Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ BoseEinstein hai thành phần (tt0

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM

Phạm Thế Song

NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG
TRONG KHÔNG GIAN GIỚI HẠN CỦA
NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62.44.01.03
DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà Nội, 2017


Danh sách từ viết tắt
Ký hiệu
BEC
BECs
CE
GCE
DPA
MDPA
GP
GPE(s)
TIGPEs
TPA

MFA

Tiếng Anh
Bose-Einstein
sate

Tiếng Việt
conden-

two segregated BoseEinstein condensates
Canonical ensemble
Grand canonical ensemble
Double-parabola approximation
Modified
doubleparabola approximation
Gross-Pitaevskii
Gross-Pitaevskii
equation(s)
Time-independent
Gross-Pitaevskii
equations
Tripple-parabola approximation
Mean-field approximation

ngưng tụ Bose-Einstein
ngưng tụ Bose-Einstein
hai thành phần phân
tách
tập hợp chính tắc
tập hợp chính tắc lớn

gần đúng parabol kép
gần đúng parabol kép mở
rộng
Gross-Pitaevskii
(hệ) phương trình GrossPitaevskii
hệ phương trình GrossPitaevskii không phụ
thuộc thời gian
gần đúng ba parabol
gần đúng trường trung
bình


2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Áp dụng phương pháp DPA, các nghiên cứu về sức căng bề mặt và
chuyển pha ướt của hệ BECs không giới hạn đã được Indekeu J. O. cùng
các cộng sự giải quyết một cách có hệ thống và thu được rất nhiều kết
quả quan trọng (Phys. Rev. A 91, 033615, (2015)). Tuy nhiên, tất cả các
nghiên cứu đó đều chưa xem xét tới ảnh hưởng của sự giới hạn không
gian tới các đặc tính vật lý của hệ. Trong khi đó, hiệu ứng giới hạn không
gian của các hệ lượng tử đã và đang được nghiên cứu chuyên sâu do ý
nghĩa đặc biệt của nó đối với sự phát triển của công nghệ. Vì vậy, chúng
tôi chọn đề tài của luận án là Nghiên cứu các hiệu ứng trong không
gian giới hạn của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần.
2. Lịch sử vấn đề
Giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho Conell E. A., Wieman C. E. và
Ketterle W. vì những thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khí
loãng của các nguyên tử kiềm đã khẳng định những tiên đoán về trạng
thái BEC của Einstein A. dựa trên một bài báo của Bose N. từ năm

1924, đồng thời thu hút sự quan tâm của đông đảo các nhà khoa học
trên toàn cầu nghiên cứu về BECs cả trong lý thuyết và thực nghiệm.
Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BEC
được đánh dấu bởi thành công của Gross E. P. và Pitaevskii L. P. trong
việc thiết lập GPE(s) dựa trên MFA.
Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao P.
và Chui S. T., Indekeu J. O. và các cộng sự đã xây dựng thành công
phương pháp DPA, sau đó được mở rộng thành TPA, nhờ đó tìm được
nghiệm giải tích gần đúng của GPEs. So sánh với kết quả tính số cho
thấy nghiệm của GPEs trong DPA và TPA rất tiệm cận với nghiệm tính
số ở mọi trạng thái phân tách của hệ từ phân tách yếu (weak segregation)
tới phân tách mạnh (strong segregation). Từ đây các tác giả đã tính toán
một cách chi tiết về sức căng bề mặt và dựa trên qui tắc Antonov để
vẽ giản đồ chuyển pha ướt, đồng thời so sánh với các kết quả tính toán
bằng lý thuyết GP.
Trong luận án này, chúng tôi mở rộng phương pháp DPA để nghiên
cứu hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng nhằm xem xét ảnh hưởng
của các tường cứng tới các tính chất vật lý bề mặt tĩnh và hiện tượng
chuyển pha ướt của hệ.
3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất
vật lý của hệ BECs ở trạng thái cân bằng.
4. Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng


3
và hai tường cứng.
• Nhiệm vụ nghiên cứu:
– Tìm hàm sóng ngưng tụ của hệ thoả mãn điều kiện biên

Dirichlet, điều kiện biên Robin tại các tường cứng;
– Xác định sức căng mặt phân cách giữa hai thành phần;
– Xác định sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng;
– Vẽ giản đồ chuyển pha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tường
cứng;
– Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đối với các
tính chất vật lý của hệ;
– Đề xuất mô hình thí nghiệm kiểm chứng kết quả nghiên cứu
và một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo.
• Phạm vi nghiên cứu: Hệ BECs ở nhiệt độ cực thấp, không phụ
thuộc thời gian, trong GCE và CE.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp MFA, phương pháp MDPA, phương pháp tính số với
sự hỗ trợ của một số phần mềm tính toán.
6. Đóng góp của luận án
Luận án đóng góp những kết quả nghiên cứu mới về tính chất vật
lý của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng, những đóng góp chính
được trình bày trong phần Kết luận của luận án.
7. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được
trình bày trong 3 chương:
Chương 1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệ
ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách
Chương 2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt
trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng
Chương 3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách
trong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng


4

Chương 1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết
về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách
1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein
1.1.1. Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein
Nếu nhiệt độ của hệ hạt boson nhỏ hơn nhiệt độ mà tại đó thế hóa
học bằng 0 (T < Tc ) thì phần lớn số hạt trong hệ cùng chiếm trạng thái
có mức năng lượng thấp nhất. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng
ngưng tụ Bose-Einstein. Số hạt ngưng tụ là
N (ε = 0) = N − N (ε > 0) = N 1 −

T
Tc

3/2

,

trong đó N là tổng số hạt của hệ.
1.2. Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình
thuỷ động lực học của hàm sóng ngưng tụ
a. Phương trình Gross-Pitaevskii
+ GPE phụ thuộc thời gian
2

i ∂t ψ = −

2m

∇2 ψ + U (x)ψ + G|ψ|2 ψ.

+ GPE không phụ thuộc thời gian
2

−

2m

∇2 ψ(x) + U (x)ψ(x) + G|ψ(x)|2 ψ(x) = µψ(x).

b. Độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng tụ: ξ =

√

2mGn

.

c. Các phương trình thủy động lực học của ngưng tụ
+ Phương trình liên tục của ngưng tụ:
∂t n + ∇(nv) = 0,
trong đó n = |ψ|2 , v =
j=

i
2

i
2mn

ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ là vận tốc của ngưng tụ,

ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ là mật độ động lượng của ngưng tụ.

+ Phương trình chuyển động của biên độ và pha:
∂t |ψ0 |2 = − m ∇(|ψ0 |2 ∇φ) và ∂t φ = − 1 δE
δn .
1.2. Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn


5
+Mật độ Hamiltonian và mật độ thế tương tác của hệ BECs:
ˆ b = Hb =
H
2P

2

φj −
j=1

ξj2 2
ˆ 1 , φ2 ),
∂ φj + V(φ
ξ12 z

ˆ 1 , φ2 ) = V(Ψ1 , Ψ2 ) =
V(φ
2P

2

j=1

1
− |φj |2 + |φj |4 + K|φ1 |2 |φ2 |2 .
2

+ TIGPEs (1.26):
−∂z2 φ1 − φ1 + |φ1 |3 + K|φ2 |2 φ1 = 0,
−ξ 2 ∂z2 φ2 − φ2 + |φ2 |3 + K|φ1 |2 φ2 = 0.
+ Hệ BECs vô hạn, thành phần 1 (thành phần 2) chiếm vùng không
gian z > 0 (z < 0), các hàm sóng của TIGPEs thỏa mãn điều kiện biên
(1.28)
φ1 (z → +∞) = φ2 (z → −∞) = 1,
φ2 (z → +∞) = φ1 (z → −∞) = 0.
+ Hằng số của chuyển động (constant of the motion) hoặc tích phân
thứ nhất (the first integral) (1.33):
2

