Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số đặng việt đông

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A – KIẾN THỨC CHUNG
1. Định nghĩa:
+) Đường thẳng x  a là TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x  nếu có một trong các điều kiện sau:
lim y   hoặc lim y   hoặc lim y   hoặc lim y  

x a 

x a

x a

x a

+) Đường thẳng y  b là TCN của đồ thị hàm số y  f  x  nếu có một trong các điều kiện sau:
lim y  b hoặc lim y  b

x 

x 

2. Dấu hiệu:
+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.
+) Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN.
+) Hàm căn thức dạng: y 
 ,y 
 bt, y  bt 
có TCN. (Dùng liên hợp)
+) Hàm y  a x ,  0  a  1 có TCN y  0
+) Hàm số y  log a x,  0  a  1 có TCĐ x  0
3. Cách tìm:
+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.
+) TCN: Tính 2 giới hạn: lim y hoặc lim y
x 

x 

4. Chú ý:
+) Nếu x    x  0  x 2  x  x
+) Nếu x    x  0  x 2  x   x

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: BÀI TOÁN KHÔNG CHỨA THAM SỐ
Câu 1: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang:
2x2 1
3 x  1
A. y  x 3  25 x 2  8 B. y  x 4  8 x 2  99 C. y  2
D. y 

x 2
x2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Đồ thị hàm số ở câu A và B không có tiệm cận, đồ thị hàm số ở câu D có tiệm cận xiên
3 x  1
Xét ý C: Ta có lim y  lim 2
 0 nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 0 là tiệm cận
x 
x  x  2
ngang.
Câu 2: Đường thẳng y  8 là tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số nào ?
2x  7
x2  9
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B

A. y 

B. y 

16 x  25
3  2x

C. y 

2x2 1
16 x  2

D. y 

8 x  25
1  3x

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

ax  b a
ax  b
  c  0; ad  bc  nên đồ thị hàm số y 
 c  0; ad  bc  nhận đường
x  cx  d
c
cx  d
a
thẳng y  là tiệm cận ngang. Do vậy đường thẳng y = -8 là tiệm ngang của đồ thị hàm
c
16 x  25
.
số y 
2 x  3
2x  3
Câu 3: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
là:

x 1
1
1
B. y  2, x  1
C. y  , x  1
D. y  1, x 
A. y  1, x  2
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
2x  3
Ta có lim
 2 Do đó là tiệm cận ngang là y = 2
x  x  1
2x  3
2x  3
Lại có lim
 ; lim
  nên tiệm cận đứng là x = 1.
x  x  1
x  x  1

Ta có lim

x2  2 x  6
x2  4 x  3
Câu 4: Cho hàm số y 
và y 
. Tổng số đường tiệm cận của hai đồ thị là

x 1
x2  9
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Xét y 

x2  2 x  6
có 1 tiệm cận đứng là x = 1
x 1

Mặt khác
2x 6
2x 6
 2
x 1 2  2
2
2
x  2x  6
x
x  1 ; lim y x  2 x  6  lim y
x
x  1
lim y
 lim y
x 
x


x

x

x 1
x 1
 1
 1
x 1  
x 1  
 x
 x
Nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y   1
x 2  4 x  3  x  1 x  3
Xét y 
ta có đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1 và chỉ có một

x2  9
 x  3 x  3
x 1 2
tiệm cận đứng là x = -3. Do vậy tổng số tiệm cận là 5. Chú ý: Do lim y 
 nên x = 3 không
x 3
x 3 5
là tiệm cận đứng.
3
Câu 5: Cho hàm số y 
có đồ thị là (C). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x 1

A.  C  có tiệm cận ngang là y  3
B.  C  có tiệm cận ngang là y  0
2

x 1

C.  C  có tiệm cận đứng là x  1
D.  C  chỉ có một tiệm cận
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x  1 , tiệm cận ngang là y  0 nên B đúng
3  2x
Câu 6: Đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là:
x 1
A. x  1; y  2
B. x  1; y  2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

C. x  1; y  2
D. x  2; y  1
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C
 lim y  2
Ta có  x 
 hàm số có TCN là đường thẳng y  2
y  2
 xlim

 lim y  
Lại có  x 1
 Hàm số có TCĐ là đường thẳng x  1
y


 xlim
1
x2
Câu 7: Đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận đứng là
1 2x
1
1
1
B. x  2.
C. x  .
D. y   .
A. x   .
2
2
2
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C
2  2x
.
Câu 8: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
x 1
A. x  2
B. y  2
C. y  1
D. x  1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
2  2x

y  lim
 2
xlim

x  x  1
Ta có: 
=> Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  2 .
 lim y  lim 2  2x  2
x  x  1
x 
Câu 9: Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

x 1
lần
x2

lượt là

A. x  2; y  1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A

B. y  2; x  1

C. x  2; y  1

D. x  2; y  1

Tiệm cận đứng: x  2 , tiệm cận ngang y  1 .
x3  3x  2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x2  4 x  3
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  1 và y  3.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x  1 và x  3.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
TXĐ D   \ 1;3
Câu 10: Cho hàm số y 

