Đáp án bài tập tự luyện Sơ đồ tư duy - Cách tiếp cận bài toán cực trị hàm số trùng phương

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

SƠ ĐỒ TƯ DUY – CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

ĐÁP ÁN
1C

2B

3C

4B

5C

6B

7D

8D

9C

10B

11C

12A 13D

14D

15A

16D

17C

18D

19B

20A

21D

22C

23B

24C

25B 26D

27B

28B

29D

30B

31C

32C

33D

34B

35B

36D

37B

38B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Hàm số y  x 4  2 x 2  8 có điểm cực tiểu là
A. x  1 .

B. x  0 .

C. x  1 và x  1 .

D. x  0 và x  1 .

Giải
Do ab  2  0 nên hàm số có 3 điểm cực trị. Mà a  1  0 suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu.
x  0
Ta có y '  4 x3  4 x  4 x.( x 2 1) ; y '  0  
 x  1 là hai điểm cực tiểu  Đáp án C.
 x  1

Câu 2. Hàm số y  x4  4 x2  2017 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Giải
Ta có ab  4  0 , suy ra hàm số có 1 cực trị  Đáp án B.
Câu 3. Trong các hàm số sau đây: y  x 4  x 2  2 ; y  x3  3x2  2 x  1 ; y 

x2
. Có bao nhiêu
x 1

hàm số có điểm cực trị?
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Giải
Hàm trùng phương luôn có cực trị (1 hoặc 3 ), còn hàm phân thức y 

ax  b
không có cực trị.
cx  d

Nên ta chỉ cần xét hàm bậc ba y  x3  3x2  2 x  1 .
Ta có: b2  3ac  (3)2  3.2  3  0 , suy ra hàm số có hai cực trị (có hai cực trị).
Vậy có 2 hàm số có cực trị  đáp án C.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 4. Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?
A. y  x 4  3x 2  2 .

B. y   x4  x2  3 .

C. y  x3  3x2  3x  1 .

D. y  2 x4  3 .

Giải
Hàm số bậc ba có số cực trị luôn là 2 hoặc 0  loại C.
Số cực trị của hàm trùng phương quyết định ở dấu ab , bài toán này ta cần ab  0 .
Xét A. y  x 4  3x 2  2 , có ab  3  0  loại A.
Xét B. y   x4  x2  3 , có ab  1  0 (thỏa mãn)  đáp án B.
Chú ý: Số cực trị của hàm trùng phương y  ax4  bx2  c (a  0)
 Có 1 cực trị  ab  0 .
 Có 3 cực trị  ab  0 .
Câu 5. Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?
A. y   x4  2 x2  3 .

B. y   x 4 .

C. y  x 4  2 x 2  3 .

D. y  x 4  x 2 .

Giải
Hàm trùng phương y  ax  bx  c có ba cực trị  ab  0  đáp án C.
4

2

Câu 6. Cho hàm số y   x4  3x 2  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
B. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
C. Hàm số có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
D. Hàm số có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
Giải
Ta có ab  3  0 hàm số có 3 cực trị  loại C, D.
Mà a  1  0 , suy ra hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu  đáp án B.
Chú ý: Hàm số trùng phương y  ax4  bx2  c ( a  0 )
 có một cực trị  ab  0 .


a  0
một cực đại và không có cực tiểu  
.
b  0

a  0
một cực tiểu và không có cực đại  
.
b  0
 có ba cực trị  ab  0 .






a  0
có hai cực đại và một cực tiểu  
.
b  0
a  0
có hai cực tiểu và một cực đại  
.
b  0

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 2-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 7. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y   x4  2 x2  3 có ba điểm cực trị.
C. Hàm số y 

x 1
có một điểm cực trị.
x2

B. Hàm số y  x3  3x  4 có hai điểm cực trị.
D. Hàm số y 

x2  x  2
có hai điểm cực trị.
x 1

Giải
Hàm phân thức không có cực trị  loại C.
Xét A. có ab  (1).(2)  2  0 , suy ra hàm số có một cực trị  loại A.
Xét B. có b2  3ac  02  3.1.3  9  0 , suy ra hàm số không có cực trị  loại B  Đáp án D.
Chú ý: Ở câu hỏi này hàm số y 

x2  2 x  2
x2  x  2
 0 có hai nghiệm phân biệt.
có hai cực trị vì y ' 
x 1
( x  1)2

