C2 compatibility mode

CHƯƠNG 2:

TÍNH KẾT CẤU SIÊU TĨNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC


2.1. KHÁI NIỆM VỀ KẾT CẤU SIÊU TĨNH
2.1.1 - ĐỊNH NGHĨA:
Hệ được gọi là siêu tĩnh nếu trong toàn hệ hoặc trong
một vài phần của hệ ta không thể chỉ dùng các phương
trình cần bằng tĩnh học để xác định tất cả các phản lực
và nội lực.
Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và có liên kết thừa.
60 KN/m

30 KN

2EJ

1.5EJ
6m

80 KNm

4m

4m

2m

2.1. KHÁI NIỆM VỀ KẾT CẤU SIÊU TĨNH
2.1.2 - TÍNH CHẤT:
- Chuyển vị, biến dạng và nội lực trong hệ siêu tĩnh nói
chung nhỏ hơn trong hệ tĩnh định cùng kích thước và tải
trọng.

Dđ C =

Dđ C =


2.1.2 - TÍNH CHẤT:
- Trong hệ siêu tĩnh phát sinh các nội lực do sự thay đổi
nhiệt độ, sự chuyển vị các liên kết.

- Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào độ cứng của
các cấu kiện trong hệ (EJ, EF, GF…)


2.1.3 – BẬC SIÊU TĨNH:
- Bậc siêu tĩnh của kết cấu bằng số liên kết thừa tương
đương loại một.
- Công thức tính bậc siêu tĩnh:
n = T + 2K + 3H + C0 – 3D
n = T + C0 -2M

(2.1)
(2.2)

2.1.3 – BẬC SIÊU TĨNH:
Ví dụ: n = T + 2K + 3H + C0 – 3D
P

P

EJ

80 KNm

EJ
EJ

a

4a

30 KN

60 KN/m

2EJ

1.5EJ
6m

EJ

4m

4m

2m

a

180kN

40kN

15kN/m

9m

9m

EJ

60 KN/m
a

12m

6m

24m

2EJ

a

EJ

3m

20kN/m

EJ
q

180kN

a

3m

a

720kNm

1.5m

30 KN

6m

6m

4m

4m


2.2. TÍNH KẾT CẤU SIÊU TĨNH CHỊU TẢI
TRỌNG CỐ ĐỊNH
2.2.1 – NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LỰC :
Khi dùng phương pháp lực để tính hệ siêu tĩnh, ta
không tính trực tiếp trên hệ đó mà tính trên một hệ khác
cho phép dễ dàng xác định nội lực, hệ mới này gọi là hệ
cơ bản (kết cấu cơ bản). Để bảo đảm cho hệ cơ bản làm
việc giống hệ siêu tĩnh ta phải bổ xung thêm các điều
kiện phụ. Trong phương pháp lực các điều kiện phụ đó
chính là đi tìm các ẩn số là lực.


2.2.2 – ẨN SỐ CƠ BẢN :
- Ẩn số cơ bản là nội lực của các liên kết thừa, trong
phương pháp lực ta cần phải đi tìm các ẩn số cơ bản.
- Ẩn số cơ bản kí hiệu là Xi, nó có thể là lực tập trung
hoặc mô men tập trung tùy theo loại liên kết.
- Nếu ta tính được nội lực của các liên kết thừa của kết
cấu siêu tĩnh thì kết cấu đó trở thành tĩnh định dưới tác
dụng của ngoại lực cho trước và nội lực của các liên kết
thừa.


2.2.3 – KẾT CẤU CƠ BẢN :
- Kết cấu cơ bản (KCCB) là một hệ bất biến hình suy ra
từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ tất cả hay một
số liên kết thừa, thay thế các liên kết bị loại bỏ bằng các

nội lực của nó.


2.2.3 – KẾT CẤU CƠ BẢN :
- Loại bỏ toàn bộ liên kết thừa thì KCCB sẽ là tĩnh định,
nếu không loại bỏ hết thì là kết cấu siêu tĩnh, khi lập
KCCB phải đảm bảo kết cấu là bất biến hình.
- Một kết cấu có thể lập được nhiều KCCB khác nhau.

X2
X1
X1

X1


2.2.4 – PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC :
- Để tính được các ẩn số cơ bản ta phải lập hệ phương
trình tương ứng với các ẩn cơ bản đó. Các phương trình
được thiết lập theo điều kiện chuyển vị tại các vị trí có
các ẩn cơ bản. Hệ phương trình đó gọi là hệ phương
trình chính tắc của phương pháp lực.
- Phương trình chính tắc của kết cấu có n bậc siêu tĩnh:

11 X 1  12 X 2  13 X 3  ......  1n X n  D1P  0
 21 X 1   22 X 2   23 X 3  ......   2 n X n  D 2 P  0
.......................................................................
........................................................................
 n1 X 1   n 2 X 2   n3 X 3  ......   nn X n  D nP  0

(2.3)


2.2.4 – PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC :

11 X 1  12 X 2  13 X 3  ......  1n X n  D1P  0
 21 X 1   22 X 2   23 X 3  ......   2 n X n  D 2 P  0
.......................................................................
........................................................................
 n1 X 1   n 2 X 2   n3 X 3  ......   nn X n  D nP  0
dik: gọi là các hệ số của PT chính tắc, chúng là chuyển vị
theo phương Xi do Xi=1 tác dụng sinh ra.
DiP: gọi là các số hạng tự do của PT chính tắc, chúng là
chuyển vị theo phương Xi do tải trọng đã cho tác dụng
sinh ra.


