Tổng hợp lý thuyết và bài tập nguyên hàm có đáp án chi tiết

Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí

Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x 
được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K .
Định lí:
1) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
2) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều
có dạng F  x   C , với C là một hằng số.
Do đó F  x   C , C 

là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Ký hiệu

 f  x  dx  F  x   C .

2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

  f  x  dx   f  x  và  f '  x  dx  f  x   C

Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp  u  u  x  

 dx  x  C

 du  u  C

x



dx 

1 1
x  C    1
 1

1

u



du 

1 1
u  C    1
 1

1

 x dx  ln x  C

 u du  ln u  C

 e dx  e

 e du  e

x

x
 a dx 

x

C

ax
 C  a  0, a  1
ln a

 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

u

u
 a du 

u

C

au
 C  a  0, a  1
ln a

 sin udu   cos u  C
 cos udu  sin u  C
1

dx  tan x  C

 cos

dx   cot x  C

 sin

2

u

1
2

u

du  tan u  C

du   cot u  C

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
II. PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu

 f u  du  F u   C và u  u  x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f u  x  u '  x  dx  F u  x   C
Hệ quả: Nếu u  ax  b  a  0  thì ta có  f  ax  b  dx 

1
F  ax  b   C
a

2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì

 u  x  v '  x  dx  u  x  v  x   u '  x  v  x  dx
Hay

 udv  uv   vdu
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. F  x  

x 4 3x 2

 2x  C .
4
2

B. F  x  

x4
 3x 2  2 x  C .
3

C. F  x  

x4 x2
  2x  C .
4 2

D. F  x   3x 2  3x  C .

Hƣớng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 2.

Hàm số F  x   5x3  4 x 2  7 x  120  C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f  x   15x 2  8x  7 .
C. f  x  

B. f  x   5x 2  4 x  7 .

5 x 2 4 x3 7 x 2


.
4
3
2

D. f  x   5x 2  4 x  7 .

Hƣớng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F  x  ta được kết quả.
Câu 3.

Họ nguyên hàm của hàm số: y  x 2  3x 

1
là
x

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
x3 3
x3 3
A. F  x    x 2  ln x  C .
B. F  x    x 2  ln x  C .
3 2
3 2
3
x 3
1
C. F  x    x 2  ln x  C .
D. F  x   2 x  3  2  C .
3 2
x
Hƣớng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 4.

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 x  2 
x3 2 2
 x  2x  C .
3 3
x3 2
C. F  x   2 x  3  C .
D. F  x    x 2  2 x  C .
3 3
Hƣớng dẫn giải: f  x    x  1 x  2   x 2  3x  2 . Sử dụng bảng nguyên hàm.

A. F  x  

Câu 5.

x3 3 2
 x  2x  C .
3 2

B. F  x  

Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

2
2 3
  2 là hàm số nào?
5  2x x x

3
A. F  x    ln 5  2 x  2ln x   C .

x

B. F  x    ln 5  2 x  2ln x 

3
C.
x

3
C. F  x   ln 5  2 x  2ln x   C .
x

D. F  x    ln 5  2 x  2ln x 

3
C .
x

Hƣớng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC.
Câu 6.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 2 x
1
A.  sin 2 xdx   cos 2 x  C .
2

1
B.  sin 2 xdx  cos 2 x  C .
2

C.  sin 2 xdx  cos 2 x  C .

D.  sin 2 xdx   cos 2 x  C .

Hƣớng dẫn giải  sin 2 xdx 
Câu 7.



Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos  3x   .
6





1

A.

 f ( x)dx  3 sin  3x  6   C .

C.

 f ( x)dx   3 sin  3x  6   C .

1

Hƣớng dẫn giải:

Câu 8.

1
1
sin 2 xd (2 x)   cos 2 x  C .

2
2





1



 





B.

 f ( x).dx  sin  3x  6   C .

D.

 f ( x)dx  6 sin  3x  6   C .

1

 1









 f ( x)dx  3  cos  3x  6  d  3x  6   3 sin  3x  6   C .

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  1  tan 2

x
.
2

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
x
x
A.  f ( x)dx  2 tan  C .
B.  f ( x)dx  tan  C .

2
2
C.

1

x

 f ( x)dx  2 tan 2  C .

x

 f ( x)dx  2 tan 2  C .

D.

 x
d 
x
1
dx
x
2
Hƣớng dẫn giải: f ( x)  1  tan 2 
nên 
 2    2 tan  C .
x
x
2 cos 2 x
2

cos 2
cos 2
2
2
2

Câu 9.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

1



sin  x  
3


.

2





A.

 f ( x)dx   cot  x  3   C .

C.

 f ( x)dx  cot  x  3   C .







1



B.

 f ( x)dx   3 cot  x  3   C .

D.

 f ( x)dx  3 cot  x  3   C .



1






dx 
dx

3

 
  cot  x    C .
Hƣớng dẫn giải: 


3



sin 2  x  
sin 2  x  
3
3


Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3 x.cos x .
A.

C.



f ( x)dx 

sin 4 x

C .
4

B.



f ( x)dx 

sin 2 x
C .
2

D.

Hƣớng dẫn giải  sin 3 x.cos x.dx   sin 3 x.d (sin x) 



f ( x)dx  

sin 4 x
C .
4



f ( x)dx  

sin 2 x

C .
2

sin 4 x
C.
4

4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  e x .

 f  x  dx  e
C.  f  x  dx  e
A.

x

 e x  C .

x

 e x  C .

Hƣớng dẫn giải:

 e

x

 e x  dx  e x  e x  C .

 f  x  dx  e
D.  f  x  dx  e
B.

x

 e x  C .

x

 e x  C .

