Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9 ở trường THCS an hoạch, thành phố thanh hóa

Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

A. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài:
Chúng ta đã biết: Chương trình toán ở trường THCS giữ một vị trí hết sức
quan trọng. Nó là cơ sở, là tiền đề, là nền tảng, cho chương trình toán học ở cấp học
tiếp theo. Ngoài ra nó còn là môn học công cụ để học nhiều môn học tự nhiên khác.
Do đó mà trong quá trình dạy toán ở trường THCS thì khâu truyền thụ kiến thức cơ
bản cho học sinh là khâu vô cùng quan trọng, vì kiến thức cơ bản vốn là kiến thức
khoa học phải có và tồn tại trong mỗi một người học toán, trong suốt cả quá trình
học tập và nghiên cứu khoa học. Thế nhưng trong thực trạng hiện nay ở các trường
nói chung là: “chất lượng thực” về môn toán còn thấp so với yêu cầu. Đó chính là
điều làm cho các nhà giáo nói chung và các giáo viên đang trực tiếp đứng lớp giảng
dạy bộ môn toán nói riêng phải băn khoăn, trăn trở.
Để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy đáp ứng yêu cầu giáo dục hiện
nay, bản thân tôi là một quản lí nhà trường và cũng đang trực tiếp đứng lớp giảng
dạy bộ môn toán ở trường THCS nên tôi tự đặt ra cho mình một nhiệm vụ là:
“Nâng cao chất lượng học tập bộ môn toán, thông qua việc rèn luyện các phương
pháp giải toán, trong đó chú trọng phần rèn luyện các phương pháp chứng minh
bất đẳng thức” sao cho trong quá trình giải bài tập năng lực suy nghĩ sáng tạo của
học sinh được phát triển đa dạng và phong phú. Trong thực tế giảng dạy toán ở
trường THCS do toán về bất đẳng thức (BĐT) không có cách giải mẫu, không tuân
theo một phương pháp nhất định nên học sinh rất lúng túng khi làm toán về BĐT,
học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào, vì vậy tôi chọn đề tài:
“Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài sẽ giúp cho học sinh không còn bỡ ngỡ khi gặp các bài toán chứng
minh bất đẳng thức, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và khả năng tự giải quyết
vấn đề của học sinh từ đó giúp các em học tập tốt hơn, có hứng thú, say mê với bộ
môn toán nói chung và bất đẳng thức nói riêng.
III. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 - Trường THCS An Hoạch

IV. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu chương trình Sách giáo khoa nắm bắt nội dung kiến thức và yêu
cầu cần đạt được của từng khối lớp về giải toán. Tìm đọc các tài liệu tham khảo, sách
nâng cao, sách bồi dưỡng,… để hệ thống kiến thức có liên quan.
Cung cấp kiến thức, hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh, qua đó nắm bắt năng
lực của học sinh, phát hiện nguyên nhân chất lượng thấp, tìm phương án khắc phục.
Trao đổi với đồng nghiệp để rút ra bài học kinh nghiệm.
Kiểm tra chất lượng của học sinh trước và sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy,
so sánh kết quả và rút ra kinh nghiệm giảng dạy cho bản thân.
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận:
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất trong chương trình
toán phổ thông, ngay cả học sinh khá giỏi cũng lúng túng, chưa có phương pháp làm
bài và không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các bài toán khó như: Tìm cực
trị của một biểu thức, tìm nghiệm của phương trình hay hệ phương trình…Vì vậy,
Phạm Thị Thu Hương

Page 1


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

trong giảng dạy việc làm cho học sinh biết chứng minh các bất đẳng thức và vận
dụng bất đẳng thức vào giải bài tập có liên quan là công việc rất quan trọng và không
thể thiếu được của người dạy toán. Để làm được điều đó trong giảng dạy giáo viên
phải tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, hình thành cho các em khả năng tư
duy logic, tính độc lập và sáng tạo. Qua đó mà cung cấp cho học sinh một số kiến
thức cơ bản cần thiết, các kỹ năng, kỹ sảo và một hệ thống các phương pháp làm bài
tập về bất đẳng thức, xem đó là những phương pháp suy nghĩ ban đầu, là những công
cụ để giải bài tập về bất đẳng thức.

II. Thực trạng:
Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp tôi thấy học sinh hầu
hết là rất ngại khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức. Theo tôi nguyên nhân chủ
yếu là để giải được một bài toán chứng minh bất đẳng thức cần một tư duy logic và một
sự sáng tạo rất cao mà điều đó đối với đại bộ phận học sinh còn hạn chế. Đứng trước một
bài toán về bất đẳng thức các em không định hướng được là phải dùng cái gì để chứng
minh và chứng minh như thế nào? Có nghĩa là các em chưa có hướng giải. Vì thế vấn đề
đặt ra cho chúng ta khi gặp dạng bài toán về bất đẳng thức ta sẽ làm như thế nào? Đó là
câu trả lời không mấy dễ dàng đối với tất cả những người say mê nghề trồng người. Quan
trọng là giáo viên phải giải được thậm chí giải bằng nhiều cách từ đó chọn lọc cách diễn
đạt để học sinh có thể tiếp thu và hiểu một cách có sáng tạo bài giảng của giáo viên, tức là
thông qua mỗi bài toán có thể đưa ra các bài toán tổng quát, tương tự. Có thể đề ra cách
giải dạng toán ấy để học sinh nhận dạng các bài toán khác giúp học sinh nhìn bài toán ở
nhiều khía cạnh khác nhau. Giải bài toán bằng nhiều cách và từ đó chọn được những lời
giải đẹp. Và một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức vừa ngắn gọn vừa
dễ hiểu vừa rút ngắn thời gian làm bài, vừa cho ta những lời giải đẹp là dùng BĐT phụ.
Việc dùng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức ngoài việc rèn luyện sự say
mê tìm tòi sáng tạo còn giúp các em quen dần với việc dùng bất đẳng thức phụ trong
chứng minh bất đẳng thức là việc cần thiết với tất cả các thầy cô đang trực tiếp bồi dưỡng
học sinh giỏi các cấp, học sinh thi vào lớp 10 THPT và thi vào lớp 10 THPT chuyên.
III. Các giải pháp
Phần I: Các kiến thức cần lưu ý
1. Định nghĩa:

A ≥ B ⇔A −B ≥0

A < B ⇔A −B <0

2. Tính chất:
+

+
+
+
+
+

A2 ≥ 0 ∀A
A>B⇔ B< A
A > B và B > C ⇔ A > C
A > B ⇒ A+C > B +C
A > B và C > D ⇒ A + C > B + D
A > B và C < D ⇒ A − C > B − D
 A.C > B.C Với C >0
+A> B⇒
 A.C < B.C Với C < 0

+ A > B ≥ 0 và C > D ≥ 0 ⇒ AC > BD
+ A > B > 0 ⇒ An > B n , ∀n ∈ N *
Phạm Thị Thu Hương

Page 2


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

+ A > B ⇒ A2 n +1 > B 2 n +1
2n
2n
+ A > B ⇒A >B
+ A > 1 và m > n > 0 ⇒ Am > An

+ 0 < A < 1 và m > n > 0 ⇒ Am < An
+ A > B và A.B > 0 ⇒

1
1
>
A B

3. Một số hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:
+ A ≥ 0, ∀A (Dấu “=” xảy ra khi A = 0)
+ A < a ⇔ −a < A < a
A > a
A < a

+ A > a ⇔

+ A + B ≤ A + B (Dấu “=” xảy ra khi AB ≥ 0 )

+ A− B ≥ A − B
Phần II: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa
a. Kiến thức: + Để chứng minh A ≥ B ta chứng minh A − B ≥ 0
+ Lưu ý hằng bất đẳng thức A2 ≥ 0, ∀A
b. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b, c > 0. CM rằng: a 3 +b 3 +abc ≥ ab( a +b +c )
Giải: Để chứng minh a 3 + b 3 + abc ≥ ab(a + b + c ) (1)
3
3
Ta chứng minh hiệu: (a + b + abc) − ab( a + b + c) ≥ 0
⇔ a 3 + b3 + abc − a 2b − ab 2 − abc ≥ 0

⇔ (a 3 − a 2b) − (ab 2 − b3 ) ≥ 0
⇔ a 2 ( a − b) − b 2 ( a − b ) ≥ 0
⇔ (a − b)(a 2 − b 2 ) ≥ 0
⇔ (a − b)(a − b)(a + b) ≥ 0
(2)
⇔ ( a − b) 2 (a + b) ≥ 0
 a, b > 0 ⇒ a + b > 0
Vì 
Nên bất đẳng thức (2) đúng ⇒
2
(
a
−
b
)
≥
0


a 3 + b 3 + abc ≥ ab (a + b + c ) . Vậy (1) đã được chứng minh là đúng
Dấu “=” xảy ra khi a − b = 0 ⇔ a = b
a2 + a +1 3
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
≤ ∀a ∈ R
a2 + 1
2
a 2 + a +1 3
≤ ∀a ∈ R ta chứng minh hiệu:
Giải: Để chứng minh cho
a 2 +1

2

Phạm Thị Thu Hương

Page 3


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9
3 a 2 +a +1
3a 2 +3 −2 a 2 −2 a −2
−
≥
0
⇔
≥0
2
a 2 +1
2( a 2 +1)

a 2 −2a +1
(a −1) 2
⇔
≥
0
⇔
≥ 0 (*)
2( a 2 +1)
2(a 2 +1)
a 2 + a +1 3
≤ đã được CM là đúng.

Vì bất đẳng thức(*) đúng nên bất đẳng thức
a 2 +1
2
⇔
−
1
=
0
Dấu “=” xảy ra khi a
a=1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a. a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 ≥ a + b + c + d
b. a 4 + b 4 + c 2 + 1 ≥ 2a( ab 2 − a + c + 1)
Giải: a. Chứng minh cho a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 ≥ a + b + c + d
(1)
2
2
2
2
Ta chứng minh hiệu: a + b + c + d + 1 − (a + b + c + d ) ≥ 0
⇔ a 2 + b2 + c 2 + d 2 + 1 − a − b − c − d ≥ 0

1
1
1
1
⇔ ( a − ) 2 + (b − ) 2 + ( c − ) 2 + ( d − ) 2 ≥ 0
2
2
2

2

(2)

Vì bất đẳng thức (2) đúng ⇒ bất đẳng thức (1) đúng (Điều phải chứng minh)
1
1
1
1
1
Dấu “=” xảy ra khi a = ; b = ; c = ; d = ; a = b = c = d =
2
2
2
2
2
4
4
2
2
b. Để chứng minh cho a + b + c + 1 ≥ 2a (ab − a + c + 1) ≥ 0
Ta chứng minh hiệu: (a 4 + b 4 + c 2 + 1) − 2a(ab 2 − a + c + 1) ≥ 0
⇔ a 4 + b 4 + c 2 + 1 − 2a 2b 2 + 2a 2 − 2ac − 2a ≥ 0
⇔ (a 4 − 2a 2b 2 + b 4 ) + (c 2 − 2ac + a 2 ) + (a 2 − 2a + 1) ≥ 0

⇔ (a 2 − b 2 ) 2 + (c − a ) 2 + (a − 1) 2 ≥ 0
(2)
2
2
2

2
⇒ 2b < a + 1 Vì (a − b ) ≥ 0; (c − a ) ≥ 0; (a − 1) ≥ 0 ⇒ BĐT (2) đúng ⇒ BĐT (1)
đúng
a 2 = b 2

Dấu “=” xảy ra khi : a = c ⇔ a = b = c = 1 (Ta có điều phải chứng minh)
a = 1


Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bất đẳng thức
Ví dụ 1: Cho 1 < a < b + c < a + 1 và b < c . Chứng minh b < a.
Giải: Ta có: b < c ⇔ 2b < b + c
(1)
Theo giả thiết ta lại có: b + c < a + 1
(2)
Theo tính chất bất đẳng thức thì từ (1) và (2) 2b < a + 1 (3)
Ta lại có 1 < a ⇔ a + 1 < 2a (4)
Từ (3) và (4) ⇒ 2b < 2a
⇔ b < a (Ta có điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho 0 < a < b < c < d < 1 .
Chứng minh rằng: (1 − a )(1 − b)(1 − c )(1 − d ) > 1 − a − b − c − d
Giải: Ta có: (1 −a )(1 −b) =1 −a −b +ab
Vì: a, b > 0 ⇒ab > 0 ⇒(1 − a )(1 −b) >1 − a −b
Phạm Thị Thu Hương

Page 4


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Do: 0 < c <1 nên 1 −c > 0

⇒(1 − a )(1 −b)(1 −c) > (1 − a −b)(1 −c) =1 − a −b − c + ac +bc

Mà a, b, c > 0 ⇒ ac + bc > 0 . Do đó: (1 − a )(1 − b)(1 − c) > 1 − a − b − c
Ta lại có: 0 < d < 1 nên 1 − d > 0
⇒ (1 − a)(1 − b)(1 − c)(1 − d ) > (1 − a − b − c)(1 − d ) = 1 − a − b − c − d + ad + bd + cd
Mà b, c, d > 0 ⇒ ad + bd + cd > 0
Do đó : (1 −a)(1 −b)(1 −c)(1 −d ) >1 −a −b −c −d (Ta có điều phải CM)
Ví dụ 3: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:
a
b
c
d
1<
+
+
+
<2
a +b+c b+c+d c+d +a d +a +b
a
<1
Giải: Theo giả thiết ta có: a, b, c, d > 0 ⇒
a+b+c

a
a
a+d
<1⇒
<

a +b+c
a +b+c a +b +c +d
b
b+a
<
Tương tự ta có:
b+c+d a +b +c +d
c
c+b
<
c +d +a a +b +c +d
Từ

(1)
(2)
(3)

d
d +c
<
(4)
d + a +b a +b +c +d
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3),(4) ta được:
a
b
c
d
a +b +c +d
+
+

+
<2
=2
a +b+c b+c+ d c +d +a d +a +b
a +b+c +d

Ta lại có:

a
a
>
a+b+c a+b+c+d

b
b
>
b + c + d a +b +c + d
c
c
>
c + d + a a +b +c + d
d
d
>
d + a +b a +b +c + d

(*)

(5)
(6)

(7)
(8)

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (5), (6), (7),(8) vế với vế ta được:

a
b
c
d
a +b +c + d
+
+
+
=
> 1 (**)
a +b +c b +c + d c + d + a d + a +b a +b +c + d

Từ bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức (**) ta có:
a
b
c
d
1<
+
+
+
< 2 (Ta có điều phải chứng minh)
a +b +c b +c + d c + d + a d + a +b
Phương pháp 3: Biến đổi tương đương
Để chứng minh A ≥ B bằng phép biến đổi tương đương ta đưa về việc chứng

minh C ≥ D và việc chứng minh này đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số a;b ta luôn có:
Phạm Thị Thu Hương

Page 5


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

a. a 2 + 5b 2 + 2a − 4ab − 6b + 3 > 0
b. a 2 + 2b 2 − 2ab + 2a − 4b + 2 ≥ 0
Giải: a. Ta có: a 2 + 5b 2 + 2a − 4ab − 6b + 3 > 0
⇔ (a 2 − 4ab + 4b 2 ) + (b 2 − 2b + 1) + (2a − 4b) + 2 > 0

(1)

⇔ (a − 2b) 2 + (b − 1) 2 + 2( a − 2b) + 2 > 0
⇔  (a − 2b) 2 + 2(a − 2b) + 1 + (b − 1) 2 + 1 > 0

⇔ (a − 2b + 1) 2 + (b − 1) 2 + 1 > 0
(2)
2
2
Vì (a − 2b + 1) ≥ 0;(b − 1) ≥ 0 ⇒ Bất đẳng thức (2) luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức a 2 + 5b 2 + 2a − 4ab − 6b + 3 > 0 (1) đã được chứng minh.
b. Ta có a 2 + 2b 2 − 2ab + 2a − 4b + 2 ≥ 0
(1)
⇔ (a 2 − 2ab + b 2 ) + (b 2 − 2b + 1) + (2a − 2b) + 1 ≥ 0
⇔ (a − b) 2 + (b − 1) 2 + 2( a − b) + 1 ≥ 0
⇔ (a − b) 2 + 2( a − b) + 1 + (b − 1) 2 ≥ 0

⇔ (a − b + 1) 2 + (b − 1)2 ≥ 0

(2)

Vì ( a − b + 1) 2 ≥ 0;(b − 1) 2 ≥ 0 nên bất đẳng thức (2) luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh đúng.
b − 1 = 0
⇔a =0; b =1
Dấu “=” xảy ra khi: 
a
−
b
+
1
=
0

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi x ∈ R ta luôn có:
Giải:

Ta có:
⇔

10 + 4 x − x 2
<0
x 2 +1

2


−
( x − 4 x + 4 ) + 6 

x 2 +1

10 + 4 x − x 2
<0
x 2 +1

(1)
<0

− ( x − 2 ) + 6 
 <0
⇔ 
2
x +1
2

(2)

2
2
Vì ( x − 2) ≥ 0 ⇒ − ( x − 2) + 6  < 0 và x 2 + 1 > 0
Do đó bất đẳng thức (2) luôn đúng. Nên bất đẳng thức (1) đã cho đúng.

( x 2 + y 2 )2
≥ 8 (*) với x > y; xy = 1
( x − y)2
Giải: Ta có bất đẳng thức (*) ⇔ ( x 2 + y 2 ) 2 ≥ 8( x − y ) 2

Ví dụ 3: Chứng minh rằng:

[

]

2

⇔ ( x − y ) 2 + 2 xy ≥ 8( x − y ) 2
2

2
⇔( x − y ) +2  ≥8( x − y ) 2 vì (xy=1)


4
⇔( x − y ) + 4( x − y ) 2 + 4 −8( x − y ) 2 ≥ 0

⇔( x − y ) 4 − 4( x − y ) 2 + 4 ≥ 0

Phạm Thị Thu Hương

Page 6


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9
2

2

⇔ ( x − y ) − 2  ≥ 0



(**)

Vì bất đẳng thức (**) luôn đúng nên BĐT (*) đã được chứng minh đúng.
Ví dụ 4: Cho ab ≥1 . Hãy chứng minh
Giải: Ta có:

1
1
2
+
≥
2
2
1+a
1 +b
1 + ab

1
1
2
+
≥
2
2
1+ a
1+b

1 + ab

(1)

⇔(1 +b 2 )(1 +ab) +(1 +a 2 )(1 +ab) ≥ 2(1 +a 2 )(1 +b 2 )
⇔1 +ab +b 2 +ab3 +1 +ab +a 2 +a 3b ≥ 2 + 2b 2 +2a 2 +2a 2b 2

⇔ 2 + 2ab + b 2 + a 2 + ab 3 + a 3b − 2 − 2b 2 − 2a 2 − 2a 2b 2 ≥ 0
⇔ ( −a 2 − b 2 + 2ab) + ab(a 2 + b 2 − 2ab) ≥ 0
⇔ −(a − b)2 + ab( a − b) 2 ≥ 0
⇔( a − b) 2 ( ab −1) ≥ 0 (2)

Vì ab ≥ 1 ⇒ ab −1 ≥ 0 và (a − b) 2 ≥ 0 nên BĐT (2) luôn đúng
Vậy bất đẳng thức (1) đã được chứng minh.
Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c ) 2 + (b + d ) 2
Giải: Ta có bất đẳng thức: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c ) 2 + (b + d )2 (1)
⇔

(

a 2 + b2 + c2 + d 2

) (
2

≥

(a + c) 2 + (b + d ) 2

)

2

⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ a 2 + c 2 + 2ac + b 2 + d 2 + 2bd
⇔ 2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (a 2 + c 2 − b 2 + d 2 ) + 2(ac + bd ) − (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )

⇔ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd

(2)

- Nếu ac + bd < 0 thì BĐT (2) được chứng minh ⇒ BĐT (1) được chứng minh.
- Nếu ac + bd ≥ 0 thì bất đẳng thức (2) tương đương với:

( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 = a 2c 2 + b 2 d 2 + 2abcd

⇔ a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2c 2 + b 2 d 2 ≥ a 2c 2 + b 2 d 2 + 2abcd
⇔ a 2 d 2 + b 2c 2 − 2abcd ≥ 0
⇔ (ad − bc) 2 ≥ 0 (3)
Vì bất đẳng thức (3) luôn đúng ⇒ BĐT (2) đúng ⇒ Bất đẳng thức (1) đúng.
Vậy BĐT:

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d ) 2 đã được chứng minh.

Phương pháp 4: Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc
a. Một số bất đẳng thức hay dùng:
*) Các bất đẳng thức phụ:
+ x 2 + y 2 ≥ 2 xy
+ ( x + y ) 2 ≥ 4 xy
a b
2

2
+ x + y ≥ xy
+ + ≥2
b a
Phạm Thị Thu Hương

Page 7


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

*) Bất đẳng thức Cosi:
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1.a2 ...an
n
*) Bất đẳng thức Bunhiacopski:

với a1 ≥ 0

(a12 + a22 + ... + an2 )( x12 + x22 + ... + xn2 ) ≥ ( a1.x1 + a2 .x2 + ... + an .xn ) 2
b. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức : x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y
Giải: Ta có ( x − y ) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 2 xy
Tương tự ta có: x 2 + 1 ≥ 2 x

(1)
(2)

y2 +1 ≥ 2 y

(3)
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1),(2),(3) vế với vế ta được:
x 2 + y 2 + x 2 + 1 + y 2 + 1 ≥ 2 xy + 2 x + 2 y

⇔ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 ≥ 2 xy + 2 x + 2 y
⇔ x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y
Ví dụ 2: Cho a,b > 0. Chứng minh rằng : 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2
Giải: Ta có 3a 3 + 7b3 = 3a 3 + 3b3 + 4b3 . Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

3a 3 + 3b3 + 4b 3 ≥ 3 3 3a 3 3b 3 4b 3 ≥ 3 3 3a 3 3b3 3b 3 = 3.3abb = 9ab 2
Vậy bất đẳng thức: 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2 đã được chứng minh đúng.
Phương pháp 5: Phương pháp tam thức bậc hai
a. Kiến thức cần lưu ý:
Cho tam thức bậc hai: f ( x) = ax 2 + bx + c với a ≠ 0
Có ∆ = b 2 − 4ac
- Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a. Nghĩa là a. f ( x ) > 0, ∀x
- Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với a. Nghĩa là a. f ( x ) > 0, ∀x ≠

−b
2a

- Nếu ∆ > 0 thì: + f(x) cùng dấu với a.( tức là a. f ( x ) > 0 ) khi x ∉ [ x1 , x2 ]
+ f(x) khác dấu với a.( tức là a. f ( x ) < 0 ) khi x1 < x < x2
b. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức:
a. f ( x, y ) = x 2 + 5 y 2 − 4 xy + 2 x − 6 y + 3 > 0; ∀x, y
b. f ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 2 x − 4 y + 3 > 0; ∀x, y
Giải: a. Ta có: f ( x, y ) = x 2 + 5 y 2 − 4 xy + 2 x − 6 y + 3 > 0
⇔ f ( x, y) = x 2 + 2(1 − 2 y) x + 5 y 2 − 6 y + 3 > 0
a = 1 > 0

⇔
2
2
∆ = (1 − 2 y ) − (5 y − 6 y + 3) < 0
Mà ∆ = (1 − 2 y ) 2 − (5 y 2 − 6 y + 3) = −( y − 1) 2 − 1 < 0 (vì ( y − 1)2 ≥ 0 )

Phạm Thị Thu Hương

Page 8


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Do đó f(x) > 0 ⇒ f(x,y) > 0 (ta có điều phải chứng minh)
b, Ta có f ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 2 x − 4 y + 3 > 0
⇔ f ( x) = x 2 − 2( y −1) + (2 y 2 − 4 y + 3) > 0

Vì f(x) có: ∆ = ( y −1)2 − (2 y 2 − 4 y + 3) = −( y −1) 2 −1 < 0 (vì ( y −1) 2 ≥ 0 )
Do đó f(x) luôn cùng dấu với hệ số của x2 là a = 1 > 0 tức là f(x) > 0 ⇒ f(x,y) > 0
(Ta có điều phải chứng minh)

x + y + z = 5
 xy + yz + zx = 8

Ví dụ 2: Cho x,y,z thỏa mãn: 

7
3
x + y + z = 5
y + z = 5− x

⇒
Giải: Từ giả thiết ta có: 
 xy + yz + zx = 8  yz = 8 − x (5 − x)
Theo Vi-et thì y,z là nghiệm phương trình bậc hai:
t 2 − (5 − x)t + 8 − x(5 − x) = 0
(1)
Vì phương trình (1) luôn có nghiệm nên (1) ⇔ ∆ ≥ 0
Chứng minh rằng 1 ≤ x, y, z ≤

⇔ ∆ = (5 − x) 2 − 4 [ 8 − x(5 − x) ] ≥ 0

⇔ 25 −10 x + x 2 − 32 + 20 − 4 x 2 ≥ 0
⇔ −3 x 2 + 10 x − 7 ≥ 0
7
⇔1 ≤ x ≤
3
7

Tương tự ta chứng minh được 1 ≤ y, x ≤ 3 (ta có điều phải chứng minh)
Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp toán học
a. Lưu ý: Khi bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào số nguyên n (hoặc phụ thuộc vào
số nguyên dương n) thì ta phải dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh. Để chứng
minh bất đẳng thức đúng với n > n0 ta thực hiện các bước sau:
*) Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0 .
*) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k . (thay n = k vào bất đẳng thức cần
chứng minh và bất đẳng thức đó được gọi là giả thiết quy nạp)
*) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k +1 vào bất đẳng
thức cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp).
*) Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 0.
b. Một số ví dụ:

1 3
2 4

Ví dụ 1: CM rằng: P(n) = . ....

2n − 1
1
<
(1)
2n
3n + 1

1 3

3

Với ∀n ∈ N , n > 1

1

Giải: + Khi n = 2 ta có: P (2) = 2 . 4 = 8 <
(đúng)
7
+ Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k , k ∈ N , k > 1 ta có:
1 3 2k − 1
1
P (k ) = . ....
<
(2)
2 4

2k
3k + 1
Phạm Thị Thu Hương

Page 9


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

+ Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k +1. Nghĩa là ta cần chứng minh rằng:
1 3
2k + 1
1
P (k + 1) = . ....
<
(3)
2 4 2(k + 1)
3( k + 1) + 1
Nhân 2 vế của (2) với

2k + 1
ta được:
2(k +1)

2k +1
2k +1
1
2k +1
.P ( k ) <
.

⇔ P (k +1) <
2( k +1)
2( k +1) 3k +1
(2k + 2) 3k +1

(4)

2



2k + 1
(2k + 1) 2
1
Nhưng: 
=
<
÷
(2k + 1)2 (3k + 4) + k 3k + 4
 (2k + 2) 3k + 1 
⇒

2k +1
1
<
=
(2k + 2) 3k +1
3k + 4

1

3( k +1) +1

(5)

1
3(k + 1) + 1
Do đó bất đẳng thức (3) đúng. Vậy bất đẳng thức (1) đúng với ∀n ∈ N và n > 1.
1 1
1
1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 − (1) với ∀n ∈ N , n > 1
2 3
n
n
1
1
1
1
1
Giải: + Với n = 2 ta có : 1 + 2 = 1 + = 1 < 2 − = 1
(đúng)
2
4
4
2
2
+ Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k , k ∈ N , k > 1

Từ (4), (5) ta có: P (k + 1) <

1 1 1
1
1
+
+
+
...
+
<
2
−
(2)
12 2 2 32
k2
k
+ Ta chứng minh bất đăng thức (1) đúng với n = k + 1. Nghĩa là ta chứng minh
1 1 1
1
1
+
+
+
...
+
<
2
−
(3)
12 22 32
( k + 1) 2

k +1
1
Cộng 2 vế của bất đẳng thức (2) với
ta được:
(k + 1) 2
1 1 1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 +
< 2− +
2
2
1 2 3
k
(k + 1)
k (k + 1) 2
Ta có:

1 1 1
1
1
1
1
1
+
+
+
...