Câu 8. Khi nói về đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  3 , khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có điểm chung với trục hoành.
B. Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm trục đối xứng.
C. Đồ thị hàm số có điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
Giải
Đồ thị hàm trùng phương y  x 4  2 x 2  3 luôn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng  loại B.
Phương trình x4  2 x2  3  0 vô nghiệm nên đồ thị không cắt trục hoành  loại A.

ab  2  0

 đồ thị hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu  đáp án D.
a  1  0

Ta có 

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y  (m  1) x4  m  2 đạt cực đại tại x  0 .
A. 1 .

B. 2 .

C. vô số.

D. 5 .

Giải
Cách 1:
Ta có y '  4(m  1) x3 và y ''  12(m  1) x 2 .
+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại x  0  y '(0)  0  0  0 (luôn đúng).
+) Điều kiện đủ: Ta có y ''(0)  0 , như vậy ta chưa kết luận được x  0 là cực đại của hàm số.
Để x  0 là điểm cực đại của hàm số thì y '  4(m  1) x3 đổi dấu từ “+” sang “  ” (theo chiều tăng
của biến x ), suy ra: 4(m  1)  0  m  1, nghĩa là có vô số số nguyên m thỏa mãn  đáp án C.
Cách 2:
Ta có: ab  0  hàm số có tối đa 1 cực trị (nếu a  b  0 thì hàm số không có cực trị ).
Vậy để x  0 là điểm cực đại thỏa mãn điều kiện bài toán thì :
ab  0
0  0


 m  1  0  m  1 , nghĩa là có vô số số nguyên m thỏa mãn  đáp án C.
a  0

a 2  b 2  0
(m  1) 2  0


Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 3-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 10. Gọi m  m0 là số nguyên nhỏ nhất để hàm số y  x4  (m  1) x2  3 đạt cực tiểu tại x  0 .
Trong các số sau, đâu là giá trị gần m0 nhất?
A. 3 .

B. 0 .

C. 5 .

D. 3 .

Giải
3


 y '  4 x  2(m  1) x
Cách 1: Ta có 
.
2
y
''

12
x

2(
m

1)



+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x  0  y '(0)  0  0  0 (luôn đúng).
+) Điều kiện đủ: Ta có y ''(0)  2(m  1) . Để thỏa mãn bài toán thì:


y ''(0)  0  2(m  1)  0  m  1 (1) .

 y ''(0)  0 và y ' đổi dấu từ “  ” sang “  ” (theo chiều tăng của biến x ) khi qua x  0 (*)
Ta có y ''(0)  0  m  1  y '  4 x3 thỏa mãn (*)  m  1 (2) .
Kết hợp (1) và (2)  m  1  min m  m0  1 gần 0 nhất  đáp án B.
Cách 2: Do hàm số dạng trùng phương và a  1  0 , suy ra hàm số :
 Nếu có 1 điểm cực trị thì x  0 là điểm cực tiểu.
 Nếu có 3 điểm cực trị thì x  0 là điểm cực đại.
Vậy để thỏa mãn điều kiện bài toán thì hàm số cần có một điểm cực trị

 ab  0  m 1  0  m  1 .
 min m  m0  1 gần 0 nhất  đáp án B.

 Chú ý: Ở Cách 1 nếu học sinh sử dụng hệ điều kiện  y '(0)  0  0  0

 m 1
 y '(0)  0  2(m  1)  0
 m0  2 gần 3 nhất và chọn A. Như các bạn đã thấy đó không phải là một quả chính xác.

Câu 11. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x4  2(m2  1) x2  1 có ba điểm cực trị
thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất?
A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  0 .

D. m  3 .

Giải
Ta có y '  4 x3  4(m2  1) x  4 x( x2  m2 1) .
x  0
a 10
y'  0  


 xCT   m2  1  yCT  (m2  1)2  1 .
2
 x   m  1

Do m2  1  1  (m2  1)2  1  yCT  0  max yCT  0 khi m  0  đáp án C.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 4-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x4  2mx 2  m2  m có đúng
một điểm cực trị.
A. m  0 .

B. m  0 .

C. m  0 .

D. m  0 .

Giải
Hàm số trùng phương có một điểm cực trị  ab  0  2m  0  m  0  đáp án A.
Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  mx 4  (m  1) x 2  m  2 có
một điểm cực đại.

A. m  1 hoặc m  0 .

B. 0  m  1 .

C. m  1 .

D. m  1 hoặc m  0 .

Giải
+) Với m  0 , hàm số có dạng: y   x2  2 có một điểm cực đại là x  0 (thỏa mãn) (1) .
+) Với m  0 .
Khi đó, hàm số có 1 cực đại tương đương hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu hoặc hàm số
 ab  0
 b  0
 (m  1)  0



 m  1
a  0
a  0
m  0


có 1 cực đại và 2 cực tiểu 
(2) .



 ab  0

 b  0
 (m  1)  0
m  0



 a  0
 a  0
 m  0

 m  1
Kết hợp (1) và (2) ta được 
 đáp án D.
m  0

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  mx4  (m2  2) x 2  2 có hai
điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
A. m   2 hoặc 0  m  2 .

B.  2  m  0 .

C. m  2 .

D. 0  m  2 .
Giải

Điều kiện để hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại là:

ab  0 a  0 m  0


 2
 0  m  2  đáp án D.

m

2

0
a  0
b  0

Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số y  f ( x)  ax4  bx 2  c có hai điểm cực trị là A(0;3) và B(2; 13) .
Giá trị của f (1) là
A. f (1)  4 .

B. f (1)  8 .

C. f (1)  2 .

D. f (1)  6 .

Giải
Ta có f '( x)  4ax  2bx . Do A(0;3) và B(2; 15) là hai điểm cực trị nên ta có:
3

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 5-

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

 f (0)  3
c  3
8a  b  0
a  1




 4a  b  4  b  8  f ( x)  x 4  8x 2  3
 f '(2)  0  32a  4b  0
 f (2)  15 12a  4b  c  13 c  3
c  3




 f (1)  1  8  3  4  Đáp án A.

Chú ý:
 Như bình thường với một điểm M ( x0 ; y0 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f ( x) ta sẽ “khai

 f '( x0 )  0

thác” được hai phương trình 
. Nhưng hàm trùng phương, với điểm cực trị thuộc trục
 f ( x0 )  y0
tung Oy thì dữ kiện f '( x0 )  0 luôn đúng (ở đây x0  0 và f '(0)  0  0  0 ). Do đó ta chỉ có
được 1 phương trình (ở bài toán trên ta có được 1 phương trình là f (0)  y0  3 ).
 Ở bài toán này đề bài cho biết tọa độ 2 điểm cực trị (trong khi thực tế hàm số có tới 3 cực trị) nên
việc tìm điểm cực trị thứ ba (nếu cần) là không khó khi ta biết A(0;3)  Oy thì suy ra điểm cực trị
thứ ba sẽ đối xứng với B(2; 15) qua trục Oy , hay điểm cực trị thứ ba có tọa độ C (2; 15) .
Nhưng với bài toán này, dữ kiện điểm cực trị thứ ba không cần thiết nên ta không khai thác.
Câu 16. Biết đồ thị (T ) của hàm số y  ax4  bx2  c có A(1; 4) và B(0;3) là các điểm cực trị . Hỏi
trong các điểm sau đây, đâu là điểm thuộc đồ thị (T ) ?
A. M (2;5) .