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x.32 x .
A.
C.

x



1
2
f  x  dx    .
C .
 9  ln 2  ln 9



1
2

f  x  dx    .
C .
 3  ln 2  ln 9

B.

x

D.

x



1
9
f  x  dx    .
C .
 2  ln 2  ln 9



1
2
f  x  dx    .
C .
 9  ln 2  ln 9

x

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
Hƣớng dẫn giải:  2 .3

2 x

x

x

x

1
2
2
dx     dx    .
C
9
 9  ln 2  ln 9

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x (3  e x ) là
A. F ( x)  3e x  x  C .
C. F ( x)  3e x 

B. F ( x)  3e x  e x ln e x  C .

1
C .

ex

D. F ( x)  3e x  x  C .

Hƣớng dẫn giải: F( x)   e x (3  e x )dx   (3e x  1)dx  3e x  x  C

Câu 14. Hàm số F  x   7e x  tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?


e x 
A. f  x   e x  7 
.
cos 2 x 


B. f  x   7e x 

C. f  x   7e x  tan 2 x  1 .

1 

D. f  x   7  e x 
.
cos 2 x 


1
.
cos 2 x

1
e x
x
 e (7 
)  f ( x)
Hƣớng dẫn giải: Ta có g '( x)  7e 
cos 2 x
cos 2 x
x

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  e4 x 2 .

1

2 x 1

C .

B.

 f  x  dx  e

1

4 x2

C .

D.

 f  x  dx  2

A.

 f  x  dx  2 e

C.

 f  x  dx  2 e

2 x 1

C .

1

e2 x 1  C .

2x 1  C .

1
e4 x 2 dx   e2 x 1dx  e2 x 1  C .
2
4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
1
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 
là
2x 1
Hƣớng dẫn giải:



A.

 f  x  dx 

2x 1  C .

B.

 f  x  dx  2

C.

 f  x  dx 

2x 1
C .
2

D.

 f  x  dx  2

2x 1  C .

1
1 d  2 x  1
dx  
 2x 1  C .

2
2x 1
2x 1
1
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 
.
3 x
Hƣớng dẫn giải:



 f  x  dx  2 3  x  C .
C.  f  x  dx  2 3  x  C .
A.

Hƣớng dẫn giải:



 f  x  dx   3  x  C .
D.  f  x  dx  3 3  x  C .
B.

d 3  x 
1
dx   
 2 3  x  C .
3 x
3 x

Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  1 .
A.

1

 f  x  dx  3  2x  1

2x  1  C .

B.

2

 f  x  dx  3  2x  1

2x  1  C .

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
1
1
C.  f  x  dx  
D.  f  x  dx 
2x  1  C .
2x  1  C .
3
2
Hƣớng dẫn giải: Đặt t  2 x  1  dx  tdt

t3
1
 C   2 x  1 2 x  1  C .
3
3

  2 x  1dx= t 2 dt 

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  5  3x .

2

A.

 f  x  dx   9  5  3x 

C.

 f  x  dx  9  5  3x 

2

5  3x  C .
5  3x .

Hƣớng dẫn giải: Đặt t  5  3x  dx  



5  3xdx  

2

B.

 f  x  dx   3  5  3x 

D.

 f  x  dx   3

2

5  3x .

5  3x  C .

2tdt
3

2
 5  3x  5  3x  C .
9

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x  2 .
A.
C.

3

 f  x  dx  4  x  2


f  x  dx 

3

x2 C .

2
 x  2 x  2 .
3

B.
D.

3

 f  x  dx   4  x  2


x2 C .

3

2
1

 x  2 3  C .
3

3
x  2dx   x  2  3 x  2  C
4

f  x  dx 

Hƣớng dẫn giải: Đặt t  3 x  2  dx  3t 2 dt . Khi đó



3

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 1  3x .
A.
C.

1

 f  x  dx   4 1  3x 


f  x  dx 

3

1  3x  C .

1
1  3x  3 1  3x  C .
4

3

B.

 f  x  dx   4 1  3x 

D.

f  x  dx   1  3x 



Hƣớng dẫn giải: Đặt t  3 1  3x  dx  t 2 dt . Khi đó



3

1  3xdx  



2
3

3

1  3x  C .

C .

1
1  3x  3 1  3x  C
4

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e3 x .
A.

2 e3 x
C
3



f  x  dx 



3 e3 x
f  x  dx 
C
2

B.

 f  x  dx  2

3
e3 x

C

3x2

C.

Hƣớng dẫn giải:



e3 x dx 

Câu 23. Hàm số F  x    x  1

2

5
 x  1 x  1
2
2
C. f  x    x  1 x  1
5
A. f  x  

D.



2e 2

f  x  dx 
C
3x  2

2 32x  3x  2 32x
2 e3 x
e
.
d

.
e

C

C
 
3
3
 2  3

x  1  2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

B. f  x  

5
 x  1 x  1  C
2

D. f  x    x  1 x  1  C

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
5
Hƣớng dẫn giải: F '  x    x  1 x  1
2
2
1
Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số f  x  
 1 là hàm số F  x  thỏa mãn F  1  .
3
1  3x
Khi đó F  x  là hàm số nào sau đây?

2
1  3x  3
3
2
C. F  x   x 
1  3x  1
3
Hƣớng dẫn giải

2
1  3x  3
3
2
D. F  x   4 

1  3x
3

A. F  x   x 

B. F  x   x 

1 d 1  3x 
2
 1

F  x   
 1dx   
 x  x
1  3x  C
3
3
1  3x
 1  3x 
2
2
F  1   C  3  F  x   x 
1  3x  3
3
3
a
Câu 25. Biết F ( x)  6 1  x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 
. Khi đó giá trị của a bằng
1 x
1

A. 3 .
B. 3 .
C. 6 .
D. .
6
3

Hƣớng dẫn giải: F '( x)  6 1  x 
 a  3
1 x
4.1.5. PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN





Câu 26. Tính F ( x)   x sin xdx bằng
A. F ( x)  sin x  x cos x  C .

B. F ( x)  x sin x  cos x  C .

C. F ( x)  sin x  x cos x  C .

D. F ( x)  x sin x  cos x  C .

Hƣớng dẫn giải
Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phƣơng pháp trắc nghiệm:
d
Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập

 F ( x)   f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một
dx
số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
x
sin x
+
 cos x
1
++
 sin x
0
Vậy F ( x)  sin x  x cos x  C .
Câu 27. Tính

 x ln



2

xdx . Chọn kết quả đúng:



1 2
x 2ln 2 x  2ln x  1  C .
4

1
C. x 2  2ln 2 x  2ln x  1  C .
4
Hƣớng dẫn giải
A.





1 2
x 2ln 2 x  2ln x  1  C .
2
1
D. x 2  2ln 2 x  2ln x  1  C .
2
B.

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.
Phƣơng pháp trắc nghiệm
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0 .

d
 F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
2
x
ln x
+
Nhập máy tính

2 ln x
x
ln x (chuyển

2
qua dv )
x
-

x2
2
2
từ u )
x (nhận
x

1
x
1 (chuyển

1

qua dv )
x
+
0

x2
2
x
1
(nhận
từ u )
2
x

x2
4
1
1
1
1
Do đó  x ln 2 xdx  x 2 ln 2 x  x 2 ln x  x 2  C = x 2  2ln 2 x  2ln x  1  C .
2
2
4
4
Câu 28. Tính F ( x)   x sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng:

1
x
A. F ( x)  sin 2 x  cos 2 x  C .

8
4
1
x
C. F ( x)  sin 2 x  cos 2 x  C .
4
8
Hƣớng dẫn giải:

1
x
B. F ( x)  cos 2 x  sin 2 x  C .
4
2
1
x
D. F ( x)  sin 2 x  cos 2 x  C .
4
8

1
Phƣơng pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x  sin 2 x rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm
2
từng phần.
Phƣơng pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0
d
 F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Nhập máy tính

x

Câu 29. Tính F ( x)   xe 3 dx . Chọn kết quả đúng
x

A. F ( x)  3( x  3)e 3  C
x  3 3x
e C
3
Hƣớng dẫn giải:

C. F ( x) 

x

B. F ( x)  ( x  3)e 3  C
D. F ( x) 

x  3 3x
e C
3

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.comchia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
x

Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u  x, dv  e 3 dx .
Phƣơng pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0 .

d
 F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
x
Câu 30. Tính F ( x)  
dx . Chọn kết quả đúng
cos 2 x
A. F ( x)  x tan x  ln | cos x | C .
B. F ( x)   x cot x  ln | cos x | C .
Nhập máy tính

C. F ( x)   x tan x  ln | cos x | C .

D. F ( x)   x cot x  ln | cos x | C .

Hƣớng dẫn giải:
Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u  x, dv 

1
dx
cos 2 x

Phƣơng pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0 .

d
 F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Nhập máy tính

Câu 31. Tính F ( x)   x 2 cos xdx . Chọn kết quả đúng
A. F ( x)  ( x2  2)sin x  2x cos x  C .

B. F ( x)  2 x2 sin x  x cos x  sin x  C .

C. F ( x)  x2 sin x  2 x cos x  2sin x  C .

D. F ( x)  (2 x  x2 ) cos x  x sin x  C .

Hƣớng dẫn giải:
Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần với
u  x2 ; dv  cos xdx , sau đó u1  x; dv1  sin xdx .
Phƣơng pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0

d
 F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Nhập máy tính

Câu 32. Tính F ( x)   x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng

1
1
A. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
B. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4
4
1
1
C. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
D. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4
4
Hƣớng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u  x; dv  sin 2 xdx
Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập
d
( F ( x))  f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x0 bất kỳ, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì
dx
chọn đáp án đó.
Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
Câu 33. Hàm số F ( x)  x sin x  cos x  2017 là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. f ( x)  x cos x .

B. f ( x)  x sin x .

C. f ( x)   x cos x .

D. f ( x)   x sin x .

Hƣớng dẫn giải:
Phƣơng pháp tự luận: Tính F '( x) có kết quả trùng với đáp án chọn.
Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0

d
 F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
1  ln( x  1)
Câu 34. Tính 
dx . Khẳng định nào sau đây là sai?
x2
1  ln( x  1)
x
1  ln( x  1)
x
A.
B. 
 ln
C
 ln
C
x
x 1
x
x 1

Nhập máy tính

x 1
1  ln( x  1)
D. 
 ln x  1  ln x  C
1  ln( x  1)   ln | x | C
x
x
Hƣớng dẫn giải:
Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
1
1
u  1  ln( x  1); dv   2 dx hoặc biến đổi rồi đặt u  ln( x  1); dv   2 dx .
x
x
Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa.
4.1.6. ÔN TẬP
Câu 35. Hãy chọn mệnh đề đúng
C. 

A.  a x dx 

ax
 C  0  a  1 .
ln a

C.  f ( x).g ( x)dx   f ( x)dx. g( x)dx .

B.  x dx 

D. 

x 1
 C ,   R .
 1

f ( x)
 f ( x)dx .
dx 
g ( x)
 g( x)dx

Hƣớng dẫn giải: A đúng. B sai vì thiếu điều kiện   1; C, D sai vì không có tính chất.
Câu 36. Mệnh đề nào sau đây sai?
1
A.  sin xdx  cos x  C .
B.  dx  ln x  C , x  0 .
x
ax
 C , (0  a  1) .
D.  a dx 
ln a
x

C.  e x dx  e x  C .

Hƣớng dẫn giải:  sin xdx   cos x  C
Câu 37. Hàm số f ( x)  x3  x 2  3 

1

có nguyên hàm là
x

x 4 x3
  3x  ln x  C .
4 3
1
C. F ( x)  3x 2  2 x  2  C .
x

A. F ( x) 

B. F ( x)  x 4 

x3
 3x  ln x  C .
3

D. F ( x)  x 4  x3  3x  ln x  C .

1
x 4 x3
Hƣớng dẫn giải: F ( x)   ( x3  x 2  3  )dx    3x  ln x  C
x
4 3
2
Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan x là

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày

Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
A. F  x   tan x  x  C .
B. F  x    tan x  x  C .
C. F  x   tan x  x  C .

