Khắc phục sai lầm khi giải các bài toán tích phân cho học sinh THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
“ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI
CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH ”
Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Hồng
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2013
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong chương trình toán học lớp 12 và cụ thể là các đề thi Đại học
– Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp bài toán tích phân là một trong
những bài toán khó mà học sinh của chúng ta hay mắc phải sai lầm, vì nó
cần đến sự áp dụng linh hoạt của Định nghĩa, các tính chất, các phương
pháp tính tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách
máy móc: Tìm nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định
nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích
phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm
được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay
không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa
không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá
trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời
giải sai.
Trong quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp khác
trong tổ chuyên môn khi dạy phần kiến thức này, tôi nhận thấy rất nhiều
các học sinh ở những lớp khác nhau nhưng mắc những sai lầm giống
nhau khi giải các bài toán đó thậm chí có cả học sinh khá, giỏi.
Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như :
- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;

- Đổi biến số nhưng không đổi cận;
- Khi đổi biến không tính vi phân;
- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục:
Những lỗi khó phát hiện mà học sinh thường mắc phải như :
- Hàm số không liên tục trên vẫn sử dụng được công thức Newtơn-
Leibnitz.
- Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và
đạo hàm liên tục trên [a; b].
- Sử dụng công thức và khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện
thời.
2
- Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm được
giá trị chính xác)…
Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những những kiến
thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán từ đó tự mình
làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán
nâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết
quả của đồng nghiệp đi trước và trong thực tế của quá trình giảng dạy, tôi
đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là:
“ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
CHO HỌC SINH ”
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và
phương pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập tự chọn về
Nguyên hàm và tích phân, từ đó:
- Hình thành cho học sinh kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích
phân.
- Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài
toán và cách khắc phục.
- Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và

sáng tạo. Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó
mà thấy say mê môn Toán hơn. Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt
cho học sinh trong học tập và nghiên cứu.
- Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo
viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Lựa chọn các ví dụ ,các bài tập cụ thể về tích phân và chỉ ra những sai
lầm của học sinh khi vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận
dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
- Kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân; các dạng bài tập cơ
bản về Nguyên hàm và tích phân;
- Chỉ ra một số sai lầm của học sinh trong quá trình giải các bài toán tính
Tích phân và biện pháp khắc phục bằng một số ví dụ đơn giản;
- Mở rộng thêm một số bài toán cho học sinh khá, giỏi.
3
- Đưa ra được đường lối tư duy chung để giải quyết một bài toán tính
Tích phân bất kì.
- Đưa ra được hệ thống các bài tập áp dụng và củng cố.
- Đánh giá được kết quả của việc áp dụng SKKN vào giảng dạy.
4
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ KHOA HỌC.
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái
sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy
học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh
G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và
những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách
nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ
lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai
lầm tương tự và bồi dưỡng thêm về mặt tư duy cho bản thân mỗi người.

Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức
hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan
đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm
để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em hay nhầm
lẫn giữa hai loại công thức này. Các kiến thức căn bản về biến đổi đại số,
học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em có lực học trung bình,
yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em có nắm
được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi
thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí
chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm
ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết
quả gọn, đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất các thao tác
quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…
Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy
việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai
của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi
cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các
em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ
đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót
và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra
những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng
5
thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có
những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải.
Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên
đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Những lớp tôi
nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ
phận học sinh trung bình, yếu, kém nên các giáo án, các ví dụ và bài tập
của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên
là ưu tiên các em diện trung bình và yếu, kém sau đó nâng cao lên những

bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu.
II. NỘI DUNG CỤ THỂ.
1-Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm:
Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
4
0
4x dx+
∫

Cách giải sai của học sinh
I =
4
0
4x dx+
∫
=
4
0
4 ( 4)x d x+ +
∫
=
4
0
1
2 4x +
=
1 1
4
4 2
−

Cách giải đúng
I =
4
0
4x dx+
∫
=
4
1
2
0
( 4) ( 4)x d x+ +
∫
=
4
3
2
0
2
( 4)
3
x +
=
4
3
0
2
( 4)
3
x +

=
2 16
(16 2 8) (2 1 1)
3 3
− = −
Ví dụ 2 : Tính tích phân : I =
2
5
1
(3x 5) dx
−
∫

