Thuyết trình môn sản phẩm tài chính phái sinh chương 5 định giá quyền chọn bằng mô hình black scholes merton

Trường Đại Học Kinh Tế
Viện Sau Đại Học
Khoa: Tài Chính
Môn: Sản Phẩm Tài Chính Phái Sinh

CHƯƠNG 5
ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
BẰNG MÔ HÌNH
BLACK – SCHOLES – MERTON

Giảng viên:
PGS. TS. NGUYỄN THỊ NGỌC TRANG

SVTH:
1. Hà Hoàng Vy
2. Nguyễn Hoàng Tân
3. Huỳnh Thủy Tiên


NỘI DUNG
I.

GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH B–S–M

II.

CÁC GIẢ ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH B–S–M

III.

CÔNG THỨC ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN MUA

BLACK – SCHOLES – MERTON

IV.

MÔ HÌNH B-S-M KHI CỔ PHIẾU CHI TRẢ CỔ TỨC

V.

MÔ HÌNH B-S-M VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUYÊN
SÂU VỀ QUYỀN CHỌN KIỂU MỸ

VI.

MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN BÁN

VII.

QUẢN TRỊ RỦI RO QUYỀN CHỌN


I. GIỚI THIỆU
 Mô

hình Black – Scholes – Merton lấy ý tưởng bắt nguồn
bởi nghiên cứu từ đầu thế kỷ 19 về chuyển động ngẫu nhiên
trong vật lý được phát hiện bởi nhà khoa học Robert Brown
 Cuối thập niên 1960, Fischer Black và Myron Scholes bắt
đầu nghiên cứu về quyền chọn khi đó chỉ được giao dịch trên
thị trường phi tập trung.
 Sử dụng hai cách tiếp cận để tính giá quyền chọn, một cách

giả định rằng tất cả tài sản được định giá theo Lý thuyết định
giá tài sản vốn CAPM, một cách khác sử dụng giải tích ngẫu
nhiên
 Năm 1997, Ủy ban Nobel đã trao giải thưởng Nobel về Khoa
học Kinh tế cho Myron Scholes và Robert Merton, đồng thời
cũng công nhận những đóng góp của Fischer Black


II. CÁC GIẢ ĐỊNH TRONG MÔ HÌNH
1. Giá cố phiếu biến động ngẫn nhiên và phát triển
theo phân phối logarit chuẩn
 Giả định rằng, tỷ suất sinh lợi của cổ phiếu có phân
phối chuẩn logarit
 Nhất quán các giá trị so với thực tế và không cho
phép giá cổ phiếu nhận giá trị âm
 Tạo điều kiện để thực hiện các phép toán cao cấp cần
thiết để phát triển mô hình Black – Scholes – Merton.


II. CÁC GIẢ ĐỊNH
2. Lãi suất phi rủi ro và độ bất ổn của tỷ suất sinh lợi
theo logarit của cổ phiếu không thay đổi trong suốt
thời gian hiệu lực quyền chọn
 Đơn giản hóa mô hình, và trong các nghiên cứu lãi
suất không ảnh hưởng nhiều đến giá quyền chọn và
một số tài sản cơ sở khác
 Việc lãi suất thay đổi sẽ được nghiên cứu và trình
bày thêm trong các vấn đề về quản trị rủi ro
3. Không có thuế và chi phí giao dịch
 Quyết định của nhà đầu tư sẽ không bị cản trở bởi

những vấn đề về thuế và chi phí giao dịch


II. CÁC GIẢ ĐỊNH
4. Cổ phiếu không trả cổ tức
 Không làm thay đổi thu nhập của nhà đầu tư, tức không
thay đổi tỷ suất sinh lợi, việc đưa cổ tức vào mô hình sẽ
được trình bày sau
5. Các quyền chọn là kiểu Châu Âu
 Quyền chọn Châu Âu chỉ cho phép thực hiện quyền
chọn khi đáo hạn, do đó sẽ hạn chế được sự thay đổi
Mô hình Black – Scholes – Merton không nhận được những đánh giá
tích cực từ các chuyên gia do những giả định về độ bất ổn không đổi
và các giao dịch năng động diễn ra liên tục là chưa thực tế. Tuy
nhiên, mô hình B-S-M là khởi nguồn cho những mô hình định giá
quyền chọn phức tạp hơn với những nới lỏng giả định. Mô hình này
đã được sử dụng rộng rãi trong thực tế và có sức ảnh hưởng


III
CÔNG THỨC ĐỊNH GIÁ
QUYỀN CHỌN MUA
BLAC – SCHOLES – MERTON


1. CÔNG THỨC
=

.
ln

+

=
=
•
•
•
•
•
•
•

.

− .
+

.

2

−

C: giá trị quyền chọn mua
: giá trị hiện tại của chứng khoán
X: giá trị thực hiện của quyền chọn
T: thời hạn hiệu lực còn lại của quyền chọn, dưới dạng phân số
của một năm
: lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục ứng với kỳ hạn T

: độ bất ổn hàng năm (độ lệch chuẩn) của tỷ suất sinh lợi ghép lãi
liên tục (logarit) của cổ phiếu
, ( ): xác xuất phân phối tích lũy. Cụ thể ( ) thể hiện
xác suất xảy ra đối với dòng thu nhập kỳ vọng, ( ) thể hiện xác
suất đối với chi phí thực hiện. Giá trị
, ( ) được xác định
theo bảng phân phối xác suất chuẩn (thống kê Z)


2. DIỄN GIẢI
=
=
 Cũng

.
. (

.
− .
. ( )
). . − . ( ) ×

.

như những tài sản sẽ nhận được giá trị trong tương
lai khác, có thể định giá quyền chọn trên cơ sở các nhà
đầu tư chấp nhận rủi ro. Chiết khấu thu nhập kỳ vọng
trong tương lai của quyền chọn về giá trị hiện tại với lãi
suất phi rủi ro
 Xác suất để nhà đầu tư đạt được các giá trị khi chấp

nhận rủi ro là
và
, được gọi là xác suất
chấp nhận rủi ro. Thu nhập kỳ vọng của quyền chọn
mua là giá trị kỳ vọng Max(0, − )


2. DIỄN GIẢI
thức
.
. Khi
.
× . , đây là giá
trị kỳ vọng của giá cổ phiếu khi đáo hạn, với điều kiện
> X nhân với xác suất
> X khi đến hạn (vì nếu
≤ thì thu nhập kỳ vọng của quyền chọn mua là 0).
Và
là xác suất có thể đạt được thu nhập kỳ vọng
 Với biểu thức − . ( ) , đây là giá trị kỳ vọng của
khoản chi trả theo giá thực hiện X khi đáo hạn, ( ) là
xác suất thực hiện quyền chọn mua tại mức giá thực hiện
X khi đáo hạn của nhà đầu tư chấp nhận rủi ro
 Chiết khấu cả biểu thức theo lãi suất phi rủi ro ghép lãi
. , ta có được công thức tính
liên tục, tức là nhân với
giá trị quyền chọn mua C
 Biểu

3. PHÂN PHỐI CHUẨN
 Mô

hình B–S–M có liên quan đến phân phối chuẩn,
đường cong phân phối chuẩn có hình quả chuông, có
tính đối xứng, dữ liệu mẫu sẽ tính toán để có được giá trị
kỳ vọng (hay giá trị trung bình) và phương sai.
 Quy tắc 68% - 95% - 99% trong phân phối chuẩn:




68% mẫu quan sát thuộc phạm vi 1 độ lệch chuẩn ( )
95% mẫu quan sát thuộc phạm vi 2 độ lệch chuẩn (2 )
99% mẫu quan sát thuộc phạm vi 3 độ lệch chuẩn (3 )

 Một

biến số ngẫu nhiên có phân phối chuẩn được gọi là
có thống kê Z. Sử dụng bảng phân phối xác suất chuẩn
(như bảng 5.1.) để xác định xác suất mà một giá trị quan
sát được của biến ngẫn nhiên sẽ nhỏ hơn hoặc bằng một
giá trị mong muốn nhất định (giá trị z)



3. PHÂN PHỐI CHUẨN
 Ví

dụ, xác suất để quan sát được một giá trị z thấp hơn

hoặc bằng 1.57, sẽ có xác suất là 0.9418.
 Bảng phân phối xác suất chuẩn có tính đối xứng, nên khi
cần tính xác suất có thể quan sát được giá trị z nhỏ hơn 0
(tức -z), sẽ bằng 1 trừ xác suất tương ứng với z.
 Xác suất để quan sát được một giá trị nhỏ hơn hoặc bằng
–z, cũng bằng với xác suất quan sát được một giá trị lớn
hơn hoặc bằng z, xác suất sẽ bằng (=) 1 - xác suất quan
sát được giá trị nhỏ hơn hoặc bằng z
 Ví dụ, xác suất để quan sát được một giá trị thấp hơn
hoặc bằng -1.57, đầu tiên tra giá trị xác suất với z = 1.57
sẽ là 0.9418, như vậy xác suất để quan được một giá trị
thấp hơn hoặc bằng -1.12 sẽ là: 1 − 0.9418 = 0.058


VÍ DỤ
 Giá

cổ phiếu hiện tại: = $125.94
 Giá thực hiện: X = $125
 Ngày hiện tại: 14/05/2017
 Ngày đáo hạn: 18/06/2017
 Số

ngày đến khi đáo hạn là 35 ngày,

 Lãi

=

= 0.0959

suất T-bill với kỳ hạn tương ứng là 4.56%. Trong công
thức Black – Scholes – Merton, lãi suất phi rủi ro phải được
biểu diễn dưới dạng lãi suất được ghép lãi liên tục, như vậy
= ln 1.0456 = 4.46%
 Độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục của cổ
phiếu: = 0.83


VÍ DỤ
B1: Tính
ln

+

+

=

2

ln
=

125.94
0.83
+ 0.0446 +
2
125
0.83 0.0959

= 0.1743

B2: Tính
=

−

= 0.1743 − 0.83 0.0959 = −0.0827

B3: Xác định giá trị
Tra bảng phân phối xác suất chuẩn với giá trị z = 0.17
 0.17 = 0.5675
B4: Xác định giá trị
−0.08 = 1 − 0.08
Tra bảng phân phối xác suất chuẩn với giá trị z = 0.08
 −0.08 = 1 − 0.5319 = 0.4681

0.0959


VÍ DỤ
B5: Áp dụng công thức, tìm giá trị C
. . ( )
= .
− .
.
× .
= 125.95 × 0.5675 − 125 ×

× 0.4681

= 13.21 ($)
 Giá trị quyền chọn mua cổ phiếu theo mô hình B–S–M là
$13.21, giá quyền chọn mua hiện tại trên thị trường là
$13.50, như vậy quyền chọn mua đang được định giá cao,
giả định chi phí giao dịch không đáng kể, nhà đầu tư có
thể bán quyền chọn mua.
 Số quyền chọn mua cần được bán để tạo ra một danh mục
phòng ngừa rủi ro thu được tỷ suất sinh lợi cao hơn lãi
suất phi rủi ro sẽ được trình bày ở phần sau


LƯU Ý
 Các

giá trị quyền chọn theo mô hình B–S–M rất nhạy cảm
với các tính toán xác suất phân phối chuẩn, sai sót do làm
tròn số và giá có thể chênh lệch nhiều dựa trên phương
pháp được sử dụng.
 Những sai sót sẽ khiến kết quả xác định giá trị quyền chọn
bị sai, dẫn đến việc nhà đầu tư ra quyết định sai lầm. Các
tính toán nên được thực hiện trên excel để hạn chế làm tròn
số và xác định xác suất phân phối chuẩn chính xác hơn,
giảm rủi ro sai sót.


4. Công thức B–S–M khi một số biến nhận giá trị đặc biệt
4.1. Khi T = 0
 Khi

đáo hạn, một quyền chọn mua sẽ có giá Max(0,
liệu công thức B–S–M có thể hiện giá trị này không ?
=

 Khi
 Còn

ln(

)

+

+ 2

T  0 thì vế
vế

(

)

=

ln(

)

+

− ),

+ 2

cũng dần tiến về 0
sẽ tiến đến −∞hoặc +∞, tùy thuộc vào

lớn hơn hay bé hơn X.


Khi T = 0

 Logarit

tự nhiên của một số lớn hơn 1 là dương và logarit tự
nhiên của một số dương như bé hơn 1 sẽ là âm:


Nếu

>X, thì

>1 

(

) > 0, thì



Nếu

≤X, thì

≤1 

(

) ≤ 0, thì

 −∞ ; Nếu

 +∞ thì

 Nếu



Nếu
Nếu

 −∞ thì
hoặc
hoặc

 +∞
 −∞
 +∞

 +∞, thì N( ) hoặc N( )  1
 −∞, thì N(

) hoặc N(

)0


Khi T = 0
Công thức Black – Scholes – Merton sẽ như sau:
>X, thì ln
tiến đến +∞,

 Nếu


Thì N( ) tiến đến 1, N(
thức trở thành
− .

tiến đến +∞, và

) tiến đến 1 và (

.