D. F  x    tan x  x  C .


 1 dx  tan x  x  C
x 
Câu 39. Hàm số F ( x)  7sin x  cos x  1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Hƣớng dẫn giải:



1

 f ( x)dx    cos

2

A. f  x   sin x  7 cos x .

B. f  x    sin x  7 cos x .

C. f  x   sin x  7 cos x .

D. f  x    sin x  7 cos x .

Hƣớng dẫn giải: F '( x)  7cos x  sin x

1
dx là
x cos 2 x
A. tan x  cot x  C .
B. cot 2x  C .
C. tan 2x  x  C .
D.  tan x  cot x  C .
1
1 
 1
Hƣớng dẫn giải:  2
dx   
 2  dx  tan x  cot x  C
2
2
sin x cos x
 cos x sin x 

Câu 40. Kết quả tính

 sin

2

Câu 41. Hàm số F ( x)  3x 2 

1
1

 2  1 có một nguyên hàm là
x x

1
A. f ( x)  x3  2 x   x .
x
1
C. f ( x)  x3  2 x  .
x
Hƣớng dẫn giải: Ta có

1
B. f ( x)  x3  x   x .
x
1
1
x  x.
D. f ( x)  x3 
2
x


 F ( x)dx    3x

2



1
1

1

 2  1dx  x3  2 x  2  x  C
x
x x


cos x
có một nguyên hàm F ( x) bằng
sin 5 x
1
1
4
4
A. 
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
4
4sin x
4sin x
sin x
sin 4 x
cos x

1
1
C
Hƣớng dẫn giải:  f ( x)dx   5 dx   5 d (sin x)  
sin x
sin x
4sin 4 x

Câu 42. Hàm số f ( x) 

Câu 43. Kết quả tính  2 x 5  4 x 2 dx bằng
A. 
C.

1
6

1
6

5  4x 

2 3

5  4x 

2 3

3
5  4 x2   C .


8
3
1
5  4 x2   C .
D. 

12

C .

B. 

C.

Hƣớng dẫn giải: Đặt t  5  4 x 2  tdt  4 xdx
1
1
1
Ta có  2 x 5  4 x 2 dx    t 2 dt   t 3  C  
2
6
6

5  4x 

2 3

C

Câu 44. Kết quả  esin x cos xdx bằng
A. esin x  C .

B. cos x.esin x  C .

C. ecos x  C .

D. e sin x  C .

Hƣớng dẫn giải: Ta có  esin x cos xdx   esin x d (sin x) esin x  C
Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
Câu 45. Tính  tan xdx bằng
A.  ln cos x  C .

B. ln cos x  C .

Hƣớng dẫn giải: Ta có  tan xdx  

C.

1
C.
cos 2 x

D.

1

C.
cos 2 x

D.

1
C .
sin 2 x

1
d (cos x)   ln cos x  C
cos x

Câu 46. Tính  cot xdx bằng
A. ln sin x  C .

B.  ln sin x  C .

Hƣớng dẫn giải: Ta có  cot xdx  
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y 

C.

1
C .
sin 2 x

1
d (sin x)  ln sin x  C
sin x

x3
là
x 1

A.

1 3 1 2
x  x  x  ln x  1  C .
3
2

B.

1 3 1 2
x  x  x  ln x  1  C .
3
2

C.

1 3 1 2
x  x  x  ln x  1  C .
6
2

D.

1 3 1 2
x  x  x  ln x  1  C .

3
4

Hƣớng dẫn giải: Ta có

x3
1
 x2  x  1 
. Sử dụng bảng nguyên hàm suy ra đáp án.
x 1
x 1

x2  2 x  3
Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f  x  
là
x 1
A.

x2
 3x  6 ln x  1 .
2

B.

x2
 3x  6 ln x  1 .
2

C.

x2
 3x  6 ln x  1 .
2

D.

x2
 3x  6ln  x  1 .
2

Hƣớng dẫn giải: f  x  
Câu 49.

Kết quả tính

x2  2 x  3
6
 x 3
. Sử dụng bảng nguyên hàm.
x 1
x 1

1

 x  x  3 dx bằng

A.

1
x

ln
C.
3 x3

1
x
C .
B.  ln
3 x3

C.

2 x3
ln
C .
3
x

D.

Hƣớng dẫn giải:

Câu 50. Kết quả tính

1

2
x
ln
C .

3 x3

1
1 1
1 
  
 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x  x  3 3  x x  3 

 x  x  3 dx

bằng

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
1 x 3
1 x3
A. ln
B. ln
C.
C.
3
x
3
x
C.

1

x
ln
C.
3 x3

Hƣớng dẫn giải:

D.

1
1 1
1
 
  . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x  x  3 3  x  3 x 

Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f  x  

1
là
x  x2
2

1 x 1
A. F  x   ln
C .
3 x2
C. F  x   ln

1

x
ln
C .
3 x 3

1 x2
B. F  x   ln
C .
3 x 1

x 1
C.
x2

Hƣớng dẫn giải: f  x  

D. F  x   ln x 2  x  2  C .

1
1 1
1 
 

 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x  x  2 3  x 1 x  2 
2

 1 x 
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   
 là

 x 
2

1
A. F  x     2ln x  x  C .
x
1
C. F  x    2ln x  x  C .
x

1
B. F  x     2ln x  x  C .
x
1
D. F  x     2ln x  x  C .
x

2
1 2
 1 x  1 2x  x
Hƣớng dẫn giải: f  x   

 2   1 . Sử dụng bảng nguyên hàm.

2
x
x
x
 x 
2

Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f  x  

1
với a  0 là
x  a2
2

A.

1
xa
ln
C .
2a x  a

B.

1
xa
ln
C .
2a x  a

C.

1 xa
ln
C .
a xa

D.

1 xa
ln
C .
a xa

Hƣớng dẫn giải:

1
1  1
1 



 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
2
x a
2a  x  a x  a 
2

Câu 54. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
trình F  x   x có nghiệm là
A. x  1  3 .

B. x  1 .

x
8  x2

thoả mãn F  2   0 . Khi đó phương

C. x  1 .

D. x  0 .

Hƣớng dẫn giải: Đặt t  8  x 2  t 2  8  x 2  tdt  xdx
Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
x
tdt
2
 8  x2 dx   t  t  C   8  x  C .
Vì F  2   0 nên C  2 . Ta có phương trình  8  x 2  2  x  x  1  3
Câu 55. Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A. ln 2  1 .

B. ln

3
.
2

C. ln 2 .

1

 x  1 dx  ln x  1  C ,

Hƣớng dẫn giải:

1
và F  2   1 thì F  3 bằng
x 1
D.

1
.
2

vì F  2   1 nên C  1 . F  x   ln x  1  1, thay

x  3 ta có đáp án.

Câu 56. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln 2 x  1.
của F 2  e  là
A.

8
.
9

B.

1
.
9

C.

Hƣớng dẫn giải: Đặt t  ln 2 x  1  tdt 



ln 2 x  1.