(∂z φ1 )2 + ξ 2 (∂z φ2 )2 +
j=1

1
1
|φj |2 − |φj |4 − K|φ2 |2 |φ1 |2 = .
2
2

1.3. Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn
Đối với hệ BECs, trong vùng z z0 (z z0 ) ta có φ2 → 0(φ1 → 0),

nên hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía của mặt phân cách được khai triển
theo các hệ thức
|φj | = 1 + εj , |φj | = δj ,

z
z

z0 , (j, j ) = (1, 2),
z0 , (j, j ) = (2, 1),

với z0 = 0, εj và δj là những đại lượng thực không thứ nguyên sao cho
(εj , δj )
1.
+ TIGPEs trong DPA:
Ở bên phải mặt phân cách (z 0)
−∂z2 φ1 + 2(φ1 − 1) = 0,
−ξ 2 ∂z2 φ2 + ηφ2 = 0;


6

Hình 1.1: Khai triển hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía mặt phân cách
bằng phương pháp DPA.

Ở bên trái mặt phân cách (z

0)

−∂z2 φ1 + ηφ1 = 0,
−ξ 2 ∂z2 φ2 + 2(φ2 − 1) = 0,

η = K − 1.
+ Mật độ Hamiltionian trong DPA (1.37):
ˆ bDP A = Hb =
H
2P

2

φj −
j=1

ξj2 2
∂ φj + VˆDP A (φ1 , φ2 ),
ξ12 z

1 z
VˆDP A (φ1 , φ2 ) = 2(|φj | − 1)2 + η|φj |2 − ,
2 z

z0 , (j, j ) = (1, 2),
z0 , (j, j ) = (2, 1).

1.4. Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các
tường cứng
+ Mật độ Hamiltonian trên mặt phân cách và trên bề mặt tường
cứng:
ˆ A = HA =
H
2P

2

j=1

ˆ W = H Wi =
H
i
2P

ξj2 A ∗ A
φ φ ,
˜j j j
Λ
2

j=1

ξj2 Wi ∗ Wi
φ
φj .
˜ Wi j
λ
j


7
+ Hamiltonian toàn phần trong MDPA:
HˆM DP A =

ˆ bDP A dV +

H
V

ˆ A dS +
H
A

ˆ W dS.
H
i
i W
i

+ TIGPEs không thứ nguyên trong MDPA cho hệ BECs bị giới hạn
bởi các tường cứng:
Ở bên phải mặt phân cách (z z0 ) (1.43)
−∂z2 φ1 + 2(φ1 − 1) = 0,
−ξ 2 ∂z2 φ2 + ηφ2 = 0;
Ở bên trái mặt phân cách (z

z0 ) (1.44)

−∂z2 φ1 + ηφ1 = 0,
−ξ 2 ∂z2 φ2 + 2(φ2 − 1) = 0.
+ Các hàm sóng ngưng tụ φj (j = 1, 2) trong các phương trình trên
thỏa mãn các điều kiện biên (1.45):
Điều kiện Robin
∂z φj |z=z0 −0 =

1

φj (z = z0 ) = ∂z φj |z=z0 +0
Λj

và điều kiện liên tục của hàm sóng tại mặt phân cách
φj (z = z0 − 0) = φj (z0 ) = φj (z = z0 + 0);
Điều kiện biên Robin
∂z φj |z=zWi =

1
φj (z = zWi )
i
λW
j

hoặc là điều kiện biên Dirichlet tại các tường cứng
φj (z = zWi ) = 0
˜ j /ξ1 , λWi =
khi trường tại các tường cứng triệt tiêu. Ở đây, Λj = Λ
j
W
i
˜ /ξ1 .
λ
j

1.5. Năng lượng dư trên mặt phân cách của hệ BECs
+ Trong GCE:
∆Ω = 2AP ξ1

ˆ 1 , φ2 ) +

dz − φ∗1 ∂z2 φ1 − ξ 2 φ∗2 ∂z2 φ2 + V(φ

1
,
2


8
trong đó A là diện tích của mặt phân cách.
+ Trong CE:
∆E = P Aξ1

dz(−φ∗1 ∂z2 φ1 − ξ 2 φ∗2 ∂z2 φ2 ).