2.2.4 – PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC :
- Phương trình chính tắc của kết cấu có 1 bậc siêu tĩnh:

11 X 1  D1P  0

(2.4)

- Phương trình chính tắc của kết cấu có 2 bậc siêu tĩnh:

11 X 1  12 X 2  D1P  0
 21 X 1   22 X 2  D 2 P  0

(2.5)

- Phương trình chính tắc của kết cấu có 3 bậc siêu tĩnh:

11 X 1  12 X 2  13 X 3  D1P  0
 21 X 1   22 X 2   23 X 3  D 2 P  0
 31 X 1   32 X 2   33 X 3  D 3 P  0

(2.6)


2.2.5 – TÍNH CÁC HỆ SỐ VÀ SỐ HẠNG TỰ DO :
2.2.5.1 - Tính các hệ số:
- Công thức tổng quát:
2
2
2
N
Q
l M
l
l
i
i
 ii   
ds   
ds     i ds
(2.7)
0
0
0

EJ
EF
GF
Ni Nk
Qi Q k
l M Mk
l
l
i
 ik   
ds   
ds    
ds (2.8)
0
0
0
EJ
EF
GF


2.2.5 – TÍNH CÁC HỆ SỐ VÀ SỐ HẠNG TỰ DO :
2.2.5.1 - Tính các hệ số:
- Đối với dầm hoặc khung:
2
l M
i
 ii   
ds (2.9)
0

EJ
l M Mk
i
 ik   
ds (2.10)
0
EJ
Để đơn giản ta tính các hệ số theo phương pháp
nhân biểu đồ:
 ii  ( Biểu đồ M i ) x ( Biểu đồ M i ) (2.11)

 ik  ( Biểu đồ M i ) x ( Biểu đồ M k ) (2.12)
M i : Biểu đồ mô men trên KCCB do ẩn lực Xi=1 tác dụng gây ra.
M k : Biểu đồ mô men trên KCCB do ẩn lực Xk=1 tác dụng gây ra.


2.2.5 – TÍNH CÁC HỆ SỐ VÀ SỐ HẠNG TỰ DO :
2.2.5.1 - Tính các hệ số:
- Đối với dàn:
N i2 .l
 ii  
(2.13)
EF
N i .N k l
(2.14)
 ik  
EF
l : Chiều dài thanh dàn

N i : Nội lực của thanh dàn trên KCCB do ẩn lực Xi=1 tác dụng

gây ra.

N k : Nội lực của thanh dàn trên KCCB do ẩn lực Xk=1 tác dụng
gây ra.


2.2.5.2 - Tính các số hạng tự do:
- Công thức tổng quát:
N i NP
Qi Q P
l M MP
l
l
i
D iP   
ds   
ds    
ds (2.15)
0
0
0
EJ
EF
GF
- Đối với dầm hoặc khung:
l M MP
i
D iP   
ds
(2.16)

0
EJ
Để đơn giản ta tính các hệ số theo phương pháp
nhân biểu đồ:

D iP  ( Biểu đồ M i ) x ( Biểu đồ

MP)

(2.17)

M i : Biểu đồ mô men trên KCCB do ẩn lực Xi=1 tác dụng gây ra.
M P :Biểu đồ mô men trên KCCB do tải trọng đã cho tác dụng gây ra.


2.2.5.2 - Tính các số hạng tự do:
- Đối với dàn:

D iP  
Ni :

N i NP
EF

l

(2.18)

Lực dọc trong KCCB do ẩn lực Xi=1 tác dụng gây ra.

N P : Nội lực trong KCCB do tải trọng tác dụng gây ra.
l : Chiều dài của thanh dàn.


2.2.6 – BIỂU ĐỒ NỘI LỰC CỦA KẾT CẤU SIÊU TĨNH :
Nội lực tại mặt cắt bất kỳ hay biểu đồ nội lực của kết
cấu được xác định bởi công thức:
M  M 1 X 1  M 2 X 2  ....  M n X n  M P
Q  Q1 X 1  Q2 X 2  ....  Qn X n  QP

(2.19)

N  N1 X 1  N 2 X 2  ....  N n X n  N P

Ta có thể vẽ biểu đồ Q căn cứ vào biểu đồ mô men theo
công thức sau:
1
ql
Q ph  ( M ph  M tr ) 
l
2
1
ql
Qtr  ( M ph  M tr ) 
l
2

(2.20)

Biểu đồ N có thể vẽ căn cứ vào biểu đồ Q bằng

phương pháp tách nút, xét sự cân bằng của nút.


