Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tích phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ VĂN CHUNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ VĂN CHUNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI, 2017

1

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới phòng sau đại học, khoa toán, các
thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã gúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong
suốt quá trình học tập.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám đốc Trung tâm GDNN-GDTX Tam
Đảo huyện Tam Đảo tỉnh Vĩnh Phúc đã giúp đỡ tôi và tạo điều kiện thuân
lợi giúp tôi hoàn thành khóa học này.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình tôi, những
người bạn của tôi đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện tốt cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Hà Văn Chung


2

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn
này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ
rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Hà Văn Chung


3

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mục lục

3

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Metric . . . .
1.2 Không gian định chuẩn . .
1.3 Chuỗi lũy thừa . . . . . . .
1.4 Tích phân phụ thuộc tham
1.5 Phương pháp cầu phương
1.6 Biến đổi Laplace . . . . . .
1.7 Phương pháp lặp . . . . .

. .

. .
. .
số
. .
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

2 Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tích phân
tuyến tính
2.1 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai . . . . . . .
2.1.1 Phương pháp phân tích Adomian (Adomian Decomposition
Method) (ADM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một . . . . . . .
2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Biến đổi hệ phương trình tích phân tuyến tính loại một về
hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai . . .
2.3 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm . . . . . . . . . . .
2.3.1 Phương pháp phân tích Adomian (ADM) . . . . . . . . . . .
2.3.2 Phương pháp tính toán trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7
7
8
9
10
10
12

16
16

16
22
25
26
27
29
30
31
35
40

3 Lập trình trên Maple giải một số hệ phương trình tích phân tuyến
tính
42
3.1 Phương pháp cầu phương giải hệ phương trình tích phân tuyến tính
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


4

3.1.1

3.2

Thuật toán giải phương hệ phương trình tích phân tuyến
tính Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp cầu phương giải hệ phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Thuật toán giải phương hệ phương trình tích phân tuyến

tính Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
44
51
51
53


5

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Hệ phương trình tích phân xuất hiện trong toán học và các ngành khoa
học ứng dụng và từ lâu đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Trong quá trình giải hệ phương trình tích phân gặp rất nhiều dạng hệ
phương trình khác nhau, và phương pháp giải cũng khác nhau, nhiều hệ
phương trình có thể tìm nghiệm chính xác dễ dàng, nhưng có những hệ
tìm nghiệm chính xác gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy với mong muốn phân
loại các hệ phương trình tích phân tuyến tính và cách giải từng dạng hệ
một cách khoa học và dễ hiểu tôi đã chọn đề tài "Một số phương pháp giải
gần đúng hệ phương trình tích phân tuyến tính".
2. Mục đính nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình tích phân tuyến tính dựa
vào các phương pháp là:
Phương pháp phân tích Adomian (Adomian Decomposition Method) (ADM),
phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp
tính trực tiếp và phương pháp cầu phương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình tích phân tuyến tính
Volterra và Fredholm áp dụng giải một số ví dụ cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra, hệ phương trình tích


6

phân tuyến tính Fredholm. Các phương pháp giải (phương pháp phân tích
Adomian (Adomian Decomposition Method) (ADM), phương pháp biến
đổi Laplace, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp tính trực tiếp và
phương pháp cầu phương).
5. Đóng góp mới của đề tài
Hệ thống lại các loai hệ phương trình tích phân tuyến tính và nghiên cứu
các phương pháp giải cho từng loại hệ phương trình tích phân đó. Giải hệ
phương trình tích phân tuyến tính bằng phương pháp cầu phương. Thiết
lập định lý tồn tại nghiệm duy nhất dựa theo nguyên lý ánh xạ co để làm
cơ sở cho phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
6 . Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liện liên quan. Áp dụng các phương pháp
Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, giải tích số, Đại số tuyến tính...


7

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian Metric

Định nghĩa 1.1. Không gian Metric là một tập (X, d), trong đó X là một
tập hợp, d là một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau:
i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y
ii) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X.
1.2

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2. Không gian định chuẩn là một không gian tuyến tính X
trên trường P ( P là trường số thực hay trường số phức) cùng với một ánh
xạ từ X vào tập hợp số thực, ký hiệu

.