+) lim y  , lim y   và lim y  , lim y   Vậy x  1, x  3 là 2 đường TCĐ.
x 1

x 1

x 3

x 3

+) Chú ý: chỉ cần tính 1 giới hạn bên trái hoặc bên phải
Câu 11: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đúng một đường tiệm cận (gồm các đường tiệm cận
đứng và tiệm cận ngang).
x 1
A. y  x 2  1  x.
B. y 
.
C. y  x 4  x 2  1.
D. y  x 3  2 x  1.
x2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Ta có: Tập xác định của hàm số là  và:


1
x2 1  x  0
lim x 2  1  x  lim 
  0; xlim

2
x 
x 

 x 1  x 
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.
Câu 12: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  2; 1 và có lim  f  x   2, lim  f  x    .









x   2 

x  1

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số f  x  có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  2 và y  1
B. Đồ thị hàm số f  x  có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x  1
C. Đồ thị hàm số f  x  có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y  2
D. Đồ thị hàm số f  x  có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x  2 và x  1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Ta có lim  f  x     đồ thị hàm số f  x  có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x  1
x  1

Câu 13: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị y 
A. 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A

B. 3.

C. 4.

4 x 2  1  3x 2  2
là:
x2  x
D. 1.

1 1 

Tập xác định: D   ;     ;1  1;   
2 2 

Tiệm cận đứng:

4 x 2  1  3x2  2
4 x 2  1  3x 2  2
lim y  lim
  ; lim y  lim
 
x 1
x 1
x 1
x1

x  x  1
x  x  1
Suy ra x  1 là tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang:
4 1
2
 4 3 2
2
2
2
4 x  1  3x  2
x
x  3  y  3 là tiệm cận ngang
lim y  lim
 lim x
2
x 
x
x

1
x x
1
x
4 1
2
 4 3 2
2
4 x 2  1  3x 2  2
x

x  3  y  3 là tiệm cận ngang
lim y  lim
 lim x
2
x 
x
x

1
x x
1
x
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
Câu 14: Đồ thị hàm số y  f ( x ) có lim y  2; lim y  2 . Chọn khẳng định đúng ?
x 

A. Tiệm cận đứng x  2 .
C. Hàm số có hai cực trị.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B

x 

B. Tiệm cận ngang y  2 .
D. Hàm số có một cực trị.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
ax  b
a
có lim y  ;
x 
cx  d
c
Tiệm cận ngang y  2
Câu 15: Xét các mệnh đề sau:

Với hàm số y 

1. Đồ thị hàm số y 

lim y 

x 

Phần Hàm số - Giải tích 12

a
a
suy ra tiệm cận ngay y 
c
c

1
có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.
2x  3

x  x2  x  1
có hai đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng.
x
x  2x 1
3. Đồ thị hàm số y 
có một đường tiệm cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.
x2  1

2. Đồ thị hàm số y 

Số mệnh đề ĐÚNG là
A. 3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
y

B. 2

C. 1

D. 0

1
có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.
2x  3

x  x2  x  1
x  x2  x  1 1
x  x2  x  1

 2; lim
 y
có hai đường tiệm cận ngang
x 
x 
x
x
2
x
lim

và một đường tiệm cận đứng.
y

x  2x 1
1

có tập xác định D   ;    \ 1 nên có tối đa một đường tiệm cận đứng.
2
x 1
2


Câu 16: Cho các hàm số y  3x ; y  log3 x; y 

1
; y  x 3 . Chọn phát biểu sai
3x
B. Có hai đồ thị có tiệm cận ngang.
D. Có hai đồ thị có chung một đường tiệm cận.

A. Có hai đồ thị có tiệm cận đứng.
C. Có đúng hai đồ thị có tiệm cận.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Dựa vào đáp án ta thấy
1
Đồ thị hai hàm số y  log 3 x; y 
cùng có tiệm cận đứng là đường thẳng x  0
3x
1
cùng có tiệm cận ngang là: y  0
Đồ thị hai hàm số y  3x ; y 
3x
Có 3 đồ thị hàm số có tiệm cận nên C sai.
x 1
Câu 17: Số tiệm cận của đồ thị hàm số y 
là
x2 1
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
TXĐ: D   ; 1  1;   .
lim y  1 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

x 

lim y  lim

x 1

x 1


x 1 
 lim  
0
x  1 
x 2  1 x 1 

x 1

x 1
  đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x  1
x 1
x 1
x 2  1 x1 x  1
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
lim y  lim

x 1

 lim

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 18: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

Phần Hàm số - Giải tích 12
2x 1
?
x 1

1
A. x   .
B. y  1 .
C. y  2 .
D. x  1 .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
 Ta có lim y  2  y  2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

x 2  1  2x
Câu 19: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x  
là:
x 1
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B
Ta có: lim y  lim
x 

x 

x 2  1  2x
 1 nên đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang khi x   .
x 1

x 2  1  2x
 3 nên đường thẳng y  3 là tiệm cận ngang khi x   .
x 
x 
x 1
+) Mà đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
3x  2
Câu 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang và đứng của đồ thị hàm số y  f  x  
x 1
+) lim y  lim

A. Đồ thị hàm số f  x  có tất cả hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = -3 , y = 3 và không có tiệm
cận đứng.
B. Đồ thị hàm số f  x  không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
C. Đồ thị hàm số f  x  không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x =
-1, x = 1.
D. Đồ thị hàm số f  x  có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y 3 và không có tiệm cận đứng.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
2

