Bài 5. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. Phương pháp giản đồ Fre-nen

TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN HUYÊN

TỔ VẬT LÝ


Kiểm tra bài cũ
Viết các phương trình li độ; vận tốc và gia tốc của
dao động điều hòa


Tiết 9 - Bài 5


Điểm M chuyển động tròn
sin
đều
M
cos

P
vmin= 0
2
ω
A
amax=

-A

O
Amin=0
vmax=A ω

A vmin= 0

x

2
ω
A
amax=

Hình chiếu điểm M trên trục Ox dao động điều hòa

x = A cos(ωt + ϕ )


I. VECTƠ QUAY

y

Một dao động điều hòa:

M

x = A cos(ω t + ϕ)

được biểu diễn bằng một
vectơ quay.
Vec tơ quay có :
-Gốc tại gốc tọa độ của trục Ox.
-Độ dài bằng biên độ dao động A.

-Hợp với trục Ox một góc bằng
pha ban đầu
-Quay ngược chiều kim đồng hồ với
tốc độ góc

ϕ

ω

x

O

+
M

A
φ

O

x


Ví dụ áp dụng: Biểu diễn các phương trình dao
động điều hòa sau đây bằng vectơ:
x1 = 4 cos10t
x2 = 4 cos(10t +
x3 = 4 cos(10t −
x4 = 4 cos(10t −

y

π
2

π

4

π

2

)

M2

)
)

M1
O

x
M4

M3

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN:
1.Đặt vấn đề
Đứng yên

Dao động

Dao động
tổng hợp
Một vật có thể thực hiện đồng thời hai hoặc nhiều dao động
: dao động tổng hợp
Dao động

Tìm li độ dao động tổng hợp của hai dao động:

x1 = A cos(ωt + ϕ1 ) & x2 = A cos(ωt + ϕ 2 )
Ta có: A1 = A2 = A Sử dụng công thức lượng giác:
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2


Nhưng nếu

A1 ≠ A2 ?

Dao động tổng hợp : x = x1 + x 2 =

?

Sử dụng Phương pháp giản đồ Fre-nen


2. Phương pháp giản đồ Fre-nen:
a.Giả sử ta phải tìm phương trình dao động của một vật thực
hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số: x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 )

x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )

uu
r uu
u
r
Ta lần lượt vẽ hai vectơ quay A 1,A 2biểu diễn hai dao

động thành phần.

u
r
Vẽ vectơ tổng A

u
r
u
r
u
r

biểu diễn dao động tổng hợp A = A 1 + A 2


uuuuur OM1 = A1
x1 OM
1
uur uuuur
(Ox, OM 1 ) = ϕ1
M

y
N
M1

y1

A

ϕ

A1
y2
O

x2`

ϕ1
A2
x1

x

M2

uuuur

OM

uur uuuuu
r
(Ox, OM 2 ) = ϕ2

uuuur

OM = A

OM

ϕ2
x2

P

OM2 = A2

x

uur uuuur
(Ox, OM ) = ϕ

M

y

y

M

M1

M1
A
A2

M2
O

X

φ1

.

x
A1

M2

φ2 φ

O
Khi vectơ A1, A2 cùng quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc
độ góc ω. Thì tứ giác OM1MM2 không biến dạng.
Tức là độ dài OM không đổi và quay quanh O với cùng tốc độ
góc ω. Như vậy OM là vectơ quay biểu diễn dao động tổng
hợp.

x


Vậy: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa
cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa
cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó.

x = A cos(ωt + ϕ )
A là biên độ của dao động tổng hợp:

A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) (1)
2

2
1

2
2

ϕ pha ban đầu của dđ tổng hợp:

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2

(2)
tan ϕ =
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2


CM công thức 1

* Biên độ

Q

·
A = A + A − 2A 1A 2 cos(OM
1M)
2

mà

2
1

2
2

0
¼
¼OM
OM 1M = 180 − M
2
1

¼ M) = − cos(M
¼OM )
⇒ cos(OM
1
2
1
mà

⇒

¼OM = ϕ − ϕ
M
2
1
2
1
¼ M) = − cos(ϕ − ϕ )
cos(OM
1
2
1
Vậy :

y

M
M1

y1

A
A2
A1

y2
φ1
O

A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
2

2
1

2
2

.

