on tap chuong cua toan lop 12

Các dạng bài tập liên quan đến
khảo sát hàm số.
1. Xét tính đơn điệu của hàm số của chứa tham số
2. Tìm điều kiện của hàm số có cực trị và điểm cực trị thoả mÃn
một tính chất nào đó
3. Giá trị lớn nhất giả trị nhỏ nhất của hàm số
4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
5. Điểm cố định của họ hàm số
6. Sự tương giao của hai đồ thị
7. Biện luận số nghiệm của PT dưa vào đồ thị hàm số
8. Khoảng cách

1


BIỆN LUẬN
SỐ NGHIỆM
PHƯƠNG
TRÌNH
BẰNG ĐỒ THỊ

2


BTập : Cho hàm số
y = x3 - 3x + 1 ( C)
1)Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị ( C ).
2) Biện luận số nghiệm của PT :
x 3 – 3x + 1 – m = 0

GIAÛI

3


1. Miền xác định : D = R
x=1Vx=-1
y’ = 3x2 – 3 =0

⇔

Bảng biến thiên: x − ∞
y’
+
y −∞
y’’ = 6x=0
x
y’’
y

⇔

x=0

−∞

-1
0 3
CĐ

0
0

+
lồi
lõm
Điểm uốn I ( 0; 1 )
Điểm đặc biệt : x = 2
y=3
x=-2

⇒
⇒

y=-1

1
0
-1
CT

+∞

4

+

+∞
+∞


Đồ thị :

f(x)

CĐ

( C ): y = x3 - 3x + 1
f(x)=x^3-3x+1

4

3

2

1

I
x

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0
-1

-2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

CT

-3

-4

5

3.5

4

4.5


2. Dùng đồ thị ( C ) để biện luận theo tham số m số
nghiệm của phương trình : x3 - 3x + 1 – m = 0 .

GIAÛI

( C ): y = x3 - 3x + 1

f(x)

f(x)=x^3-3x+1

4

3

d: y = m

2

1

x
-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x3 - 3x + 1 – m = 0 (*)
=0
x3 - 3x + 1 = m (1)

(d)
(C)
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
Có nhận xé3 gì về phương trình (1)
ì (C ): y = x t - 3 x + 1
ï
ï giao điểm của hai đồ thị bằng với
Số
í
ï d : y = m cùng phương với trục Ox
ï nghiệm phương trình hoành độ
ỵ
số
Dựa vào đồ thị ( đó
giao điểm của hai đồ thị C),. ta coù :
6
-1

⇔

-2

-3

-4


Phương pháp:Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của
phương trình f(x,m)=0 ( * ) ?
Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của
phương trình f(x,m)=0 ( * )
 Chuyển vế phương trình (*) thành dạng f(x)=g(m).
 Vẽ (C) : y = f(x) và vẽ d : y = g(m) cùng phương
với Ox trên cùng một hệ trục tọa độ.
(thường là (C) đã được vẽ trong những phần trước)
Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của (1).

7


Dùng đồ thị ( C ) để biện luận theo tham số m số
nghiệm của phương trình : x3 - 3x + 1 – m = 0 .

GIAÛI

( C ): y = x3 - 3x + 1

f(x)

f(x)=x^3-3x+1

4

3

d: y = m

2

1

x
-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x3 - 3x + 1 – m = 0 (*)
=0
x3 - 3x + 1 = m (1)

(d)
(C)
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
Có nhận xé3 gì về phương trình (1)
ì (C ): y = x t - 3 x + 1
ï
ï giao điểm của hai đồ thị bằng với

Số
í
ï d : y = m cùng phương với trục Ox
ï nghiệm phương trình hoành độ
ỵ
số
Dựa vào đồ thị ( đó
giao điểm của hai đồ thị C),. ta coù :
8
-1

⇔

-2

-3

-4


Đồ thị :

f(x)

CĐ

( C ): y = x3 - 3x + 1
f(x)=x^3-3x+1

4

3

2

1

I
x

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0
-1

-2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

CT

-3

d : y=m

-4

9

Đồ thị :

f(x)

CĐ

( C ): y = x3 - 3x + 1
f(x)=x^3-3x+1

4

3

2

1

I

x1
-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

x
-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1

-2

-3

-4

CT

2

2.5

3

3.5

4

4.5

y = m< - 1

Số giao điểm
củ n :
Biện luậa (C) và d là 1
m <-1: (1) có một nghieäm
10


Đồ thị :

f(x)

CĐ

( C ): y = x3 - 3x + 1
f(x)=x^3-3x+1

4

3

2

1

I

x1
-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

x2
-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x
1.5

-1

-2

-3

-4

2

2.5

3

3.5

4

4.5

y = m= - 1

CT
Số giao điểm
của (C) và d là 2
Biện luận :
m =-1: (1) có hai nghiệm
11


Đồ thị :

f(x)

CĐ

( C ): y = x3 - 3x + 1
f(x)=x^3-3x+1

4

-1< y = m < 3

3

2

1

I
x

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

x1

-1

-0.5

x2

0
-1

-2

-3

-4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x3

CT
Số giao điểm
của (C) và d là 3
Biện luận :
-1 < m < 3: (1) có ba nghiệm
12


Đồ thị :

f(x)

CĐ

( C ): y = x3 - 3x + 1
f(x)=x^3-3x+1

4

y=m=3

3

2

1

I
x

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5 x

1

= -1

-0.5

0
-1

-2

-3

-4

0.5

1

1.5

x2= 2

2.5

3

3.5

4

4.5

CT
Số giao điểm
của (C) và d là 2
Biện luận :
m = 3 : (1) có hai nghieäm
13


Đồ thị :

f(x)

CĐ

( C ): y = x3 - 3x + 1
f(x)=x^3-3x+1

4

y = m >3

3

2

1

I
x1

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0
-1

-2

-3

-4

0.5

1

1.5

2

2.5

x
3

3.5

4

4.5

CT
Số giao điểm
của (C) và d là 1
Biện luận :
m > 3 : (1) có một nghieäm
14

Bảng biện luận:

Biện luận :
Số
m Số gđ (C) và
m<-1
: (1) có mộnghiệm m
t nghiệ
(d)
m = -1
: (1) có haicủa (*) m
nghiệ
+∞
1
-1 < m < 3 : (1)1có ba nghiệm
m=3
: (1) có hai nghiệm
m>3
có
2
3 : (1)2 một nghiệm

ĐỒ THỊ

f(x)

f(x)=x^3-3x+1

4

3

2

3

1

x
-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

-1

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-1

-2

3

2

2

1

1

-3

-4

−∞

15


Những sai lầm mà học sinh thường mắc phảI khi
làm bài tập biện luận của PT dựa vào đồ thị

1. Chưa nắm chắc kiến thức về sự tương giao của hai đồ thị nên
không hiểu tại sao lại phảI biến ®æi PT :
f(x, m) = 0  f(x) = g(m)
2. Häc sinh th­êng coi PT : f(x) = g(m) gièng như PT f(x) = m
trong phần lí thuyết xây dựng.
3. Học sinh khá, giỏi thường cọi m như là ẩn số nên có suy nghĩ là
hàm số y = g(m) có thể không phảI là đường thẳng song song
với trục ox
4. Khi biÕn ®ỉi PT: f(x, m) = 0  f(x) = g(m) có thể làm thay đổi
Điều kiện của PT ( khi thùc hiƯn phÐp chi ®a thøc )
16


Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x

Phương pháp: Gọi (C):
1. (C) và 0x cã 1 ®iĨm chung

∆ y' ≤ 0

y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0)
2
y ' = 3ax + 2bx + c
3

Hc

2

∆ y ' > 0


 ymax . ymin > 0
 17


Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x
Phương pháp: Gọi (C):
2. (C) và 0x cã 2 ®iĨm chung

y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0)
2
y ' = 3ax + 2bx + c
3

2

y cã cùc trÞ b»ng 0

∆ y ' > 0


 ymax . ymin = 0

18


Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x
Phương pháp: Gọi (C):
3. (C) và 0x cã 3 ®iĨm chung

y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0)
2
y ' = 3ax + 2bx + c
3

2

y có 2 cực trị trái dấu

y ' > 0



 ymax . ymin < 0

19


Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x
Phương pháp: Gọi (C):

y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0)
2
y ' = 3ax + 2bx + c
3

2

4. (C) cắt 0x tại 3 điểm có hoành độ dương

y(0) = d

y ' = 0 co 2 nghiem x1 < x2
 y . y = y ( x ). y ( x ) < 0
 max min
1
2

a.d = a. y (0) < 0
0 < x1 < x2

20

Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x
Phương pháp: Gọi (C):

y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0)
2
y ' = 3ax + 2bx + c
3

2

5. (C) cắt 0x tại 3 điểm có hoành độ âm
y(0) = d

y ' = 0 co 2 nghiem x1 < x2
 y . y = y ( x ). y ( x ) < 0
 max min
1
2

a.d = a. y (0) > 0
 x1 < x2 < 0

21


CÂU HỎI 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

x2 + x + 4
y=
x+ 1

2) Định m để phương trình: x2 – m x + 3 – m = 0
có ít nhất một nghiệm âm.

22


Đồ thị

8 f(x)
7
6
5
4
3
CT
2
1

x2 + x + 4
(C ) : y =
x+ 1
f(x)=(x^2+x+4)/(x+1)
f(x)=x

x

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
I
-2
-3
-4
CĐ
-5
-6
Định m để phương trình:
-7
x
-8
=
x2 – m x + 3 – m = 0
y
-9
có ít nhất một nghiệm âm.
-10

x=-1

23


⇔
⇔
⇔
⇔

x2 + x + 4

(C ) : y =
GIAÛI
x+ 1
x2 – m x + 3 – m = 0 ( 1 )
x2 + 3 = m x + m
x2 + x + 4 = mx + m + 1 + x
x2 + x + 4 = m(x + 1) + (1 + x)
x2 + x + 4 = (x + 1) (m + 1) ( 2 )

( x = - 1 không là nghiệm của phương trình (2) )
x 2 VT + 4 ¹ VP = 0
+ x =4
(2)
= m + 1(2)(3)
x+ 1
(3) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
(C) và đường thẳng d: y = m + 1 cùng phương với trục
Ox. Dựa vào đồ thò :
24

⇔


x2 + x + 4
Đồ thị (C ) : y =
x+ 1

x1 x =-3
x2
0

8 f(x)
7
6
5
4
3
CT
2
x1

f(x)=(x^2+x+4)/(x+1)
f(x)=x

y=m+1
y=m+1> 4

x

0

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
I -2
x2 – m x + 3 – m = 0
-3
nghiệm
-4 có ít nhất mộty=m+1= - 5
CĐ
-5 âm + 1 ≤ −5 ∨ m + 1 > 4
m

-6
y= m+1< - 5
-7
x
-8
=
y
-9
-10

⇔
⇔ m ≤ −6 ∨ m > 3

x=-1

25