Bài tập chương 2 Toán lớp 12 - Lư Sĩ Pháp

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TOAÙN 12

HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ
HÀM SỐ LÔGARIT
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT



LỜI NÓI ĐẦU

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên
soạn cuốn bài tập Giải Tích 12.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và
Đào tạo quy định.
Bài tập Giải tích 12 gồm 2 phần
Phần 1. Phần tự luận
Ở phần này tôi trình bày đầy đủ lí thuyết và bài tập có hướng dẫn
giải ở từng bài học. Với mong muốn mong các em nắm được
phương pháp giải bài tập trước khi chuyển sang giải Toán trắc
nghiệm.
Phần 2. Phần trắc nghiệm
Ở phần này tôi trình bày tóm tắt các lý thuyết cần nắm, kĩ năng
làm bài trắc nghiệm, hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay cần
thiết trong quá trình làm bài trắc nghiệm.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất

mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các
em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899
Email:
Chân thành cảm ơn.


MỤC LỤC
Phần 1. Hàm số Lũy Thừa – Mũ – Lôgarit
Bài 1. Lũy Thừa

01 – 08

Bài 2. Hàm Số Lũy Thừa

09 – 14

Bài 3. Lôgarit

15 – 26

Bài 4. Hàm Số Mũ – Hàm Số Lôgarit

27 – 37

Ôn Tập Hàm Số Lũy Thừa – Mũ – Lôgarit

38 – 45

Phần 2. Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình

Mũ – Lôgarit
Bài 1. Phương Trình Mũ

46 – 57

Bài 2. Phương Trình Lôgarit

58 – 69

Bài 3. Hệ Phương Trình Mũ - Lôgarit

70 – 76

Bài 4. Bất Phương Trình Mũ

77 – 82

Bài 5. Hệ Phương Trình Lôgarit

82 – 88

Ôn tập Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình
Mũ – Lôgarit
89 – 103

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT
Bài 1. Lũy thừa – Hàm số lũy thừa

104 – 110

Bài 2. Lôgarit

111 – 113

Bài 3. Hàm Số Mũ – Hàm Số Lôgarit

114 – 124

Bài 4. Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình
Mũ – Lôgarit
125 - 131
Chuyên đề Ôn thi THPT

132 – 164

Đáp án

165 – 169


Chng II. Hm s ly tha Hm s m Hm s lụgarit

GV. L S Phỏp

CHNG II

PHN I
-------

HM S LY THA

HM S M V HM S LễGARIT
---o0o--Đ1. LY THA
A. KIN THC CN NM
I. KHI NIM LY THA
1. Ly tha vi s m nguyờn
Cho a , n * . Khi ú: a n = a.a...a .
n thửứa soỏ

n

Trong biu thc: a , ta gi a l c s, n l s m
2. Ly tha vi s m nguyờn õm, ly tha vi s m 0
1
Cho a 0, n * , quy c: a n = , a 0 = 1
a
Chỳ ý:
00 v 0 n khụng cú ngha
Ngi ta thng dựng cỏc ly tha ca 10 vi s m nguyờn biu th nhng s rt ln v nhng
s rt bộ. Chng hn: Khi lng ca Trỏi t l 5,97.1024 kg ; khi lng nguyờn t ca hirụ l
1,66.10 24 kg .
3. Cn bc n
a) Khỏi nim
Cho s thc b v s nguyờn dng n 2 . S a c gi l cn bc n ca s b nu a n = b

Khi n l v b : Tn ti duy nht cn bc n ca b , kớ hiu
Khi n chn:
b < 0 : Khụng tn ti cn bc n ca b
b = 0 : Cú mt cn bc n ca b , kớ hiu

n

n

b

0=0

b > 0 : Cú hai cn bc n ca b trỏi du, kớ hiu giỏ tr dng l
b) Tớnh cht ca cn bc n
Vi hai s khụng õm a, b , hai s nguyờn dng m, n , ta cú:

a . b = a.b

.

n

a = m.n a

.

n

.

n

.

m n

n

n

a na
=
,( b > 0)
b nb
a, khi n leỷ
an =
a , khi n chaỹn

.

n

b , cũn giỏ tr õm l n b

( a)
n

m

= n am

4. Ly tha vi s m hu t
Cho s thc a > 0 v s hu t r =

BT. GT12

m
, trong ú m , n , n 2 .
n

1

PHN I. HS LT HS M HS LễGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

m

Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi: ar = a n = n a m
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Giả sử a là một số dương, α là một số vô tỉ và ( rn ) là một dãy số hữu tỉ sao cho lim rn = α .
n →+∞

Khi đó: a = lim a
α

rn

n →+∞

II. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho a, b là những số thực dương; α , β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

aα
2) β = aα − β
a

1) a .a = a
α

β

( )

3) aα

α +β

β

4) ( a.b ) = aα .bα
α

= aα .β

α

a
aα
5)   = α
b
b
7) Nếu a > 1 thì aα > a β ⇔ α > β

6) aα > 0

8) Nếu 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β

B. BÀI TẬP
DẠNG 1.

Tính các giá trị của một biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Bài 1.1. Tính các biểu thức sau:
2

2

3

a) A = 9 5 .27 5
 1 
c) C =  
 16 

3

b) B = 144 4 : 9 4

−0,75

+ 0,25

−

5
2

d) D = ( 0,04 )

−1,5

− ( 0,125)

−

2
3

HD Giải
2
5

2
2 5

2
5

2
3 5

( ) .(3 )

a) A = 9 .27 = 3
3

4
5

3

3

6
5

= 3 .3 = 3

3

3

3

4 6
+
5 5

= 32 = 9

3

b) B = 144 4 : 9 4 = 12 2 : 3 2 = 4 2 .3 2 : 3 2 = 23 = 8
 1 
c) C =  
 16 

−0,75

+ 0,25

−

5
2

3

5

= 16 4 + 4 2 = 23 + 25 = 40

 1 
d) D = ( 0,04 ) − ( 0,125) =  
 25 
Bài 1.2. Tính các biểu thức sau:
−1,5

1
a) A =  
3

(

−

−10

c) C = 251+

2
3

.27 + ( 0,2 )
−3

2

− 52

2

)

−4

.5−1−2

−

3
2

1
− 
8

−

2
3

= 53 − 22 = 121

1
.25 + 128 .  
2
−2

−9

−1

2

b) B = 43+ 2 .21− 2 .2 −4 −
d) D =

63 +

2

5

2 2+ 5 .31+

5

HD Giải
−10

−9

−4
1
1
1
1
1
1 9
a) A =   .27−3 + ( 0,2 ) .25−2 + 128−1.   = 310. 3 +
. 2+
.2 = 3 + 1 + 4 = 8
4
27 0,2 25 128
3
2
b) B = 43+ 2 .21− 2 .2 −4 − 2 = 26 + 2 2 +1− 2 − 4 − 2 = 23 = 8
24
c) C = 251+ 2 − 52 2 .5−1− 2 2 = 52 + 2 2 − 52 2 .5−1− 2 2 = 52 + 2 2 −1−2 2 − 52 2 −1− 2 2 = 5 − 5−1 =
5