Tổng kết chương 1
Nhằm mục đích trình bày những kiến thức cơ sở cho các nghiên cứu
ở các chương tiếp theo, chương 1 đã đạt được những kết quả chính như
sau:
• Sử dụng thống kê lượng tử Bose-Einstein để mô tả hiện tượng
BEC trong hệ hạt boson lý tưởng đồng nhất;
• Xây dựng GPE(s) trong gần đúng trường trung bình, từ đó chứng
minh được các hàm sóng ngưng tụ thỏa mãn các phương trình
thủy động lực học;
• Trình bày những vấn đề cơ bản về phương pháp DPA và một số
kết quả thu được từ phương pháp này;
• Mở rộng phương pháp DPA để áp dụng cho hệ BECs bị giới hạn
bởi các tường cứng; Hàm sóng ngưng tụ tìm được bằng MDPA
phải đảm bảo các tính chất quan trọng của nó như trong lý thuyết
GP, nó chỉ có ý nghĩa khi trạng thái cơ bản của hệ trong lý thuyết
GP chắc chắn tồn tại.

• Xác định được năng lượng dư trên mặt phân cách giữa hai thành
phần theo hàm sóng ngưng tụ và các tham số đặc trưng của hệ
BECs.


9
Chương 2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển
pha ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng
2.1. Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi một
tường cứng

˜ mặt
Hình 2.1: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng tại z˜ = −h,
phân cách giữa hai thành phần tại z˜ = z˜0 .

2.1.1. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại
tường cứng
+ Điều kiện biên:
φ1 (z = −h) = φ2 (z = −h) = 0,
φ1 (z → +∞) = 1, φ2 (z → +∞) = 0.
+ Hàm sóng ngưng tụ:
φ 1 = 1 − A1 e −

√

2z

,

√

φ2 = B 1 e
trong vùng z

,

z0 ,
√

φ 1 = A2 e

η(−2h−z)

√

√

φ2 = e −
trong vùng z

−

ηz
ξ

z0 .

2(2h+z)
ξ

(e

(e2

√

η(h+z)

2(h+z)
ξ

− 1),
√

− 1)(B2 e

2(h+z)
ξ

√

+ B2 + e

2h
ξ

),


10

Hình 2.2b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet
(φj (−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1, h = 50(b). Đường màu đỏ và đường
màu xanh tương ứng là MDPA và GP.
1.0

K = 3, ξ = 3, h = 20

ϕ1

ϕ2

∂z ϕ2

0.8

z=-h

=0

0.6

0.4

0.2

0.0
-20

-15

-10

-5

0

5

10

z

Hình 2.4b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW
2

1),

K = 3, h = 20; ξ = 3.
2.2. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại tường
cứng
+ Điều kiện biên:
φ1 (z = −h) = 0, ∂z φ2 |z=−h = 0,
φ1 (z → +∞) = 1, φ2 (z → +∞) = 0.


11
+ Hàm sóng ngưng tụ:
φ 1 = 1 − A1 e −

√

2z

,

√

−

ηz
ξ

η(−2h−z)

(e2

φ2 = B 1 e
trong vùng z

,

z0 ,
√

φ 1 = A2 e

√

φ2 = 1 − B2 (e−

√

2(2h+z)
ξ

η(h+z)

− 1),

√

+e

2z
ξ

),

trong vùng z z0 .
Cấu hình ngưng tụ trong MDPA tiệm cận với cấu hình ngưng tụ
trong lý thuyết GP. Vị trí mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào vị trí của
tường cứng.
2.2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt
của hệ BECs trong tập hợp chính tắc lớn
2.2.1. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha
ướt với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng

Hình 2.5: (GCE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K
với h = 0(đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh).

