Một số kinh nghiệm rèn kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình cho học sinh THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI
BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
CHO HỌC SINH THCS

Người thực hiện: Lê Thị Thúy
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Quang Trung
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2016


MỤC LỤC
A/ PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài.
II. Mục đích nghiên cứu.
III. Đối tượng nghiên cứu.
IV. Phương pháp nghiên cứu.
B/ PHẦN NỘI DUNG
I.Cơ sở lí luận:
II. Thực trạng chung của học sinh khi gặp các bài toán “Giải bài toán bằng cách
lập phương trình”.
III.Các giải pháp đã vận dụng:
1. Yêu cầu về giải một bài toán bằng cách lập phương trình.
2. Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phương trình.
3. Những bài toán cụ thể hướng dẫn tìm tòi lời giải và học sinh thực hiện giải.

IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
C/ PHẦN KẾT LUẬN

2


A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay nhìn chung
tất cả các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học
ứng dụng. Đặc biệt bộ môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên
tinh thần toán học hiện đại. Ngay từ khi cắp sách đến trường các em đã làm quen
với phương trình dưới dạng đơn giản đó là các bài toán tìm x và cao hơn nữa ở
lớp 8, lớp 9 dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là dạng toán
tương đối khó đối với học sinh. Đặc trưng của dạng toán này là đề bài cho dưới
dạng lời văn và có sự đan xen của nhiều dạng ngôn ngữ khác nhau như ngôn
ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý, hoá học….Có nhiều bài toán lại có
các dữ kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn buộc học sinh phải
có suy luận tốt mới tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng để dẫn đến lập
phương trình.
Mặt khác, đối với loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với
thực tế. Chính vì thế mà việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến
thực tế. Do đó khi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly với thực tế dẫn
đến quên điều kiện của ẩn, hoặc không so sánh, đối chiếu kết quả với điều kiện
của ẩn. Hoặc học sinh không khai thác hết các mối liên hệ ràng buộc của thực
tế. Mặt khác kĩ năng phân tích, tổng hợp của học sinh trong quá trình giải bài
tập còn yếu. Với những lý do đó mà học sinh rất sợ và ngại làm loại toán này.
Ngoài ra, cũng có thể do trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ truyền thụ
cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách giáo khoa mà chưa chú ý
phân loại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Chính vì

thế giải bài toán bằng cách lập phương trình chỉ đạt kết quả tốt khi biết cách diễn
đạt những mối quan hệ trong bài thành những mối quan hệ toán học. Vì vậy
nhiệm vụ của người thầy không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt
ra là người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải bài tập.
Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS, bằng kinh nghiệm của bản
thân và qua sự trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong trường
tôi đã mạnh dạn viết sáng kiến này với suy nghĩ và mong muốn được trao đổi
với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về loại toán “Giải
bài toán bằng cách lập phương trình” và sáng kiến kinh nghiệm “Một số kinh
nghiệm rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình cho học sinh
THCS” chỉ xét trong phạm vi chương trình của lớp 8 và lớp 9.
II. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm
rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình cho học sinh THCS”
để: Giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán giải bài toán bằng
cách lập phương trình, để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán
THCS phải nắm chắc dạng toán này, có được cách giải, phân loại được dạng
toán và rèn luyện giải bài toán bằng cách lập phương trình thành thạo.
3


Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng
đặc thù riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích cho học sinh tìm hiểu cách giải để
học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài
toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lí ngại
ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với thực tiễn cuộc sống và các
môn khoa học khác.
Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học
sinh, làm cho học sinh hứng thú khi học môn toán.

III. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài này sẽ nghiên cứu về “Một số kinh nghiệm rèn kỹ năng giải bài
toán bằng cách lập phương trình cho học sinh THCS”:
+ Hướng dẫn và định hướng các dạng bài cơ bản về giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình ở môn Đại số 8, 9.
+ Hình thành cách giải và phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình
cho HS.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
Tôi đã chọn các phương pháp nghiên cứu sau:
- Tham khảo tài liệu về một số bài soạn mẫu trong quyển một số vấn đề đổi mới
phương pháp dạy học ở trường THCS.
- Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp dạy của đồng nghiệp thông qua các
buổi sinh hoạt chuyên môn, dự giờ thăm lớp.
- Điều tra khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Thực nghiệm dạy các lớp 8 và 9 nhiều năm.
- Đánh giá kết quả của học sinh sau khi dạy thực nghiệm.
B. PHẦN NỘI DUNG
I.Cơ sở lí luận:
Như đã nói ở phần đầu, loại toán “Giải bài toán bằng cách lập phương
trình” là bài toán có lời văn, với loại toán này vấn đề đặt ra trước hết là phải lập
được phương trình từ những dữ kiện mà bài toán đã cho thông qua tìm lời giải,
sau đó mới là cách giải phương trình để tìm nghiệm thoả mãn yêu cầu của đề
bài. Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm các bước giải sau:
Bước 1: Lập phương trình:
+ Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn.
+ Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn.
+ Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời.
II. Thực trạng chung của học sinh khi gặp các bài toán “Giải bài toán bằng

cách lập phương trình”.

4


Trong quá trình giảng dạy toán ở trường THCS tôi thấy dạng toán giải bài
toán bằng cách lập phương trình là một dạng toán cơ bản. Dạng toán này không
thể thiếu trong các bài kiểm tra chương cũng như trong các bài thi học kỳ môn
toán lớp 8 và lớp 9 nhưng đại đa số các em bị mất điểm và cũng có học sinh biết
cách giải nhưng không đạt điểm tối đa. Cụ thể:
- Ở các bước trên thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập được phương trình phù
hợp với đề bài thì mới có được kết quả của bài toán. Đây chính là khâu khó nhất
đối với học sinh, những khó khăn thường gặp:
+ Không biết tóm tắt bài toán để đưa bài toán từ nội dung thực tế về bài toán
mang nội dung toán học. Không xác định được đại lượng nào phải tìm, đại
lượng nào đã cho.
+ Không biết cách chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn.
+ Không biết biểu diễn và lập luận mối liên hệ của ẩn theo các dữ kiện của bài
toán để lập phương trình.
Những lí do trên dẫn đến học sinh không thể lập được phương trình.
- Ở bước 2 có nhiều học sinh không giải được phương trình là do học sinh chưa
phân dạng được phương trình để áp dụng cách giải tương ứng với phương trình,
hoặc học sinh không biết cách giải phương trình.
- Đối với bước 3 học sinh thường gặp khó khăn trong các trường hợp sau:
+ Không chú trọng khâu thử lại nghiệm của phương trình với các dữ kiện của
bài toán và điều kiện của ẩn.
+ Không biết biện luận: Chọn câu trả lời, các yếu tố có phù hợp với điều kiện
thực tế không?
Vì vậy nhiệm vụ của giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải các loại
bài tập này tránh những sai lầm của học sinh hay mắc phải. Do đó, khi hướng

dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên các quy tắc chung là: Yêu cầu về
giải bài toán, quy tắc về giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các
bài toán dựa vào quá trình tham gia của các đại lượng làm sáng tỏ mối quan hệ
của các đại lượng, từ đó học sinh tìm lời giải cho các bài toán.
Kết quả khảo sát trước khi dạy thực nghiệm: Đối với học sinh gặp dạng toán
giải bài toán bằng cách lập phương trình như sau:
Điểm
Lớp
8A1
8A2
9A1
9A2

Sĩ số
42
45
44
45

Giỏi

Khá

T.Bình

Yếu

Kém

1

2
1
3

3
4
5
5

19
16
18
11

16
17
16
19

3
6
4
7

III.Các giải pháp đã vận dụng:
1.Yêu cầu về giải một bài toán bằng cách lập phương trình:
5