(

BT. GT12

)

(

)

2

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
6 3+

d) D =

5

=

23+ 5 .33+

5

2 .3
2 .3

Bài 1.3. Tính các biểu thức sau:
2+ 5

1+ 5

2+ 5

1+ 5

−

= 23 +

5 −2− 5

1

 1  3  1 
a) A = 81−0,75 + 
 − 
 125 
 32 
2
3

 1 
c) C = 27 +  
 16 

−

.33+

3
5

5 −1− 5

GV. Lư Sĩ Pháp

= 2.32 = 18

1

2

b) B = 0, 001 3 − ( −2 ) .64 3 − 8
−

−0,75

d) D = ( −0,5)

− 250,5

−2

−4

−1

 1
− 6250,25 −  2 
 4

1
3

( )

+ 90

−1

1
2

2

+ 19 ( −3)

−3

HD Giải
−

1
3

 1 

 1 
+
 − 
 125 
 32 

a) A = 81

−0,75

1

−

2

b) B = 0, 001 3 − ( −2 ) .64 3 − 8
−

−2

2
3

 1 
c) C = 27 +  
 16 

−0,75

− 25

0,5

3
5

−1

( )

= ( 3)
1
3

4

−

3
4

  1 3 
+   
 5  



( ) (

+ 90

2

= 10 −3

( ) + (( 2) )

= ( 3)

−4
 1
d) D = ( −0,5) − 6250,25 −  2 
 4

−1

1
2

2
3 3

−4

−

)

3

4

−

1
3

−

  1 5 
−  
 2  



−

3
5

= ( 3)

( ) ( )

1
2 2

( )

− 5

(

2
3

− 2 −2 2 6

+ 19 ( −3) = ( −2 )
−3

1
3

−1

)

− 23

−

4
3

−3

−1

−3

1
1
80
+  −  = −
27
5
2

+ 1 = 10 − 22 − 2 −4 + 1 =

111
16

= 32 + 23 − 5 = 12
−4

1
4 4

( )

− 5

  3 2 
−   
 2  



−

3
2

−

19
27

−3

3
19
8 19
= 2 −5−  −
= 11 − −
= 10
27
27 27
2
4

Bài 1.4. Tính các biểu thức sau:
b) B = 3 3 3

a) A = 5 4. 5 −8

c) C = 4 5

1
16

d) D =

3

729

HD Giải
a) A = 5 4. 5 −8 = 5 −32 =

5

( −2 )

5

b) B = 3 3 3 =

= −2

( )
3

3

3

= 3

1 4 81 4 81 3
=
=
=
d) D = 3 729 = 6 729 = 3
4
16
16
16 2
Bài 1.5. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
c) C = 4 5

a

a) A =

7 +1

.a

(a )

(
c) C =

a3 b 2

3

3 −1

2 +2

2 −2

4

(a )
b) B =

2− 7

)

a

4

d) D =

a12 b 6

5 −3

3 +1

.a 4−

1

3

7
3

1
3

4
3

a −a
a −a

5

−

a

−

2
3

1
3

−a

a +a

−

5
3
1
3

HD Giải
a) A =

a

7 +1

.a

2− 7

(a )
2 −2

BT. GT12

2 +2

=

a

a

(

7 +1+ 2 − 7
2 −2

)(

2 +2

)

=

3

a
= a5
−2
a

3

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

(

b) B =

5 −3

a

c) C =

d) D =

(

3 −1

a

4

)

.a 4−

a3 b 2

3

3 +1

)

5

7
3

1
3

4
3

a −a
a −a

(

a

)(

)

3 −1

3 +1

5 −3+ 4 − 5

=

a2
=a
a

4

a3b2

=

a12 b6
1
3

=

a

GV. Lư Sĩ Pháp

−

a

6

−

1
3

=

a12 b6

−a

2
3

a +a

−

5
3
1
3

a3 b 2
= ab
a2 b
1
3

=

(

a 1− a

1
3

2

1
3

) − a (1 − a ) =
−

a (1 − a )

a

−

1
3

2

( a + 1)

(1 + a ) − (1 − a ) = 2a

Bài 1.6. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
4
2
 − 13


1
3
a  a + a3 
b 5 5 b 4 − 5 b −1



a) A = 1  3
b) B = 2
1

− 
b 3 3 b − 3 b −2
a4  a4 + a 4 





(
(

1

c) C =

a3 b
3

−

1
3

−

1

1

1

− a 3b3

d) D =

a2 − 3 b2

)
)

1

a3 a + b3 b
6

a+6b

HD Giải

4
3

1
−
3

2
3



4 1
4 2
a a + a 

 a 3 − 3 + a 3 + 3 a + a2
=
a) A = 1  3
=
= a, ( a ≠ −1)
1 3
1 1
1
+
−
+
1
a


− 
a4  a4 + a 4  a4 4 + a4 4




1
1
 45
− 
1
5
5
1 4
1 1
5 −1
b
b
−
b


5 5 4
+
−
b
b − b

b5 5 − b5 5 b −1



b) B = 2
= 2 1
= 2 1
=
= 1,(b ≠ 1)
2 2
2
+
−
−
1
b

− 
3 −2
3 3
3
3
3
3
b
b− b
b 3  b3 − b 3  b − b




1
1

2
2

−
− 
3
3
3
3
1
1
1 1
a b a −b 
−
−
1
1


a3 b 3 − a 3 b3

 = a− 3 b− 3 = 1 , a ≠ b
c) C =
=
( )
2
2
3
3 2
ab

a − 3 b2
3
3
a −b
1
1
1
 1

1
1
a 3 .b 3  a 6 + b 6 
1
1


a3 b + b3 a

 = a 3 .b 3 = 3 ab
d) D =
=
1
1
6
a+6b
6
a + b6
Bài 1.7. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

(

(

)
)

1


b b   12
a) A =  1 − 2
+  :  a − b 2 

a a  



2

b) B =

1
4

9
4

1
4

5

4

a −a
a −a

1
 1
 
a
b
c) C =  a 3 + b 3  :  2 + 3 + 3 

b
a 

 

d) D =

(

3

−

b

−
1
2

1
2

−b
−

3
2
1

b +b 2
2
 2

a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab 



)

HD Giải

BT. GT12

4

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT

Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
2

2

1

 
b b   21
b
2
a) A =  1 − 2
+  :  a − b  =  1 −
 :


a a  
a 
 


b) B =

1
4

9
4

1

4

5
4

a −a
a −a

−

b

−
1
2

1
2

−b

b +b

−

3
2
1
2

1
4

=

(

a 1− a

2

1
4

(

1
2

2

 a− b
=
 :

a 


2

) − b (1 − b ) = 1 + a

a (1 − a )