+∞

dz{−φ∗1 ∂z2 φ1

γ˜12 = 4
−h

+∞

−

ξ 2 φ∗2 ∂z2 φ2 }

dz{(∂z φ1 )2 + ξ 2 (∂z φ2 )2 }.

=4
−h


12
+ Sức căng bề mặt tại tường cứng:
√
√
√
4 2(h + z0 )
4 2(h + z0 )
− √2(h+z )
,
γ˜1W = 2 2 − √2(h+z )
0

0
2
+1
+1
e ξ
e ξ
√
4
γ˜2W = 2 2 − √2(h+z )
ξ.
0
e ξ
+1
+ Quy tắc Antonov: γ˜1W = γ˜2W + γ˜12 .
Các hình 2.5 và 2.9 cho thấy ở điều kiện biên Dirichlet sự ảnh hưởng
của vị trí tường cứng đối với sức căng mặt phân cách là rất nhỏ. Đối
với giản đồ pha ướt, sự ảnh hưởng này chỉ xuất hiện rất yếu trong vùng
(1/K, ξ) ∼ 0.

Hình 2.9: (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tường
cứng ứng với h = 0 (đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh).
2.2.2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha
ướt với điều kiện biên Robin tại tường cứng
γ˜12 = 2(I1 + ξ 2 I2 + C1 + C2 ),
trong đó
z0

+∞

(−φ∗1 ∂z2 φ1 )dz, C1

I1 =
−h

+∞

η|φ1 |2 dz +

=
−h

2(|φ1 | − 1)2 dz,
z0


13

6

∂z ϕ2 -h = 0 = 0, ξ = 1
h→+∞

5

h = 20

γ12

Pξ1

4
3
2
1
0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1
K

Hình 2.11: (GCE) Hiệu ứng giới hạn không gian của sức căng mặt
phân cách với ξ = 1.

1.0
∂z ϕ2 z=-h = 0
ζ→+∞
ζ = 20

0.8

0.6

ξ

partial wetting region

0.4
complete wetting region

0.2

0.0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1/K

Hình 2.12: (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt
tường cứng với ζ = (h + z0 ) = 20 và ζ = (h + z0 ) → +∞.

14

z0

+∞

(−φ∗2 ∂z2 φ2 )dz, C2

I2 =
−h

+∞
2

η|φ2 |2 dz.

2(|φ2 | − 1) dz +

=

z0

−h

+ Sức căng bề mặt ngưng tụ tại tường cứng:
γ˜1W

√
4(h + z0 )
, γ˜2W = 2 2 tanh

=√
2(h + z0 ) + 1

√

2(h + z0 )
ξ.
ξ

Các hình 2.11 và 2.12 cho thấy ở điều kiện biên Robin sự thay đổi vị
trí của tường cứng hoàn toàn không ảnh hưởng tới sức căng mặt phân
cách và giản đồ pha ướt.
2.3. Sức căng mặt phân cách của hệ BECs trong tập hợp
chính tắc
˜ 12 = ∆E = (I1 + ξ 2 I2 ),
Γ
AP ξ1
hoặc là
˜ 12 = 1 I1 + n3/2 ξI2 ,
Γ
21
N1
trong đó σ10 =

g11 n10
, n21
2

=

n20
n10 , N1

+∞

φ21 dz.

