Đáp án bài tập tự luyện Cách tiếp cận tính đơn điệu của hàm số - Phần 1

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CÁCH TIẾP CẬN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
(PHẦN 1_2)
GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

ĐÁP ÁN
1C

2A

3C

4D

5B

6A

7D

8B

9C

10C

11B

12C

13B

14A

15D

16B

17B

18A

19D

20B

21B

22D

23B

24C

25D

26C

27C

28B

29C

30D

31A

32

33C

34B

35A

36C

37D

38B

39C

40D

41D

42D

43D

44D

45B

46D

47B

48A

49A

50C

51D

52C

53B

54A

55C

56B

57D

58A

59A

60A

61A

62C

63B

64D

65D

66B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Phần 1: Các bài toán không chứa tham số
Câu 1. (THPTQG – 2017 – 101) Cho hàm số y  x3  3x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (;0) và nghịch biến trên khoảng (0; ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (; ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) và đồng biến trên khoảng (0; ) .

Giải
Ta có y '  3x 2  3  0 với x 

 (;  ) .

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (; )  đáp án C.
Câu 2. (THPTQG – 2017 – 101) Hàm số y 
B. (1;1) .

A. (0; ) .

2
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
x 1
C. (; ) .
D. (;0) .
2

Giải
Ta có: y '  

4x
; y '  0  4 x  0  x  0  x  (0; ) .
( x  1)2
2

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; )  đáp án A.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

2x 1
, phát biểu nào sau đây là đúng?
x3
B. Hàm số đồng biến trên (; 3)  (3; ) .

Câu 3. Trong các phát biểu sau về hàm số y 
A. Hàm số luôn đồng biến với x  3 .

\ 3 .

C. Hàm số đồng biến trên (; 3) và (3; ) . D. Hàm số đồng biến trên tập
Giải
Tập xác định: D 

\ 3 . Ta có y ' 

7
 0 với x  3 .
( x  3)2

Suy ra hàm số đồng biến trên (; 3) và (3; )  đáp án C .
Chú ý: Kí hiệu x  3 không phải là một tập hợp, suy ra A sai.
Kí hiệu

\ 3  (; 3)  (3; ) không đúng suy ra B, D sai

(các bạn có thể xem lại phần giải thích trong bài giảng).
Câu 4. Cho hàm số y  x4  2 x2  4 . Trong các phát biểu sau, đâu là phát biểu không đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;0) và (1; ) .
B. Hàm số nghịch biến trên (; 1) và  0;1 .
C. Hàm số đồng biến trên  1;0 và 1;   .
D. Hàm số nghịch biến trên (; 1)  (0;1) .
Giải
Tập xác định: D 

.

x  0
Ta có y '  4 x3  4 x  4 x( x 2 1) ; y '  0  4 x( x 2  1)  
.
 x  1

+

+
1

1

0

Suy ra A, B, C đúng và D sai (không dùng kí hiệu " " )  đáp án D.
Chú ý: Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) và liên tục tại x  a; x  b
thì hàm số y  f ( x) cũng sẽ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên đoạn  a; b . Do đó ở câu hỏi trên do hàm
số là hàm đa thức nên liên tục trên

, suy ra hàm số nghịch bên trên  0;1 , đồng biến trên  1;0 …

Câu 5. (THPTQG – 2017 – 103) Cho hàm số y  x 4  2 x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 2) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 2) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) .

Giải
x  0
Ta có: y '  4 x3  4 x  4 x( x 2 1) ; y '  0  
, suy ra dấu y ' :
 x  1

+

+
1

0

1

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (; 1) nên nó cũng nghịch biến trên khoảng (; 2)
 đáp án B.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 2-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 6. (THPTQG – 2017 – 102) Cho hàm số y  x3  3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) .

Giải
x  0
+

Ta có y '  3x 2  6 x ; y '  0  
, suy ra dấu y ' :
x

2

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)  đáp án A.

+
0

2

Câu 7. (THPTQG – 2017 – 103) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2  1 với x 

. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (; ) .

Giải
Do y '  f '( x)  x  1  0, x 
2

, suy ra hàm số đồng biến trên

hay đồng biến trên khoảng (; )

 đáp án D.

Câu 8. (THPTQG – 2017 – 102) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (; )
A. y 

x 1
.
x3

B. y  x3  x .

C. y 

x 1
.
x2

D. y   x3  3x .

Giải
Do hàm phân thức y 

ax  b
không bao giờ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (; ) .
cx  d

Suy ra loại A, C.
Xét hàm y  x3  x . Ta có y '  3x2  1  0, x  , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (; )
 đáp án B.

Câu 9. Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng nghịch biến của hàm số
1
y  x 3  x 2  3x  1 ?
3
A. vô số.
B. 2 .
C. 3 .
D. 5 .
Giải
Tập xác định: D 

.

 x  1
Ta có y '  x2  2 x  3 ; y '  0  x 2  2 x  3  0  
.
x  3

+

+
1

3

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  1;3 .

Trong khoảng  1;3 có 3 số nguyên là: 0;1; 2  đáp án C.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 3-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 10. Hàm số y  x3  3x2  9 x  2 đồng biến trên khoảng
B. (3;1) .

A. (; 3) và (1; ) .

C. (; 1) và (3; ) .

D. (1;3) .

Giải
 x  1
+
Ta có y '  3x2  6 x  9 ; y '  0  
 dấu y ' :
x  3

1
3
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (; 1) và (3; )  đáp án C.

+

Câu 11. (Đề minh họa THPTQG – 2017). Hàm số y  2 x 4  1 đồng biến trên khoảng nào?
1

A.  ;   .
2


 1

C.   ;   .
 2


B.  0;   .

D.  ;0  .

Giải
Ta có y '  8 x ; y '  0  x  0 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  0;    đáp án B.
3

Câu 12. Khi nói về tính đơn điệu của hàm số y   x4  4 x3  10 , ta có những phát biểu sau:
1) Hàm số đồng biến trên khoảng (;3) .

2) Hàm số nghịch biến trên 3;   .

3) Hàm số nghịch trên khoảng (;0) và  3;   .

4) Hàm số đồng biến trên  ;3 .

Trong những phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Giải
x  0
Ta có y '  4 x3  12 x2  4 x2 ( x  3) ; y '  0  4 x 2 ( x  3)  0  
.
x  3
+
+
Suy ra dấu của y ' :
0
3
Do đó duy nhất phát biểu 3) sai và các phát biểu 1), 2), 4) đều đúng, nghĩa là có 3 phát biểu đúng
 đáp án C.
Chú ý: Do x  0 là nghiệm kép nên dấu của y ' không đổi khi đi qua x  0 .

Do hàm số liên tục trên

(nghĩa là liên tục tại x  3 ) nên kết luận 2), 4) vẫn đúng.

1
Câu 13. Trong các phát biểu sau về hàm số y  1  , phát biểu nào sau đây là đúng?
x
A. Hàm số luôn nghịch biến với x  0 .
B. Hàm số nghịch biến trên (;0) và (0; ) .

C. Hàm số đồng biến trên (;0) và (0; ) .

D. Hàm số đồng biến trên tập

\ 0 .

Giải
Tập xác định: D 

\ 0 .

1
 0 với x  0 . Suy ra hàm số nghịch biến trên (;0) và (0; )  đáp án B.
x2
Chú ý: Kí hiệu x  0 không phải là một tập hợp, suy ra A sai.

Ta có y '  

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 4-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Câu 14. Khi nói về tính đơn điệu của hàm số y 

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

x2  2 x  1
, ta có những phát biểu sau:
x2

1) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) .
2) Hàm số đồng biến trên khoảng (; 1)  (3; ) .
3) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) \ 2 .
4) Hàm số đồng biến trên khoảng (;1) và  3;   .
Trong những phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Giải

Tập xác định D 

\ 2 .

+

+
x

1

x  4x  3
Ta có y ' 
; y '  0  x2  4x  3  0  
. Ta có dấu của y ' : 1
2
( x  2)
x  3
Suy ra chỉ có 1 phát biểu 4) đúng  đáp án A.
2

3
2

2x 1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 1
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (; ) .

Câu 15. Cho hàm số y 

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; ) .
C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Giải
Ta có y ' 

3
 0, x  1 , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (; 1) và (1; )
( x  1)2

 đáp án D.

Câu 16. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên
A. y  x3  3x 2  2 .

?
C. y   x3 .