= 1), công

≤X, thì ln
tiến đến −∞,

≤0 

Thì N( ) tiến đến 0, N(
0 − 0 = 0.

) tiến đến 0, công thức trở thành

 Nếu


>0 

tiến đến −∞, và

Như vậy, khi T = 0 công thức sẽ có giá trị thuộc
Max(0,
− ), tức giá trị quyền trọn mua sẽ giá tị
lớn nhất trong vùng (0,
− )


4.2. Khi

=

 Trong

trường hợp này, trước khi đáo hạn, giá cổ phiếu
tiến dần về 0, công ty rơi vào tình trạng phá sản và

không còn cơ hội phục hồi.
, Với
) là một số âm. Khi giá
cổ phiếu tiến đến 0, thì ln(
) tiến đến −∞, và

 Xét

−∞ +

= −∞

vậy
à → −∞, với N( ) và N( )  0
= 0 công thức sẽ có giá trị là 0, tức giá
 Như vậy, khi
trị quyền trọn mua sẽ là 0
 Vì


=

4.3. Khi
 Nếu

quyền chọn mua là ngang giá ATM hoặc kiệt giá OTM,
sẽ không tạo ra bất cứ giá trị nào sau này và giá trị hiện tại
của quyền chọn là 0
) thì sẽ giống

 Nếu quyền chọn mua là cao giá ITM ( <
như một trái phiếu zero-coupon, tạo ra một khoản thu nhập
dương và giá trị không thay đổi
ln

+

+ 2

=
ln
=

ln
=

.
.

ln

+ .

=
.

+ 2
.

+

.

2

+ 2 .


Khi


Nếu

 0, vế
> .

sẽ tiến về 0, còn vế
.

.

.

, thì

.

.

:

sẽ tiến về +∞ 

tiến

đến +∞  N( ), N( ) tiến đến 1. Giá quyền chọn mua sẽ
. . Khi đáo hạn người mua quyền chọn mua
là
− .
.
chỉ trả một khoản tiền là X, có hiện giá là .
và sẽ sở
hữu cổ phiếu có giá trên thị trường


Nếu

≤ .

.

, thì

.

.

tiến về −∞ 

tiến đến

− ∞  N( ), N( ) tiến đến 0  giá quyền chọn mua là 0
Khi = , sẽ không ai mua quyền chọn mua với mức giá thực
hiện X cao hơn giá cổ phiếu trên thị trường khi biết chắc rằng
giá cổ phiếu sẽ không thay đổi.


4.4. Khi X = 0
≥ 0, trường hợp = 0 đã xét ở trên, giả
 Với X = 0,
định > 0, do đó ln
= ln +∞ = +∞


và
tiến đến +∞  N( ), N( ) tiến đến 1. Như
vậy C sẽ bằng , có nghĩa rằng quyền chọn mua với
giá thực hiện là 0 thì giá quyền chọn mua sẽ là .

4.5. Khi =
 Lãi suất phi rủi ro bằng không, thế
= vào công
.
thức sẽ có
= 1, công thức B-S-M vẫn được tính
toán như bình thường


5. Các biến trong mô hình B–S–M
5.1. Giá cổ phiếu

 Giá quyền chọn mua sẽ cao hơn khi cổ phiếu đang được
giao dịch trên thị trường với giá cao hơn. Theo công thức
tính giá quyền chọn mua đồng biến với C.
 Mối quan hệ giữa giá cổ phiếu và giá quyền chọn mua
thường được biểu diễn dưới dạng một giá trị delta. Delta
xấp xỉ bằng thay đổi giá quyền chọn ứng với mức thay đổi
nhỏ trong giá cổ phiếu và có giá trị bằng N( ). Vì
N( ) là xác suất nên delta phải có giá trị từ 0 – 1
 Khi giá cổ phiếu cao hơn so với giá thực hiện, delta sẽ
gần với 1, và ngược lại, khi giá cổ phiếu thấp hơn giá
thực hiện thì delta sẽ gần với 0