3
3x  2
3x  2
x  3  y  3 là TCN.
Ta có: lim y  lim
 lim
 lim
x 
x  x  1
x  x  1
x 
1
1
x
2
3
3x  2
3x  2
x  3  y  3 là TCN.
lim y  lim
 lim
 lim
x 
x  x  1
x  x  1
x 
1
1
x
Không tồn tại giá trị xo để lim y  0  Đồ thị hàm số không có TCĐ.

x  xo

2x  3
có bao nhiêu đường tiệm cận?
| x | 1
B. 1
C. 4

Câu 21: Đồ thị hàm số y  1 
A. không có
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D

D. 2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

3

 2 x 
 2x  3 
lim  lim  1 
  3  y  3 là TCN

  lim  1 
x 
x 
 | x | 1  x   1  1 
x

3 

2 

 2x  3 
x  1  y  1 là TCN
lim  lim 1 
 lim 1 

x 
x 
x

1
 | x | 1 
 1  
x

 Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Cách 2 : Dùng CALC của CASIO
Câu 22: Đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây?
2
1 x
2x  2

2 x  3
A. y 
.
B. y 
.
C. y 
.
D. y 
.
x 1
1  2x
x2
x2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
a
Tiệm cận ngang y   2
c
2x
Câu 23: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
là
2
x 1  x
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
2x

y
x2  1  x
x2  1  x  x  x 2  1  x  0 .

lim y  lim
x

x 

2x
1
x 1 2  x
x

2x
lim y  lim
x



x2 1  x
2

x  1 x

x 

 lim

2

x 

2
1
 1 2 1
x

  lim 2x 



x 2  1  x   .

x 

Câu 24: Số tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 3 .
B. 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
TXĐ: D   ; 1  1;   .

 1 . Tiệm cận ngang : y  1

x 1

là
x2 1
C. 2 .

D. 0 .

lim y  1 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

x 

lim y  lim

x 1

x 1


x 1 
 lim  
0

x  1 
x 2  1 x 1 

x 1

x 1
  đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x  1
x 1
x 1
x  1 x1 x  1
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
lim y  lim

x 1
2

 lim

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 25: Cho hàm số y 

Phần Hàm số - Giải tích 12

6  2x
. Khi đó tiệm cận đứng và tiệm cân ngang là
3 x
B. x  3; y  2.
C. x  3; y  2.
D. x  2; y  3.

A. Không có.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Dựa vào định nghĩa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
2x 1
Câu 26: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
x2  x  2

A. 0.
B. 1.
C. 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
2x  1
2x  1
Ta phải tính các giới hạn: lim 
 2; lim 
2
2
x 
x 
x x2
x2  x  2
Hàm số có 2 tiệm cận ngang y=2 và y  2

D. 3.

Câu 27: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  2.
đứng là x  1.

B. y  2.

C. x  2.

2x  1
?
1 x

D. x  2.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B
Ta có : lim  2 nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y  2.
x

Câu 28: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. x  1
B. x  1
C. y  3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
3x  2
lim
 3 suy ra y  3 là tiệm cận ngang
x  x  1
Câu 29: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận?
x 1
A. y 
.
B. y  x 4  5x 2  1.
x 3
C. y   x 3  2x  3.
D. y   x 4  x 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Câu 30: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

3x  2
x 1
D. y  2

1  2x
có phương trình lần
x  2

lượt là
A. x  2; y  2.
B. x  2; y  2.
C. x  2; y  2.
D. x  2; y  2.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
 lim y  

Có:  x 2
nên đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
y  
 xlim

2
lim y  2 nên đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 31: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A

x

x2  1
C. 3.

B. 4.

Phần Hàm số - Giải tích 12

là:
D. 1.

x 2  1 vô nghiệm suy ra hàm số không có tiệm cận đứng.
x
x
1
 lim
 lim
 1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+ lim
x  
x  

1
x 2  1 x  x 1  1
1 2
x2
x
x
x
1
 lim
 lim
 1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị
+ lim
2
x  
x  
x  
1
1
x 1
 x 1 2
 1 2
x
x
hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y  1và y  1.
+ Ta có:

x  4 x2  3
có đồ thị là  C  . Gọi m là số tiệm cận của  C  và n là giá trị
2x  3
của hàm số tại x  1 thì tích mn là:

14
2
3
6
A.
.
B.
.
C. .
D. .
5
15
5
5
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D

Câu 32: Cho hàm số y 

Ta có lim 
 3
x   
 2

3
x  4x2  3
x  4x2  3
 , lim 
  nên x   là tiệm cận đứng của đồ thị
 3

2x  3
2x  3
2
x   
 2

hàm số.

x  4x2  3 3
3
 nên y  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 
2x  3
2
2
lim

x  4 x2  3
1
1
  nên y   là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 
2x  3
2
2
Đồ thị không có tiệm cận xiên.
2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận hay m  3 , n  .
5
6

Do đó mn  .
5
x2  2x  3
Câu 33: Cho hàm số y 
. Khi đó:
x2  4
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 ; tiệm cận ngang y  2 và y  2 .
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 và x  2 ; tiệm cận ngang y  1 .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 và x  2 ; tiệm cận ngang y  1 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm đứng x  1 và x  1 ; tiện cận ngang y  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
lim

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

2 3
 2
x  2x  3
x
x 1
Ta có lim y  lim
 lim

2
x 
x 
x

4
x 4
1 2
x
2 3
1  2
x2  2 x  3
x x 1.
và lim y  lim
 lim
2
x 
x 
x

4
x 4
1 2
x
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1.
1

2

x2  2 x  3

x2  2x  3
lim y  lim
  và lim y  lim
  .
x  2
x 2
x 2
x 2
x2  4
x2  4
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 và x  2 .
x2
có phương trình là
Câu 34: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
2x
1
A. y 
B. y  1
C. y  1
D. y  2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
x2
Ta có lim y  lim
 1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1
x 
x  2  x
3x 2  1  x 4  x  2
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là

Câu 35: Đồ thị hàm số f (x) 
x 2  3x  2
A. Tiệm cận đứng x  2 , x  1 ; tiệm cận ngang y  2 .
B. Tiệm cận đứng x  2 ; tiệm cận ngang y  2 .
C. Tiệm cận đứng x  2 , x  1 ; tiệm cận ngang y  2 , y  3 .
D. Tiệm cận đứng x  2 ,; tiệm cận ngang y  2 , y  3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B

3x 2  1  x 4  x  2
Ta có lim f (x)  lim
 2  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  2 .
x 
x 
x 2  3x  2





3x 2  1  x 4  x  2 3x 2  1  x 4  x  2
3x 2  1  x 4  x  2

Mặt khác lim f (x)  lim
x 
x 
x 2  3x  2
 x 2  3x  2  3x 2  1  x 4  x  2



 f (x) 

 f (x) 

8x 4  7x  1

x

2



 3x  2  3x 2  1 

8x

3





 x  1 8x 3  8x 2  8x  1

x 4  x  2   x  1 x  2   3x 2  1  x 4  x  2 

 8x 2  8x  1

 x  2   3x 2  1 

x4  x  2







Suy ra  x  2  3x 2  1  x 4  x  2  0  x  2  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 .
x 1

có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây là đúng.
x 2  3x  2
A. C không có tiệm cận ngang
B.C có đúng một tiệm cận ngang y  1
C.C có đúng một tiệm cận ngang y  1
D. C có hai tiệm cận ngang y  1 và y  1

Câu 36: Cho hàm số y 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D

1
x
lim y  lim
 1; lim y  lim
 1


x 
x 
x
x
3 2
3 2
1  2
 1  2
x x
x x
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang y  1 và y  1
x4
Câu 37: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu tiệm cận?
x2  4
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D
Ta có:
x4

lim
y

lim
1
x 
x 

x2  2
 
 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
 lim y  lim x  4  1
x 
x 
x2  2
1

1
x

1

 x 2  4  0  x  2
 
 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
y

xlim
2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
Câu 38: Đồ thị của hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?
x
x
x
x3
A. y  2
.
B. y 
C. y  2
.
D. y 
.
.
x  2x  3
x  3x  2
2 x 1
x2  4
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Dựa vào đáp án, ta có các nhận xét sau:

 Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất có hai đường tiệm cận.
x
có ba đường tiệm cận vì mẫu số có nghiệm
x  3x  2
x  2, x  1  0 và bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên có tiệm cận ngang y  0.

 Đồ thị hàm số y 

 Đồ thị các hàm số y 

2

x
,y 
x  2x  3
2

x
x2  4

có hai đường tiệm cận.

1  x2
. Tìm khẳng định đúng?
x
A. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y  1, y  1.
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x  0, y  1, y  1.
D. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng là đường thẳng x  0.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Câu 39: Cho hàm số y 

1  mx 2
Lưu ý với m  0 thì đồ thị của hàm số y 
không có tiệm cận ngang.

x

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

1
m
2
Thật vậy, ta có: lim y  lim x
  m với m  0.
x 
x 
1
1
m
2
lim y  lim  x
   m với m  0.
x 
x 
1

1  mx 2
có tiệm cận ngang thì bắt buộc m  0.

x
1  mx 2
Như vậy đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận ngang.
x
Rõ ràng x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó để đồ thị hàm số y 

1
x 3
D. y  3

Câu 40: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  3 
A. y  3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D

B. x  3

C. x  3

1 

Ta có lim y  lim  3 
  3  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  3
x 
x  
x 3
x 3  3x 2  20

Câu 41: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  2
x  5x  14
 x  2
x  2
A. 
B. x  2
C. 
D. x  7
x  7
 x  7
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
2
x 3  3x 2  20  x  2  x  5x  10
x 2  5x  10
Ta có y  2


x 7
x  5x  14
 x  2  x  7 
Suy ra x  7  0  x  7  Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x  7
x2  4
Câu 42: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
?
3  2x  5x 2
3
3
3
A. x = 1 và x 

B. x  1 và x 
C. x  1
D. x 
5
5
5
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B

 3
2
3  2x  5x  0  x  1; 5 

  Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là
Ta có 
y  , lim3 y  
xlim
1
x

5
3
x  1, x  .
5
2x  1
Câu 43: Đường thằng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
?
x 1
A. y  2
B. y  2