3

ln x
t
dx   t 2 dt 
x
3


C 

ln x
1
thoả mãn F 1  . Giá trị
x
3

8
.
3

D.

1
.
3

ln x
dx
x

ln 2 x  1
3

  C . Vì F 1  1 nên C  0
3

3

8
Vậy F 2  e   .
9
Câu 57. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 
A.  cot x  x 2 

2
16

1
 
thỏa mãn F    1 là

2
sin x
4

.

C.  cot x  x2 .

B. cot x  x 2 
D. cot x  x 2 

2
16

2
16

.

.

2
1 

 
Hƣớng dẫn giải:   2 x  2 dx  x 2  cot x  C . F    1 nên C  
.
16
sin x 


4
4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC.
Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos2 x.sin x .
A.



cos3 x
f ( x)dx  
C .
3

B.



cos3 x
f ( x)dx 
C .
3

C.



f ( x)dx  

sin 2 x
C .
2

D.



f ( x)dx 

sin 2 x
C .
2

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
cos3 x
Hƣớng dẫn giải:  cos 2 x sin xdx    cos 2 xd (cos x)  
C
3
Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

sin 2 x
.
cos 2 x  1

A.

 f ( x)dx   ln sin x  C .

B.

 f ( x)dx  ln cos 2x 1  C .

C.

 f ( x)dx  ln sin 2 x  C .

D.

 f ( x)dx  ln sin x  C .

Hƣớng dẫn giải
d  sin x 
sin 2 xdx
2sin x cos x
cos x

dx


dx


 cos 2 x 1  1  2sin 2 x  1
 sin x
 sin x   ln sin x  C

Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin x.cos 2 x.dx .
A.

C.

2cos3 x
 cos x  C .
3



f ( x)dx 



cos3 x
f ( x)dx 
 cos x  C .
3

1

1

1

1

B.

 f ( x)dx  6 cos 3x  2 sin x  C .

D.

 f ( x)dx  6 cos 3x  2 sin x  C .

Hƣớng dẫn giải
2
2
 sin x.cos 2 xdx    2cos x 1 sin xdx    2cos x 1 d  cos x  

2cos3 x
 cos x  C
3

Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2sin x.cos3x .

1

1

1

1

A.

 f ( x)dx  2 cos 2 x  4 cos 4 x  C .

B.

 f ( x)dx  2 cos 2 x  4 cos 4 x  C .

C.

 f ( x)dx  2cos

D.

 f ( x)dx  3cos

4

x  3cos2 x  C .

4

x  3cos2 x  C .

1
1
Hƣớng dẫn giải:  2sin x.cos3xdx    sin 4 x  sin 2 x  dx  cos 2 x  cos 4 x  C .
2
4
Câu 62. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3 x.sin 3x .

3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 

 x
C .
2
4  8

6 

A.

 f ( x)dx  8 

B.

 f ( x)dx  8 

C.

 f ( x)dx  8 

D.

 f ( x)dx  8 

3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 

 x
C .
2
4  8
6 
1  sin 2 x sin 4 x  3 
sin 6 x 

 x

C .
2
4  8
6 
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 

 x
C .
2
4  8
6 

Hƣớng dẫn giải
Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
3sin x  sin 3x
3
.sin 3 xdx
 sin x.sin 3xdx  
4
3
1
3
1
  2sin x.sin 3xdx   2sin 2 3 xdx    cos 2 x  cos 4 x  dx   1  cos 6 x  dx
8
8

8
8
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
 

 x
C
8 2
4  8
6 
Câu 63. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin3 x.cos3x  cos3 x.sin 3x .

3

A.

 f ( x)dx  16 cos 4 x  C .

C.

 f ( x)dx  16 sin 4 x  C .

3

3

B.

 f ( x)dx  16 cos 4 x  C .

D.

 f ( x)dx  16 sin 4 x  C .

3

Hƣớng dẫn giải:

 sin

3

cos 3x  3cos x
 3sin x  sin 3x

.cos 3x 
.sin 3x  dx
x.cos3x  cos3 x.sin 3x  .dx   
4
4



3
3

   sin x.cos 3x  sin 3x.cos 3x  sin 3x.cos x  sin 3 x.cos 3 x  dx
4
4


3
3
3
   sin x.cos3x  sin 3x.cos x  dx   sin 4 xdx  cos 4 x  C
4
4
16
Câu 64. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x)  sin 2

x
  
biết F    .
2
2 4

A. F  x  

x sin x 1

 .
2
2
2

B. F  x  

x sin x 3

 .

2
2
2

C. F  x  

x sin x 1

 .
2
2
2

D. F  x  

x sin x 5

 .
2
2
2

Hƣớng dẫn giải
x
1
x 1
 F ( x)   sin 2 dx   1  cos x  dx   sin x  C
2
2
2 2

 1 

1
  
 F      sin  C   C 
4 2
2
4
2
2 4
4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.


e x 
Câu 65. Hàm số f ( x)  e x  ln 2  2  có họ nguyên hàm là
sin x 

A. F  x   e x ln 2  cot x  C .

B. F  x   e x ln 2  cot x  C .

1
1
C .
C .
D. F  x   e x ln 2 
2
cos x
cos 2 x
1 


Hƣớng dẫn giải:  f ( x)dx    e x ln 2  2 dx  e x ln 2  cot x  C
sin x 

C. F  x   e x ln 2 

Câu 66. Hàm số f ( x)  3x  2x.3x có nguyên hàm bằng
Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
3x
6x
A.
B. 3x ln 3(1  2x ln 2)  C .

C.
ln 3 ln 6
C.

3x 3x.2 x

C .
ln 3 ln 6

Hƣớng dẫn giải:



D.

3x
6x

C.
ln 3 ln 3.ln 2

3x
6x
f ( x)dx    3  6 dx 

C
ln 3 ln 6
x

x

Câu 67. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x)  (e x  e x )2 thỏa mãn điều kiện F (0)  1 là

1
1
A. F ( x)   e2 x  e2 x  2 x  1 .
B. F ( x)  2e2 x  2e2 x  2 x  1 .
2
2
1
1
1
1
C. F ( x)   e2 x  e2 x  2 x .