B. y  x3  3x 2  3x .

D. y   x3  6 x 2 .

Giải
Xét phương án A. ta có y '  3x2  6 x  0  x  (;0) (2; ) , suy ra loại A.
Xét phương án B. ta có y '  3x2  6 x  3  3( x  1)2  0, x 

 đáp án B.

Suy ra hàm số y  x3  3x 2  3x đồng biến trên

Câu 17. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên
A. y  x 4  2 x 2  3 .

và y '  0  x  1

B. y  x3  4 x  5 .

?

C. y 

x 1
.
2x  3

D. y  x 2  x  1 .

Giải
Ta chọn đáp án B vì y '  3x  4  0, x 
2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

 đáp án B.

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 5-

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 18. Hàm số y  2 x3  9 x2  12 x  4 nghịch biến trên khoảng
B. (2; ) .

A. (1; 2) .

D. (;1) .

C. (2;3) .
Giải

Ta có y '  6 x  18x  12  0; y '  0  6 x  18x  12  0  1  x  2
2

2

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)  đáp án A.
Câu 19. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và đồng biến trên khoảng (2;3) thì hàm số y  f ( x)  3
đồng biến trên khoảng nào?
A. khoảng (1;6) .

B. khoảng (5;0) .

C. khoảng (2;6) .

D. khoảng (2;3) .

Giải
Đồ thị hàm số y  f ( x)  3 được tạo ra bằng cách tịnh tiến đồ thị gốc y  f ( x) dọc theo trục Oy
lên trên 3 đợn vị, do đó hàm số y  f ( x) và y  f ( x)  3 luôn có chung khoảng đồng biến,
nghịch biến . Nghĩa là hàm số y  f ( x)  3 cũng đồng biến trên khoảng (2;3)  đáp án D.
Chú ý: Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) , nghịch biến trên khoảng (c; d ) thì hàm số
y  f ( x)  k cũng sẽ đồng biến trên khoảng (a; b) , nghịch biến trên khoảng (c; d ) .

Câu 20. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và đồng biến trên khoảng (1; 2) thì hàm số y  f ( x  1)
đồng biến trên khoảng nào?
A. khoảng (1; 2) .

C. khoảng (2;6) .

B. khoảng (0;3) .

D. (2;3) .

Giải
Đồ thị hàm số y  f ( x  1) được tạo ra bằng cách tịnh tiến đồ thị gốc y  f ( x) dọc theo trục Ox
sang phải 1 đợn vị, do đó hàm số y  f ( x  1) có khoảng đồng biến “cộng thêm vào các đầu mút
1 đơn vị” so với khoảng đồng biến của hàm số y  f ( x) .
Vậy đáp án đúng là khoảng (1  1;2  1)  (0;3)  đáp án B.
Chú ý: Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) , nghịch biến trên khoảng (c; d ) thì hàm số
y  f ( x  p) (hoặc hàm số y  f ( x  p)  k ) sẽ đồng biến trên khoảng (a

khoảng (c

p; d

p; b

p) , nghịch biến trên

p) .

Câu 21. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và đồng biến trên khoảng (3;1) và nghịch biến trên
khoảng (2;3) thì hàm số y   f ( x) đồng biến trên khoảng nào?
A. khoảng (3;1) .

C. khoảng (3; 1) .

B. khoảng (2;3) .

D. khoảng (2; 3) .

Giải
Đồ thị hàm số y  f ( x) và y   f ( x) đối xứng nhau qua trục Ox , nghĩa là nếu y  f ( x) đồng
biến trên khoảng (a; b) thì y   f ( x) sẽ nghịch biến trên khoảng (a; b) .
Do đó đáp án đúng là khoảng (2;3)  đáp án B.
Chú ý: Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) , nghịch biến trên khoảng (c; d ) thì hàm số
y   f ( x) (hoặc hàm số y   f ( x)  k ) sẽ đồng biến trên khoảng (c; d ) , nghịch biến trên khoảng (a; b) .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 6-

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 22. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và đồng biến trên khoảng (2;0) và nghịch biến trên
khoảng (1; 4) thì hàm số y   f ( x  3)  2 nghịch biến trên khoảng nào?
A. (2;0) .

