Tổng hợp Lý thuyết và bài tập TP thường gặp

Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
NGUN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
1/- Ngun hàm
a/- Định nghĩa: Gọi F(x) là một ngun hàm của hàm số f(x) thì họ ngun hàm (hay tích phân bất định) của f(x) là:
( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x
= + ⇔ =
∫
, (C = const)
b/- Tính chất của ngun hàm
i/
( )
( ) ' ( )f x dx f x C= +
∫
ii/
. ( ) ( ) , 0k f x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
iii/
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫

Bài 1 : Cho hàm số
( )
2
1
x
f x
x
=

+
và hàm số
( )
2
ln 1F x x= +
. Chứng minh rằng
( )
F x
là ngun hàm của
( )
f x
.
Bài 2: Cho hai hàm số
( )
2 2= + sinF x x x
;
( )
2
4= cosf x x
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là ngun hàm của
( )
f x
.
b. Tìm ngun hàm
( )
G x

biết rằng
0
2
π
 
=
 ÷
 
G
.
2/- Bảng các ngun hàm:
Ngun hàm của hàm cơ bản Ngun hàm hàm hợp u = u(x), du = u’(x)dx
dx x C= +
∫
du u C= +
∫
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
+
∫
,
1
α

≠ −
1
1
u
u du C
α
α
α
+
= +
+
∫
,
1
α
≠ −
1
lndx x C
x
= +
∫
,
0x
≠
1
lndu u C
u
= +
∫
,

0u
≠
2
1 1
dx C
x x
= − +
∫
2
1 1
du C
u u
= − +
∫
x x
e dx e C= +
∫
u u
e du e C= +
∫
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
,
(0 1)a< ≠

ln
u
u
a
a du C
a
= +
∫
,
(0 1)a< ≠
cos sinxdx x C= +
∫
cos sinudu u C= +
∫
sin cosxdx x C= − +
∫
sin cosudu u C= − +
∫
2
2
1
(1 tan ) tan
cos
dx x dx x C
x
= + = +
∫ ∫
2
2
1

(1 tan ) tan
cos
du u du u C
u
= + = +
∫ ∫
2
2
1
(1 cot ) cot
sin
dx x dx x C
x
= + =− +
∫ ∫
2
2
1
(1 cot ) cot
sin
du u du u C
u
= + = − +
∫ ∫
 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: với
, , 0a b a
∈ ≠
¡
,
1

α
≠ −
,
0m
≠
1)
( ) ( )
1
1
( 1)
ax b dx ax b C
a
α α
α
+
+ = + +
+
∫
2)
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
3)
( )
( )

2
1dx
C
a ax b
ax b
= − +
+
+
∫
4)
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
5)
ln
mx
mx
n
n
a
a dx C
m a
+
+
= +
∫

6)
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
7)
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
8)
2
1
tan( )
cos ( )
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 1
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
9)
2
1
cot( )
sin ( )

dx
ax b C
ax b a
= − + +
+
∫
10)
2 2
1
ln
2
dx x a
C
x a a x a
−
= +
− +
∫
11)
1
ln tan
sin 2
x
dx C
x
= +
∫
12)
1
ln tan

cos 2 4
x
dx C
x
π
 
= + +
 ÷
 
∫
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm ngun hàm của các hàm số sau
1)
( )
3
( ) 2 1f x x= +
2)
( )
2
1
( )
3 1
f x
x
=
−
3)
( ) 1 3f x x= −
4)
2 3

( )
x
f x e
−
=
5)
1 2
( ) 3
x
f x
−
=
6)
2
( )
5 3
f x
x
=
−
7)
( ) sin(2 1)f x x= −
8)
( ) cos(4 3 )f x x= −
9)
2
1
( )
sin (2 3)
f x

x
=
+
10)
2
1
( )
cos (5 2 )
f x
x
=
−
Bài 2: Cho hàm số
( )
4
1 3
= −f x
x
x
và hàm số
( )
3
1
2F x x
x
= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x

là ngun hàm của
( )
f x
.
b. Tìm ngun hàm
( )
G x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
1 5=G
.
3/- Các phương pháp tính ngun hàm ( tích phân bất định )
3.1/- Phương pháp đổi biến số:
Định lý:
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C f u du F u C
= + ⇒ = +
∫ ∫
, với u = u(x), du = u’(x)dx.
 Để tính
( )f x dx
∫
bằng PP đổi biến ta thực hiện các bước sau:
+ B1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx
+ B2: Biểu diễn f(x)dx theo u và du. Giả sử f(x)dx = g(u)du
+ B3: Tính
( )g u du
∫

. Giả sử
( ) ( )g u du G u C= +
∫
+ B4: Kết luận:
( ) ( ) ( ( ))f x dx g u du G u x C= = +
∫ ∫
BÀI TẬP:
1)
∫
−
5
)23( x
dx
2)
∫
+
dx
x
x
3
2
25
3
3)
∫
xdxxcossin
4
4)
∫
+

dxex
x 1
2
.
5)
dx
x
x
∫
3
ln
6)
sin
1 3cos
x
dx
x
+
∫
7)
ln 3x
dx
x
+
∫
8)
dxxx .1
23
∫
+

9)
2
sin 2
1 sin
x
dx
x+
∫
10)
2
cos
sin 2
x
e xdx
∫
3.2/- Phương pháp ngun hàm từng phần: Sử dụng cơng thức ngun hàm từng phần:
( ) '( ) ( ). ( ) '( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx= −
∫ ∫

hay
udv uv vdu
= −
∫ ∫
(1)
Bằng cách đặt:
'( ) ,
( )
'( ) ( ), ( '( ) ( ))
(Lấy vi phân vế theo vế)
Lấy một nguyên hàm của v'(x):

du u x dx
u u x
dv v x dx v v x v x dx v x
=

=


⇒
 
= = =



∫

Sau đó thay vào cơng thức (1), rồi tìm cách tính tích phân còn lại (có thể suy trực tiếp, cũng có thể dùng các phương
pháp ta đã biết: bao gồm đổi biến và từng phần)
 Lưu ý: Thơng thường, ta có 3 dạng cơ bản:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 2
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
i. Dạng 1:

( ). ( )p x g x dx
∫
, trong đó p(x) là hàm đa thức, g(x) là hàm lượng giác theo sin hoặc cos.
Cách giải: Đặt
'( ). ,(
( )
( ) ( ) , ( )
du p x dx
u p x
dv g x dx v g x dx
=

=


⇒
 
= =



∫
Lấy vi phân vế theo vế)
Tìm một nguyên hàm của g(x)
BÀI TẬP: 1/
.sinx xdx
∫
2/
( )
1 .cosx xdx−

∫
3/
2
.sinx xdx
∫
ii. Dạng 2:
( )
( ).
t x
p x e dx
∫
, trong đó p(x) là hàm đa thức, e
t(x)
là hàm mũ cơ số e.
Cách giải: Đặt
( ) ( )
( )
'( ). ,(
( )
, ( )
Lấy vi phân vế theo vế)
Tìm một nguyên hàm của e
t x t x
t x
du p x dx
u p x
v e dx
dv e dx
=


=


⇒
 
=
=



∫
BÀI TẬP: 1/
∫
dxex
x
.
2/
2
( 1).
x
x e dx−
∫
3/
2
.
x
x e dx
∫
iii. Dạng 3:
( ).ln ( )[ ]p x f x dx

∫
, trong đó p(x) là hàm đa thức, ln[f(x)] là hàm lốc nê pê hoặc lơgarit
Cách giải: Đặt
'( )
. ,(
ln[ ( )
( )
( )
( ) , ( ( ))
Lấy vi phân vế theo vế)
]
Tìm một nguyên hàm của
f x
du dx
u f x
f x
dv p x dx
v p x dx p x

=
=


⇒
 
=


=


∫
BÀI TẬP 1)
∫
xdxxln
2)
∫
+ dxxx )1ln(2
3)
∫
+
dx
x
x
2
)1ln(
4/- Tích phân:
a/- Định nghĩa tích phân: ( Cơng thức Newton - Leibnizt )
b/- Tính chất:
1)
( ) 0
a
a
f x dx =
∫
2)
( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx= −
∫ ∫