Ở các bước trên thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập được phương trình

phù hợp với đề bài thì mới có được kết quả của bài toán. Để có thể giải đúng,
nhanh bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình cả giáo viên và học sinh
cần chú ý:
+ Đọc kĩ đề bài và tóm tắt bài toán để hiểu rõ: đại lượng phải tìm,
các đại lượng và số liệu đã cho, mô tả bằng hình vẽ nếu cần, chuyển đổi đơn vị
nếu cần.
+ Thường chọn trực tiếp đại lượng phải tìm làm ẩn, chú ý điều kiện của ẩn
sao cho phù hợp với yêu cầu của bài toán và với thực tế.
+ Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết
ngay được.
+ Khi đã chọn số chưa biết của một đại lượng là ẩn thì phải tìm được mối liên
hệ giữa đại lượng chưa biết và các đại lượng đã biết để lập phương trình. Mối
liên hệ này được thể hiện bởi sự so sánh (bằng, lớn hơn, bé hơn, gấp mấy lần ...).
+ Khi đã lập phương trình cần vận dụng tốt kỹ năng giải các dạng phương
trình đã học để tìm nghiệm của phương trình.
+ Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình với điều kiện của bài
toán và với thực tế để trả lời.
Mặc dù đã có quy tắc chung để giải loại toán này. Nhưng trong quá trình
hướng dẫn học sinh giải loại toán này giáo viên nên cho học sinh vận dụng theo
sát các yêu cầu sau:
1.1. Bài toán không được sai sót:
Để bài giải của học sinh không sai sót, trước hết người giáo viên phải
phân tích cho học sinh hiểu bài toán vì nếu hiểu sai đề bài thì sẽ trả lời sai. Học
sinh cần hiểu rõ mục đích của các công việc đang làm, chú ý không được bỏ
qua điều kiện của ẩn, đơn vị của ẩn.
1.2. Lời giải phải có lập luận:
Trong quá trình giải các bước phải có lập luận chặt chẽ với nhau. Xác
định ẩn khéo léo. Mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm bật lên
được ý phải đi tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài mà lập
phương trình.Từ đó tìm được các giá trị của ẩn.

1.3. Lời giải phải mang tính toàn diện:
Cần hướng dẫn học sinh hiểu rằng kết quả của bài toán tìm được phải phù
hợp với cái chung, với thực tế trong trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn còn
đúng.
1.4. Lời giải phải đơn giản:
Lời giải ngoài việc phải đảm bảo ba yêu cầu nói trên cần phải chọn cách
làm đơn giản mà đa số học sinh đều hiểu và có thể tự làm lại được.
1.5. Trình bày lời giải phải ngắn gọn và khoa học:
Khoa học ở đây là mối quan hệ giữa các bước giải của bài toán phải lôgic,
chặt chẽ với nhau, các bước sau tiếp nối các bước trước và được suy ra từ bước
trước, nó đã được kiểm nghiệm và chứng minh là đúng hoặc những điều đó đã
được biết từ trước.
6


1.6. Lời giải phải rõ ràng:
Nghĩa là các bước giải phải không được chồng chéo lên nhau, hoặc phủ
định lẫn nhau. Các bước giải phải thật cụ thể và chính xác.
1.7. Những lưu ý khác:
- Cần chú trọng việc đưa bài toán thực tế về bài toán mang nội dung toán học
thông qua việc tóm tắt và chuyển đổi đơn vị.
- Để thuận tiện và tạo điều kiện dễ dàng khi khai thác nội dung bài toán cần:
+ Vẽ hình minh họa nếu cần thiết.
+ Lập bảng biểu thị các mối liên hệ qua ẩn để lập phương trình.
2. Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phương trình:
2.1. Dạng toán chuyển động.
2.2. Dạng toán liên quan đến số học.
2.3. Dạng toán về công việc, vòi nước.
2.4. Dạng toán về năng suất lao động.
2.5. Dạng toán liên quan đến hình học.

2.6. Dạng toán có nội dung Vật lý, Hoá học.
2.7. Một số bài toán cổ.
3. Những bài toán cụ thể hướng dẫn tìm tòi lời giải và học sinh thực hiện
giải:
3.1. Dạng toán chuyển động:
a. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Với dạng toán này cần khai thác ở các đại lượng:
+ Vận tốc.
+ Thời gian.
+ Quãng đường.
Lưu ý phải thống nhất đơn vị.
- Chọn ẩn và điều kiện ràng buộc cho ẩn.
- Tùy theo từng nội dung mà chọn ẩn cho phù hợp, sau đó giáo viên hướng
dẫn học sinh khai thác để tìm lời giải như sau:
Các trường hợp
(Hay loại phương tiện)

Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Quãng đường(km)

Theo dự định
Theo thực tế
Phương trình lập được
b. Bài toán minh họa:
Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km.
Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một ô tô đi hết 2 giờ. Biết vận
tốc của ca nô kém vận tốc của ô tô là 17km/h.Tính vận tốc của ca nô?

+ Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn học sinh biểu thị các đại lượng đã biết và chưa biết vào trong bảng:

7


Phương tiện

Vận tốc(km/h)

Ca nô

Thời gian(h)

3

x
x+17

Ô tô
Phương trình lập được

1
3

2

Quãng đường(km)
1
3 .x

3
2.(x+ 17)

1
2.( x + 17) − 3 x = 10
3

+ Lời giải :
Cách 1: Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h) (x > 0)
Vận tốc của ô tô là: x +17 (km/h)
1
Đường sông từ A đến B dài là: 3 .x (km)
3
Đường bộ từ A đến B dài là:
2.(x+17) (km)
Theo đề bài thì đường sông ngắn hơn đường bộ là 10km ta có phương trình:

1
2.( x + 17) − 3 x = 10
3
⇔ 6(x + 17) − 10x = 30 ⇔ 6x + 102− 10x = 30
⇔ x = 18 (thoả mãn điều kiện).
Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h.
Cách 2: Gọi quãng đường sông dài là x (km) (x > 0)
Ta có bảng sau:
Phương tiện
s (km)
t(h)

v (km/h)

Ca nô

x

10
3

x:

ô tô

x+10

2

(x+10):2

Phương trình lập
được

10 3 x
=
3 10

x + 10 3x
−
= 17
2
10

Ta có phương trình:

x + 10 3x
−
= 17 ⇔ x = 60 (thỏa mãn điều kiện)
2
10
3.60
= 18 (km/h)
Vậy vận tốc của ca nô là:
10
Tóm lại: Với dạng toán chuyển động thì giáo viên cần làm cho học sinh
hiểu được mối quan hệ giữa các đại lượng: quãng đường, vận tốc, thời gian và
các đại lượng này liên hệ với nhau bởi công thức: S = v.t
Trong quá trình chọn ẩn nếu ẩn là quãng đường, vận tốc, hay thời gian thì
điều kiện của ẩn là luôn dương.
Cần lưu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lưu ý:

8


+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ
nghịch với nhau.
+ Nếu thời gian thực tế đến chậm hơn dự định thì cách lập phương trình như
sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm bằng thời
gian thực tế đi trên đường. Nếu thời gian thực tế đến nhanh hơn dự định thì cách
lập phương trình làm ngược lại phần trên.
+ Nếu chuyển động trên một đoạn dường không đổi từ A dến B rồi từ B về A thì
thời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động.

+ Nếu hai chuyển động ngược chiều nhau, sau một thời gian hai chuyển động
gặp nhau thì có thể lập phương trình: S1 +S 2 = S
3.2. Dạng toán liên quan tới số học:
a. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Những lưu ý khi giải các bài tâp:
+ Viết chữ số tự nhiên đã cho dưới dạng tổng các lũy thừa của 10:
anan−1...a1a0 = 10n an + 10n−1an−1 + ... + 101a1 + 100 a0 .
+ Số chính phương: Nếu a là số chính phương thì a = b2( b∈ N )
- Hướng dẫn học sinh theo bảng thông thường như sau:
Cách trường hợp Chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị Mối liên hệ
Ban đầu
Về sau
Phương trình lập
được
b. Bài toán minh họa:
Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 7 nếu thêm chữ số 0
vào giữa hai chữ số thì được số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đã cho?
* Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn học sinh biểu thị các đại lượng đã biết và chưa biết vào trong bảng:
Chữ số
Chữ số
Chữ số
Các trường
hàng
hàng
hàng
Mối liên hệ
hợp
trăm
chục

đơn vị
Ban đầu
0
x
7–x
x(7 – x) = 10x + 7 – x = 9x + 7
Về sau
x
0
7-x
x 0(7 − x) = 100x + 7 - x = 99x + 7
Phương
trình lập
(99x + 7 ) - ( 9x + 7 ) = 180
được
* Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục của chữ số đã cho là x, điều kiện 0Thì chữ số hàng đơn vị của số đã cho là: 7 - x
Số đã cho có dạng: x(7 – x) = 10x + 7 – x = 9x + 7
Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được
số mới có dạng;
x0(7 − x ) = 100x + 7 - x = 99x + 7
9