D. F ( x)   e2 x  e2 x  2 x  1 .
2
2
2
2
1
1
Hƣớng dẫn giải: Ta có F ( x)   e2 x  e2 x  2 x  C , F (0)  1  C  1
2
2
Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

2x 1
.
x 1

A. F  x   2 x  3ln x  1  C .

B. F  x   2 x  3ln x  1  C .

C. F  x   2 x  ln x  1  C .

D. F  x   2 x+ ln x  1  C .

Hƣớng dẫn giải:



2x 1
3 


dx    2 
 dx  2 x  3ln x  1  C
x 1
x 1 


Câu 69. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A. F  x  

2 x2  2 x  3
.
2x 1

1
5
2
 2 x  1  ln 2 x  1  C .
8
4

C. F  x    2 x  1  ln 2 x  1  C .

B. F  x  

1
2
 2 x  1  5ln 2 x  1  C .
8

D. F  x    2 x  1  ln 2 x  1  C .

2

2

Hƣớng dẫn giải:

 2x 1

2 x2  2 x  3
5
1
5
2
dx



 2x 1
  2 2  2 x  1  dx  8  2 x  1  4 ln 2 x  1  C


Câu 70. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A. F  x  

x3  x
.
x2  1

x2
 ln  x 2  1  C .
2

B. F  x  

C. F  x   x 2  ln  x 2  1  C .

x2
 ln  x 2  1  C .
2

D. F  x   x 2  ln  x 2  1  C .

d  x 2  1 x 2
x3  x
2x 
x2

dx    x  2  dx   
  ln  x 2  1  C
Hƣớng dẫn giải:  2
2
x 1
x 1 
2
x 1
2

Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

A. F  x   ln ln x  1  C .

1
.
x ln x  x
B. F  x   ln ln x  1  C .

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
C. F  x   ln x  1  C .
D. F  x   ln x  1  C .
Hƣớng dẫn giải:

d  ln x  1
1
dx

 x  ln x  1   ln x  1  ln ln x  1  C

Câu 72. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

e2 x
.
ex  1

A. F  x   e x  ln  e x  1  C .

B. F  x   e x  ln  e x  1  C .

C. F  x   ln  e x  1  C .

D. F  x   e2x  e x  C .

Hƣớng dẫn giải:

d  e x  1
 x
e2 x
ex 
x
x
x
dx

e

dx

e

 e x  1   e x  1 
 e x  1  e  ln  e  1  C

4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
1
.
x 1

Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

 f  x  dx  2 x  2ln 1  x   C .
C.  f  x  dx  ln 1  x   C .

 f  x  dx  2 x  2ln 1  x   C .
D.  f  x  dx  2  2ln 1  x   C .

A.

B.

Hƣớng dẫn giải
Đặt t  1  x  x   t  1  dx  2  t  1 dt .
2

Khi đó

2



1

 1

x

dx  

2  t  1 dt
 1
 2 1   dt  2  t  ln t   C1
t
 t







x  1  ln 1  x  C1  2 x  2ln 1  x  C . (Với C  2  C1 và 1  x  0 )
x2
.
x 1

Câu 74. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

2

A.

 f  x  dx  3  x  4

x 1  C .

B.

 f  x  dx   x  4

C.

 f  x  dx  2  x  1

x

C .

D.

 f  x  dx 

Hƣớng dẫn giải:



x 1

x 1  C .

x 1 

1
C .
x 1

x2
1 
2


dx    x  1 
 d  x  1  3  x  4  x  1  C
x 1
x 1 


Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

2x 1
.
1 x

2

1 x  C .

B.

 f  x  dx  3  2 x  1

2

1 x  C .

D.

 f  x  dx  2

A.

 f  x  dx   3  2x  1

C.

 f  x  dx   3  2x  1

2

1 x 

1 x  C .
1
C .
1 x

Hƣớng dẫn giải

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
2x 1
1 

 1  x dx    2 1  x  1  x  d 1  x 
3
1
2
2

 1  x  2  2 1  x  2  C    2 x  1 1  x  C
3
3
x
Câu 76. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 
.
3x 2  2
1
1
A.  f  x  dx 
B.  f  x  dx   3x 2  2  C .
3x 2  2  C .
3
3
1
2
C.  f  x  dx 
D.  f  x  dx 
3x 2  2  C .
3x 2  2  C .
6
3
2
1 d  3x  2  1
dx  

3x 2  2  C
2
2
6

3
3x  2
3x  2

x



Hƣớng dẫn giải:

Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A.

 f  x  dx   3  x

C.

 f  x  dx   3

1

1

2

x3
4  x2

 8 4  x 2  C .

4  x2  C .

.
B.

 f  x  dx  3  x

D.

 f  x  dx   3  x

1

2

 8 4  x 2  C .

2

2

 8 4  x 2  C .

Hƣớng dẫn giải: Đặt t  4  x 2  x 2  4  t 2  xdx  tdt . Khi đó



x3
4  x2

 4  t   tdt  
2

dx  



t

4  x2

 4

t3
 t  4 dt  3  4t  C
2

3

1 2
x  8 4  x 2  C

3
3
4.1.5. PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN


4  x2  C  

Câu 78. Tính F  x    (2 x  1)e1 x dx  e1 x ( Ax  B)  C . Giá trị của biểu thức A  B bằng:

A. 3 .
B. 3 .
C. 0 .
Hƣớng dẫn giải:
Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
2x 1
+
e1 x
+2
e1 x
+
0
e1 x

D. 5 .

Do đó F ( x)  (2 x  1)e1 x  2e1 x  C  e1 x (2 x  1)  C .
Vậy A  B  3 .
Câu 79. Tính F ( x)   e x cos xdx  e x ( A cos x  B sin x)  C . Giá trị của biểu thức A  B bằng
A. 1 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 2 .
Hƣớng dẫn giải:
Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
x

cos x
+
e
+Truy cập website www.dethithptquocgia.com
tải tài liệu mới mỗi ngày
+


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
sin x
ex
x
+
 cos x
e
+
1
Do đó F ( x)  e x sin x  e x cos x  F ( x)  C1 hay F ( x)  e x sin x  e x cos x  C .
2
Vậy A  B  1.





Câu 80. Tính F ( x)   2 x(3x  2)6 dx  A(3x  2)8  Bx(3x  2)7  C . Giá trị của biểu thức 12 A  11B là
B. 1 .

A. 1 .

C.