B. (2;1) .

D. (5; 3) .

C. (1;3) .

Giải
Chúng ta sẽ suy luận theo sơ đồ sau: f ( x)  f ( x  3)   f ( x  3)   f ( x  3)  2
+) Từ y  f ( x)  y  f ( x  3) đồng biến trên (5; 3) và nghịch biến trên (2;1) .
+) Từ y  f ( x  3)  y   f ( x  3) đồng biến trên (2;1) và nghịch biến trên (5; 3) .
+) Từ y   f ( x  3)  y   f ( x  3)  2 đồng biến trên (2;1) và nghịch biến trên (5; 3) .
Vậy y   f ( x  3)  2 nghịch biến trên khoảng (5; ��m  1
 2


 2  m  1  đáp án D.
2  m  2 2  m  2
m  4  0

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 16-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

mx  9
nghịch biến trên khoảng  ; 2  là
xm
B. 2  m  3 .
C. 3  m  2 .
D. 3  m  3 .

Câu 52. Giá trị của m để hàm số y 
A. 3  m  3 .

Giải
Ta có y ' 

m2  9
m2  9

với

.
Khi
đó
bài
toán
y

0,

x


;
2

 0, x   ; 2  .
x


m



( x  m) 2
( x  m)2


m  2
m  2
m   ; 2 

 2


 3  m  2  đáp án C.
3  m  3 3  m  3

m  9  0

Câu 53. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x4  (2  m) x2  4  2m nghịch biến trên (1;0) .
A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  4 .

D. m  4 .

Giải
Yêu cầu bài toán  y '  4 x3  2(2  m)  0 đúng với x  (1;0) (*)
Cách 1 (Giải xuôi)
(*)  2 x( x2  m  2)  0 đúng với x  (1;0)
 x2  m  2  0 đúng với x  (1;0) (vì 2 x  0 đúng với x  (1;0) )

 m  2  x2  f ( x) đúng với x  (1;0)  m  max f ( x)  f (0)  2 hay m  2  đáp án B.
x 1;0 

Chú ý: Ở bài toán này chắc sẽ có nhiều bạn thắc mắc vì sao đề bài đang cho điều kiện (1;0) ta lại chuyển
sang điều kiện  1;0 . Câu trả lời là : “ Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng
(a; b) và liên tục tại x  a, x  b thì nó cũng sẽ đồng biến (hay nghịch biến) trên đoạn  a; b . Ở bài toán

này hàm số liên tục trên

nên liên tục tại x  a, x  b do đó hàm số cũng sẽ đồng biến trên đoạn  a; b ,

nghĩa là ta được phép thêm 2 đầu mút x  a, x  b mà không làm ảnh hưởng tới kết quả bài toán”. Vì vậy,
bài toán này ta thêm vào để dấu “=” xảy ra khi ta đi tìm max của f ( x) .
Cách 2 (Giải ngược)
Thử với m  2 , (*) có dạng: 4 x3  0 với x  (1;0) (đúng) hay m  2 thỏa mãn  loại A, C, D.
 đáp án B.

1
Câu 54. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y   x3  (m  1) x 2  (m  3) x  10 đồng biến
3
trên khoảng (0;3) .

A. m 

12
.
7

B. m 

12
.
7

C. m 

7

.
12

D. m

.

Giải
Yêu cầu bài toán  y '   x2  2(m  1) x  (m  3)  0, đúng với x  (0;3) (*)
Cách 1 (Giải xuôi)
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 17-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

(*)  (2 x  1)m  x2  2 x  3, đúng với x  (0;3)

x2  2 x  3
 f ( x), đúng với x  (0;3) (vì 2 x  1  0 với x  (0;3) )
2x  1
 m  max f ( x) .
m

x0;3

Ta có f '( x) 

2 x2  2 x  8
12
 0, x  0;3  f ( x) đồng biến trên  0;3  max f ( x)  f (3) 
2
(2 x  1)
7
x0;3

12
 đáp án A.
7
Cách 2 (Giải ngược)

hay m 

 7 12 
Thử với m  1  ;  , (*) có dạng:  x2  4  0, x  (0;3) (sai) hay m  1 không thỏa mãn
 12 7 

 loại B, C, D  đáp án A.
Câu 55. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y 

2 3
x  (2m  3) x 2  2(m2  3m) x  1
3

nghịch biến trên khoảng (1;3) .
A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Giải
Yêu cầu bài toán tương đương:
y '  2 x2  2(2m  3) x  2(m2  3m)  0, đúng với x  (1;3)
 x2  (2m  3) x  m2  3m  0, đúng với x  (1;3)
 ( x  m)( x  m  3)  0, x  (1;3)
m
 m  3  x  m, x  (1;3)  (1;3)   m  3; m  m  3  1  3  m  3  m  4 
 m  3; 4

Suy ra có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán  đáp án C.
Chú ý: Ở bài toán này việc cô lập m là không khả thi khi bậc của m có cả bậc 1 và bậc 2 (không đi theo
cụm). Nên khi đó thường đề bài sẽ cho ta nghiệm “đẹp” (phân tích được thành tích). Để biết có nghiệm
“đẹp” hay không ta chỉ cần tính  , nếu nó có dạng   u 2 (viết dưới dạng 1 số chính phương) thì lúc
này có nghiệm “đẹp”. Ở bài trên   (2m  3)2  4(m2  3m)  9  32 là một số chính phương. Hoặc trước
khi làm điều này, ta kiểm tra xem có rơi vào một trong hai trường hợp thuộc hệ quả của Vi – ét là

a  b  c  0 hoặc a  b  c  0 không, vì đề cũng hay cho vào những tình huống đặc biệt này.
Câu 56. Trong tất cả các giá trị của m để hàm số y  2 x3  3(m  1) x 2  6mx  1 đồng biến trên
khoảng (2;0) thì m  m0 là giá trị lớn nhất. Hỏi trong các số sau, đâu là số gần m0 nhất?
A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 4 .

Giải

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 18-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Yêu cầu bài toán tương đương:
y '  6 x2  6(m  1) x  6m  0, đúng với x  (2;0)
 x2  (m  1) x  m  0, đúng với x  (2;0)
 ( x  1)( x  m)  0, x  (2;0) (*)

+) Nếu m  1 , (*)  ( x  1)2  0, đúng với x  (2;0) (sai).
+) Nếu m  1 , (*)  1  x  m, đúng với x  (2;0) (vô lí).
+) Nếu m  1 , (*)  m  x  1 , đúng với x  (2;0)

 (2;0)   m;1  m  2  m  m0  2 gần 1 nhất  đáp án B.
Câu 57. Cho hàm số y   x3  3x2  3mx  1 (1), với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1)
nghịch biến trên khoảng (0; ) .
A. m  2 .

B. m  0 .

C. 1  m  1 .

D. m  1 .

Giải
Yêu cầu của bài toán  y '  3x2  6 x  3m  0 với x  (0; )
 f ( x)  x2  2 x  m  0 với x  (0; ) (*)

Cách 1: (*)  m  x  2 x  g ( x) với x  (0; )
2

m

min

x(0;)

min

x(0;)

0

g'(x)

+∞

1
0

+
+∞

0

g ( x)

g(x)

Ta có g '( x)  2 x  2 ; g ( x)  0  x  1 . Ta có bảng biến thiên:
Khi đó m 

x

1

g ( x)  1 . Vậy m  1  đáp án D.

Cách 2: Xét  '  1  m .
+) Với  '  0  1  m  0  m  1 , khi đó f ( x)  0 với x 

 (0; ) (thỏa mãn (*)).

+) Với  '  0  1  m  0  m  1 , khi đó f ( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1  1  1  m và

x2  1  1  m . Suy ra dấu của f ( x) là:

+

+
x1

x2

Do vậy f ( x)  0  x   ; x1    x2 ;   . Khi đó : (*)   0;     ; x1    x2 ;  
  0;     x2 ;    x2  0  1  1  m  0 (vô nghiệm).

Vậy m  1 là đáp số của bài toán  đáp án D.
Câu 58. Cho hàm số y   x3  (m 1) x2  (2m2  3m  2) x 1 với m là tham số thực.
Trong các điều kiện sau của m , đâu là điều kiện đầy đủ nhất để hàm số nghịch trên (2; ) ?
3
A.   m  2 .
2

B. m

.

C. m  2 .

D. m 

3
hoặc m  2 .
2

Giải
Yêu cầu bài toán  y '  3x2  2(m 1) x  2m2  3m  2  0, x  (2; )
 f ( x)  3x2  2(m 1) x  (2m2  3m  2)  0, x  (2; ) (*)
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 19-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Ta có  '  (m  1)2  3(2m2  3m  2)  7(m2  m  1)  0, m 
Suy ra f ( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 

m  . Suy ra dấu của f ( x) là:

1  m  7(m2  m  1)
1  m  7(m2  m  1)
và x2 
với
3

3

+

+
x1

Do vậy f ( x)  0  x   ; x1    x2 ;   . Khi đó :

x2

(*)   2;     ; x1    x2 ;     2;     x2 ;    x2  2 

1  m  7(m2  m  1)
2
3

7(m2  m  1)  (m  5) 2
6m2  3m  18  0
 7(m2  m  1)  m  5  

m  5  0
m  5
 3
3
  m  2
 2
   m  2  đáp án A.
2
m  5

Câu 59. Hàm số y 

2m cos x  m
đồng biến trên khoảng
4cos x  m

 3 
  ;  thì điều kiện đầy đủ của tham
2 


số m là
A. m  2 hoặc m  0 .

B. m  2 hoặc m  4 .

C. 2  m  4 .

D. 2  m  0 .

Giải

x  ;3
2






 3 
Đặt t  cos x 
 t  (1;0) . Do t  cos x đồng biến trên khoảng   ; 
2 

 3 
( có thể dùng hàm số kiểm tra: t '   sin x  0, x    ;  ).
2 


Nên yêu cầu bài toán sẽ giữ nguyên đồng biến  đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:
2mt  m
“ Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng (1;0) ”.
4t  m
Khi đó, yêu cầu bài toán tương đương: y ' 
m

t    (1;0)
(*)  

4
 2m 2  4m  0


2m 2  4m
 0 , đúng với t  (1;0) (*)
(4t  m) 2

 m

  4  1
với hoặc

 m  0
 4

m  4

 m  2  m  0
 m  2


m  0
 m  4  đáp án A.


  m  2
  m  0


Câu 60. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 

sin x  m
nghịch biến trên khoảng
sin x  m

 
 ;   là
2 

C. 0  m  1 .

A. m  0 .

B. m  0 hoặc m  1 .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. m  1 .

- Trang | 20-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giải
Cách 1 (Làm trực tiếp)
Yêu cầu bài toán tương đương: y ' 

cos x(sin x  m)  cos x(sin x  m)
2m cos x
 

 0, x   ;  

2
2
(sin x  m)
(sin x  m)
2 



  
m  0
m  (0;1)
m  sin x x   ;   


 2 




    m  1  m  0 .
2m cos x  0, x    ;  
2m  0 (do cos x  0, x   2 ;  )
m  0








2


 đáp án A.

Cách 2 (Đổi sang biến mới)
x  ; 
2


 t  (0;1) . Do

 
t  sin x nghịch biến trên khoảng  ;  
2 
 
( có thể dùng hàm số kiểm tra: t '  cos x  0, x   ;   )
2 
Nên yêu cầu bài toán sẽ chuyển đổi từ nghịch biến  đồng biến hay bài toán phát biểu lại là:
tm
“ Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng (0;1) ”.
t m
2m
Khi đó, yêu cầu bài toán tương đương: y ' 
 0 , đúng với t  (0;1) (*)
(t  m)2

Đặt t  sin x

m  0
t  m  (0;1)

(*)  
   m  1  m  0  đáp án A.
2m  0
m  0

Chú ý: Ở bài toán này Cách 2 sau khi chuyển qua biến mới thì hàm số nhìn “nhẹ nhàng” hơn và tính
toán “dễ” hơn hàm ban đầu. Nhưng muốn chuyển thành một bài toán “tương đương” với bài toán ban
đầu ta cần chú ý:
+) Cần tìm miền giá trị chính xác cho biến mới (có thể dùng chính công cụ hàm số).
+) Kiểm tra tính đồng biến, nghịch biến của hàm đổi biến (là hàm mà biến cũ là biến và biến mới là hàm).
 Nếu hàm đổi biến đồng biến thì bài toán ban đầu giữ nguyên tính đơn điệu.


Hàm cũ (với biến cũ) đồng biến chuyển về hàm mới (với biến mới) vẫn đồng biến.



Hàm cũ (với biến cũ) nghịch biến chuyển về hàm mới (với biến mới) vẫn nghịch biến .