+
+
<
2
−
+
<
2
−
12 22 32
k 2 (k + 1) 2
k (k + 1) 2
(k + 1)
1 1 1
1
1
1
1
1
⇔ 2 + 2 + 2 + ... + 2 +
<
+
<
2
2
1 2 3
k
(k + 1)
k + 1 ( k + 1)
k

⇔

(4)

1
1
1
+
<
2
k + 1 (k + 1)
k
k +1+1 1
⇔
<
(k + 1) 2 k
⇔

⇔ k (k + 1) < (k + 1) 2
⇔ k 2 + 2k < k 2 + 2k + 1 . Điều này đúng ⇒ Bất đẳng thức (4) đúng.
Phạm Thị Thu Hương

Page 10


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9
⇒ Bất đẳng thức (3) được chứng minh

1 1

1
1
+ 2 + ... + 2 < 2 −
đúng với ∀n ∈ N , n > 1
2
2 3
n
n
Phương pháp 7: Chứng minh phản chứng
a. Kiến thức cần lưu ý: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức A > B đúng. Ta
hãy giả sử A ≤ B và kết hợp với giả thiết qua các phép biến đổi tương đương
dẫn đến điều vô lý. Điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết, có thể là điều trái
ngược nhau. Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh A > B đúng.
b. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a 3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng a + b ≥ 2
Giải: Giả sử a + b > 2 ⇒ ( a + b)3 > 8

Vậy bất đẳng thức 1 +

⇒ a 3 + b3 + 3ab(a + b) > 8
⇒ 2 + 3ab( a + b) > 8 (vì a3 + b3 = 2)
⇒ 3ab( a3 + b) > 6

⇒ ab( a + b) > 2 = a 3 + b3
Chia cả 2 vế cho số dương a + b ta được:
ab > a 2 − ab + b 2
⇒ 0 > a 2 − ab + b 2 − ab = (a − b) 2

Mà (a – b)2 < 0 là vô lý. Do đó điều giả sử a + b > 2 là sai. Vậy a + b ≥ 2 là đúng
Ví dụ 2: Cho x,y,z và xyz = 1. Chứng minh rằng:

1 1 1
Nếu x + y + z > + + Thì chỉ có 1 và chỉ một trong ba số này lớn hơn 1.
x y z
Giải: Ta có: ( x − 1)( y − 1)( z − 1) = ( xy − x − y + 1)( z − 1)

= xyz − xy − xz − yz + x + y + z − 1
= x + y + z − ( xy + xz + yz ) (vì xyz = 1)
1 1 1
= x+ y+ z−( + + )
x y z
Theo giả thiết thì:

x + y +z >

1 1 1
+ +
x y z

1 1 1
+ + >0
x y z
⇒ ( x − 1)( y − 1)( z − 1) > 0
(*)
+) Giả sử cả 3 số: (x – 1), (y – 1), (z – 1) đều dương thì:
x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 Điều này trái với giải thiết xyz = 1.
+) Nếu chỉ 2 trong 3 số: ( x − 1), ( y − 1), ( z − 1) dương thì:
−( x − 1)( y − 1)( z − 1) < 0 (Điều này vô lý vì trái với (*))
Vậy chỉ có 1 và chỉ một trong 3 số x,y,z > 1.
Ví dụ 3: Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh ba bất đẳng thức sau:
Nên

Phạm Thị Thu Hương

x+ y+z >

Page 11


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

1
1
1
b(1 − c) >
c(1 − a) >
(1) ;
(2) ;
(3)
4
4
4
Không đồng thời đúng.
Giải: Giả sử cả 3 bất đẳng thức (1)(2)(3) cùng đúng.
Nhân 3 bất đẳng thức cùng chiều theo vế ta được:
1 1 1
1
abc(1 − b)(1 − c)(1 − a ) > . . =
(4)
4 4 4 64
1

1 2 1
2
Ta có a (1 − a ) = a − a = − (a − ) ≤
(5)
4
2
4
a (1 − b) >

Tương tự ta có:

1
1
1
−(b − ) 2 ≤
4
2
4

(6)

1
1
1
− (c− ) 2 ≤
4
2
4

(7)

b(1 −b) =

c(1 − c) =

Nhân vế với vế 3 bất đẳng thức cùng chiều (5), (6), (7). Ta được:
1 1 1
1
abc(1 − a )(1 − b)(1 − c ) ≤ . . =
(8)
4 4 4 64
Ta thấy bất đẳng thức (8) mâu thuẫn với bất đẳng thức (4). Mà bất đẳng thức (8)
là đúng. Do đó bất đẳng thức (4) là sai.
Vậy: Điều giả sử cả ba bất đẳng thức (1)(2)(3) cùng đúng là sai và trong ba bất
đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức sai.
Phương pháp 8: Phương pháp đánh giá đại diện
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì:
1
1
1
1
+ 3 3
+ 3
<
3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
Giải: Ta có a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) ≥ (a + b)(2 b− 2a )

⇒ a 3 + b3 ≥ (a + b)ab
⇒ a 3 + b3 + abc ≥ (a + b)ab + abc
1
1
1
⇒ 3 3
≤
=
a + b + abc (a + b)ab + abc ab(a + b + c )
1
c
⇒ 3 3
≤
(1)
a + b + abc abc (a + b + c)
Tương tự ta có:

1
b + a + abc
3

3

1

≤

a
abc (a +b + c )

(2)

b
(3)
c + a + abc abc (a + b + c )
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức cùng chiều (1)(2)(3) ta được:
3

3

≤

1
1
1
a +b +c
+ 3
+ 3
<
3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc (a + b + c )
3

⇔

1
1
1

1
+
+
<
(đpcm)
a 3 + b3 + abc b 3 + c 3 + abc c 3 + a 3 + abc abc

Phạm Thị Thu Hương

Page 12


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c và chu vi: 2 p = a + b + c
Chứng minh rằng :

1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2( + + )
p −a
p −b p − c
a b c

Dấu “=” trong Bất đẳng thức trên xảy ra lúc tam giác ABC có đặc điểm gì?
a+b+c

b+c−a
−a =
Giải: Ta có: p − a =
(vì b + c > a)
2
2
a +b−c
a +c −b
>0
> 0 ; p−c =
Tương tự ta có: p − b =
2
2
1 1
4
Ta chứng minh bài toán phụ: + ≥
(*)
x y x+ y
Ta có bất đẳng thức (1) ⇔ y ( x + y ) + x( x + y ) ≥ 4 xy
⇔ xy + y 2 + xy + x 2 − 4 xy ≥ 4 xy
⇔ x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0
⇔ ( x − y ) 2 ≥ 0 (luôn đúng). Do đó:

Áp dụng BĐT:
Ta có:

1 1
4
+ ≥
x y

x +y

1 1
4
+ ≥
x y x+y

cho từng cặp số: p − a, p − b; p − b, p − c và p − c, p − a

1
1
4
4
4
+
≥
=
=
p − a p − b p − a + p − b 2 p − (a + b ) c

Tương tự ta có:

(đúng)

(1)

1
1
4
+

≥
p −b p −c a

(2)

1
1
4
+
≥
p −c p − a b

(3)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều (1),(2),(3) ta được:

2(

1
1
1
1 1 1
+
+
) ≥ 4( + + )
p − a p −b p −c
c a b

Do đó

1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2( + + ) (ta có điều phải chứng minh)
p − a p −b p − c
a b c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở các BĐT (1)(2)(3) đồng thời xảy ra. Nghĩa là :
 p − a = p −b

 p −b = p −c
p −c = p −a


⇔ p − a = p −b = p −c
⇔a =b = c
⇔ ∆ABC là tam giác đều.
Phương pháp 9: Phương pháp hình học
a. Kiến thức cần lưu ý:
∆ABC có số đo các cạnh
c
Là a, b, c như hình vẽ bên.
c
Phạm Thị Thu Hương

A
b

Page 13

B

C


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

b−c ≤ a ≤b+c
Ta có: a − c ≤ b ≤ a + c

a

a −b ≤ c ≤ a +b
S=

1
ˆ hoặc S =
bc sinA
2

p ( p − a )( p − b)( p − c ) ; P =

a +b +c
2

b. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca ) (*)

Giải: Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 ∆ nên áp dụng BĐT trong tam giác ta có:
a 2 < ab + ac
0 < a < b +c
 2

0 < b < a +c ⇒b < bc + ab
0 < c < a +b
c 2 < ca +bc



Cộng vế với vế 3 BĐT cùng chiều trên ta có a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ac ) (1)
Ta lại có: (a − b) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab (2)
Tương tự ta có: b 2 +c 2 ≥ 2bc (3) ; a 2 + c 2 ≥ 2ac (4)
Cộng vê với vế các bất đẳng thức cùng chiều (2)(3)(4) ta được:
2( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2ab + 2bc + 2 ac

(5)
⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac
2
2
2
Từ BĐT (1) và (5) ta có: ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca ) (đpcm)
Ví dụ 2: Cho x, y, z >0 và xyz(x+y+z) = 1. Chứng minh rằng: ( x + y )( y + z ) ≥ 2
Giải: Đặt x = p – a ; y = p – b ; z = p – c
Ta có: x + y + z = p − a + p − b + p − c
= 3 p −a
+
14+2b 4
3c = p

2p

∆ABC có:
Ta có:

BC = y + z ; AC = x + z ; AB = x + y
1
1
⇔ S ∆ABC = AB.BC sin B ≤ AB.BC (vì sin B ≤ 1 )
2
2
1
1
⇔ S ∆ABC ≤ AB.BC = ( x + y )( y + z )
(1)
2
2

2
Mặt khác ta có: ( S∆ABC ) = p( p − a)( p − b)( p − c)

= ( x + y + z ) xyz = 1 ⇒ S ∆ABC = 1 (2)
1
Thay (2) vào (1) ta được: 1 ≤ ( x + y )( y + z ) ⇔ ( x + y )( y + z ) ≥ 2 điều phải chứng minh
2

Phần III: Ứng dụng của bất đẳng thức
1. Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị:
Ví dụ 1: Tìm cực trị của: y = 1 − x + 1 + x
(1)

Giải: Ta có điều kiện: x ≤ 1

Phạm Thị Thu Hương

Page 14


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Vì y ≥ 0 cho nên y 2 =

(

1− x + 1+ x

)

2

= 2 + 2 1 − x2

⇔ 2 ≤ y2 ≤ 4
⇔ 2≤ y≤2
⇒ Max y = 2 khi x = 0 ;
Min y = 2 khi x = ±1
xy z − 1 + xz y − 2 + yz x − 3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của: f ( x, y, z ) =
xyz
xy z − 1 + xz y − 2 + yz x − 3
=

xyz
Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

Giải: Ta có f ( x, y, z ) =

z
z −1 1
⇒
≤
2
z
2
y −1
y
1
(y −2).2 ≤ ⇒
≤
2
y
2 2
( z −1).1 ≤

(x −3).3 ≤

x
x −1
1
⇒
≤
2

x
2 3

z −1
+
z

y−2
x−3
+
y
z

(1)
(2)
(3)

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
f ( x, y , z ) ≤

1
1
1
+
+
2 2 2 2 3

⇔ f ( x, y, z ) ≤

1

1
1
(1 +
+
)
2
2
3

(4)

Dấu “=” trong bất đẳng thức (4) xảy ra khi và chỉ khi:
z −1 =1
z = 2


y − 2 = 2 ⇔ y = 4
x − 3 = 3
x = 6


z = 2

1
1
1

+
Vậy Max f ( x, y , z ) = 2 (1 +
khi y = 4

2
3)

x = 6


Ví dụ 3: Cho x, y, z tùy ý thỏa mãn: xy + yz + zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 4 + y 4 + z 4
Giải: Từ giả thiết: xy + yz + zx = 1 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

12 = ( xy + yz + zx) 2 ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 )( x 2 + y 2 + z 2 )
(1)
⇔ 1 ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 )2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với 2 bộ số:
Ta có: ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≤ (12 + 12 + 12 )( x 4 + y 4 + z 4 )
Phạm Thị Thu Hương

1;1;1
 2 2 2
x ; y ; z

(2)
Page 15


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Từ (1) và (2) ta có: 1 ≤ 3( x 4 + y 4 + z 4 ) ⇒ x 4 + y 4 + z 4 ≥

1
3

y
z
x
=
=

x
x
1
1
1
y
⇒ Min A = khi 
⇔x = y = z ⇒x2 = ⇒x = ±
2
2
2
3
3
3
x = y = z

1
1
1

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của A = (1 − x) 2 (1 − x)3 với x ≤ 1

Giải: Sử dụng BĐT Cosi: xét 5 số không âm:

1 −x 1 −x 1 + x 1 + x 1 + x
;
;
;
;
2
2
3
3
3

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2

2

5

5

1 − x  1 + x 
 1  1 − x 1 − x 1 − x 1 − x 1 − x 
+
+
+
+

÷

÷ ≤ ÷ 
÷
2
3
3
3 
 2   3 
5   2
5

⇔

5

(1 − x ) 2 +(1 + x)3  1   2 −2 x 3 +3 x 
≤ ÷ 
+
÷
22.32
3 
5   2
5

5
A
 1  1 − x +1 − x  2
⇔ 2 2 ≤ ÷ 
=
÷
5

2 .3
2
5  
 5
25
3456
⇔ A ≤ 5 .2 2.32 =
5
3125
3456
1 −x
1 +x
Max A =
khi 2 = 2
3125
1
⇔ 3(1 − x ) = 2(1 + x) ⇔ x =
5
1
3456
Vậy Max A =
khi x =
3125
5
x y z
= =

1
1
1

y x x
2
⇒ Min A =
⇔
x
=
y
=
z
⇒
x
=
⇒
x
=
±
khi:  2
2
2
3
3
3
x = y = z

1
1
1

2. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x100 − 10 x10 + 9 = 0

(1)
100
10
Giải: Ta có x −10 x +9 = 0
x100 + 9 = 10 x10
100
{
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 10 số : x ,1,...,1
9 so

Ta có:

x100

}9
+1,...,1
≥10 x100 ,1,...,1
{
10
9

⇔

x100 +9
≥ x10 ⇔ x100 + 9 ≥10 x10
10

(2)