M2

φ2 φ
x1

x2

x
P

CM công thức 2

* Pha ban đầu ϕ

PM
OQ
A.si nϕ
tanϕ =
=
=
OP
OP
A.cosϕ
y + y2
tan ϕ = 1
x1 + x2

mà: y1 = A1 sin ϕ1 ; y2 = A2sin
x1 = A1 cos ϕ1 ϕ
x22 = A2cos
A sin ϕϕ2+ A sin ϕ

⇒

tan ϕ =

1

1

2

2

A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2

Q

y

M
M1

y1

A
A2

.

A1

y2
φ1
O

φ2
x1

M2

φ
x2

P

x


3. Ảnh hưởng của độ lệch pha:
Xét hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số :

x1 = A 1 cos(ω t + ϕ1)(1) ; x2 = A 2 cos(ω t + ϕ2 )(2)
gọi là độ lệch pha của dao động 2 đối với dao động 1 là:

∆ ϕ = ϕ2 − ϕ1
*Nếu 2 dao động cùng pha ta có ∆ ϕ = 2nπ :(n = 0,± 1,± 2,± 3,...)

r
A1

r
A2

r
A

Thì biên độ dao động tổng hợp đạt cực đại: Amax=A1+A2

*Nếu hai dao động ngược pha ta có ∆ϕ = (2n + 1)π :

r
A2

r
A

r
A1

Thì biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực tiểu A = A1 − A2

π
*Nếu hai dao động vuông pha ta có ∆ϕ = (2n + 1) :
2
A
A1

Thì biên độ dao động tổng hợp A =

A2

A 12 + A 22

*Trong mọi trường hợp có : A 1 − A 2 < A < A 1 + A 2


4. VÍ DỤ

Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương :

x1 = 4 2 cos(2π t −

π
) cm và
2

x 2 = 4 2 cos(2π t ) cm

Viết phương trình dao động tổng hợp của vật

C1 Biên độ dao động tổng hợp

A = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
=

(

4 2

) (
2

+ 4 2

)

2

(

)

2

+ 2 4 2 cos(0 +

π
) = 8cm
2

Pha ban đầu của dao động tổng hợp

A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2
4 2 sin(−π / 2) + 4 2 sin0
tgϕ =
=
= −1
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2
4 2 cos(−π / 2) + 4 2 cos0
x = 8cos(2π t − π / 4) cm
Phương trình dao động tổng hợp


VÍ DỤ : vẫn BT trên
.Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương :
x1 = 4 2 cos(2π t −

π

và x 2 = 4 2 cos(2π t ) cm
Viết phương trình dao động tổng hợp của vật
2

) cm

A2 = A12 + A22

C2
4 2

O
A1
4 2

A2

ϕ
x

x
A

(

A = 4 2 cm
2

) (

2

+ 4 2 cm

)

2

= 64 cm2

A = 8 cm

ϕ = −π / 4 rad
x = 8cos(2π t − π / 4) cm

C3. tổng hợp dao động bằng máy tính casio


pp: Tìm dao động tổng hợp xác định A và ϕ bằng cách
dùng máy tính thực hiện phép cộng:
a.Với máy FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện
chữ: CMPLX.
-Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình
hiển thị chữ D
(hoặc Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn
hình hiển thị chữ R )
- Nhập A1 SHIFT (-) φ1 + Nhập A2 SHIFT (-) φ2
nhấn = hiển thị kết quả......
(Nếu hiển thị số phức dạng: a+bi thì bấm SHIFT 2 3 =
hiển thị kết quả: A∠ ϕ)

b.Với máy FX570MS : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất
hiện chữ: CMPLX.
Nhập A1 SHIFT (-) φ1 + Nhập A2 SHIFT (-) φ2 =
Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A. SHIFT =
hiển thị kết quả là: φ


