Một số phương pháp giải bài toán chia hết trong n nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh lớp 6

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG N NHẰM
PHÁT TRIỂN TƯ DUY LOGIC CHO HỌC SINH LỚP 6
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.

Với mục tiêu giáo dục của nước ta là xây dựng nội dung chương trình và
phương pháp giáo dục toàn diện cho thế hệ trẻ , đáp ứng yêu cầu phát triển nhân
lực phục vụ cho quá trình công nghiệp hóa , hiện đại hóa đất nước , phù hợp với
thực tiễn và truyền thống Việt Nam , tiếp cận trình độ giáo dục ở các nước phát
triển trong khu vực và trên thế giới.
Để thực hiện tốt mục tiêu giáo dục , người giáo viên cần có sự hiểu biết, nắm
chắc những thay đổi về nội dung và phương pháp cũng như những yêu cầu trong
cuộc sống. Đổi mới phương pháp đó chính là lấy học trò làm trung tâm phát huy
tính tích cực học tập của học sinh . Học sinh tự tìm tòi kiến thức, vận dụng
những kiến thức đó học vào quá trình giải bài tập, ứng dụng vào cuộc sống.
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một
cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say
mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học
sinh. Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải
đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học
sinh có thể phát huy tư duy Toán học.
Bản thân tôi trong quá trình nghiên cứu chương trình toán THCS tôi nhận
thấy phần:"Tính chất chia hết " là một nội dung phong phú và đa dạng.
Trong nhiều năm công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, tôi
nhận thấy đa số học sinh thực sự chưa có phương pháp giải bài tập. Khi gặp các
bài tập dạng này, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải như thế
nào? Với mong muốn giúp các em làm quen và nắm được cách giải toán dạng
này, tôi biên soạn thành một chuyên đề để các em tham khảo và có một kĩ năng
nhất định khi giải toán dạng này. Khi được giáo viên ra bài tập đọc đề lên là
bước vào tính toán luôn không cần phân tích đề xem bài tập đó thuộc dạng nào?

Phương pháp giải như thế nào? Dẫn đến việc học sinh khó suy luận được, ngay
cả học sinh giỏi vẫn mắc sai lầm.
Sự lúng túng này thể hiện rõ khi các em tham gia giải các bài toán nâng cao
về dạng toán chia hết . Dạng bài tập này hầu như không thiếu trong thi học kỳ ở
các lớp cũng như nhiều kỳ thi khác. Từ những sai lầm và rất lúng túng của học

1


sinh, tôi đó kiểm tra , phân tích thực trạng tìm ra nguyên nhân chính là do các
em chưa hiểu được các dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết của số tự nhiên và
chưa nắm được phương pháp giải các bài toán ở dạng này.
Với những lý do trên từ đ ó tìm tòi nghiên cứu, tham khảo tư liệu và áp
dụng đề tài: ”Một số phương pháp giải bài toán chia hết trong N nhằm phát
triển tư duy logic cho học sinh lớp 6” để dạy cho mọi đối tượng học sinh trong
việc giảng dạy học tập hằng ngày. Nhằm giúp cho các em học khối 6 khắc phục
những sai lầm, biết giải các bài tập loại này một cách tự tin và hiệu quả làm
tiền đề để giải các bài tập dạng này ở các lớp trên.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

Đề tài này nhằm giúp cho các em nắm chắc được định nghĩa, các tính chất, các
dấu hiệu chia hết của số tự nhiên và phương pháp giải dạng toán chia hết và kỹ
năng giải bài tập nói chung.
- Phát huy tính tích cực chủ động và tạo hứng thú cho học sinh trong học tập,
đặc biệt là trong giải bài tập toán.
- Là tài liệu rất cần thiết cho việc ôn luyện học sinh bộ môn toán nói chung
cũng như học sinh giỏi bộ môn toán , và giúp cho giáo viên hệ thống được kiến
thức, phương pháp giải bài tập toán dạng toán chia hết.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.

- Đội tuyển toán khối 6 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi, với tổng số 20 học
sinh.
- Các bài toán liên quan đến tính chia hết trong chương trình Toán THCS.
- Đề tài này nghiên cứu và áp dụng cho đối tượng học sinh đại trà và bồi
dưỡng học sinh khá giỏi cũng như phục vụ cho việc giảng dạy học tập hằng
ngày.
Về mặt kiến thức kỹ năng đề tài chỉ nghiên cứu một số phương pháp giải toán
có liên quan đến định nghĩa, các tính chất, các dấu hiệu chia hết và phương pháp
giải dạng bài tập chia hết đối với số tự nhiên.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

- Đọc sách, tham khảo tài liệu.
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp.
- Cùng trải nghiệm thực tế - nhiều năm dạy toán khối lớp 6.
- Thông qua học tập BDTX các chu kì.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, trao đổi cùng đồng nghiệp đã
rút ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.

2


2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm.
Trong hoạt động dạy và học theo phương pháp đổi mới người giáo viên phải
giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học tập chủ động
tích cực muốn vậy người giáo viên cần truyền thụ cho học sinh những tri thức
những kĩ năng , phương pháp để học sinh biết cách học , biết cách suy luận, biết
cách tìm tòi để phát hiện ra kiến thức mới.
Để phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong giải toán,
nhất là giải các bài toán chia hết học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản,

phương pháp giải , giáo viên cần hiểu rõ bản chất vấn đề , tổng hợp kiến thức
cung cấp , hệ thống cho học sinh các cách giải.Thông qua các bài toán về tìm x
trong dấu giá trị tuyệt đối mà phát triển tư duy lô gíc, phát triển kỹ năng, củng
cố và phát triển kiến thức toán của học sinh .
- Các kiến thức thường sử dụng là:
2.1.1. Các dấu hiệu chia hết:
+. Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
+. Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9):
Một số chia hết cho 3( hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia
hết cho 3( hoặc 9).
Chú ý: Một số chia hết cho 3( hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của
nó chia cho 3( hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
+. Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5 ⇔ chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
+. Dấu hiệu chia hết cho 4( hoặc 25):
Một số chia hết cho 4(hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó
chia hết cho 4(hoặc 25).
+. Dấu hiệu chia hết cho 8( hoặc 125):
Một số chia hết cho 8( hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó
chia hết cho 8( hoặc 125).
+. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và
tổng các chữ số hàng chẵn( từ trái sang phải) chia hết cho 11.
2.1.2. Tính chất của quan hệ chia hết:
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0.
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
3

+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà ( b,c) = 1 thì a chia hết cho (b.c).
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
+Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a ± b) chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a ± b) không chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n).
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b
chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì a n chia hết cho m với n là số tự nhiên.
+ Nếu a chia hết cho b thì a n chia hết cho b n với n là số tự nhiên.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Thực trạng học sinh ở vùng thành phố, nhưng hầu hết gia đình các em trong
lớp
kinh tế còn khó khăn, bố mẹ phần lớn kinh doanh buôn bán . Do vậy việc mua
tài liệu tham khảo cho các em còn hạn chế rất nhiều, thời gian quan tâm đến con
cái còn ít. Là học sinh lớp 6 các em vừa mới từ tiểu học lên còn lạ với phương
pháp dạy học ở trung học cơ sở cho nên các em còn nhiều lúng túng từ cách ghi
bài đến cách trình bài bài giải.
Qua giảng dạy và qua các bài kiểm tra đầu năm tôi thấy kết quả bài làm của
học sinh rất thấp . Lý do học sinh không có điểm cao là do học sinh không nắm
được cách giải hoặc nắm chưa sâu cho nên học sinh còn mắc nhiều sai lầm dẫn
đến bài giải sai. Các em chưa biết cách suy luận, chưa biết cách trình bày lời giải
một bài toỏn, đôi khi các em tìm ra được kết quả nhưng không biết cách trình
bày bài giải. Một số em chưa nắm vững được định nghĩa về phép chia hết,các
tính chất của phép chia hết hoặc vận dụng chưa thành thạo.
Qua kiểm tra khảo sát đầu năm của lớp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi kết quả
như sau:
Giỏi

Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Tổng số
20
0
0
8
40
12
60
0
0
Trong số các bài kiểm tra của học sinh tôi thấy số các bài trình bày được lời
giải hoàn chỉnh ( nhóm 1) rất ít, mà trong phần trình bày bài giải của các em vẫn
còn chưa lô gíc.

4


Nhóm 2 đa số các em viết kết quả đúng hoặc gần đúng nhưng chưa biết
cách trình bày hoặc trình bày theo cách suy diễn của các em mà không có lô gíc.

Ví dụ: Thay x bởi chữ số thích hợp để số 43x5 chia hết cho 3.
Lời giải của học sinh: x = 0 ; 3 ; 6 ; 9 vậy số 4305 ; 4335 ; 4365 ; 4395 đều chia
hết cho 3.
Lời giải đầy đủ: Theo dấu hiệu chia hết cho 3, để 43x5 3 thì: 4 + 3 + x + 5  3
⇒ 12 + x  3 ⇒ x  3 ( vì 12  3) ⇒ x ∈ { 0;3;6;9}
Nhóm 3 các em viết kết quả đúng hoặc chưa đầy đủ, các em chưa biết cách
trình bày hoặc suy luận thiếu căn cứ.
Ví dụ: Cho S = 5 + 120 + x , x ∈ N . Tìm điều kiện của x để S chia hết cho 5.
Lời giải của học sinh: x = 5 ; 0 và: 5 + 120 +5 = 130  5, 5 + 120 + 0 = 125  5.
Lời giải đầy đủ: Do 5  5 ; 120  5, nên để 5 + 120 + x  5 thì x  5 .
Vậy với x = 5k ( k ∈ N) thì S  5.
Cho dù trước khi làm bài kiểm tra các em cũng đó được học lý thuyết và
phương pháp làm bài nhưng chưa được luyện tập nhiều nên kết quả còn thấp.
Sau khi trả bài cho các em tôi nhận xét rồi hướng dẫn lại cách làm, sau đó cho
các em lên bảng trình bày lời giải thì các em trình bày lại được.
Vì vậy tôi thấy rằng giáo viên cần rèn luyện cho học sinh phương pháp giải
cũng như rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán nói chung cũng như dạng toán
chia hết nói riêng nhằm giúp các em hiểu và làm được thành thạo bài tập toán.
Để các em cảm thấy môn toán không khó như các em vẫn cảm nhận, từ đó nâng
cao chất lượng dạy học toán.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Trước hết giáo viên cho học sinh ôn tập và nắm vững định nghĩa, các tính
chất của phép chia hết .Sau đó cho học sinh làm quen dần với các dạng toán với
các phương pháp của các dạng toán ấy rồi cho học sinh luyện giải các dạng toán
chia hết qua các ví dụ. Sau mỗi dạng bài giáo viên: nêu phương pháp giải → lấy
ví dụ → cho học sinh tự luyện các bài tương tự.
2.3.1.Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
Để chứng minh a chia hết cho b( b ≠ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tích
các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b( hoặc chia hết cho b).
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (3n)100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n.

Giải:
Ta có (3n)100 = 31000. n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000.
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3996.n1000 chia hết cho 81.
⇒ (3n)1000 chia hết cho 81.
5


2.3.2.Phương pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.
* Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
- Để chứng minh a chia hết cho b(b ≠ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một
tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b.
- Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các
số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng
còn lại đều chia hết cho b.
Ví dụ 2: Khi chia một số cho 255 ta được số dư là 170. Hỏi số đó có chia hết
cho 85 không? Vì sao?
Giải:
Gọi số đó là a (a là số tự nhiên).
Vì a chia cho 255 có số dư là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên).
Ta có:
255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85.
170 chia hết cho 85.
⇒ (255.k + 170) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết của một tổng).
Do vậy a chia hết cho 85.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Giải:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho 3
(Tính chất chia hết của một tổng).

Từ bài tập, này giáo viên có thể đưa học sinh vào tình huống : Có phải
tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?
Qua đó gợi trí tò mò, đưa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải
quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần
làm bài tập sau:
Ví dụ 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
Giải:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6).
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên
(4a + 6) không chia hết cho 4.
⇒ Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
6


* Dùng tính chất chia hết của một tích:
Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) tôi hướng dẫn học sinh chứng
minh bằng một trong các cách sau:
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho m,
a chia hết cho n.
+ Biểu diễn a = a1.a2 , b = b1.b2 , rồi chứng minh a1 chia hết cho b1 ; a2 chia
hết cho b2 .
Ví dụ 5: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên.
Giải:
Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a.
Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b.
Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9.
Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b.

Mà (9, 5) = 1.
⇒ (495a + 1035b) chia hết cho 45.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải:
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2.
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2)
⇒ 4n.(n + 1) chia hết cho 8.
⇒ 2n.(2n + 2) chia hết cho 8.
Ví dụ 7: Cho A = 2 + 22 + 23 + ... + 259 + 260 .Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Giải:
Viết A dưới dạng A = 2(1 + 2) + 23( 1 + 2) + ... + 259( 1 + 2)
A = 2.3 + 23.3 + ... + 259.3
A = 3.( 2 + 23 + 25 + ... + 259) chia hết cho 3.
Như vậy trong bài toán này giáo viên chỉ cho học sinh thấy được tổng A có
60 số hạng, nếu nhóm mỗi nhóm 2 số hạng rồi đặt thừa số chung thì ta được mỗi
số hạng đều chứa thừa số 3 nên tổng A chia hết cho 3.
Qua bài toán này giáo viên gợi ý cho học sinh nếu nhóm 3 số hoặc 4 số ... thì
mỗi nhóm như thế sẽ chứa thừa số nào, suy ra tổng A có thể chia hết cho số nào?
Từ đó giáo viên có thể cho học sinh nêu các đề toán tương tự và trình bày bài
giải. Sau đó giáo viên cho hs nêu bài toán tổng quát với luỹ thừa của 2 và mở
rộng cho luỹ thừa với các cơ số khác.
7


Với cách hướng dẫn như trên học sinh không những biết cách làm mà các em
còn nắm vững và hiểu sâu sắc về bài toán ở dạng này.
* Dùng dấu hiệụ chia hết
Để sử dụng phương pháp này giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào dấu hiệu

chia hết và các tính chất chia hết đặc biệt là tính chất chia hết của một tổng.
Thông thường các dạng toán ở đây là tìm các chữ số để một số nào đó chia hết
cho một số khác mà các số này phân tích được thành tích của các số có dấu hiệu
và các thừa số đó đôi một nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 8 : Tìm tất cả các số x, y để có số 34 x5 y chia hết cho 36.
Giải:
Vì (4, 9) = 1 nên 34 x5 y chia hết cho 36
⇔ 34 x5 y chia hết cho 9 và 34 x5 y chia hết cho 4.

Ta có: 34 x5 y chia hết cho 4 ⇔ 5y chia hết cho 4 ⇔ y ∈ { 2 ; 6} .
34 x5 y chia hết cho 9 ⇔ (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9.
⇔ (9 + 13 + x + y) chia hết cho 9. ⇔ (3 + x + y) chia hết cho 9

Vì x, y ∈ N và 0 ≤ x; y ≤ 9 Nên x + y thuộc { 6 ; 15}
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 - Loại ).
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9.
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956.
2.3.3.Phương pháp 3: Dùng định lý về chia có dư.
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng:
a. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
b. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Giải:
a. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2.
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2).
Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2.
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 ⇒ n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
- Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).
⇒ n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3.
⇒ n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3.

- Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên).
⇒ n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3.
⇒ n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
8


Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b. Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n là
số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng
quát.
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết
cho n.
2.3.4. Phương pháp 4: Sử dụng chữ số tận cùng
Khi gặp những bài toán chứng minh chia hết cho 2 ; 5 ; 10 hoặc các luỹ thừa
của 10 mà không thể đưa được về các phương pháp trên ta sử dụng tính chữ số
tận cùng. Với chú ý : Những số có chữ số tận cùng là : 0; 1 ; 5 ; 6 dù luỹ thừa
bậc bao nhiêu thì cũng có tận cùng là chính nó.
Ví dụ 10: Chứng minh rằng: a/ 94260 – 35137 chia hết cho 5
b/ 995 – 984 + 973 – 962 chia hết cho 2 và 5.
Giải:
a/ Ta có: 94260 = (9424)15 .
Mà 9424 có tận cùng là 6 ⇒ (9424)15 có chữ số tận cùng là 6.
Và 35137 có chữ số tận cùng là 1
⇒ 94260 – 35137 có chữ số tận cùng là 6 – 1 = 5.
Nên 94260 – 35137 chia hết cho 5
b/ Ta có 995 = (992)2.99
Mà 992 có chữ số tận cùng là 1 ⇒ (992)2 có chữ số tận cùng là 1
⇒ (992)2.99 có chữ số tận cùng là 9.
+ 984 có chữ số tận cùng là 6

+ 973 có chữ số tận cùng là 3
+ 962 có chữ số tận cùng là 6
⇒ 995 – 984 + 973 – 962 có chữ số tận cùng là 9 – 6 + 3 – 6 = 0.
Nên 995 – 984 + 973 – 962 chia hết cho 2 và 5.
Ở dạng này khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi có thể mở rộng thêm cho học
sinh sử dụng 2 chữ số tận cùng để chứng minh chia hết cho các luỹ thừa của 10
hoặc 25; hoặc 125. Với chú ý : Những số có chữ số tận cùng là : 25; 625 dù luỹ
thừa bậc bao nhiêu thì cũng có tận cùng là chính nó.
2.3.5. Phương pháp 5: Sử dụng đồng dư thức
Trước hết để học sinh sử dụng được phương pháp này khi giảng dạy tôi phải
củng cố kiến thức phần này cho học sinh. Học sinh phải nắm được định nghĩa
đồng dư, các tính chất của đồng dư thức để áp dụng vào giải bài tập.
9


Ví dụ 11 : Chứng minh rằng:
a/ 301293 – 1 chia hết cho 13.
b/ 2090n – 803n - 464n + 261n chia hết cho 271 với n là số tự nhiên khác 0.
Giải:
a/ Ta có : 3012 ≡ 9 ( mod 13), nên 30123 ≡ 93 ≡ 1 ( mod 13)
Do đó 301293 ≡ 30213.21 ≡ 93.21 ≡ 1 ( mod 13)
Vậy 301293 – 1 ≡ 1 – 1 = 0 ( mod 13), hay 301293 – 1 chia hết cho 13.
b/ Ta có : 2090 ≡ 193 ( mod 271), nên 2090n ≡ 193n ( mod 271)
803 ≡ 261 ( mod 271, nên 803n ≡ 261n ( mod 271)
464 ≡ 193 ( mod 271),nên 464n ≡ 193n ( mod 271)
Mà 261n ≡ 261n ( mod 271)
Vậy 2090n – 803n - 464n + 261n ≡ 193n – 261n - 193n + 261n ≡ 0 ( mod 271)
Hay 2090n – 803n - 464n + 261n chia hết cho 271 với n là số tự nhiên khác 0.
Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng minh
chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh

nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép chia hết.
2.3.6. Một số bài toán
Bài 1: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số
trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211.
Giải:
Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là: a0b ; ab0 ; ba0 ; b0a
Tổng của các số đó là:
a 0b + ab0 + ba 0 + b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a
= 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
Giải:
Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2).
Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ 4 chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) là
ước của 4.
⇔ (n +2) ∈ {1 ; 2 ; 4}
⇒ n ∈ { 0 ; 2} .
Vậy với n ∈{0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n +2).
n + 15

Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n + 3 là số tự nhiên .

10


Giải:
n + 15

Để n + 3 là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3).
⇒ [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3).

⇔ 12 chia hết cho (n +3) .
⇔ (n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
⇔ n ∈ {0; 1; 3; 9}.
n + 15

Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9}thì n + 3 là số tự nhiên.
Bài 4: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết cho
5; 7; 9.
Giải:
Giả sử ba số viết thêm là abc .
Ta có: 579abc 5 ; 7 ; 9 ⇒ 579abc chia hết cho 5.7.9 = 315.
Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hết cho 315.
Mà 315.1838 chia hết cho 315 ⇒ (30 + abc ) chia hết cho 315 ⇒30 + abc ∈ BC (315).
Do 100 ≤ abc ≤ 999 ⇒ 130 ≤ 30 + abc ≤ 1029
⇒ 30 + abc ∈ {315; 630; 945}.
⇒ abc ∈ { 285 ; 600 ; 915} .

Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915.
2.3.7. Các bài tập tự luyện
Bài tập 1: Điền chữ số vào dấu * để được số :
a. 3*46 ; 199* ; 20*1 chia hết cho 2.
b. 16*5 ; 174* ; 53*6 chia hết cho 5.
c. 5*1 ; 745* chia hết cho nhưng không chia hết cho 9.
Bài tập 2: Dùng ba trong bốn chữ số : 3 ; 6 ; 9 ; 0 hãy ghép thành các số tự nhiên
có ba chữ số sao cho số đó:
a. Lớn nhất và chia hết cho 5.
b. Nhỏ nhất và chia hết cho 2.
c. Chia hết cho 9.
d. Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 .
Bài tập 3: Tìm các chữ số x, y biết rằng :

a. Số 56x3y chia hết cho 2 và 9 .
b. Số 123x43y chia hết cho 3 và 5 .
c. Số 71x1y chia hết cho 45.
11


d. Số 6x14y chia hết cho 3, cho 4 và cho 5 .
Bài tập 4: Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho
5.
Bài tập 5: Chứng tỏ rằng:
a. 810 – 89 – 88  55
b. 76 + 75 – 74  11
c. 817 –279 – 913  45
d. 109 + 108 + 107  555
Bài tập 6: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức:
a. A = 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia hết cho 3; 7 và 15.
b. B = 5 + 52 + 53 + ... + 58 chia hết cho 30.
c. C = 3 + 33 + 35 + ... + 339 chia hết cho 273.
d. D = 3 + 33 + 35 + ... + 31991 chia hết cho 13 và 41.
Bài tập 7: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng :
a. ( n + 10)( n + 15) chia hết cho 2.
b. n( n + 1)( n + 2) chia hết cho 2 và 3.
c. n( n + 1)( 2n + 1) chia hết cho 2 và 3.
Bài tập 8: Chứng minh rằng :
a. 1028 + 8 chia hết cho 72.
b. 88 + 8 20 chia hết cho 17.
c. 6100 – 1 chia hết cho 5.
d. 2120 + 1110 chia hết cho 2 và 5.
Bài tập 9: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a. n + 4 chia hết cho n + 1.

b. n2 + 4 chia hết cho n + 2.
c. 13n chia hết cho n - 1 .
d. n + 5 chia hết cho n - 2.
e. 2n + 1 chia hết cho n - 5 .
f. n2 + 3n – 13 chia hết cho n + 3.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau nhiều năm dạy Toán 6, bản
thân thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp nhận
kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân
biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó hầu hết
giải được các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là
không có quy tắc giải tổng quát. Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh,
sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật
phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này.
Từ chỗ rất lúng túng khi gặp các bài toán chia hết, thì nay phần lớn các em
đó đã biết vận dụng những kỹ năng được bồi dưỡng để giải thành thạo nhiều bài
toán phức tạp. Điều đáng mừng là có nhiều em đó biết trình bày lời giải một bài

12


toán với lập luận chặt chẽ, có nhiều sáng tạo trong giải toán, có nhiều cách giải
nhanh và thông minh.
Qua đề tài này, kiến thức kỹ năng của học sinh được củng cố một cách vững
chắc, sâu sắc, kết quả học tập của học sinh luôn được nâng cao.
Trong quá trình hướng dẫn học sinh về các dạng bài tập bản thân giáo viên
cũng được nâng cao dần kiến thức cũng như phương pháp truyền thụ góp phần
nâng cao chất lượng giảng dạy và hiệu quả đào tạo của thầy và trò.
Kết quả qua một số lần kiểm tra như sau:

Lần 1: Trước khi chưa áp dụng nội dung và phương pháp trên
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Tổng số
20
0
0
8
40
12
60
0
0
Lần 2 : Sau khi sử dụng nội dung và phương pháp trên
Giỏi
Khá
Trung bình
SL
%
SL

%
SL
%
Tổng số
20
4
20
10
50
6
30

Yếu
SL
0

%
0

Lần 3: Khi các em đó hình thành kỹ năng vận dụng và làm thành thạo các dạng
bài tập này thì kết quả đạt được như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL

%
SL
%
Tổng số
20
10
50
10
50
0
0
0
0
Đây là kết qủa kiểm tra thực tế lớp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi của trường
do bản thân tôi trực tiếp bồi dưỡng khi thực hiện đề tài này. Ngoài ra các em còn
biết vận dụng các kiến thức đó được tiếp thu để giải những bài tập khó hơn và
phức tạp hơn nhiều.
3. KẾT LUẬN , KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.

Phần " Phép chia hết trong Ν " ở lớp 6 là một nội dung quan trọng bởi
kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến
thức về sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng ta
cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết
đặc biệt là tính chất của quan hệ chia hết bởi vì tính chất này rất hay sử dụng.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ thống
bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Cần rèn luyện nhiều về cách lập
luận và trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp.
13

Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên
nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự,
học sinh có thể tự liên hệ được.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần
phép chia hết trong N. Trong quá trình giảng dạy chắc chắn chưa thể hoàn hảo được.
Rất mong nhận được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học
tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nước nhà.
3.2. Kiến nghị.

Nhà trường tạo điều kiện về tài liệu tham khảo để cho giáo viên và học sinh
có điều kiện bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ./.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 9 tháng 3 năm 2016
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết:

Nguyễn Thị Thúy

MỤC LỤC
14


NỘI DUNG
1.MỞ ĐẦU
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

TRANG
1
2
3
4
5
12
13

II. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Được chia làm hai giai đoạn:
1. Giai đoạn 1
15


Bắt đầu từ tháng 08 năm 2014 đến tháng 06 năm 2015.
2. Giai đoạn 2
Từ tháng 7 năm 2015 đến tháng 9 năm 2015 viết, hoàn thành và đánh giá
sáng kiến kinh nghiệm.
III VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6 của tác giả Vũ Dương Thụy và
Nguyễn Ngọc Đạm
2. Toán nâng cao và phát triển toán 6 của tác giả Vũ Hữu Bình

3. Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 6 của tác giả Bùi Văn Tuyên
4. các bài toán hay và khó lớp 6

16