Slide bai giang mon dai so tuyen tinh cua tac gia dang van cuong

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
( DÀNH CHO KHỐI KỸ THUẬT - CNTT)

Giảng viên: THS. ĐẶNG VĂN CƯỜNG

1

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương 0
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương 0
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Nhóm, Vành và Trường.

2

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương 0
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Nhóm, Vành và Trường.
Các khái niệm nhóm, vành và trường được giới thiệu trong phần
này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau
của giáo trình.
Giả sử G là một tập hợp. Mỗi ánh xạ
o:G×G→G
được gọi là một phép toán hai ngôi (hay một luật hợp thành) trên
G. Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được ký
hiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y.
2

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương 0
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Nhóm, Vành và Trường.
Các khái niệm nhóm, vành và trường được giới thiệu trong phần
này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau

của giáo trình.
Giả sử G là một tập hợp. Mỗi ánh xạ
o:G×G→G
được gọi là một phép toán hai ngôi (hay một luật hợp thành) trên
G. Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được ký
hiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y.
2

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.1. Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang
bị một phép toán hai ngôi o thoả mãn 3 điều kiện sau:
(G1 ) Phép toán có tính kết hợp
(xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G.
(G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, với
tính chất
xoe = eox = x, ∀x ∈ G.
(G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x ∈ G, được gọi là nghịch
đảo của x, sao cho
xox = x ox = e.

3

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.1. Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang

bị một phép toán hai ngôi o thoả mãn 3 điều kiện sau:
(G1 ) Phép toán có tính kết hợp
(xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G.
(G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, với
tính chất
xoe = eox = x, ∀x ∈ G.
(G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x ∈ G, được gọi là nghịch
đảo của x, sao cho
xox = x ox = e.
Nhận xét:
Phần tử trung lập là duy nhất. Thật vậy, nếu e và e đều là các
3

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
phần tử trung lập của nhóm G thì
e = eoe = e .
Với mọi x ∈ G, phần tử x ở mục (G3 ) là duy nhất. Thật vậy, nếu
x1 và x2 là các phần tử nghịch đảo của x thì
x1 = x1 oe = x1 o(xox2 ) = (x1 ox)ox2 = eox2 = x2 .
Trong nhóm có luật giản ước, tức là
xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y.

4

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
phần tử trung lập của nhóm G thì
e = eoe = e .
Với mọi x ∈ G, phần tử x ở mục (G3 ) là duy nhất. Thật vậy, nếu
x1 và x2 là các phần tử nghịch đảo của x thì
x1 = x1 oe = x1 o(xox2 ) = (x1 ox)ox2 = eox2 = x2 .
Trong nhóm có luật giản ước, tức là
xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y.
Thật vậy, để có luật giản ước, chỉ cần nhân hai vế của đẳng thức
xoy = xoz với nghịch đảo x của x từ bên trái và nhân hai vế của
đẳng thức xoz = yoz với nghịch đảo z của z từ bên phải.
4

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Nếu phép toán o có tính giao hoán, tức là
xoy = yox, ∀x, y ∈ G,
thì G được gọi là nhóm giao hoán (nhóm abel).
Theo thói quen, luật hợp thành o trong một nhóm abel thường
được ký hiệu theo lối cộng “ + ”. Hợp thành của cặp phần tử
(x, y) được ký hiệu theo lối cộng x + y và được gọi là tổng của x
và y. Phần tử trung lập được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0.
nghịch đảo của x được gọi là phần tử đối của x, ký hiệu là (−x).
Trường hợp tổng quát, phép toán o trong nhóm thường được ký
hiệu theo lối nhân “.”, Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được ký
hiệu là x.y hay đơn giản là xy, và gọi là tích của x và y. Phần tử
trung lập của nhóm thường được gọi là phần tử đơn vị. Phần tử
nghịch đảo của x được ký hiệu là x−1 .

5

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Example 1.1.
a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng.
b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một
nhóm abel đối với phép nhân.

6

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Example 1.1.
a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng.
b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một
nhóm abel đối với phép nhân.
Definition 1.2. Giả sử G và G là các nhóm (với phép toán viết
theo lối nhân). Một ánh xạ ϕ : G → G được gọi là một đồng cấu
nhóm nếu
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G.

6

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Example 1.1.
a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng.
b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một
nhóm abel đối với phép nhân.
Definition 1.2. Giả sử G và G là các nhóm (với phép toán viết
theo lối nhân). Một ánh xạ ϕ : G → G được gọi là một đồng cấu
nhóm nếu
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G.
Nhận xét: Đồng cấu nhóm ϕ biến đơn vị e của G thành đơn vị e
của G : ϕ(e) = e .
Nó cũng biến phần tử nghịch đảo của x thành phần tử nghịch
đảo của ϕ(x):
ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 .

6

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.3. Ta có các khái niệm sau:
a) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh được gọi là một
đơn cấu nhóm.
b) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một toàn ánh được gọi là một
toàn cấu.
c) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là một
đẳng cấu nhóm.
Nếu có một đẳng cấu nhóm giữa G và G thì ta nói G đẳng cấu

với G và viết G ∼
=G.

7

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường.

7

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường.
Definition 1.4. Một vành là một tập hợp R = ∅ được trang bị hai
phép toán hai ngôi, gồm phép cộng
+ : R → R, (x, y) → x + y,
và phép nhân
. : R × R → R, (x, y) → xy,
thoả mãn ba điều kiện sau:
(R1 ) R là một nhóm abel đối với phép cộng.
(R2 ) Phép nhân có tính kết hợp:
(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R.

7

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng:
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.
Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao
hoán:
xy = yx, ∀x, y ∈ R.
Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị,
tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho
1x = x1 = x, ∀x ∈ R.

8

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng:
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.
Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao
hoán:
xy = yx, ∀x, y ∈ R.
Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị,
tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho
1x = x1 = x, ∀x ∈ R.
Example 1.3. Các tập hợp số Z, Q là các vành giao hoán và có
đơn vị đối với các phép toán cộng và nhân thông thường. Tập hợp
số tự nhiên N không là một vành và không là một nhóm đối với

phép cộng.
8

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng:
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.
Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao
hoán:
xy = yx, ∀x, y ∈ R.
Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị,
tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho
1x = x1 = x, ∀x ∈ R.
Example 1.3. Các tập hợp số Z, Q là các vành giao hoán và có
đơn vị đối với các phép toán cộng và nhân thông thường. Tập hợp
số tự nhiên N không là một vành và không là một nhóm đối với
phép cộng.
8

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.5. Giả sử R và R là các vành. Một ánh xạ
ϕ : R → R được gọi là một đồng cấu vành nếu
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R,
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.
Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được

định nghĩa tương tự đối với trường hợp nhóm.

9

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.5. Giả sử R và R là các vành. Một ánh xạ
ϕ : R → R được gọi là một đồng cấu vành nếu
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R,
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.
Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được
định nghĩa tương tự đối với trường hợp nhóm.
Example 1.4. Phép nhúng i : Z → Q là một đơn cấu vành.
Phần tử x trong vành có đơn vị R được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại x ∈ R sao cho xx = x x = 1. Dễ dàng chứng minh được
rằng phần tử x có tính chất như vậy nếu tồn tại thì duy nhất. Nó
được ký hiệu là x−1 .

9

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.5. Giả sử R và R là các vành. Một ánh xạ
ϕ : R → R được gọi là một đồng cấu vành nếu
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R,
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.

Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được
định nghĩa tương tự đối với trường hợp nhóm.
Example 1.4. Phép nhúng i : Z → Q là một đơn cấu vành.
Phần tử x trong vành có đơn vị R được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại x ∈ R sao cho xx = x x = 1. Dễ dàng chứng minh được
rằng phần tử x có tính chất như vậy nếu tồn tại thì duy nhất. Nó
được ký hiệu là x−1 .
Definition 1.6. Một vành giao hoán có đơn vị 1 = 0 sao cho mọi
phần tử khác không trong nó đều khả nghịch được gọi là một
9

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trường.

10

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trường.
Example 1.5. Vành Q là một trường. Vành số nguyên Z không là
một trường, vì các số khác ±1 đều không khả nghịch.

10

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trường.
Example 1.5. Vành Q là một trường. Vành số nguyên Z không là
một trường, vì các số khác ±1 đều không khả nghịch.
Definition 1.7. Vành R được gọi là không có ước của không nếu,
với mọi a, b ∈ R, ab = 0 thì hoặc a = 0, hoặc b = 0, hoặc cả a và
b đều bằng không.

10

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí