-1.
17. Với giá trò nào của m thì phương trình sin x=m có nghiệm ?
(A) 0 < m <1
(B) 0  m  1 .
(C) -1< m < 0
(D) -1 < m < 1
(E) -1  m  1 .

18. Nghiệm của phương trình sin x = sin 1 là:
 x  1  k2
 x  1  k2
(A) 
, k  (B) 
, k  . (C) x  1  k, k 
x


1

k2

x



1

k2



(D)

(D) x  1  k, k 

(E) x  1  k, k  .
1
 x  1 

19. Nghiệm của phương trình cot 
  tan là:
6
 3 
3

3

3

(A)  (1  ) .
(B)  (1  )  k, k   (C)  (1  )  k2, k  
2

2

2

3


(D)  (1  )  k3, k  
(E) Vô nghiệm .
2

20. Nối mỗi phương trình ở cột bên trái với nghiệm của nó ở cột bên phải sao cho
đúng?

A.
tan x = 2

1. x   arctan 2  k, k  .
2

B.
cot x = -2
2. x   arc cot 2  k, k  .
2
17

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />C.
D.

tan x = -2
cot x = 2

3.

x  2  k, k  .

4. x    arctan 2  k2, k  .
2

E.

tan x = tan 2.
5. x   arctan 2  k, k  .
2
6. x  arctan 2  k, k  .
21. Cho phương trình cot x = –1. Có hai bạn học sinh giải như sau:



Bạn A, giải như sau:


 
cot x = –1  cot x  cot     x    k, k  .
4
 4

Vậy x    k, k  là nghiệm của phương trình.
4
 Bạn B, giải như sau:
3
 3 
cot x = –1  cot x  cot    x 
 k, k  .
4
 4 
3
Vậy x 
 k, k  là nghiệm của phương trình.
4
(A) Chỉ bạn A đúng

(B) Chỉ bạn B đúng
(C) Cả bạn A và B đều sai
(D) Cả hai bạn A và B đều đúng
(E) Không xác đònh được.

22. Cho tam giác ABC có AB  2(cm) và đường cao AH=1(cm) thì góc B bằng?
(A) 45
(B) 75
(C) 135
(D) 135 hoặc 75
(E) 135 hoặc 45 .
23. sin(arctan1) bằng ?
2
3
(A)
(B)
(C) 3
2
2
1
1
(D)
(E) .
2
3
1
24. arccot [2.cos (arcsin )] bằng ?
2




(A)
(B)
(C)
3
4
6

(D)
(E) Không tính được.
12

18

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />D. BẢNG TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM
/> /> /> /> /> /> />E. GIẢI ĐÁP TRẮC NGHIỆM
/> /> />25. Đồ thò dưới đây (hình 10) là một phần của đồ thò hàm số nào sau đây?


(A) y = sin x
(B) y  cos   x 
(C) y  sin  x  
3

2



2
(D) y  cos  3x  
(E) y  sin  2x   .
2
3 



y

1

0


6


3


2

x

-1

Hình 10

1. D
6. C
9. A-6
10. A
12. A-6
13. D
18. B
20. A-6
21. D

2. E
7. E
B-3
11. D
B-2
14. D
19. D
B-1
22. E

3. E
8. D
C-5

4. B

5. B

D-1

E-2

C-5
15. E

D-2
16. D

E-3
17. A

C-2
23. A

D-5
24. C

E-3
25. D.

19

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />1. (D)
2. (E)
3. (E)

4. (B)

5. (B)
6. (C)
7. (E)

8. (D)

9.

10. (A)

11. (D)

12.

13. (D)

14. (D)
15. (E)

sinx = 0  x = k, k  . .

3



 cosx = cos  x=  +k, k  .
2
6
6

tan x  1  x   k, k  .
4

cosx  0  x   k, k  .
2

3 tan(2x  60 )  3  tan(2x  60 )  tan(60 )
 x  k.90 , k  . Nên x  k.90  (90 ;90 )  k  0.
x

cos   30   cos135.
6

cos x =

5
5
 
 1 nên phương trình cos  x-  
vô nghiệm.
2
 6 2


 
 k

I. cos  2x+   0  2x+   k  x=  , k  .
4
4 2
8 2

k
II. cos 8x = 1  8x = k2  x 
,k .
4

 k
III. sin 4x = 1  4x =
+ k2  x  
,k .
2
8 2
Chú ý:

k2
. Nếu biểu diễn x trên đường tròn lương giác gồm
3
3 điểm cách đều nhau.