B. N (1; 4) .

C. P(3; 15) .

D. Q(2; 5) .

Giải
Ta có f '( x)  4ax  2bx . Do A(1; 4) và B(0;3) là hai điểm cực trị nên ta có:
3

 f '(1)  0 4a  2b  0
 2a  b  0
a  1





4
2
 f (1)  4  a  b  c  4  a  b  1  b  2  f ( x)   x  2 x  3 .
 f (0)  3
c  3
c  3
c  3




Chỉ có điểm Q(2; 5) thỏa mãn f (2)  5  Q  (T )  Đáp án D.
Câu 17. Đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c chỉ có một cực trị và là cực tiểu khi và chỉ khi
A. a  0 và b  0 .

B. ab  0 .

C. a  0  b hoặc a  0 và b  0 .

D. a  0  b hoặc a  0 và b  0 .
Giải

+) Với a  0  y  bx  c , để đồ thị có một cực tiểu  b  0 .
2

ab  0
a  0
+) Với a  0 , để đồ thị có một cực trị và là điểm cực tiểu thì 
.


a  0
b  0

Vậy điều kiện đầy đủ thỏa mãn bài toán là: a  0  b hoặc a  0 và b  0  Đáp án C.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 6-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 18. Tất cả các giá trị của m để hàm số y  (m2  1) x4  (m  1) x 2  3 có đúng một cực trị là
A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  1 và m  1 .

D. m  1 và m  1.

Giải
Hàm số có đúng một cực trị khi và chỉ khi

(m  1)2 (m  1)  0
(m2  1)(m  1)  0
ab  0
m  1  0 m  1


 2



 2 2
2
2
2
2
(m  1)  1  0 m  1
(
m

1)
(m  1)  (m  1)  0 
m  1
a  b  0 

 đáp án D.

 Chú ý: Trong bài toán này, có thể rất nhiều bạn sẽ mắc phải lỗi không cho điều kiện a 2  b2  0
dẫn đến kết quả không đúng. Vì với a 2  b2  0  a  b  0  y  c sẽ không có cực trị.
Vì vậy các bạn cần nhớ: Hàm số y  ax4  bx2  c với a chứa tham số
 không có cực trị  a  b  0 .

a  0
a  0
 có một cực đại và không có cực tiểu  
hoặc 
(hay viết gọn thành
b  0
b  0

a  0

).
b  0
a 2  b 2  0


a  0
a  0
 có một cực tiểu và không có cực đại  
hoặc 
(hay viết gọn thành
b  0
b  0

a  0

).
b  0
a 2  b 2  0


a  0
a  0

 có một cực đại  b  0
hoặc 
.
b

0

a 2  b 2  0

a  0
a  0

 có một cực tiểu  b  0
hoặc 
.
b

0

a 2  b 2  0


ab  0
 có một cực trị   2
.
2
a  b  0

a  0
 có hai cực đại và một cực tiểu  
.
b  0
a  0
 có hai cực tiểu và một cực đại  
.
b  0

 có ba cực trị  ab  0 .
Câu 19. (Đề Minh Họa – Bộ GD&ĐT) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị
của hàm số y  x 4  2mx 2  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

1
A. m   3 .
9

B. m  1 .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

C. m 

1
.
9

3

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. m  1 .

- Trang | 7-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giải
Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh)
Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân:
8a  b3  0  8   2m   0  2m  2  m  1  đáp án B.
3

Cách 2: (Giải thường)

x  0
Ta có y '  4 x3  4mx  4 x( x 2  m) ; y '  0   2
.
 x  m
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  0  m  0  loại C, D.
Cách 2.1: (Chiều xuôi)
x  0  y  1
y'  0  
 A(0;1), B  m ; m2  1 , C
2

 x   m  y  m  1







Suy ra AB   m ; m2 ; AC 



 



m ; m2  1 là 3 điểm cực trị.



m ; m2 . Do AB  AC nên ABC vuông tại A .

m  0
m0
Suy ra AB. AC  0  m  m4  0  m(1  m3 )  0  

 m  1  đáp án B.
 m  1

Cách 2.2: ( Chiều ngược)

Thử giá trị “đẹp” từ phương án B với m  1 , hàm số có dạng: y  x4  2 x 2  1 .

x  0  y  1
 A(0;1)
 AB  AC  2
y '  4 x3  4 x  0  


 x  1  y  0  B(1;0), C (1;0)

 AB. AC  0

 ABC vuông cân tại A (thỏa mãn)  đáp án B.
Câu 20. Biết m  m0 là số thực dương để đồ thị hàm số y  x4  8m2 x 2  3 có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Khi đó, giá trị nào sau đây gần m0 nhất?
A. 0 .

