Giúp học sinh yếu kém ở lớp 7 củng cố các phép toán cộng trừ thông qua dạy học chương IV biểu thức đại số

MỤC LỤC
STT
1
2
3
4

Tên các mục
Mở đầu
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Kết luận, kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
1
2- 16
17
18

DANH MỤC VIẾT TẮT:
- GV: Giáo viên

1


- HS: Học sinh
- GTTĐ: Giá trị tuyệt đối.
-THCS & THPT : Trung học cơ sở và trung học phổ thông

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài

2


Trường THCS & THPT Quan hóa được đóng trên địa bàn xã Thiên Phủ
thuộc diện vùng đặc biệt khó khăn. Học sinh người dân tộc trong trường chiếm
hơn 95%. Đa số các em có hoàn cảnh kinh tế gia đình khó khăn vì vậy việc nhận
thức về giáo dục rất kém và việc quan tâm đến chuyện học của con em mình là
rất ít, hầu hết đều phó mặc cho các thầy, cô giáo trong trường. Ý thức học tập
của học sinh chưa cao và chưa có phương pháp học tập phù hợp. Một nguyên
nhân cốt lõi nhất đó là các em bị hổng kiến thức cơ bản về môn toán ở bậc tiểu
học và kĩ năng viết ở bậc tiểu học chưa phù hợp với cấp THCS. Chính những
điều này dẫn đến chất lượng học tập của các em là rất thấp.
Bản thân tôi là một giáo viên giảng dạy nhiều năm ở miền núi tôi rất hiểu
và thông cảm với những khó khăn của các em. Chính vì thế trong quá trình
giảng dạy tôi luôn cố gắng học hỏi, tìm ra những phương pháp dạy học phù nhất
với học sinh để làm sao trong quá trình học các em vừa lĩnh hội bài mới mà vẫn
có thể củng cố những kiến thức đã bị hổng. Với mong muốn được nâng cao chất
lượng dạy và học của nhà trường bản thân tôi đã mạnh dạn áp dụng một số giải
pháp dạy học trong thực tế và đã có những kết quả khả quan. Vì thế tôi chọn đề
tài “ Giúp học sinh yếu kém môn toán ở lớp 7 củng cố các phép toán cộng, trừ
thông qua dạy học chương IV: Biểu thức đại số”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Qua các buổi sinh hoạt chuyên môn với sự trao đổi và góp ý của đồng
nghiệp tôi đã dạy học thử nghiêm đối với học sinh lớp 7 về phương pháp giúp
đỡ học sinh yếu học tốt môn toán và thực tế đã có những kết quả khả quan hơn
so với đầu năm học. Theo tôi nếu áp dụng đại trà thì chất lượng học môn toán và
các môn học khác của trường sẽ dần nâng cao hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức môn toán bậc THCS như đã trình bày đóng vai trò nền tảng. Vì

thế khắc phục tình trạng yếu kém môn toán ở bậc THCS là vấn đề không chỉ
của riêng một cá nhân giáo viên dạy toán nào. Tuy nhiên, để đạt hiệu quả rõ ràng
trong việc nghiên cứu và thử nghiệm trong đề tài này tôi chủ yếu vừa dạy kiến
thức mới đồng thời củng cố các kiến thức đơn giản về các phép toán cộng, trừ
trên hệ thống số đã “bị hổng” cho học sinh yếu, kém thuộc lớp 7 của trường .
Các kiến thức toán được đề cập đến trong đề tài thuộc phạm vi SGK, SBT, sách
bổ trợ đảm bảo tính vừa sức đối với các em.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này được hoàn thành trên phương pháp thống kê tổng hợp, quan sát,
phân tích, phương pháp củng cố, phương pháp hoạt động nhóm, phương pháp
vấn đáp gợi mở, phương pháp thực hành giải toán.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Môn toán là một môn học khó, đòi hỏi học sinh phải có nền tảng kiến thức
cũ vững chắc, có tính kiên trì, có khả năng tư duy, óc sáng tạo và có tinh thần

3


học hỏi không ngừng. Nhưng những điều này đối với học sinh vùng miền núi là
rất khó. Đặc biệt hiện nay nhiều GV chỉ lên lớp chủ yếu là truyền đạt kiến thức
mới cho kịp chương trình mà quên việc củng cố lại các kiến thức cũ đã bị hổng
của các em HS. Chính vì vậy mà đa số các em học sinh yếu lại càng học yếu và
thiếu rất nhiều kĩ năng về học tập môn toán hơn. Với cương vị là giáo viên dạy
toán bản thân tôi cũng rất trăn trở với điều này, theo tôi để giúp học sinh học tập
được môn toán cần đòi hỏi ở người thầy có kiến thức vững chắc, có phương
pháp dạy học phù hợp vừa dạy học kiến thức mới vừa củng cố kiến thức cũ sao
cho học sinh có thể nắm được kiến thức mới và được lấp đầy các lỗ hổng về
kiến để các em có thể đạt được chất lượng đại trà, khá, giỏi.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực trạng hiện nay của việc học tập các môn học nói chung và đặc biệt
việc học toán nói riêng của của học sinh trong trường là rất yếu và thiếu rất
nhiều kĩ năng. Điều này thể hiện qua kết quả học tập học kì I điểm toán của 37
học sinh lớp 7 rất thấp cụ thể:
Giỏi

Khá

Tb

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

1

2,7

6

16,22

16

43,28

13

35,1

1

2,7

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề
2.3.1. Khảo sát chất lượng đầu năm của học sinh để tìm đối tượng yếu,
kém.
Thông qua bài kiểm tra khảo sát đầu năm, kiểm tra vấn đáp những kiến
thức cơ bản, trọng tâm mà các em đã được học. Qua đó giúp tôi nắm được

những đối tượng học sinh yếu kém và những ''lỗ hổng” kiến thức của các em.
Trên cơ sở đó tôi phân lớp thành nhiều nhóm trong các nhóm đó sẽ có cả học
sinh học tốt và học sinh học yếu.. Rồi tìm hiểu nguyên nhân và lập kế hoạch
dạy học cụ thể để khắc phục dần tình trạng yếu toán.
2.3.2 Tìm hiểu các nguyên nhân
Qua thực tế tìm hiểu tôi nhận thấy có các nguyên nhân chủ yếu sau dẫn đến
học sinh học yếu đó là:
- Do kinh tế gia đình khó khăn nên điều kiện học tập thiếu thốn về cả vật
chất cũng như thời gian, dẫn đến kết quả học tập theo đó bị hạn chế.
- Kiến thức của các em đã bị hổng kiến thức ở cấp học dưới: do học sinh
lười học, do để đạt kết quả phổ cập của học sinh ở cấp tiểu học mà không cần
quan tâm đến chất lượng học tập.
- Do khả năng tiếp thu chậm, khả năng diễn đạt kém.
- Do thiếu phương pháp học tập phù hợp.

