Dạy học sinh vận dụng kiến thức ham số để giải bài toán liên hệ giữa hàm số y= ax+b và y = ax2

PHẦN I. MỞ ĐẦU:
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy nói chung và việc bồi dưỡng kiến thức cho học
sinh thi vào lớp 10 nói riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng và lật ngược
bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt
kiến thức của một dạng toán vững vàng, kĩ càng mà còn nâng cao tính khái quát
hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo
cho các em học sinh. Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng và lật ngược các bài toán
khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh hứng thú và
phát triển năng lực tự học một cách khoa học khi học Toán.
Trong khi vận dụng kiến thức vào giải toán, đa số các học sinh THCS mới
chỉ biết vận dụng trực tiếp lí thuyết, hay các bài toán có sẵn cách giải. Khi gặp
các bài toán yêu cầu phải có kiến thức tổng hợp và vận dụng linh hoạt lí thuyết
để đưa ra cách giải thì học sinh thường gặp phải khó khăn.
Một trong những bài toán như thế, vận dụng trong các kì thi đặc biệt là thi vào
lớp 10 THPT là bài toán về mối liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 nhưng
sách giáo khoa lại không cung cấp phương pháp giải cụ thể. Nhìn chung, ở phần
này đa số những học sinh có khả năng tư duy tưởng tượng chưa tốt sẽ khá vất vả
khi giải toán, không định hướng được cách giải hoặc trình bày không chặt chẽ,
rõ ràng dẫn đến điểm kém. Khi tìm hiểu việc học và giải toán của các em học
sinh THCS và theo dõi các đề thi vào lớp 10 THPT các năm gần đây, tôi nhận
thấy loại toán về mối liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 vẫn thường được
đề cập tới. Vì vậy đây là bài toán mà học sinh cần phải nắm vững để chuẩn bị tốt
cho các kì thi, đặc biệt là thi vào lớp 10 THPT.
Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 tôi được tiếp
xúc với rất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không biết tổng
hợp kiến thức lí thuyết để làm bài mà thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi
lời văn nhưng nội dung lại hoàn giống với bài toán cũ. Đặc biệt là các bài toán
đảo và bài toán tổng quát học sinh thường không có kỹ năng nhận ra. Chính vì
vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận ra các bài toán cũ, bài toán đảo, bài toán tổng
quát…đồng thời góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng

tích cực và bồi dưỡng năng lực học Toán cho học sinh, rèn luyện khả năng sáng
tạo trong học Toán cho học sinh cũng như muốn góp phần vào công tác bồi
dưỡng học sinh thi vào 10 trường THCS Quảng Tâm nói riêng và học sinh toàn
Thành phố nói chung. Tôi xin được trình bày đề tài: “Dạy học sinh vận dụng
kiến thức hàm số để giải bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 ”
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn Toán.
- Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh. Khơi dậy tính sáng

1


tạo và giải toán của học sinh.
- Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó giúp các
em hình thành phương pháp giải.
- Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập đặc biệt là bồi dưỡng cho học sinh
thi vào 10.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Tại sao khi học sinh học xong kiến thức cơ bản của sách giáo khoa các em lại
không thể áp dụng được kiến thức đã học vào giải Toán về hàm số.
Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự tổng hợp
kiến thức của học sinh.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tôi đã dùng phương pháp thu thập thông tin kết quả thi vào 10 THPT của các
năm, thống kê số điểm và tỉ lệ điểm của các năm để tìm ra nguyên nhân và đưa
ra giải pháp.
PHẦN II. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ:
Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá
trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng

tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều
hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo. Hình thành tính tích
cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học sinh là
một quá trình lâu dài, kiên nhẫn và phải có phương pháp. Tính tích cực, tự giác,
chủ động và năng lực tự học của học sinh được thể hiện ở một số mặt sau đây:
-Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng
dập khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn
đề ở nhiều khía cạnh.
- Phải có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế nào?
Liệu có trường hợp nào nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận trên có
đúng nữa không? Và phải biết tổng hợp các bài toán liên quan.
- Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải
quyết vấn đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết.