Theo đề bài ta có phương trình:
( 99x + 7 ) - ( 9x + 7 ) = 180
⇔
90x = 180
⇔

x = 2 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy: Chữ số hàng chục là 2
Chữ số hàng đơn vị là 7 - 2 = 5
Số phải tìm là 25
* Chú ý:
- Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu được mối liên hệ
giữa các đại lượng đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm…
Biểu diễn dưới dạng chính tắc của nó:
abc = 100a + 10b + c.
....................
- Khi đổi chỗ các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tương tự như
vậy. Dựa vào đó ta đặt điều kiện ẩn số sao cho phù hợp.
3.3. Dạng toán công việc:
a. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Với dạng toán này giáo viên cần làm cho học sinh hiểu: Coi toàn bộ công việc
là một đơn vị và biểu thị bằng 1, nếu thực hiện xong một công việc hết x ngày
(giờ, phút...) thì trong một ngày (giờ, phút...) làm được 1/x công việc và tỉ số 1/x
chính là năng suất lao động trong một ngày (giờ, phút...).
- Hướng dẫn học sinh thông qua lập một trong hai bảng sau:
Bảng 1
Thời gian
Năng
Mối liên hệ (tổng
Cách trường hợp
làm xong 1 suất công
khối lượng công
công việc
việc
việc)
Theo dự Máy 1 (đội1…)

định
Máy2 (đội2… )
Theo thực Máy 1 (đội1…)
tế
Máy2 (đội2… )
Phương
trình lập
được
Bảng 2
Các sự kiện
Đội I(vòi 1) Đội II(vòi 2)
Cả hai đội
Số ngày
Phần việc làm trong một ngày
Phương trình lập được
b. Bài toán minh họa:
Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong
một công trình. Nếu làm riêng thì đội I làm lâu hơn đội II là 5 ngày. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi đội làm mất bao lâu?

10


*) Hướng dẫn giải:
Gọi số ngày đội I làm một mình xong công việc là: x (ngày, x > 5)
Hướng dẫn học sinh biểu thị các đại lượng đã biết và chưa biết vào trong bảng:
Các sự kiện
Đội I
Đội II
Cả hai đội

Số ngày
x
x-5
6
1
1
1
Phần việc làm trong một
ngày
x−5
x
6
1
1
1
Phương trình lập được
+
=
x x−5 6
*) Lời giải:
Gọi số ngày đội I làm một mình xong công việc là: x (ngày, x > 5)
Số ngày đội II làm một mình xong công việc là: x - 5 (ngày)
1
Trong một ngày: - Đội I làm được:
(công việc)
x
1
- Đội II làm được:
(công việc).
x−5

1
1
+
- Cả hai đội làm được:
(công việc)
x x −5
Theo đề bài thì cả hai đội làm chung hết 6 ngày mới xong vậy mỗi ngày cả hai
đội làm được 1/6 (công việc)
Ta có phương trình:
1
1
1
+
=
x x−5 6
=> x2 – 17x + 30 = 0
⇔ x2 – 2x – 15x + 30 = 0
⇔ x(x - 2) - 15(x - 2) = 0
⇔ (x - 2)(x - 15) = 0
⇔ x = 2 (loại) hoặc x = 15 (thoả mãn)
Trả lời: Đội I làm riêng hết 15 ngày
Đội II làm riêng hết 10 ngày
*) Chú ý:
Đối với bài toán này nếu quên không đặt điều kiện cho ẩn hoặc không so
sánh kết quả với điều kiện của ẩn thì không loại được nghiệm của phương trình,
khi đó kết quả của bài toán sẽ sai.
3.4. Dạng toán về năng suất lao động:
a. Hướng dẫn tìm lời giải:
+ Tiến hành chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn:
+ Đối với dạng toán về diện tích lập bảng như sau:

Các trường hợp

Diện tích

Năng suất

Thời gian

Dự định
Thực tế
11


Phương trình lập được
+ Đối với dạng toán thông thường khác hướng dẫn học sinh theo bảng sau:
Thời gian thực
Mối liên hệ
Khối lượng
Năng suất
hiện (Tổng
công việc
công việc
khối lượng
Các trường hợp
công việc)
Đội 1
Theo dự định
Đội 2
Đội 1
Theo thực tế

Đội 2
Phương trình lập
được.
b. Bài toán minh họa:
Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai
tổ một vượt mức 15% , tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy.
Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
* Hướng dẫn giải:
+ Chọn ẩn: x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (0 < x < 720, x ∈ Z )
+ Lập mối liên hệ của ẩn theo bảng sau:
Mối liên hệ
Tổng khối
Năng suất
Khối lượng công việc
lượng công
công việc
việc
Các trường hợp
Tổ 1
x
100%
Tháng đầu
720
Tổ 2
720 - x
100%
Tổ 1
x + 15%x
115%
Tháng sau

819
Tổ 2
720 –x +(720 –x)12%
112%
Phương trình
x+ 15%x+720 – x +(720 –x)12% = 819
lập được.
* Lời giải:
Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết)
ĐK: x ∈ Z, 0 < x < 720
Khi đó tháng đầu tồ 2 sản xuất được: 720 - x (chi tiết).
Tháng 2 tổ một sản xuất được: x + 15%x (chi tiết)
Tháng 2 tổ hai sản xuất được: 720 - x + 12%(720 - x) (chi tiết)
Theo bài ra ta có phương trình:
x+ 15%x+720 – x +(720 –x)12% = 819
⇔

15
12
.x +
.(720 − x) = 99
100
100

⇔ 15x + 8640 - 12x = 9900
⇔ 3x = 9900 - 8640
⇔ 3x = 1260

12

⇔

x = 420 (thỏa mãn)
Vậy trong tháng giêng tổ một sản xuất được 420 chi tiết máy, tổ hai sản xuất
được 720 - 420 = 300 chi tiết máy.
Bài 2: Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày
đội đã cày được 52 ha vì vậy không những đội đã cày xong trước thời hạn 2
ngày mà đội còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày
theo kế hoạch đã định.
* Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn học sinh chọn ẩn rồi lập bảng sau:
Các trường hợp

Diện tích

Năng suất

Dự định

x

40

Thực tế

x+4

52
x x+4

−
=2
40
52

Phương trình lập
được

Thời gian
x
40
x+4
52

*) Lời giải:
Gọi diện tích ruộng mà đội dự định cày theo kế hoạch là: x (ha, x > 0)
Thời gian dự định cày là:

x
ngày.
40

Diện tích thực tế mà đội đã cày là: x + 4 (ha).
Năng suất thực tế là: 52 (ha/ngày)
x+4
Do đó thời gian thực tế đã cày là:
(ngày)
52
Vì thực tế làm xong trước 2 ngày và cày thêm được 4 ha nữa nên ta có phương
x x+4

−
=2
trình:
40
52
⇔ 13x -10x - 40 = 1040
⇔ 3x = 1080
⇔ x = 360 (thoả mãn).
Vậy diện tích ruộng mà đội dự định cày là: 360 ha
* Chú ý:
- Loại toán này tương đối khó, giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ
bản chất nội dung của bài toán từ đó tìm ra mối liên hệ để lập phương trình và
giải phương trình như các loại toán khác.
- Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lưu ý bám sát ý nghĩa thực tiễn của bài toán.
3.5. Dạng toán liên quan đến hình học:
a) Hướng dẫn tìm lời giải:
+ Chọn ẩn và điều kiện cho ẩn.
+ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua bảng sau:
13


Các đại lượng
Đại lượng 1

Đại lượng 2

Các trường hợp

Mối liên hệ
giữa các đại

lượng

Ban đầu
Về sau
Phương trình lập được
b) Bài toán minh họa:
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm một lối đi
xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng
trọt là 4256m2. Tính kích thước của vườn?
* Hướng dẫn giải:
- Nhắc lại công thức tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật.
- Vẽ hình minh họa để tìm lời giải.
- Chu vi là 280(m) thì độ dài mỗi cạnh là bao nhiêu?
- Sau khi làm lối đi thì độ dài mỗi cạnh còn lại bao nhiêu?
- Tìm mối liên hệ giữa hai cạnh để lập phương trình.
+ Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (m), 4+ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua bảng sau:
Các đại lượng
Độ dài
Độ dài cạnh còn lại
Diện tích
một cạnh
Các trường hợp
Ban đầu
x
140 - x
Về sau
Phương trình lập được