4


2.3.3. Lập kế hoạch thực hiện:
- Khảo sát chất lượng đầu năm học
- Chia nhóm học tập: Trong có cả học sinh yếu kém và HS khá môn toán.
- Hướng dẫn phương pháp học tập: Học ở nhà; học ở trên lớp học.
- Soạn giảng bài học chi tiết, rõ ràng, phù hợp với đối tượng học sinh.
- Lập đề kiểm tra, đánh giá ở mức độ vừa sức đối với các em.
2.3.4. Thực hiện các biện pháp khắc phục yếu, kém.
* Đối với nội dung kiến thức của chương IV học sinh cần nắm được:
- Về kiến thức:
+ Hiểu được khái niệm biểu thức đại số và các bước tính giá trị biểu thức
đại số
+ Biết các khái niệm về đơn thức, đa thức; bậc của đơn thức, đa thức; khái

niệm nghiệm của đa thức
- Về kĩ năng:
+ Biết tính giá trị của một biểu thức đại số.
+ Biết xác định bậc của một đơn thức, đa thức ( một biến hoặc nhiều biến);
Thu gọn đa thức; biết cộng trừ các đơn thức đồng dạng, đa thức ( một biến hoặc
nhiều biến); biết tìm nghiệm của đa thức một biến.
* Để học sinh yếu kém có thể nắm được nội dung kiến trên là rất khó vì về
căn bản các kiến thức về cộng, trừ các phép trên số là không thạo. Vậy để giúp
các em có thể nắm được các kiến thức của chương tôi thực hiện các biện pháp
sau:
- Học bài mới: GV vừa dạy kiến thức mới đồng thời lồng ghép các bài tập
về các phép toán cộng, trừ về số trong bài học. Điều này giúp các em vừa được
tiếp thu kiến thức mới vừa được củng cố khắc sâu các phép tính về cộng, trừ trên
số. Trong giờ học GV có thể chia nhóm học tập để các học sinh khá giỏi có thể
giúp đỡ các học sinh yếu kém. Từ đó tạo ra được bầu không khí học tập tích cực,
sôi nổi.
- Học các bài luyện tập: Luyện tập các bài tập trong SGK, SBT, sách bổ trợ
nhằm củng cố khắc sâu các kiến thức mới vừa học đồng thời củng cố về các
phép toán cộng, trừ.
- Ra bài tập về nhà: GV chỉ cần ra những bài tập vừa sức với các em, đồng
thời có thêm một số bài tập có liên quan đến cộng, trừ trên số.
- Tăng cường kiểm tra, đánh giá:
+ Kiểm tra viết: Ngoài kiểm tra 1 tiết, kiểm tra 15 phút thì sau mỗi giờ học
GV có thể cho HS làm bài kiểm tra để từ đó GV có thể đánh giá được việc tiếp
thu kiến thức mới và vận dụng kiến thức mới vào làm bài tập vận dụng ở mức

5


độ nào để từ đó điều chỉnh việc dạy của mình. Sau các bài kiểm tra GV ghi vào

sổ theo dõi để theo dõi mức độ tiến bộ của từng em.
+ Kiểm tra miệng, kiểm tra vở bài tập thường xuyên có nhận xét đánh giá
cụ thể về cách diễn đạt, cách trình bày. Từ đó hình thành thói quen “ học đi đôi
với hành” của học sinh.
2.3.5. Các ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Dạy học bài mới: Đại số 7: Tiết 59: Cộng, trừ đa thức
Trong khi dạy bài cộng, trừ đa thức, để giúp học sinh yếu học tốt bài này thì
các em phải nắm được các kiến thức, kĩ năng cũ liên quan đến quy tắc dấu
ngoặc, các tính chất của các phép toán trên số. Muốn vậy thì GV phải dẫn dắt rất
cụ thể để học sinh tiếp thu được kiến thức mới đồng thời củng cố lại các kiến
thức trong tập hợp số như cộng, trừ các số nguyên, số hữu tỉ,...
* Trước khi học bài mới tôi giao nhiệm vụ học tập ở nhà bằng hệ thống câu
hỏi nhằm củng cố các phép toán về sau:
Bài tập 1:
1) Phát biểu các quy tắc cộng, trừ các số nguyên(Cùng dấu, khác dấu)
2) Áp dụng tính:
a)129+ 78
b) - 14 +(-33)
c) -75 + 49
d) 276+(-231)
e) -56+ 56
Bài tập 2:
1) Phát biểu các quy tắc cộng phân số?
2) Áp dụng tính:
a)

1
3
+
12 12

b) 6 +

7
8

c)

−3 7
−
2 24

d)

11
−1
9

Bài tập 3: Nêu quy tắc cộng hai đơn thức đồng dạng?
Áp dụng: Tính

6


a) 2xy2 + 6xy2
b) -11x + x
Bài tập 4: Nêu các bước thu gọn đa thức?
Áp dụng: Thu gọn đa thức A= x2y2 + 2x2 - xy + 5 - 2x2 + y2 - 3
* Dạy học bài mới.
Đại số 7: Tiết 59:

§6. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC
1.Mức độ cần đạt:
- Kiến thức: Học sinh nắm được các bước cộng, trừ đa thức. Vận dụng
làm được các bài tập về cộng, trừ đa thức tại lớp.
- Kỹ năng: Rèn kỹ năng tính toán cộng, trừ trên số; cộng, trừ hai hay
nhiều đa thức.
- Thái độ: Hình thành đức tính cẩn thận trong công việc, say mê học tập.
2. Phương pháp, phương tiện cần đạt:
- Phương tiện:
- Giáo án, SGK, SGV, thước thẳng.
- Tài liệu tham khảo: SBT.
- Phương pháp:
- Vấn đáp gợi mở, phương pháp củng cố từng phần, hoạt động nhóm, thực
hành giải toán.
3. Tiến trình dạy học:
- Ổn định tổ chức:
- Bài cũ: Viết đa thức sau thành tổng và hiệu của hai đa thức:
A = 2x + y
- Bài mới:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
GV: Hãy phát biểu và sử dụng quy tắc
dấu ngoặc đưa các hạng tử ra ngoài dấu
ngoặc
HS: - Khi bỏ dấu ngoặc có dấu ( - ) đằng
trước, ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử
trong dấu ngoặc.
- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu ( +) đằng
trước, thì dấu tất cả các hạng tử trong
ngoặc vẫn giữ nguyên.
3

2

HS: -3x + y + 5x -

NỘI DUNG CẦN ĐẠT
1. Cộng hai đa thức
Ví dụ: Tính:
3
2

(-3x + y) + (5x -

1
y)
2

Giải:

1
y
2

GV: Sau khi bỏ dấu ngoặc đa thức thu
được đã được rút gọn chưa?
3
( -3x+ y) + (5x HS: Đa thức thu được chưa rút gọn
2
GV: Muốn thu gọn đa thức ta làm như
3
thế nào?

= -3x + y + 5x 2
HS: Muốn thu gọn đa thức ta phải nhóm

1
y)
2
1
y
2

7


3
1
các đơn thức đồng dạng và cộng, trừ các
= ( -3x + 5x) + ( y - y)
2
2
đơn thức đồng dạng đó.
GV: Hãy nhóm các đơn thức đồng dạng?
3 1
=(-3 + 5)x +( - )y
3
1
2 2
HS: ( -3x + 5x) + ( y - y)
2

2

GV: Muốn cộng, trừ các đơn thức đồng
dạng ta làm như thế nào?
HS: Muốn cộng trừ các đơn thức đồng
dạng ta giữ nguyên phần biến và cộng,
trừ phần hệ số
GV: Muốn thực hiện các phép cộng, trừ ở
phần hệ số đó ta làm như thế nào?
HS: Đối với cộng, trừ phần hệ số của
biến x ta vận dụng quy tắc cộng hai số
nguyên khác dấu ; đối với cộng, trừ phần
hệ số của biến y ta vận dụng quy tắc cộng
hai phân số cùng mẫu.
GV: Em hãy phát biểu quy tắc cộng hai
số nguyên khác dấu, quy tắc cộng hai
phân số cùng mẫu?
HS: - Muốn cộng hai số nguyên khác dấu
ta tìm hiệu hai GTTĐ (số lớn trừ số nhỏ)
và đặt trước kết quả tìm được dấu của số
có GTTĐ lớn hơn
- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu ta lấy
tử cộng tử và giữ nguyên mẫu ( phân số
thu được là một phân số tối giản)
GV: Gọi HS lên bảng thực hiện cộng các
đơn thức đòng dạng.
HS: = ( -3x + 5x) + (
=(-3 + 5)x +(

3
2

1
2

= ( 5 − − 3 )x + ( − )y
= (5- 3) +
= 2x +

3 −1
y
2

2
y
2

= 2x + y

3
1
y - y)
2
2

3 1
- )y
2 2
3
2

1
2

= ( 5 − − 3 )x + ( − )y
= (5- 3) +
= 2x +

3 −1
y
2

2
y
2

- Để thực hiện phép cộng hai đa
thức thì ta làm như sau:
+ Viết phép cộng hai đa thức
Hỏi: Qua ví dụ trên em hãy nêu các bước + Bỏ dấu ngoặc
= 2x + y

8


cộng, trừ hai đa thức?
+ Nhóm các đơn thức đồng dạng
HS: Muốn cộng, trừ hai đa thức ta cần:
+ Cộng, trừ các đơn thức đồng
+ Sử dụng quy tắc dấu ngoặc để đưa các dạng.
hạng tử ra ngoài dấu ngoặc

Lưu ý: đa thức 2x + y là tổng của
+ Nhóm các đơn thức đồng dạng
+ Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. hai đa thức -3x + 3 y và 5x - 1 y
2
2
Củng cố: Em hãy phát biểu quy tắc cộng
hai đa thức ? Muốn cộng được hai đa
thức thì em cần sử dụng những kiến thức
nào?
HS: - phát biểu lại quy tắc
- Muốn cộng được hai đa thức thì em
cần sử dụng các kiến thức về cộng, trừ
các đơn thức đồng dạng, cộng trừ các
phép toán trên số, quy tắc dấu ngoặc.
GV : Yêu cầu HS làm ?1(SGK/T39)
GV: Để tính M + N trước hết ta cần làm
như thế nào?
HS: Viết phép toán cộng hai đa thức
GV: Em hãy viết phép toán cộng hai đa ?1.(SGK/T39)
thức M và N
Cho hai đa thức
HS: M + N = (3xyz – 3x2 + 5xy – 1) +
M = 3xyz – 3x2 + 5xy – 1
2
(5x + xyz – 5xy + 3 – y)
N = 5x2 + xyz – 5xy + 3 – y
2
GV: Để thực hiện tính (3xyz – 3x + 5xy Hãy tính M + N = ?
– 1) + (5x2 + xyz – 5xy + 3 – y) ta thực
hiện bước nào?

Giải:
HS: Ta cần bỏ dấu ngoặc.
GV: Vậy em hãy bỏ dấu ngoặc
Ta có:
HS: 3xyz – 3x2 + 5xy – 1 + 5x2 + xyz – M + N =
5xy + 3 – y
(3xyz – 3x2 + 5xy – 1) + (5x2 +
GV: Bỏ dấu ngoặc xong ta làm gì?
xyz – 5xy + 3 – y)
HS: Ta nhóm các đơn thức đồng dạng
GV: Em hãy nhóm các đơn thức đồng
dạng
= 3xyz – 3x2 + 5xy – 1 + 5x2 + xyz
2
2
HS: (3xyz + xyz) + (-3x + 5x ) + (5xy – – 5xy + 3 – y
5xy) – y + (3 – 1)
GV: Nhóm các đơn thức đồng dạng ta
cần làm gì?
= (3xyz + xyz) + (-3x2 + 5x2) +
HS: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng
(5xy – 5xy) – y + (3 – 1)
GV: Phép cộng, trừ phần hệ số của các
đơn thức đồng dạng thuộc phép cộng, trừ
trên số nào?
= ( 3+1)xyz + ( -3+ 5)x2+(5-5)xy HS: Phép cộng, trừ phần hệ số thuộc y + 2
phép cộng, trừ trên số nguyên.
GV: Vậy em vận dụng phép cộng trừ trên

9

số nguyên để thực hiện phếp cộng, trừ = 4xyz + 2x2 + 0xy – y + 2
các đơn thức động dạng đó?
= 4xyz + 2x2 – y + 2
HS:( 3+1)xyz +(-3+ 5)x2+(5-5)xy - y + 2
= 4xyz + 2x2 – y + 2
GV: Để thực hiện được ?1 em cần vận
dụng những kiến thức nào?
HS: Để thực hiện ?1 em cần vận dụng
các kiến thức cộng hai đa thức(kiến thức
mới), cộng, trừ các đơn thức đồng dạng,
cộng trừ trên hệ thống số( kiến thức cũ)
GV: Yêu cầu HS đọc và nghiên cứu VD
(SGK/T39) cách trừ hai đa thức.
Để trừ hai đa thức đầu tiên ta thực hiện
bước nào? Em hãy thực hiện luôn bước
đó?
HS: Đầu tiên ta viết phép trừ hai đa thức:
P - Q = (5x2y - 4xy2 + 5x - 3) -( xyz - 2. Trừ hai đa thức
1
Ví dụ(SGK/T39): Để trừ hai đa
4x2y + xy2 + 5x - )
2
thức: P = 5x2y - 4xy2 + 5x - 3 và Q
1
GV: Tiếp theo ta làm gì? Cần lưu ý gì?
= xyz - 4x2y + xy2 + 5x - ta làm
HS: Tiếp theo ta dùng quy tắc đấu ngoặc
2

và bỏ dấu ngoặc, khi bỏ dấu ngặc thì lưu như sau:
ý nếu trước dấu ngoặc có dấu trừ thì các P - Q = (5x2y - 4xy2 + 5x - 3) 1
hạng tử đưa ra ngoài phải đổi dấu.
( xyz - 4x2y + xy2 + 5x - )
2
2
2
2
2
5x y - 4xy + 5x - 3 - xyz + 4x y - xy 2
2
1
= 5x y - 4xy + 5x - 3 - xyz + 4x 2y
5x +
1
2
- xy2 - 5x +
2
GV: Tiếp theo ta làm gì? cần sử dụng
2
= (5x y + 4x2y) +(- 4xy2 - xy2 ) +
kiến thức nào? cần lưu ý gì?
HS: Tiếp theo ta nhóm các hạng tử bằng ( 5x - 5x) - xyz + ( -3 + 1 )
2
sử dung tính chất giao hoán và kết hợp
2
2
của phép cộng trừ, lưu ý khi nhóm các =(5+4) x y +(-4 - 1)xy + (5-5)x hạng thì không được đổi dấu các hạng tử xyz + − 6 + 1
2
2

đó khi trước dấu ngoặc có dấu +
2
2
2
2
2
2
=
9x
y
+(-5)xy
+ 0x - xyz +
(5x y + 4x y) +(- 4xy - xy ) +( 5x - 5x) xyz + ( -3 +

1
)
2

− 6 +1
2

GV: Để cộng trừ phần hệ số của các biến = 9x2y - 5xy2 - xyz +
em cần vận dụng phép cộng trừ trên hệ
thống số nào?
= 9x2y - 5xy2 - xyz HS: Cộng trừ số nguyên, cộng phân số
( cộng môt số nguyên với một phân số)
GV: Em hãy phát biểu quy tắc công trừ
hai số nguyên, cộng số nguyên với một
phân số?

−5
2
5
2

10


HS: Phát biểu.
5x - 5x) - xyz + ( -3 +

1
)
2

GV: Em hãy thực hiện cộng trừ các đơn
thức đồng dạng ? Khi thực hiện cần lưu ý
gì?
HS: Khi cộng trừ các đơn thức đồng dạng
ta chỉ cộng trừ phần hệ số và giữ nguyên
phần biến.
=(5+4) x2y +(-4 - 1)xy2 + (5-5)x - xyz +
−6 1
+
2
2

= 9x2y +(-5)xy2 + 0x - xyz +
= 9x2y - 5xy2 - xyz -

- Để thực hiện phép trừ hai đa thức
thì ta làm như sau:
+ Viết phép trừ hai đa thức
+ Bỏ dấu ngoặc
+ Nhóm các đơn thức đồng dạng
+ Cộng, trừ các đơn thức đồng
dạng.

− 6 +1
2

5
2

GV: Để thực hiện phép trừ hai đa thức ta
làm như thế nào? Cần sử dụng những
kiến thức nào?
HS: - Để thực hiện phép trừ hai đa thức
thì ta làm như sau:
+ Viết phép trừ hai đa thức
+ Bỏ dấu ngoặc
+ Nhóm các đơn thức đồng dạng
+ Cộng trừ các đơn thức đồng dạng.
- Các kiến thức cần sử dụng là: quy tắc
dấu ngoặc, cộng trừ các đơn thức đồng
dạng, cộng trừ trên hệ thống số.
GV: Yêu cầu HS thảo luận làm ?2
(SGK/T39)
HS : Thảo luận ?2 cử đại diện lên bảng
làm bài.

GV: Lưu ý bài toán yêu cầu tính hiệu của
hai đa thức nên ta có thể tính M - N hoặc
N - M.
HS: Thực hiện.
GV: cho Hs đổi chéo bài, nhận xét chéo
và cho điểm (dựa vào kết quả của GV
đưa ra)
HS: Nhận xét, cho điểm bài của bạn.

?2. Viết hai đa thức rồi tính hiệu
của chúng.
Giải:
Ví dụ hai đa thức:
M = 3xyz – 3x2 + 5xy – 1
N = 5x2 + xyz – 5xy + 3 – y
Tính hiệu:
+)M - N = (3xyz – 3x2 + 5xy – 1)
- (5x2 + xyz – 5xy + 3 – y)
= 3xyz - 3x2 + 5xy – 1 –
5x2 – xyz + 5xy – 3 + y
= (3xyz – xyz) + ( - 3x 2 5x2) + (5xy + 5xy) + y + (-3 – 1)
= (3-1)xyz + (-3 -5) x 2 +
(5+5) xy + y +(– 4)
= 2xyz - 8x2 + 10xy + y – 4
+) N – M = (5x2 + xyz – 5xy + 3 –
y) - (3xyz – 3x2 + 5xy – 1)
= 5x2 + xyz – 5xy + 3 – y - 3xyz +
3x2 - 5xy + 1
= ( 5x2+3x2 ) + (xyz - 3xyz) + (
-5xy- 5xy) - y + ( 3+ 1)

= (5+3)x2 + ( 1-3) xyz + ( -5 -5) xy
-y+4
= 8x2 - 2xyz - 10 xy - y +4

4. Củng cố, dặn dò:
GV:
- Em hãy nêu quy tắc cộng, trừ hai đa thức?

11


- Qua bài học cộng, trừ hai đa thức hôm nay giúp em củng cố lại những
kiến thức nào?
- Việc thực hiện cộng trừ hai đa thức em thấy khó khăn ở chỗ nào nhất?
HS:
- Phát biểu quy tắc cộng trừ hai đa thức.
- Các kiến thức em được củng cố: cộng, trừ các đơn thức đồng dạng;
Cộng, trừ các phép toán trên tập hợp số.
* Bài tập 32 (SGK/T40) Tìm đa thức P và đa thức Q, biết:
a) P + (x2 – 2y2) = x2 – y2 + 3y2 – 1
b) Q – (5x2 – xyz) = xy + 2x2 – 3xyz+ 5
Giải:
a) P + (x2 – 2y2) = x2 – y2 + 3y2 – 1
P = (x2– y2 + 3y2 – 1)- (x2 – 2y2)
= x2– y2+3y2 – 1- x2 +2y2
= (x2 - x2)+ (2y2 – y2 + 3y2) – 1
= 4y2 – 1
Vậy đa thức P cần tìm là : 4y2 – 1
b) Q – (5x2 – xyz) = xy + 2x2 – 3xyz+ 5
Q =(xy + 2x2 – 3xyz+ 5) +(5x2 – xyz)

= xy + 2x2 – 3xyz+ 5+ 5x2 – xyz
= (2x2+ 5x2 ) + ( -3xyz - xyz) + xy +5
Q = 7x2 – 4xyz + xy + 5
Vậy đa thức Q cần tìm là : 7x2 – 4xyz + xy + 5
5. Hướng dẫn học ở nhà:
- Về nhà ôn lại cách cộng, trừ đa thức.
- Giải các bài tập 33 -> 36 (SGK/T40, 41), bài tập
(SBT/T13,14), bài tập 1b, c; 2b,2; 1,2,3(trang 40 -> 44/ sách bổ trợ)

29 -> 31

- Hướng dẫn làm bài tập 36.Để tính giá trị của một đa thức, ta nên thu gọn
đa thức đó ( nếu chưa thu gọn) sau đó mới thay vào rồi tính.
- Chuẩn bị trước bài mới.
Ví dụ 2: Dạy học bài luyện tập
Đại số 7:

Tiết 63:

LUYỆN TẬP

1. Mức độ cần đạt:

12


- Kiến thức: Học sinh được củng cố các kiến thức về đa thức một biến,
cộng, trừ đa thức một biến. Vận dụng làm được bài tập tại lớp.
- Kỹ năng: Rèn kỹ năng tính toán cộng, trừ hai hay nhiều đa thức một
biến; cộng, trừ các phép toán trên tập hợp số.

- Thái độ: Nhiêm túc, cẩn thận, kiên trì , hợp tác, sôi nổi học tập.
2. Phương tiện, phương pháp thực hiện:
- Phương tiện:
+ Giáo án, SGK, SGV, thước thẳng.
+ Tài liệu tham khảo: SBT, sách bổ trợ toán 7.
- Phương pháp:
+ Vấn đáp gợi mở, thực hành giải toán, thảo luận nhóm, củng cố từng
phần.
3. Tiến trình dạy học:
- Ổn định tổ chức:
- Bài cũ: Nêu các phương pháp cộng, trừ hai đa thức đa thức một biến ?
- Bài mới:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Hoạt động 1: Lý thuyết
GV: Nêu phương pháp cộng, trừ hai đa
thức một biến?
HS:Để cộng, trừ hai đa thức một biến ta
có thể thực hiện theo một trong hai cách
sau:
Cách 1: Cộng, trừ theo “hàng ngang”
Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của hai đa
thức theo lũy thừa giảm ( hoặc tăng) dần
của biến, rồi đặt phép tính theo cột dọc
tương tự như cộng, trừ các số ( chú ý các
đơn thức đồng dạng ở cùng một cột)

NỘI DUNG CẦN ĐẠT
1. Lý thuyết:
Để cộng, trừ hai đa thức một biến
ta có thể thực hiện theo một trong

hai cách sau:
Cách 1: Cộng, trừ theo “hàng
ngang”
+ Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
+ Thực hiện bỏ dấu ngoặc
+ Nhóm các hạng tử đồng dạng
+ Cộng, trừ các đơn thức đồng
dạng
Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của
hai đa thức theo lũy thừa giảm
( hoặc tăng) dần của biến, rồi đặt
phép tính theo cột dọc tương tự
như cộng, trừ các số ( chú ý các
đơn thức đồng dạng ở cùng một
cột)
Hoạt động 2: Bài tập.
2. Bài tập:
GV: Cho HS đọc yêu cầu bài tập 50
Bài tập 50 (SGK trang 46)
HS: Độc đề bài
Cho các đa thức:
GV: Muốn thu gọn đa thức ta làm như thế N = 15y3 + 5y2 – y5 -5y2 – 4y3 – 2y
nào? cần vận dụng kiến thức nào?
M = y2 + y3 -3y + 1 –y2 + y5 – y3 +

13


HS: Muốn thu gọn đa thức ta nhóm các
đơn thức đồng dạng và cộng, trừ các đơn

thức đồng dạng. Khi thực hiện cần vân
dụng các kiến thức: tính chất giao hoán,
kết hợp, cộng, trừ trên tập hợp số, cộng
trừ các đơn thức đồng dạng.
GV: Vậy em hãy thu gọn các đa thức N,
M
HS: N = 15y3 + 5y2 – y5 -5y2 – 4y3 – 2y
= -y5 + ( 15y3 - 4y3) + ( 5y2 - 5y2) – 2y
= -y5 + ( 15- 4)y3 + ( 5- 5)y2 – 2y
= -y5 + 11y3 – 2y
M = y2 + y3 -3y + 1 –y2 + y5 – y3 + 7y5
= (y5 + 7y5 ) +(y3 – y3) +( y2 - y2) - 3y + 1
= 8y5 – 3y + 1

7y5
a) Thu gọn các đa thức trên
b) Tính N + M và N - M
Giải :
a) Thu gọn các đa thức:
N = 15y3 + 5y2 – y5 -5y2 – 4y3 – 2y
= -y5 + ( 15y3 - 4y3) + ( 5y2 5y2) – 2y
= -y5 + ( 15- 4)y3 + ( 5- 5)y2 –
2y
= -y5 + 11y3 – 2y
M = y2 + y3 -3y + 1 –y2 + y5 – y3 +
7y5
= (y5 + 7y5 ) + ( y3 – y3 ) + ( y2 - y2)
- 3y + 1
= 8y5 – 3y + 1
b) Tính :

Cách 1 : Cộng, trừ theo hàng
ngang
N + M = (-y5 + 11y3 – 2y) + ( 8y5 –
3y + 1)
= -y5 + 11y3 – 2y + 8y5 – 3y + 1
= (-y5 + 8y5)+11y3+( -2y - 3y) + 1
= (-1 +8)y5 + 11y3 +(-2-3)y + 1
= 7y5 + 11y3 – 5y + 1
N – M = (-y5 + 11y3 – 2y) - ( 8y5
– 3y + 1)
= -y5 + 11y3 – 2y - 8y5 + 3y - 1
= (-y5 - 8y5)+11y3+( -2y + 3y) - 1
= (-1 -8)y5 + 11y3 +(-2+3)y - 1
= -9y5 + 11y3 + y - 1
Cách 2 :
N = -y5 +
11y3 – 2y
M= 8y5
– 3y + 1
5
3
N+M=(-1+8)y + 11y +(-2-3)y + 1
= 7y5 + 11y3 – 5y + 1

GV: Chia lớp thành 4 nhóm thực hiện câu
b theo các bước sau;
- Tính N + M
- Tính N - M
-Rút ra cách giải chung
-Nêu các kiến thức được vận dụng, các

quy tắc để tính cộng, trừ phần hệ số của
các đơn thức đông dạng nếu có.
-Nêu các lỗi sai thường mắc phải khi thực
hiện, cách khắc phục các lỗi đó.
( Nhóm 1, 2 thực hiện theo các 1.
Nhóm 3, 4 thực hiện theo cách 2)
HS: Thực hiện theo hướng dẫn
GV: Cho các nhóm nhận xét chéo ,
khuyến khích HS yếu nhận xét trước
HS: Nhận xét chéo
Lưu ý:
-GV cần quán xuyến lớp tốt tránh gây ồn
ào.
- Khi cộng, trừ theo cột dọc nếu HS khó
khăn khi thực hiện đối với đa thức khuyết
bậc cần lưu ý các em nên vết đa thức có N = -y5 +
11y3 – 2y
đủ bậc theo lũy thừa giảm( tăng) dần và M= 8y5
– 3y + 1
5
3
bậc nào khuyết thì viết phần biến với hệ N- M=(-1-8)y + 11y +(-2+3)y - 1
số bằng 0
= -9y5 + 11y3 + y - 1
N = -y5 + 0y4 + 11y3 + 0y2– 2y + 0
M= 8y5 +0y4 + 0y3 + 0y2 - 3y + 1
N+M=(-1+8)y5+(0+0)y4+(11+0)y3+(0+0)y2+ (-23)y+(0+1)

14

= 7y5 + 11y3 – 5y + 1
N = -y5 + 0y4 + 11y3 + 0y2– 2y + 0
M= 8y5 +0y4 + 0y3 + 0y2 - 3y + 1
N-M=(-1-8)y5+(0-0)y4+(11-0)y3+(0-0)y2+(2+3)y+(0- 1)

= -9y5

+ 11y3 + y

-1

GV : Bài tập 40 yêu cầu tính gì ?
HS : Bài tập yêu cầu tìm đa thức h(x).
GV : Muốn tìm đa thức h(x) ta vận dụng
kiến thức nào ?
HS : Để tìm đa thức h(x) ta vận dụng tìm
số hạng trong một tổng (câu a), tìm số trừ
trong một hiệu ( câu b)
GV : Em hãy phát biểu quy tắc tìm số
trong một tổng, quy tắc tìm số trừ trong
một hiệu ?
HS : Phát biểu quy tắc.
GV : Em hãy vận dụng các quy tắc đó để
tìm h(x)
HS : Thực hiện tính h(x)
GV : Lưu ý ngoài cách sử dụng các quy
tắc trên ta có thể dùng quy tắc chuyển vế
để tìm h(x)
GV : Gọi 2 HS lên bảng trình bày, các HS

còn lại làm vào vở
HS : Thực hiện.
GV : Thu một vài vở bài tập của học sinh
yếu kém, so sánh với kết quả, nhận xét
cách trình bày. Có thể khen ngợi sự tiến
bộ của các em và cho điểm.
GV : Để giải dạng bài tập như bài 40 ta
cần sử dụng những kiến thức nào ? Khi sử
dụng các kiến thức đó cần lưu ý gì ?
HS : -Để giải bài tập có dạng như bài 40
tan sử dụng quy tắc tìm các số trong một
tổng hoặc một hiệu ; quy tắc chuyển vế
- Khi sử dụng quy tắc tìm các số trong
một tổng hoặc hiêu thì ta cần xác đinh
được số cần tìm là số có dạng nào ( số
hạng, số bị trừ, số trừ)
-Khi sử dụng quy tăc chuyển vế thì cần
đổi dấu của hạng tử được chuyển vế.
GV: Bài tập 52 yêu cầu các em làm gì?

Bài tập 40: SBT trang 15
Cho các đa thức
f(x) = x4 - 3x2 + x - 1
g(x) = x4 - x3 + x2 + 5
Tìm đa thức h(x) sao cho:
a, f(x) + h(x) = g(x)
b, f(x) - h(x) = g(x)
Giải:
a, f(x) + h(x) = g(x)
h(x) = g(x) - f(x)

= (x4 - x3 + x2 + 5)-(x4 - 3x2 + x 1)
= x4 - x3 + x2 + 5- x4 + 3x2 - x +1
= (x4 -x4) - x3 +( x2 + 3x2) - x +
( 5+1)
= (1-1)x4 - x3 +(1+3)x2 - x +6
= - x3 + 4x2 - x +6
b, f(x) - h(x) = g(x)
h(x) = f(x) - g(x)
= (x4 - 3x2 + x -1)-(x4 - x3 + x2 + 5)
= x4 - 3x2 + x -1-x4 + x3 - x2 - 5
= (1-1)x4 + x3 +(-3-1)x2 + x +
(-1-5)
= x3 - 4x2 + x - 6

Bài tập 52 SGK trang 46
Tính giá trị của đa thức P(x) = x 2 2x - 8 tại x = -1; x = 0; x = 4

15


HS: Bài tập yêu cầu tính giá trị biểu thức
của đa thức
GV: Muốm tính giá trị của biểu thức ta
cần làm như thế nào?
HS: Để tính giá trị của biểu thức đại số tại
những giá trị cho trước của các biến, ta
thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức
rồi thực hiện phép tính.
GV: Đa thức P(x) có mấy biến, nêu tên
các biến.

HS: Đa thức P(x) có 1 biến đó là biến x.
GV: Biến x đã cho những giá trị nào?
HS: Biến x đã cho các giá trị : -1; 0; 4.
GV: Muốn tính giá trị của P(x) tại x = -1;
x = 0; x=4 ta làm như thế nào?
HS: Ta thay lần lượt các giá trị x = -1; x=
0; x = 4 vào P(x) rồi thực hiện phép tính.
GV: Vậy em hãy thay lần lượt các giá trị
của x = -1; 0; 4 vào P(x)
HS: thực hiện.
GV: biểu thức (-1)2 – 2(-1) – 8 gồm những
phép tính nào? Em hãy nêu thứ tự thực
hiện phép tính của biểu thức (-1)2 – 2(-1)
– 8?
HS:biểu thức (-1)2 – 2(-1) – 8 gồm những
phép tính nâng lên lũy thừa, nhân, cộng,
trừ. Thứ tự thực hiện các phép tính là nâng
lên lũy thừa -> nhân (chia) -> cộng, trừ.
GV: Em hãy thực hiện phép tính đó
HS: Thực hiện.
GV: Tương tự em hãy tính các giá trị P(x)
tại x = 0; x = 4
GV: Để tính giá trị của một biểu thức đại
số ta làm như thế nào? Khi thực hiện tính
giá trị biểu thức đại số giúp em củng cố lại
những kiến thức nào?
HS: - Nêu các bước thực hiện tính giá trị
biểu thức đại số
- Khi thực hiện tính giá trị biểu thức đại
số giúp em củng cố lại các phép toán

cộng, trừ, nhân chia, thứ tự thực hiện phép
tính trên hệ thống số.

Giải:

Thay x = -1 vào biểu thức P(x) ta
được:
P(-1) = (-1)2 – 2(-1) – 8 =
=1+2-8
=3-8
=-5

P(0) = 02 - 2.0 - 8
=0-0-8
=0-8
= -8
P(4) = 42 – 2.4 – 8 =
= 16 - 8 - 8
=8-8
=0

4. Củng cố, dặn dò:

16


GV: Trong bài học hôm nay em được học những dạng toán nào? Nêu cách
giải của từng dạng bài toán đó?
HS; Trả lời.
GV: Tổng kết, rút kinh nghiệm về bài làm của HS, chỉ ra những sai sót

thường mắc phải khi thực hiện cộng, trừ các đa thức, trên hệ thống số và hướng
dẫn HS cách khắc phục
5. Hướng dẫn học bài:
- Làm lại các bài tập đã làm ở trên lớp, tự ôn luyện thêm các phép toán
cộng trừ.
- Làm các bài tập 51, 53 ( SGK trang 46) ; 38,39 (SBT trang 15) ; 1,2,3,4
( sách bổ trợ toán trang 48, 49, 50, 51)
- Đọc và nghiên cứu trước bài “ Nghiệm của đa thức một biến ”
Ví dụ 3 : Đổi mới cách kiểm tra, đánh giá
Kiểm tra 15 phút.
* Đề bài:
Cho hai đa thức sau:
2
A = 3x - 7xy + y2 - 6 và - 3x2 + 7xy +4y2 + 5
Tính: C= A- B; D = A+B
* Đáp án và biểu điểm:
a) C = A- B= (3x2 - 7xy + y2 - 6 ) -( - 3x2 + 7xy +4y2 + 5) (1đ)
= 3x2 - 7xy + y2 - 6 + 3x2 - 7xy - 4y2 - 5 (1đ)
= (3x2+ 3x2 )+ (y2 - 4y2 ) + (-7xy- 7xy)+ (- 6 - 5 ) (1đ)
= (3+3)x2+ (1 - 4)y2 + (-7-7)xy -11 (1đ)
= 6x2- 3y2 -14xy -11 (1đ)
D= A+ B= (3x2 - 7xy + y2 - 6 ) +( - 3x2 + 7xy +4y2 + 5) (1đ)
= 3x2 - 7xy + y2 - 6 - 3x2 + 7xy + 4y2 + 5 (1đ)
= (3x2- 3x2 )+ (y2 + 4y2 ) + (-7xy+ 7xy)+ (-6 + 5 ) (1đ)
= (3-3)x2+ (1 + 4)y2 + (-7+7)xy - 1 (1đ)
= 5y2 -1 (1đ)
* Chấm bài: Có thể thực hiện theo hai cách:
- Cách 1: GV thu bài chấm, trả bài và sửa các lỗi mắc phải của học sinh.
- Cách 2: GV cho học sinh đổi bài và đưa đáp án + thang điểm chi tiết
cho học sinh chấm điểm lẫn nhau và nhận xét các lỗi mắc phải của bạn ở phần

cuối bài. Cách này tôi hay sử dụng vì khi học sinh chấm bài cho bạn thì học sinh
được:

17


+ Củng cố kiến thức lại một lần nữa, nắm được các dạng bài tập đó thì cần
sử dụng phương pháp giải nào, cần vận dụng những kiến thức nào phù hợp nhất.
+ Thấy được những lỗi sai của bạn khi trình bày, chỉ ra được những lỗi sai
đó và nêu hướng khắc phục nếu lần sau gặp những dạng bài đó.
Sau mỗi bài kiểm tra GV cần khen sự tiến bộ của học sinh dù rất nhỏ, để
từ đó học sinh cũng thấy được sự tiến bộ của mình cũng được cô giáo ghi nhận.
Lưu ý khi cho học sinh chấm bài của nhau GV cần quan sát chặt chẽ để
tránh tình trạng sửa bài và nâng điểm cho bạn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
- Với phương pháp dạy học như trên đối với học sinh lớp 7 ở trường thì
kết quả đạt được là rất tốt, tỉ lệ yếu kém đã giảm được đáng kể và kết quả đạt
được như sau:
Học lực
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém

Trước khi vận dụng
1( 2,7%)
6(16,22%)
16(43,28%)

13(35,1%)
1(2,7%)

Sau khi vận dụng
2(5,4%)
10(27%)
20(54%)
5(13,6%)
0(0%)

Ý thức học tập về môn toán của các em cơ bản đã thay đổi, các em làm bài
tập ở nhà đầy đủ hơn, chú tâm học bài cũ hơn và trong các giờ học các em đã tự
tin phát biểu ý kiến xây dựng bài, biết cộng trừ các phép toán trên tập hợp số đã
tương đối vững chắc.
- Qua các buổi sinh hoạt chuyên môn các đồng nghiệp trong tổ cũng đã ghi
nhận sự chuyển biến tích cực trong việc học tập môn toán của học sinh lớp 7 và
trong tổ đã triển khai thực hiện đối với các khối 6;8;9 . Kết quả đa số học sinh
đều tích cực học tập đặc biệt trong các bài kiểm tra học sinh được tham gia
chấm điểm các em rất sôi nổi.
Trong công tác ôn luyện họ sinh giỏi toán của khối 7 tôi cũng vận dụng
phương pháp vừa dạy học kiến thức mới vừa củng cố kiến thức cũ và cũng đạt
được kết quả là có một học sinh đạt giải trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện năm
học 2016 - 2017.
3. Kết luận, kiến nghị
- Kết luận: Sáng kiến kinh nghiệm của tôi hiện đang được vận dụng dạy
học sinh khối 7, tuy đã đạt những kết quả nhất định. Song việc giúp đỡ học sinh
yếu , kém học tốt môn toán là việc làm rất khó khăn lâu dài đòi hỏi giáo viên
phải có sự nhiệt tình tâm huyết và có tinh thần trách nhiệm cao thì kết quả mới
đạt được như mong muốn. Để từ có thể góp một phần bé nhỏ của mình trong
phong trào đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng dạy và học.

- Kiến nghị.

18


Để thực hiện sáng kiến này đạt kết quả cao hơn tôi xin có một vài kiến nghị
sau:
+ Nhà trường nên kiểm tra khảo sát đầu năm để GV có thể xác định đối
tượng học sinh yếu kém và phân chia nhóm học phù hợp ( do HS ở đây khi nghỉ
hè là các em hoàn toàn không học nên kiến thức về môn học sẽ không còn)
+ Các GV chủ nhiệm lớp cần phối hợp chặt chẽ với GV bộ môn để nhắc
nhở kịp thời ý thức học tập của học sinh. Nên cho ban cán sự môn học thường
xuyên kiểm tra vở bài tập trong các buổi sinh hoạt 15 phút đầu giờ và chữa các
bài tập khó.
+ Nhà trường nên làm phiếu thăm dò về việc dạy của GV và những khó
khăn mà học sinh mắc phải( phiếu này không cần phải viết tên) để từ đó GV có
thể thay đổi phương pháp dạy của mình và giúp học sinh tháo gỡ những khó
khăn của các em. Phối hợp chặt chẽ với gia đình HS, để phụ huynh giám sát việc
học bài cũ và làm bài tập ở nhà của học sinh
+ Đoàn, đội nên phát động các phong trào thi đua về học tập, phong trào
giúp bạn học tiến bộ... Và nên khen trước các buổi chào cờ, sơ kết học kì...
+ Sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi cũng không tránh khỏi những
sai xót, rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn
thành tốt hơn nữa bài viết của mình.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày.... tháng ... năm...
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Bùi Thị Hồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuẩn kiến thức kĩ năng môn toán của các tác giả: Phạm Đức Tài; Vũ
Hữu Bình; Trần Đình Châu; Vũ Anh Cường; Trần Phương Dung; Trương
Công Thành; Tôn Thân; Nguyễn Duy Thuận; Bùi Văn Tuyên ( Nhà xuất
bản giáo dục Vệt Nam)
2. Vở bổ trợ toán 7 tập 2 của các tác giả: Hồ Sỹ Dũng; Đỗ Trí Khởi; Vũ Thế
Vinh( Nhà xuất bản Giáo Dục)

19


3. Sách giáo khoa toán 7 tập 2 của các tác giả: Phan Đức Chính; Tôn Thân;
Trần Đình Châu; Trần Phương Dung; Trần Kiều ( Nhà xuất bản Giáo Dục)
4. Sách bài tập toán 7 tập 2 của các tác giả: Tôn Thân; Vũ Hữu Bình; Trần
Đình Châu; Trần Kiều ( Nhà xuất bản Giáo Dục)

20