 Nếu hàm đổi biến nghịch biến thì bài toán ban đầu đổi lại tính đơn điệu.


Hàm cũ (với biến cũ) đồng biến chuyển về hàm mới (với biến mới) đổi thành nghịch biến



Hàm cũ (với biến cũ) nghịch biến chuyển về hàm mới (với biến mới) đổi thành đồng biến.

 
Ví như ở câu hỏi trên, do hàm đổi biến t  sin x nghịch biến trên khoảng  ;   . Nên hàm số ban đầu
2 
sin x  m
tm
cần nghịch biến sẽ chuyển về hàm mới y 
thành đồng biến trên khoảng (0;1) .
y
sin x  m
t m

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 21-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 61. (Đề minh họa THPTQG – 2017). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm
số y 

tan x  2
đồng biến trên khoảng

tan x  m

A. m  0 hoặc 1  m  2 .

 
 0;  .
 4

B. m  0 .

C. 1  m  2 .

D. m  2 .

Giải

x 0; 
 4

 
Đặt t  tan x  t   0;1 . Do t  tan x đồng biến trên khoảng  0; 
 4
1
 
( có thể dùng hàm số kiểm tra: t ' 
 0, x   0;  ).
2
cos x
 4

Nên yêu cầu bài toán sẽ giữ nguyên đồng biến  đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:
t 2
“ Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y 
đồng biến trên khoảng  0;1 ”.
t m
m  2
Bài toán tương đương: y ' 
 0 , t  (0;1)
(t  m)2

m  2
m  2  0
m  0


 m  0  
 đáp án A.
m  (0;1)
1  m  2
m  1

m  sin x
nghịch biến trên
cos 2 x
5
C. m  .
D. m  2 .
4

Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 

 
 0;  .
 6

A. m  1 .

B. m 

5
.
2

Giải
x 0; 
 1
 6
 sin x 
 t  0; . Vì

 
sin x đồng biến trên  0;  nên bài toán được phát
 6
mt
biểu lại là: “ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f (t )  2
nghịch biến trên
t 1
 1
khoảng  0;  ”.
 2

Đặt t  sin x t





2

t 2  2mt  1
t 2 1
 1
 1
 0, t   0;   m 
Khi đó f '(t )  
 g (t ) với t   0;   m  min g (t )
2
2
 1
(t  1)
2t
 2
 2
t 0; 


Xét hàm g (t ) 
Ta có: g '(t ) 

2

t 1
1
 1
với t   0;  (do hàm số liên tục tại t  ).
2t
2
 2
2

t 2  1 (t  1)(t  1)
 1

 0, t   0;  , suy ra hàm số nghịch biến biến trên
2
2
2t
2t
 2

 1
 0; 
 2

5
1 5
Suy ra min g (t )  g    . Vậy m   Đáp án C.
 1
4
2 4
t 0; 

2




Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 22-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Câu 63. Cho hàm số y 

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

(m  1) x  1  2
. Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
x 1  m

đồng biến trên khoảng (17;37) .
A. m  4; 1 .

B. m  ; 6   4; 1  (2; ) .

C. m  ; 4  (2; ) .

D. m (1; 2) .
Giải

Đặt t 

x17;37 

 t  (4;6) . Do t  x  1 đồng biến trên khoảng (17;37) . Nên bài toán phát
x  1 

biểu lại là: “ Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số y 

(m  1)t  2
đồng biến trên khoảng (4;6) ”.
tm

m2  m  2
 0 , đúng với t  (4;6) (*)
Khi đó, yêu cầu bài toán tương đương: y ' 
(t  m)2
  m  4
  m  4


t  m  (4;6)
 m  6
 m  6
(*)   2



 m   ; 6   4; 1  (2; )  đáp án B.
m  m  2  0
  m  1
  m  1
  m  2
  m  2


Chú ý:
Ở bài toán này do t 

x  1 đồng biến trên khoảng (17;37) nên tính đơn điệu của hàm số ban đầu không bị

thay đổi, nhưng nếu ta thay đổi đề bài bởi hàm số y 

(m  1) 38  x  2
thì việc đặt t  38  x sẽ khiến cho
38  x  m

tính đơn điệu của hàm số ban đầu thay đổi. Vì t  38  x nghịch biến trên khoảng (17;37) nên bài toán phát
biểu lại là “ Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số y 

Câu 64. Cho hàm số y 





(m  1)t  2

nghịch biến trên khoảng (1; 21) ”.
tm





3

nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên
A. 5 .