x-4

140 – x – 4 = 136 - x

4256

( x - 4 ).( 136 - x ) = 4256

* Lời giải:
Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là x (m), điều kiện 4Độ dài cạnh còn lại là: 140 - x (m)
Khi làm lối đi xung quanh, độ dài các cạnh của phần đất trồng trọt là x - 4(m) và
140 – x – 4 = 136 - x(m).
Theo bài ra ta có phương trình:
( x - 4 ).( 136 - x ) = 4256
⇔ 140x - x2 - 544 = 4256
⇔ x2 - 140x + 4800 = 0
⇔ x2 - 60x – 80x + 4800 = 0
⇔ x(x – 60) – 80(x – 60) = 0
⇔ (x – 60) (x – 80) = 0
⇔ x = 60 (thỏa mãn);
14


x = 80 (thỏa mãn);
Vậy kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là 60m và 80m.
* Đối với dạng toán này cần gợi ý cho học sinh nhớ những kiến thức của hình
học như: độ dài, diện tích, chu vi ...
3.6. Dạng toán có nội dung vật lý, hoá học:
a) Hướng dẫn tìm lời giải:
+ Chọn ẩn và điều kiện cho ẩn.

+ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua bảng sau:
Các đại lượng
Mối liên hệ
Đại lượng 1
Đại lượng 2
giữa các đại
lượng
Các trường hợp
Ban đầu
Về sau
Phương trình lập được
b) Bài toán minh họa:
Người ta hòa lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng
riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là
700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng?
* Hướng dẫn giải:
- Để giải bài toán ta cần chú ý khối lượng riêng của mỗi chất được tính theo
công thức: D = m:V => V = m : D
Trong đó: m là khối lượng tính bằng kg
V là thể tích của vật tính bằng m3
D là khối lượng riêng tính bằng kg/m3
+ Gọi khối lượng riêng của chất thứ nhất là x kg/m3 (x > 200)
+ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua bảng sau:
Các đại lượng
Khối lượng
Khối lượng
Thể tích (m3)
3
riêng(kg/m )
(kg)

Các trường hợp
Chất thứ nhất
Chất thứ hai
Hỗn hợp

x
x − 200

0.008

0.008
x

0.006

0.006
x − 200
0.008 + 0.006
700

0.006
0.008 + 0.006
0.008
Phương trình lập
+
=
x
được
700
x − 200

*Lời giải:
Gọi khối lượng riêng của chất thứ nhất là x (kg/m3), điều kiện x > 200
Thì khối lượng riêng của chất thứ hai là: x - 200 (kg/m3)

15


Thể tích của chất thứ nhất là:
Thể tích của chất thứ hai là:

0.008
(m3)
x
0.006
(m3)
x − 200

Thể tích của khối chất lỏng hỗn hợp là:

0.008 + 0.006
(m3)
700

Trước và sau khi trộn thì tổng thể tích của hai chất lỏng không đổi, nên ta có
phương trình:
0, 008 0, 006 0, 008 + 0, 006
+
=
x
x − 200

700

=> x2 - 900x + 80000 = 0
Giải phương trình ta được: x1 = 800 (thỏa mãn điều kiện)
x2 = 100 ( loại)
Vậy khối lượng riêng của chất thứ nhất là 800kg/m3.
Khối lượng riêng của chất thứ hai là 800 – 200 = 600(kg/m3)
3.7. Dạng toán cổ:
* Hướng dẫn tìm lời giải:
+ Chọn ẩn và điều kiện cho ẩn.
+ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua bảng sau:
Các đại lượng
Mối liên hệ
Đại lượng 1
Đại lượng 2
giữa các đại
lượng
Các trường hợp
Ban đầu
Về sau
Phương trình lập được
b. Bài toán minh họa: Bài toán “Vừa gà vừa chó.
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn”.
Hỏi có mấy gà, mấy chó?
* Hướng dẫn giải:
+ Gọi số gà là x con ( 0 < x < 36, x∈ Ν ).
+ Hướng dẫn học sinh lập mối liên hệ theo bảng sau:
Các đại lượng