12
.
11

D. 

12
.
11

Hƣớng dẫn giải:
Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
2x
(3x  2)6
+
2
0
Do đó F ( x) 

1
(3x  2)7
21
1
(3x  2)8
504

+
+

2
1
x(3x  2)7 
(3x  2)8  C . Vậy 12 A  11B  1 .
21
252

Câu 81. Tính F ( x)   x2 x  1dx  ax 2 ( x  1) x  1  bx( x  1)2 x  1  c( x  1)3 x 1  C . Giá trị của
biểu thức a  b  c bằng:
2
A.
7
Hƣớng dẫn giải:
Phƣơng pháp tự luận:

B.

2
7

C.

142
105

D.

142
105

Đặt u  x2 , dv  x  1dx ta được

F ( x)   x 2 x  1dx 

2 2
8
16
x ( x  1) x  1  x( x  1) 2 x  1 
( x  1)3 x  1  C
3
15
105

82
.
105
Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v
Vậy a  b  c 

x2

+
-

3
2

( x  1) 2
3

+

5
4
( x  1) 2
15

2x

2
0

F ( x)   x 2 x  1dx 

( x  1)

1
2

7
8
( x  1) 2
105

2 2
8
16

x ( x  1) x  1  x( x  1) 2 x  1 
( x  1)3 x  1  C
3
15
105

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
2
Vậy a  b  c  .
7





Câu 82. Tính F  x    ln x  1  x 2 dx . Chọn kết quả đúng:


C. F ( x)  x ln  x 


1 x  

A. F ( x)  x ln x  1  x 2  1  x 2  C .
2

1

B. F ( x) 

1  x2

C.



1  x2  C .



D. F ( x)  ln x  1  x 2  x 1  x 2  C .

Hƣớng dẫn giải
Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với





u  ln x  1  x 2 ; dv  dx

Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v



ln x  1  x 2



1

+

1
1  x2
1
(Chuyển
qua dv )
1  x2

x

x
1  x2

1

(Nhận
-

0

1
1  x2

từ u )

1  x2

Câu 83. Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x)  x3e x và đồ thị hàm số f ( x) đi qua gốc tọa độ O . Chọn kết
2

quả đúng:

1 2 x2 1 x2 1
xe  e  .
2
2
2
2
1
1 2 1
C. f ( x)  x 2e x  e x  .
2
2
2
Hƣớng dẫn giải:

1 2 x2 1 x2 1
xe  e  .
2
2
2
2
1

1 2 1
D. f ( x)  x 2e x  e x  .
2
2
2

A. f ( x) 

B. f ( x) 

Phƣơng pháp tự luận: Đặt

u  x 2 , dv  xe x

2

chọn

1 2
du  2 xdx, v  e x
2

1 2 x2 1 x2
1
x e  e  C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C  .
2
2
2
Phƣơng pháp trắc nghiệm:
u và đạo hàm của u

dv và nguyên hàm của v
f ( x) 

x2

+
2 x (chuyển 2 x qua dv )

xe x
1 x2
e
2

1

xe x (nhận 2 x từ u )

2

2

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày

ta được


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
0
1 x2
e

2
2
1
1 2
1
f ( x)  x 2e x  e x  C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C  .
2
2
2
Câu 84. Tính F ( x)   x 2  1dx bằng:

1
1
1
1
B. F  x   x x 2  1  ln x  x 2  1  C .
x x 2  1  ln x  x 2  1  C .
2
2
2
2
1
1
1
1
C. F  x   x x 2  1  ln x  x 2  1  C .
D. F  x   x x 2  1  ln x  x 2  1  C .
2
2
2

2
Hƣớng dẫn giải:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0
A. F  x  

d
 F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Nhập máy tính

Cách 2: Đặt u  x 2  1, dv  dx ta được F ( x)  x x 2  1  F ( x)  J ( x)
với J ( x)  
Vậy F ( x) 

dx
x 1
1

, bằng cách đặt u  x  x 2  1 ta được J ( x)  ln x  x 2  1  C

1
1
x x 2  1  ln x  x 2  1  C .
2
2

4.1.6. ÔN TẬP
Câu 85. Kết quả của  sin 2 x cos xdx bằng

1
A. sin 3 x  C .
3

1
C.  sin 3 x  C .
D.  sin 3 x  C .
3
1
Hƣớng dẫn giải: Ta có  sin 2 x cos xdx   sin 2 xd (sin x)   sin 3 x  C .
3
B. sin 3 x  C .

Câu 86. Tính  cos 2 x sin xdx bằng

1
A.  cos3 x  C .
3

1
cos3 x  C .
D. cos3 x  C .
3
1
Hƣớng dẫn giải: Ta có  cos 2 x sin xdx   cos 2 xd (cos x)   cos3 x  C .
3
B.  cos3 x  C .

C.

Câu 87. Kết quả của  sin 3 xdx bằng
A.

co s3 x
 cos x  C .
3

C. 3sin 2 x.cos x  C .

B. 
D.

cos3 x
 cos x  C .
3

co s3 x
 cos x  C .
6

1
Hƣớng dẫn giải:  sin 3 xdx   (1  cos 2 x)sin xdx   (1  cos 2 x)d (cos x)  cos3 x  cos x  C .
3
Câu 88. Kết quả của  cos3 xdx bằng
A. sin x 

sin 3 x
C .
3

B. sin x 

sin 3 x
C .
3

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia s ẻ đề thi và tài li ệu trắc nghi ệm miễn phí
sin 3 x
C. 3sin 2 x.cos x  C .
D.  sin x 
C .
3
1
Hƣớng dẫn giải:  cos3 xdx   (1  sin 2 x) cos xdx   (1  sin 2 x) d (sin x)  sin x  sin 3 x  C .
3
Câu 89. Kết quả của  sin 4 x cos xdx bằng

1
A. sin 5 x  C .
5

1
B.  sin 5 x  C .
5

C. sin 5 x  C .

D.  sin 5 x  C .

1
Hƣớng dẫn giải: Ta có  sin 4 x cos xdx   sin 4 xd (sin x)  sin 5 x  C .
5
e tan x
Câu 90. Tính 
dx bằng
cos 2 x
A. etan x  C .