3)
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
4)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
5)
( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
5/- Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp1: Tính trực tiếp bằng định nghĩa
Cách giải:
- Ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân bằng cách dùng các phép biến đổi như: thêm bớt, nhân chia, trục căn thức ở
mẫu, đưa căn thức về dạng luỹ thừa, hằng đẳng thức, tách tích phân để đưa về các dạng đã biết trong bản ngun hàm.
- Đặc biệt, nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỉ thì ta so sánh bậc của đa thức ở tử và bậc của đa thức ở
mẫu. Ta có các trường hợp sau:
+ Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta chia đa thức, tách tích phân rồi tính.
+ Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc ta thử lấy mẫu đạo hàm nếu biểu diễn được theo tử thì ta

sử dụng pp đổi biến bằng cách đặt mẫu bằng u, (xem pp đổi biến)
+ Nếu khơng được, ta tìm nghiệm của mẫu rồi dùng pp đồng nhất thức. Cụ thể như sau:
o Nếu mẫu là tam thức bậc hai có 2 nghiệm m, n (m < n), ta phân tích theo quy tắc sau:
2
( ) ( ) 1 ( ) ( )
( )( )
p x p x p x p x
dx dx dx
ax bx c a x m x n n m x n x m
 
= = −
 ÷
+ + − − − − −
 
∫ ∫ ∫
o Nếu mẫu là đa thức bậc lớn hơn bằng 3 và có nghiệm thì ta tách biểu thức
( )
( )
p x
q x
thành tổng các phân
thức sao cho ở mỗi phân thức bậc của tử ln nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc. Rồi tìm các hệ số bất
định a, b, c, d Chẳng hạn:
2 2
2 3
( 1)( 2) 1 2
x a b cx d
x x x x x x
+ +
= + +

− + − +
- Nếu hàm số trong dấu tích phân cho ở dạng lượng giác thì ta có thể dùng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các
hàm có trong bảng ngun hàm.
 Các cơng thức biến đổi lượng giác thường dùng:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 3
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
a) Hằng đẳng thức lượng giác
• sin
2
x + cos
2
x =1
• tanx.cotx = 1
• 1 + tan
2
x = 1/cos
2
x
• 1+ cot
2
x = 1/ sin
2
x
b) Biến đổi tích thành tổng:
* cosa.cosb = ½[cos(a+b) + cos(a - b)]
* sina.cosb = ½ [sin(a+b) + sin(a - b)]
* sina.sinb = ½ [cos(a - b) - cos(a+b)]
c) Nhân đơi, hạ bậc:
• sin2a = 2sina.cosa
• cos2a = 2cos

2
a - 1
= 1 - 2sin
2
a = cos
2
a - sin
2
a
•
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
•
2
1 cos2
cos
2
a
a
+
=
•
2

1 cos 2
sin
2
a
a
−
=
•
2
1 cos 2
tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
d) Biến đổi biểu thức dạng asinx + bcosx về hàm
lượng giác sin hoặc cos nhờ cơng thức cộng
e) Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác
•
sin cos 2 sin( ) 2
4 4
osa a a c a
π π
 
+ = + = −
 ÷
 

•
sin cos 2 sin( )
4
a a a
π
− = −
•
cos sin 2
4
osa a c a
π
 
− = +
 ÷
 
• 1 + sin2a = (sina + cosa)
2
• 1- sin2a = (sina - cosa)
2
Lưu ý: Đối với tích phân hàm lượng giác, thường có các dạng:
• Dạng 1:
sin( ) ( ) ; sin( ). ( ) ; ( ) ( )os os os osmx c nx dx mx c nx dx c mx c nx dx
∫ ∫ ∫
, ta biến đổi tích thành tổng
• Dạng 2:
sin cos
m n
x xdx
∫
+ Trường hợp 1: có ít nhất một trong hai số m, n là lẻ.