C. x  1
D. x  1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B





File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

2x  1

 lim
2
xlim

x  x  1
Ta có 
 Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y  2 .
2x
1


 lim y  lim
2
x  x  1
x 
2x  2017
Câu 44: Cho hàm số y 
1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
x 1
A. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng
x  1
B. Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  2, y  2 và không có tiệm
cận đứng.
C. Đồ thị hàm số (1) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y  2 và không có tiệm cận
đứng.
D. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường
thẳng x  1, x  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
2x  2017
Hàm số y 
1 có tập xác định là  , nên đồ thị không có tiệm cận đứng
x 1

2x  2017
2x  2017
 2; lim
 2 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường
x

x 1

x 1
thẳng y  2, y  2
3x  1
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Câu 45: Cho hàm số y 
2x  1
1
1
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x   . B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  .
2
2
1
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y  . D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
1
1
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  và tiệm cận ngang là y  .
2
2
4x  1  x 2  2x  6
Câu 46: Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
.
x2  x  2
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0.
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chính là số nghiệm của hệ phương trình:
4x  1  x 2  2x  6  0
4x  1  x 2  2x  6  0

 x  2
 2

x

1

x


2
x

x

2

0



Vậy hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng.
2x 1
Câu 47: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị y 
có phương trình lần lượt là

x 1
A. x  1; y  2
B. y  1; y  2
C. x  2; y  1
D. x  1; y  2
Hướng dẫn giải:
lim

x 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Chọn đáp án A
Câu 48: Cho hàm số y 
A. 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C

2x  3

. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
x  2x  3
B. 3 .

C. 4 .
2

D. 5 .

x  3
Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2  2x  3  0  
 x  1
3

x2 
2
 xlim
2x  3
x


Ta có lim y  lim
 lim

x 
x 
 2
 lim
x 2  2x  3 x  x 1  2  3
x 
2
x x
 đồ thị hàm số có hai TCĐ. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận.
Câu 49: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số : y 

1 x2  x 1
x3  1

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
B. x  1
C. x  0
D. x  1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
1  x 2  x  1
 x  x  1
1  x2  x 1
y


3
x 1
 x  1  x 2  x  1 1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1 1  x 2  x  1





x



 x 2  x  1 1  x 2  x  1









.Suy ra hàm số không có tiệm cận đứng.

1  2x
có bao nhiêu đường tiệm cận?
3x  2
B. 1
C. 0

Câu 50: Hỏi đồ thị hàm số y 

A. 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
1  2x
2
lim  y  lim
   x   là TCĐ
2
2 3x  2
3
x 
x 

3

D. 3

3

1
2
1  2x
2
2
x
lim y  lim
 lim
   y   là TCN
x 
x  3x  2
x 
2
3
3
3
x
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận
x  1.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

m2 x  4
có tiệm cận đi qua điểm
mx  1

A 1;4 
A. m  1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.

B. m  2

C. m  3

D. m  4

m  0
Điều kiện để hàm số không suy biến là m2 .  1  m.  4   
m  4
1
Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận là: x  ; y  m
m
1

1 m 1
.
Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đi qua điểm A(1;4) nên ta có  m

 m  4  loai 
Câu 2: Tìm m để đồ thị hàm số y 
A. m  2.

 m  1 x  5m
2x  m

5
B. m  .
2

có tiệm cận ngang là đường thẳng y  1 .

C. m  0.

D. m  1.

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
m 1
x 
x 
2
Do đó hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y  1 khi chỉ khi m  1  2  m  1 .
2x 1
Câu 3: Cho M là giao điểm của đồ thị  C  : y 

với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ
2x  3
điểm M đến hai đường tiệm cận là
B. 6 .
C. 8.
D. 2 .
A. 4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
3
Ta có: Tiệm cận đứng x 
và tiệm cận ngang y  1
2
2 x 1
1
1 
Tọa độ giao điểm của (C ) và trục Ox : Với y  0 
 0  x   M  ;0 
2x  3
2
2 
Ta có: khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1  1 và khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là

Ta có lim y  lim y 

d1  2 .
Vậy tích hai khoảng cách là d1.d 2  1.2  2

x3  6 x  m
không có tiệm cận đứng?

4x  m
m  0
B. 
.
C. m  16 .
m  8

Câu 4: Tìm m để hàm số y 
A. m  2 .

D. m  1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

m 
Ta có tập xác định D   \   .
4
m
là nghiệm của PT x 2  6 x  m  0 .
4

2
m  0
m
m
Suy ra    6.  m  0  m 2  8m  0  
.
4
4
m  8
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x 1
y
đi qua điểm A 1; 2  .
2x  m
A. m  2.
B. m  2.
C. m  4.
D. m  4.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
m
Ta có: 2x  m  0  x   .
2
m
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và đi qua điểm A khi và chỉ khi
ĐT x  
2
 m
 2  1
 m  2.