(đọc là chuẩn), thỏa mãn các

tiên đề sau:
i) ∀x ∈ X, x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ(phần tử không trong X)
ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P, αx = |α| . x
iii) ∀x, y ∈ X, x + y ≤ x + y ( bất đẳng thức tam giác).
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X là dãy hội
tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim xn − x = 0. Ký hiệu
n→∞

lim xn = x hay xn → x(n → ∞)

n→∞

8

Định nghĩa 1.4. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản, nếu
lim

n,m→∞

xn − xm = 0

Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Cho hai không gian định chuẩn X, Y với lần lượt hai chuẩn .

1,

.

2.

Ta có tích Descartes Z = X × Y = {z = (x; y) : x ∈ X, y ∈ Y } với chuẩn
xác định bằng công thức
z = x

1

+ y

2

cũng là không gian định chuẩn.
Định lý 1.1. Tích Descartes X × Y của hai không gian định chuẩn X, Y
là không gian Banach khi và chỉ khi các không gian định chuẩn X, Y là
những không gian Banach.
1.3

Chuỗi lũy thừa
∞

Định nghĩa 1.6. Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

an xn = a0 +

n=0

a1 x + a2 x2 + ...
∞

Giả sử chuỗi luỹ thừa

an xn có khoảng hội tụ (−r; r).

n=0

Tính chất 1.1. Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên mọi đoạn [a; b] ⊂ (−r; r).
Tính chất 1.2. Tích phân được từng số hạng của chuỗi trên [a; x] ⊂ (−r; r)
x

∞
n

(
a

an t )dt =
n=0

x

∞

an
n=0

∞

xn+1
t dt =
an
n+1
n=0
n

a

Tính chất 1.3. Tổng của chuỗi luỹ thừa là một hàm liên tục trên khoảng
(−r; r)

9

Tính chất 1.4. Có thể đạo hàm từng số hạng của chuỗi
∞

(

∞

n

an x ) =

n=0

∞

n

(an x ) =
n=0

1.4

nan xn−1 , x ∈ (−r; r)

n=1

Tích phân phụ thuộc tham số

Định nghĩa 1.7. Giả sử hàm f xác định trên hình chữ nhật [a; b] × [a; b] ⊆
R2 và với mỗi điểm y ∈ [a; b] cố định, f khả tích theo x trên [a; b]. Khi ấy,
b

tích phân f (x, y)dx là một hàm số theo biến y.
a

Ta nói tích phân trên là tích phân phụ thuộc tham số với tham số y.
b

Ký hiệu I(y) =

f (x, y)dx
a
ψ(y)

Xét tích phân phụ thuộc tham số y sau đây I(y) =

f (x, y)dx,
φ(y)

trong đó hàm f (x; y) xác định và liên tục trên miền [a; b] × [c; d], các
hàm φ(y), ψ(y) liên tục trên miền [c; d] và a ≤ φ(y) ≤ b, a ≤ ψ(y) ≤ b,
∀y ∈ [c; d]. Ta có các tính chất sau:
Tính chất 1.5. Giả thiết f liên tục trên miền [a; b] × [c; d], ψ và φ liên
ψ(y)

f (x, y)dx liên tục trên miền [c; d]

tục trên miền [c; d] Khi ấy: I(y) =
φ(y)

Tính chất 1.6. Giả thiết f liên tục và có đạo hàm riêng fy liên tục trên
miền [a; b] × [c; d], ψ và φ khả vi trên trên miền [c; d]. Khi ấy hàm I(y) khả
vi trên [c; d] và
ψ(y)

fy (x, y)dx + f (ψ(y), y)ψ (y) − f (φ(y), y)φ (y)

I (y) =
φ(y)

Tính chất 1.7. Giả thiết f liên tục trên miền [a; b] × [c; d] . Khi ấy các
tích phân
b

d

f (x, y)dy khả tích trên các đoạn [c; d] × [a; b] tương ứng và

f (x, y)dx,
a

c

ta có công thức Fubini:
d

b

dy
c

b

f (x, y)dx =
a

d

dx
a

f (x, y)dy
c


10

1.5

Phương pháp cầu phương

Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên [a, b] do đó f (x) khả tích trên
[a, b]. Ta chia đoạn [a, b] thành n phần
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
Ta có công phức cầu phương như sau:
b

n

Ak f (xk ) + Rn (f )

f (x)dx =
a

k=1

trong đó, Ak và xk - tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,
Rn (f ) là phần dư của công thức cầu phương.
Theo công thức hình thang thì ta có

xk = a + (k − 1)h, k = 1, ..., n, h =

b−a
;
n−1

1
A1 = An = h, Ak = h, k = 2, ..., n − 1;
2
b

1
f (x)dx = h(f (x1 ) + f (xn )) +
2
a

1.6

n−1

hf (xk ) + Rn (f )
k=2

Biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.8. Biến đổi Laplace của một hàm f (x) là một hàm F (s)
được xác định bởi hệ thức:
∞

e−sx f (x)dx,

F (s) = L{f (x)} =
0

trong đó x ≥ 0, s là số thực.


