Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS nga bạch nga sơn ứng dụng và phát triển từ một bài toán ban đầu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9
TRƯỜNG THCS NGA BẠCH ỨNG DỤNG VÀ PHÁT
TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN BAN ĐẦU

Người thực hiện: Nguyễn Văn Học
Chức vụ:
Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Nga Bạch
SKKN thuộc lĩnh vực môn : Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
Tên chương mục
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG
2.1 : Cơ sở lý luận

Trang
2
3

3
3
3
3
3

2.2. Thực trạng
2.3. Các giải pháp
2. 4. Nội dung cụ thể

4
5
5

Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào phân
tích đa thức thành nhân tử
Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào rút gọn
biểu thức:
Ứng dụng 3: Hướng dẫn học sinh sử dụng dụng hằng đẳng thức vào
chứng minh chia hết:
Ứng dụng 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào chứng
minh đẳng thức .
Ứng dụng 5: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào tính giá
trị của biểu thức .
Ứng dụng 6: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào giải
phương trình và hệ phương trình.
2.5. Hiệu quả
3. KẾT LUẬN –KIẾN NGHỊ

6

7
8
9
10
11
14
15

3.1. Kết luận

15

3.2. Kiến nghị

16

2


1. MỞ ĐẦU
1.1.

Lý do chọn đề tài

Trong quá trình dạy học làm cho học sinh lĩnh hội được các kiến thức là
rất cần thiết. Tuy nhiên để học sinh vận dụng những kiến thức vào giải các bài
toán thì cần nắm vững các kiếm thức cơ bản từ đó ứng dụng vào các để giải các
bài toán . Những hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung kiến
thức quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8. Mỗi hằng đẳng thức giúp học
sinh giải được một lớp các bài toán, việc vận dụng đằng đẳng thức giúp học sinh

thực hiện giải toán nhanh hơn, gọn hơn.
Để trở thành học sinh giỏi Toán, ngoài những yêu cầu về kiến thức cơ bản
trong chương trình cần nắm vững, học sinh còn phải biết tìm tòi, khai thác, vận
dụng những kiến thức nâng cao. Đối với học sinh lớp 9, giáo viên ngoài việc
hướng dẫn các em vận dụng nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ trong
sách giáo khoa thì cần phải cung cấp thêm một số hằng đẳng thức tổng quát, một
số hằng đẳng thức nâng cao, giúp các em học sinh khá giỏi có thể vận dụng để
giải được nhiều bài toán khó, nhiều dạng bài tập hơn. Khai thác ứng dụng của
các hằng đẳng thức nâng cao nhằm bổ sung những kiến thức mới, khơi dậy niềm
say mê học tập, phát huy tính tích cực nhận thức và phát triển kỹ năng tự học
của học sinh.
Vậy ta phải dạy cho học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản
một cách có hệ thống và từ những bài toán cơ bản đó hoặc các bài toán đã làm
mà phải vận dụng được và phát triển ra các bài toán khác trở thành các bài toán
tổng quát hay tìm ra quy luật cách giải các bài toán. Làm sao để các em có hứng
thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho
mình. Trong quá trình dạy học Toán, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tôi thấy có
hai bài toán liên quan đến tổng ba lập phương và những bài toán này có rất
nhiều ứng dụng, đê có thể giúp học sinh vận dụng các bài toán này vào giải một
số bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểu
thức, chứng minh bất đẳng thức,..., giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học;
sáng tạo trong quá trình học tập, tiếp thu kiến thức mới là điều rất cần thiết. Để
đáp ứng được yêu cầu trên và nhu cầu học tập của học sinh. Do vậy trong giảng
dạy tôi thường phải chắt lọc những nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ
cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành bài toán tổng quát giúp học sinh có thể
phát triển tư duy Toán học.
Trong quá trình nghiên cứu chương trình toán THCS tôi nhận thấy việc
hướng dẫn Học sinh giải một bài toán và từ bài toán đó nếu thay đổi các điều
kiện hay thêm bớt các điều kiện để cho bài toán đó trở thành những bài toán
khác. Xuất phát từ những động cơ và thực tế nói trên nên tôi xin được trao đổi

một số kinh nghiệm nhỏ này cùng các bạn với tên đề tài là:" Hướng dẫn học
sinh lớp 9 trường THCS Nga Bạch ứng dụng và phát triển từ một bài toán
ban đầu "
3


1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Đối với học sinh các bài toán đã biết thì như những hằng đẳng thức đáng nhớ
là một đơn vị kiến thức vô cùng quan trọng, nếu không nắm được thì sẽ không
có thể giải quyết được nhiều bài toán tiếp theo, chính vì thế tìm cách dạy - học
môn toán để áp dụng hằng đẳng thức một cách có hiệu cao nhất, từ đó tiết kiệm
được thời gian của thầy và trò khi dạy – học. Thông qua đề tài nhằm giúp các
em chủ động kiến thức, biết vận dụng kiến thức đúng lúc vào giải quyết những
dạng bài tập như thế nào. Làm cho các em không còn phải lo lắng, lúng túng và
mắc phải những sai lầm khi bắt gặp dạng toán này. Bên cạnh đó học sinh còn
được rèn luyện kỹ năng phân tích – tổng hợp các vấn đề nảy sinh trong cuộc
sống.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài này nghiên cứu về bài toán- Hằng đẳng thức đã biết và vận dụng vào
giải một số bài toán: đó là
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) [ 1]
(a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) [ 1]
- Các ứng dụng của nó: Nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì a + b + c = 0
Hoặc (a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) = 0 ⇔ a = b= c
- Nếu (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 0 thì hoặc a = -b hoặc b = - c hoặc c = -a
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thống kê
- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh
- Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh cùng với nhóm chuyên môn thực
hiện.

- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy
chuyên đề và trao đổi ý kiến với đồng nghiệp
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
- Trong dạy hoc toán học tôi thấy hai bài toán sau trong sách giáo khoa như là
chìa khóa để giải những bài toán mới đó là: Chứng minh bài toán:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) [ 1]
(a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) [ 1]
- Việc khai thác bài toán trong sách giáo khoa đem đến cho chúng ta nhiều
điều thú vị sâu sắc. hệ thống bài tập trong sách giáo khoa cũng như sách bồi
dưỡng hết sức cơ bản và được chắt lọc kỹ lưỡng hàm chứa nhiều vấn đề, chúng
ta cần khai thác và phát triển nó ví dụ :
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc. [ 4]
Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3. [ 3]

4


Toán học là công cụ để phát triển tư duy, chính vì vậy việc giải toán có ý
nghĩa rất quan trọng trong việc phát triển tư duy cho học sinh. Trong khuôn khổ
của đề tài này, tôi chỉ xin đề cập đến ý nghĩa của việc vận dụng các bài toán đã
biết đó là các bài toán đã biết có thể coi như là các hằng đẳng thức cho học sinh
lớp 9. Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, tôi thấy cho học sinh nắm được các
hằng đẳng thức hay là các bài toán đã biết, tác động mạnh đến tư duy phân tích
và tư duy tổng hợp của học sinh . Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các
kiến thức liên quan đã học trước đó. Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi
tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại những kiến thức mình đã học mà có khi
không nhớ hết. Từ đó khi dạy học , giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh phân
tích để tìm được lời giải cho bài toán mà còn phát hiện được các cách giải khác
nhau cho bài toán.

2.2. Thực trạng
- Việc nắm vững các bài toán đã biết- hằng đẳng thức là một yêu cầu cần thiết
đối với học sinh, phần nhiều các em học sinh của chúng ta chỉ nắm được một số
hằng đẳng thức đơn giản và vận dụng vào một số bài tập ở dạng đơn giản, còn
nhiều hằng đẳng thức mở rộng thì nhìn chung các em chưa chú ý nhiều đến, có
hai bài toán trong sách giáo khoa đây là những hằng đẳng thức mà được ứng
dụng rất rộng rãi, việc áp dụng nó cho ta cách giải rất nhanh, nhưng nhiều em
chưa thật sự chú ý nhiều nên vận dụng còn lúng túng, thậm chí không nhớ được
kết quả của bài tập này. Để khắc phục được những nhược điểm trên cho các
em, tôi luôn suy nghĩ phải tìm ra các khía cạnh mới để khêu gợi suy nghĩ
của các em, kích thích trí tò mò qua các vấn đề này mà thầy cô đưa ra thông
qua đó để trang bị một cách có hệ thống các kiến thức thiết thực, trang bị
cho các em một cách nhìn các bài toán ở nhiều góc độ khác nhau, tăng khả
năng tư duy lôgích và rèn luyện tính sáng tạo cho các em, giúp cho các em
có tác phong độc lập khi giải toán. Đứng trước một bài toán có thể chủ động
vững tin biết đặt ra các câu hỏi và tìm ra câu hỏi trả lời thích hợp để giải quyết
bài toán một cách trọn vẹn.
- Trên cơ sở nghiên cứu các đối tượng học sinh . Tôi đã tìm hiểu các hằng đẳng
thức, phương pháp giải và ứng dụng để chứng minh các bài toán , …. và tìm
hiểu, vận dụng để chứng minh các bài toán khác.
- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán cơ bản, ứng dụng để giải các bài toán
khác và các bài tập nâng cao.
Trong chương trình toán có rất nhiều các dạng toán khác nhau, sử dụng
các bài toán cơ bản hay các hằng đẳng thức đã biết để làm tiền đề cho bài toán
này (bài toán mới). Mỗi bài có những yêu cầu khác nhau và những đặc trưng
riêng, khi học sinh bắt gặp thì cảm thấy khó và nhiều học sinh khi giải một bài
toán chỉ biết được cách giải và kết quả bài toán đó mà không vận dụng được vào
trong những bài toán khác, vì sao lại như vậy. Bởi vì các em chưa nắm được
kiến thức cơ bản, không nhớ cách giải từng dạng bài và thói quen gợi nhớ, mở
rộng, vận dụng các bài toán cũ nên không giải được các bài toán đặt ra nếu ta

thay đổi giả thiết.
5


Qua kết quả khảo sát ở 2 nhón học sinh (hai nhóm tương đương) tôi thấy có
những vấn đề sau:
- Vận dụng các hằng đẳng thức còn yếu.
- Khả năng tư duy của học sinh còn hạn chế.
- Cách trình bày lời giải cho một bài toàn còn kém.
- Chưa có khả năng sáng tạo và vận dụng các bài toán đã biết.
Kết quả khảo sát các lớp học sinh khi chưa truyền đạt kiến thức

Lớp 9A
Lớp 9B

Số
lượng

Biết

30
30

15
18

Các mức độ kiến thức đạt được
%
Hiểu
%

Vận
dụng
50
14
46.7
1
60
12
40
0

%
3.3
0

Từ những kết quả trên, để có hiệu quả tốt hơn, tôi đã tìm tòi và suy nghĩ
và đưa ra phương án : đó là: Từ một bài toán ta thay đổi các giả thiết thì sẽ được
một bài toán khác và cũng từ một bài toán vận dụng để giải các bài toán khác .
Nếu Học Sinh làm được 2 điều này thì không những nắm vững kiến thức cơ
bản , nắm vững các bài toán, các dạng toán đã làm mà còn có khả năng tư duy
sáng tạo, tổng hợp rất cao.
2.3 Các biện pháp
Để giúp học sinh lớp 9 có kỹ năng giải thành thạo các bài tập và vận các
bài tập như phần cơ sở lý luận, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm
được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. kết quả của hai bài tập trên. Giáo viên cần
giúp học sinh phân loại các bài tập theo các dạng toán cơ bản, nâng cao. Ở mỗi
dạng toán, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận
dụng các bài tập đã biết - hằng đẳng thức để giải. Giáo viên đưa ra những bài tập
tương tự, bài tập nâng cao để học sinh có thể tự giải.
+ Các bài toán trên sử dụng để giải nhiều bài toán thuộc các dạng sau:

1.1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.2. Rút gọn biểu thức.
1.3. Chứng minh chia hết.
1.4. Chứng minh đẳng thức
1.5. Tính giá trị của biểu thức
1.6. Giải phương trình và hệ phương trình.
2. 4. Nội dung cụ thể
Trong chương trình toán THCS có rất nhiều các hằng đẳng thức song có
hai hằng đẳng thức rất quen thuộc với các bạn HS lớp 9. Chúng được đưa vào
chương trình phổ thông như là một bài toán đó là:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) [ 1]
(1)

6


(a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) [ 1]
(2)
Chứng minh:
Chứng minh hằng đẳng thức (1)
Ta có : a3 + b3 + c3 – 3abc= (a+ b)3 – 3ab(a+b) + c3
= (a+b+c)3 – 3(a+b)2c – 3(a+b)c2 - 3ab(a+b) + c3
= (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)
(đpcm)
Chứng minh hằng đẳng thức (2)
Ta có: (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = (a+b)3 + 3(a+b)2c + 3(a+b)c2 + c3
= 3(a+b)(ac +bc + c2 + ab)
= 3(a+ b)(b+c)(c + a)
(đpcm)
"Hai hằng đẳng thức này hầu như bị nhiều người bỏ rơi. Thật ra nó cho ta

nhiều điều thú vị. Trước hết ta chú ý đến hằng đẳng thức (1)"
a + b + c = 0
[ 2]
Từ (1) => a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 
(3)
a
=
b
=
c


Từ (2) => (a +b +c)3 = a3 + b3 + c3

a = −b
⇔ b = −c [ 2]
c = −a

(4)

"Việc vận dụng hai hằng đẳng thức này trong nhiều trường hợp rất là hiệu
quả và bất ngờ. Sau đây ta xét một số bài toán minh họa"
Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa
thức thành nhân tử
Bài toán 1: Phân tích đa thức 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz thành nhân tử.
Giải: 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz = (3x)3 + (5y)3 + z3 - 3.(3x).(5y).z
= (3x + 5y + z)[(3x)2 + (5y)2 + z2 - (3x)(5y) - (3x)z - (5y)z]
= (3x + 5y + z)(9x2 + 25y2 + z2 - 15xy - 3xz - 5yz).
Bài toán 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử.
Giải: Đặt m = x - y, n = y - z, p = z - x thì m + n + p = 0.

Suy ra m3 + n3 + p3 = 3mnp.
Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x).
Với m = x2 + y2; n = z2 - x2; p = - y2 - z2 cũng cho m + n + p = 0 ta có bài toán
sau:
Bài toán 3: Phân tích thành nhân tử: Q= (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3
Giải:
Q = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3
= (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3
Đặt m = x2 + y2; n = z2 - x2; p = - y2 - z2 ⇒ m + n + p = 0
⇒ Q = m3 + n3 + p3 = 3mnp = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2)
= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z)

7


Với m = x + y - z; n = x - y + z; p = - x + y + z cũng cho m + n + p = 0 và ta có
bài toán: Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3. [ 1]
Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức thành nhân tử:
1) a3 + 8b3 + 27c3 - 18abc.
2) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3.
3) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3.
4) (3x2 - 2x + 1)3 + (x - x2 - 1)3 - (2x2 - x)3.
Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào rút gọn biểu
thức:
Bài toán 4: Rút gọn biểu thức
A = ( a+b+ c)3 – ( a+ b – c)3 – ( b + c – a)3 – ( c+ a – b)3. [ 2]
Giải:
Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ:

x = a + b − c

Đặt  y = b + c − a ⇒ x + y + z = a + b + c
z = c + a − b


Khi đó : A = ( x+ y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3( x+y)(y+z)(z+x)
= 3.2b.2c.2a = 24abc
Nhận xét:
Như vậy trong lời giải bài toán đã sử dụng yếu tố phụ x, y, z với mục đích
giảm thiểu độ phức tạp cho lời giải. Đây là ý tưởng không hề mới nhưng
mạng lại hiệu quả rất cao bởi trong cuốn " Giải bài toán như thế nào", Pô – li
–a đã khẳng định rằng yếu tố phụ như nhịp cầu nối bài toán toán cần tìm ra
cách giải với bài toán đã biết cách giải. [ 2]
Chú ý: Tiếp theo ta sẽ tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức trên để thực hiện một
vài phép biến đổi đại số và cụ thể ở dưới đây là việc trục căn thức bậc ba ở mẫu
số.
Bài toán 5: Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức sau:
A=

3

1
, với abc = 1 [ 1]
a+ b+3c
3

Giải: Áp dụng hằng đẳng thức:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c. Khi đó nhân cả tử và mẫu của A với

(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca), tức là
A=

3

( a) +( b) +( c)
3

2

3

2

3

2

− 3 ab − 3 bc − 3 ca ta được:

a 2 + 3 b 2 + 3 c 2 − 3 ab − 3 bc − 3 ca
a + b + c − 3 3 abc

8


=

a 2 + 3 b 2 + 3 c 2 − 3 ab − 3 bc − 3 ca
a +b+c −3

3

Bài toán 6: Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
B=

1
[ 2]
4 4 + 2 3 2 − 16
2

Giải: Áp dụng hằng đẳng thức:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c. Khi nhân cả tử và mẫu của B với ( a2 +
b2 + c2 – ab –bc- ca) ta có :
A=

16 3 16 + 4 3 4 + 256 + 16 − 64 3 4 − 32 3 2
(4 3 4)3 + (2 3 2)3 − 1633.4 3 4.2 3 2.16

=

272 − 60 3 4 15 3 4 − 68
=
−3056
764

Bài toán 7: Hãy thực hiện trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a) A =
b) B =

1
[ 2]
1+ 3 2 − 2 3 4
1
với abc = 1000
3
a+3b+3c
3

Từ bài toán 1: Nếu cho thêm giả thiết về các số a, b, c bài toán có thể viết dưới
dạng yêu cầu chứng minh về tính chia hết. sau đây là một số ví dụ
Ứng dụng 3: Hướng dẫn học sinh sử dụng dụng hằng đẳng thức vào chứng
minh chia hết:
Bài toán 8: Cho 3 số nguyên a,b,c thảo mãn:
a + b + c = ( a- b)( b- c)(c –a).
Chứng minh rằng: ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho 3 [ 1]
Giải:
Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ:
Đặt:

x = a − b

y = b −c ⇒ x + y + z = 0
z = c − a


Khi đó : ( a –b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 = x3 + y3 + z3
= (x+ y+z)(x2+y2 + z2- xy-yz-xz) + 3xyz
= 3( a-b)( b- c)( c- a)

= 3( a+b+c) (vì a + b+c =(a- b)( b- c)(c –a))
3
3
Từ đó ta có ngay ( a –b) + ( b- c) + ( c- a)3 chia hết cho 3
Bài toán 9: Cho 3 số nguyên a,b,c thảo mãn:
a + b + c = ( a- b)( b- c)(c –a).
9


Chứng minh rằng: M = ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho 81 [ 2]
Giải: Vì (a-b) + ( b- c) + ( c- a) = 0 nên theo ( 3) ta có a3 + b3 + c3 = 3abc
( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 = 3( a-b)( b-c)( c-a)
Xét 3 số dư của phép chia a, b ,c cho 3
a) Nếu cả ba số dư khác nhau ( là 0, 1 , 2) thì ( a + b + c ) M3
khi đó ( a-b)( b- c)( c-a) không chia hết cho 3, trái với giả thiết
b) Nếu có hai số dư bằng nhau thi a + b + c không chia hết cho 3, trong khi
đó một trong ba hiệu ( a- b), ( b- c), ( c- a) chia hết cho 3, trái với giả thiết.
c) Vậy chỉ còn trường hợp cả ba số a ,b ,c đều có cùng số dư khi chia cho 3,
lúc đó 3 ( a-b)( b- c)( c-a) M3.3.3.3 nên M M81
Nhận xét:
Cũng với phương pháp trên chúng ta còn có thể chứng minh được các kết quả
tổng quát hơn như sau
1. Chứng ming rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:
( a+b+c)p + ( a- b –c)p+ ( b- c-a)p + ( c- a- b)p chi hết cho 8pabc
2. Chứng ming rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số
( a- b)p + ( b- c)p + ( c- a)p chia hết cho p( a-b)(b-c)(c-a) [ 1]
Ứng dụng 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào chứng minh
đẳng thức .
Bài toán 10: Biết x+ y + z = 0. Chứng ming rằng
2( x5 + y5 + z5) = 5xyz( x2 + y2 + z2) [ 2]

Giải
Từ giả thiết x + y+ z = 0 => 3xyz = x3 + y3 +z3
⇔ 3xyz( x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 +z3)( x2 + y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 + x2y2( x+y)+ y2z2( y + z)+ z2x2( z+x)
= x5 + y5 + z5 - x2y2z- - y2z2x- z2y2x
= x5 + y5 + z5 - xyz( xy+yz+xz)
Mặt khác: cũng từ:
+) x + y+ z = 0 ⇒ 0 = ( x+ y + z) 2 = x2 + y2 + z2+ 2(y + 2yz+ 2xz)
⇒ xy+ yz+xz = -

1
( x2 + y 2 + z 2 )
2

1
( x2 + y2 + z2) vào biểu thức trên ta được
2
1
3xyz ( x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + xyz( x2 + y2 + z2)
2
⇔ 2( x5 + y5 + z5) = 5xyz( x2 + y2 + z2) ( đpcm)

Thay xy+ yz+xz = -

Bài toán 11:
ax + by = c

Biết : bx + cy = a
cx + ay = b


(*)

Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc [ 5]
10


a + b + c = 0
Giải: Do a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 
a = b = c
a + b + c = 0
Nên ta cần chứng minh 
a = b = c
Thật vậy: giả sử ( x,y) nghiệm của ( *) cộng theo vế của (*) ta được
a + b + c = 0 a + b + c = 0

( a + b+c)( x+y - 1) = 0 ⇔ 

 x + y −1 = 0  x + y −1 = 0
Từ x+ y – 1 = 0 => y = 1 – x thế vào ( *) ta được a =b =c. từ đó ta có điều phải
chứng minh.
Ứng dụng 5: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào tính giá trị
của biểu thức .
Bài toán 12: Cho a, b, c là các số thực khác 0 sao cho
a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2
Hãy tính giá trị của biểu thức
a  b 
c

M= 1 + 1 + 1 +  [ 5]

b 
c 
a


(5)

y 
x 
z

Giải: Đặt x= bc, y = ac, z = ab => xyz ≠ 0 => M = 1 + 1 + 1 + 
x 
z 
y

x + y + z = 0

Từ giả thiết (5) => x3 + y3 + z3 = 3xyz ⇔ 
x = y = z

Ta xét hai trường hợp
1) x + y + z = 0
3(x+y)(y+z)(z+x) = - 3xyz => (x+y)(y+z)(z+x) = - xyz
y 
x 
z   x + y  z + x  y + z 

 = -1
⇒ M = 1 + 1 + 1 +  = 



x 
z 
y   x  z  y 

2) Nếu x=y=z (hay a= b= c) => M = 8
Bài toán 13:

Giải:
suy ra

Cho xy + yz + xz = 0 và x; y; z khác 0
yz xz xy
Hãy tính A = 2 + 2 + 2 [ 1]
x
y
z
Từ xy + yz + xz = 0 và x; y; z khác 0

1 1 1
+ + = 0 nên theo (3) ta có
x y z
11


Từ đó A =

1
1

1
xyz xyz xyz
1
+
+
+
+
=
xyz(
=3
3
3
3
3
3
3 )= 3xyz.
xyz
x
y
z
x
y
z

Nhận xét :
Ở bài toán trên ta đã sử dụng điều kiện xuôi để tính giá trị của biểu thức, ví
dụ tiếp theo sẽ minh họa điều kiện ngược để tính gía trị của biểu thức [ 1]
Bài toán 14: Biết a3 + b3 = 3ab -1, tính giá trị của biểu thức A= a+b [ 1]
Giải:
Biến đổi về dạng :

a3 + b3 = 3ab -1 ⇔ a3 + b3 + 1 = 3a.b.1
a + b + 1 = 0
 a + b = −1
 A = −1
 A = −1
⇔ 
⇔
⇔
⇔
a = b = 1
a = b = 1
A = 2
A = 2

Bài toán 15: Biết a3 – b3 = 3ab +1. Tính giá trị của biểu thức A = a- b [ 1]
Giải:
Biến đổi giả thiết về dạng :
a3 – b3 = 3ab +1 ⇔ a3 +(- b)3 +(- 1)3 = 3a.(-b).(-1)
 a + (− b) + (−1) = 0
 A = −1
⇔
⇔
a = − b = −1
 A = −2

Chú ý : Bài toán này có thể phát biểu như sau: Trong mặt phẳng tọa độ vuông
góc Oxy, Hãy tìm tập hợp các điểm M( x;y ) sao cho : x3 – y3 = 3xy + 1 [ 2]
Bài toán 16:
Tìm công thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k:
S= 1.2.3 +3.4.7 + 7.8.15+ …+ (2k – 1)2k(2k+1-1) [ 2]

Giải: Vì (2k – 1) + 2k + (1- 2k+1)= 0 nên áp dụng hằng đẳng thức (1) ta có
(2k- 1)3 + (2k)3- (2k+1- 1)3 = -3(2k – 1)2k(2k+1-1)
Từ đó
-3S = (-3).1.2.3 + (-3).3.4.7 +(-3)7.8.15 + …+ (-3) (2k- 1)2k(2k+ 1- 1)
=> - 3S = (1 + 2 3- 33) + ( 33 + 43 – 73 )+ ( 73 + 83 – 153 ) +… + (2k- 1)3 + 23k(2k+1- 1)3
=> -3S = 1 + 23 + 43 +83 +…+ 33k – (2k+1- 1)3
(*)
3
3
3
3k
3k+3
2k+1
3
=> 24S = -2 – 4 – 8 - … - 2 – 2 + 8(2 - 1)
(**)
Cộng theo từng vế của (*) và (**) ta được
=> 21S = 1 – 23k+3 + 7(2k+1-1)3
Hay S =

2 k
(2 − 1)(2 k +1 − 1)(2 k + 2 − 1)
7

Ứng dụng 6: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào giải phương
trình và hệ phương trình.

12

Bài toán 17: Giải các phương trình:
a) x3 -3x + 2 = 0
b) x3 + 16 = 12x [ 1]
Giải:
a) Ta có x3 -3x + 2 = 0 ⇔ x3 + 13 + 13 = 3.x.1.1
x +1+1 = 0
 x = −2
⇔ 
⇔
x = 1 = 1
x = 2

Vậy phương tình có hai nghiệm x = -2, x = 1
b)

x + 2 + 2 = 0

Ta có x3 + 16 = 12x ⇔ x3 + 23 + 23 = 3.2.2.x ⇔ 
x = 2 = 2
Vậy phương tình có hai nghiệm x = -4, x = 2

Bài toán tương tự:

 x = −4
⇔
x = 2

Giải phương trình 6x3 + 3x- 5 = 0 [ 1]

Bài toán 18: Giải phương trình

(x-3)3+ (x+1)3-= 8.(x-1)3 [ 2]
Lời giải:
Vì (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên (a-b)3+(b-c)3+(c-a)3=3.(a-b)(b-c)(c-a)
Ta có:
(x-3)3+ (x+1)3-= 8.(x-1)3
⇔ [(3x+3)-(2x+6)]3+[(2x+6)-(x+5)]3+[(x+5)-(3x+3)]3
x = 3

⇔ 3.(x-3)(x+1)(-2x+2)=0 ⇔ x = −1

 x = 1
Tập nghiệm S = { 3;−1;1}

Bài toán 19: Giải các phương trình
a) ( x- 2)3 + ( x + 1)3 + ( 1- 2x)3 = 0
b) 3 x − 1 + 3 x − 2 + 3 x − 3 = 0 [ 1]
Giải:
a) Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng :
( x- 2)3 + ( x + 1)3 + ( 1- 2x)3 = 0
⇔ (x-2+x+1+2x)  (x − 2) 2 + (x + 1) 2 + (1 − 2 x) 2 − (x − 2)(x + 1)(1 − 2 x)  + 3(x − 2)(x + 1)(1 − 2 x) = 0
x = 2
⇔ ( x- 2)(x+1)( 1-2x) = 0 ⇔  x = −1
 x = 1/ 2
a. Đặt a = 3 x − 1 , b = 3 x − 2 , c=

3

x−3

Khi đó phương trình có dạng : a+ b + c = 0 <=> a3 + b3 + c3 = 3abc

⇔ ( x- 1)+ ( x- 2) + ( x- 3) = 3 3 x − 1 . 3 x − 2 . 3 x − 3
⇔ x -2 = 3 (x − 1)(x − 2)(x − 3) ⇔ ( x- 2)3 = ( x- 1)( x-2)( x-3)

13


⇔ ( x -2) (x − 2) 2 − (x − 1)(x − 3)

] =0

⇔ x- 2 = 0 ⇔ x = 2

Thử lại thấy x = 2 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Nhận xét:
Trong câu a) chúng ta só thể sử dụng ngay đánh giá
( x- 1)+ ( x- 2) + ( x- 3) = 0
Do đó, phương trình tương đương với: ( x- 1)( x-2)( x-3)
⇔ x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3
Từ đó ta thử lại để chọn nghiệm
Một số bài toán tương tự
a)
( x- 3)3 + ( 2x -3)3 = 27 ( x-2)3
b)
( x- 3)3 + ( x + 1)3 = 8( x-1)3
c) (a x+b)3 + (bx + a)3 + ( a+b)3(x+1)3 = 0
d) 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 [ 2]
Bài toán 20: Giải hệ phương trình
x + y + z = 1
 2

2
2
x + y + z = 1
 x3 + y3 + z 3 = 1


[ 1]

Giải:
Từ x+ y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 ta suy ra ( x + y + z)3 – ( x3 + y3 + z3) = 0
x + y = o
⇔ ( x+ y)( y + z)( z + x) = 0 ⇔  y + z = 0
 z + x = 0

Khi đó
z = 1
x = y = 0

+ Với x + y = 0, hệ có dạng  x + y = 0 ⇔ 
z = 1
 x2 + y 2 = 0


+ Với y + z = 0, hệ có nghiệm ( 1;0;0)
+ Với z + x = 0, hệ có nghiệm ( 0, 1;0)
Nhận xét:
Chúng ta đều biết rằng " Sau khi tìm được lời giải của một bài toán , trong
nhiều trường hợp, ta có thể từ kết quả hoặc cách giải đó mà suy ra các giải khác
nhau( hoặc hiểu vì sao có cách giải khác)". Cụ thể từ nghiệm tìm được, ta thấy
x- 1 = 0 hoặc y – 1 hoặc z – 1 = 0 chúng ta đễ dàng suy ra cách giải khác như

sau:
Từ x2 + y2 + z2 = 1 suy ra - 1 ≤ x, y, z ≤ 1
Khi đó , kết hợp x2 + y2 + z2 = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 ta suy ra
x2( 1-x) + y2( 1-y)+z2( 1-z) = 0
14


 x = 0; y = 0; z = 1
⇔ x2( 1-x) = y2( 1-y) =z2( 1-z) = 0 ⇔  x = 0; y = 1; z = 0
 x = 1; y = 0; z = 0

Đó chính là ý tưởng của " Một cách tìm nhiều lời giải của một bài toán"
Bài toán 21:
Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình:
 x + 2 y + 3z = 6

( I) 

3
3
3
(x − 1) + (2 y − 3) + (3 z − 2) = 18

[ 2]

Giải:
 x + 2 y + 3z = 6

(x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 0
⇔

3
3
3
(x − 1) + (2 y − 3) + (3 z − 2) = 18
(x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 18

Ta có : 

3

3

3

(II)

Áp dụng hằng đẳng thức a3 + b3 + c3 = 3abc ta có:
(x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 0
(x − 1)(2 y − 3)(3z − 2) = 6

( II) ⇔ 

Vì x; y ; z nguyên nên x- 1; 2y – 3; 3z – 2 nguyên.
Do đó: Giá trị tuyệt đối của mỗi số (x - 1); (2y -3); (3z- 2) đều là ước của 6,
nghĩa là đều thuộc tập hợp { ± 1;±2;±3;±6}
Từ đó để 3z- 2 nghiệm nguyên thì chỉ có thể 3z – 2 = 1 hoặc 3z- 2 = -2
a) Với 3z- 2 = 1 thay vào hệ ( II) ta được
(x − 1) + (2 x − 3) = −1

(x − 1)(2 y − 3) = 6

Vậy ( x -1) và ( 2y -3) là nghiệm của phương trình : t2 +t +6 = 0
Phương trình này vô nghiệm
b) Với 3z – 2 = -2 thay vào hệ ( II ) ta được
(x + 1) + (2 y − 3) = 2

(x + 1)(2 y− 3) = −3

Vậy ( x+1) và ( 2y -3) là nghiệm của phương trình: t2 -2t -3 = 0
Phương trình này có hai nghiệm t1 = -1; t2 = 3
Kết hợp với 3z- 2 = -2 suy ra hệ phương trình (I) có hai nghiệm nguyên (x;y;z)
là (0;3;0); (4;1;0)
• Những cách nhìn khác nhau về một bài toán sẽ cho ta những cách phát
biểu khác nhau về một bài toán và ngược lại, từ đó có thể hình thành
phảm chất nhạy bén cho người làm toán
2.5. Hiệu quả
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau thời gian thực hiện, bản
thân thu được kết quả như sau:
1. Kiến thức:
Học sinh tiếp nhận kiến thức một cách, chủ động, có hệ thống, học sinh
đã phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến các hằng đẳng thức,
các bài toán đã biết và từ đó hầu hết giải được các bài tập phần này, xoá đi cảm
giác khó và phức tạp ban đầu. Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh,
15


sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong
phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này.
2. Kĩ năng;
Khi gặp các bài toán liên quan đến các hằng đẳng thức hoặc các một bài

toán nào đó sinh đã có khả năng quan sát, phân tích đưa ra cách giải một cách
hợp lí hiệu quả và nhanh nhất, vận dụng các bài toán gốc một cách linh hoạt.
3. Thái độ:
Từ những kiến thức cơ bản đó các em đã có ý thức tự giác và hứng thú
học tập ngày một cao hơn, đa số các em có nhu cầu tìn tòi , nâng cao kiến thức.
Chính vì lẽ đó số học sinh khá giỏi ngày một tăng lên .
Bảng thống kê: Kiểm nghiệm kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài:
Số
Các mức độ kiến thức đạt được
lượng
Biết
%
Hiểu
%
Vận
%
dụng
Lớp 9A
30
0
0
17
56,7
13
43.3
Lớp 9B
30
0
0
18

30
12
40
Qua phần khảo sát thì số học sinh khá giỏi tăng lên, số học sinh yếu kém giản đi
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua thực tế giảng dạy, tổ chức các biện pháp nhằm phát triển tư duy cho học
sinh và vận dụng hằng đẳng thức để giải các bài toán thông qua bài toán cơ
bản , tôi nhận thấy có một số ưu điểm nổi bật đó là: Giúp học sinh có “chìa
khoá” để mở hầu hết các bài toán hình học và mở được nhiều bài toán nói
chung; Học sinh xây dựng được đường lối tìm lời giải bài toán nhanh, gọn
chứng minh khoa học. Các biện pháp này có thể được sử dụng rộng rãi với nhiều
đơn vị kiến thức khác nhau. Khi giải bài toàn cần lưu ý:
+ Ta cần phân tích kỹ các yếu tố có trong bài toán như phần hệ số, phần biến,
phấn số mũ, các dấu (+, - ) trong bài toán rồi xem xét vận dụng các kiến thức cũ
để giải.
+ Phân dạng các bài toán một cách có hệ thống và hướng dẫn phương pháp đối
với từng dạng, từng bài, từ đó khai thác vận dụng để đưa ra các bài toán mới
+ Làm cho học sinh nắm vững các hằng đẳng thức.
+ Đưa ra các bài toán mang tính chất đặc trưng và phương pháp để học sinh có
thể vận dụng giải các bài toán tương tự.
+ Trong bài toán mới nào đó có thể gợi nhớ các bài toán cơ bản đã làm.
+ Phần "hằng đẳng thức hay một bài toán " ở lớp 9 là một nội dung quan trọng
bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các
kến thức về sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng
ta cần cho học sinh nắm thật vững các bài toán cơ bản, hằng đẳng thức, các phép
biến đổi, bất đẳng thức...
16

3.2. Kiến nghị
Hiện nay chất lượng học tập bộ môn Toán chưa cao, có nhiều em học tập yếu
về môn Toán nên phải tạo điều kiện cho giáo viên có thời gian nghiên cứu, có
thời gian bồi dưỡng cho học sinh yếu kém về môn Toán. Tôi rất mong nhà
trường và các cấp quản lí giáo dục sớm trang bị đầy đủ về cơ sở vật chất, thiết
bị, tài liệu, đồ dùng dạy học để công tác giảng dạy trong nhà trường có thể đạt
được kết quả cao hơn.
Trong phần nghiên cứu này tôi chỉ đưa ra một vấn đề nhỏ trong nhiều vấn đề
lớn đó là vận dụng và khai thác một đến 2 bài toán cũng như một số vấn đề khác
: một bất đẳng thức, hệ thức, đường tròn, cách chứng minh các đoạn thẳng bằng
nhau… dưới dạng một bài toán và dành cho đối tượng là học sinh lớp 9. Vấn đề
này ta còn có thể đưa ra nhiều bài toán khác nữa, các lĩnh vực khác nhau, đối
tượng không chỉ là học sinh ở lớp 9 mà còn có thể áp dụng cho tất cả các đối
tượng học sinh ở các khối lớp khác nhau. Khi khảo sát và áp dụng không thu
gọn là 2 nhóm học sinh mà có thể có nhiều nhóm học sinh. Từ đó ta sẽ có kết
quả cao và chính xác hơn.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần
hằng đẳng thức . Trong quá trình giảng dạy chắc chắn chưa thể hoàn hảo được. Rất
mong nhận được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới
được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nước nhà.Trên đây là một
số kinh nghiệm nhỏ của bản thân, tôi mạnh dạn trình bày với mục tiêu nâng cao
chất lượng học tập của học sinh, đồng thời cũng bồi dưỡng, tích luỹ thêm cho
mình về trình độ chuyên môn nghiệp vụ. Do điều kiện nghiên cứu vấn đề ở
phạm vi hẹp, vốn tài liệu còn ít nên trong đề tài này chắc hẳn vẫn còn nhiều
thiêu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của các thầy cô giáo, các
bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học giáo dục các cấp và bạn đọc để bài viết này
được hoàn thiện hơn và đề tài này được sử dụng rộng rãi hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Nga Sơn, ngày 2 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện :

Nguyễn Văn Học

17


NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1 -Tuyển chọn các bài thi học sinh giỏi lớp 6-7-8-9– Tác giả : Lê Hồng ĐứcNhà xuất bản Hà Nội năm 2005
2 - Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ- Nhà xuất bản giáo dục,2006
3- Các dạng toán và phương pháp giải toán 8- Nhà xuất bản giáo dục năm 2008
4- Tuyển chọn 400 bài tập toán 8-Tác giả phan Văn Đức – NXB Đà Nẵng năm
2006
5- 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp – Tác giả:Nguyễn Văn Vĩnh- NXB
GD năm 2008

18


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNH KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT
Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Học
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Nga Bạch
STT

Tên đề tài SKKN

1

Một số phương pháp giải phương
trình nghiệm nguyên
Một số phương pháp giải phương
trình nghiệm nguyên
Một số tổng , cách tính và ứng dụng
Một số tổng , cách tính và ứng dụng
Cách tìm chữ số tận cùng và ứng
dụng
Một số phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử
Hướng dẫn học sinh lớp 8 ứng dụng
và phát triển từ một bài toán ban
đầu
Hướng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng
tính đồng thời trong việc giải một số
dạng toán
Phương pháp giải bài toán tính góc
ở lớp 7
Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài
toán cực trị ở Trường THCS Nga
Bạch
Hướng dẫn học sinh lớp 7 ở trường
THCS Nga Bạch vận dụng tính chất
dãy tỉ số bằng nhau vào giải các bài
toán

Hướng dẫn học sinh lớp 9 ở Trường
THCS Nga Bạch ứng dụng và phát
triển từ một bài toán ban đầu

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

12

Cấp
đành giá
xếp loại
Tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
C

Năm học
đánh giá
xếp loại

2004-2005

Huyện

A

2004-2005

Tỉnh
Huyện
Huyện

C
A
B

2005-2006
2006-2006
2006-2007

Huyện

C

2007-2008

Huyện

B

2009-2010

Huyện

B

2010-2011

Huyện

C

2011-2012

Huyện

B

2013-2014

Huyện

B

2015-2016

Huyện

A

2016-2017

19