=
−h

˜ 12
Các hình 2.14, 2.15, 2.16, là các đồ thị mô tả sự thay đổi của Γ
theo 1/K tại các vị trí khác nhau của tường cứng, với các giá trị khác
nhau của ξ và n21 , cho thấy trong CE sự ảnh hưởng của vị trí tường
cứng tới sức căng mặt phân cách cũng rất yếu. Trong điều kiện biên
Dirichlet, ảnh hưởng của các tham số của hệ tới sức căng mặt phân cách
thể hiện rõ ràng hơn trong điều kiện biên Robin.
Tổng kết chương 2
Trong chương 2, ta đã nghiên cứu tính chất bề mặt tĩnh của hệ BECs
bị giới hạn trong nửa không gian bởi một tường cứng. Sau đây là phần
tổng kết và thảo luận về các kết quả đạt được.
• Nghiệm của TIGPEs trong MDPA tiệm cận với nghiệm tìm được
bằng cách giải số TIGPEs không thứ nguyên trong lý thuyết GP
là cơ sở quan trọng để khẳng định độ tin cậy của phương pháp
MDPA.


15
40

ϕ j (-h) = 0, ξ = 5, n21 = 1
ζ = 100
ζ = 20

Γ12

N1 σ10

30
20
10
0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1/K

(a)
15

∂z ϕ2

z=-h =

0, ξ = 10, n21 = 1
ζ = 100
ζ = 20

N1 σ10

Γ12

10

5

0
0.0

(b)

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1/K

Hình 2.14: (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K
với n21 = 1, ζ = (h + z0 ) = 20, 100; φj (−h) = 0, ξ = 5(a);
∂z φ2 |z=−h = 0, ξ = 10(b).
• Vị trí mặt phân cách giữa hai thành phần (z0 = 0) phụ thuộc vào
vị trí của tường cứng, z0 → 0 nếu tường cứng dịch ra xa vô cực.
Hiện tượng này hoàn toàn khác với hệ vô hạn, mặt phân cách
luôn ở z0 = 0 với mọi giá trị của các tham số.
• Với điều kiện biên Dirichlet, sức căng mặt phân cách bị ảnh hưởng
rất ít bởi vị trí tường cứng. Sự ảnh hưởng này hoàn toàn triệt tiêu


16
40

ϕ j (-h)= 0, ζ = 20, n21 =1
ξ=1
ξ=6
ξ = 11

Γ12

N1 σ10

30
20
10
0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1/K

(a)
20

∂z ϕ2

z=-h =

0, ζ = 20, n21 =1
ξ=5

15

ξ = 10

N1 σ10

Γ12

ξ = 15

10
5
0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1/K

(b)

Hình 2.15: (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K
tại n21 = 1, ζ = (h + z0 ) = 20; φj (−h) = 0, ξ = 1, 6, 11(a);
∂z φ2 |z=−h = 0, ξ = 5, 10, 15(b).
ở điều kiện biên Robin.
• Với những giá trị phù hợp của các tham số K và ξ, từ trạng thái
không dính ướt bề mặt tường cứng ngưng tụ sẽ chuyển sang trạng
thái dính ướt bề mặt tường cứng, hoặc từ trạng thái dính ướt một
phần chuyển sang trạng thái dính ướt hoàn toàn, hiện tượng này

được gọi là chuyển pha ướt, đây là chuyển pha loại 1. Với mọi


17
20

ϕ j (-h)= 0, ζ = 20, ξ=1
n21 = 0.5

15

n21 = 1.0

N1 σ10

Γ12

n21 = 2.0

10
5
0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1/K

(a)
15

∂z ϕ2

z=-h =

0, ζ = 20, ξ=1

N1 σ10

Γ12

n21 = 0.5
n21 = 1.0

10

n21 = 2.0

5

0
0.0

(b)

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1/K

Hình 2.16: Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại
ξ = 1, ζ = (h + z0 ) = 20 với n21 = 0.5, 1.0, 2.0; φj (−h) = 0(a),
∂z φ2 |z=−h = 0(b).
vị trí của tường cứng, giản đồ pha ướt không có sự thay đổi nào
đáng kể.