−

b

−

1

1
2

2

(

( b + 1)
1

1
 1
 
a
b
a3 + b3
c) C =  a 3 + b 3  :  2 + 3 + 3  =
=


 
 2 3 ab + 3 a + 3 b
b
a

 

3
ab

(

)

a− b

(

3

3

(

a− b

)

2

=

1
a

) − (1 − b ) = a + b

a+3a

(

GV. Lư Sĩ Pháp

)

3

a+3b

)

ab
2

=

3

)

3
3

ab

a+3b
3

2
1
1 1
2
 2
  1
 2
  1  1
d) D = a + b  a 3 + b 3 − 3 ab  =  a 3 + b 3   a 3 − a 3 b 3 + b 3  =  a 3  +  b 3  = a + b

 

    

 

    
Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
Dạng 2.
So sánh giá trị của biểu thức
Chú ý: Nếu a > 1 thì α < β ⇔ aα < a β

3

3

Nếu 0 < a < 1 thì α < β ⇔ aα > a β
Bài 1.8. Hãy so sánh các cặp số sau:
2 5

2 3

a) 5

3 2

và 5

b) 7

6 3

và 7

3 6

1
c)  
và
3
HD Giải

1
 
3

3 2

3
d)  
4

8

3
và  
4

1
d)  
3

3

1
và  
3

3

a) Ta có: 2 3 = 12,3 2 = 18 .Do 12 < 18 nên 2 3 < 3 2
Vì cơ số a = 5 > 1 nên 52 3 < 53 2

6 3 = 108 > 54 = 3 6
b) Ta có: 
⇒ 76 3 > 73 6
a = 7 > 1
2 5 = 20 > 18 = 3 2
2 5
3
1
1

⇒  < 
c) Ta có: 
1
0
<
a
=
<
1
3
3

3

 8< 9 =3
8
3
3
3


d) Ta có: 
⇒  > 
1
4
0 < a = < 1  4 

2
Bài 1.9. Hãy so sánh các cặp số sau:
a) 10 và
3

5

20

b)

4

5 và

3

7

2

c) 13 và
4

5

23

2

HD Giải
a) Đưa hai căn đã cho về cùng căn bậc 15, ta được:
 3 10 = 15 105 = 15 100000
. Do 100000 > 8000 nên 3 10 > 5 20

15
3
5
15
 20 = 20 = 8000
 4 5 = 12 53 = 12 125
b) Ta có: 
. Do 125 < 2401 nên 4 5 < 3 7
12 4
3
12
 7 = 7 = 2401

BT. GT12

5

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT

Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

 4 13 = 20 135 = 20 371293
c) Ta có: 
. Do 371293 > 279841 nên 4 13 > 5 23
20
4
5
20
 23 = 23 = 279841
 3> 2
3
2
1
1

d) Ta có: 
⇒  < 
1
3
0 < a = < 1  3 
3

Bài 1.10. Hãy so sánh các cặp số sau:
2 và

a)

3

c)

3

3

7 + 15 và 10 + 28
3

( )

( 3)

d)

c)
a)

3

và

3

3−1 4

1
3

2<33

. Do 8 < 9 nên

3 + 3 30 > 4

⇒ 3 + 3 30 > 3 64

7 + 15 < 6
⇒ 3 7 + 15 < 10 + 3 28
10 + 3 28 > 6

( )

3

5
6

63

HD Giải

5
5

−
−
6

= 3 12
 3

d) Ta có: 
1
5
5 ⇒
−
−
3
3 −
1
1
1
1
1
−
−
−
4
4
12
3
 3 4 =33 .
= 3 .3 = 3 = 3
1

3
34


Bài 1.11. Không dùng máy tính và bảng số. Chứng minh:

a)

−

3

6


3
 2 = 2 =2 =8
a) Ta có: 
6
 3 3 = 32 = 9

 3 > 1

⇒
b) Ta có:  3 30 > 3 27 = 3
3
3
 63 < 64 = 4
 3 7 < 3 8 = 2

⇒3
 15 < 16 = 4
c) Ta có: 
 10 > 9 = 3

⇒
 3
3
28
27
3
>
=



( )

3 + 3 30 và

b)

( 3)

−

5
6

= 3 3−1 4

847 3
847
+ 6−
=3

27
27

7+5 2 + 3 7−5 2 = 2

b)

4+2 3 − 4−2 3 = 2

d) 3 9 + 80 + 3 9 − 80 = 3
HD Giải

7+5 2 + 3 7−5 2 = 2

3

6+

(

1
3

)

(

3

Cách 1. Ta có: 7 + 5 2 = 1 + 3 2 + 6 + 2 2 = 1 + 2 .Tương tự: 7 − 5 2 = 1 − 2

Suy ra:

3

)

3

7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 1+ 2 +1− 2 = 2

Cách 2. Đặt x = 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 . Ta cần chứng minh x = 2
Ta có:
3

x =  3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2  = 7 + 5 2 + 7 − 5 2 + 3 3 7 + 5 2 . 3 7 − 5 2  3 7 + 5 2  + 3 7 − 5 2




3

BT. GT12

6

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

= 14 − 3  3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2  = 14 − 3x



(

)

Từ đó ta có: x 3 + 3x − 14 = 0 ⇔ ( x − 2 ) x 2 + 2 x + 7 = 0 ⇔ x = 2 (vì x 2 + 2 x + 7 > 0 )
3

7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 2 nếu 3 7 + 5 2 và
 3 7 + 5 2 = 1 + 2 (1)

2
7 − 5 2 là nghiệm của phương trình X − 2 X − 1 = 0 , tức là: 
 3 7 − 5 2 = 1 − 2 (2)

Cách 3. Ta có:
3

7 + 5 2 . 3 7 − 5 2 = −1 . Do đó

(

Ta chứng minh đẳng thức (1). Ta có: 1 + 2

)

3

3

= 1 + 3 2 + 6 + 2 2 = 7 + 5 2 . Từ đó suy ra (1).

Đẳng thức (2) chứng minh tương tự. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
b)

3

847 3
847
847 3
847
+ 6−
= 3 . Đặt x = 3 6 +
+ 6−
. Ta cần chứng minh x = 3
27
27
27
27

6+


847 3
847 

Ta có: x 3 =  3 6 +
+ 6−

27
27 


⇔ x3 = 6 +

3

847
847
847 3
847  3
847 3
847 
+6−
+ 33 6 +
. 6−
6+
+ 6−
27
27
27
27 
27
27 



⇔ x 3 = 12 + 3 3 36 −

847
5
. x ⇔ x 3 = 12 + 3. x ⇔ x 3 − 5 x − 12 = 0 ⇔ ( x − 3 ) x 2 + 3 x + 4 = 0 ⇔ x = 3
27
3

(

)

(vì x 2 + 3 x + 4 > 0 )
c) 4 + 2 3 − 4 − 2 3 = 2
Cách 1. Ta có:
2

 4+2 3 − 4−2 3  = 4+2 3 +4−2 3 −2




4 + 2 3 − 4 − 2 3 > 0 nên

Vì

Cách 2. Ta có: 4 ± 2 3 =
Nên:
d)

3

4+2 3 − 4−2

( 4 + 2 3 )( 4 − 2 3 ) = 8 − 2 16 − 12 = 4

4+2 3 − 4−2 3 = 2.