1   m

2

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì x 

Câu 6: Biết rằng các đường tiệm cận của đường cong C  : y 

5x  1  x 2  1
và trục tung cắt nhau
x4

tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đung?
A. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 16.
B. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 8.
C. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12.
D. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
HD: Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần
lượt là x  4, y  4, y  6 như hình vẽ bên. Khi đó (H) là vùng được tô
màu, là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12

Câu 7: Cho hàm số y 

ax  1
1
. Tìm a, b để đồ thị hàm số có x  1 là tiệm cận đúng và y  là tiệm
bx  2

2

cận ngang.
B. a  1; b  2.
A. a  1; b  2.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
ĐK để hàm số không suy biến là 2a  b  0

C. a  1; b  2.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. a  4; b  4.

Trang 17


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

b  2  0
b  2
1

Đồ thị hàm số có x  1 là TCĐ và y  là TCN  
ax  1 a 1  
2
y  lim

 
a  1
 xlim
x  bx  2

b 2
Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có lim f  x   0 và lim f  x    Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x 

x 

A. Đồ thị hàm số y  f  x  không có tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía trên trục hoành
C. Đồ thị hàm số y  f  x  có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số y  f  x  có một tiệm cận đứng là đường thẳng y  0.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Ta có lim f  x   0  Đồ thị hàm số y  f  x  có một tiệm cần ngang là trục hoành.
x 

Câu 9: Các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y  ax  4x 2  1 có tiệm cận ngang là:
1
1
A. a  2
B. a  2 và a 
C. a  
D. a  1
2
2
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A
(4  a 2 )x 2  1
Ta có y  ax  4x 2  1  lim y  lim ax  4x 2  1  lim
x 
x 
x 
4x 2  1  ax
2
2
Kí hiệu deg(u) là bậc của hàm số u(x)  (4  a )x 1 và deg v(x) là bậc của hàm số





v(x)  4x 2 1 - ax
Dễ thấy deg v(x) =1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi
deg u(x)  deg v(x)  4  a 2  0  a  2
mx  1
Câu 10: Tìm m để hàm số
có tiệm cận đứng
xm
A. m  1;1
B. m  1
C. m  1

D. không có m

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A

Xét mẫu x  m  0 thì x  m
Để đường thẳng x  m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì m không là nghiệm của tử tức là
m.m  1  0 nên m  1 và m  1 .
2x  1
Câu 11: Số điểm thuộc đồ thị (H) của hàm số y 
có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận
x 1
của (H) nhỏ nhất là
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
 2x  1 
TCĐ: x  1 ; TCN: y  2 . Gọi M  x;
  H 
 x 1 
Tổng khoảng cạc từ M đến hai tiệm cận là:
2x  1
3
3
d  x 1 
 2  x 1 
 2 x 1 .
2 3
x 1
x 1
x 1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 d min  2 3  x  1 

Phần Hàm số - Giải tích 12

3
2
  x  1  3  x   3  1  có tất cả 2 điểm thuộcd dồ thị (H)
x 1

thỏa mãn đề bài.
Câu 12: Cho hàm số y 

x 1
có đồ thị (C). Số điểm thuộc đồ thị (C) cách đều hai tiệm cận của đồ thị
x 1

(C) là
A. 2
B. 4
C. 0
D. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A

TCĐ: x  1 ; TCN: y  1
 x 1 
Gọi M  x;
   X  cách đều hai tiệm cận
 x 1 
x 1
2
2
 x 1 
1  x  1 
  x  1  2  x   2  1  có tất cả 2 điểm thỏa mãn đề
x 1
x 1
bài.
x2
Câu 13: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc (C) sao
x2
cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
B. M  0; 1
C. M 1; 3
D. M  4;3
A. M  2;2 
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
+ Giả sử M  x 0 ; y0    C  x 0  0; x 0  2
+ Đths có TCĐ: x = 2 và TCN: y = 1
+ Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì
x 2
4

MA  x 0  2 , MB  y0  1  0
1 
x0  2
x0  2
Theo Cô-si thì MA  MB  2 x 0  2 .

4
4
x0  2

 x  0  KTM 
Min  MA  MB   4  
 M  4;3
 x  4  TM 
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y 
đúng hai tiệm cận ngang?
A. m  1
B. m  1; 4    4;   C. m  1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D

Ta có : lim y  lim
x 

x 

2x 

 m  1 x
x 1

2

1

2
 lim

x 

2x 

 m  1 x 2  1
x 1

có

D. m  1

 m  1 x 2  1
x
1
1
x

 2

 m  1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
(với m  1 )

Trang 19


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

2x 

 m  1 x

2

1

2

 m  1 x 2  1

Phần Hàm số - Giải tích 12

2

 m  1 x 2  1

x
x
 lim
 2   m  1

x 
1
1
1
1
x
x
Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang thì m  1
a
Câu 15: Cho hàm số y  (a  0) có đồ thị (H). Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của
x
đồ thị (H) đến một tiếp tuyến của (H). Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là:
a
a
A. a 2
B. d  a 2
C. d 
D. d 
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B

a 
Giao hai tiệm cận là O(0;0). Gọi M  x o ;   (H)  tiếp tuyến tại M có dạng: ax  x 20 y  2ax o  0
xo 

lim y  lim

x 

x 

x 1

Ta có: d  d(O, )  2 a

 lim

x 

2a
x 02

a
4
1  x0
2

2 Dấu “=” xảy ra tại x  1

Câu 16: Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
ngang.
A. m  0

B. Với mọi m  

C. m  0

mx  2

x2 1

có hai đường tiệm cận
D. m  0

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Hàm số có 2 tiệm cận ngang  m  m  m  0
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y 

2x 2  3x  m
không có
xm

tiệm cận đứng.
A. m  1
B. m  0
C. m  1
D. m  1 và m  0
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì x = m là nghiệm của p  x   2x 2  3x  m
m  0
 2m 2  3m  m  0  2m 2  2m  0  2m  m  1  0  
m  1
x 1
Câu 18: Cho hàm số y  2
, m  0 . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị
x  2mx  9
của hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận đứng?

