Chương5 tinhdaohamtichphan

Chươ g 5
TÍNH GẦN ĐÚNG
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN


5.1. Tính gầ đú g đạo hàm: đặt vấ đề
• Đị h ghĩa đạo hàm ậ

hất:

f ( x  h)  f ( x )
f ( x )  lim
h0
h
'

• Ý ghĩa hình họ :
– f’ là hệ số góc ủa
tiếp tu ế tại
điể x

f(x+h)
f(x)

• Tính gầ đú g đạo hàm:
–h≠
– f’ là hệ số góc ủa cát tu ế

x x+h

5.1.1. Công thứ sai phân thuậ
(Forward difference)
• Xây dự g công thứ : Xét khai t iể Taylor ủa hàm f
tại lân ậ x:
2
h
f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x )h  f '' ( )
(1)
2!
Trong đó ξ thuộ đoạ [x,x+h].
Từ (1) ta có:f ' ( x )  f ( x  h)  f ( x )  f '' ( ) h
( 2)
h
2!
Coi số hạ g f’’ ξ) h/2 là sai số rút gọ , từ (2) suy ra:
f ( x  h)  f ( x )
'
f ( x) 
(3)
h

Là công thứ tính gầ đú g ĐH theo PP sai phân thuậ


CT sai phân thuậ : Phân tích sai số
• Sai số rút gọ là: f’’ ξ) h/2= O(h)
Phươ g pháp có độ chính xác ậ hất
• Sai số làm tròn: Giả sử khi tính f(x) và f(x+h) có sai số
làm tròn, công thứ tính f’:
f ( x  h)(1  1 )  f ( x)(1   2 ) f ( x  h)  f ( x) 1 f ( x  h)   2 f ( x )



h
h
h

Do | i| hỏ hơ độ chính xác ủa máy tính nên sai số
làm tròn khi tính f’ là:
 ( f ( x  h)  f ( x) )
h

• Sai số tổ g ộ g đạt tối thiểu khi:

h 


CT sai phân thuậ : Ví dụ
• Xét hàm: f(x) = sin x. Sử dụ g CT sai phân
thuậ để tính gầ đú g f’ π/3). Phân tích sai
số.
– Tính với h=10-k, k = ,…, 6
– Tìm h để có sai số hỏ hất


Kết uả
h
10-1
10-2
10-3
10-4

10-5
10-6
10-7
10-8
10-9

Đạo hà
0.455901885410761
0.495661575773687
0.499566904000770
0.499956697895820
0.499995669867026
0.499999566971887
0.499999956993236
0.499999996961265
0.500000041370186

Sai số
-0.044098114589239
-0.004338424226313
-0.000433095999230
-0.000043302104180
-0.000004330132974
-0.000000433028113
-0.000000043006764
-0.000000003038736
0.000000041370185


5.1.2. Công thứ sai phân gượ

(Backward difference)
• Xây dự g công thứ : Tươ g tự hư trong CT sai
phân thuậ ,khai t iể Taylor với x-h thay vì x+h,
ta có:
f ( x )  f ( x  h)
'
f ( x) 

h

(1)

• Sai số: Tươ g tự hư trong CT sai phân thuậ
– Độ chính xác ậ hất
– Sai số hỏ hất khi:

h 

• Bài tập: Sử dụ g CT sai phân gượ để tính gầ
đú g f’ π/3), iết f(x) = sin x


5.1.3. Công thứ sai phân trung tâm
(Central difference)
• Xây dự g công thứ : Xét khai t iể Taylor ủa
hàm f tại lân ậ x:
2
3
h
h

f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x )h  f '' ( x )  f ''' (  )
2!
3!
2
3
h
h
f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x )h  f '' ( x )  f ''' (  )
2!
3!

Trong đó ξ+ thuộ đoạ [x,x+h], ξ- thuộ đoạ [x-h,x].