2


Trong chương trình môn Toán ở các lớp THCS, kiến thức về hàm số là một
phần học quan trọng, một trong những phần mà các đề thi học kì cũng như tuyển
sinh vào lớp 10 thường ra. Đó cũng là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục
học lên ở THPT. Đa số học sinh mới chỉ giải được những bài tập đơn giản và
riêng rẽ.
Cụ thể như:
Phần hàm số y = ax + b là vẽ đồ thị, lập phương trình đường thẳng, xét vị
trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Phần hàm số y = ax2 là vẽ đồ thị hàm số, xác định hệ số a, xác định điểm
thuộc đồ thị hàm số.
Đối với bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 được học sinh THCS

coi là dạng toán khó, chứa đựng kiến thức tổng hợp, đồng thời hàm chứa nhiều
dạng bài tập hay. Trong các kì thi vào lớp 10 THPT kiến thức về hàm số luôn
đóng một vai trò quan trọng về điểm số. Song, học sinh lại hay mất điểm về
phần này vì dễ nhầm lẫn không phân dạng được các bài toán để giải.
Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này chỉ nêu ra cách giải chung chưa phân
dạng và phương pháp giải cụ thể chưa tìm ra mối liên hệ chung giữa các dạng
bài tập gây nhiều khó khăn trong việc giải toán đối với học sinh.
Vì vậy việc nghiên cứu “Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải bài
toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 ” là rất thiết thực, nhằm giúp học
sinh nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giải toán, góp phần
nâng cao chất lượng môn Toán, đặc biệt là chất lượng tuyển sinh vào lớp 10 ở
các trường THCS.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Qua nhiều năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 cũng như
tham khảo học hỏi các đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường tôi nhận ra rằng:
- Học sinh học yếu môn Toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy
nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập.
- Học sinh làm bài tập dập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực,
độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Các em ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng
tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa
cao.
- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác,
không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo
bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn ...
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát

3


triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn
là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học
Toán.
Đứng trước thực trạng trên, đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy
và học sao cho phù hợp và có hiệu quả.
Và trong quá trình giảng dạy Toán 9, đứng trước những bài toán liên hệ
giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 đa số học sinh còn nhiều lung túng mắc phải
những sai lầm. Qua kinh nghiệm trong các năm trực tiếp làm công tác giảng dạy
tôi nhận thấy học sinh mắc sai lầm là do các nguyên nhân sau đây:
Một là: Kiến thức về hàm số của học sinh còn hạn chế nên tiếp thu bài chậm,
lúng túng từ đó không nắm chắc các kiến thức, kĩ năng cơ bản .
Hai là: Đa số học sinh chưa có định hướng chung về phương pháp giải, vận
dụng các khái niệm, tính chất để hình thành cách giải các bài toán.
Ba là: Học sinh không phân loại được dạng toán nên khi làm toán thường bị lệch
đề bài.
Bốn là: Đọc đề không kĩ, khả năng phân tích đề, tổng hợp đề còn yếu, lượng
thông tin cần thiết để giải toán còn hạn chế.
Năm là: Chưa có thói quen định hướng cách giải một cách khoa học trước khi
giải toán.
Sáu là: Trình bày cẩu thả không theo một phương pháp cụ thể nào.
Từ những nguyên nhân trên và các số liệu thống kê khảo sát qua các năm giảng
dạy cho học sinh tôi theo dõi và thu được kết quả cụ thể:
Kết quả khảo sát khi chưa áp dụng đề tài tại lớp 9 ôn thi vào lớp 10 THPT sau
khi học về mối liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 năm học 2012 – 2013:
Điểm kiểm tra
Lớp

Sĩ số

0-<5

5 - 10

SL
%
SL
%
9A
41
24
58,5
17
41,5
9B
40
23
57,5
17
42,5
Trước thực trạng đã được nêu trên tôi mạnh dạn dạy học sinh, vận dụng kiến
thức hàm số để giải bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 cho học
sinh lớp 9 ôn thi vào lớp 10 THPT.

