chủ đề bài toán chia hết môn toán lớp 6 một số phương pháp giải bài toán chia hết

Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Ngày soạn : 03/12/10
Ngày dạy : 08/12/10
Chủ đề 6
Bài toán chia hết
Buổi 1
một số phơng pháp giải bài toán chia hết
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc ôn tập và hệ thống hóa một số phơng pháp cơ bản để
giải bài toán chia hết
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán chia hết
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1:
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b

0. Khi nào ta nói a chia
hết cho b ?
- HS2: Nêu các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 ?
III. Bài mới

I Lí thuyết chung
1. Định nghĩa:
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b

0. Nếu có số tự nhiên k sao cho
a = b.k thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = k.
2. Kí hiệu:
Nếu a chia hết cho b đợc kí hiệu là :
a bM
và nếu a không chia hết cho
b đợc kí hiệu là
a bM
3. Các dấu hiệu chia hết:
a) Dấu hiệu chia hết cho 2:
Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ
những số đó mới chia hết cho 2
Ch ú ý : Nếu a chẵn thì a = 2k ; còn a lẻ thì a = 2k + 1 (k
)Z
b) Dấu hiệu chia hết cho 5
Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những
Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Số học
Trờng THCS Hồng Hng
số đó mới chia hết cho 5
c) Dấu hiệu chia hết cho 9
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 9
d) Dấu hiệu chia hết cho 3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 3
Ch ú ý : Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó

chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại.
e) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25):
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số
đó hợp thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).
f) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125):
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của
số đó hợp thành số chia hết cho 8 (hoặc 125).
g) Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ
và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
4. Tính chất của quan hệ chia hết:
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0.
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho
(b.c).
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c thì a chia hết cho BCNN(a ; b)
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b, c) = 1 thì a chia hết cho c.
+ Nếu a và b đều chia hết cho m thì a.b cũng chia hết cho m
, .a m b m a b m

M M M
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
. ( )

M Ma m k a m k N
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a

b) chia hết cho m.

, ; ( )a m b m a b m a b m a b
+
M M M M
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a

b) không chia hết cho m.
( )
, ;a m b m a b m a b m a b
+
M M M M
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n).
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc
b chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì
n
a
chia hết cho m với n là số tự nhiên.
+ Nếu a
n
chia hết cho m trong đó m là số nguyên tố thì a chia hết cho m
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
+ Nếu a chia hết cho b thì
n
a
chia hết cho
n
b

với n là số tự nhiên.
( )

M M
n n
a b a b n N
*) Nõng cao:
1 2
, . .a m b m k a k b m
+
M M M
, ,
+ +
M M M Ma m b m a b c m c m
, ,
+ +
M M M Ma m b m a b c m c m
( )
a m,a n,a p và m,n,p 1 a (mnp)
=
M M M M
( )
1;,
=

=
d
b
d
a
dba
5. Một số kết quả cần ghi nhớ
- Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
- Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
- Tổng của k số nguyên liên tiếp chia hết cho k khi và chỉ khi k lẻ
- Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
II các phơng pháp và bài tập vận dụng
Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
Để chứng minh a chia hết cho b (b

0) ta biểu diễn số a dới dạng một
tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b).
V í d ụ 1: Chứng minh rằng (3n)
1000
chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n.
Gi ả i: Ta có (3n)
1000
= 3
1000
. n
1000
= 3
4
.3
996

.n
1000
= 81.3
996
.n
1000
.
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3
996
.n
1000
chia hết cho 81.

(3n)
1000
chia hết cho 81.
V ớ d 2: Chng minh rng : 16
5
+ 2
15
chia ht cho 33
Gi i :
Ta cú : 16
5
+ 2
15
= (2
4
)
5

+ 2
15
= 2
20
+ 2
15
= 2
15
(2
5
+ 1) = 2
15
. 33
Vỡ 33 chia ht cho 33 2
15
. 33 chia ht cho 33
Vy 16
5
+ 2
15
chia ht cho 33.
Phơng pháp 2: Dựa vào định tính chất của quan hệ chia hết
1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
Để chứng minh a chia hết cho b (b

0) ta biểu diễn số a dới dạng
một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó
đều chia hết cho b.
Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng
của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b

còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b.
Các cách trên còn đúng với một hiệu
V í d ụ 1: Khi chia một số cho 255 ta đợc số d là 170. Hỏi số đó có chia hết
cho 85 không? Vì sao ?
Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Số học
Trờng THCS Hồng Hng
Gi ả i: Gọi số đó là a (a là số tự nhiên).
Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên).
Ta có: 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85.
170 chia hết cho 85.


(255.k + 170) chia hết cho 85 (tính chất chia hết của một tổng).
Do vậy a chia hết cho 85.
V í d ụ 2 : Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho
3.
Gi ả i: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 +
2)
= (3a + 3) chia hết cho 3 (tính chất chia hết của một tổng).
V í d ụ 3: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
Gi ả i: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6).
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4
nên (4a + 6) không chia hết cho 4.

Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Kết luận: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia hết cho n.
2. Dùng tính chất chia hết của một tích:

Để chứng minh a chia hết cho b (b

0) ta có thể chứng minh bằng
một trong các cách sau:
Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho
m, a chia hết cho n.
Biểu diễn a = a
1
.a
2
; b = b
1
.b
2
=> Rồi chứng minh a
1
chia hết cho
b
1
; a
2
chia hết cho b
2
.
V í d ụ 1: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Gi ả i:
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2.
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2)

4n.(n + 1) chia hết cho 8.