- Nếu m lẻ, ta đặt t = cosx, rồi dùng pp đổi biến, tách sin
m
x = sin
m-1
x.sinx, chú ý: sin
2
x + cos
2
x =1
- Nếu n lẻ, ta đặt t = sinx, rồi dùng pp đổi biến, tách cos
n
x = cos
n-1
x.cosx.
+ Trường hợp 2: m, n đều chẳn và dương ta dùng cơng thức hạ bậc, hạ bậc rồi tính.
• Dạng 3:
sin
m
xdx
∫
,
os
m
c xdx
∫
+ Nếu m chẳn, hạ bậc rồi tính
+ Nếu m lẻ, Sử dụng hđt lượng giác biến đổi: sin
m
x = sin
m-1

x = (1-cos
2
x)
n
.sinx, rồi đặt t = cosx,
hoặc cos
m
x = (1- sin
2
x)
n
cosx, rồi đặt t = sinx
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1)
2
2
1
1x
dx
x
−
∫
2)
1
2 2
2
1
2
( 1)x
dx

x
−
∫
3)
2
0
2sin
2
x
dx
π
∫
4)
3
2
4
tan xdx
π
π
∫
5)
3
2 2
4
sin .cos
dx
x x
π
π
∫

6)
3
2 2
6
cos2
sin .cos
x
dx
x x
π
π
∫
7)
2
0
2sin 3 cos2x xdx
π
∫
8)
( )
1
0
– 1
x x
e e dx
∫
9)
dx
xx
∫







+
2
1
32
11
10)
3
2
1
( 1)( 2)
dx
x x− +
∫
11)
2
3 2
0
x xdx
π
∫
sin cos
12)
2
2

0
cos 2xdx
π
∫
b) Phương pháp 2: Đổi biến
b.1/- Đổi biến loại 1: Để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện theo các bước
B1: Đặt x = ϕ(t), là hàm liên tục trên đoạn [α;β],
B2: Đổi cận x = a ⇒ t =α (giải pt a =ϕ(t) để tìm t)
x = b ⇒ t =β (giải pt a =ϕ(t) để tìm t)
Biểu diễn f(x)dx theo t và dt giả sử f(x)dx = g(t)dt
B3: Tính
( )g t dt
β
α
∫
. B4: Kết luận
( )
b
a
f x dx
∫
=
( )g t dt
β

α
∫
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 4
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
 Lưu ý: Thường các bài tập về tính tích phân bằng pp đổi biến loại 1 có các dạng như sau : (a > 0)
2 2
dx
a x+
∫
ta đặt
tanx a t=
,
;
2 2
t
π π
−
 
∈
 ÷
 
;
2 2
2 2
;
dx
a x dx
a x
−
−

∫ ∫
ta đặt
sinx a t=
,
;
2 2
t
π π
−
 
∈
 
 
.
BÀI TẬP: Tính
1)
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
2)
2
2
0
1
4

dx
x+
∫
3)
2
2
0
4 x dx−
∫
4)
2
2
0
1
4
dx
x−
∫
b.2/- Đổi biến loại 2: Để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện theo các bước
B1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x).dx
B2: Đổi cận: x = a ⇒ u = u(a); x = b ⇒ u = u(b)
B3: + Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử f(x)dx = g(u)du
+ Tính
( )

( )
( )
( )
( ) ( )
u b
u b
u a
u a
g u du G u=
∫
B4: kết luận:
( )
b
a
f x dx
∫
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
u b
u b
u a
u a
g u du G u=
∫
6. Các dạng tích phân dùng pp đổi biến thường gặp:
→ Đối với việc tính tích phân bằng pp đổi biến, ta cần phải suy nghỉ tìm cách đổi biến phù hợp sao cho sau khi thực

hiện đổi biến ta phải đưa về được các dạng trong bảng ngun hàm của hàm số hợp. Sau đây là các dạng thường gặp
a). Dạng 1:
( )
β
α
+
∫
sin .cosf p x q xdx
.
→ hoặc đặt
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc đặt
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). Dạng 2:
( )
β
α
+
∫

cos .sinf p x q xdx
.
→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q
+
nằm trong
n
.
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1)
2
3
0
(1 sin ) cosx xdx
π
+
∫
(đặt
1 sint x= +
)