Hƣớng dẫn giải:
Câu 91. Tính



B. tan x.etan x  C .

C. e tan x  C .

D. etan x  C .

e tan x
tan x
tan x
 cos2 xdx   e d (tan x)  e  C .

1
dx bằng:
x cos 2 x

A. 2 tan x  C .
Hƣớng dẫn giải:

B. tan x  C .



C. tan 2 x  C .

1
D. tan x  C .
2

1
1
dx  2
d ( x )  2 tan x  C .
2
x cos x
cos 2 x

3x 2
Câu 92. Tính  3 dx bằng
x 1
A. ln x3  1  C .
Hƣớng dẫn giải:
Câu 93. Tính

B.

4 x3
C .
x4  4x

C. ln( x3  1)  C .

D.

x3
C .
x4  x

3x 2
1
3
3
 x3  1dx   x3  1 d ( x  1)  ln x  1  C .

6 x 2  12 x
 x3  3x2  6dx bằng

A. 2ln x3  3x 2  6  C .

B. ln x3  3x 2  6  C .

1
C. ln x3  3x 2  6  C .
2

D. 2ln( x3  3x 2  6)  C .

Hƣớng dẫn giải:

6 x 2  12 x
1
3
2
3
2
 x3  3x2  6dx  2 x3  3x2  6d ( x  3x  6)  2ln x  3x  6  C .

4 x3  2 x
dx bằng
Câu 94. Tính  4
x  x2  3

A.. ln x 4  x 2  3  C .

B. 2ln x 4  x 2  3  C .

1
C. ln x 4  x 2  3  C .
2

D. 2ln( x4  x 2  3)  C .

4 x3  2 x
1
dx   4

d ( x 4  x 2  3)  ln x 4  x 2  3  C .
Hƣớng dẫn giải:  4
2
2
x  x 3
x  x 3

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
x2  1
Câu 95. Tính  3
dx bằng
x  3x  1
1
A. ln x3  3x  1  C .
B. ln x3  3x  1  C .
3
1
C. ln x3  3x  1  C .
D. ln( x3  3x  1)  C .
3
Hƣớng dẫn giải:

x2  1
1
1
1
3

3
 x3  3x  1dx  3  x3  3x 1d ( x  3x  1)  3 ln x  3x  1  C .

Câu 96. Tính  e6 x 5 dx bằng
A.

1 6 x 5
e
C .
6

B. e6 x 5  C .

Hƣớng dẫn giải:  e6 x 5 dx 

C. 6e6 x5  C .

D. e6 x 5  C .

1 6 x 5
1
e d (6 x  5)  e6 x 5  C .

6
6

Câu 97. Tính  e x 5 dx bằng
A. e x 5  C .

B. e x5  C .

C. e x 5  C .

D. e x5  C .

Hƣớng dẫn giải:  e x 5 dx   e x 5 d ( x  5)  e x 5  C .
Câu 98. Tính
A. 

  5  9x 

12

dx bằng

(5  9 x)13
C .
117

Hƣớng dẫn giải:

(5  9 x)13
C .
B.
117

  5  9 x  dx  
12

(5  9 x)13

C .
C.
13

(5  9 x)13
C .
D.
9

1
(5  9 x)13
12
5

9
x
d
(5

9
x
)


C .


9
117



Câu 99. Tính  cos  5 x  dx bằng
4

1 

A. sin  5 x    C .
5 
4



B. sin  5 x    C .
4

1 

D.  sin  5 x    C .
5 
4



C. 5sin  5 x    C .
4



1

 
 1 



Hƣớng dẫn giải:  cos  5 x  dx   cos  5 x  d  5 x    sin  5 x    C .
4
5
4 
4 5 
4


1
dx bằng
Câu 100. Tính 

2
cos  x  
4



B. 4 tan  x    C .
4

1


D. tan  x    C .

4
4




A. tan  x    C .
4




C.  tan  x    C .
4

Hƣớng dẫn giải:



1



cos 2  x  
4


dx  






d  x    tan  x    C .

4
4


cos 2  x   
4

1

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày


Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí
1
Câu 101. Tính 
dx bằng
(cos x  sin x) 2

1


A.  cot  x    C .
2
4




C.  cot  x    C .
4

Hƣớng dẫn giải
1
1
 (cos x  sin x)2 dx  2 
Câu 102. Tính



B.

1


cot  x    C .
2
4


1


D.  cot  x    C .
4
4


1



sin 2  x  
4


dx 

1
2


1



d  x     cot  x    C

4
2
4


sin 2  x   
4

1

12 x  5
dx bằng
3x  1

6 x2  5x
C .
x3  x
1
C. 4 x  ln 3x  1  C .
D. 4 x  ln(3x  1)  C .
3
12 x  5
1 
1

Hƣớng dẫn giải: 
dx    4 
dx  4 x  ln 3x  1  C .
3x  1
3x  1 
3


1
A. 4 x  ln 3x  1  C .
3

Câu 103. Tính
A.

2x2  x
 2 x  1 dx bằng

x2
1
 x  ln 2 x  1  C .
2
2

x2
1
 x  ln(2 x  1)  C .
C.
2
2

Hƣớng dẫn giải:
Câu 104. Tính

B.

B.

x2
 x  ln 2 x  1  C .
2

x2
 x  2ln(2 x  1)  C .

D.
2

2 x2  x
1 
x2
1

dx

x

1

dx

 x  2x 1  C .

 2 x  1  
2x 1 
2
2

x

 ( x  1) dx bằng
2

1
 ln x  1  C .

x 1
1
 ln x  1  C .
C. 
x 1

1
 ln x  1  C .
x 1
1
 ln( x  1)  C .
D. 
x 1
 1
x
1 
1
dx   

 ln x  1  C .
Hƣớng dẫn giải: 
dx  
2
2
( x  1)
x 1 
x 1
 ( x  1)
A. 

B.

Câu 105. Tính  sin x(2  cos x)dx bằng

1
A. 2cos x  cos 2 x  C
4
1
C. 2cos x  cos 2 x  C
4

1
B. 2cos x  cos 2 x  C
4
1
D. 2cos x  cos 2 x  C
2
1
1
Hƣớng dẫn giải:  sin x(2  cos x)dx   (2sin x  sin 2 x)dx   2cos x  cos 2 x  C .
2
4
Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày