Nghiên cứu các hiệu ứng nhiệt động và phi điều hoà ảnh hưởng lên các tham số cấu trúc của các hợp kim thu được từ các phổ cấu trúc tinh tế của hấp thụ tia X(XAFS

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TựN HIÊN
TÊN ĐỀ TÀI:
NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG NHIỆT ĐỘNG VÀ PHÍ
ĐIỀU HOÀ ẢNH HƯỞNG LÊN CÁC CÁC THAM s ố
CẤU TRÚC CỦA CÁC HỢP KIM THU Được TỪ CÁC
PHỔ CÂU TRÚC TINH TÊ CỦA HẤP THỤ TIA X (XAFS)
MẢ SỐ: QT-00-06
CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI:
PGS-TSKH. NGUYỄN VĂN HÙNG
ủ;: ’■ ' ' G! . - A MI':• I Ị
: ’ TJ “IN TỉfbV:'MỊ
, •_ O T jO O X u ị
HÀ NỘI 2001
Tên đ ề tài:
NGHIÊN cúu CÁC HIỆU ÚNG NHIỆT ĐỘNG VÀ PHI ĐIỀU HOÀ ẢNH
HƯỞNG LÊN CÁC THAM s ố CAU TRÚC CỦA HỢP KIM THU Được TỪ
CÁC PHỔ CẤU TRÚC TINH TẾ CÚA HẤP t h ụ t i a X (XAFS)
Mã số: QT-00-06
Chủ trì đề tài: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
Các cán bộ phôi hợp:
1. ThS. Nguyễn Bá Đức
2. ThS. Nguyễn Văn Hợp
3. ThS. Đinh Quốc Vương
4. CN. Đào Xuân Việt
5 CN. Lê Hải H ư ng'
6. CN. Hổ Tiến Dũng
BÁO CÁO TÓM TẤT BẰNG TIẾNG VIỆT
a. Tên đề tài, mã số:
• Tên đề tài;
Nghiên cứu các hiệu ứng nhiệt động và phi điêu hoà ảnh hưởng lên

các tham sô cảu trúc của họp kim thu được từ các phô cấu trúc tinh
tế của hấp thụ tia X (XAFS)
• Mã sô: QT-00-06
b. Chủ trì đề tài: PGS-TSKH. Nguyễn Vãn Hùng
c. Các cán bộ tham gia:
1. ThS. Nguyễn Bá Đức
2. ThS. Nguyễn Văn Hợp
3. ThS. Đinh Quốc Vương
4. CN. Đào Xuân Việt
5. CN. Lê Hải Hưng
6. CN. Hổ Tiến Dũng
d. Mục tiêu và nôi dung nghiên cứu:
1. xây dựng lý thuyết tổng quát về các tham số nhiệt động như hệ số dãn nở
mạng (cumulant bậc 1), hệ số Debye-Waller (cumulant bậc 2), sự dịch pha do
phi điểu hoà, hệ sô' dãn nở Iihiệl Irong lý thuyết XAFS.
2. Xây dựng lý thuyết thông kê lượng tử cho các tham số nhiệt động nêu trong
phần 1 đối với các hợp kim trong đó các tham số của thế liên kết nguyên tử
được xác định qua phép trung bình cộng. Dẫn các công thức cụ thể cho cấu
trúc fee và bcc.
3. Xây dựng hệ số phi điểu hoà để xác định sự thay đổi biên độ và công thức đối
với sự dịch pha của các phổ XAFS do phi điều hoà.
4. Tiến hành tính số cho mọt sô' hợp kim hai thành phần và tinh thể đơn chất
thành phần.
5. Thảo luận các kết qua tlui dược qua các kết quá tính số và so sánh với thực
nghiệm.
e. Các kết quả đạt được:
Do để tài chỉ giới hạn trong một năm nên các nghiên cứu mới được thực hiện
bước đầu. Tuy nhiên để tài đã đạt được các kết quả rất tốt đối với năm mục
tiêu nêu trên và các kết quả này đã được công bố tại các Hội nghị và tạp chí
khoa học như sau:

1. 1. “Theory o f Thermal Expansion and Cumulants in XAFS Technique ”
N. V. Hung, N. B. Due, D. Ọ. Vuong, J. Commun. in Phys. Vol. 11,
No. 1, 1-9, (2001).
2. “Theoretical Study ofXAFS Cumulant of fee Alloys Systems”
N. V. Hung, Đ. X. Viet, Tập công trình HNKH trường ĐHKHTN, 175-179,
tháng ỉ 1/2000.
3. “Lý thuyết thống kê lượng tử về các hiệu ứng dãn nở nhiệt của các hợp
kim dạng AB trong XAFS
N. V. Hùng, Đ. X. Việt, N. V. Hợp, HN Vật lý toàn quốc lần V, Hà nội,
1-3/3/2001.
4. “XAFS Cumulants and Thermal Expansion o fb cc AB Binary Alloys”
N. V. Hung, accepted for publication in VNU-Jour. Science.
5. “Evaluation o f EXAFS Spectra with Influence of Anharmonicity"
N. V. Hung, VNU-Jour. Science, Vol. 17, No. 3, 7-10 (2001).'
f. Tình hình kinh phí của đề tài:
1. Tổng kinh phí được cấp: 7.000.ơ00đ (Bẩy triệu Đổng).
2. Kinh phí trên đã được sử dụng như sau:
*Thù lao cho các cán bộ khoa học có kết quả tốt trong nghiên cứu:
5.000.000đ (Năm triệu đồng)
*Mua tài liệu khoa học, hội tháo khoa học, in ấn, nghiệm thu đánh giá kết
quả,2.0Q0.00Qđ (Hai triệu đồng).
BRIEF REPORT IN ENGLISH
a. Name and number o f the project:
• Project name:
Study o f thermodynamic and anharmonic effects influencing on structural
parameters o f alloys systems obtained from X-ray absorption fine structure
(XAFS) spectra.
• Project number: Q T-00-06
b. Project director: Assoc. Prof. Dr. Sci. Nguyễn Văn Hùng
h. Participants in the project:

1. MS. Nguyễn Bá Đức
2. MS. Nguyễn Văn Hợp
3. MS. Đinh Quốc Vương
4. BS. Đào Xuân Việt
5. BS. Lê Hải Hưng '
6. BS. Hồ Tiến Dũng
c. Purposes and contents of research:
1. Development of a general theory on thermodynamic parameters such as net
thermal expansion ( l sl cumulant), Debye-Waller factor (2nd cumulant bậc),
XAFS phase change due to anharmonicity (3rd cumulant), thermal expansion
coefficient.
2. Development of quantum statistical approach on the above thermodynamic
parameters for binary alloys systems in which atomic interaction potential
parameters are obtained by an plus-averaging procedure. Derivation of the
expressions for fee and bcc systems.
3. Deriving an anharmonic factor to calculate the anharmonic contribution to the
amplitude and a formula for the phase change of XAFS spectra due to the
anharmonicity.
4. Carrying out numerical calculations for some binary alloys systems and their
component crystals.
5. Discussions of the results by analyzing the numerical results and comparing
with the experiment.
e. Achievements o f the project:
The project is limited only for one year that is why it is in progress. But we
have achieved very good results, and they have been published in the
scientific conferences and journals:
1. 1. ‘T heory o f Thermal Expansion and Cumulants in XAFS Technique'''
N. V. Hung, N. B. Due, D. Q. Vuong, J. Commun. in Phys. Vol. 11,
No. 1, 1-9,(2001).
2. “Theoretical Study ofXAFS Cumulant o f fee Alloys Systems”