Cách giải sai của học sinh
I =
2
5
1
(3 5)x dx−
∫
=
2
6
1
1
(3 6)
6
x −
=
6

1 31
(1 2 )
6 6
− = −

Cách giải đúng
I =
2
5
1
(3 5)x dx−
∫
=
2
5
1
1
(3 5) (3 5)
3
x d x− −
∫
=
2
6
1
1
(3 5)
18
x −
=

6
1 31
(1 2 )
18 18
− = −

* Nguyên nhân sai lầm :
- Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều liên quan đến kiến thức về
đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này.
6
- Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm hàm hợp, đã dùng
n 1
n
x
x dx c
n 1
+
= +
+
∫
(với n ≠ –1) thay vì
n 1
n
(ax b)
(ax b) dx c
(n 1)a
+
+
+ = +
+

∫
* Cách khắc phục:
- Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản.
Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: Lấy đạo hàm của nguyên
hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
- Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản
và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lập ra bảng nguyên hàm của hàm
hợp ứng với u = ax+b. Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công
thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
Bài tập vân dụng: Tính các tích phân sau:
2
A x 4dx
2
1
3
B= (2x 1) dx
0
2
dx
C= ,
2
(2x 1)
1
1
dx
D=
2x 1
e
0
= +

−
+
−
−
∫
∫
∫
∫
2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân:
Ví dụ 1 : Tính tích phân : : I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
Cách giải sai của học sinh
I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
=
∫

−
+
+
2
2
2
)1(
)1(
x
xd
= -
1
1
+
x

2
2−
= -
3
1
-1 = -
3
4
Cách giải đúng
7
4
dx
E =
1 3x

1
/12
F = cos( 4x)dx
6
/6
7
1
G dx
x 3
3
−
π
π
−
π
=
−
∫
∫
∫
Hàm số y =
2
)1(
1
+
x
không xác định tại x = -1
[ ]
2;2
−∈

suy ra hàm số
không liên tục trên
[ ]
2;2
−
do đó tích phân trên không tồn tại.
Ví dụ 2 :Tính tích phân: I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
Cách giải sai của học sinh
Đặt t = tg
2
x
thì dx =
2
1
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
=
2

2
)1(
1
t
t
+
+
⇒
∫
+ x
dx
sin1
=
∫
+
2
)1(
2
t
dt
=
∫
−
+
2
)1(2 t
d(t+1) =
1
2
+t

+ c
⇒
I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
1
2
2
+
−
x
tg
π
0
=
1
2
2
+
−
π
tg
-
10
2

+tg
do tg
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại
Cách giải đúng
I=
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
∫∫






−=






−







−
=






−+
π
π
π
π
π
π
π
0
0
2
0
42
42
cos
42
2

cos1
x
tg
x
x
d
x
dx
= tg
2
44
=






−
−
ππ
tg
.
* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y =
2
)1(
1
+x
không xác định tại x= -1

[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số không
liên tục trên
[ ]
2;2−
nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz
như cách giải trên.
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm
số liên tục và có đạo hàm liên tục trên
[ ]
ba;
.
* Cách khắc phục:
Yêu cầu các em học thuộc định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo thói
quen: Khi tính
dxxf
b
a
)(
∫
cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên
8
[ ]
ba;
không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã
cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
Bài tập vận dụng: Tính các tích phân sau
A=
∫

−
5
0
4
)4(x
dx
. B=
dxxx
2
1
3
2
2
)1( −
∫
−
.
C=
dx
x
∫
2
0
4
cos
1
π
D=
dx
x

xex
x
∫
−
+−
1
1
3
23
.
3. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân:
Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
1
x
xe dx
0
−
∫

Cách giải sai của học sinh
I =
1
x
xe dx
0
−
∫
=
1
xdx

0
 
 ÷
 ÷
 
∫
.
1
x
e dx
0
 
−
 ÷
 ÷
 
∫
=
1 1
2
0 0
.
2
x
x
e
−
   
 ÷  ÷
−

 ÷  ÷
   
=
1 1 1
( 1)
2 2
e
e e
−
− + =

Cách giải đúng
Đặt:
u x du dx
x x
dv e dx v e
= =
 
 
⇒
 
− −
= = −
 
 
. Ta có: I
1
1
x x
xe e dx

0
0
− −
= − +
∫
1
1
x
e
e
0
2 e 2
1 .
e 2
−
= − −
−
= − + =
* Nguyên nhân sai lầm :
- Học sinh tự “sáng tạo” ra qui tắc nguyên hàm của một tích, nên đã dùng
b
u(x).v(x).dx
a
∫
=
b
u(x)dx
0
 