III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
4

1. Một số kiến thức cần nắm vững và những lưu ý:
Đối với bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 học sinh cần nắm
vững kiến thức về hàm số, phương trình bậc hai, áp dụng định lí Viét.
Biết lập phương trình đường thẳng.
Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ 0).
+ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
a’x2 = ax + b ⇔ a’x2- ax – b = 0 (1)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax 2
để tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
+ Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t; tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau:
Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta cã: a ' x 2 − ax − b = 0 ⇒ ∆ = (−a) 2 + 4a ' .b
a) (d) và (P) cắt nhau
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau

phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0

c) (d) và (P) không giao nhau
phương trình (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
+ Chứng minh (d) và (P) cắt; tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham
số:
Phương pháp: Ta phải chứng tỏ được phương trình a'x2 = ax + b có:
∆ > 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức ∆ về dạng:
∆ = ( A ± B) 2 + m với m > 0 thì đường thẳng luôn cắt parabol
∆ = 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức ∆ về dạng:
∆ = ( A ± B) 2 thì đường thẳng luôn cắt parabol
∆ <0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức ∆ về dạng:
2

∆ = - ( A ± B ) + m với m > 0 thì đường thẳng không cắt parabol
2. Phân dạng các bài toán và phương pháp giải.
Dạng 1: Bài toán xác định toạ độ giao điểm.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = f(x) và parabol (P):
y = g(x).Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
Trước yêu cầu của bài toán đa số học sinh thường nghĩ tới việc vẽ đồ thị hai hàm
số đã cho, sau đó xác định tọa độ giao điểm. Với cách giải trên, học sinh sẽ gặp
khó khăn khi vẽ đồ thị hàm số, dẫn đến vẽ không chính xác và xác định giao
điểm sai.
Khi đó giáo viên hướng dẫn học sinh xác định tọa độ giao điểm của hai hàm số
bằng phép tính.
a. Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d): y = f(x) và parabol (P): y = g(x) (nếu
có) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)
5


Giải phương trình (*) ta tìm được hoành độ giao điểm, thay vào phương trình
đường thẳng (d): y = f(x) hoặc parabol (P): y = g(x) ta tìm được tung độ và từ đó
suy ra tọa độ giao điểm.
Với phương pháp này ta còn giải quyết được bài toán tìm hoành độ giao điểm
khi ta giải xong phương trình (*)
Ở đây giáo viên cần giải thích để học sinh hiểu tọa độ giao điểm là cần xác định
hoành độ và tung độ.
b. Ví dụ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hàm số: (d) y = x + 1 và (P):
y = 2x2. Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
Giải:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) y = x + 1 và parabol (P): y = 2x2 là
nghiệm của phương trình: 2x2 = x + 1

⇔ 2x2 - x – 1 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta được x =1 hoặc x= −

1
2

Thay x = 1 thay vào y = x + 1 ta có y = 2 suy ra A (1; 2)
1
1
1 1
thay vào y = x + 1 ta có y = suy ra B( − ; )
2
2
2 2
1 1
Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm A(1; 2) và B( − ; )
2 2

Thay x = −

Nếu đề bài chỉ yêu cầu tìm hoành độ giao điểm giải phương trình (*) ta được
1
2

x =1 hoặc x= − .
Như vậy với bài toán trên mấu chốt của vấn đề là ta xác định được phương trình
hoành độ giao điểm.
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y = - 4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) :
y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Giải:

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) = - 4x 2 với đường thẳng (d) : y =
4mx + m2 là nghiệm của phương trình:
- 4x2 = 4mx + m2
⇔ 4x2 + 4mx + m2 = 0
∆ = b2 - 4ac = (4m)2 - 4.4.m2
= 16m2 - 16m2
=0∀m
Phương trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng
(d) y = 4mx + m2 khi m thay đổi.

6


x2
Ví dụ 3: Cho parabol y =
và đường thẳng y = mx + n
4

1) Xác định các hệ số m, n để đường thẳng đi qua điểm A(- 1; -2) và tiếp xúc
với parabol.
2) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol với các giá trị của m, n tìm
được trong câu 1.
Giải:
1) Đường thẳng y = mx + n
đi qua điểm đi qua điểm A(- 1; -2) nên: f(x) = x2 suy ra n = m - 2.
Phương trình đường thẳng có dạng y = mx + (m-2). Điều kiện để đường thẳng
tiếp xúc với parabol là phương trình:

x2
= mx + (m-2).

4

(1)có nghiệm kép.

Biến đổi (1) ta được x2 - 4mx - 4(m-2) = 0 (2) .Điều kiện để (1) (cũng có nghĩa
là (2)) có nghiệm kép là: ∆ ' = 4m2 + 4m - 8 = 0 ⇔ m2 + m - 2 = 0 ⇔ (m+2)(m1) = 0 ⇔ m = - 2 hoặc m = 1. Vậy các hệ số m, n cần tìm là m = - 2, n = - 4
2) Với m = -2, phương trình đường thẳng là y = -2x - 4. Phương trình (2) trở
thành x2 + 8x + 16 = 0, nghiệm kép là x = - 4. Tọa độ của tiếp điểm là (-4; 4).
Với m = 1, phương trình đường thẳng là y = x - 1. Phương trình (2) trở thành x2
- 4x +4 = 0, nghiệm kép x = 2.Tọa độ của tiếp điểm là (2; 1).
Ví dụ 4: Cho Parabol (P) y = x2 cắt đường thẳng (D): y = 2(m+1)x - m2 - 9.
Tim m để:
a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) (D) tiếp xúc với (P)
c) (D) không cắt (P)
Giải:
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đường thẳng (D) y =
2(m+1)x - m2 - 9 là nghiệm của phương trình:
x2 = 2(m+1)x - m2 - 9
⇔ x2 - 2(m+1)x + m2 + 9 = 0 (1)
∆ ' = b'2 - ac
= [(m + 1)]2 – (m2 + 9)
= m2 + 2m +1 – m2 – 9
= 2m – 8
a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆' > 0
⇔ 2m – 8 > 0
⇔ 2m > 8
⇔m > 4
Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) (D) tiếp xúc với (P) ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép
7


⇔ ∆' = 0
⇔ 2m – 8 = 0
⇔ 2m = 8
⇔ m=4
Vậy với m = 4 thì D tiếp xúc với (P)
c) (D) không cắt (P) ⇔ phương trình (1) vô nghiệm
⇔ ∆' < 0
⇔ 2m – 8 < 0
⇔ 2m < 8
⇔m < 4
Vậy với m < 4 thì (D) không cắt (P)
c. Bài tập vận dụng
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các hàm số: y = x2 và y = - x + 2. Tìm
tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số trên.
Bài 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y = x + 2
a) Vẽ ( P ) và ( d ) trên cùng một hệ toạ độ Oxy
b) Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của ( P ) và ( d )
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = f(x) và parabol (P):
y = g(x). Tìm điều kiện để :
a. (d) và (P) không có điểm chung.
b. (d) tiếp xúc (P).
c. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Muốn tìm được giao điểm của đường thẳng (d): y = f(x) và parabol (P): y = g(x)
ta cần biết được hoành độ điểm chung, trên cơ sở đó ta sẽ xây dựng được
phương pháp giải:

a. Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (I)
- Nếu đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (I)
vô nghiệm tương đương với ∆ < 0 .
- Nếu đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì phương trình (I) có nghiệm
kép tương đương với ∆ = 0 .
- Nếu đường thẳng (d) cắt parabol (P) thì phương trình (I) có hai nghiệm phân
biệt tương đương với ∆ > 0 .
b. Ví dụ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x + m (m là
tham số) và parabol (P): y = -

1 2
x.
2

Tìm điều kiện của m để:
8


a. (d) và (P) không có điểm chung.
b. (d) tiếp xúc với (P).
c. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
-

1 2
x = 2x + m
2

⇔ x2 + 4x + 2m = 0 (1)

a. (d) và (P) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm tức
là:
∆′ < 0 ⇔ 4 – 2m < 0 ⇔ m > 2.
Vậy với m > 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung.
b. (d) và (P) tiếp xúc khi và chi khi phương trình (1) có nghiệm kép tức là:
⇔ 4 – 2m = 0 ⇔ m = 2
∆′ = 0
Vậy với m = 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau.
c. (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có
hai nghiệm phân biệt tức là:
∆′ > 0 ⇔ 4 – 2m > 0 ⇔ m < 2
Vậy với m < 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân
biệt.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2mx - 4 (m là
tham số) và parabol (P): y = x2.
Tìm điều kiện của m để:
a. (D) và (P) không có điểm chung.
b. (D) tiếp xúc (P)
c. (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 2mx - 4
⇔ x2 - 2mx + 4 = 0 (2)
a. (d) và (P) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm tức
là:
∆′ < 0 ⇔ m2 – 4 < 0 ⇔ - 2 < m < 2.
Vậy với - 2 < m < 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung.

b. (d) và (P) tiếp xúc khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm kép tức là:
∆′ = 0 ⇔ m2 – 4 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = -2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau.
c. (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có
hai nghiệm phân biệt tức là: ∆′ > 0 ⇔ m2 – 4 > 0 ⇔ m > 2 hoặc m < - 2
Vậy với m > 2 hoặc m < - 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt.

9


Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2ax + 1 và
Parabol (P): y = - 2x2. Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm
phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 + 4(x1 + x2) = 0.
Trong bài toán trên ta thấy xuất hiện biểu thức đối xứng vẫn sử dụng cách giải
trên và vận dụng định lí Viét ta sẽ giải quyết bài toán một cách dễ dàng.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
- 2x2 = 2ax + 1
⇔ 2x2 + 2ax + 1 = 0 (*)
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt tức là: ∆′ > 0 ⇔ a2 – 2 > 0 ⇔ a > 2 hoặc a < - 2
Với điều kiện trên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2
 x1 + x2 = −a

Áp dụng định lí Viét ta có : 
1
 x1.x 2 = 2

Theo đề bài: x12 + x22 + 4(x1 + x2) = 0

⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 +4(x1 + x2) = 0 (2)
Thay (1) vào (2) ta có: a2 – 4a – 1 = 0 ⇔ a = 2 + 5 hoặc a = 2- 5
Đối chiếu điều kiện a = 2 + 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c. Bài tập vận dụng
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d):
y = 2x + m (m là tham số).
Tìm điều kiện của m để:
a. (d) và (P) không có điểm chung
b. (d) tiếp xúc (P)
c. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d):
y = (2- m)x+m2 +1 (m là tham số)
Tìm điều kiện của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho xA2 + xB2 = 5
1
4

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng
(d): y = kx- k - 2
Tìm điều kiện của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
x A2 xB + x A xB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = mx – 3 (m là tham
số) và parabol (P) : y = x2 .
Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x1 − x2 = 2
Dạng 3: Bài toán chứng minh
a. Phương pháp giải:
10


Vẫn sử dụng phương pháp hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta giải quyết được

bài toán chứng minh về vị trí tương đối của đường thẳng (d):
y = f(x) và parabol (P): y = g(x).
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = - 4x2 và đường thẳng
(d): y = 4mx + m2 (m là tham số) . Khi m thay đổi chứng minh rằng parabol (P)
luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) .
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
- 4x2 = 4mx + m2
⇔ 4x2 + 4mx + m2 = 0 (*)
Ta có: ∆′ = (2m)2 – 4m2
∆′ = 0 với mọi m.
Do ∆′ = 0 với mọi m phương trình (*) có nghiệm kép. Vậy parabol (P): y = - 4x 2
luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng
(d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 (m là tham số) . Chứng minh rằng parabol (P) và
đường thẳng (d) luôn có điểm chung khi m thay đổi.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 2(m – 1)x – 2m + 3
⇔ x2 - 2(m – 1)x +2m - 3 = 0 (*)
Ta có: ∆′ = [-(m- 1)]2 – (2m - 3)
∆′ = m2 – 4m + 4
∆′ = (m- 2)2 ≥ 0 với mọi m.
Do ∆′ ≥ 0 với mọi m phương trình (*) luôn có nghiệm.Vậy parabol (P): y = x 2
luôn có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.
Bài toán chứng minh còn được mở rộng đến tính chất, vị trí của giao điểm trong
mặt phẳng như sau:
Ví dụ 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 3x2 và đường thẳng (d): y =

5x- 2 . Chứng minh rằng parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm nằm cùng
một phía đối với trục tung.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
3x2 = 5x – 2
⇔ 3x2 - 5x +2 = 0 (*)
Ta có: a + b + c = 3 +(-5) +2 = 0
c
a

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = =

2
3

Ta nhận thấy x1 và x2 cùng dương nên hoành độ giao điểm đều dương. Do đó
giao điểm của chúng cùng nằm một phía đối với trục tung.

11


c. Bài tập vận dụng
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d):
y = 2x- 2014 . Chứng minh rằng parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm
nằm về hai phía đối với trục tung.
Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm D(0;1).
a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D(0;1) và có hệ số góc k.
b. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
G và H với mọi k.
c. Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lượt là x1 và x2.Chứng minh rằng:

x1.x2 = -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông.
Ở các bài toán trên điểm chung để chúng ta giải là dựa vào phương trình hoành
độ giao điểm. Từ phương trình hoành độ giao điểm học sinh xác định rõ yêu cầu
của bài toán để có cách giải hợp lí.
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến giữa parabol và đường thẳng
Vẫn sử dụng phương trình hoành độ giao điểm khai thác điều kiện đường
thẳng tiếp xúc với parabol ta lập được phương trình tiếp tuyến.
a. Phương pháp giải
Bài toán : Lập phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với
parabol (P): y = f(x)
Giải:
Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = kx + b
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: f(x) = kx + b (1)
Vì (d) tiếp xúc với (P) nên (1) có nghiệm kép.Từ điều kiện này, ta tìm được b.
Suy ra phương trình đường thẳng (d).
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x 2. Lập phương trình
đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ ): y = 2x và tiếp xúc với (P).
Giải:
Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b
Vì (d) // ( ∆ ) nên a = 2. Suy ra phương trình đường thẳng (d): y = 2x + b
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 2x + b
⇔ x2 – 2x – b = 0
Do (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình (1) có nghiệm kép tức là:
∆′ = 0
⇔1+b=0
⇔ b = -1
Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 2x - 1
Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A( xA , x B ) và tiếp xúc với

parabol (P): y = f(x)
Giải:
Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: f(x) = ax + b (2)
12


Vì (d) tiếp xúc với (P) nên (2) có nghiệm kép.Từ điều kiện này ta tìm ra được
một hệ thức giữa a và b (3)
Mặt khác (d) đi qua A( xA , x B ) do đó ta có: yA = axA + b (4)
Kết hợp (3) và (4) ta tìm được a và b từ đó suy ra phương trình đường thẳng (d)
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x 2. Lập phương trình
đường thẳng(d) đi qua điểm
A( 1,0) và tiếp xúc với (P).
Giải:
Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = ax + b
⇔ x2 – ax – b = 0 (2)
Do (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình (2) có nghiệm kép tức là:
∆ = 0 ⇔ a2 + 4b = 0 (3)
(d) đi qua A(1,0) nên ta có a + b = 0 (4)
a + b = 0

Kết hợp (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

(4)
(3)

2

 a + 4b = 0
Từ (4) suy ra: b = - a thay vào (3) ta có: a2 – 4a = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = 4
Với a = 0 ⇒ b = 0. Phương trình đường thẳng (d) là: y = 0
Với a = 4 ⇒ b = - 4. Phương trình đường thẳng (d) là: y = 4x - 4

c. Bài tập vận dụng
Bài 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số (P): y=x 2 và hai điểm A(0;1) ;
B(1;3).
a. Viết phương trình đường thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. Viết phương trình đường thẳng (d1)vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
Bài 2. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2).
Bài 3. Cho (P) y=x2. lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với
(P).
1
2

Bài 4. Cho (P) y = x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y=a.x+b . X¸c ®Þnh a
vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi
(P).

13


IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Sau hai năm áp dụng đề tài “Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải
bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 ,cho học sinh lớp 9 ôn thi vào
lớp 10 THPT kết quả đã được nâng lên.
Cụ thể:
Năm học 2013 – 2014.

Điểm kiểm tra
Lớp

Sĩ số

9A
32
9B
30
Năm học 2014 – 2015.

0-<5
SL
9
9

5 - 10
%
28,1
30,0

SL
23
21

%
71,9
70,0

Điểm kiểm tra

Lớp
9A
9B

Sĩ số
31
29

0-<5
SL
8
6

5 - 10
%
25,8
20,7

SL
23
23

%
74,2
79,4

Đề tài này tôi đã áp dụng tương đối thành công trong quá trình giảng dạy:
Học sinh nắm vững các kiến thức và khắc sâu được kiến thức cho các em. Rèn
luyện khả năng phân tích và tìm các mối quan hệ giữa các bài toán.Tăng khả
năng tính toán, suy luận logic, lập luận chặt chẽ. Định hướng được các dạng bài

toán để thực hiện.
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN:
Bài toán về Hàm số là các dạng toán thường gặp trong các đề thi lớp 9
đặc biệt là thi vào lớp 10 THPT. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa
thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi
sáng tạo thường xuyên, bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này
để truyền thụ kiến thức và cách làm Toán cho học sinh nhằm bổ trợ cho các em
có một vốn kiến thức dồi dào cho các em có hành trang vững chắc bước vào kì
thi lớp 10 đạt hiệu quả cao.
Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải bài toán
liên quan đến hàm số thì bản thân mỗi giáo viên phải phân dạng được các bài
toán liên quan đến hàm số và biết cách giải cụ thể của các dạng toán đó.
Qua việc nghiên cứu, tìm hiểu lí do vì sao học sinh thi vào lớp 10 các
năm thường có tỉ lệ điểm thấp tôi đã sớm khắc phục được nguyên nhân và tìm
được lối đi cho bản thân mình và bên cạnh đó còn giúp cho bản thân nâng cao
kiến thức, nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT có hiệu quả,
ngoài ra còn là động lực để nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có
14


thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của
mình.
Đề tài đã được kiểm nghiệm ở tổ chuyên môn của trường có thể lấy sáng
kiến kinh nghiệm để triển khai cho giáo viên của trường nhằm trao đổi và học
hỏi lẫn nhau.
II. KIẾN NGHỊ: Không.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 3 năm 2016

Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm
của mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

Lê Thị Mận

III. CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO:
15


1. Phan Doãn Thoại - Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán NXBGD Việt Nam.
2. Tôn Thân - Ôn thi vào lớp 10 môn Toán NXBGD Việt Nam.
3. Tập đề thi vào lớp 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa.
4. Sách giáo khoa Toán 9 - NXBGD Việt Nam năm 2011
5. Sách bài tập Toán 9 - NXBGD Việt Nam năm 2011
6. WWW.violet.vn, các đề thi - kiểm tra của các trường THCS.

16