A. 3
B. 2
C. 1
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
nghiệm khác 1 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiêm bằng 1
+  '  m2  9  0  m  3  phương trình có một nghiệm x=3 hoặc x= - 3 thỏa mãn
m  3
+  '  m2  9  0  
khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. Để đồ thị có một tiệm
 m  3
cận đứng thì một nghiệm bằng 1  1  2m  9  0  m  5
Vậy với m = 3, m = - 3, m = 5 thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

2mx  m
. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của
x 1
đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.
1
A. m  2
B. m  

C. m  4
D. m  2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
b ' a
Diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 2 đường tiệm cận và 2 trục tọa độ là: S 
.
a' a'
Tiệm cận đứng và ngang của hàm số đã cho là: x  1; y  2m . Diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi

Câu 19: Cho hàm số y 

2 đường tiệm cận và 2 trục tọa độ là: S  2m  8  m  4
2x  1
không có tiệm cận đứng
x  2mx  3m  4
A. m  1 hoặc m  4 B. m  1 hoặc m  4 C. 1  m  4
D. 1  m  4
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
2x  1
Để đồ thị hàm số y  2
không có tiệm cận đứng khi x 2  2mx  3m  4  0 vô
x  2mx  3m  4
nghiệm.
Phương trình x 2  2mx  3m  4  0 có   4m 2  4  3m  4  . Để phương trình vô nghiệm thì

Câu 20: Tìm m để đồ thị hàm số y 

2

  0  4m 2  12m  16  0  1  m  4
(4a  b) x 2  ax  1
Câu 21: Biết đồ thị hàm số y  2
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận thì
x  ax  b  12
giá trị a  b bằng:
B. 2 .
C. 10 .
D. 15 .
A. 10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Do đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang mà lim y  4a  b  0  b  4a
x 

Do đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng  Biểu thức x 2 +ax+b  12 nhận x  0 làm nghiệm
 b  12  a  3  a  b  15
Câu 22: Số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  mx 2  4x  mx  1 có tiệm cận ngang
là:
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
4
y  x m   mx  1 . Để hàm số có giới hạn hữu hạn tại vô cực thì hệ số của x phải triệt tiêu
x

+) x    y   x m 

4
 mx  1 suy ra hệ số của x là  m  m  0 nên giới hạn này không
x

hữu hạn.

4
m  0
 mx  1 suy ra hệ số của x là m  m  0  
x
m  1
Với m  0 thay trở lại hàm số không xác định khi x  
Với m  1

+) x    y  x m 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2

 y  x  4x  x  1  lim y  lim
x 

2

x 2  4x  x  1

2
 1
x 
x  4x  x  1 2
Vậy có một giá trị thực của m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
ax  1
Câu 23: Cho hàm số y 
. Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang
x  3b  1
và tiệm cận đứng. Khi đó tổng a  b bằng:
1
1
2
A.
B. 0
C. 
D.
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
ax  1
1
y
có tiệm cận ngang là y  a  0 , tiệm cận đứng là x  3b  1  0  b  
x  3b  1

3
1
Suy ra a  b  
3
4 mx  3m
. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
Câu 24: Cho hàm số y 
x2
của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 2016 .
B. m   504 .
C. m   252 .
D. m  1008 .
A. m   .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 và tiệm cận đứng y  4m

= lim

2x  1

x 

x 2  4x   x  1

Phần Hàm số - Giải tích 12



2

YCBT: 4m .2  2016  m  252
Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
cận đứng.
A. m  0
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C

B. m  0

C. m  0; 4

x 1
có đúng một tiệm
x  mx  m
2

D. m  4

  m 2  4m  0
m  0
TH1. x 2  mx  m  0 có nghiệm kép khác 1  

m  4
1  m  m  0
2
TH2. x  mx  m  0 có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1
  m 2  4m  0

 m .

1  m  m  0
x2  2
Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y 
có hai đường tiệm cận
mx 4  3
ngang.
A. m  0
B. m  0
C. m  0
D. m  3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
x2  2
Đồ thị hàm số y 
có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn
mx 4  3
lim y  a  a    , lim y  b  b    tồn tại. Ta có:
x 

x 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

+ với m  0 ta nhận thấy lim y  , lim y   suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
x 

x 


3
3 
+ Với m  0 , khi đó hàm số có TXĐ D    4  ; 4   , khi đó lim y, lim y không tồn tại suy

x 
x 
m
m 

ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
2 

2
x 2 1  2 
1 2
1
x

 , lim
x
+ Với m  0 , khi đó hàm số có TXĐ D   suy ra lim

suy ra
x 

3 x  2
3
m
2
x m 2
x m 4
x
x
đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang.
Vậy m  0 thỏa YCBT.
3x  1
Câu 27: Cho hàm số y 
có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ
x 3
M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
A. M1 1; 1 ; M 2  7;5
B. M1 1;1 ; M 2  7;5 