18
Chương 3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt
phân cách trong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng
3.1. Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường
cứng

˜ mặt
Hình 3.1: Hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng tại z˜ = ±h,

phân cách giữa hai thành phần tại z˜ = z˜0 .
3.1.1. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại hai
tường cứng
+ Điều kiện biên (3.1):
φj (z = ±h) = 0 với j = (1, 2).
+ Hàm sóng ngưng tụ:
φ1 = e−

√

2z

√

(e

2z

√

−e

√

φ2 = B1 (e

ηz
ξ

√

−e

ở bên phải mặt phân cách (z
√

φ 1 = A2 e
√

φ2 = e −

2(2h+z)
ξ

(e

√

)(A1 (e

η(2h−z)
ξ

2h

√

+e

2z

) + 1),

),

z0 ),

η(−(2h+z))
√

2h

(e2

√

2(h+z)
ξ

η(h+z)

− 1),
√

− 1)(B2 e

2(h+z)
ξ

√

+ B2 + e

2h
ξ

),

ở bên trái mặt phân cách (z z0 ).
3.1.2. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại hai
tường cứng


19
+ Điều kiện biên (3.4):
φ1 (z = −h) = 0, ∂z φ2 |z=−h = 0,
∂z φ1 |z=+h = 0, φ2 (z = +h) = 0.
+ Hàm sóng ngưng tụ:
√

φ1 = 1 − A1 (e
φ2 = B1 e
ở bên phải mặt phân cách (z

(e

√

+e

√
2 ηz
ξ

η(−2h−z)

−e

√

(e2

√
2 ηh
ξ

φ2 = 1 − B2 (e

2z
ξ

η(h+z)

√

√

ở bên trái mặt phân cách (z

2(2h−z)

),

),

z0 ),
√

φ 1 = A2 e

√
ηz
− ξ

2z

+ e−

− 1),

2(2h+z)
ξ

),

z0 ).

Hình 3.2b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet
(φj (±h) = 0) trong MDPA (đường liền) và trong lý thuyết GP (đường
gạch), K = 3, ξ = 1.

3.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân
cách với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng. Lực Casimirlike


20
1.0

ϕ1

ϕ2

0.8

∂z ϕ2

z=-h

=0

K = 1.2, ξ = 1, h = 10

0.6
0.4
0.2
0.0
-10

0

-5

5

10

z
W2
1
Hình 3.3b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW
1 , λ2

1)

trong MDPA (đường gạch) và trong lý thuyết GP (đường liền).

3.2.1. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân
cách trong hệ tập hợp chính tắc lớn
γ˜12 = 4(I1 + ξ 2 I2 ) + 2[−(ap + am − 4)h + (ap − am )z0 ].
Ở đây I1 =

+h

+h

−h

−h

(∂z φ1 )2 dz, I2 =

ap = [(∂z φ1 )2 + ξ 2 (∂z φ2 )2 ]

am = [(∂z φ1 )2 + ξ 2 (∂z φ2 )2 ]

(∂z φ2 )2 dz,
√
z=+h

= 2(2A1 e

2h

+ 1)2 + 4ηB12 e2h

√

z=−h

= 4A22 ηe−2h

η

√

+ 2(2B2 e−

√

η/ξ

2h/ξ

,

+ 1)2 .

Hình 3.4 cho thấy sức căng mặt phân cách biến thiên rất nhanh theo
khoảng cách giữa hai tường cứng nếu h ξ, sự biến thiên này chậm dần
nếu h > ξ, sức căng mặt phân cách không còn phụ thuộc vào h nếu
h
ξ.
3.2.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân
cách trong hệ tập hợp chính tắc


21

Hình 3.4b: (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân
cách tại ξ = 3(b) với các giá trị khác nhau của K = 1(đường liền), 1.1
(đường gạch), 3 (đường chấm).