B. vô số.

Biến đổi hàm số về: y 
Đặt t 





x2  1  x  m





2

x

x2  1

1 

x  x2  1

x 2  1  x nghịch biến trên
1

2

x 1  x
2

x2  1
.




D. 3.



x2  1  x 1 .

x  x2
x2  1

x

 0;



x x
x2  1

 0, x 

.







f '( x)



2

t  f ( x)

Suy ra t  0 .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

 1 . Có bao nhiêu giá trị

?

x 2  1  x  (m  6)

x  1  x   lim
x
x 
x
lim f ( x)  lim  x  1  x   
x
x

Ta có lim f ( x)  lim

x2  1  x

C. 2.

Giải

3

x 2  1  x  f ( x) . Ta có f '( x) 

Suy ra hàm số t  f ( x) 

m6

x2  1  x  m 2x2  2x x2  1  1 

0
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 23-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Nên yêu cầu bài toán sẽ thay đổi nghịch biến  đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:
“ Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y  t 3  mt 2  (m  6)t  1 đồng biến trên khoảng (0; ) ”.
Khi đó, bài toán tương đương: y '  3t 2  2mt  m  6  0 , đúng với t  (0; )
 m(2t  1)  3t 2  6 , đúng với t  (0; )

3t 2  6
m
 g (t ) , t  (0; )  m  min g (t ) (*)
2t  1
t(0;)
Ta có g '(t ) 

6t 2  6t  12
t 0
; g '(t )  0 
t  1 .
2
(2t  1)

m
Từ bảng biến thiên ta có: (*)  m  g (1)  3 
m  1; 2; 3  đáp án D.
*

m

Chú ý: Ở bài toán trên bước đầu ta đã biến đổi

x 1  x
2



m





x2  1  x

x 1  x
2





x 1  x
2



m





x2  1  x .

Câu 65. Cho hai hàm số f ( x)  x  m sin x và g ( x)  (m  3) x  (2m  1) cos x . Tất cả các giá trị của m
làm cho hàm số f ( x) đồng biến trên
A. m  1 .

và g ( x) nghịch biến trên

B. m  0 .

là

C. 1  m  0 .

D. 1  m 

2
.
3

Giải
 f '( x)  1  m cos x  0, x 
Điều kiện bài toán tương đương 
 g '( x)  m  3  (2m  1)sin x  0, x 

h(t )  mt  1  0, t  cos x   1;1


l (t )  (2m  1)t  m  3  0, t  sin x   1;1
m  1
h(1)  0
m  1  0
m  1
h(1)  0
m  1  0
2





 m  4  1  m   đáp án D.
3
l (1)  0
 m  4  0

2
l (1)  0
3m  2  0

m 

3

Chú ý: Trong bài toán trên ta đã dùng tính chất dấu của nhị thức bậc nhất như sau:
Cho nhị thức bậc nhất f ( x)  ax  b , khi đó :
 f ( )  0
 f ( )  0
f ( x)  0, x   ;    
; f ( x)  0, x   ;    
.
 f ( )  0
 f ( )  0

Câu 66. Cho hàm số y  a sin x  b cos x  x với a, b là các tham số thực.
Điều kiện của a, b để hàm số đồng biến trên
A. a, b 

.

B. a 2  b2  1.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

là
C. a  b 

2
.
2

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. a 2  b2  1 .

- Trang | 24-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giải
Hàm số đồng biến trên

 y '  a cos x  b sin x  1  0, x 

(*).

Ta có (a cos x  b sin x)2   a 2  b2  cos2 x  sin 2 x   a 2  b2   a 2  b2  a cos x  b sin x  a 2  b 2

 1  a 2  b2  a cos x  b sin x  1  1  a 2  b2 hay

 a cos x  b sin x  1  1 

a 2  b2 ;1  a 2  b 2  .


Khi đó (*)  1  a 2  b2  0  a 2  b2  1  a 2  b2  1  đáp án B.

Giáo viên
Nguồn

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

: Nguyễn Thanh Tùng
: Hocmai.vn

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 25-