4.Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều
cùng phương cùng tần số:
x1 = A1cos (ωt + ϕ1), x2 = A2cos (ωt + ϕ2) và x3 = A3cos (ωt + ϕ3)
... thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương
cùng tần số: x = Acos (ωt + ϕ) .
Chiếu lên trục Ox và trục Oy trong hệ xOy. Ta được:
Ax = Acos ϕ = A1cos ϕ1+ A2cos ϕ2+ A3cos ϕ3 + ..
và Ay = A sin ϕ = A1sin ϕ1+ A2sin ϕ2+ A3sin ϕ3 + ..
Ax2 + Ay2
Biên độ: : A =
Ay
và Pha ban đầu ϕ : tan ϕ A= với ϕ ∈ [ϕ Min, ϕ Max]
x
5.Khi biết dao động thành phần
x1=A1cos (ωt + ϕ1) và dao động
tổng hợp x = Acos(ωt + ϕ) thì dao động thành phần còn lại là
x2 =x - x1 với x2 = A2cos (ωt + ϕ2) .
Biên độ: A22=A2+ A12-2A1Acos(ϕ -ϕ1);
A sin ϕ − A1 sin ϕ1
Pha tan ϕ2= A cos ϕ − A cos ϕ
1
1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
1.Hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là
x1 = A1cos(ωt + ϕ1) và x2 = A2cos(ωt + ϕ2). Biên độ của
dao động tổng hợp là?

A.A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(ϕ2 − ϕ1)
B.A2 = A1 + A2 + 2A1A2cos(ϕ2 − ϕ1)

C.A = A + A + A1A2cos(ϕ2 − ϕ1)
2

2
1

2
2

D.A = A + A + 2A1A2cos(ϕ2 + ϕ1)
2

2
1

2
2


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
2. Hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là

x1 = A1cos(ωt + ϕ1) và x2 = A2cos(ωt + ϕ2). Pha của dao
động tổng hợp được tính theo công thức?
A.tanϕ =
B.tanϕ =

C.tanϕ =

A1sinϕ1 − A2sinϕ2

A1cosϕ1 − A2cosϕ2
A1sinϕ1 + A2 cosϕ1

A1 sinϕ2 + A2cosϕ2

A1sinϕ1 + A2sinϕ2

A1cosϕ1 − A2cosϕ 2

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
D. tan ϕ =
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
3.Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa
cùng phương, cùng tần số. Có phương trình như sau.
π (cm); x = 2 cos(2t − π )(cm)
x1 = 2 cos(2t + )
2
6

3

. Phương trình dao động tổng hợp là:

π (cm)
π (cm)
B.x = 2 3 cos(2t + )
A.x = 2 cos(2t + )
3
6
π (cm) D.x = 2 cos(2t − π )(cm)
C.x = 2 cos(2t +
)
6
12


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
4. Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hoà cùng phương, cùng tần số. Trong trường hợp nào
sau đây, biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực đại ?
A. Hai dao động thành phần cùng pha
B. Hai dao động thành phần ngược pha
C. Hai dao động thành phần lệch pha nhau π /2
D. Hai dao động thành phần lệch pha nhau một góc
bất kì


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
5. Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động

điều hoà cùng phương, cùng tần số. Trong trường
hợp nào sau đây, biên độ dao động tổng hợp có thể
triệt tiêu ?
A. Hai dao động thành phần cùng pha
B. Hai dao động thành phần ngược pha
C. Hai dao động thành phần lệch pha nhau π /2
D. Hai dao động thành phần ngược pha và cùng biên
độ