Số con
Số chân
Tổng
Các loại con
Con gà
x
2x
36
Con chó
36 - x
4(36 - x)
100
Phương trình lập được
2x + 4(36 - x) =100

16


*Lời giải:
Gọi số gà là x (0Thì số con chó là: 36 - x (con)
Gà có hai chân nên số chân gà là: 2x chân.
Chó có bốn chân nên số chân chó là: 4. (36 - x) chân.
Theo đề bài ta có phương: 2x + 4. (36 - x ) = 100
Giải phương trình ta được: x = 22 thỏa mãn điều kiện.
Vậy có 22 con gà, số con chó là: 36 - 22 = 14 (con)
Trên đây là 7 dạng toán về “giải bài toán bằng cách lập phương trình” thường
gặp trong chương trình Đại số 8 và đại số 9. Mỗi dạng toán tôi mới chọn một số
bài toán mang tính điển hình để giới thiệu về cách phân loại và phương pháp
giải mỗi dạng toán đó để học sinh có thể nhận dạng được các bài toán mới thuộc

dạng toán nào từ đó mà có cách giải hợp lý, nhanh và chính xác.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Sau khi thực nghiệm đề tài tại trường THCS Quang Trung tôi thấy học
sinh có ý thức hơn, cẩn thận hơn, trình bày lời giải bài toán khoa học hơn được
thể hiện qua kết quả sau:
Điểm
Lớp
Giỏi
Khá
T.Bình
Yếu
Kém
Sĩ số
8A1
42
10
14
16
2
0
8A2
45
12
15
15
3
0
9A1
44
8

13
17
6
0
9A2
45
8
14
18
3
2
+ So sánh kết quả kiểm tra trước và sau khi thực nghiệm đề tài ta thấy đã có
chuyển biến đáng kể. Như vậy sáng kiến kinh nghiệm áp dụng là phù hợp.
C. PHẦN KẾT LUẬN
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường tôi đã
viết ra những suy nghĩ và việc làm mà tôi đã thực hiện ở lớp 8 và lớp 9 ở những
năm trước và lớp 9A1, 9A2, 8A1, 8A2 năm nay đã có những kết quả đáng kể
đối với học sinh. Cuối năm học đa số các em đã quen với loại toán “Giải bài
toán bằng cách lập phương trình”, đã nắm được các dạng toán và phương pháp
giải từng dạng, các em biết trình bày đầy dủ, khoa học, lời giải chặt chẽ, rõ ràng,
các em bình tĩnh, tự tin và cảm thấy thích thú khi giải loại toán này.
Đề tài này tôi đã nghiên cứu, có áp dụng trong trường bằng cách thông
qua các buổi họp chuyên môn hai lần trên tháng. Đưa cho giáo viên nghiên cứu,
trao đổi làm nội dung chuyên môn. Từ đó mỗi giáo viên nắm bắt được và áp
dụng trong từng tiết lên lớp cho dạng toán này. Vì vậy đề tài này rất dễ nhân
rộng cho giáo viên trong thành phố hoặc tỉnh làm chuyên đề sinh hoạt chuyên
môn.
17

Trên đây là nội dung đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi, mặc dù đã
được sự giúp đỡ và ủng hộ nhiệt tình của các đồng nghiệp trong trường, tôi đã
cố gắng tìm tòi, học hỏi và chọn ra một hệ thống bài tập tương đối phù hợp để
minh họa cho sáng kiến kinh nghiệm của mình với hy vọng giúp các em học
sinh tự tin hơn khi làm các bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình. Tuy
nhiên, trong khi trình bày đề tài của mình không tránh khỏi những thiếu sót,
mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh và
đạt hiệu quả cao hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 7 tháng 3 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Thúy

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 8, Toán 9.
2. Sách bài tập Toán 8, Toán 9.
3. Sách giáo viên Toán 8, Toán 9.
4. Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8, 9.
5. Toán kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 8, 9.
5. Luyện giải bài tập Toán 8.

6. Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9.
7. Toán nâng cao Đại số 8, 9.

19