2)
2
0
2sin 1cosx xdx
π
+
∫
(đặt
2sin 1t x= +
)
3)
2
0
cos
2sin 1
xdx
x
π
+
∫
(đặt
2sin 1t x= +
)
4)
2
3
0
cos
3sin 1
x

dx
x
π
+
∫
(đặt
3
3sin 1t x= +
)
5)
2
3
0
(1 cos ) sinx xdx
π
+
∫
(đặt
1 cost x= +
)
6)
( )
2
2
0
sin
2cos 2
x
dx
x

π
+
∫
( đặt t = 2cosx +2)
7)
2
sin 1
0
cos
x
e xdx
π
+
∫
( đặt t = sinx +1)
8)
2
2
0
(1 sin ) cosx xdx
π
+
∫
( đặt t = sinx)
9)
2
2
0
(1 cos )sinx xdx
π

−
∫
( đặt t = cosx)
10)
2
0
3cos 1sinx xdx
π
+
∫
(đặt
3cos 1t x= +
)
11)
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
12)
∫
+
4
0
2sin21

2cos
π
dx
x
x
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 5
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
 Lưu ý: Ngồi các dạng trên, ta cũng còn có thể gặp một số dạng khác mà đặc điểm chung là:
+
1
cos (sin )' ( sin )'xdx x dx a x b dx
a
= = +
khi đó, ta ln đặt
sinu x=
hoặc
sinu a x b= +
+
1
sin (cos ) ' ( cos )'xdx x dx a x b dx
a
= − = − +
khi đó, ta ln đặt
cosu x=
hoặc
cosu a x b= +
c). Dạng 3:
( )
1
β

α
+
∫
ln .f p x q dx
x
.
→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
lnp x q+
nằm trong dấu
n
.
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1)
3
1
1
ln .
e
x dx
x

∫
, đặt t = lnx
2)
( )
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
, đặt
1 lnt x= +
3)
1
1 3ln
2
e
x
dx
x
+
∫
, đặt
1 3lnt x= +
4)
2
sin(ln )

e
e
dx
x
x
π
π
∫
5)
1 ln
1
1
.
e
x
e dx
x
−
∫
6)
3
1
ln
ln 1
e
xdx
x x +
∫
7)
3

2
1
ln 1 ln
e
x x
dx
x
+
∫
8)
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
9)
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
xcos x+

∫
10)
2
2
1
(1 3ln )
e
dx
x x+
∫
d). Dạng 4:
( )
2
1
β
α
+
∫
tan .
cos
f p x q dx
x
.
→ hoặc
= +tant p x q

( )
,p q∈¡

→ hoặc

= +tan
n
t p x q
nếu như biểu thức
+tanp x q
nằm trong dấu
n
.
Lưu ý: để ý rằng
2
1 1
(tan )' ( tan )'
cos
dx x dx a x b dx
ax
= = +
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1)
4
2
0
tan
cos
x
dx
x
π
∫
2)
3

2 2
4
tan cos
dx
x x
π
π
∫
3)
4
3
0
tan xdx
π
∫
4)
3
2
0
1 tan
1 sin
x
dx
x
π
+
−
∫
e). Dạng 5:
( )

2
1
β
α
+
∫
.
sin
f pcotx q dx
x
.
→ hoặc
= +t pcotx q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
n
t pcotx q
nếu như biểu thức
+pcotx q
nằm trong
n
.
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 6
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1.

2
2
4
cot
sin
x
dx
x
π
π
∫
2.
3
2
4
cot sin
dx
x x
π
π
∫
3.
4
3
6
cot xdx
π
π
∫
4.