+h

Γ12

∆E
= P ξ1
=
A

dz(−φ1 ∂z2 φ1 − ξ 2 φ2 ∂z2 φ2 )

−h
+h

= P ξ1

dz[(∂z φ1 )2 + ξ 2 (∂z φ2 )2 ]

−h

= P ξ1 (I1 + ξ 2 I2 ).
Trường hợp m1 = m2 = m, g11 = g22 = g, σ10 = σ20 = σ0 :
˜ 12 = 1 I1 + n20
Γ
N13
n10

3/2

I2 ,

˜ 12 = Γ12 /σ0 N 3 .
ở đây Γ
1
Trên hình vẽ 3.5 cho thấy tương tác giữa hai thành phần ngưng tụ
làm cho áp suất của hệ tăng nếu thể tích giảm. Ngược lại, nếu thể tích


22

Hình 3.5b: (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo h tại
ξ = 3 và K = 3.

Hình 3.6b: Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại
ξ = 3 với h → +∞(đường liền), h = 12 (đường chấm), h = 8(đường
gạch). Màu xanh và màu đỏ lần lượt tương ứng với GCE và CE.


23

Hình 3.7b: (GCE) Sự phụ thuộc của lực Casimir-like trên một đơn vị
diện tích tường cứng vào h tại ξ = 3 với K = 1(đường liền), K = 1.1
(đường gạch), K = 3(đường chấm).
của hệ tăng thì áp suất giảm xuống, các hạt được phân bố đồng đều hơn
do vậy sức căng mặt phân cách giảm xuống.
+ Công thức (3.24):
2[(ap − am )z0 − (ap + am − 4)h]
γ12
=4+
.
Γ12
I1 + ξ 2 I2
Tỉ số Γγ12
không bằng 4 như kết quả đã tìm được cho hệ bán hữu hạn ở
12
chương 2 và cho hệ không giới hạn trong Phys. Rev. A 91, 013626 (2015).
˜ 12 theo 1/K với những giá trị
Hình 3.6 vẽ sự biến thiên của γ˜12 và 4Γ
khác nhau của h và ξ cho thấy rõ hiện tượng này.

3.2.3. Lực Casimir-like
Lực Casimir-like tác dụng lên một đơn vị diện tích tường cứng được
xác định theo công thức
1
F˜GCE = − ∂h γ˜12 ,
2
1
˜ 12 .
F˜CE = − ∂h Γ
2
Từ hình vẽ 3.7 ta nhận thấy trong trường hợp hệ phân tách yếu
(K < 3), lực Casimir-like là lực hút khi hai tường cứng ở khá gần nhau


24
(h ∼ ξ hoặc h lớn hơn ξ không nhiều), nó trở thành lực đẩy nếu hai
tường tiến ra xa nhau (h
ξ), trong trường hợp hệ phân tách mạnh
(K > 3), lực Casimir-like luôn là lực hút. Những tính chất này khác với
lực Casimir, là lực hút hay lực đẩy tùy thuộc vào đặc điểm của điều kiện
biên là điều hòa hay phi điều hòa. Lực Casimir-like triệt tiêu với mọi
tham số của hệ khi h → +∞.
3.3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân
cách với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng
3.3.1. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân
cách trong hệ tập hợp chính tắc lớn
+h

[(∂z φ1 )2 + ξ 2 (∂z φ2 )2 ]dz = 4(I1 + ξ 2 I2 ).

γ˜12 = 4
−h

3.0

K=3.0

2.5
ξ = 1, ϕ1 (-h) = ϕ2 (h)= 0

Pξ1

γ12

2.0

∂ z ϕ1 z=h = ∂ z ϕ2 z=-h = 0

1.5
K=1.1

1.0

K=1.0

0.5
0.0
0

2

4

6

8

10

12

h

Hình 3.8: (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân
cách tại ξ = 1, với các giá trị khác nhau của K = 1.0(đường liền), 1.1
(đường gạch), 3 (đường chấm-gạch).
Hình 3.8 và 3.9 cho thấy γ˜12 phụ thuộc mạnh vào h nếu hai tường
cứng ở gần nhau. Khoảng biến thiên của khoảng cách giữa hai tường
cứng mà trong đó γ˜12 phụ thuộc mạnh vào h càng rộng nếu sự phân