( 3 ) ± 2 3 + 1 = ( 3 ± 1)
3 = ( 3 + 1) − ( 3 − 1) = 2
2

2

9 + 80 + 3 9 − 80 = 3 . Có thể giải bằng ba cách như câu a)

Đặt x = 3 9 + 80 + 3 9 − 80 . Ta cần chứng minh x = 3
3

(

)

Ta có: x =  3 9 + 80 + 3 9 − 80  ⇔ x 3 − 3 x − 18 = 0 ⇔ ( x − 3) x 2 + 3x + 6 = 0 ⇔ x = 3 (vì


2
x + 3x + 6 > 0 )
3

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.12. Hãy tính:
3

( )

3 

a) A =  3 
b) B = 41−2 3 .161+


Bài 1.13. Đơn giản các biểu thức sau:

a) A =

BT. GT12

a− b
4

4

a− b

−

c) C = 27

3

a + 4 ab
4

2

: 33

b) B =

4

a+ b
7

( )

d) D = 2

2

a−b
3

3

a− b

−

5

8

5

4

a+b
3

a+3b

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

 a+b

c) C = 
− 3 ab  :
3
3
 a+ b


(

3

a−3b

)

2

GV. Lư Sĩ Pháp

a −1

d) D =

3

a+4a

.

1

a +1

a4 + a2

1

.a 4 + 1

Bài 1.14. Đơn giản các biểu thức sau:
2 −1

( )

1
a) A = a .  
b) B = aπ . 4 a2 : a 4π
a
Bài 1.15. Đơn giản các biểu thức sau:
2

a) A =

a2

(a

2
2

− b2

a

c) C =

3

−b

5

2 5
3

3

)

2

a + a .b
Bài 1.16. So sánh các số:

a) 3

600

+1

−b

5
3

7

7
3

1
b)  
2

và 5

400

(a
b) B =

+b
−

5
7

và

 1 
Bài 1.17. Chứng minh rằng:  
 16 

2.2

−0,75

2 3

3

d) D = a 2 .a13 : a3

)(

− 1 a2
a4

(a

π

d) D =

2 7
3

3

3

c) C = a

+ bπ

)

3

3

2

+a

−a

3

+ a3

3

c) 7

30

+ ( 0,25)

−

5
2

và 4

)

3

π

 1 
−  4 π ab 



π

3
14

2

1
1
d)   và  
9
9

40

3,14

= 40

Bài 1.18. Rút gọn các biểu thức sau:
−2

−3

 b2   a 2 
a)   .   ( a ≠ 0, b ≠ 0 )
 a  b 
4
2
 −1

a 3  a 3 + a 3 
 ,(a > 0)
c) 1  3
1

− 
a 4  a 4 + a 4 


1
4
 1

2n 3  3n 3 − 4n 3 


e)
2n

(

b) a2 + b 2

)( a


y
d)  2 x + 
2


( )
3

f)

1
−
3

6

4a

−1

−2

+ b −2

)

−1

,( a ≠ 0, b ≠ 0 )

−1

−1
y 
( 2 x ) +   

 2  

2

4a

Kết quả:
Bài 1.12. A = 3 3 , B = 64 , C = 1 , D = 4
Bài 1.13. A = 4 b , B = 2 3 ab , C = 1 , D = a
Bài 1.14. A = a , B = a , C = a3 , D = a1,3
2a

Bài 1.15. A =

a

Bài 1.16. a) 3

600

Bài 1.18. a)

BT. GT12

1
a4 b

2

5

2

−b

3

7

, B = a 3 + 1 , C = a 3 − b 3 , D = aπ − bπ

1
> 5400 , b)  
2
b) a 2 b2

−

5

7

π

3
14

1 1
= 2.2 , c) 7 > 4 , d)   <  
9 9

c) a

30

d)

3,14

40

1
xy

8

e) 3n − 4n 2

f) 2 a

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Hàm số y = x α , với α ∈ ℝ , được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α :
Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ
Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0}
Với α không nguyên, tập xác định là ( 0; +∞ )

3. Đạo hàm

( )

Hàm số y = x α ( α ∈ ℝ ) có đạo hàm với mọi x > 0 và x α

/

= α x α −1

( )

Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng: uα

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng ( 0; +∞ )

/

= α uα −1 .u /

α >0

Chiều biến thiên

y =αx
Hàm số luôn đồng biến

Tiệm cận

Không có

/

Đạo hàm

α <0
y =αx
Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận ngang là trục Ox ,
tiệm cận đứng là trục Oy

α −1

/

α −1

Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1)

Hình dạng đồ thị ứng với các giá trị khác nhau của α

Đồ thị

B. BÀI TẬP
DẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α :
Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ
Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0}
Với α không nguyên, tập xác định là ( 0; +∞ )

Bài 2.1. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = (1 − x )

−

1
3

(

b) y = 2 − x 2

)

3
5

(

)

c) y = x 2 − 1

−2

(

d) y = x 2 − x − 2

)

2

HD Giải
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 − x > 0 ⇔ x < 1
Vậy tâp xác định là: D = ( −∞;1)
BT. GT12

9

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi 2 − x 2 > 0 ⇔ − 2 < x < 2

(

Vậy tâp xác định là: D = − 2; 2

(

)

c) y = x 2 − 1

−2

1

=

(x

2

)

−1

2

)

. Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1

Vậy tâp xác định là: D = ℝ \ {−1;1}
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − x − 2 > 0 ⇔ x < −1 hoặc x > 2
Vậy tâp xác định là: D = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )
Bài 2.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = 3 ( x − 1)

−3

(

b) y = 4 x 2 − 3 x − 4

c) y = x 3 − 8

)

π

(

d) y = x 3 − 3x 2 + 2 x

3

)

1
4

HD Giải
a) y = 3 ( x − 1) =

3

−3

. Hàm số xác định khi và chỉ khi ( x − 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
3

( x − 1)

3

Vậy tâp xác định là: D = ℝ \ {1}
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − 3 x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 hoặc x ≥ 4
Vậy tâp xác định là: D = ( −∞; −1 ∪  4; +∞ )
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 3 − 8 > 0 ⇔ x > 2
Vậy tâp xác định là: D = ( 2; +∞ )
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 3 − 3 x 2 + 2 x > 0 ⇔ 0 < x < 1 hoặc x > 2
Vậy tâp xác định là: D = ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ )
DẠNG 2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Cho hàm số y = x α có tập xác định D; α ∈ ℝ

(x )
α

/

( ) 2
( x) = n
/

x

Lưu ý:

=

α

= α uα −1 .u / với u = u( x ), y = uα ( x )
/

u/

=

u

x
1
n

/

( ) 2u
( u( x) ) = n uu ( x()x)

1

/

n

(u )

= α .x α −1

/

/

n

x n −1

n −1

n

Bài 2.3. Tính đạo hàm các hàm số sau:

(

)

a) y = 2 x − x + 1
2

1
3

b) y = ( 3 x + 1)

π

(

c) y = 4 − x − x

2

1
2 4

)

d) y = ( 5 − x )

3

HD Giải


a) y / =  2 x 2 − x + 1




(

)

1
3

/

 1
2
 = 2 x − x + 1
 3

(

)(
/

)

2x2 − x + 1

1
−1
3

=

1
4 x − 1) 2 x 2 − x + 1
(
3

(

)

−

2
3

/

π
π
π

 π
/
−1
−1
3π
b) y = ( 3 x + 1) 2  = ( 3 x + 1) ( 3x + 1) 2 =
3x + 1) 2
(

2
2


1
/
−1
1
1
/
2
2 4
y
=
−
x
−
x
−
x
−
x
= ( −1 − 2 x ) 4 − x − x 2
c)
4
4
4
4
/

(

)(

/

)

3
/
d) y / = ( 5 − x )  = 3 ( 5 − x ) ( 5 − x )



BT. GT12

(

3 −1

= − 3 (5 − x )

10

)

−

3
4

3 −1

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 2.4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a

1 + x3
b) y =
1 − x3

a) y = ( 2 x + 1)

π

b

x a
c) y =     ,(a > 0, b > 0)
b x
HD Giải

3

(

d) y = x − 8
3

)

π
3

/

π
/
π −1
π −1
a) y / = ( 2 x + 1)  = π ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) = 2π ( 2 x + 1)


/
6x2
 1 + x3 
2
/
3

3 
 1 + x3 
1
x

−
1
x
−
2x2

 =
b) y / =  3

=
=
3
2
2
2
 1 − x 
2
 1 + x3 
 1 + x3 
 1 + x3 
3
33 
33 
1− x 3 
3 
3 
3 
 1− x 
 1− x 
 1− x 

(

)

(

/

/

 x  a  a  b    x  a   a  b  x  a  a  b 
c) y =      =      +     
 b   x    b    x   b   x  

)

/

/

a x
=  
bb

a −1


d) y =  x 3 − 8


/

(

)

b

a

a x a
  +   b 
x b x

π
3

/

 π 3
x −8
 =
3


(

)(
/

b −1

a

b

 a   x   a a−b
− 2  =    
 x  b  x x

x3 − 8

)

π
3

−1

(

= π x2 x3 − 8

)

π
3

−1

DẠNG 3. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x α
Khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thểm ta phải xét hàm số đó trên toàn tập xác định của nó
Tập xác định
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α
Sự biến thiên
Tìm đạo hàm y / . Xét dấu y / và kết luận chiều biến thiên của hàm số
Tìm tiệm cận (nếu có)
Lập bảng biến thiên
Đồ thị
Lưu ý: Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1;1)
Bài 2.5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = x

4
3

b) y = x

−3

c) y = x
HD Giải

π

−4

d) y = x 2

4

a) y = x 3

Tập xác định: D = ( 0; +∞ )
4 13
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y = x
3
/
y > 0 trên khoảng ( 0; +∞ ) nên hàm số đồng biến
/

Giới hạn: lim y = 0, lim y = +∞
x →0

x →+∞

Bảng biến thiên:
x

0

y'

+∞
+
+∞

y
0

BT. GT12

11

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

Đồ thị:
y

1
0

x

1

1
x3
Tập xác định: D = ℝ \ {0}

b) y = x −3 =

Sự biến thiên:
3

< 0, ∀x ∈ D
x4
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) và ( 0; +∞ )

Đạo hàm: y / = −

Giới hạn: lim− y = −∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = 0 là TCĐ
x →0

x →0

lim y = 0, lim y = 0 ⇒ y = 0 là TCN

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên:
x

+∞

0

∞

y'
+∞

0

y

0

∞

Đồ thị:
y

1
0

1

x

Hàm số đã cho là hàm số lẻ. Nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
1
c) y = x −4 = 4
x
Tập xác định: D = ℝ \ {0}
Sự biến thiên:
4
x5
y / > 0 trên khoảng ( −∞; 0 ) nên hàm số đồng biến trên khoảng này và y / < 0 trên

Đạo hàm: y / = −

khoảng ( 0; +∞ ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Giới hạn: lim− y = +∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = 0 là TCĐ

x →0

BT. GT12

x →0

12

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

lim y = 0, lim y = 0 ⇒ y = 0 là TCN

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên:
x

+∞

0

∞
+

y'

+∞ +∞
y
0

0

Đồ thị:
y

1

1 0

1

x

Hàm số đã cho là hàm số chẵn. Nên đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
π

d) y = x 2

Tập xác định: D = ( 0; +∞ )
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y / =

π

π

x2

−1

2
y > 0 trên khoảng ( 0; +∞ ) nên hàm số đồng biến
/

Giới hạn: lim y = 0, lim y = +∞
x →0

x →+∞

Bảng biến thiên:
x

0

+∞

y'

+
+∞

y
0

Đồ thị:
y

1
0

BT. GT12

1

x

13

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 2.6. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = x 4

b) y = x 7
−

5

f) y = 7 x
g) y = x 8
Bài 2.7. Tìm tập xác định các hàm số sau:

(

a) y = 3 5 x + 4

b) y = 4 − x 2

)

1
2

c) y = x 0

d) y = x −15

h) y = x π

i) y = x

(

c) y = x 2 + x − 2

)

−2

1

3

j) y = x 4

d) y = x 2 + 3 x − 4

Bài 2.8. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1
a) y = 5 x
b) y =
5
x

c) y = n x − 1

e) y = 4 x 4 + x 2 + 1

g) y = (12 − x )

f) y = 4 x 2 − 3 x − 1

e) y = 8 x

d) y = n x m

(

3

h) y = x 2 + x − 4

)

1
4

Bài 2.9. Hãy vẽ đồ thị mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:
1
4

4

5

−5

2

a) y = x và y = x
b) y = x và y = x
c) y = x và y = x
Bài 2.10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = x

−

1
2

π

b) y = x 4

c) y =

( 3)

1
2

x

Kết quả:
Bài 2.6. a) D = ℝ ; b) D = ℝ ; c) D = ℝ \ {0} ; d) D = ℝ \ {0} ; e) D =  0; +∞ ) ;

f) D = ℝ ; g) D = ( 0; +∞ ) ; h) D = ( 0; +∞ ) ; i) D = ( 0; +∞ ) ; j) D = ( 0; +∞ )

Bài 2.7. a) D = ℝ ; b) D =  −2;2  ; c) D = ℝ \ {−2;1} ; d) D = ( −∞; −4  ∪ 1; +∞ )
Bài 2.8. a)

e)

1
5

5 x4

;

b) −

4 x3 + 2 x

(

)

33 x4 + x2 +1

BT. GT12

2

1
5

5x x 4

; f)

;

c)
8x − 3

2 4 x 2 − 3x − 1

1
n n ( x − 1)

n −1

;

; g) − 3 (12 − x )

14

d)
3 −1

m n m−n
x
n

; h)

2x +1

(

4 4 x2 + x − 4

)

3

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

§3. LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Với hai số dương a, b ( a ≠ 1) . Số α nghiệm đúng đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của
b và kí hiệu là loga b . Như vậy: α = loga b ⇔ aα = b
Chú ý: Không có lôgatir của số âm và số 0.
2. Tính chất
Cho hai số dương a và b, a ≠ 1 . Ta có:
log a 1 = 0
log a a = 1

a

loga b

( )

log a aα = α

=b

3. Quy tắc tính

a) Lôgarit của một tích
Với các số dương a, b1 , b2 và a ≠ 1 . Ta có: log a ( b1b2 ) = log a b1 + log a b2
Lưu ý: Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit
b) Lôgarit của một thương
b
Với các số dương a, b1 , b2 và a ≠ 1 . Ta có: log a 1 = log a b1 − log a b2
b2
Lưu ý: Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit
1
log a = − log a b, (a, b > 0, a ≠ 1)
b
c) Lôgarit của một lũy thừa
Với các số dương a, b1 , b2 và a ≠ 1 . Với mọi α , ta có: loga bα = α loga b
Lưu ý: Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
1
log a n b = log a b, (a, b > 0, a ≠ 1)
n
d) Đổi cơ số
Cho ba số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 . Ta có:
logc b
log a b =
log a b = log a c.logc b
logc a
1
1
, b ≠1
log aα b = log a b, α ≠ 0
α
log b a
4. Kí hiệu lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. log10 b thường được viết là log b hoặc lg b
b) Lôgarit tự nhiên
Lôgarit tự nhiên (lôgarit Nê – pe) là lôgarit cơ số e . loge b được viết là ln b
log a b =

n

 1
Lưu ý: e = lim  1 +  và một giá trị gần đúng của e là: e ≈ 2, 718281828459045
n →+∞
 n

B. BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm điều kiện để một biểu thức lôgarit có nghĩa
b > 0
Lưu ý:
loga b có nghĩa 
0 < a ≠ 1

BT. GT12

15

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
Bài 3.1. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
a) log2 1 − x 2

c) log 1
3

( )
( x + x − 2x )
3

(
(x

b) logπ x 2 + 3x − 4
d) log 1

2

2

4

)

+ 5x 2 − 6

GV. Lư Sĩ Pháp

)

HD Giải
có nghĩa ⇔ 1 − x 2 > 0 ⇔ x 2 < 1 ⇔ −1 < x < 1

( )
b) log ( x + 3x − 4 ) có nghĩa ⇔ x + 3 x − 4 > 0 ⇔ x < −4 hoặc x > 1
c) log ( x + x − 2 x ) có nghĩa ⇔ x + x − 2 x > 0 ⇔ −2 < x < 0 hoặc x > 1

a) log2 1 − x 2
2

2

π

3

2

3

2

1
3

 x 2 < −6
 x < −1
d) log 1 x + 5 x − 6 có nghĩa ⇔ x + 5 x − 6 > 0 ⇔  2
⇔
x > 1
2
 x > 1
Bài 3.2. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:

7
a) log x −3 x 2 − 4
b) log x
3x − 2
HD Giải
3 < x ≠ 4
0 < x − 3 ≠ 1 
2
a) log x −3 x − 4 có nghĩa ⇔  2
⇔   x < −2 ⇔ 3 < x ≠ 4
 x − 4 > 0
 x > 2


(

4

)

2

(

(

4

2

)

)

0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
7
2


b) log x
có nghĩa ⇔  7
⇔
⇔ < x ≠1
2
3x − 2
3
>0

x >
3
 3x − 2

Dạng 2.
Tính giá trị của một biểu thức
Rút gọn biểu thức
Lưu ý: Vận dụng và dùng linh hoạt tính chất; quy tắc tính lôgarit.
Bài 3.3. Tính:
1
a) log 1 4

b) log3
c) log 1 8
d) 32 log3 5
27
2
2

HD Giải
−2

1
a) log 1 4 = log 1 2 = log 1   = −2
2
2
2
2 
2

3

1
1
b) log3
= log3   = log3 3−3 = −3
27
3

−3

1

c) log 1 8 = log 1 2 = log 1   = −3
2
2
2
2 
Bài 3.4. Tính:
1
a) log2
b) log 1 2
8
4
3

2 log3 5

d) 3

(

log3 5

= 3

c) log3 4 3

)

2

= 52 = 25

d) log0,5 0,125

HD Giải
a) log2

1
= log2 ( 2 ) = −3 log2 2 = −3
8
−3

1
4

c) log3 3 = log3 ( 3 ) =
4

1
1
log3 3 =
4
4

1
1
b) log 1 2 = log2−2 2 = − log2 2 = −
2
2
4

d) d) log 0,5 0,125 = log 0,5 ( 0,5 ) = 3
3

Bài 3.5. Tính:
a) 4log2 3
BT. GT12

b) 27log9 2

c) 9
16

log

3

2

d) 4log8 27

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

HD Giải
log 3
2log 3

a) 4 2 = 2 2 = 2

log

2log

2

c) 9 3 = 3
Bài 3.6. Tính:
a) 4

log2

2

1
32

( ) =9
2

3log 2 2

log2 3

4log3 2

=3

b) 27log9 2 = 3
log3 24

=3

1
7

= 24 = 16

 1 
b)  
 25 

log5

1
3

d) 4

log8 27

=2

3

2 log 3 33
2

=3

3
log 2
2 3

=2

5log3 2

c) 3

2 log2 3

d) 3

=3

 3
log3  2 2 
 
 

=2

log2 32

3

= 22 = 2 2

=9

log 1 2
27

HD Giải
a) 4

log2

1
7

5log3 2

c) 3

=2

(

2

log2

1
7

log3 2

= 3

2

2

 log2 1   1 
1
= 2 7  =   =


49

 7

)

5

 1 
b)  
 25 
log 1 2

= 2 = 32

d) 3

5

27

log5

1
3

( )

= 5
log

=3

3−3

−2

2

log5

1
3

−2

−2

 log5 1 
1
= 5 3  =   = 9


3



1
− log3 2
3

=3

(

log3 2

= 3

)

−

1
3

=2

−

1
3

=

1
3

2

Bài 3.7. Tính:
a) log 1 2 + 2 log 1
2

2

1
3
+ log 1
3
8
2

1
b) 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 3 45
2
3
3

3

1
d) log5 3 − log5 15
2
HD Giải
 1 1 3
1
3
1
1
3
1
a) log 1 2 + 2 log 1 + log 1 = log 1 2 + log 1 + log 1 + log 1 = log 1  2. . .  = log 1
3
8
3
3
8
3 3 8
12
2
2
2
2
2
2
2
2 
2

c) log 7 49 − log 7 343

1
1
3
2
2
b) 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 45 = log 1 6 − log 1 ( 400 ) + log 1
2
3
3
3
3
3
3