2
2
4
1 cot
1 cos
x
dx
x
π
π
+
−
∫
f). Dạng 6:
( )
β
α
+
∫
.
x x
f pe q e dx
.
→ hoặc
= +
x
t pe q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
x
n
t pe q
nếu như biểu thức
+
x
pe q
nằm trong
n
.
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1)
1
0
1
x
x
e
dx
e +
∫
2)
( )
ln 2
2
0
1

x
x
e
dx
e +
∫
3)
ln5
0
2 1.
x x
e e dx−
∫
4)
ln
2
0
sin( 1).
x x
e e dx
π
−
∫
5)
1
x
0
1
dx
e 1+

∫
6)
ln 5
ln3
2 1
x x
dx
e e
−
+ +
∫
g). Dạng 7:
( )
1
β
α
−
+
∫
.
m m
f px q x dx
.
→ hoặc đặt
= +
m
t px q

( )
,p q∈¡

→ hoặc đặt
= +
m
n
t px q
nếu như biểu thức
+
m
px q
nằm trong
n
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1)
1
2
0
1x x dx+
∫
2)
2
2 2
0
sin (2 )
4
x xdx
π
π
−
∫

3)
1
3 2
0
1x x dx+
∫
4)
1
2
3
0
1
x
dx
x
+
∫
5)
1
3 2
0
1x x dx−
∫
6)
2
1
2
0
x
e xdx

+
∫
7)
1
0
2 1
x
dx
x +
∫
8)
2
1
1 1
x
dx
x
+ −
∫
9)
7
3
3
2
0
1
x
dx
x+
∫

10)
3
5 2
0
1x x dx+
∫
11)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
12)
1
3
2 3
0
( 1)
x
dx
x +
∫
h). Dạng 8:

2
( sin ).sin 2f p x q xdx
β
α
+
∫
;
2
( ).sin 2osf pc x q xdx
β
α
+
∫
→ Đặt
2
sint p x q= +
hoặc
2
cost p x q= +
→ Đặt
2
sin
n
t p x q= +
hoặc
2
cos
n
t p x q= +
nếu các biểu thức tương ứng nằm trong dấu

n
Để ý rằng:
2 2
1
sin 2 ( sin )' ( cos )' ( cos 2 )'
2
xdx p x q dx p x q dx p x q dx
p
= + = − + = − +
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 7
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1.
2
2 3
0
(1 sin ) sin 2x xdx
π
+
∫
2.
2
2
0
1 sin 2 sin 4x xdx
π
+
∫
3.
2

2 3
0
(1 cos ) sin 2x xdx
π
+
∫
4.
2
0
sin 2
1 cos2
x
dx
x
π
+
∫
5.
2
2
cos
0
sin 2
x
e xdx
π
∫
6.
2
2

0
1 sin sin
2
x
xdx
π
+
∫
7.
2
2
0
sin
1 sin
2
x
dx
x
π
+
∫
8.
2
2
1 sin
0
sin 2
x
e xdx
π

+
∫
 Lưu ý: Trong tất cả các trường hợp đặt trong dấu
n
ta nên nâng luỹ thừa bậc n lên rồi sau đó tìm vi phân vế theo vế để
đưa ra cách biểu diễn biểu thức dưới dấu tích phân theo biến mới phù hợp.
c./- Phương pháp tích phân từng phần
PP: Ta sử dụng cơng thức tích phân từng phần:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
(1)
Đặt
'( ) ,(
( )
'( ) '( ) ( ),(
Lấy vi phân theo vế)
Tìm một nguyên hàm)
du u x dx
u u x
dv v x dx v v x dx v x
=

=



⇒
 
= = =



∫
Rồi thay vào cơng thức (1). Tính tích phân tiếp theo.
 Lưu ý: Đối với tích phân từng phần thường có các dạng và pp giải như sau:
•
( )
( ). . , ( ).sin( ( )). , ( ). ( ( )).
t x
p x e dx p x x dx p x cos x dx
α α
∫ ∫ ∫
. Ta đặt
( )
phần còn lại
u p x
dv
=


=

•
( ).ln().p x dx
∫
. Ta đặt

ln()
phần còn lại
u
dv
=


=

•
.sin . , . .
ax ax
e kx dx e coskx dx
∫ ∫
. Ta đặt
( )
phần còn lại
u p x
dv
=


=

hoặc ngược lại. Trong đó, p(x) là hàm đa thức
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1.
1
ln
e

x xdx
∫
2.
2
1
ln
e
x xdx
∫
3.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
∫
4.
1
2
0
ln( 1)x x dx
+
∫
5.
1
1
( )ln

e
x xdx
x
+
∫
6.
2
2
1
ln( )x x dx
+
∫
7.
2
3 2
0
( sin )cosx x xdx
π
+
∫
8.
2
0
( 1)cosx xdx
π
−
∫
9.
4
2

0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
10.
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
11.
3
2
4
tanx xdx
π
π
∫
12.
∫
1
0
3
. dxex
x
13.
2

0
(1 cos )x xdx
π
+
∫
(TN 2009)
14.
∫
2
0
2sin.
π
xdxx
15.
2
2
0
xcos xdx
π
∫
16.
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +

∫
17.
π
∫
2
0
xsinxcos xdx
18.
∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx
19.
∫
2
0
2
.cos.
π
dxxx
20.
2
0
cos
x
e xdx

π
∫
21.
2
2
0
(3 sin )x x dx
π
+
∫
6/- ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 8
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
6.1/- Tính diện tích hình phẳng:
a) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hồnh Ox và các đường thẳng x = a, x = b là:
( )
b
a
S f x dx
=
∫
b) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x =b là:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x
= − = −
∫ ∫
 Lưu ý:

+Ta nên tìm hồnh độ giao điểm của hai đường, bằng cách giải phương trình f(x) - g(x) = 0. giả sử: phương trình có hai
nghiệm là α,β trên đoạn [a; b] và
,a b
α β
≤ ≤ ≤
(α,β là hai hồnh độ giao điểm của hai đường). Khi đó, diện tích hình phẳng
được tính như sau:
[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx
β
α
α β
= − = − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
+ Hoặc ta có thể dùng đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối và giải
+ Trường hợp pt hồnh độ giao điểm vơ nghiệm trên [a; b] thì
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x
= − = −
∫ ∫
6.2/- Thể tích của vật thể tròn xoay:
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng D giới hạn bởi các đường y =f(x), trục hồnh, các đường thẳng x = a,x= b,
khi cho D quay quanh trục Ox là:
2

( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
BÀI TẬP:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1. Đồ thị hàm số
1
y x
x
= +
, trục hồnh, các đường
thẳng x = -2, x = 1
2. y = e
x
+ 1, y = 0, x = 0, x = 1
3. y = x
3
- 4x, y = 0
4. y = sinx, y = 0, trục tung và đường thẳng x = 2π
5.
2 1
, 0, 0, 2
1
x
y y x x
x

−
= = = =
+
6.
cos , 0, 0,y x y x x
π
= = = =

7.
3
4 , 0y x x y= − =
8.
2
3 , 0y x y
x
= + + =
9.
2
2 , 2y x x y x= + = +

10.
2 2
2 2 , 3 6, 0; 4y x x y x x x x= − = + − = =
11.
1
, 0, 0, 1
2
y y x x
x
= = = =

−
12.
4 2
2y x x= −
, y = 0
13. Đồ thị hàm số y = x
3
- 3x
2
, trục tung và tiếp tuyến
của đồ thị tại điểm M(1; -2)
Bài 2: Tính thể tích các khối tròn xoay sinh bởi các hình phẳng D sau đây khi cho D quay quanh trục Ox
1. y = x
2
+ x - 5 ; x + y - 3 = 0
2.
2
y (x 2)= −
, y = 4
3.
2 2
4 ; 2y x y x= − = +
4.
1
, 0, 1, 4y y x x
x
= = = =
5.
1
, 0, ,

sin 6 3
y y x x
x
π π
= = = =
6.
1
, 0, 0,
cos x 4
y y x x
π
= = = =
7.
2
2
1
;
1 2
x
y y
x
= =
+
8.
1
2 2
.
x
y x e=
; y = 0 ; x= 1 ; x = 2