B.

3
.
2

D. 2 .

C. 3 .
Giải

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân:
3

1 mm0 0
1
8a  b3  0  8   8m2   0  8m2  2  m   
 m  gần 0 nhất  đáp án A.
2
2
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y   x4  (m  2015) x2  1 có
ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông.
A. m  2018 .

B. m  2016 .

C. m  2015 .

D. m  2017 .

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân (tam giác luôn cân):
8a  b3  0  8   m  2015  0  m  2015  2  m  2017  đáp án D.
3

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 8-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 22. Cho hàm số y  x4  2(m  2) x2  m2  m  1 . Giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có
các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân thuộc khoảng nào sau đây?
1

A.  1;  .
3


2 6
B.  ;  .
3 7

2 5
C.  ;  .
3 4

3 7
D.  ;  .
2 3

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân (tam giác luôn cân):
3
2 5
8a  b3  0  8  8  m  2   0  m  2  1  m  1  ;   đáp án C.
3 4

Câu 23. (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ
thị của hàm số y  x4  2mx2  m  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Ta có kết quả:
A. m  0 .

C. m  3 .

B. m  3 3 .

D. m  0 .

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác đều:
24a  b3  0  24   2m   0  24  8m3  0  m3  3  m  3 3  đáp án B.
3

Câu 24. Cho hàm số y  mx4  2mx 2  m . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm
số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.
A. 3 .

B. 1 .

C. 2 .

D. vô số.

Giải
Xét m  0 hàm số có dạng y  0 không có cực trị (loại).
Xét m  0 , khi đó áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác đều:
3

m0 m   3 , suy ra có 2 giá trị m
24a  b3  0  24m   2m   0  8m m2  3  0 





 đáp án C.

Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y  (2m  1) x4  x2  2  m có ba điểm cực trị
7
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn A thuộc trục tung và cos BAC   .
9
A. m  0 .
B. m  1 .
C. m  2 .

D. m  1 .

Giải

7
BAC 1  cos BAC
9  1  tan 2 BAC 
Ta có: cos 2


2
2
2

9
2
1

1
BAC
cos 2
2

1  9 1  8 .

Khi đó áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có góc BAC cho trước:
8a  b3 tan 2

BAC
 0  8(2m  1)  8  0  m  1  đáp án B.
2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 9-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 26. Cho hàm số y  x4  2mx 2  m2  m  1 . Với giá trị nào của tham số thực m thì đồ thị hàm
số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 32.
A. m  3 .

B. m  1 .

C. m  4 .

D. m  4 .

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có diện tích cho trước S0 ( S0  32 ).
32a3 S02  b5  0  32.1.322   2m   0  (2m)5  323  85  2m  8  m  4  đáp án D.
5

Câu 27. Cho hàm số y  3x4  2mx2  m  1 . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có
ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 3.
A. m  3 .

B. m  3 .

C. m  4 .

D. m  4 .

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có diện tích cho trước S0 ( S0  3 ).
32a3 S02  b5  0  32.33.32   2m   0  (2m)5  65  2m  6  m  3  đáp án B.
5

Câu 28. Cho hàm số y  x4  2mx2  m  2017 . Với giá trị nào của tham số thực m thì đồ thị hàm
số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 2 .
A. m  3 .

B. m  2 .

C. m  4 .

D. m  1 .

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có diện tích cho trước S0 ( S0  4 2 ).



32a3 S02  b5  0  32.13. 4 2



2

  2m   0  (2m)5   4   2m  4  m  2  đáp án B.
5

5

Câu 29 (THPTQG – 103– 2017 ). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y  x 4  2mx 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 .