= log 1 36 − log 1 20 + log 1 45 = log 1
3

3

c) log 7 49 − log 7 343 = log 7

3

3

( 45 )
3

3

36.45
= log 1 81 = − log3 34 = −4
20
3

49
1
= log7 = − log 7 7 = −1
343
7

1
−
1
3
1
1
= log5
= log5 5 2 = −
d) log5 3 − log5 15 = log5 3 − log5 15 = log5
2
2
15
5
Bài 3.8. Tính:
log 7 16
1

a)
b) log5 3 − log5 12 + log5 50
log 7 15 − log 7 30
2

c) log 1 ( log3 4.log2 3)

d) log8 12 − log8 15 + log8 20

4

HD Giải
log 7 16
log 7 16 log 7 2
4 log 7 2
a)
=
=
=
= −4
15 log 7 2 −1 − log 7 2
log 7 15 − log 7 30
log 7
30
1
1
1
1
b) log5 3 − log5 12 + log 5 50 = log5 3 − log 5 3 − log5 4 + 2 log5 5 + log5 2
2

2
2
2
= − log5 2 + 2 + log 5 2 = 2
4

1
1
c) log 1 ( log3 4.log 2 3 ) = log 1 ( 2 log3 2.log2 3) = log 1 2 = − log2 2 = −
2
2
4
4
4

BT. GT12

17

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
d) log8 12 − log8 15 + log8 20 = log8

GV. Lư Sĩ Pháp

12.20
4
= log8 16 = log23 2 4 =

15
3

Bài 3.9. Tính:
log5 36 − log5 12
a)
log5 9

b)

1
c) log36 2 − log 1 3
2
6

1
log 7 36 − log 7 14 − 3 log 7 3 21
2

d) 36

log6 5

log2 3

+ 101− log2 − 8

HD Giải
36
log5 36 − log5 12

12 = log5 3 = 1
a)
=
log5 9
log 5 32 2 log5 3 2
log5

b)

 6 
1
−2
log 7 36 − log7 14 − 3 log 7 3 21 = log 7 6 − log 7 14 − log 7 21 = log 7 
 = log 7 7 = −2
2
14.21



1
1
1
1
1
c) log36 2 − log 1 3 = log6 2 + log6 3 = log6 6 =
2
2
2
2
2

6
2

3

d) 36log6 5 + 101− log2 − 8log2 3 = 62log6 5 + 10log10 10− log10 2 − 23log2 3 = 6 log6 5 + 10 log10 5 − 2 log2 3 = 52 − 5 + 33 = 3
Bài 3.10. Rút gọn các biểu thức sau:
1
a) log 1 7 + 2 log9 49 − log 3
b) log3 6.log8 9.log6 2
7
3
1 1
d) log + log 4 + 4 log 2
8 2
HD Giải

c) log a b2 + log a2 b 4
a) log 1 7 + 2 log9 49 − log
3

3

1
= log3−1 7 + 2 log33 72 − log 1 7−1 = − log3 7 + 2 log3 7 + 2 log3 7 = 3 log3 7
7
32

2
2

2
b) log3 6.log8 9.log6 2 = ( log3 6.log6 2 ) .log23 32 = log3 2. log2 3 = log2 2 =
3
3
3
2
4
2
2
2
c) log a b + log a2 b = log a b + log a b = 2 log a b = 4 log a b
1 1
d) log + log 4 + 4 log 2 = − log 8 + log 2 + log 4 = − log 8 + log 8 = 0
8 2
Bài 3.11. Rút gọn các biểu thức sau:
4 1
3
9
27
a) log + log 36 + log
b) log 72 − 2 log
+ log 108
9 2
2
2
256
 1 log7 9 − log7 6 − log 5 4 
1
c) log − log 0,375 + 2 log 0,5625
d) 72  49 2

+5

8


HD Giải
3


3 

 4 33 1 


4 1
3
9
4  9 2 
4
9

a) log + log 36 + log = log .6.   = log  .6.    = log  .6. .  = log18 2


9
9
9 2
2
2
2 2 

2 
9 2 






27
36
3 2
b) log 72 − 2 log
+ log 108 = log 2 .3 − log 16 + log 22.33
256
2
3
5
16



− 
2
5
= log  23.32. 6 .2.3 2  = log  220.3 2  = 20 log 2 − log 3
2
3






(

BT. GT12

)

18

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

1
c) log − log 0,375 + 2 log 0,5625 = log 2 −3 − log 0,53.3 + 2 log 0,54.32
8
3
= log 2 −3 − log 2 −3 − log 3 + 2 log 2 −2 + 2 log 3 = log 2−4 + log 3 = log
16
2
3
1
 1 
 log7 6

log7 9 − log7 6

− log 5 4 
1  45
log5 4−2 
  +  =
d) 72  49 2
+
5
=
72
49
+
5
=
72







  2  16  2






Tìm x
Dạng 3.

Lưu ý: Vận dụng định nghĩa.
log a x = α ⇔ x = aα , ( 0 < a ≠ 1)

(

)

log x b = α ⇔ xα = b, ( 0 < x ≠ 1, b > 0 )

Đưa biểu thức về cùng cơ số : log a x = log a b ⇔ x = b, ( 0 < a ≠ 1, b > 0 )
Tính chất; quy tắc tính lôgarit
Bài 3.12. Tìm x, biết:
a) log5 x = 4
b) log2 ( 5 − x ) = 3

d) log 1 ( 0,5 + x ) = −1

c) log3 ( x + 2 ) = 3

6

HD Giải
b) log2 ( 5 − x ) = 3 ⇔ 5 − x = 23 ⇔ x = −3

a) log5 x = 4 ⇔ x = 54 = 625

−1

1
c) log3 ( x + 2 ) = 3 ⇔ x + 2 = 3 ⇔ x = 25 d) log 1 ( 0,5 + x ) = −1 ⇔ 0,5 + x =   ⇔ x = 5,5

6
6
Bài 3.13. Cho a và b là các số dương. Tìm x, biết:
1
4
a) log3 x = 4 log3 a + 7 log3 b
b) log 2 x = log 2 a + log 2 b
4
7
3
3
3
3

c) log5 x = 2 log5 a − 3log5 b

d) log 1 x =
2

2
1
log 1 a − log 1 b
3
5
2
2

HD Giải
a) log3 x = 4 log3 a + 7 log3 b ⇔ log3 x = log3 a 4 + log3 b 7 ⇔ log3 x = log3 a 4 b 7 ⇔ x = a 4 b 7

(

)

