Chuyên đề Bất đẳng thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (287.99 KB, 6 trang )
CHUYÃN ÂÃÖ BÁÚT ÂÀÓNG THÆÏC
A. BÁÚT ÂÀÓNG THÆÏC CÄ-SI
Cho 3 säú dæång a, b, c. Chæïng minh ràòng
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
+ + + + ≥
÷
+ + ≥ + + ≥ ⇒
+ + + + ≥
÷
+ + +
⇔ + + + + ≥
÷
+ + +
⇔ + + + + + + + ≥
÷
+ + +
+
+ +
3
3
1 1 1
1) 9
1 1 1 1
HD: 3 ; 3
1 1 1 9
2) (2)
2
1 1 1
: (2) 2 9
1 1 1
9. bai1)
3)
a b c
a b c
a b c abc Kq
a b c abc
a b c
a b b c c a
HD a b c
a b b c c a
a b b c c a Sd
a b b c c a
a b
b c a c
( )
+ ≥
+
⇔ + + ≥
+ + +
+ + + + + +
⇔ + + ≥
+ + +
⇔ + + + + ≥
÷
+ + +
+ + +
+ + ≥
= + + + + + ≥
÷ ÷ ÷
+ + ≥
2 2 2
2 2 2
3
(3)
2
9
HD: (3) +3
2
9
2
1 1 1 9
. Sd bai 2
2
4) 6 (4)
: 6
5)
c
b a
a b c
b c a c b a
a b c a b c a b c
b c a c b a
a b c
a b b c c a
b c a c a b
a b c
b a b c c a
HD VT
a b c b a c
b c a c
a b c a
( )
+ +
= + + + + + = + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
≥ + +
⊕ + + + + + ≥ ⇒ + + ≥
÷
+ + + + + + + + +
≥ =
+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
1 1 1 1 1 1 9
3 9
1 1 1 1 1 1 3
9 3
3 3 2
a b
b c
b c a c a a b c c a a b
VT
a b c b c c a b b c c a
c a b
a b c
a b c
a b c a b c a b c
( ) ( ) ( )
( )
+ + ≤ ≤ + + ∀ + + ≤
+ + + + + +
⊕ ≤ ⇒ ≤
+ +
≤ ≤ ⇒ + + ≤
+ + + + +
+ + + − − − ≤ ∀ ∈
+ + + + + +
≤ ≤
+ + −
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
3 1 1 1
6) 3
1 1 1 2 1 1 1
2 1
: 1
1 1 2
1 1 3
;
1 2 1 2 1 1 1 2
7) 1 1 1 1 , , 0;1
1 1 1
: Gs .
1 1
a b c
a b c
a b c a b c
a a
HD
a a
b c a b c
b c a b c
a b c
a b c a b c
b c a c a b
HD a b c
a b
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + − + −
− ≤ =
−
⇒ − − ≤ ⇒ − − − ≤
+ + + +
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
+ + + + + + + +
⇒
1 1 1
1 1
3
1 1
1 1 1 1 1
1 1
;
1 1 1 1
a b a b
a b
c
a b a b c
a b a b
a a b b
Vi a b c
b c b a c a b a
0, 0
1
7) .
a b
a b
Cho
> >
+ ≤
Tìm GTNN của
2 2
1 1
2
S
a b ab
= +
+
Giải:
2 2 2
4 4
4
2 ( )
S
a b ab a b
≥ = ≥
+ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1/2
( )
4
4 4
8) :
8
a b
CMR a b
+
+ ≥
Giải:
( )
( ) ( )
2
2
2 2
4 4 2 2
4 4
2
2 4
1
1 1 2 2 1 1
1
2 2 8
a b
a b a b
a b
a b a b
+
+ = + ≥ = +
÷
+ +
≥ =
÷
÷
Bài tập tương tự
Hướng dẫn