A. m  0 .

B. m  1 .

C. 0  m  3 4 .

D. 0  m  1 .

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có diện tích cho trước S0 với 0  S0  1 (*) . Ta có:
b5
(2m)5
(*)
32a S  b  0  S  

 m5 
0  m5  1  0  m  1  đáp án D.
3
32a
32
3

2
0

5

2
0

Câu 30. Tính khoảng cách giữa các điểm cực tiểu của hàm số y  2 x4  3x2  1 .
A. 2 4 3 .

B.

4

3.

C.

3.

D. 2 3 .

Giải

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 10-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Cách 1 (dùng công thức giải nhanh)
Cách 1.1: Áp dụng công thức giải nhanh về khoảng cách m0 của hai điểm cực tiểu là





am02  2b  0  2m02  2.  3  0  m02  3  m0  4 3  đáp án B.

Cách 1.2:

 b    b  
b
Hai điểm cực tiểu B  
;   , C 
;    BC  2
2
2a
 2a 4a   2a 4a 

3 4
 3  đáp án B.
4

Cách 2
x  0
4
Ta có y '  8x  2 3x ; y '  0  2 x 4 x  3  
.
x   3  y  5


2
8
3



2



 4 3 5  4 3 5
4
Suy ra hai điểm cực tiểu B  
đáp án B.
 2 ; 8  , C  2 ; 8   BC  3 

 


Câu 31. Giá trị của tham số m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  1  m có ba điểm
cực trị A(0;1), B, C thỏa mãn BC  4 ?
A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  4 .

D. m  1 .

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh về khoảng cách m0  BC  4 của hai điểm cực tiểu ( hoặc hai
điểm cực đại): am02  2b  0  1.42  2(2m)  0  m  4  đáp án C.
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x4  2(m2  m  1) x2  2017  m
có ba điểm cực trị sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu bằng
3
1
1
A. m   .
B. m   .
C. m  .
2
2
2

3?

D. m 

3
.
2

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh về khoảng cách m0  BC  3 của hai điểm cực tiểu ( hoặc hai
điểm cực đại):
am02  2b  0  3  4(m2  m  1)  0  4m2  4m  1  0  (2m  1)2  0  m 

1
 đáp án C.

2

Câu 33. Tìm m để đồ thị hàm số y  x4  2(m2  m  1) x2  2m  3 có một điểm cực đại, hai điểm
cực tiểu và thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
1
3
3
A. m   .
B. m   .
C. m  .
2
2
2

D. m 

1
.
2

Giải
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 11-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Áp dụng công thức giải nhanh về khoảng cách m0 của hai điểm cực tiểu ( hoặc hai điểm cực
2

1 3
3

đại): am  2b  0  m  4(m  m  1)  0  m0  2 m  m  1  2  m     2.
 3.
2 4
4

2
0

2
0

2

Suy ra min m0  3 khi m 

2

1
 đáp án D.
2

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số y  x4  2(1  m2 ) x2  2m  3 có ba điểm cực trị
sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là nhỏ nhất
1
A. m  .
B. m  0 .
C. m  1 hoặc m  1 .
2

D. m  1 .

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh về khoảng cách m0 của hai điểm cực tiểu ( hoặc hai điểm cực
đại): am02  2b  0  m02  4(1  m2 )  0  m0  2 1  m2  2 .
Suy ra min m0  2 khi m  0  đáp án B.
Câu 35. Cho hàm số y   x4  2mx 2  4 có đồ thị (Cm ) . Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm
cực trị của (Cm ) đều nằm trên các hệ trục tọa độ.
A. m  0 .