 ÷

 ÷
 
∫
.
b
v(x)dx
a
 
 ÷
 ÷
 
∫
thay vì dùng công thức tích phân từng phần:
( ) '( ) ( ) ( ) | '( ) ( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
= −
∫ ∫
9
.* Cách khắc phục:
- Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên
hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hóa các dạng toán sử dụng
phương pháp tích phân từng phần:
Bài tập vận dụng: Tính các tích phân sau
1
x 1
A x.2 dx ,

0
0
B= x ln(x 2)dx ,
1
2
C= x log xdx
2
1
+
=
+
−
∫
∫
∫
4. Sai lầm khi đổi biến số:
Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
1
2
2
0
1 x dx
−
∫

Cách giải sai của học sinh
Đặt x= sint suy ra dx=costdt
1 1 1
1
2 2 2

2
2 2
0 0 0
0
1 cos 2 2 sin 2 1 sin1
1 sin .cos . cos . .
2 4 4
t t t
I t t dt t dt dt
+ + +
= − = = = =
∫ ∫ ∫
Cách giải đúng
Đặt x = sint suy ra dx=costdt

0 0
1
2 6
x t
x t
π
= ⇒ =



= ⇒ =


10
cos x

D (x e )sin xdx ,
0
/2
2
E = (x x)cos xdx ,
0
x
F = sin x.e dx
0
π
= +
π
−
π
−
∫
∫
∫
6 6
2 2
0 0
6
0
1 sin .cos . cos .
1 cos 2 3
.
2 12 8
I t t dt t dt
t
dt

π π
π
π
= − =
+
= = +
∫ ∫
∫

Ví dụ 2 : Tính tích phân :
1
5
0
(2 1)
dx
I
x
=
+
∫

Cách giải sai của học sinh
Đặt t = 2x + 1
1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =

⇒


= ⇒ =

3
4
5
1
3
20
.
1
4 81
dt t
I
t
−
= = − =
∫
Cách giải đúng
Đặt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx

1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =

⇒

= ⇒ =


3
4
5 4
1
3
1 1 10
1
1
2 8 8 3 81
dt t
I
t
−
 
= = − = − − =
 ÷
 
∫
.
* Nguyên nhân sai lầm :
- Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không đổi cận.
- Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt.
* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương
pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra
kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi.
Bài tập vận dụng: Tính các tích phân sau
11
2
2 1

dx
2
A 4 x dx, B = ,
2
1 x
0 0
/2 e
dx
5
C = sin xdx , D = ,
x ln x
0 e
/2 3
1
cos x 3
E = sin x.e dx, F (ln x) dx ,
x
0 1
/2 2
2
cos xdx 2x x 1
G = , I = dx
1 sin x x 1
0 0
= −
+
π
π
=
π

− −
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
4. Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa
Ví dụ 1 : Tính tích phân :
0
2
1
1
I dx
x 2x 2
−
=
+ +
∫

Cách giải sai của học sinh
0
2
1
0
2
1
0
1
1
I dx

x 2x 2
1
dx
(x 1) 1
arctan(x 1) arctan0 arctan( 1)
4
−
−
−
=
+ +
=
+ +
π
= + = − − =
∫
∫
Cách giải đúng
0 0
2 2
1 1
1 1
I dx dx
x 2x 2 (x 1) 1
− −
= =
+ + + +
∫ ∫
Đặt x + 1 = tant
2

2
1
dx dt (1 tan t)dt
cos t
⇒ = = +
.
Đổi cận:
x 0 t ;
4
x 1 t 0
π

= ⇒ =



= − ⇒ =

4 4
2
4
2
0
0 0
1
I .(1 tan t)dt dt t
1 tan t 4
π π
π
π

⇒ = + = = =
+
∫ ∫
* Nguyên nhân sai lầm :
12
- Học sinh đã sử dụng công thức SGK hiện hành không có:
2
1
dx arctan x c
1 x
= +
+
∫
( thường có trong các sách tham khảo).
* Cách khắc phục:
- Giúp các em nhớ công thức và cách chứng minh một số công thức
nguyên hàm mở rộng. Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân dạng này
thì không được áp dụng thẳng mà phải chứng minh trước rồi mới sử
dụng. Ví dụ: khi gặp tích phân dạng
b
2 2
a
1
I dx
c x
=
+
∫
, thì ta tính tích phân bằng
cách đặt x = ctant (hoặc x = c.cott). Chú ý công thức