1
 
  1 
Chú ý: sin  x-  cos  x-  = sin  2x-    cos2x

2
2
 4
 4 2 
 
 
Nên sin  x-  cos  x-   0  cos2x  0.
 4
 4
cos3x  1  x 

x 
 x 
Hàm số xác đònh khi: 1  sin     0  sin     1
2 4
2 4

 x   k4, k  .
2
Hàm số xác đònh trên
khi và chỉ khi sinx = m vô nghiệm  m  1 hoặc m<-1.
m
2cosx = m  cosx =
.
2

20

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />m
m
 1 hoặc
 1  m  2 hoặc m  2 : Phương trình vô nghiệm.
2
2
m
.Khi -1   1  -2  m  2: Phương trình có nghiệm.
2
sinx = m có nghiệm  -1  m  1. .
Dựa vào đường tròn lượng giác .
Dùng công thức lượng giác cơ bản.
x  1 
  x  1 
 3  2x  2 
Chú ý: cot 
  tan  
  tan 
.
3 
6
 3 
2



Dùng công thức lượng giác cơ bản.
 
 3 
Chú ý: 1  cot     cot   .
 4
 4 
Ta có: 2 trường hợp của góc B
1
.Góc B nhọn (Hình 11) có: tan B=
 B  45.
2
1
ˆ
.Góc B tù (Hình 12) nên tan ABH 
 ABH  45 nên B  135.
2
.Khi

16. (D)
17. (A)
18. (B)
19. (D)
20.

21. (D)

22. (E)

2

2

Hình 11

23. (A)

24. (C)

25. (D)

Hình 12


2
nên sin(arctan1)=
.
4
2

1

3
acrco t[2.cos(arcsin )]  acrco t(2.cos )  acrco t  2.
 
2
6
 2 

 acrco t 3  .
6

Ta có: arctan 1 =

 
Đồ thò qua điểm O(0; 0) nên câu (C) và (E) loại. Đồ thò qua điểm  ;1
6 
nên câu (A) và (B) loại. Vậy còn lại câu (D) là đúng.

21

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/>MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC ĐƠN GIẢN
/>A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
/> /> /> /> /> /> /> /> />B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
/> /> /> /> /> /> /> /> /> />.

Bài 3:

1) Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác: Phương trình bậc hai theo
sinx là phương trình có dạng: a.sin2x + b.sinx + c = 0. Tương tự phương trình
bậc hai theo cosx; tanx; cotx.
2) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Là phương trình có dạng:
a sinx + b cos x = c (trong đó: a  0 hoặc b  0. )
Ví dụ : 2sin x + 3cosx = 4 là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

3) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Là phương trình có
dạng: a sin2x + 2 sinx.cosx + b cos2x = 0 (trong đó:a, b, c là các số đã cho và
a  0 hoặc b  0. )
Ví dụ : 3 sin2x + 2 sinx.cosx + cos2x = 0 là phương trình thuần nhất bậc hai
đối với sin x và cos x.
4) Một số phương trình lượng giác khác có thể biến đổi để đưa về các dạng
trên:
Ví dụ : Phương trình cosx.cos5x = cos2x.cos4x (1). Dùng công thức biến tổng
1
1
thành tích ta có: (1)  (cos 6x  cos 4x)  (cos 6x  cos 2x) 
2
2
cos4x = cos 2x. Đây là phương trình lượng giác cơ bản. (Xem phần B)

Vấn đề1: Giải phương trình bậc hai theo một hàm số lương giác.
Phương pháp: Giải phương trình: a.sin2x + b.sinx + c = 0 (1)
 Đặt t = sinx thì 1  t  1 (*)
 Khi đó: (1)  at 2  bt  c  0 (2) .



Giải phương trình (2), lấy nghiệm t thoả điều kiện (*).
Cuối cùng giải phương trình cơ bản: t = sinx.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x - 5sinx + 2 = 0
b) 2 cos2x -3 cosx +1 = 0.
Giải :
2

a) 2sin x - 5sinx + 2 = 0. Đặt t = sinx

22

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Để mua bộ tài liệu FILE WORD vui lòng liên hệ
0168 203 6477
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />(| t | 1) ta được phương trình:

 t = 2 (loại)
2t - 5t + 2 = 0  
.
t = 1

2
1
Với t = Ta có:
2


x   k2

1

6
sinx =  sin x  sin  

,k .
2
6
 x      k2

6


 x  6  k2
Vậy 
, k  là nghiệm của phương trình.
 x  5  k2

6
2
b) 2 cos x -3 cosx +1 = 0. Đặt t = cos x
(| t | 1) ta được phương trình:
2

t=1
2t - 3t + 1 = 0  
.
t = 1

2
 Với t = 1. Ta có: cosx = 1  x  k2, k  .
1
1



 Với t= .Ta có: cos x   cos x  cos  x    k2 , k  .
2
2
3
3
 x  k2
Vậy 
, k  là nghiệm của phương trình.
 x     k2
3

2

Vấn đề2: Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx dạ ng:
a.sinx + b.cosx = c (1).
Phương pháp:
Phương trình (1): a.sinx + b.cosx = c


a
b
 a2  b 2 
sin x 
cos x   c
2
2
a2  b 2
 a b

a

b
c

sin x 
cos x 
.
2
2
2
2
2
a b
a b
a  b2

23

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3