11

Điều kiện tồn tại của biến đổi Laplace
∞

−α0 x

e

Cho

∞

|f (x)|dx hội tụ với α0 là hằng số dương. Tích phân

e−sx f (x)dx

0

0

hội tụ nếu s ≥ α0 ≥ 0.
Thật vậy:
Với s ≥ α0 ⇒ −s ≤ −α0 ⇒ −sx ≤ −α0 x ⇒ e−sx ≤ e−α0 x
∞

Ta có
0

e−sx |f (x)|dx ≤

∞

Suy ra

|e−sx f (x)|dx ≤

0

∞

Từ giả thiết
∞

Vậy

∞

e−α0 x |f (x)|dx

0
∞

e−α0 x |f (x)|dx

0

e−α0 x |f (x)|dx hột tụ, suy ra

∞

|e−sx f (x)|dx hội tụ.

0

0

e−sx f (x)dx hội tụ.

0

Tính chất của biến đổi Laplace
Tính chất 1.8. L{af(x)} = aL{f(x)}, a là hằng số.
Tính chất 1.9. L{af(x) + bg(x)} = aL{f(x)} + bL{g(x)}, a, b là hằng số.
d
Tính chất 1.10. L{xf(x)} = − ds
L{f(x)} = − F (s)

Tính chất 1.11. L{f (x)} = sL{f (x)} − f (0),
L{f (x)} = s2 L{f (x)} − sf (0) − f (0),
..
.
L{f (n) (x)} = sn L{f (x)} − sn−1 f (0) − ... − sf n−2 (0) − f n−1 (0).
Tính chất 1.12. Nếu biến đổi Laplace của f (x) là F (s) thì biến đổi
Laplace ngược của F (s) là f (x), ký hiệu
L−1 {F (s)} = f (x)


12

Biến đổi Laplace của một số hàm sơ cấp
∞

f (x)

Stt

F (s) = L{f (x)} =

e−sx f (x)dx

0

1.7

1

c

c
s,

2

x

1
s2 ,

3

xn

4

eax

5

sin ax

a
s2 +a2

6

cos ax

s
s2 +a2

7

cos2 ax

s2 +2a2
s(s2 +4a2 ) ,

8

sin2 ax

s(s2 +4a2 )

9

x cos ax

s2 −a2
2

(s2 +a2 )

10

x sin ax

2ax
s2 +a2

11

sinhax

a
s2 −a2 ,

s > |a|

12

cosh ax

s
s2 −a2 ,

s > |a|

13

xn eax

n!
n+1 ,
(s−a)

s>a

14

eax sin bx

b
,
2
(s−a) +b2

s>a

15

eax cos bx

s−a
,
2
(s−a) +b2

s>a

n!

sn+1 ,

s>0
s>0

s > 0, n > −1
1
s−a ,

2a2

s>a

Re(s) > |Im(a)|

, Re(s) > |Im(a)|

Phương pháp lặp

Ta xác định không gian định chuẩn W = C[a;b] ×C[a;b] cho w = (a; b) ∈ W
với chuẩn
w = u + v
Khi đó W là không gian Banach. Ta xác định toán tử A tác động trong
W được xác định
Aw = f1 (x) +

b
a [K1 (x, t)u(t)

+ K1 (x, t)v(t)]dt; f2 (x)+

+

b
a [K2 (x, t)u(t)+ K2 (x, t)v(t)]dt


13

Giả sử toán tử A tác động trong W , thoản mãn điều kiện
Aw1 − Aw2 ≤ α w1 − w2 ; w1 , w2 ∈ W
trong đó α = const ≥ 0.
Nếu α < 1 thì ta nói toán tử A là toán tử co trong W .
Định lý 1.2. Nếu hệ phương trình
b

u(x) = f1 (x) +

[K1 (x, t)u(t) + K1 (x, t)v(t)]dt
a

(1.7.1)