Từ (1) và (2) ta có công thứ tính gầ đú g ĐH
theo PP sai phân trung tâm
f ( x  h)  f ( x  h)
f ( x) 
2h
'

(3)

(1)
( 2)


CT sai phân trung: Phân tích sai số
• Sai số rút gọ :
1 '''
 f ( )h 2 ,

6

  x  h, x  h

– CT có độ chính xác ậ 2;
– Sai số tổ g ộ g bé hất khi h =

1/3

• Bài tập: Sử dụ g PP sai phân trung tâm để tính
gầ đú g f’ π/3), iết f(x) = sin x. So sánh với
PP sai phân thuậ và sai phân gượ


So sánh sai số 3 phươ g pháp
h

10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9

Sai phâ thuậ

~10-2

~10-3
~10-4
~10-5
~10-6
~10-7
~10-8
~10-9
~10-8

Sai phâ

gược

~10-2
~10-3
~10-4
~10-5
~10-6
~10-7
~10-8
~10-9
~10-8

Sai phâ tru g tâ

~10-4
~10-6
~10-8
~10-10
~10-12

~10-11
~10-10
~10-9
~10-8


5.1.4. Tính gầ đú g đạo hàm ấp cao:
Đạo hàm ấp 2
• Xét khai t iể Taylor ủa hàm f tại lân ậ x:
2
3
4
5
h
h
h
h
f ( x  h)  f ( x)  f ' ( x)h  f '' (h)  f ''' ( x)  f '''' ( x)  f ''''' ( x)  ...(1)
2!
3!
4!
5!
2
3
4
5
h
h
h
h

f ( x  h)  f ( x)  f ' ( x)h  f '' (h)  f ''' ( x)  f '''' ( x)  f ''''' ( x)  ...(2)
2!
3!
4!
5!

Từ (1) và (2) ta có công thứ tính gầ đú g ĐH
ậ 2
f ( x  h)  2 f ( x )  f ( x  h)
f '' ( x ) 

• Sai số rút gọ :

h

2

1 ''''

f ( )h 2 ,
12

– Sai số bé hất khi h =

1/4

(3)

  x  h, x  h

5.1.5. Tính gầ đú g đạo hàm riêng
• Tươ g tự, ta có thể xây dự g các PP tính gầ
đú g đạo hàm riêng, ví dụ PP sai phân trung
tâm tính đạo hàm riêng cho hàm f(x,y) hư
sau:
f ( x, y ) f ( x  h, y )  f ( x  h, y )

2h
x
f ( x, y ) f ( x, y  h )  f ( x, y  h )

2h
y


5.2. Tính gầ đú g tích phân: đặt vấ đề
• Tính tích phân:

b

I   f ( x )dx,
a

trong đó f(x) là hàm khả tích trên đoạ [a,b]
• Ý ghĩa hình họ ủa tích phân:

f(x)

a

b


5.2.1. Tính gầ đú g tích phân:
Tổ g Riemann
• Giả sử hàm f xác đị h trên [a,b] và Δ là phép chia
đoạ [a,b] thành n đoạ đó g Ik=[xk-1,xk], k= ,…, ,
trong đó a = x0< x1<…< n-1< xn = b. Chọ n điể {ck:
k= ,…, }, ỗi điể thuộ đoạ con, ghĩa là: ck thuộ
Ik với ọi k. Tổ g
n

 f (c

k

)xk  f (c1 )x1  f (c2 )x2  ...  f (cn )xn

k 1

đượ gọi là tổ g Riemann ủa hàm f(x) tươ g ứ g với
phép chia Δ và các điể họ lọ {ck: k= ,…, }.


5.2.2. Tính gầ đú g tích phân:
Đị h ghĩa
• Tích phân xác đị h ủa hàm f(x) theo x từ a đế b là
giới hạ ủa tổ g Riemann
b

n

 f ( x)dx  lim  f (c
•

a

n 

k

k 1

Với giả thiết là giới hạ này tồ tại.
– Hàm f(x) gọi là hàm ầ tích phân
– a, b là các ậ tích phân
– [a,b] là khoả g tích phân

)xk ,


5.2.3. Tính gầ đú g tích phân:
Các tính hất ủa tích phân xác đị h
a

 f ( x )dx 0
a
b

a

a
b

b

 f ( x)dx    f ( x)dx
b

 C. f ( x)dx C. f ( x)dx
a
b

a
b

b

a

a

 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
b

c

b

a

a

c

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx,

c  a, b


5.2.4. Tính gầ đú g tích phân:
Các đị h lý
• ĐL : Nếu f là liên tụ trên [a,b] và F là nguyên hàm ủa
hàm f F’ = f thì:
b

 f ( x)dx F (b)  F (a )
a

• ĐL ĐL về giá t ị trung bình): Nếu f là liên tụ trên
[a,b] thì tồ tại số c trong đoạ [a,b] sao cho:

1
f (c) 
ba

b

 f ( x)dx
a


5.2.5. Tính gầ đú g tích phân:
Công thứ Newton-Cotes (1)
• Cách tiếp ậ đầu tiên để xây dự g công thứ tính
gầ đú g tích phân là ấp ỉ hàm f(x) trên khoả g
tích phân [a,b] ởi ột đa thứ . Trong ỗi khoả g
con ta ấp ỉ hàm f(x) ởi ột đa thứ :
pm(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + amxm
(1)
Ta có thể dễ dàng tính chính xác tích phân ủa (1)
• Đơ giả hất ta có thể thay hàm f(x) ởi đa thứ ội
suy.


Tính gầ đú g tích phân:
PP Newton-Cotes (2)
• Thay f(x) ằ g đa thứ
b


a

ội suy Lagrange ta có:

 m m xx

j


f ( xi ) dx
f ( x )dx    
 i 0 j 0 xi  x j

b
j i


b m
m
x  xj
  f ( xi )  
dx
j 0 x  x
i 0
i
j
a j i
a

(1)


Tính gầ đú g tích phân:
PP Newton-Cotes (3)
• Sai số ủa PP đượ đá h giá ởi:
b



a

a
m

1
( m 1)
 ( x  x dx
f ( x )dx   pm ( x )dx 
f
(
)

x
i)

 i 0

(
m

1
)!
a
b


 x  a, b
( 2)
b

Tính gầ đú g tích phân:
PP Newton-Cotes (4)
• Các công thứ tính gầ đú g tích phân thu đượ
theo cách tiếp ậ này trong đó sử dụ g lưới chia
cách đều trong khoả g tích phân, ghĩa là:
xi = a+i*h; i= , ,…, ; h = -a)/m,
đượ gọi là công thứ Newton-Cotes.
• Với m khác nhau, ta có các PP khác nhau
m
1
2
3

Bậc đa thức
Công thức
Tu ế tính
Hình thang
Bậ 2
Simpson 1/3
Bậ 3
Simpson 3/8

Sai số
O(h2 )
O(h4 )
O(h4 )

5.2.6. Tính gầ đú g tích phân:
Công thứ hình thang (Trapezoidal rule)
• Với n=1, đa thứ

ội suy có dạ g:

f ( b)  f ( a )
p1 ( x )  f (a ) 
( x  a)
ba
f ( b)  f ( a )


 I   f ( x )dx   p1 ( x )dx    f (a ) 
( x  a ) dx
ba

a
a
a

f ( a )  f ( b) 
b  a 
I 
(1)
2
b

b

b

• (1) gọi là công thứ hình thang tính gầ đú g tích
phân


Tính gầ đú g tích phân:
Công thứ hình thang (2)

• Sai số ủa CT hình thang:
b  a ''
f ( )h 2 ,

12

h  b  a,   a, b

• Ý ghĩa hình họ :
fb
fa

`

f(x)
a

b


5.2.7. Tính gầ đú g tích phân:

Công thứ hình thang ở ộ g (1)
fb
fa

fb

fa
f(x)

f(x)
a

b

• Ý tưở g công thứ hình thang
đoạ [a,b] để giả sai số

a

b

ở ộ g: Chia hỏ


Tính gầ đú g tích phân:
Công thứ hình thang ở ộ g (2)

• Chia đoạ [a,b] thành n khoả g ằ g nhau dùng n+1
điể : x0 = a, x1 = a + h, xn-1 = a + (n-1)*h, xn = a + n*h
trong đó h = (b-a)/n, ta có:

b

I   f ( x )dx 
a

a h


a

a 2 h

f ( x )dx 



a  nh

f ( x )dx  ... 

a h

• Áp dụ g công thứ hình thang cho

a ( n 1) h

ỗi đoạ ta có:

n 1
h


I   f (a )  2 f (a  ih )  f (b)
2
i 1


• (2) gọi là công thứ hình thang

 f ( x)dx

ở ộ g

( 2)

(1)