C. M1  1;1 ; M 2  7;5

D. M1 1;1 ; M 2  7; 5 

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng: 1 : x  3  0 và tiệm cận ngang  2 : y 3  0
3x  1
Gọi M  x 0 ; y 0    C  với y 0  0
 x 0  3 . Ta có:
x0  3

d  M, 1   2.d  M,  2   x 0  3  2. y 0  3
 x 0  3  2.

 x  1
3x 0  1
2
 3   x 0  3  16   0
x0  3
x0  7

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là M1  1;1 và M 2  7;5 
Câu 28: Cho hàm số y 

x 1
(m: tham số). Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có tiệm cận
mx  1

đứng
B. m   \ 0
C. m   \ 1
A. m   \ 0;1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
m  1  y  1  Không có tiệm cận
m  0  y   x  1  Không có tiệm cận. Suy ra A.
Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của số thực m sao cho đồ thị hàm số y 
cận.
A. m  2
B. m  2  m  2
C. m  2

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
lim y  0 suy ra đường thẳng y  0 là TCN.

D. m  

4x
có 2 đường tiệm
x  2mx  4
2

D. m  2  m  2

x 

Đồ thị hàm số có thêm một đường tiệm cận nữa khi phương trình x 2  2mx  4  0 có một nghiệm,
suy ra m  2 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

ax  1
1 . Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  1 là tiệm
bx  2

1
cận đứng và đường thẳng y  làm tiệm cận ngang.
2
A. a  2; b  2
B. a  1; b  2
C. a  2; b  2
D. a  1; b  2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
2
Tiệm cận đứng x   1  b  2
b
a a 1
Tiệm cận ngang y     a  1
b 2 2
5x  3
Câu 31: Cho hàm số y  2
với m là tham số thực. Chọn khẳng định sai:
x  4x  m
A. Nếu m  4 đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.
B. Nếu m  4 đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
C. Nếu m  4 đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Với mọi m hàm số luôn có hai tiệm cận đứng.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Xét phương trình x 2  4x  m  0 , với  '  4  m  0  m  4 thì phương trình này vô nghiệm
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
2x  1
Câu 32: Cho hàm số y 
. Tìm điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng của đồ

x 1
thị (C) bằng khoảng cách từ M đến trục Ox.
 M  0; 1
 M  0;1
 M  0; 1
 M 1; 1
A. 
B. 
C. 
D. 
 M  4;3 
 M  4;3
 M  4;5 
 M  4;3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
2x  1
Gọi M  x 0 ; y0  ,  x 0  1 , y0  0
. Ta có d  M, 1   d  M, Ox   x 0  1  y 0
x0 1

Câu 30: Cho hàm số y 

 x0 1 

2x 0  1
2
  x 0  1  2x 0  1
x0 1

x0  0
1
Với x 0   , ta có: x 02  2x 0  1  2x 0  1  
2
x0  4
Suy ra M  0; 1 , M  4;3
1
Với x 0   , ta có phương trình: x 02  2x 0  1  2x 0  1  x 02  2  0 (vô nghiệm).
2
Vậy M  0; 1 , M  4;3

x3
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số chỉ có
x  6x  m
một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang?
A. 27 .
B. 9 hoặc 27 .
C. 0 .
D. 9 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Câu 33: Cho hàm số y 

2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

 Điều kiện cần (): Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng khi mẫu số chỉ có một nghiệm hoặc
 62  4m  0
m  9

có hai nghiệm nhưng một nghiệm là x  3  
2
 m  27
 3  6.  3   m  0
 Điều kiện đủ ()
x3
x3
+ Với m  9 , hàm số y  2
 y
: đồ thị có TCĐ : x  3 , TCN : y  0 .
x  6x  9
 x  3 2
x3
x3
1
 y
 y
,  x  3 đồ thị có
+ Với m  27 , hàm số y  2




x  6 x  27
x3 x9
x9
TCĐ : x  9 , TCN : y  0 .
2x  1
Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận
3x  m
đứng
3
A. m  1
B. m  1
C. m  
D. m 
2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
1
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT 3x  m  0 không có nghiệm x 
2
1
3
Khi đó 3.  m  0  m 
2
2
Câu 35: Cho hàm số y  mx 2  2x  x . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận
ngang
A. m  1 .
B. m  2;2 .
C. m  1;1 .

D. m  0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
lim y  lim

x 

x 



2



mx  2x  x  lim

x 

mx 2  2x  x 2
mx 2  2x  x

 lim

x 

m  1 x

2

 2x

mx 2  2x  x

Hàm số có tiệm cận ngang khi m  1.
x 2 m  1  2x
Vì lim
 2 khi m  1.
x 
mx 2  2x  x
2x  1
tại một điểm duy nhất, biết
x 1
khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu  x 0 ; y 0  là tọa độ của

Câu 36: Giả sử đường thẳng d : x  a  a  0  cắt đồ thị hàm số y 

điểm đó. Tim y 0 .
A. y 0  1.
B. y 0  5.
C. y 0  1.
D. y 0  2.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
 2a  1 
Gọi M  a;
  a  0  là điểm cần tìm. Đồ thị hàm số có TCĐ là đường x  1.
 a 1 
2a  1
a 0

Khi đó: d  M; x  1  1  a  1  1 
a  2  y0 
 5.
a 1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25