4
4
1
1
 14 47 
1
4
7
7
4
4
b) log 2 x = log 2 a + log 2 b ⇔ log 2 x = log 2 a + log 2 b ⇔ log 2 x = log 2  a .b  ⇔ x = a .b
4
7

3
3
3
3
3
3
3
3 

c) log5 x = 2 log5 a − 3 log5 b ⇔ log5 x = log5 a2 − log 5 b3 ⇔ log5 x = log5

a2
a2
⇔
x
=
b3
b3
2

2

2
1
2
1
a3
a3
d) log 1 x = log 1 a − log 1 b ⇔ log 1 x = log 1 a 3 − log 1 b 5 ⇔ log 1 x = log 1 1 ⇔ x = 1
3
5
2
2
2
2
2
2
2
2
b5
b5

Bài 3.14. Tìm x, biết:
3
1
a) log3 x + log9 x =
b) log 4 x = log 4 216 − 2 log4 10 + 4 log 4 3
2
3
1
1
c) log 1 x = log3 125 − log3 4 + log 3 2
d) log6 x = 3 log6 2 + 0,5 log6 25 − 2 log6 3
3
2
3

HD Giải
3
1
3
3
3
a) log3 x + log9 x = ⇔ log3 x + log3 x = ⇔ log3 x = ⇔ log3 x = 1 ⇔ x = 3
2
2
2
2
2

BT. GT12

19

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit

GV. Lư Sĩ Pháp

1


3 .34
216
)
(

1
b) log 4 x = log 4 216 − 2 log4 10 + 4 log 4 3 ⇔ log 4 x = log 4 

2
3
 10



 486 
243
⇔ log 4 x = log 4 
⇔ x=

50
 100 
1
1
1
1
c) log 1 x = log3 125 − log3 4 + log 3 2 ⇔ − log3 x = log3 (125 ) 3 − log3 4 + log 1 2
3
2
2
32
3

−1

 5.2 
5
2
⇔ − log3 x = log3 
 ⇔ log3 x = log3   ⇔ x =
5
 4 
2
 23.5 
40
d) log6 x = 3log6 2 + 0,5log6 25 − 2 log6 3 ⇔ log6 x = log6  2  ⇔ x =
9
 3 

Dạng 4.

Biểu diễn các lôgarit qua các yếu tố cho trước
Chứng minh đẳng thức

Bài 3.15.
a) Cho log2 20 = α . Hãy tính log20 5 theo α .
b) Cho log2 5 = a . Hãy tính log4 1250 theo a.
c) Cho log30 3 = a, log30 5 = b . Hãy tính log30 1350 theo a, b.
d) Cho log15 3 = c . Hãy tính log25 15 theo c.
HD Giải
a) Ta có: α = log2 20 = log2 2 .5 = 2 log2 2 + log2 5 = 2 + log2 5 ⇒ log2 5 = α − 2

( )
2

Mặt khác: log20 5 =

log2 5
α −2
. Vậy log20 5 =
log2 20
α

b) Ta cần phân tích 1250 thành tích các lũy thừa của 2 và 5. Ta có: 1250 = 2.54
1
1
1
1
Do đó: log 4 1250 = log22 2.54 = log2 2.54 = log2 2 + log2 54 = (1 + 4 log2 5 ) = (1 + 4a )
2

2
2
2
1
Vậy: log 4 1250 = (1 + 4a )
2
c) Ta có: 1350 = 32.5.30
Do đó: log30 1350 = log30 32.5.30 = 2 log30 3 + log30 5 + log30 30 = 2a + b + 1

(

(

d) Ta có: log25 15 =

)

(

)

(

)

)

log3 15 log3 ( 3.5) log3 3 + log3 5 1 + log3 5
=
=

=
log3 25
2 log3 5
2 log3 5
log3 52

Mặt khác: c = log15 3 =

log3 3
1
1
1
=
=
⇒ log3 5 = − 1
log3 15 log3 ( 3.5) 1 + log3 5
c

1
1+ −1
1
c
Vậy: log25 15 =
=
 1  2 (1 − c )
2  − 1
c 

Bài 3.16.
a) Cho log3 15 = a, b = log3 10 . Hãy tính log 3 50 theo a, b .

b) Cho log2 3 = a, b = log3 5, c = log 7 2 . Hãy tính log140 63 theo a, b, c .

BT. GT12

20

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT


Chương II. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
c) Cho log a b = 5 . Hãy tính log a

5

GV. Lư Sĩ Pháp

a3b6 .

b

d) Cho log25 7 = a, b = log2 5 . Hãy tính log5 6,125 theo a, b .
a) Ta có: log 3 50 = log

1

32

(

HD Giải

2.5 = 2 log3 2 + 4 log3 5
2

)

Mặt khác:
a = log3 15 = log3 ( 3.5) = 1 + log3 5 ⇒ log3 5 = a − 1

b = log3 10 = log3 ( 2.5 ) = log3 2 + log3 5 ⇒ log3 2 = b − log3 5 = b − a + 1

Do đó: log 3 50 = 2 ( b − a + 1) + 4 ( a − 1) = 2 a + 2b − 2

( )

b) log140 63 = log140 32.7 = 2 log140 3 + log140 7 =

2
1
2
1
+
=
+
2
log3 140 log 7 140 log3 2 .5.7 log7 22.5.7

(

)

(

)

2
1
+
2 log3 2 + log3 5 + log3 7 2 log 7 2 + log 7 5 + 1
Mặt khác:
1
1
log3 2 =
=
log2 3 a
=

log 7 5 = log 7 2.log 2 3.log3 5 = c.a.b
log3 7 =

1
1
1
=
=
log 7 3 log7 2.log2 3 ca

Vậy: log140 63 =

2

+

2
1
+b+
a
ca

1
2ac + 1
=
2c + cab + 1 abc + 2c + 1

(
(

)
)

(

)

3 6
5 3 6
+ loga b 6 1 + 2 5
6 12 + 2 5
log
a
b

5 3 6
5
5
a
c) Ta có: log a a b =
=
=
=−
1
a
5
5
2
−
5
b
loga
1 − loga b
2
b
6125
49
d) Ta có: log5 6,125 = log5
= log5
= log5 49 − log5 8 = 2 log5 7 − 3 log5 2
1000
8
Mặt khác:
1
1

1
a = log 25 7 = log5 7 ⇒ log5 7 = 2a
b = log2 5 =
⇒ log5 2 =
2
log5 2
b
3
b
Bài 3.17. Hãy chứng minh:

Vậy: log5 6,125 = 4a −

a) log 1 3 + log3
2

c) 4

log5 7

=7

a) Ta có: log 1 3 =
2

BT. GT12

1
< −2
2

b) log3 7 + log7 3 > 2

log5 4

1
1
log3
2

log2 5

d) 3
HD Giải
và log 1 3 +
2

1
1
log3
2

= 5log2 3

coâ−si

> 2 ( vì log 1 3 ≠
2

21

1
1
log3
2

)

PHẦN I. HS LT – HS MŨ – HS LÔGARIT