2n.(2n + 2) chia hết cho 8.
Phơng pháp 3: Dùng định lí về chia có d
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p.
V í d ụ 8: Chứng minh rằng:
a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Gi ả i:
a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2.
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2).
Một số tự nhiên n khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0; 1; 2.
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3

n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
- Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).


n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3.


n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3.
- Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên).

n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3.


n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
T ó m l ạ i: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b) Chứng minh tơng tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n
là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng
tổng quát
=> Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn
chia hết cho n.
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các phơng pháp và các bài tập đã chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
B à i 1: Tìm tất cả các số x, y để có số
yx534
chia hết cho 36.
Gi ả i: Vì (4, 9) = 1 nên
yx534
chia hết cho 36

yx534
chia hết cho 9 và
yx534
chia
hết cho 4.
Ta có:
yx534
chia hết cho 4

5y chia hết cho 4

y
{ }
6;2
.

yx534
chia hết cho 9

(3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9.


(3 + 9 + x + y) chia hết cho 9 (3 + x + y) chia hết cho 9
Vì x, y N và 0 x; y 9 nên x + y


{ }
15;6
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 (loại, vì lớn hơn 9 ).
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9.
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956.
B à i 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số
trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211.
Gi ả i:
Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là:
abbaabba 0;0;0;0
.
Tổng của các số đó là:

abbaabba 0000 +++
= 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a
= 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211.
D/Bổ sung
Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Số học
Trờng THCS Hồng Hng

*******************************
Ngày soạn : 06/12/10
Ngày dạy : 10/12/10
Chủ đề 6
Bài toán chia hết
Buổi 2
bài toán chia hết ớc và bội
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc ôn tập và hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về ớc và bội
của một số tự nhiên.
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán chia hết
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc

- HS2: Giải bài tập 2 đã cho ở buổi học trớc
III. Bài mới
I Lí thuyết chung
1) nh ngha:
a b

M
a l bi ca b

b l c ca a
2) Cỏch tỡm c v bi :
+) Mun tỡm bi ca mt s ta nhõn s ú ln lt vi 0; 1; 2; 3; Bi ca b
cú dng tng quỏt l b.k vi k

N
+) Mun tỡm c ca mt s a ta ln lt chia s a cho 1; 2; 3; . ; a xột
xem a chia ht cho nhng s no, khi ú cỏc s y l c ca a
3) Cỏch vit:
+ Tp hp cỏc c ca a l: (a)=
{ }
*
|

Mx N a x
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
+ Tp hp cỏc bi ca b l: B(b)=
{ }

|

Mx N x b
Hoc B(b) =
{ }
. b n n N
hoc B (b)=
{ }
0; ;2 ;3 ; b b b
4) Nõng cao:
Xỏc nh s lng cỏc c ca mt s m ( m > 1) ta phõn tớch s m ra tha s
nguyờn t
Nu m =
. .
x y z
a b c
thớ m cú ( x+1).(y+1).(z+1) c
II Luyện tập chung
B à i 1 : Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
Gi ả i:
Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2).
Do đó (5n + 14) chia hết cho (n + 2)

4 chia hết cho (n + 2)


(n + 2) là ớc của 4

(n + 2)

{ }
4;2;1


n
{ }
2;0
.
Vậy với n {0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
B à i 2: Tìm số tự nhiên n để
3
15
+
+
n
n
là số tự nhiên .
Gi ả i: Để
3
15
+
+
n
n
là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3).


[(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3).

12 chia hết cho (n + 3) .


(n + 3)

Ư(12)

(n + 3)

{1; 2; 3; 4; 6; 12}.


n {0; 1; 3; 9}.
Vậy với n {0; 1; 3; 9} thì
3
15
+
+
n
n
là số tự nhiên.
B à i 3: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết
cho 5; 7; 9.
Gi ả i:
Giả sử ba số viết thêm là
abc
.
Ta có:
abcabc 5799;7;5579 M
chia hết cho 5.7.9 = 315 vì (5, 7, 9) = 1

Mặt khác:
abc579
= 579000 +
abc
= (315.1838 + 30 +
abc
) chia hết cho 315.
Mà 315.1838 chia hết cho 315

(30 +
abc
) chia hết cho 315 30 +
abc
B(315).
Do 100
abc
999 130 30 +
abc
1029
30 +
abc
{315; 630; 945}.


{ }
915;600;285abc
.
Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915.
Bi 4:Tỡm s t nhiờn n, : a) n + 4
M

n + 1 ; b) n
2
+ n
M
n
2
+ 1
Hng dn gii:
a) n + 4
M
n + 1

( n + 1) + 3
M
(n + 1)

3
M
(n + 1)
Vỡ n

N , nờn n + 1

1,do ú:
Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Số học
Trờng THCS Hồng Hng
+ Nu n + 1 = 1 thỡ n = 0
+ Nu n + 1 = 3 thỡ n = 2
Vy
{ }

n 0;2
b) n
2
+ n
M
n
2
+ 1

n
2
+ 1 + n - 1
M
n
2
+1

n - 1
M
n
2
+ 1

(n - 1)(n + 1)
M
n
2
+1

n

2
- 1
M
n
2
+ 1

n
2
+ 1 - 2
M
n
2
+ 1

2
M
n
2
+1
Vỡ n
2
+ 1

1, do ú:
+ Nu n
2
+ 1 = 1 thỡ n
2
= 0

n = 0
+ Nu n
2
+ 1 = 2 thỡ n
2
= 1

n = 1
Vy
{ }
n 0;1
Bi 5:Chng t rng:
a) (5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ + 5
29
+ 5
30
)
M
6
b) (5 + 5
2
+ 5
3

+ 5
4
+ + 5
8
)
M
30
c) ( 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
403
+ 5
404
)
M
31
d) (a + a
2
+ a
3
+ a
4
+ + a
29
+ a
30
)
M

(a + 1) (vi a

N)
e) (3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ + 3
2n-1
+ 3
2n
)
M
4
Hng dn:
a) 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ + 5
29
+ 5
30
= (5 + 5
2
) + (5

3
+ 5
4
) + + (5
29
+ 5
30
) = [5(1+5)+5
3
(1+5)++5
29
(1+5)]
M
6
b) 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ + 5
8
= (5 + 5
2
)+5
2
(5+5
2
)+5
4

(5+5
2
)+5
6
(5+5
2
) = 30 + 5
2
.30 + 5
4
.30 + 5
6
.30
=30(1 + 5
2
+ 5
4
+ 5
6
)
M
30
c) 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
403
+ 5
404

= (1+5+5
2
)+(5
3
+5
4
+5
5
) + + (5
402
+ 5
403
+ 5
404
)
= 31 + 5
3
(1+5+5
2
) + + 5
402
(1 + 5 + 5
2
)
= 31 + 5
3
.31 + . + 5
402
.31 = 31(1 + 5

3
+ + 5
402
)
M
31
d) a + a
2
+ a
3
+ a
4
+ + a
29
+ a
30
= [a(a+1) + a
3
(1+a) + + a
29
(1+ a) ]
M
(a +1)
e) 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ + 3

2n-1
+ 3
2n
= 3(1+3) + 3
3
(1+3) + + 3
2n-1
(1 + 3)
M
4
Bi 6: Chng minh rng nu s
abcd
99M
thỡ
99ab cd+ M
v ngc li
Hng dn:
100 99 99 ( )abcd ab cd ab ab cd ab ab cd= + = + + = + +
Suy ra: + Nu
abcd
99M
thỡ
99ab cd+ M
+ Ngc li, nu
99ab cd+ M
thỡ
abcd
99M
Bi 7: Cho biu thc A = 1494.1495.1496
Khụng thc hin phộp tớnh, hóy gii thớch vỡ sao ?

a) A
M
180 ; b) A
M
495
Hng dn:
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
a) Cú 1494
M
9 ;1495
M
5 ; 1496
M
4 => A
M
9.5.4 hay A
M
180
b) Cú 1494
M
9 ;1495
M
5 ; 1496
M
11 => A
M
9.5.11 hay A

M
495
Bi 8: Tỡm n

N sao cho (27 - 5n)
M
n
Hng dn:
Vỡ 5n < 27 =>n < 6 (1)
Cú 5n
M
n nờn (27 - 5n)
M
n khi 27
M
n
Ta li cú 27 chia ht cho cỏc s 1, 3, 9, 27 (2)
T (1) v (2) => n
{ }
1;3
IV. Hớng dẫn về nhà
Bi tp v nh:
Cho C = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ + 3
11
. Chng minh rng :
a) C

M
13 b) C
M
40
Hng dn:
a) C =(1+3+3
2
)+(3
3
+3
4
+3
5
)+.+(3
9
+3
10
+3
11
)
= (1+3+3
2
)+3
3
(1+3+3
2
)++3
9
(1+3+3
2

)=13.(1+3
3
++3
9
)
M
13
b) C = (1+3+3
2
+3
3
)+( 3
4
+3
5
+3
6
+3
7
)+(3
8
+3
9
+3
10
+3
11
)
= ( 1+3+3
2

+3
3
) +3
4
(1+3+3
2
+3
3
) +3
8
(1+3+3
2
+3
3
) = 40( 1+3+3
2
+3
3
)
M
40
*******************************
Ngày soạn : 10/12/10
Ngày dạy : 11/12/10
Chủ đề 6
Bài toán chia hết
Buổi 3
Bài toán chia hết - Ưcln, bcnn
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :

Kiến thức
- Học sinh hiểu và giải đợc các bài toán tìm hai số nguyên dơng khi biết
một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN, BCNN
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập
- Tăng cờng khả năng t duy, sáng tạo, logic
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Số học
Trêng THCS Hång Hng
- HS:
C/TiÕn tr×nh bµi d¹y
I. Tỉ chøc
II. KiĨm tra bµi cò
- HS1: Gi¶i bµi tËp ®· cho ë bi häc tríc phÇn a
- HS2: Gi¶i bµi tËp ®· cho ë bi häc tríc phÇn b
III. Bµi míi
I – LÝ thut chung
Trong chương trình số học lớp 6, sau khi học các khái niệm ước chung
lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), chóng ta sẽ gặp dạng
tốn tìm hai số ngun dương khi biết một số yếu tố trong óđ có các dữ
kiện về ƯCLN và BCNN.
Ph ươ ng ph á p chung để gi ả i :
1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với
các yếu tố ãđ cho để tìm hai số.
2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa
ƯCLN, BCNN và tích của hai số ngun dương a, b. óĐ là :
ab = (a, b).[a, b]

Trong óđ (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b.
*) Ch ứ ng minh : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b)
=> a = md ; b = nd với m, n
∈
Z
+
; (m, n) = 1 (*)
Từ (*) => ab = mnd
2
; [a, b] = mnd
Vậy (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd
2
= ab => ab = (a, b).[a, b] (**)
(đpcm)
II – Bµi tËp vËn dơng
Bài tốn 1 : Tìm hai số ngun dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) =
16.
L ờ i gi ả i :
Do vai trò của a, b là như nhau, khơng mất tính tổng qt, giả sử a ≤ b.
Do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n) với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1.
Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80.
Ch ú ý : Ta có thể áp dụng cơng thức (**) để giải bài tốn này : ab = (a,
b).[a, b] => mn.16
2
= 240.16 suy ra mn = 15. Từ óđ tìm được a, b ?
Bài tốn 2 : Tìm hai số ngun dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6.
L ờ i gi ả i : Lập luận như bài 1, do vai trò của a, b là như nhau, khơng

mất tính tổng qt, giả sử a ≤ b.
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
N¨m häc
2010 - 2011
Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216  mn = 6  m = 1, n = 6 hoặc m
= 2, n = 3  a = 6, b = 36 hoặc a = 12, b = 18.
Bài toán 3 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60.
L ờ i gi ả i :
Từ (**) => (a, b) = ab:[a, b] = 180:60 = 3.
Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2.
Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.
Ch ú ý : Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN,
BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd
2
= 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.
Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5.
L ờ i gi ả i :
Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1.
Vì vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5  m = 13 và n = 5
hay a = 65 và b = 25.
Ch ú ý : Phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m,
n) = 1.
Bài toán 5 : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140.
L ờ i gi ả i : Đặt (a, b) = d. Vì a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b =

5d.
Ta có [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.
Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) =
16.
L ờ i gi ả i : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.
Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì vậy : a + b = 128 16(m + n) = 128  m + n = 8
 m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80
Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.
L ờ i gi ả i : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1.
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n.
Do óđ : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d là ước chung của 42 và 72 => d
∈
{1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy
chỉ có trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n =
4 . (thỏa mãn các điều kiện của m, n). Vậy d = 6 => a = 3.6 = 18 , b =
4.6 = 24
Bài toán 8 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140.
L ờ i gi ả i : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1.
Do óđ : a - b = d(m - n) = 7 (1)
[a, b] = mnd = 140 (2)

=> d là ước chung của 7 và 140 => d
∈
{1 ; 7}.
Thay lần lượt các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta được kết
quả duy nhất : d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
Gi¸o ¸n Båi dìng HSG PhÇn Sè häc
Trờng THCS Hồng Hng
Vy a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài tập đ chữa và giải các bài tập sau:ã
1/ Tỡm hai s a, b bit 7a = 11b v (a, b) = 45.
2/ Tỡm hai s bit tng ca chỳng bng 448, CLN ca chỳng bng 16 v
chỳng cú cỏc ch s hng n v ging nhau.
3/ Cho hai s t nhiờn a v b. Tỡm tt c cỏc s t nhiờn c sao cho trong ba
s, tớch ca hai s luụn chia ht cho s cũn li.
D/Bổ sung
*******************************
Ngày soạn : 10/12/10
Ngày dạy : 14/12/10
Chủ đề 6
Bài toán chia hết
Buổi 4
luyên tập chung
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh giải đợc các bài toán liên quan đến tính chia hết, ớc và bội
của một số, ƯCLN, BCNN,
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập

Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc
- HS2: Giải bài tập 2 đã cho ở buổi học trớc
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
N¨m häc
2010 - 2011
III. Bµi míi
Bài 1:Ch ng minh r ng tích các c c a 50 là 50ứ ằ ướ ủ
3
H ng d n:ướ ẫ
50 = 2.5
2
=> 50 có 6 c là:1, 2, 5, 10, 25, 50ướ
Tích các c c a 50 là:1.2.5.10.25.50 = (1.50).(2.25).(5.10) = 50ướ ủ
3
Bài 2: Cho a là m t h p s , khi phân tích ra th a s nguyên t chộ ợ ố ừ ố ố ỉ
ch a hai th a s nguyên t khác nhau là ứ ừ ố ố
1
p
và
2
p

. Bi t aế
3
có t t c 40ấ ả
c, h i aướ ỏ
2
có bao nhiêu c ?ướ
H ng d n: a = ướ ẫ
3 3 3
1 2 1 2
. .
m n m n
p p a p p
⇒ =
S c c a a là: (3m + 1) (3n + 1) = 40ố ướ ủ
=> m =1 ; n = 3 (ho c m = 3 ; n = 1)ặ
S ố
2 2 2
1 2
.
m n
a p p=
có s c là (2m + 1) (2n + 1) = 3.7 = 21 ( c)ố ướ ướ
Bài 3: M t tr ng có 1015 h c sinh, c n ph i x p vào m i hàng baoộ ườ ọ ầ ả ế ỗ
nhiêu h c sinh s h c sinh m i hàng là nh nhau và không quá 40ọ để ố ọ ỗ ư
hàng nh ng c ng không ít h n 10 hàngư ũ ơ
H ng d n:ướ ẫ
G i x là s hàng x p c.Theo bài 1025 ọ ố ế đượ
M
x và 10
40x

≤ ≤
hay x
∈
(1015) và 10 Ư
40x≤ ≤
(1015)=Ư
{ }
1;5;7;29;35;145;203;1015
, mà 10
40x≤ ≤
=> x
{ }
29;35∈
V y:ậ
+ N u x p 29 hàng thì m i hàng có 1025 : 29 = 35 (hs)ế ế ỗ
+ N u x p 35 hàng thì m i hàng có 1015 : 35 = 29 (hs)ế ế ỗ
Bài 4: Tìm s t nhiên x, bi t r ng trong ba s 36; 45 và x thì b t c số ự ế ằ ố ấ ứ ố
nào c ng là c c a tích hai s kiaũ ướ ủ ố
H ng d n:ướ ẫ
Ta có 36x
M
45 => 4x
M
5 => x
5M
vì (4,5) = 1
45x
M
36 => 5x
M

4 => => x
4M
vì (4,5) = 1
Do ó x đ
M
20. t x = 20 a (a = 1;2;3;….)Đặ
Ta có 36.45
M
x hay 36.45
M
(20a)
Do ó 81đ
M
a
a
⇔ ∈
(81)Ư
V y a ậ
{ }
1;3;9;27;81∈
=> x
{ }
20;60;180;540;1620∈
Bài 5: Cho a và b là hai s t nhiên không nguyên t cùng nhau :ố ự ố
a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n
∈
N). Tìm (a , b) = ? ( c chung l n nh t c a aướ ớ ấ ủ
và b)
H ng d n :ướ ẫ
Theo bài, ta có (4n+3, 5n+1) = d v i d ớ

≠
1
Suy ra (4n+3)
M
d =>5(4n+3)
M
d
(5n+1)
M
d =>4(5n+1)
M
d
V y ậ
( ) ( )
5 4 3 4 5 1n n d+ − + 
 
M
hay 11
M
d , mà d
≠
1 nên d = 11. Do ó (a,b) =đ
11
Bài 6: Tìm hai s a và b, bi t tích c a chúng là 8748 và CLN c aố ế ủ Ư ủ
Gi¸o ¸n Båi dìng HSG PhÇn Sè häc
Trờng THCS Hồng Hng
chỳng l 27
H ng d n:
Gi s a

b. Vỡ CLN(a,b)=27 nờn a = 27m; b=27n
Trong ú (m, n) = 1 v m

n
Ta cú a.b = 27m.27n = 8748 => m.n =12. Ch n c p s m, n nguyờn t
cựng nhau cú tớch l 12 v m

n, ta c
m n a b
1 12 27 324
3 4 81 108
Bi 7: Tỡm s t nhiờn a, bi t a chia cho 12; 18; 21 u d 5 v a x p x
1000
H ng d n:
a - 5

BC(12,18,21)
BCNN(12,18,21) = 252.V y a 5 = 252.k (k

N
*
) => a = 252k + 5
V i k = 4 thỡ a =1023 th a món bi
Bi 8:Tỡm s t nhiờn nh nh t a, sao cho khi chia s ú cho 2;3;4;
5;7 u d 1
H ng d n:
a -1 l BCNN(2;3;4;5;7) = 420 => a = 421
Bi 9: Bi t CLN c a hai s l 45. S l n l 270. Tỡm s nh ?
H ng d n:
G i s l n l a, s nh l b

Vỡ (a, b) = 45 => a = 45m ;b = 45n, v i (m, n) = 1 v m > n
Ta cú 45m = 270 => m = 6
V y n
{ }
1;5
. Do ú b
{ }
45;225

Bi 10: Tỡm CLN c a 5n+6 v 8n+7 (v i n
)N
H ng d n:
G i x l CLN c a 5n+6 v 8n+7 (v i n
)N
Ta cú (5n +6)
M
x v (8n+7)
M
x
=> 8(5n +6)
M
x v 5 (8n+7)
M
x
=> (40n+48)
M
x v (40n+35)
M
x
=> [(40 n+48) -(40 n+35) ]

M
x
=> 13
M
x
=> x

( 13 ) => x =1 ho c x = 13
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đ chữa và giải bài tập sauã
Bi 11: Cho bi t a + 4b l b i c a 13 (a, b
N
).
Ch ng minh r ng:10a + b l b i c a 13
H ng d n:
t a + 4b = x ; 10a + b = y
Xột 4y x = 4(10a+b) - (a+4b) = 40a + 4b a - 4b = 39a => 4y - x l b i
c a 13. Do x l b i c a 13 v (4;13) = 1 => y l b i c a 13
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
D/Bổ sung

*******************************
*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - />Ngày soạn : 11/12/10
Ngày dạy : 15/12/10
Chủ đề 7
Tìm chữ số tận cùng
Buổi 1

các phơng pháp tìm chữ số tận cùng
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Giỳp hc sinh ụn tp li nhng kin thc v ly tha vi s m t nhiờn.
Nõng cao cỏc tớnh cht ca ly tha. Qua ú bit cỏch tỡm ra c ch s tn
cựng ca mt ly tha vi nhng s t nhiờn cú ch s tn cựng t 0 n 9; tỡm
hai ch s tn cựng; tỡm ba ch s tn cựng tr lờn
Kĩ năng
- Rốn k nng ỏp dng cỏc tớnh cht ca ly tha tỡm ch s tn cựng
Thái độ
- Giỳp hc sinh rốn luyn t duy, thao tỏc chớnh xỏc, tớnh cn thn trong
lm toỏn v lu tha.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Nhắc lại định nghĩa về lũy thừa với số mũ tự nhiên ?
- HS2: Viết các công thức về lũy thừa ?
III. Bài mới
1. ễn tp v b tỳc v ly tha vi s m t nhiờn :
nh ngha:
=
142 43
n
n thừa số a
a a.a a
( n

N*)
Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Số học
Trờng THCS Hồng Hng
Quy c : a
o
= 1 (a

0) ; a
1
= a
Nhõn hai ly tha cựng c s:
+
=
m n m n
a .a a
Chia hai ly tha cựng c s:
m n m n
a : a a (a 0;m n)

=
Ly tha mt tớch : (a.b)
n
= a
n
. b
n
Ly tha ca mt ly tha: (a
m
)

n
= a
m.n
Ly tha tng :
n
m
a
=
n
(m )
a
2. Tỡm mt ch s tn cựng ca mt ly tha:
a) Tớnh cht 1:
- Cỏc s t nhiờn cú ch s tn cựng l 0;1;5;6 khi nõng lờn ly tha bt kỡ (

0)
thỡ gi nguyờn ch s tn cựng ca nú. GV cho HS tớnh cỏc ly tha sau (s
dng mỏy tớnh kim nghim)
2 3 4
2 2 3
2 2 4
2 3 4
10 0;10 0;10 0;
11 1;11 1;11 1;
15 5;15 5;15 5;
16 6;16 6;16 6;

= = =

= = =

= = =


= = =

- Cỏc s cú ch s tn cựng l 4; 9 khi nõng lờn ly tha bc l thỡ ch s tn
cựng vn khụng thay i.
- Cỏc s cú ch s tn cựng l 4; 9 khi nõng lờn ly tha bc chn thỡ ch s tn
cựng l 1 hoc 6
- Cỏc s cú ch s tn cựng l 3; 7; 9 khi nõng lờn ly tha bc 4n (n

N
*
) thỡ
ch s tn cựng l 1. (Cho hc sinh tớnh kim nghim)
3
4
=1 ; 3
8
= 1; 3
12
= 1
7
4
= 1; 7
8
= 1 ; 7
12

= 1
9
4
= 1 ; 9
8
= 1 ; 9
12
= 1
- Cỏc s cú ch s tn cựng l 2; 4; 8 khi nõng lờn ly tha bc 4n (n

N
*
) thỡ
ch s tn cựng l 6. (Cho hc sinh tớnh kim nghim)
2
4
= 6 ; 2
8
= 6 ; 2
12
= 6
4
4
=6 ; 4
8
= 6 ; 4
12
= 6
8
4

= 6; 8
8
= 6; 8
12
= 6
- Mt s chớnh phng thỡ khụng cú ch s tn cựng l 2; 3; 7; 8
=> Mun tỡm ch s tn cựng ca s t nhiờn x = a
m
, trc ht ta xỏc nh ch
s tn cựng ca a.
+) Nu ch s tn cựng ca a l 0; 1; 5; 6 thỡ x = a
m
cng cú ch s tn cựng
l 0; 1; 5; 6.
+) Nu ch s tn cựng ca a l 3; 7; 9 vỡ a
m
= a
4n + r
= a
4n
.a
r
vi r = 0, 1, 2; 3
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
N¨m häc
2010 - 2011
nên từ tính chất trên => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của
a
r

.
+) Nếu chữ số tận cùng của a là 2; 4; 8 , cũng như trường hợp trên, cũng từ
tính chất trên => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.a
r
.
*) Bài 1:
Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
a) 156
7
b) 1061
9
c) 156
7
+ 1061
9
d) 156
7
.1061
9
Hướng dẫn:
a) 156
7
có chữ số tận cùng là 6
b) 1061
9
có chữ số tận cùng là 1
c) Theo câu a) và b)
⇒
Chữ số tận cùng của :156
7

+ 1061
9
là 7
d) Theo kết quả câu a) và b)
⇒
Chữ số tận cùng của :156
7
.1061
9
là 6.
*) Bài 2: Tìm các chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
a)
7
6
5
345
b)
41
789
c) 87
32
d) 87
32
+ 789
41
Hướng dẫn:
a) Số 345 có tận cùng là 5, nâng lên lũy thừa bất kì( khác 0) có chữ số tận cùng
là 5.
b) Có: 789
41

= 789
4.10
.789 = (…1).789 = …9
c) Có: 87
32
= 87
4.8
=…1
d) Từ kết quả câu b) và c) có chữ số tận cùng của tổng
87
32
+ 789
41
= (…1) +(…9) = …0
*) Bài 3: Chứng tỏ rằng tổng sau không chia hết cho 10
A = 405
n
+ 2
405
+ m
2
( n, m
∈
N , n khác 0)
405 = … 5
2
405
= 2
404
. 2 = 2

4.101
. 2 = (…6).2 = … 2
m
2
(số chính phương ) có chữ số tận cùng khác 3
Vậy A có chữ số tận cùng khác 0 nên A không chia hết cho 10
*) Bài 4: Tính :
P = 2.2
2
. 2
3
. 2
10
.5
2
. 5
4
. 5
6
… 5
14
có bao nhiêu chữ số 0 ?
2.2
2
.2
3
…2
10
= 2
1 + 2 + 3 + … + 10

= 2
55
5
2
.5
4
.5
6
…5
14
= 5
2 + 4 + 6+ … + 14
= 5
56
A = 2
55
.5
56
= 2
55
.5
55
. 5 = 10
55
. 5
Vậy A có chữ số tận cùng bằng 55 chữ số 0
Gi¸o ¸n Båi dìng HSG PhÇn Sè häc
Trờng THCS Hồng Hng
*) Bi 5: Tỡm ch s tn cựng ca cỏc s :
a)