b

v(x) = f2 (x) +

[K2 (x, t)u(t) + K2 (x, t)v(t)]dt
a

thỏa mãn điều kiện 0 ≤ q < 1, trong đó

q = 2(b − a) M ax {|K1 (x, t)| ; |K2 (x, t)| ; K1 (x, t) ; K2 (x, t) }
x,t∈[a;b]

thì hệ phương trình (1.7.1) có nhiệm duy nhất (u∗ , v ∗ ) với w∗ = (u∗ ; v ∗ )
trong W được xác định bởi giới hạn dãy wn = Awn−1 , với n = 1, 2, ... và
w0 được chọn tùy ý thuộc W .
Hơn nữa
wn − w ∗ ≤ q n w0 − w ∗
wn − w ∗ ≤

qn
w1 − w0
1−q

Chứng minh. Hệ phương trình (1.7.1) có dạng phương trình toán tử
Aw = w

(1.7.2)

trong không gian định chuẩn W = C[a;b] × C[a;b] .
Với toán tử A tác động trong W và w1 , w2 ∈ W
Ta có
Aw1 = f1 (x) +

b
a [K1 (x, t)u1 (t)

+ K1 (x, t)v1 (t)]dt; f2 (x)+
+

Aw2 = f1 (x) +

b
a [K1 (x, t)u2 (t)

b
a [K2 (x, t)u1 (t)

+ K2 (x, t)v1 (t)]dt

+ K1 (x, t)v2 (t)]dt; f2 (x)+


14

+
b
a [K1 (x, t)(u1 (t)

Aw1 − Aw2 =

b
a [K2 (x, t)u2 (t)

+ K2 (x, t)v2 (t)]dt

− u2 (t)) + K1 (x, t)(v1 (t) − v2 (t))]dt;

b
a [K2 (x, t)(u1 (t)

− u2 (t)) + K2 (u1 (t) − u2 (t))]dt

Aw1 − Aw2 =
b
a K1 (x, t)(u1 (t)

= M ax
x,t∈[a;b]

+ M ax
x,t∈[a;b]

− u2 (t))dt +

b
a K2 (x, t)(u1 (t)

b
a K1 (x, t)(v1 (t)

− u2 (t))dt +

− v2 (t))dt +

b
a K2 (x, t)(v1 (t)

− v2 (t))dt

Đặt q = 2(b − a) M ax {|K1 (x, t)| ; |K2 (x, t)| ; K1 (x, t) ; K2 (x, t) }
M1 = M ax

x,t∈[a;b]
b
a K1 (x, t)(u1 (t)

− u2 (t))dt +

b
a K1 (x, t)(v1 (t)

− v2 (t))dt

M2 = M ax

b
a K2 (x, t)(u1 (t)

− u2 (t))dt +

b
a K2 (x, t)(v1 (t)

− v2 (t))dt

x,t∈[a;b]
x,t∈[a;b]

Ta có:

b
|K1 (x, t)| |(u1 (t)
a
x,t∈[a;b]

M1 ≤ M ax

− u2 (t))| dt+
b
a
x,t∈[a;b]

+ M ax
b
M ax |K1 (x, t)| M ax |u1 (t)
a (x,t∈[a;b]
t∈[a;b]

⇒ M1 ≤

+
⇒ M1 ≤
⇒ M1 ≤
⇒ M1 ≤

K1 (x, t) |(v1 (t) − v2 (t))| dt

− u2 (t)|)dt+

b

M ax
a (x,t∈[a;b]

K1 (x, t) M ax |v1 (t) − v2 (t)|)dt

b
b
q
q
u
−
u
dt
+
1
2
a 2(b−a)
a 2(b−a) v1 −
q
2(b−a) ( u1 − u2 + v1 − v2 )(b − a)
q
2 w1 − w2

t∈[a;b]

v2 dt

Chứng minh tương tự ta cũng có được
⇒ M2 ≤

q
2

w1 − w2

Vậy chúng ta có
Aw1 − Aw2 = M1 + M2 ≤ q w1 − w2
Nếu 0 ≤ q < 1 thì toán tử A là toán tử co trong W . Theo nguyên lý Banach


15

về ánh xạ co thì phương trình (1.7.2) có nghiệm duy nhất w∗ trong W , và
w∗ là giới hạn của dãy lặp (wn )
wn = Awn−1

(1.7.3)

với n = 1, 2, 3, ... và w0 được chọn tùy ý thuộc W .
Hơn nữa
wn − w∗ ≤ q n w0 − w∗ , n = 1, 2, 3...
wn − w

∗

qn
≤
w1 − w0 , n = 1, 2, 3...
1−q

(1.7.4)
(1.7.5)

Vậy hệ phương trình (1.7.1) có nhiệm duy nhất w∗ = (u∗ , v ∗ ) với được xác
định bởi giới hạn dãy (1.7.3), tốc độ hội tụ được xác định bởi một trong
các công thức (1.7.4) và (1.7.5)


16

Chương 2

Một số phương pháp giải gần đúng
hệ phương trình tích phân tuyến tính
2.1

Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai

Trong phần này chúng ta nghiên cứu một vài phương pháp giải hệ phương
trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai có dạng:
x
∼

u(x) = f1 (x) +

K1 (x, t)u(t)+ K1 (x, t)v(t) dt
0

(2.1.1)

x
∼
K2 (x, t)u(t)+ K2 (x, t)v(t)

v(x) = f2 (x) +

dt

0
∼

Trong đó: u(x), v(x) là các hàm dưới dấu tích phân. Ki (x, t), Ki (x, t) là
các hạt nhân và fi (x) là các hàm thực cho trước.
2.1.1

Phương pháp phân tích Adomian (Adomian Decomposition Method) (ADM)

Sử dụng phương pháp phân tích Adomian để giải hệ phương trình tích
phân tuyến tính Volterra có dạng:


17

x
∼

u(x) = f1 (x) +

(K1 (x, t)u(t)+ K1 (x, t)v(t))dt
0

x

(2.1.2)
∼
(K2 (x, t)u(t)+ K2 (x, t)v(t))dt.

v(x) = f2 (x) +
0

Đầu tiên phân tích hàm chưa biết u(x) và v(x) thành tổng vô hạn của các
số hạng:
∞

u(x) =

un (x)
n=0
∞

(2.1.3)
vn (x)

v(x) =
n=0

Thế (2.1.3) vào (2.1.2) ta được hệ
x

∞

(K1 (x, t)

un (x) = f1 (x) +
n=0

∞

0
x

∞

n=0

vn (t))dt,
n=0

∞

∞

∼

un (t)+ K2 (x, t)
n=0

0

∞

n=0

(K2 (x, t)

vn (x) = f2 (x) +

∼
un (t)+ K1 (x, t)

(2.1.4)
vn (t))dt.

n=0

ở đây số hạng u(x) và v(x), n ≥ 0 được xác định nhờ phương pháp lặp.
Để thiết lập quá trình lặp chúng ta thế chuỗi (2.1.3) vào hệ phương trình
tích phân (2.1.2). Số hạng đầu u0 (x), v0 (x) được lấy tương ứng là f1 (x) và
f2 (x), chúng ta sử dụng phép lặp:
u0 (x) = f1 (x)
v0 (x) = f2 (x)
và
x

∼

(K1 (x, t)uk (t)+ K1 (x, t)vk (t))dt, k ≥ 0

uk+1 (x) =
0
x

∼

(K2 (x, t)uk (t)+ K2 (x, t)vk (t))dt, k ≥ 0

vk+1 (x) =
0

Có thể xác định được các số hạng u0 (x), u1 (x), u2 (x) , ...v0 (x), v1 (x), v2 (x)


18

, ..., nghiệm u(x) và v(x) dưới dạng chuỗi. Chuỗi (2.1.4) hội tụ đến nghiệm
chính xác nếu nghiệm của hệ phương trình ban đầu tồn tại. Hiện tượng
nhiễu âm và phương pháp phân tích sẽ được sử dụng qua từng ví dụ cụ thể.
Các tổng riêng của các chuỗi (2.1.3) cho ta nghiệm xấp xỉ của hệ phương
trình ban đầu.
N

uN (x) =

un (x)
n=0
N

vN (x) =

(2.1.5)
vn (x).

n=0

Ví dụ 2.1. Sử dụng phương pháp phân tích Adomian để giải hệ phương
trình tích phân tuyến tính Volterra:
x

1
u(x) = x − x4 +
6

((x − t)2 u(t) + (x − t)v(t))dt,
0

(2.1.6)

x

v(x) = x2 −

1 5
x +
12

((x − t)3 u(t) + (x − t)2 v(t))dt.
0

Bài giải.
Phân tích u(x) và v(x) dưới dạng chuỗi sau:
∞

u(x) =

un (x),
n=0
∞

v(x) =

(2.1.7)
vn (x).

n=0

Thế (2.1.7) vào (2.1.6) ta được hệ
x

∞

1
un (x) = x − x4 +
6
n=0

0

(2.1.8)

x

∞

vn (x) = x2 −
n=0

((x − t)2 u(t) + (x − t)v(t))dt,

1 5
x +
12

((x − t)3 u(t) + (x − t)2 v(t))dt.
0

Số hạng đầu u0 (x), v0 (x) được chọn như sau:
1
u0 (x) = x − x4
6


19

1 5
x
12
Xác định được các số hạng u1 (x), u2 (x) , ... v1 (x), v2 (x) , ...theo phương
v0 (x) = x2 −

pháp lặp với công thức sau:
x

((x − t)2 uk (t) + (x − t)vk (t))dt, k ≥ 0

uk+1 (x) =
0

(2.1.9)

x

((x − t)3 uk (t) + (x − t)2 vk (t))dt, k ≥ 0

vk+1 (x) =
0

Chúng ta tính được:
1 7
1
u1 (x) = x4 −
x,
6
280
1
11 8
v1 (x) = x5 −
x.
12
10080

(2.1.10)

1 7
1
x −
x10 ,
280
45360
7
1
x8 −
x11 .
v2 (x) =
10080
1426500

(2.1.11)

u2 (x) =

1
89
x10 −
x13 ,
45360
1556755200
7
109
v3 (x) =
x11 −
x14

1426500
10897286400
..
.

u3 (x) =

(2.1.12)

1 7
Ta chú ý đến của các nhiễu âm ∓ 16 x4 giữa u0 (x) và u1 (x). Số hạng ∓ 280
x
1
giữa u1 (x) và u2 (x). Số hạng ∓ 45360
x10 giữa u2 (x) và u3 (x) Và các nhiễu
1 5
11
âm ∓ 12
x giữa v0 (x) và v1 (x). Số hạng ∓ 10080
x8 giữa v1 (x) và v2 (x). Số
7
hạng ∓ 1426500
x11 giữa v2 (x) và v3 (x). Bằng cách giản ước những số hạng

nhiễu âm này ta được nghiệm của hệ phương trình là:
(u(x), v(x)) = (x, x2 )
Thay (u(x), v(x)) = (x, x2 ) vào hệ phương trình ban đầu thỏa mãn.
Vậy nghiệm chính xác của hệ phương trình ban đầu là:
(u(x), v(x)) = (x, x2 )

20

Ví dụ 2.2. Sử dụng phương pháp phân tích Adomian để giải hệ phương
trình tích phân tuyến tính Volterra:
x

u(x) = 1 − x2 + x3 +

((x − t)u(t) + (x − t)v(t))dt,
0

(2.1.13)

x

v(x) = 1 − x3 −

1 5
x +
10

((x − t)u(t) − (x − t)v(t))dt.
0

Bài giải.
Phân tích u(x) và v(x) dưới dạng chuỗi sau:
∞

u(x) =

un (x),
n=0
∞

v(x) =

(2.1.14)
vn (x).

n=0

Thế (2.1.14) vào (2.1.13) ta được hệ
x

∞

un (x) = 1 − x2 + x3 +
n=0

((x − t)u(t) + (x − t)v(t))dt,
0

(2.1.15)

x

∞

vn (x) = 1 − x3 −

n=0

1 5
x +
10

((x − t)u(t) − (x − t)v(t))dt.
0

Số hạng đầu u0 (x), v0 (x) được chọn như sau:
u0 (x) = 1 − x2 + x3
1 5
x
10
Ta xác định được các số hạng u1 (x), u2 (x) , ... v1 (x), v2 (x) , ...nhờ sử dụng
v0 (x) = 1 − x3 −

phương pháp lặp với công thức sau:
x

((x − t)uk (t) + (x − t)vk (t))dt, k ≥ 0

uk+1 (x) =
0

(2.1.16)

x

((x − t)uk (t) − (x − t)vk (t))dt, k ≥ 0

vk+1 (x) =
0


21

Chúng ta tính được
1 4
1 7
x −
x,
12
420
1
1
1 7
v1 (x) = − x4 + x5 +
x.
12
10
420

u1 (x) = x2 −

1 4
x −
12
1
v2 (x) = x4 −

12

u2 (x) =

1 6
1 7
x +
x,
180
420
1 7
1
x −
x9 .
420
15120

1 6
1
1
x −
x8 −
x11 ,
180
10080
1663200
1
1
1
v3 (x) = −

x8 +
x9 +
x11 .
10080
15120
1663200
..
.

(2.1.17)

(2.1.18)

u3 (x) =

(2.1.19)

1 4
Ta chú ý đến của các nhiễu âm ∓x2 giữa u0 (x) và u1 (x), số hạng ∓ 12
x giữa
1 6
1 5
u1 (x) và u2 (x), số hạng ∓ 180
x giữa u2 (x) và u3 (x). Các nhiễu âm ∓ 10
x
1 4
1
giữa v0 (x) và v1 (x), số hạng ∓ 12
x giữa v1 (x) và v2 (x), số hạng ∓ 15120
x9

giữa v2 (x) và v3 (x). Bằng cách giản ước những số hạng nhiễu âm này ta
được nghiệm của hệ phương trình là:
(u(x), v(x)) = (1 + x3 , 1 − x3 )
Thay (u(x), v(x)) = (1 + x3 , 1 − x3 ) vào hệ phương trình ban đầu thỏa
mãn.
Vậy nghiệm chính xác của hệ phương trình ban đầu là:
(u(x), v(x)) = (1 + x3 , 1 − x3 )


22

2.1.2

Phương pháp biến đổi Laplace

Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace giải hệ phương trình tích phân
tuyến tính Volterra có dạng:
x
∼

(K1 (x − t)u(t)+ K1 (x − t)v(t))dt,

u(x) = f1 (x) +
0

(2.1.20)

x

(K2 (x −

v(x) = f2 (x) +

∼
t)u(t)+ K2 (x

− t)v(t))dt.

0

Sử dụng phép biến đổi Laplace hai vế của hệ hai phương trình (2.1.20) ta
được:
x
∼

(K1 (x − t)u(x) + K1 (x − t)v(x))dt},

U (s) = L{u(x)} = L{f1 (x)} + L{
0
x

(K2 (x − t)u(x) +

V (s) = L{v(x)} = L{f2 (x)} + L{

∼
K2 (x

− t)v(x))dt}.

0

(2.1.21)
Ta đưa hệ phương trình (2.1.21) ẩn U (s) và V (s) về dạng:
U (s) = A + BU (s) + CV (s),
(2.1.22)
V (s) = A1 + B1 U (s) + C1 V (s).
Giải hệ phương trình (2.1.22) với ẩn U (s) và V (s) ta được nghiệm
(U (s), V (s))
Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta có nghiệm của hệ phương trình
(2.1.20) là:
u(x) = L−1 (U (s))
v(x) = L−1 (V (s))
Ví dụ 2.3. Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace giải hệ phương trình


23

tích phân tuyến tính Volterra sau:
x

((x − t)u(t) + (x − t)v(t))dt,

u(x) = 1 +
0
x

(2.1.23)

(−(x − t)u(t) − (x − t)v(t))dt.

v(x) = x +
0

Bài giải. Sử dụng phép biến đổi Laplace hai vế của hệ hai phương trình
(2.1.23) ta được:
x

((x − t)u(x) + (x − t)v(x))dt},

U (s) = L{u(x)} = L(1) + L{
0
x

(−(x − t)u(x) − (x − t)v(x))dt}.

V (s) = L{v(x)} = L(x) + L{
0

(2.1.24)
Ta đưa hệ phương trình (2.1.24) ẩn U (s) và V (s) về dạng:
1
1
+ 2 U (s) +
s s
1
1
V (s) = 2 − 2 U (s) −
s

s
U (s) =

1
V (s),
s2
1
V (s).
s2

(2.1.25)

Biến đổi hệ (2.1.25) về dạng:
1
1
1
)U
(s)
−
V
(s)
=
s2
s2
s
1
1
1
U (s) + ( 2 + 1)V (s) = 2 .
s2

s
s
(1 −

(2.1.26)

Giải hệ phương trình (2.1.26) với ẩn U (s) và V (s) ta được nghiệm
s3 + 1 + s s2 − 1 − s
(U (x), V (x)) = (
,
)
s4
s4
Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta có nghiệm của hệ phương trình
(2.1.23) là:
1
1
1
1
(u(x), v(x)) = (1 + x2 + x3 ; x − x2 − x3 ).
2
6
2
6