B. m  2 .

C. m  0 .

D. m  0 hoặc m  2 .

Giải
Áp dụng công thức giải nhanh cho ba điểm cực trị đều nằm trên các hệ trục tọa độ:

  b2  4ac  0
4m2  16  0 m  2



 m  2  đáp án B.

m  0
ab  0
2m  0
1 4
x  (3m  1) x 2  2(m  1) . Tìm m để đồ thị (Cm ) có ba điểm cực trị tạo
4
thành một tam giác có trọng tâm trùng với gốc tọa.
1
2
2
2
1
A. m   .
B. m   .
C. m   hoặc m  .
D. m  .
4
3
3
3
3

Câu 36. Cho hàm số y 

Giải
3m  1

1
Điều kiện đồ thị hàm số có 3 cực trị là: ab  
 0  m   (*) .
4
3
 b
 b  

Áp dụng công thức 3 điểm cực trị B  
;   , A(0; c), C 
;   ta có:
 2a 4a 
 2a 4a 
A(0;2m  2) , B( 2(3m  1); 9m2  4m  1) , C ( 2(3m  1); 9m2  4m  1)

4

Suy ra G  0; 6m2  2m   là trọng tâm của ABC
3

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 12-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

4
2
1 (*)
1
 0  m   hoặc m   m   đáp án D.
3
3
3
3
Chú ý: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC (3 đỉnh A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Do G  O  6m2  2m 

y  ax4  bx2  c ) thì ta có công thức tính nhanh: b2  6ac  0 .

Câu 37. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y   x4  8mx3  3(2m  1) x 2  13 có cực đại mà
không có cực tiểu?
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Giải

x  0
y '  4 x3  24mx 2  6(2m  1) x  2 x 2 x 2  12mx  3(2m  1)   0  
2
 f ( x)  2 x  12mx  3(2m  1)  0 (*)
a10
+) Nếu (*) vô nghiệm thì y '  0 có nghiệm x  0 
 xCĐ  0 (thỏa mãn).

+) Nếu (*) có nghiệm kép x  x0  0 thì x  x0 không là cực trị của hàm số  xCĐ  0 , còn nếu (*)
có nghiệm kép x  0 thì thực chất y '  0  x3  0 , khi đó xCĐ  0 (thỏa mãn).
+) Nếu (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 thì số cực trị là 3 (có cực đại và cực tiểu – loại), nếu có 2
nghiệm phân biệt, có một nghiệm bằng 0 thì để thỏa mãn bài toán điều kiện cần là:
1
f (0)  0  m    (loại).
2
Vậy để thỏa mãn bài toán thì (*) hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép
  '  36m2  6(2m  1)  0  6m2  2m  1  0 

1 7
1  7 m
m

m  0
6
6

Suy ra có 1 số nguyên m  0 thỏa mãn  đáp án B.
Chú ý:
Nếu hàm số y  f ( x) mà f '( x)  0 có nhiều hơn 1 nghiệm không bội chẵn thì hàm số luôn có cực đại
và cực tiểu.

Câu 38. Cho hàm số trùng phương y  f ( x)

y

có đồ thị như hình bên. Tất cả các giá trị thực của
tham số m để hàm số y  f ( x)  m có 7 điểm
cực trị là
A. 3  m  1 .
B. 1  m  3 .
C. m  3 hoặc m  1 .
D. 1  m  3 .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

1

O

x

3

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 13-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giải

Ta có y  f ( x)  m  ( f ( x)  m) 2  y ' 

 f ( x)  m  . f '( x) .
( f ( x)  m)2

y

Để tìm cực trị của hàm số y  f ( x)  m , ta tìm x
thỏa mãn y '  0 hoặc y ' không xác định.

1

 f '( x)  0 (1)
.

 f ( x)  m (2)
Dựa vào đồ thị ta có (1) có 3 nghiệm là 3 điểm cực trị.

O
3

Vậy để đồ thị hàm số có 7 cực trị thì (2) có 4 nghiệm

x

y  m

khác với các điểm cực trị của hàm số y  f ( x) .
Số nghiệm của (2) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y  m .
Để (2) có 4 nghiệm thì dựa vào đồ thị ta có điều kiện: 3  m  1  1  m  3  Đáp án B.
Chú ý: x  x0 là cực trị của hàm số y  f ( x) thì f '( x0 )  0 hoặc không tồn tại f '( x0 ) .

Giáo viên
Nguồn

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

: Nguyễn Thanh Tùng
: Hocmai.vn

- Trang | 14-