N. V. Hung, Đ. X. Viet, Tập công trình HNKH trường ĐHKHTN, 175-179,
tháng 11/2000.
3. “Lý thuyết thống kê lượng tứ vé các hiệu ứng dãn nở nhiệt của các hợp
kim dạng AB trong XAFS
N. V. Hùng, Đ. X. Việt, N. V. Hợp, HN Vật lý toàn quốc lần V, Hà nội,
1 3/3/2001.
4. “XAFS Cumulants and Thermal Expansion ofh cc AB Binary Alloys”
N. V. Hung, accepted for publication in VNU-Jour. Science.
5. “Evaluation o f EXAFS Spectra with Influence of Anharmonicity"
N. V Hung, VNU-Jour. Science, Vol. 17, No. 3, 7-10 (2 0 0 1 )/
f. Distribution of the funding:
1. Total funding provided by the VNU-Hanoi: 7,000,000d (seven million)
2. The funding was distributed as follows:
^Provided to scientists achieving good research results: 5,000,000d.
*Buying documents, materials and organizing seminars, evaluation of the
research results: 2,000,000d.
XÁC NHẬN CỦA BCN KHOA CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI
(Ký và ghi rõ họ tên)
(Ký và ghi rõ họ tên)
tat*
PGS-TSKH. Nguyễn Vãn Hùng
XÁC NHẬN CUA TRƯỜNG
ShỔ Hiệu TRƯÓN®
PHẦN BÁO CÁO CHÍNH
1. Mục lục:
+LỜĨ nói đầu
+Nôi dung chính của các njỉhiên cứu và kết quả
+Kết luận
2. Lời mở đầu:
Đề tài nghiên cứu khoa học mang tên “Nghiên cứu các hiệu ứng nhiệt động

và phi điều hoà ảnh hưởng lén các tham số cấu trúc của hợp kim thu được
từ các ph ổ cấu trúc tinh tế của hấp thụ tia X (XAFS)” đã tập trung vào
nghiên cứu các tính chất quan trọng của các hệ vật chất bằng phương pháp
XAFS là một phương pháp hiện đại đang được phát triển mạnh mẽ trên thế
giới. Các tham số được nghicn cứu là hệ số dãn nở mạng (cumulant bậc 1), hệ
số Debye-Waller (cumulant bậc 2), sự dịch pha do phi điều hoà (cumulant bậc
3), và hệ số dãn nở nhiệt. Qua đó không những xác định được các tính chất
nhiệt động của vật thế mà còn nhận được các ảnh hưởng của chúng lên các
phổ XAFS và từ đó thu được các thông tin chính xác vé cấu trúc của vật thể.
Phương pháp được sử dụng là ihống kê lượng tử. Đối tượng nghiên cứu là các
hợp kim và các tinh thê cấu thành chúng. Các qui trình nghiên cứu là xây
dựng mô hình, dẫn giai các công thức giải tích, tiến hành tính số, so sánh với
thực nghiệm, thảo luận kết quá và rút ra kết luận. Sự trùng hợp giữa các kết
quả lý thuyết với thực nghiệm dã đưa lại tính thuyết phục và hiệu quả của lý
thuyết. Đề tài đã tập trung sự tham gia của các cán bộ trẻ và qua đó các em đã
bảo vệ rất kết quả các luận án tốt nghiệp, thạc sĩ và trở thành nghiên cứu sinh
đê bảo vệ luận án tiến sĩ với các quả nghiên cứu cúa đề tài. Một điều có ý
nghĩa nữa là Prof. J. J. Rehr, trưởng tác giả bộ chương trình máy tính FEFF
của trường ĐHTH Washington (Mỹ), một chương trình nổi tiếng đang được
thuê khắp nơi trên thế giới, đã đề nghị giúp đưa các phương pháp của chúng
tôi vào đê biến đổi bộ chương Irình này từ một chương trình chỉ tính được các
đóng góp của dao động điêù hoà thành bộ chương trình có thể tinh được các
đại lượng cả điều hoà và phi điều hoà.
3. Nội dunq chính cùa các nqhiêiì cứu và kết quá:
A. Xây dựng lý thuyết tong quát về các tham sô nhiệt động phi điều hoà và dãn
nở nhiệt trong lý thuyết XAFS (Bài báo 1):
a. Dựa trên cơ sở của thống kê lượng tử xây dựng các biểu thức giai tích để tính
các tham sô' nhiệt động như sự dãn nờ mạng do phi điều hoà (cumulant bậc 1)
hệ số Debye-Waller (cumulant bậc 2), sự dịch pha cảu các phổ XAFS do phi
điểu hoà (cumulant bậc 3), và hệ số dãn nở nhiệt. Trong dẫn giải trên các phép

tính đối với các quá trình tương tác phonon-phonon đã được tiến hành chi tiết.
b. Dẫn giải các công thức đê tính hằng số lực dao động, tần số dao động, nhiệt
độ dao động trong mô hình Einstein tương quan phi điều hoà.
c. Các kết quả thu được bao chứa các đóng góp năng lượng điểm không là một
biểu hiện điển hình của các hiệu ứng lương tử nhất là khi xét các hiệu ứng tại
nhiệt độ thấp và có thể chuyên về các công thức của gần đúng cổ diển khi
nhiệt độ cao.
d. Biểu diễn các công thức qua hệ số Debye-Waller. Điều này không những làm
đơn giản các công thức thu được mà còn đơn giản việc tính toán cũng như
giảm bớt các phép đo vì nhận dược hệ số Debye-Waller là có thê suy ra các
tham số nhiệt động khác.
e. Trong dẫn giải đã nhận đưực các tham sô cấu trúc mới mà chúng có thể suy
nhận từ các các tham số nhiệt động của mô hình. Đo được tham số này ta có
thể xác định được cấu trúc của các vật thê đang nghiên cứu. Các kết quả lý
thuyết đã cho các giá trị đối với cấu trúc lập phương (simple cubic), lập
phương tàm diện (fee), lập phương tâm khối (bcc).
B. Xây dựng lý thuyết tổng quái về các iham số nhiệt động phi điều hoà và dãn
nở nhiệt trong lý thuyết XAFS đối với các hợp kim có cấu trúc lập phương
tâm diện (Các bài 2 và 3):
a. Xây dựng thế tương tác giữa các nguyên tử khác loại qua phép trung bình
cộng từ đóng góp của các nguyên tử thành phần. Thế được sử dụng là các thế
Morse. Từ đây xây dựng thế tương tác hiệu dụng đối với các hợp kim là một
vấn đề rất quan trọng khi tính các tham sô' nhiệt động và các phổ XAFS.
b. Xây dựng các tham số liên quan đến khối lượng rút gọn khi vật chất bao gồm
các nguyên tử của các loại khác nhau. Từ đó xác định đóng góp của các
nguyên tử thành phần vào các quá trình nhiệt động.
c. Trên cơ sở các kết quả trên chúng tôi xây dựng các biểu thức giải tích để tính
các tham số nhiệt động như sự dãn nở mạng do phi điều hoà (cumulant bậc 1)
hệ số Debye-Waller (cumulant bậc 2), sự dịch pha của các phổ XAFS do phi
điều hoà (cumulant bậc 3), và hệ số dãn nở nhiệt đối với các hợp kim hai

thành phần có cấu trúc fee và bcc.
c . Xây dựng hệ số phi điểu hoà đế xác định sự thay đổi biên độ và công thức đối
với sự dịch pha của các phổ XAFS do phi điểu hoà.
D. Tiến hành tính số cho một sô hợp kim hai thành phần như A1XCU| x (fee)
FexW |.x và tinh thể đơn chất thành phần như Cu, Al, Fe, w . Trong trương hợp
có số liệu thực nghiệm thì dã trùng tốt với các kết quả tính số. Điều đó đã đảm
bảo độ tin cậy tốt của các kết quá lý thuyết.
E. Xét ảnh hường của các tham số nhiệt động lên các phổ XAFS đã được kiểm
nghiệm qua so sánh giữa các kết quá lý thuyết với thực nghiệm đối với tinh
thể thành phần Cu và cho sự trùng hợp tốt. Điểu nữa có ý nghĩa lớn là Prof. J.
J. Rehr, trưởng nhóm tác giá cúa bộ chương trình máy tính FEFF của trường
ĐHTH Washington (Mỹ), một chương trình nổi tiếng đang được thuê khắp
nơi trên thế giói, đã để nghị giúp đưa các phương pháp của chúng tôi vào để
biến đổi bộ chương trình trên từ một chương trình chỉ tính được các đóng góp
của dao động điêù hoà thành bộ chương trình có thể tinh được các đại lượng
cả điều hoà và phi điều hoà (xin xem copy thư trên).
F. Các kết quả đạt được của đề tài đã được công bố tại các Hội nghị và tạp chí
khoa học:
1. “Theory o f Thermal Expansion and Cumulants in XAFS Technique"
N. V. Hung, N. B. Due, D. Q. Vuong, J. Commun. in Phys. Vol. 11,
No. 1, 1-9, (2001).
2. “Theoretical Study of XAFS Cumulant o f fee Allovs Systems”
N. V. Hung, Đ. X. Viet, Tập công trình HNKH trường ĐHKHTN, ỉ 75-179,
tháng 11/2000.
3. “Lv ỉhuvết thống kê lượng tử vé các hiệu ứng dãn nở nhiệt của các hợp
kim dạng AB trong XAFS
N. V. Hung, Đ. X. Việt, N. V. Hợp, HN Vật lý toàn quốc lần V, Hà nội,
1-3/3/2001.
4. “XAFS Cumuỉants and Thermal Expansion ofhcc AB Binary Allovs"
N. V. Hung, accepted for publication in VNU-Jour. Science.

5. “Evaluation o f EXAFS Spectra with Influence o f Anharmonicity"’
N. V. Hung, VNU-Jour. Science, Vol. 17, No. 3, 7-10 (2001).
G. Đề tài đã góp phần đào tạo tốt nghiệp đại học, các nghiên cứu sinh và học
viên cao học:
1. ThS. Nguyễn Bá Đức, đã bao vệ luân án Thạc sĩ và hiện đang hoàn thành luận
án Tiến sĩ.
Người hướng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Vãn Hùng
2. ThS. Nguyễn Văn Hợp. đã thi đạt điểm đê làm NCS.
Người hướng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng, TS. Vũ Văn Hùng
3. ThS. Đinh Quốc Vương, đã thi đạt điểm đê làm NCS.
Người hướng dẫn: PGS-TS. Nguyễn Quang Báu, PGS-TSKH. Nguyễn Văn
Hùng.
4. CN. Đào Xuân Việt, đã báo vệ xuất sắc khoá luận tốt nghiệp cùa hệ đào tao
CNKHTN và được chuyên liếp làm NCS hiện đang hoàn thành luận án Tiến
sĩ.
Nguời hướng dần: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
5. CN. Lê Hải Himg, đang hoàn ihành luận án Thạc sĩ.
Người hướng dần: PGS-TSKH, Nguyễn Văn Hùng
6. CN. HỔ Tiến Dũng, đang hoàn thành luận án Thạc sĩ.
Người hướng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
7. CN. Hoàng Sỹ Thân, tốt nghiệp đại học năm 2000 và đang làm việc tại Trung
tâm KHKT hạt nhân.
Người hưóng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
8. Đinh Thị cẩm Thanh, tốt nghiệp đại học năm 2000 và đang học cao học.
Người hướng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
4. Kết luận:
*Với thời gian ngắn trong một năm đề tài QT-00-06 đã đạt được các kết quả khoa
học quan trọng như đã nêu trong các phần trên, góp phần phát triển lý thuyết về
các hiệu ứng nhiệt động cũng như ảnh hương cùa chúng lên các phổ XAFS của
các hợp kim và các kim loại thành phần. Trên cơ sở đó có thể nhận được các

thông tin về cấu trúc của vật thể cá khi có các hiệu ứng phi điều hoà, một vấn đề
thời sự trong lý thuyết XAFS. Các kết quá của đề tài đã được công bố trong 5
công trình trong các hội nghị và tạp chí khoa học.
*Đề tài QT-00-06 đã góp phần dào tạo một số lượng đáng kể các NCS và học
viên cao học như danh sach nêu trên.
*Với các kết quả như trên dể lài QT-00-06 đã đạt kết quả xuất sắc.
PHẦN PHỤ LỤC
(Nguyên bản các cỏny trình khơa học đã được cồng bố)
Published by
NATIONAL CENTRE FOR NATURAL
SCIENCE AND TECHNOLOGY OF VIETNAM
Volume 11. Number 1 March 2001
Fage
C ontents
Nguyen Van Hung, Nguyen'
J.n
Due, and Dinh Quoc VuoiKj - Theory of thermal I-9
expansion ond cumulanls in xAj-S technique I
2 Nguyen Huyen Tung - Asymptotics of Ihe density of stales in disordered bulk 10-15
semiconductors
Dao Nguyen Ho3i Nam, R. M athieu, p. Nordblabd, Nguyen Van Khiem, and N guyen 16-29
Xuan Phuc - Magnetic properties of the Y ,. Co- , MnO, c'.rnD0ur>'!
Nguyen Tuan K h a i, and Le Hong Khiem - Energy loss and ranqe of heavy ions in seme 30-36
'ỴDical stopping materials
Nguyen Van Khanh, Nguyen Van Vuong, Man M inh Tan - The self-demagnetization 37-44
factor of bonded magnets
Tran Thanh Minh, Nguyen Van Do - study on the separation of decay schemes of two 45- 50
6 a -129 states
1
Pham Thu Nga, Le Ngoc Chung - optical properties of Eu ' in 'he new efficient laser 51- 57

material of strontium fluorovanadate
Letters to the Editor
Hoang Dac Luc, Co Tuong Hanh, Le Tien Quon - Assessment of waste water pollution 58- 61
by hejvy metals using nuclear analytical techniques
D. c. Hiep, L. V. Hong, N. M. Ha. p. V. Phuc, D. N. H. Nam, N. X. Phuc, T. T. P huong. 62- 64
r. L. Hung, and N. M. Hong -3 9 K superconducting alloy
of
vlgB-
Communications m Physics. \bl II. No 1(2001). pp 1-9
THEORY OF THERMAL EXPANSION AND Cl.1 MU LAN rs
IN X U STẸ
Vbstract.
NGUYEN!
Aĩị
I
lúicnliy <)/ rhy.ị
1'
A n e w t h e o r y III '•

i
, I M I 111 > / I i I' / Y1 / » »' / / 1 - X
CHNIQUE
MAN HUNG. NGUYEN BA DUC.
D DINH QUOC VUONG
ex. Iỉntversưv (>í Scicncc. I NI -Honor
•rnuil expansion and cunìuhnus in A. I/’.S has been fornw-
Uiiccf í/c\’i'lo/)i>i{Ị fur the r
//it' -V
'iLiniinnic-t. I H'lvliiicJ lun.stcin m o d e l I h e cx/uvssion.s
HV/t’

d e r i v e d lor SỊ)TI M > co nst ant. h.\ i st c m /cnự KTdHiiv. I'.wsictn fiv qii cnc y first c u n n i U m t o r ne t

thcrniLii e x p a n s i o n c/c \c nn ;n ^\ in a s v m m c t r v <>: m l c r a c l u m potential, s c c t m d c u n i u h m t o r

Ì h ' h w - U h i l c r n icio r third u k m i , a n d ri cnti.ll c x p u m i o n co cUici cnt . T h e c u b i c p a r a 
m e t e r of in te ra ction p o t e n t till < i n c l u d e d
; / J! t / //
e xpr e s s i o n s d e s c r i b i n g a n h u n n o m c L’ffccts

! h’nvciiion IX based I in cỊnanliĩni \liitisiicalịpn>ccdnre and the ,'Vaults dcscnhc ihcrnHHty-
n t m u c p rop e rti e s of crystals f or

<inv s t m a ú i v a n d liny irnì/ìc miit iv S o m e n e w s truc tu ra l

p n r < m K ' t c r s h a v e i/e\c/oj'Sti describing, a t o m i c distributi on ill A A I \ S icclinn/iic
’ !i
I,
I. INTRODUCTION
,J ■
[t IS known that X-ray Absolution line Structure (A .l/’.yi provides mlormation oil
atomic number and radius (if atomic shell of subslanccs .!
11
(I hence becomes a powtMlul
structural analysis technique Bu|f two tilings!.lie still required to solve lusily. several
uncertainties in the in form ati oil oh I he alomid shell radius occur due to lha modvnannc
effects, especially at high temperatures, where the .inharmonic contributions must be in
cluded I i. -], secondly, still no exact method for determination of atomic distribution or
s I ruct LJ re has been formulated Tosòlve the first problem the cumulant expansion approach
Ị 'Ị has been developed According; to this approach the A . w .S’ function tor
<1

sinulc shell
IS described with in the frame work of a sinule-scattcriim and plane-wave approxim ation
bv
\ I />■! - .\[h) Ini
Mfc)
2fkr
1
ik'f l n r
.*!>!<L-\
1
2ikrii+ > r ]
n\
y.
0
J
(!)
where /.■ .!.<[> are the wave number, amplitude, and total phase shift of photoelectron,
respectively, r is the instantaneous distance between absorbing and backscattering atoms
and /•() IS Its value at the equilibrium or minimum position of the interaction potential, the
brackets • denote a thermal aveiage, and ơ <r 1 are the cumulants This approach has been
used mainly in fitting the X A lrs spcctfa to extract physical parameters from experimental
data. The anharmonic sin d e-particle potential theory [6], sinụle-bond spring constant [5],
full-latticc dynamical procedure [II], and anharrrionic-correlated Einstein model f4J ha\'c
been developed to approximate cumulants in X'AI-'S spcctroscopy. The comparison ol
these methods will be discussed in theiSection 5 of present paper
Contributing to solving the first'problem jn this work we develop iurtlier the an-
harmonic - correlated Einstein model,lỊlerivirm gèneral expressions for thermal expansion
and X A h 'S cumuiants which arc valid for any structure and any temperature then the
results for fee and bcc structure published beforfe [8, 9] as well as for simple cubic (s c )
obtained in this work are only the special cases of present theory.

To solve the second problem frorp our developed theory som e parameters will be de
rived as the new structural parametersịtíescribingl atomic distribution in structural analysis
bv AVI/' .S' Attention will be focused on cubic crystals and the advantages of present
procedure in comparison with other methods will be discussed 111 details
II. DERIVATION OF THERMODYNAMIC PARAMETERS
Thermodynamic properties of substances are known as the results of their thermal
atomic VI b ran on At low temperatures this vibration IS harmonic, but nnharrnonic con
tribution.; must be included at hiuh temperatures [ 1 -4 Ị Present derivation IS based on
quantum statistical procedure with quasi-harmonic approximation, according (o which the
I lai. 111 toman of the system is wr itten as a hill monic ter ill with respect to the equi libnum ill
a gi ,vn tcrnpcrau re, plus an anharmomc perturbation
rr n2 [
11 -■ i- ( /•: (■>■) = lit) -r (■/.■ fa ) - Ờ Ỉ ’,, (//) : //„ = r— -u -A:, ffij2. (2)
-I1 '2/1 ‘2
where
, _ / W <«'U
./ = r - !J = - a: ,1 = : // - — — ; u) = u. (3)
.l/() 4- M
1 Icrc ft is reduced mass of absorber with mass ,\/() and backscatterer with mass M. r
and ?■(, have the same meaning as for Eq ( Ỉ). We define 7 to be the deviation from the
equilibrium value ot X at temperature 7 and determine the net thermal expansion a('I') = <
r - rn which characterizes an asymmetry in the interaction potential (Fm 1) This
asymmetry occurs due to anharmomc ciTccts
According to anhannonic-corrdatcd ninstcin model [4] the interaction between ab
sorber and backscattercr is via an efTective-anharmonic Einstein potential
rf [r) rJ'-jj-'-' " t V r ( j i . r \ . (4)
r
Fhis potential includes tinhcii i(i(jmcitv parameter ; desenbmu till iisvmmctrv or
skew 111 the pillr distribution tunctioịi and the Contributions of a small atom cluster sur-
2 NCỈUYIíN VAN IIUNCỈ , NCUJfiT.NBA DUt. ANH DỈNIỈ ỌUOC VIJONCr

i
THEORY OI; TIIliRMAL EXPANSION AND 3
I I
}
rounding the absorbing and backscattern.y atoms. arjd therefore, spnnu constant becomes
an effective one k, J f The contributions of such cỉuèter is described in Eq (4) by the sum
i which is over absorber (?' = U) and backscatterer (
7
- = 1), and the sum J which is over
all their near neighbors, excluding the absorber and backscatterer themselves. The lat
ter contributions are described by the term U{x), and H in Eq (4) is the unit bond lenuth
vector.
From F.qs (2-4) the interacting effect
I '}■: (u) = ('/■: {11)
Í
1
Til 1C interaction between atoms ot'ca
I
tive Einstein potential is uiven by
+ ộk'iỉ!Ầ2 r (^-1- (.V)
(5)
:h pair in the sirmle bond can be via an imperical
potential like Lennard-Jones, or Morse. < I' Mardeliinn potential In this work vvc use ail
anharmonic Vlorse potential which is appropriate far cubic crystals.
u
1
:
I
■,/
/

/
/
/
0
/ /
/
X displacement —►
Hg. 1. Potential energy u and net thermal expasion II = I.r) deenbing an as\ mmctrv of
interaction potential Dashed line describes symmetry potential
l:\panded to third order about its minimum this model becomes
r
IUr. - 2f '"■) !){-[ -cr.r - 0 V 1 + J .
(6 )
where I) IS dissociation energy, and corresponds toj the width of potential It IS sufficient
to consider weak anharmonicity, l.e . the first order perturbation theory so that only the
cubic term in this equation must be kept
Substituting (6) into Ec] (4) anti using Ik] (>) we derived the followin'* expressions
■■ ‘ (Do- ■ fi:rị\ V-J - (7)
/■■ 1.7 1 — \>'\!h\'(i - . ì|,\ịí;‘ ) I/ - /.';<//’ ~ I !)(, ’'(II/ — I:,//1’
— I )< I 1 ( f'l III/ w/ ! I . ex )
4
I ,
NGUYI'N VAN j HJN(i . Nlil.'i I'N BA DIJC. AND DINI1 ouoc VƯONG
Here the factors r;J, <\2 and f;i contain the sum of the projection of contributions of
near neighbors to the pair potential between absorber and backscaiterers. i.e., the scalar
product in E(| (4). Therefore, they characterize the distribution of neiíỉhborirm atoms sur
rounding the absorber and backscatterer and are different for different structures. They
were derived for cubic crystals and are presented in Table ]
Table ! : The values of atomic distribution parameters C|. c2. and C.Ỉ derived for sc .
fee. and hcc crvstaỉs

Sli ucluic
L* 1 L ' C-Ị
s.c
1
s
1 5/4
Icc
s
'1/5
5/4
lxc
1 1 /3
-
4
IS/1 1
i
5/4
Moreover. rhc anharmomcity parameter A i IS included in each of (7), (8), and wc
li.r itcci only Its I :rst order due to weak anharmomcitv
Now we vise the lirst-order thermodynamic perturbation theory Ị7Ị to derive the
l< rmulas lor the cumulants and the thermal expansion coefTicient The atomic vibration
!' quantized ns plionon and unharmomcitv IS ill. result o f plionon interaction Therefore.
' VC cx pres' // in len ns o f nnnihilaiion and creation operators, n and a .1 0
ị
7 n'] Ị » " j ( h ỵ ' l i i u : 11 ■' (9)
/
iiud lisc the huM'ionic oscillator states // as eigenstates with eigenvalues i — iihrr/
lunoriim the /.cro-point eneiuy 101 convenience
I lie cumulants arc expressed by the nvcrauc value of //. that's why to derive their
formulas we use the expression [7]

(//" J = y 1 r!jlr ■ <>• • I ■ - . '■>

(10)
where/7 - r " with .1 = 1 //,'/</ IS the statistical density matrix, z — Trp is the canon
ical partition function, and k n IS Boltzmann's constant The correspondirm unperturbed
quantities arc ■-■= r -Jl' and /,) = i rrn To leading order in the perturbation .
f> — !>[) : ‘V ’ where ÒỊ) IS mven by
‘V - I < ‘!L <s I'l i.i'i'I.i1 , <s (./) , ,'ỉ'ị I Ui
0
(II)
THEORY OF TI IHRfýịAl' HXI’ANSION AND
With the above arguments we have
Z|, l ỵ - = Ỳ ,
II TI 0
u
(12)
where the temperature variable z = <■ 1 is determined by the Einstein
temperature, derived from Eqs.(2-4)
Of.; — — \r I ( D a 1 -f / / i p = — [r-ịl)(l - f y :1(Ki) / ị‘Y* ■ (13)
kjj I kli
For further derivation of expression^ for the curnulants wc calculated the matrix
elements
( n j lị11 n) — (rj° )2 ( 2/a — 1) ,
' //i/yjn -r 1) — (N •- 1)' , ( 1
// ị /y;ỉ 1 // - 1)
■Ỉ l.r1>
• )
fT Ì [n
I + I.: 4-
■}.

• III 7 ’' II 4- • Ỉ — (Í r1*) ’ (// 4' L j (// • 2) Í n •- 'ị I
and applied the followin'* mathematical expressions
Ẹ " - ' - = + ( I - ; ) '
»> n ' I
y [n + i f = - V •" n : ÌỊ [„ > 2) (15)
n
rỉ
We neulectcd all the terms containing IIs with -S' > 2 due to the weak anharmonicity
From Eq (10), first equation of (14) and first equation of (15) we obtain for the even
cum III an is
__
^ 7 ' 2
__
1 /■ _ 1 \ '
n .ihzz I
. I
2
I
u ) = 7 ,1 r p y = /•/;„// = TT > {"lu \n /~-
/ /() /() —'
ri.
h"r: 1 +
= \'f) = - J rpyc = - - / r/h)!/‘ = 7T > (n\!j*\n)= (16)
By performum the intcrural in liq (II) over A and evaluating the traces, the rcmamnm
odd moments arc uiven bv
N(ÌU Yl'.N VAN IIUNCi . NCSUYHN BA Due. AND DINII QIJOC VtJONCi
Using Eqs.( 10), (17) we obtain fo r/I — 1
i 1
2 (f7°'2
'!/) = - l i-py ~ r r ' l r fJi\!J = , - -

/ /() Ill'll
Oo (I 4- -5A' (íT „)ấ
1 4- c
1 -
18)
By setting < // > = (J we obtain fronli Eqs.(7), (16). (18) the first cumulant or net thermal
expansion
(Ĩ
o f-Ị h z c I ■ 1
‘2(ìị I)'*(*•' 1 -
and hence, the second cumulant
D à 2
■ o'
2r\ Da 1
■<T
(2)
(W )
vhich is equal Debye-Waller factor <T‘
a
(2 0 )
Since (V'/.• (7 ) lias the expression (8) to Icadinu order 111 and m = 1 or the
mall IX elements only couple // to ti JZ 1. n i_3 Also, makiiiii use ot the hcrmiticity of
(V V' (//) an(-l //”'< we can demonstrate the equivalence of the n ’ = n ± j terms in IÌCỊ ( I 7)
Therefore, from Eqs (7) and ( 17) we derived the third cumulant
I'i)
'Jr-ị I )•, |(
/■•) 1 • 1'
I;
1 ; ■
KJ-: 4-

(21 )
Usinu hqs (7, 19) vvc derived the thermal expansion cocilicient
;Uv,
I)
. J/. ;{/-!
jt /-{III
) '5' -
{III ■- y
<:ị I ị lr ( 1 _ I I /Jn •/•([_ _ ) 2
( •
■ 10111 above results It is easy to get the followinu relations
n 7 r l'(T2 (1 -f ,;) In [ I / z )
= Í i - . : ) ( ! + U)z 4- z2) ’
.'i(i 4- 2)"
rr
2(1 +■ ilJc + ,:'2)
(23)
(24)
Note that CT( 1 ] a I contain the anharmonicitv parameter /r;?, and occur only when
this parameter IS included, that is why (Tf 1 1 . <7{ :i)and n 7' must be taken into account for
consideration of anharmomc ctTccts in AM/' .S' technique
III. D ESC R IPT ION OF TH E R M OD YN A M IC PARAM ETE RS BY
DEBYK-< \LL EU FACTORS
*
One of our important etĩorts is to'simplify the theoretical description, so that It can
lead to reducinu the numerical calculations and measurements For this purpose we may
niEORY OF T|iII-:ilMAL EXPANSION AND.
describe the temperature variable in term of Debye-Waller factor (V
Í
a 1 - Ờ1

f;()
rr2 4- Ơn
(25)
i
Usiiiu Eq (25) we net all expressions derived in the previous section for therm odynamic
parameters in the following forms
(T
(I)
(T
(1) 1 + ~ '1 T(l) 2
0 , — Ì a ' rT0 - n
I - z \ (■ I
rr
<>■ /•
(I r i ' T ( j 2
a ( :$)
2 1 + c
rT () -
1 - ’
(;j)3 (^ )'2 -Ì* 2 (o-;2,)
11 / 2\^
(rTn)
r. / M V \ 2
I) c c Ị.
1 = ’
rT
;:) = — K )
f,i
„ Ị r, / M v y I" ^
“ H u J ['- ( .T U

r , Ị ) i Ỳ 1ơ i I - 1'2
2A:/i7 1 - (2 /3 ) ((T(5/(T'2) 2
n
c'il)(vr
(1
(:i)
_ I

2 - ( l / . ' O K W
'2 ■
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31 )
where iT|)' ) , <T^J and r r ^ arc zero-point c> Uributions.to <T(I) , rr2 and respectively
In the above description, besides the M orse potential parameters arc uiven, to calcu
late the thermodynamic parameters rr(1> , .r'2 , n^.cy-r and the relations (3 1, 32) we have
to calculate only the Debye-Waller factors rr2 So far, calculating or, m easuring (T2 one can
prcdict the other cumulants, thus reduciim the calculations and measurements.
IV HIG H -A N D LO W TE M PE R A T U R E L IM ITS
The above derived formulas are valid for all temperatures, but it is useful to consider
their high-temperature ( / / 7 ’i limit, where the classical approach is applicable, and low-
temperature ( / / / ’) limit, where the quantum theory must be used
In the i r r limit we use the approximation Rá 1 — //-;/. y /,•///' to simplify the
expressions of thermodynamic parameters. In the Ĩ/Ỉ' limit — 0, so that we can neulect
c2 and higher powers The results of these approximations are presented in Table 2
All the above results reflcct the proportionality to of and (>■[■. so that
these values characterize the anharmonic blTccts Note that ■rm , a 1 , íĩn) contain zero-

point contributions, n /• approaches the constant value Hy- at hiuh temperatures but vanishes
X NGUYHN VAN IIƯNG , NGIJYF-N HA DIJC, AND DINI1 QUOC VIJONG
Table 2 Expressions of , n2 . fry- and their relations in low-tcmpcraturc and liigh-
tcmpcraturc limits
Value T -> 0 T —> 00
G fl)
ơỉ!ì(ỉ + 2z)
3c,kl3T /C |D a
Ơ2
ơ ịo + 2z)
k„T / c, D a 2
(
G
a;/'(: 12z)
6ci(k BT ): / Cj’D ’a :
Ơ r
a'pZfln z): (1 -r 2z)
a ;
a , 1T Ơ2 / Ơ' ‘1
3z ln(l / z) —> 0
1/2
ơ " 'a : /ơ
3(1 + 2z); /2(1 + \2z) ->3/2
1/2 -
V. DISCUSSION AND CO NCLUSIONS
Developing further the cinharmonic correlated Einstein model |4J we derived a ụcn-
cral theory for calculation ol thermal expansion and cumulants in X A F S theory includ
ing anharmonic contributions. The expressions arc valid lor any temperature and different
structures separated by our new structural parameters Flic results for fee and bcc struc
ture published betore [8, 9], and tor sc. structure obtained in tills work become special

eases of present procedure when we put the magnitudes ol |"| (■■>. (■■ J from Table ] into the
above obtained expressions
With the discovery that the XAỈ's spcctra provide the number of atoms and the ra
dius ot each shell, the XA FS spectroscopy becomes a powerful structural analysis tech
nique, but the problem remained to solve is the distribution of these atoms. The factors
f.‘i . c2 and fj introduced in present work contain the angle between the bond connecting ab
sorber with each atom and the bond between absorber and backscatterer. That is why they
can provide the atomic distribution and hcnce discovered as new structural parameters.
Knowing structure of the crystals like cubic crystals, I e . the magnitudes o f r | :r2 r>;
from Table 1 we can calculate the cumulants and then the X A F S spectra according to
Eq.(l). But for structure unknown substances we can extract the atomic number and the
radius of each shell from the measured X A F S spectra, as well as, extract the factors
r’l, C-2 - <-■;{ according to our theory from the measured cumulants like Debye-Waller factor
to get information about atomic distribution or structure
Our developed expressions for thermal expansion and X A F S cumulants contain
the information on effective spring constant, correlated Einstein temperature Einstein fre
quency, Morse potential parameters,.and describe their temperature dependence involving
the results oi quantum theory and classical limit. These behaviours are as follows: at low
temperature a 11 , a 2 t fT(;!) , contain zero-point contribution as quantum effects at hiuh
temperature ,
(T/
arc proportional to
I
. and
iTi:u
is proportional to
I ;
as conclusions
OÍ classical approach [1] I lie thermal expansion cocllicient has ihc form similar to the
specific heat, thus agreeing with the fundamental of solid state theory

lìIHORY U1 TIIHRMAL LXJANSION AND
g
Our description of all thermodynamic^ parameters by Debye-VValler factor is very
convenient, since determination of a2 allovvp one to predict the other cumulants, thus re
ducing the numerical calculations and measurements.
Anharmonic single-particle potential theory [6] does not give an accurate description
of the situation because it ignores the correlated motion of the atoms, the sinde-bond
spring constant [5] does not take sufficient contribution to atomic vibration Both they are
used actually for explanation and extraction of physi seal parameters from the experiment
Present theory avoids the disadvantages of the above procedures as well as the tensive
calculations of the full lattice dynamical approximation [11], Due to limitation of the
paper volume the numerical results of cubic crystals accordinu to present theory will be
published elsewhere [ 12], They show very iiood agreement with the experimental results
and several advantages of present theory in Comparison with the others
Note that the relations (\Tr'l'al/(T^ and (T(1)(T2/ a ^ approach the classical expres
sion of 1/2 at high temperature (see Tab 2) 'Hiis conclusion not only reflects the results of
classical method but also aurees well with tlhJ experimental results ị 1, 10] Therefore, both
they arc used as a criterion to identify the temperature above which the classical limit is
applicable and below which quantum theory must be applied. Tins issue will be discussed
in our another paper [ 12]
A CK NO W L E D G M EN T
One of the authors ( N V i lung ) thanks Prof J J Rohr and Prof c A Stern
( University of Washinuton ) for useful discussions This work is supported in part by the
Fundamental Science Research Prouram No 410-801 provided by the MOST1Ì and the
research project Ọ1 -00-06.
Ri:KK RKNCES
1 E A Stern, p Li\ ins. and Zhc Zhang. rh\s. Rev. B 43 ( llNl) XX50
2. N. V Hung. R. Frahm. and H. Kamitsubo / Phvs. Stic -Jpn. 65 (1996) 3571
3 E D Crozier. J J Rehr. and R Ingalls, in 'X-mv Absorptions \ edited by D C.Komngsbcrger
and X Prins (Wilcv. New York, 1983).

4 N V Hung and J .J Rchr. Phys Rev B 56 (1997) 43
5 A I Frenkel and J J. Rohr. Phy.v Rev B 48 (1993) 585
6 J iVI Tranquada and R. Ingalls. Phys Rev B 28 (1983) 3520.
7 R. R Feynman. Statistics Mechanics (Benjamin, Reading, 1972)
X N V Hung / ( 'onmiunicaiions m Pliys .8 (1998) 46
w N V Hun”. Vu Klin Thai. and Nguven Bn Due / Science' of I A1'’-Hanoi. 15. No 6 (1999)
10 L Weil701. D Arvunitis. H Rabus. T Lcdcrcr. K Babcrschkc and G. Comclli. l’hy.s. Rev Lei!
64 { 1990) I 765
11 T Mivanaea and T Fujikawa. ./ 77/v.v. Sot Jpn 63 ( 19^4) 1036 and
12 N Y llu n u o m lN B Due. J Commun
111
/ ’In'S . 10 (2000) 15
TUYÉN TẬP CÁC CÕNG TRINH KHOA HỌC -ỊHNKH - TRƯỢNG ĐHKHTN . NG ANH VẠT LY (11-2000)
X A FS cumulants
fee ab
í ì
and thermal expasion oí
binary alloys
Nguyen Vail H
J aculiy of I’hvsics, I hi
A new quantum statistical anhamioi
analvsis of XAFS cumulants and therma
model IS developed based on tl.c anlianiK
backscatterer from another one including
pair potential has been taken by plus-a\|
m g an d I)a u \ u a i i Vit'i
wrsi/Y of Sncncc. i'Nl \Hunoi
IC thcon. li:,s been derived for calculation and
expansion of fee AB binan allovs systems. This
MIC \ ibmtion of absorber from an atomic sortc and

conlributior s of their nearest neighbors Atomic
;raging of Morse potential. The expressions have
been derived for effective spring constant correlated Einstein frequfcnev. correlated Einstein
temperature, first cumulant or nett therrna! expansion, second cumulant or Debve-Wallcr
factor, third cumulant causing phase change of XAFS spectra. ajid thermal expansion
cocfficicnt. Numuncal evaluations have been carried ịout for Al|.xCuv. The results reflcci
the fundamental beliaviuors of these therrriodvnamic quantities and show r> r>nn(i aereenv.
between theoretical and experimental thermal expansion coefficients
1. Introduction
The XAFS (X-ray Absorption Fine .Structure) ;spectra and their Fourier transibm
magnitude provide structural information of the substances including alloys systems
A Ạ low temperature the harmonic tl''~>ry works' well [1], But as the temperature
increases due to anharmonic effects ti._ structural information becomes miceilain [2,3 J
To coưect these uncertainties the cumulant expansion approach [4] has been
developed. According to this theor\r the XAFS function contains the factor
c " 1 , It (Á-) = 2iơ ịU - 2 kzơ '

/Ẩ' r; + • • • ,
3
n )
where ơ (1) is the first cuniulant or net thermal expansion, Ơ2 is the second cumulant
or Debye-Waller factor, and cr( Ms the third cumulant. Most the efforts are focused to
interpret tlie measured anharmonic XAFS spectra. Some proiiTesses have been made to
calculate the cumulants of the crystals [5.6.10]
? ' This work is our development of a quantum statistical anharmonic procedure to
calculate the cumulants and thermal expansion of fee AB binary alloys systems in
x.j\FS theory. Our mode] IS based oil the atomic vibration including anharnionic
effects in a small cluster of the absorbed from an atom sorte and the backscatterer from
another one with taking into account jof their nearest neighbors' contributions. The
Cli.aiton and annihilation operators are used toi’ describe phonon interaction, and

physical parameters have been derived by averaging calculation using the statistical
density matrix. Numerical calculations have been carried out for fee compound AlCu
Our calculated thermal expansion coefficient aurees well with the experimental results.
TUYỂN TẬP CÁC CÓNG TRÌNH KHOA HỌC - HNKH - TRƯƠNG ĐHKHTN. NGÀNH VẬT LÝ (11-2000)
Ị2. Theory
Our denvauon ol the expressions ịof thermodynamic c|ua)iuiiL‘s or cumulanls of ícc
ỊAB binar\ alloys systems in XAFS theory IS b a le d on quantum statistical llicon wiii)
|c)iiasi-harmonic approximation, accoidinu In which Ihc Hamiltonian OÍ I he system is
iv.TiUcn as a iiarmoniL" lerm Vk'iiti rcspt Cl U) UK' equilibrium a', a Liiven temperature. pills
!ai anharmonii penurbaiicm. so .ha; ihc Interaction between absorbing HIUỈ
ib a c k s c a u c rin i: ato m s in the C luster IS
.ha; I he interaction between
defined by jan clleciivc poicnual
I’cfi O ' = 7 kcfị y~ 4- ỔU(yị
-
( 2)
v = x - a . .V . CI =■: X <r>=0. (3)
w h e re r and r„ arc UK’ in s ia n ia iK o u s t no c u u ilib ĩỊiu m b o n d lu n ” in o f I h i. ' a b s o rb in g and
>nd m ic r .u li o n p o lc n liu ] is obtained hv
uivcn b\'
h a c k s c a iiL T in u a io m s . r c s p c c n w lv . I 11C sin g le k
an p lu s -a v c ra e in y OÍ’ M o r s e p a ir noli' Hal and is
OÍ Morse pair nolp Hat and is mven
Ỉ 12(x) - ^12 t _ ' "*■( 1 — u] 1 .V
r n . 2
Cí Ị2 = p—7

—
- ' — U
id a arc the Morse poicnlial parai

and 2 denotes the backscaliercr.
Considering the contributions of the immediate neighbors of absorber and
backscaticrer we derive the eflcciive spring conslanl
- f t n 1 -> -* I
kcff = 2D\2 [I •- 3(/jr * u~ ) p
\2
- 3cvf 1 + //j1 - //- )a:~, J (6)
the pcnurbaiion poienua] due lo anharmonicii V
S l 'iy ) = b l2 (i -f 3 ( u |~ - Li] ) Z a i2 o\ - ( 1 1- //j1 - u l ) U p \ ■' I (7)
Our approach IS based on a local vibralion picliirc and a Eimicin model. From the
above relations ihc correlated Bin sic in Irccjucncy (
0
/: and ihc Einstein temperature Ơ j:
arc derived, and they are Given by
2/J] -) f "I o I ' - [•
a>£ - [

— dl - 3(u~ - u n ) b p - 3a( 1 + u. - U-, la,-, y
u - J 1 -
D^a? ~ Dtaị Dỵcì - D aị
1 - -
(4)
(-r)
j0 | -I _ — (£ )j — £)-,) ũ p
- - “ \ U \ - U 2 " Dị - D-,
where D and a arc the Morse poicntial parameters, ihe index i denotes ihe absorber
Hnri ”7 flpnnlpc ihr' hui'Vtr'iiMpri'r
*ni '2
9;
ĩl 2D]-y t -I ~t -!

- — I— — r1 * j(,^r + P i ) " 5i,n ~ M\
kB /;
' . 11/2
ụ-,\ar ị\
In the Eq.(6-9) wc used kB as Bollzmann s consiani and llic lollowini: svmbols
M 1A 4 Ị M 1 A
Li =
A/] - s / iW| T / W i /17 Ị - M
where Ml and M l arc the mass OÍ ihc absorbin': and backswaticrin'j aloms rcspeclivclv
A c express in lerm OÍ annihihuion and erection opcraiors a and â ~ i c.
r - ơ„ (if - Cl~ ), c ir- (hi 2u(:iy)1'2 , (11)
ill'll] use the harmonic oscilkilor smius 'II/ a s ciucnslatcs a n d L, = nĩtù)£ as eigenvalue
The cumulants have been derive.] bv iiwni'jni.' ;prtict'dure. IIsi 11 u IỈK' siaúsúca! density
m a t r i x p a nd th e c a n o n i c a l p iiriiiiu n jlim w lio ri Z jin ih c 1'orm
A-/i - h U
(8)
(9)
(10)
TUYEN t ậ p c á c c ô n g t r ìn h k h o a HỌC - H ;'K H - TRƯỜNG ĐHKHTN. NGÀNH VẬT LÝ (11-2000)
ln thL' calculation 01 iransúion matrix elcn.enis the sc cclion rule IS oi
matnemaiical relations have been U sed 10 simplify the expression:
obtain lhe expressions lor the first eumuhpt or net thermal expansion
I 3n - Li' -U
-
\ii<' .c. - ' _ tt ' i
LI -c ’ =-

—

—

.
Si ; - )]\
Ihc second cumulant or Dehyc-Waller fa
Ĩ1CL) f
G -
4[1 - 3{ui~u^ )] / 'p d
and Ịlìc ihiru cumuiani
- {1 +// )(ha>Ị r ơ
rr[ 1 -

———

—

I
}6[\~3(u2rẢ;ị)Y D~2
eclion rule IS obeved. and several
the expressions. Al the end V.c
J p c
or
(1 ? I
14)
1 _
1 Of
-It'
(15)
‘i: ! - f ' •
ol'ihe pair potential or liic thermal expansion

nnn r ỈI
1
,' I 'jnh irmiinii'il \' I Viol 1C ir^m
The parameter a describes [he asvmmcirv
of iliL' bond length rr between ihc two Liịoms due 10 anharmoniciiv. that is whv i'rom
Hq.(] 3) we derived the thermal expansion cociTicicni
a T
3(1 +//-]+//2 )kPia r $ ị
4 [ J -r
j ( u
1 "T
Li
) ]
[ J
I
n cx
Ị / ]'
-0 r 7
(16)
T\ 1 - c
3. Numerical results
Now vvc apply the above derived expressions 10 numerical calculations for the icc
alloys Alj.xCuv with X - 0.04. The Morse potential parameters D and a were lakcn
from Kef. 8. The calculated values of D, • cip ,ap ,kcji ,(jj: .19£ for the bond A]-Cu
Tab]j 1: The culculuied values oj D
-
. ứịi . ( / p kcfi ,(JJ[7 ,6f: for tlic bond Al- Cu
Sample Bond
j 0 p ( L" Y ) 1 a p (A J
a p (A 1 1

K-fj(N/m) ! (oE(’]On Hz) elAi:)
AlCn
A1 - Cu
0.307
i
1.631 1.K07
39.637
Ị
3.728 285
arc civen in Table I. Fie. 1 shows IỈK' temperature dcpcndcncc of our calculated bond
length Al-Cu. Fin. 2 shows the icmpcraiurc dependence of our calculated Debye-
Walkr factor in comparison with those oỉ' AỈ and Cu which arc compared with
experimental values [y,l 11. Fill.3 shows the lempcralurc dcpcndencc of our calculated
third Wimulanl in comparison with ihosc of AI and Cu which are compared with
experimental results [9]. Fig. 4 shows the temperature dependence or our calculated
thermal expansion cocificieni of the 'alloys A]!)W,Cu0(U in comparison with the
experimental results [9.10J.
Bnnrf tenntfrfAni)
experiment.
4. Discussions and conclussions
In Ih is work Ihc expressions of llicrmodvnamii; quantities of ihe I wo component fee
AB binary alloys systems in tcmpciialurc dependence dcscribcd hv Ihc cumulants in
XAFS have been derived based on tjuanium Mali SI ic al theory.
Tlie ncl thermal expansion ơ (l\ I Debye-Waller factor Ơ2 and third eumulant
cr^ contain zcro-poini comributiinjs as quantum eliceis ai low temperature and ai
high temperature ơ ll), cr2~T, andỊr(3) ~ T: as in classical approach.
The thermal expansion coefficient lias ihe form of specific heal which approaches
to a constant ai high temperature and vanishes at low tempcralure obey ini! Ihe cubic
icmpcralurc rule.
Tlic uoud anrcemenl of our calcukiịcd ihcrma]: expansion coeificicnl, derived from

the cumulanls, denotes the advantages of present quantum siaiislical anharmonic
procedure in calculation ()[ ihcrnioUynamii' Cịii.tniiiies of I lie compound svsicms.
Tilis approach can he applied U) lilt! rcsciirch OĨ tiicrmodvnamic properties of nano
syslcms.
1 7X
TUYEN TẬP CÁC CÒNG TRÌNH KHOA HỌC - HNKH - TRƯƠNG ĐHKHTN. NGÀNH VẬT LỶ (11-2000)
Acknowledgments
One of the authors thanks Professor M. Sarikaya (Univcrsily of Washington) for
providing the data of Dcbyc-Wallcr factor of Al. This work is supported in pan by Ihe
VNU-Hanoi research program QT-00-06 and by ihc fundamcnlal sciencc rcscarch
program No. 410 80].
References
1. J. J. Rehr, J. Mustrc de Leon, s. 1. Zahinsky. R. c. Albers,./. Am. Client. .Vor.113 (1991 )
51 35.
2. E. A. Stem, P. Lavins. z. Zhang, Fliys. R[ I. B 43 í 1 yy ị) 8X.S0.
3. N. V. Hung, R. I'Yahm, II. Kamiisubo /. Pliys. Soc. Jp/1. 65 (1996) 8X50.
4. D. D. Crozier, J. J. Rehr, R. Ingalls, in X-ray Absorption, edited by D. c. Koningsbergcr
and X. Frins (Wiley New York, 19XX) Chapter 9.
5. N. V. Munji, J. J. Rchr. Phys. Rev. Zi (
1
997) 41
6. N. \ . Hung, N. B. Due,./. CoinmuntcalujiL.s in Flixs. Nut. 10, No. ] (2000) 15.
7. N. V. Hung, N. B. Due. another paper ai this conference.
8. L. A. Giriialco. \'. Weizer. Phys. Rev. 114m 959) 6X7.
9. T. Yokoyarna. T. Susukawa, T. Ohta, Jpn. |/. Appl. PlìỴỊ>. 28, (1989) 1905.
10. T. Mianaga. T. Fujikawa,./. /-7m. Soc. Jpq. 63 (1994) tl 036. 3683.
] 1. R. B. Grccgtir. F. w. Lyilc, I’ll vs. Rev II 20 ( ] 9791 49f)x.
12. M. Sarikava, M. Ụian (unpublished)
13. L. N. Laricup. Iu. Ph. Iurtienko. Thermal i'ropcnics of Mauls and Alloys. Kiev iJumka
(19X5).

1
N. 'I hcnnophysicưl /'ropưrítưy. in 12 vol Nqw York Wcolhinulon Plenum. 197ÍI-1975. vol. 1:
Thermal Conductivity oj Malallu Eiemenis and Alinas (1970) p. ]4(S9. vol. 12: Thermal
Expansion <>l Metallic Elements and Alloú (1975» p. 13X0.