9
9
7
b)
14
14
14
c)
67
5
4
Li gii :
a) Trc ht, ta tỡm s d ca phộp chia 9
9
cho 4 :
9
9
1
9
= (9 - 1)(9
8
+ 9
7
+ + 9 + 1) chia ht cho 4
=> 9
9
= 4k + 1 (k thuc N) =>
9
9
7

= 7
4k + 1
= 7
4k
.7
Do 7
4k
cú ch s tn cựng l 1
=>
9
9
7
cú ch s tn cựng l 7.
b) D thy 14
14
= 196. 14
2
= 4k (k thuc N)
=>
14
14
14
= 14
4k
cú ch s tn cựng l 6.
c) Ta cú 5
67
1
67
chia ht cho 4 => 5

67
= 4k + 1 (k thuc N)
=>
67
5
4
= 4
4k + 1
= 4
4k
.4
4
4k
cú ch s tn cựng l 6 nờn
67
5
4
cú ch s tn cựng l 4.
b) Tớnh cht 2:
- Mt s t nhiờn bt kỡ, khi nõng lờn ly tha bc 4n + 1 (n thuc N) thỡ ch s
tn cựng vn khụng thay i.
- Chỳ ý: Ch s tn cựng ca mt tng cỏc ly tha c xỏc nh bng cỏch
tớnh tng cỏc ch s tn cựng ca tng ly tha trong tng.
*) Bi 6: Tỡm ch s tn cựng ca tng S = 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ + 2004

8009
.
Li gii :
Nhn xột : Mi ly tha trong S u cú s m khi chia cho 4 thỡ d 1 (cỏc ly
tha u cú dng n
4(n - 2) + 1
, n thuc {2, 3, , 2004}).
Theo tớnh cht 2, mi ly tha trong S v cỏc c s tng ng u cú ch s tn
cựng ging nhau. Nh vy, tng S cú ch s tn cựng bng ch s tn cựng ca
tng : (2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4
= 200(1 + 2 + + 9) + 9 = 9009.
Vy ch s tn cựng ca tng S l 9.
c) Tớnh cht 3:
a) S cú ch s tn cựng l 3 khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3 s cú ch s tn
cựng l 7 ; s cú ch s tn cựng l 7 khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3 s cú
ch s tn cựng l 3.
b) S cú ch s tn cựng l 2 khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3 s cú ch s tn
cựng l 8 ; s cú ch s tn cựng l 8 khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3 s cú
ch s tn cựng l 2.
c) Cỏc s cú ch s tn cựng l 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3
s khụng thay i ch s tn cựng.
*) Bi 7: Tỡm ch s tn cựng ca tng T = 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ + 2004
8011
.

Li gii :
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
N¨m häc
2010 - 2011
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy
thừa đều có dạng n
4(n - 2) + 3
, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 3 thì 2
3
có chữ số tận cùng là 8 ; 3
7
có chữ số tận cùng là 7 ; 4
11
có
chữ số tận cùng là 4 ; …
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng :
(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8
+ 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.
3. Tìm hai chữ số tận cùng
- Để tìm hai chữ số tận cùng ta cần chú ý đến những số đặc biệt
+) Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0)
cũng có tận cùng bằng 01; 25; 76
+) Các số
20 5 4 2 2
3 ;81 ;7 ;51 ;99
có tận cùng bằng 01
+) Các số

20 5 4 2 4 2
2 ;6 ;18 ;24 ;68 ;74
có tận cùng bằng 76
+) Số
n
26 (n 1)>
có tận cùng bằng 76
*) Bài 8: Tìm hai chữ số tận cùng của
1991
7
Hướng dẫn:
(
)
( ) ( )
497
497
1991 1988 3 4
7 7 .7 7 .343 01 .343 01 .343 43= = = = =
Vậy hai chữ số tận cùng của
1991
7
là 43
4. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
- Để tìm ba chữ số tận cùng ta cũng cần chú ý đến những số đặc biệt
+) Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0)
cũng có tận cùng bằng 001; 376; 625
+) Các số có tận cùng bằng 0625 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có
tận cùng bằng 0625
*) Bài 9: Tìm bốn chữ số tận cùng của
1992

5
Hướng dẫn:
(
)
( )
498
498
1992 4
5 5 0625 0625= = =
Vậy bốn chữ số tận cùng của
1992
5
là 0625
IV. Híng dÉn vÒ nhµ
*) Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của:
a) 71
30
; b) 26
35
; c) 86
33
d) 71
30
+ 26
35
;
7
6
5
e)231

; f)
5
7
6
425
g) 71
30
+ 26
35
; h ) 86
33
.71
30
; i)
7
6
5
231
+
5
7
6
425
*) Bài 2:
Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa tầng sau:
7
6
5
234
;

5
7
6
579
*) Bài 3:
Gi¸o ¸n Båi dìng HSG PhÇn Sè häc
Trêng THCS Hång Hng
Cho S = 1 + 3
1
+ 3
2
+ 3
3
+ …+ 3
30
. Tìm chữ số tận cùng của S.
*) Bài 4:
Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
74
30
; 49
31