2 2
2 2
1 1
1 tan t ; 1 cot t
cos t sin t
+ = + =
Bài tập vận dụng: Tính các tích phân sau
A=
1
2
0
dx
4 x−
∫
B=
2
2
1
x 1.dx−
∫

C=
+
∫
2
2
1
dx
x 2
D=

+
∫
2
2
0
2 x .dx

E=
 
 ÷
+
 
∫
2
2
0
1
dx
x 2
F=
 
 ÷
−
 
∫
1
2
0
1
dx

4x 5

5. Sai lầm do hiểu sai bản chất công thức:
* Ví dụ 1 : Tính tích phân :
2
x
0
I xe dx
=
∫

Cách giải sai của học sinh
Đặt
x x
u x u ' 1
v' e v e
= =
 
⇒
 
= =
 
( )
( )
2
2
x x
0
0
2

2 x 2 2
0
2
I xe e dx
2e e 2e e 1
e 1
⇒ = −
= − = − +
= +
∫
Cách giải đúng
13
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
( )
( )
2
2
x x
0
0
2

2 x 2 2
0
2
I xe e dx
2e e 2e e 1
e 1
⇒ = −
= − = − +
= +
∫
* Nguyên nhân sai lầm : Học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích
phân từng phần nên đã viết
x x
u x u ' 1
v' e v e
= =
 
⇒
 
= =
 
thay vì
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =

 
.
* Cách khắc phục: Giải thích cho học sinh hiểu cặn kẽ vai trò và ý nghĩa
của từng công thức, từng kí hiệu.
Bài tập vận dụng: Tính các tích phân sau
1.
/ 4
2
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫
2.
∫
−
2
0
2
dxxx
3.
∫
−+
2
1

11
dx
x
x
4.
∫
+
e
dx
x
xx
1
ln.ln31
5.
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx
6.
/ 2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+

+
∫
III. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1.Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những
dạng tích phân như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ
mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích
phân,cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo
viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình
suy luận,trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến
lời giải đúng.
14
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một
số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài
trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên
nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình
bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
2.Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012-2013.
Bài kiểm tra trên hai đối tượng lớp 12C1(34 học sinh) áp dụng sáng kiến
và 12C5(42 học sinh) không áp dụng sáng kiến như sau:
Xếp loại
Đối tượng
Giỏi Khá TB Yếu
12C1 45% 45% 10% 0%
12C5 0% 3 % 47% 50%
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng
thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận
trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách
máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ

động, sáng tạo của học sinh.
15
PHẦN III:KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN:
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích
phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến
này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết
chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư
duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm
kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết
quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các trường
đại học, cao đẳng , THCN
II. KIẾN NGHỊ:
Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa
có một sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì
vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham
khảo loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi
giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài
tập .
- Cần động viên, khuyên khích giáo viên thường xuyên có những tiết sinh
hoạt chuyên môn ở tổ theo dạng chuyên đề về một vấn đề nào vướng mắc
trong quá trình giảng dạy hoặc vấn đề nào mà giáo viên cảm thấy hay và
có nhiều ứng dụng trong giảng dạy đặc biệt là về phương pháp dạy và
học.
- Thường xuyên có những tiết dạy trong tuần hoặc trong tháng của GV
trong tổ chuyên môn để học hỏi kinh nghiệm và tạo không khí giảng dạy
trong toàn thể giáo viên.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI VIẾT
Nguyễn Ngọc Hồng
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Kiến thức cơ bản giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh –
Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố
HCM - 2002)
2. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn
Cam – NXB Trẻ )
3. Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí
Trung – NXB Giáo Dục)
4. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngô Thúc Lanh Chủ biên – NXB GD –
2000)
5. Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc –
NXB Hà Nội – 2005)
6. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương và
Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)

17
MỤC LỤC
Trang
PHẦN I : MỞ ĐẦU 1
I. Đặt vấn đề 1
II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Phương pháp nghiên cứu 2
PHẦN II : NỘI DUNG 4
I. Cơ sở khoa học 4
II. Nội dung cụ thể 5
III. Hiệu quả của sáng kiến 13

PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 15
I. KẾT LUẬN 15
II. KIẾN NGHỊ 15
18