2.2.7 – TRÌNH TỰ TÍNH KẾT CẤU SIÊU TĨNH :
- Bước 1: Xác định bậc siêu tĩnh (theo 2.1; 2.2), chọn
KCCB (mục 2.2.3).
- Bước 2: Trên KCCB lần lượt đặt các ẩn số cơ bản bằng
đơn vị (Xi=1) rồi vẽ các biểu đồ nội lực đơn vị M i ; Qi ; N i
- Bước 3: Trên KCCB đặt các tải trọng đã cho và vẽ biểu
đồ nội lực: MP; NP; QP.
- Bước 4: Lập phương trình chính tắc (mục 2.2.4).
- Bước 5: Tính các hệ số và số hạng tự do ( mục 2.2.5.1
và 2.2.5.2).
- Bước 6: Thay các hệ số và số hạng tự do vào phương
trình chính tắc, giải ra được các ẩn lực thừa.
- Bước 7: Tính và vẽ biểu đồ nội lực theo công thức 2.19.


2.3. TÍNH KẾT CẤU SIÊU TĨNH CHỊU SỰ THAY
ĐỔI NHIỆT ĐỘ
2.3.1 - Hệ phương trình chính tắc: vì nguyên nhân gây
ra nội lực trong hệ siêu tĩnh là nhiệt độ nên phương trình
chính tắc có dạng:

11 X 1  12 X 2  13 X 3  ......  1n X n  D1T  0
 21 X 1   22 X 2   23 X 3  ......   2 n X n  D 2T  0
.......................................................................
........................................................................
 n1 X 1   n 2 X 2   n3 X 3  ......   nn X n  D nT  0

(2.21)

dik:các hệ số của PT chính tắc xác định như mục 2.2.5.1
DiT: là chuyển vị của điểm đặt lực Xi theo phương Xi do
sự thay đổi nhiệt độ sinh ra trên KCCB (CT: 1.5; 1.6).


11 X 1  12 X 2  13 X 3  ......  1n X n  D1T  0
 21 X 1   22 X 2   23 X 3  ......   2 n X n  D 2T  0
.......................................................................
........................................................................
 n1 X 1   n 2 X 2   n3 X 3  ......   nn X n  D nT  0

(2.21)

DiT: là chuyển vị của điểm đặt lực Xi theo phương Xi do
sự thay đổi nhiệt độ sinh ra trên KCCB.

t1  t 2
t1h2  t 2 h1
D iT   
 M i   
 Ni
h
h
t1  t 2
t1  t 2
D iT   
 M i   
 Ni

h
2

(1.5)

(1.6)


2.3.2 - Biểu đồ nội lực: sau khi tính được các hệ số và số
hạng tự do, thay vào phương trình chính tắc (2.21), giải ra
được các ẩn lực: X1; X2….; Xn. Biểu đồ nội lực được vẽ
căn cứ vào công thức:
M  M 1 X 1  M 2 X 2  ....  M n X n
Q  Q1 X 1  Q2 X 2  ....  Qn X n

(2.22)

N  N1 X 1  N 2 X 2  ....  N n X n

Ta có thể vẽ biểu đồ Q căn cứ vào biểu đồ mô men theo
công thức 2.20.
Biểu đồ N có thể vẽ căn cứ vào biểu đồ Q bằng
phương pháp tách nút, xét sự cân bằng của nút.


2.4. TÍNH KC ST DO CHUYỂN VỊ LIÊN KẾT
2.4.1- PHƯƠNG PHÁP TÍNH :
Ta có thể tính hệ siêu tĩnh do chuyển vị liên kết tương tự
như khi tính hệ siêu tĩnh dưới tác dụng của tải trọng và
nhiệt độ, nhưng khi chọn KCCB cần lưu ý:

- Đối với các liên kết thừa không có chuyển vị liên kết ta
có thể loại bỏ và thay thể bằng ẩn lực.
- Đối với các liên kết thừa có chuyển vị cưỡng bức chỉ
được phép cắt và thay thế bằng cặp lực ngược chiều
nhau mà không được loại bỏ.


2.4.2 - PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC :

11 X 1  12 X 2  13 X 3  ......  1n X n  D1D  0
 21 X 1   22 X 2   23 X 3  ......   2 n X n  D 2 D  0
.......................................................................
........................................................................
 n1 X 1   n 2 X 2   n3 X 3  ......   nn X n  D nD  0

(2.23)

dik:các hệ số của PT chính tắc xác định như mục 2.2.5.1
DiD: là chuyển vị của điểm đặt lực Xi theo phương Xi do
chuyển vị liên kết sinh ra trên KCCB (công thức 1.8).

D iD   R Dj D jD

(1.8)