Vậy nghiệm của (1) khi BĐT (2) xảy ra dấu “=” ⇔ x100 = 1 ⇔ x = ±1

Ví dụ 2: Giải phương trình 4 1 − x 2 + 4 1 + x + 4 1 − x = 3
Phạm Thị Thu Hương

Page 16


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Giải: Điều kiện: x ≤ 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
4
4

1 −x 2 =4 (1 +x )(1 −x ) +≤

4

1 − x = 4 1(1 + x) + ≤

4

(1)

1 −x 2 + 4 1 +x + 4 1 −x =3
1 −x + 1 +x
2

(2)

1+ 1+ x
2

(3)

1 + 1 −x
1 −x =4 1(1 −x) ≤
2

(4)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều (2), (3), (4) ta được:
4

Hay

1 −x 2 + 4 1 + x + 4 1 −x ≤1 + 1 + x + 1 −x

VT ≤ 1 + 1 + x 1 + x ≤ 1 +

1 + (1 + x ) 1 + (1 − x)
+
2
2

⇒VT : 4 1 − x 2 + 4 1 + x + 4 1 − x ≤ 3

Như vậy nếu thỏa mãn thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
1 + x = 1 − x

 1 + x =1


⇔x = 0
 1 − x =1
1 =1 + x

1 =1 − x


Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 0
x 3 y = 9
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
3 x + y = 6

(1)
(1)
(1)
(2)
(2)

x 3 y =9
Giải: Giả sử x0 ; y0 là nghiệm của hệ thì ta có: 
3 x + y = 6

Từ (1) và (2) ⇒ x0 > 0 và y0 > 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Kết hợp (1) (2) và (3) ta có:

x0 + x0 + x0 + x0
≥ 4 x03 y0
4

6
3
≥4 9 ⇔ ≥ 3
4
2

(3)

(4)

Vì (4) không đúng, nên điều giả sử x0 y0 là nghiệm của hệ phương trình là sai.
Vậy hệ phương trình đã cho là vô nghiệm.
(1)
 x − y + 2 x + y −1 = 3

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 

2 x + y = 1
(2)
Giải: Ta có phương trình (2) ⇔ y = 1 − 2 x
Thế y = 1 − 2 x vào phương trình(1) ta có: 3 x − 1 + 2 x + 1 − 2 x − 1 = 3
⇔ 3 x −1 + 2 x = 3

(3)
1
3

Ta xét các khả năng: x < 0, 0 ≤ x < , x ≤
Phạm Thị Thu Hương

1
3

Page 17


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

a. Trường hợp x < 0 ta có: (3) ⇔ −3 x +1 − 2 x = 3
9
2
⇔x =−
(thỏa mãn) ⇒ y =
5
5
1
3

b. Trường hợp 0 ≤ x < ta có: (3) ⇔ −3 x +1 + 2 x = 3 ⇔ x = −2 (loại)
1
3

c. Trường hợp : x ≤ ta có: (3) ⇔3 x −1 + 2 x = 3
⇔x =

4
5

(thỏa mãn)

⇒ y=−

3
5

−2 9 
 4 −3 
, ÷ và ( x, y ) =  ,
÷
 5 5
5 5 


Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( x, y ) = 

3. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên:
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

1
1
1
+ + =2
x
y
z

Giải: Giả sử x ≥ y ≥ z > 0 ta có:
1 1 1 3
+ + ≤
⇒ 2 z ≤ 3 mà z nguyên nên z = 1

x y z
z
1 1
1 1
Thay z = 1 vào phương trình (1) ta được : + +1 = 2 ⇔ + =1 (2)
x y
x y
1 1 2
 y =1
Vì x ≥ y > 0 ta có: 1 = + ≤ ⇒ y ≤ 2 Mà y nguyên dương nên 
x y
y
y = 2
2=

1
1
+1 ⇒ = 0 (không thỏa mãn đ/k x > 0 do đó loại)
x
x
1 1
+ Nếu y = 2 ta được : 1 = + ⇔ x = 2
x 2
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: (2; 2; 1); (2; 1; 2) và (2; 2; 1)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y + z = xyz (1)
Giải: Ta nhận thấy phương trình (1) đối ứng với x, y, z.
Do đó ta có thể giả sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ xy ≤ 3
+ Nếu x=y=z thì phương trình (1) 3z = z 3
+ Nếu y = 1 ta được 1 =

⇒ z 2 = 3 ⇒ z = ± 3 ∉ z (loại)

Suy ra x ≤ y < z ⇒ xy < 3 mà x,y nguyên dương. Do đó xy=2 hoặc xy = 1
- Với xy = 2 ⇒ x = 1. y = 2 ⇒ z = 3
- Với xy = 1 ⇒ x = y = 1 ⇒ z không tồn tại.
Vậy nghiệm nguyên dương của pt (1) là (1;2;3) và các hoác vị của nó.
Ví dụ 3: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:

x + x = y (*)

Giải: + Với x < 0, y < 0 thì phương trình (*)không có nghĩa
+ Với x > 0, y > 0 thì ta có x + x = y ⇒ x + x = y 2 ⇒ x = y 2 − x > 0
Đặt x = k ( k ∈ z; k > 0 vì x nguyên dương)
Ta có: k 2 +k = k (k +1) < k (k +1) = y 2
Phạm Thị Thu Hương

Page 18


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Nhưng k 2 < k (k +1) < (k +1) 2 ⇒k < y < k +1
Mà giữa k và k + 1 là 2 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên
duơng nào cả. Nên không có cặp số nguyên dương nào thỏa mãn phương trình
(*). Vậy phương trình (*) có nghiệm nguyên duy nhất là x = 0, y = 0.
IV. Hiệu quả áp dụng SKKN:
Quả thật chuyên đề về bất đẳng thức được xuyên suốt trong chương trình môn
Toán ở các bậc học: từ THCS đến THPT và Đại học. Trong khuôn khổ của đề tài:
“Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9”. Tôi đã trình bày 9
phương pháp cơ bản nhất về chứng minh bất đẳng thức. Trong mỗi phương pháp tôi

đã đưa ra kiến thức cần sử dụng và những ví dụ vận dụng một cách phù hợp với trình
độ học sinh, các bài tập được đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Bên
cạnh đó tôi còn đưa ra các ứng dụng của bất đẳng thức trong việc tìm cực trị, giải
phương trình, giải hệ phương trình và giải phương trình nghiệm nguyên…nhằm giúp
học sinh có được kiến thức cơ bản về bất đẳng thức để học và chứng minh bất đẳng
thức.
Thực tế giảng dạy cho tôi thấy: sau khi được truyền đạt kỹ về chuyên đề này, học sinh
đã có một hệ thống phương pháp giải toán về bất đẳng thức, các em hiểu kĩ, hiểu sâu và linh
hoạt hơn rất nhiều khi gặp bài toán về bất đẳng thức hoặc các bài toán cần vận dụng bất
đẳng thức để giải, chẳng hạn: Các em đã biết tự mình phân tích bài toán để đưa về một
trong các phương pháp đã học để giải quyết ngắn gọn, dễ hiểu, nghĩa là đã chọn được một
phương án tốt nhất, một lời giải tối ưu cho bài toán; có cách trình bày bài giải rõ ràng, mạch
lạc; tránh được một số sai lầm thường gặp khi giải toán về bất đẳng thức.
Kết quả cụ thể qua 2 năm thực hiện đề tài: Năm học 2014 - 2015, khi dạy Toán tôi đã
áp dụng chuyên đề này cho lớp tôi dạy và so sánh kết quả với năm học 2013 - 2014 chỉ dạy
như SGK rồi ôn tập cho học sinh (2 lớp có chất lượng kiểm tra khảo sát đầu năm là tương
đương nhau), sau khi đã cho cả 2 lớp làm 1 đề kiểm tra để khảo sát chất lượng thì kết quả
thu được là:
Năm học
Giỏi
Khá
TB
Yếu
2013-2014
5%
21%
39%
35%
2014-2015
22%

38%
35%
5%
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. Kết luận:
Để hoàn thành tốt nhiệm vụ của người thầy và đáp ứng nhu cầu ngày càng
cao của học sinh đòi hỏi người thầy phải không ngừng học hỏi, nâng cao trình độ
chuyên môn nghiệp vụ và thực sự tâm huyết với nghề nghiệp. Trong quá trình
giảng dạy, người thầy phải đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, linh hoạt sáng tạo
để tìm ra cách giúp học sinh có khả năng tổng hợp kiến thức và hình thành
phương pháp giảng dạy cho mỗi loại toán cụ thể, từ đó phát hiện, bồi dưỡng cho
học sinh có năng khiếu bộ môn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy sáng
tạo…làm cho các em yêu thích bộ môn. Muốn như vậy các bài tập đưa ra phải
bao gồm bài dễ để củng cố kiến thức cơ bản, đến bài khó để phát hiện tư duy, bài
trước là gợi ý cho bài sau. Các phương pháp giải khi cung cấp cho học sinh phải
dễ hiểu, dễ vận dụng, phù hợp với khả năng học sinh, trên cơ sở kiến thức đó mà
học sinh có thể tự học, tự giải quyết những vấn đề đặt ra và tự mình khám phá,
Phạm Thị Thu Hương

Page 19


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

lĩnh hội kiến thức. Hơn nữa với mỗi bài toán ngoài việc tìm phương pháp giải hợp
lý, cần thay đổi dữ kiện bài toán, đặc biệt hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa…để đưa
học sinh đến tình huống mới cần giải quyết.
II. Đề xuất:
Phòng Giáo dục và Đào tạo cần tổ chức Hội thảo cho giáo viên học tập và áp dụng
những sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng. nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.

Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi đã rút ra từ thực tiễn giảng dạy
của mình. Có thể còn bộc lộ những khiếm khuyết trong cách trình bày và diễn đạt, tôi
rất mong được sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp để tôi có các giải pháp hoàn
thiện và hiệu quả trong công tác giảng dạy đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp giáo dục.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

An Hoạch, ngày 20 tháng 3 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người thực hiện

Phạm Thị Thu Hương

Phạm Thị Thu Hương

Page 20


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU.........................................................................................................................................1
B. NỘI DUNG......................................................................................................................................1
I. Cơ sở lí luận:....................................................................................................................................1
II. Thực trạng:.....................................................................................................................................2
Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp tôi thấy học sinh hầu hết là rất
ngại khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức. Theo tôi nguyên nhân chủ yếu là để giải
được một bài toán chứng minh bất đẳng thức cần một tư duy logic và một sự sáng tạo rất cao
mà điều đó đối với đại bộ phận học sinh còn hạn chế. Đứng trước một bài toán về bất đẳng
thức các em không định hướng được là phải dùng cái gì để chứng minh và chứng minh như thế

nào? Có nghĩa là các em chưa có hướng giải. Vì thế vấn đề đặt ra cho chúng ta khi gặp dạng bài
toán về bất đẳng thức ta sẽ làm như thế nào? Đó là câu trả lời không mấy dễ dàng đối với tất cả
những người say mê nghề trồng người. Quan trọng là giáo viên phải giải được thậm chí giải
bằng nhiều cách từ đó chọn lọc cách diễn đạt để học sinh có thể tiếp thu và hiểu một cách có
sáng tạo bài giảng của giáo viên, tức là thông qua mỗi bài toán có thể đưa ra các bài toán tổng
quát, tương tự. Có thể đề ra cách giải dạng toán ấy để học sinh nhận dạng các bài toán khác
giúp học sinh nhìn bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau. Giải bài toán bằng nhiều cách và từ đó
chọn được những lời giải đẹp. Và một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức
vừa ngắn gọn vừa dễ hiểu vừa rút ngắn thời gian làm bài, vừa cho ta những lời giải đẹp là dùng
BĐT phụ. Việc dùng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức ngoài việc rèn luyện sự
say mê tìm tòi sáng tạo còn giúp các em quen dần với việc dùng bất đẳng thức phụ trong chứng
minh bất đẳng thức là việc cần thiết với tất cả các thầy cô đang trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi
các cấp, học sinh thi vào lớp 10 THPT và thi vào lớp 10 THPT chuyên.............................................2
III. Các giải pháp.................................................................................................................................2
Phần I: Các kiến thức cần lưu ý..........................................................................................................2
1. Định nghĩa:.................................................................................................................................2
2. Tính chất:....................................................................................................................................2
3. Một số hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:....................................................3
Phần II: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức...............................................................3
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa..................................................................................................3
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bất đẳng thức.......................................................................4
Phương pháp 3: Biến đổi tương đương........................................................................................5
Phương pháp 4: Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc.............................................................7
a. Một số bất đẳng thức hay dùng:...........................................................................................7
b. Một số ví dụ:..........................................................................................................................8

Phạm Thị Thu Hương


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Phương pháp 5: Phương pháp tam thức bậc hai.........................................................................8
a. Kiến thức cần lưu ý:...............................................................................................................8
b. Một số ví dụ:..........................................................................................................................8
Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp toán học.........................................................................9
a. Lưu ý: Khi bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào số nguyên n (hoặc phụ thuộc
vào số nguyên dương n) thì ta phải dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.
Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau:.......................................9
b. Một số ví dụ:..........................................................................................................................9
Phương pháp 7: Chứng minh phản chứng..................................................................................11
a. Kiến thức cần lưu ý: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức A > B đúng. Ta hãy giả sử và
kết hợp với giả thiết qua các phép biến đổi tương đương dẫn đến điều vô lý. Điều vô lý có
thể là điều trái với giả thiết, có thể là điều trái ngược nhau. Từ đó suy ra bất đẳng thức cần
chứng minh A > B đúng...........................................................................................................11
b. Một số ví dụ:........................................................................................................................11
Phương pháp 8: Phương pháp đánh giá đại diện.......................................................................12
Phương pháp 9: Phương pháp hình học.....................................................................................13
a. Kiến thức cần lưu ý:.............................................................................................................13
b. Một số ví dụ:........................................................................................................................14
1. Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị:.........................................................................................14
2. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:............................................16
3. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên:...................................................18
IV. Hiệu quả áp dụng SKKN:........................................................................................................19
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.................................................................................................................19
I. Kết luận:....................................................................................................................................19
II. Đề xuất:....................................................................................................................................20
MỤC LỤC..........................................................................................................................................21

Phạm Thị Thu Hương