9. y = x
)1ln(
3
x+
; y = 0 ; x = 1
TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
1. Năm 92-93:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3 2
6 9y x x x= − +
, y = 0, x = 1, x = 2
2. Năm 93-94:
a.
2
5
0
sin xdx
π
∫
b.
2
1
(1 )ln
e
x xdx−
∫

3. Năm 94-95:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
2

1
x x
y
x
− +
=
+
, trục hồnh
4. Năm 95-96:
a.
5
2
2
ln( 1)x x dx−
∫
b.
2
2
3
1
2
x
dx
x
∫
+
5. Năm 96-97 L1:
a.
3
1

4 lnx xdx
∫
b.
2
2 3
0
2.x x dx+
∫
c. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
3
3 1y x x= − +
,
trục hồnh, trục tung và x = -1
6. Năm 96-97 L2:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 9
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
a.
3
2
0
sin tanx xdx
π
∫
b. Diện tích hình phẳng:
4 2
1 9
2
4 4
y x x= − + +
7. Năm 97-98 L1

a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C)
3 2
3 3 1y x x x= + + +
và tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó
với trục tung
b.
cos
0
( )sin
x
e x xdx
π
+
∫
8. Năm 97-98 L2:
a. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi: (C)
4
2
y
x
=
−
, y = 0,
x = -2, x = 1
b. Thể tích của khối tròn xoay khi (H) quay quanh Ox
c.
2
2
1
1

2
x
dx
x
−
−
 
∫
 ÷
−
 
9. Năm 98-99:
2
2 3
0
sin cosx xdx
π
∫
10. Năm 1999-2000:
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1 1
1
2 1
y x
x
= − +
−
, y = 0,
x = 2, x = 4
11. Năm 2000-2001:

a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):
3
1
3
4
y x x= −
,
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ
2 3x =
b.
2
0
(sin 6 .sin 2 6)x x dx
π
−
∫
12. Năm 2002-2003
1) Tìm ngun hàm F(x) của hàm số
3 2
2
3 3 1
( )
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
,biết rằng

1
1
3
F
=
( )
.
2) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
2 10 12
2
x x
y
x
− −
=
+
và đường thẳng y = 0.
13. Năm 2003-2004: Tính thể tích của vật thể tròn xoay do
hình phẳng giới hạn bởi (C):
3 2
1
3
y x x C
= −
( )
và các
đường y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox
14. Năm 2004 - 2005:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hồnh

và đồ thị (C):
2 1
1
x
y
x
+
=
+
2.
2
2
0
( sin ) cosx x xdx
π
+
∫
15. Năm 2005-2006:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm
số
x
y e=
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
2) Tính tích phân
2
2
0
sin 2
4 cos
x

I dx
x
π
=
−
∫
.
16. Năm 2006-2007:
2
1
ln
e
xdx
x
∫
17. Năm 2007-2008:
1
0
(1 )
x
e xdx+
∫
CÁC ĐỀ PHÂN BAN
18.Năm 2005-2006
a. Diện tích hình phẳng: (C):
3 2
3y x x= − +
, y = 0
b.
ln5

ln 2
( 1)
1
x x
x
e e
dx
e
+
∫
−
b.
1
0
(2 1)
x
x e dx+
∫
19. Năm 2006-2007 L1:
a.
2
2
1
2
1
xdx
x
∫
+
b.

3
1
2 lnx xdx
∫
20. Năm 2006-2007 L2:
a. Hình phẳng (H): y = sinx, y =0, x = 0, x = π/2. Tính thể
tích khối tròn xoay khi (H) quay quanh Ox
b. Tính diện tích (H): y = -x
2
+ 6x, y = 0
21. Năm 2007-2008 L1:
a.
1
2 3 4
1
(1 )x x dx
−
−
∫
b.
2
0
(2 1)cosx xdx
π
−
∫
22. Năm 2007-2008 L2:
a.
1
0

(4 1)
x
x e dx+
∫
b.
2
2
1
(6 4 1)x x dx− +
∫
23. Năm 2008-2009:
0
(1 cos )x x dx
π
+
∫


Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 10