;87
31
; 58
33

; 23
35
*) Bài 5:
Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10
a) 51
n
+ 47
102
(n
∈
N) b) 405
n
+ 2
405
+ 17
37
(n
∈
N)
Ngµy so¹n : 12/12/10
Ngµy d¹y : 17/12/10
Chđ ®Ị 7
T×m ch÷ sè tËn cïng
Bi 2
Lun tËp
A/Mơc tiªu
 Häc xong bi häc nµy HS cÇn ph¶i ®¹t ®ỵc :
 KiÕn thøc
- Giúp học sinh ơn tập lại những kiến thức về lũy thừa với số mũ tự nhiên.
Nâng cao các tính chất của lũy thừa. Qua đó biết cách tìm ra được chữ số tận

cùng của một lũy thừa với những số tự nhiên có chữ số tận cùng từ 0 đến 9; tìm
hai chữ số tận cùng; tìm ba chữ số tận cùng trở lên
 KÜ n¨ng
- Rèn kĩ năng áp dụng các tính chất của lũy thừa để tìm chữ số tận cùng
 Th¸i ®é
- Giúp học sinh rèn luyện tư duy, thao tác chính xác, tính cẩn thận trong
làm tốn về luỹ thừa.
B/Chn bÞ cđa thÇy vµ trß
- GV:
- HS:
C/TiÕn tr×nh bµi d¹y
I. Tỉ chøc
II. KiĨm tra bµi cò
- HS1: Gi¶i bµi tËp 1a ®· cho ë bi häc tríc
- HS2: Gi¶i bµi tËp 1d ®· cho ë bi häc tríc
III. Bµi míi
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
N¨m häc
2010 - 2011
*) Bài 1: Chứng minh rằng
102 102
8 2−
chia hết cho 10
Hướng dẫn: Sử dụng tính chất, một số có tận cùng bằng 6 khi nâng lên lũy thừa
nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 6
Ta có:
(
)
( ) ( )

25
25
102 4 2
8 8 .8 6 .64 6 .64 4= = = =
(
)
( ) ( )
25
25
102 4 2
2 2 .2 16 .4 6 .4 4= = = =
Vậy
102 102
8 2−
có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10
*) Bài 2: Chứng tỏ rằng
5 4 21
17 24 13+ −
chia hết cho 10
Hướng dẫn:
IV. Híng dÉn vÒ nhµ
*******************************
Gi¸o ¸n Båi dìng HSG PhÇn Sè häc
Trêng THCS Hång Hng
Ngµy so¹n : 14/12/10
Ngµy d¹y : 18/12/10
Chđ ®Ị 8
sè chÝnh ph¬ng
Bi 1
chøng minh mét sè lµ sè chÝnh ph¬ng

A/Mơc tiªu
 Häc xong bi häc nµy HS cÇn ph¶i ®¹t ®ỵc :
 KiÕn thøc
- HƯ thèng cho häc sinh ®Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt vỊ sè chÝnh ph¬ng
- Häc sinh biÕt c¸ch chøng minh mét sè lµ sè chÝnh ph¬ng hc mét sè
kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng
 KÜ n¨ng
- RÌn kÜ n¨ng ¸p dơng kiÕn thøc gi¶i bµi tËp;kh¶ n¨ng t duy, s¸ng t¹o
- KÜ n¨ng nhËn d¹ng mét sè lµ sè chÝnh ph¬ng
 Th¸i ®é
- Häc sinh chđ ®éng lÜnh héi kiÕn thøc
B/Chn bÞ cđa thÇy vµ trß
- GV:
- HS:
C/TiÕn tr×nh bµi d¹y
I. Tỉ chøc
II. KiĨm tra bµi cò
III. Bµi míi
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa
- Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (hoặc số
ngun)
- VD: Mười số chính phương đầu tiên là: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
Bài tốn 1 : Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì a
n
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +
1 là số chính phương.
Lời giải : Ta có :
a
n
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n
2
+ 3n) (n
2
+ 3n + 2) + 1
= (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n
2
+ 3n) + 1
= (n
2
+ 3n + 1)
2
Với n là số tự nhiên thì n
2
+ 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a
n
là số
chính phương.
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
N¨m häc
2010 - 2011
Bài toán 2 : Chứng minh số : là số chính phương.
Chú ý: Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một
chính phương ta nên đặt
{

n
11 1 a=
và như vậy
n
n
99 9 1 10 9a 1+ = = +
123
Lời giải :
Ta có :
Vậy : là số chính phương.
Bài toán 3 : Cho A =
{
2n
n
11 1 88 8 1− +
123
. Chứng minh A là một số chính phương
Hướng dẫn:
{ { {
n n n
n
A 11 100 0 11 1 8.11 1 1= + − +
123
Đặt
{
n
11 1
= a thì
n
99 9 9a=

123
do đó
n
n
99 9 1 10 9a 1+ = = +
123
Ta có: A =
( )
2
n 2
a.10 a 8a 1 a(9a 1) a 8a 1 9a 6a 1 3a 1
+ − + = + + − + = − + = −
Vậy A =
2
n 1
33 32
−
123
là một số chính phương
Bài toán 4 : Cho M =
{
n
n
11 155 5 1+
123
. Chứng minh M là một số chính phương
Hướng dẫn: Đặt
{
n
11 1

= a =>
n
10 9a 1= +
M =
n 2 2
n 1
a.10 5a 1 a(9a 1) 5a 1 (3a 1) 33 34
−
+ + = + + + = + =
123
Bài toán 5 : Chứng minh các số sau là số chính phương
a) M =
{
2n
n
11 1 44 4 1 (n N)+ + ∈
123
Gi¸o ¸n Båi dìng HSG PhÇn Sè häc
Trờng THCS Hồng Hng
b) N =
{ {
2n n 1
n
11 1 11 1 66 6 8 (n N)
+
+ + +
123
Hng dn: t
{
n

11 1
= a =>
n
10 9a 1= +
a) M =
n 2 2
n 1
a.10 a 4a 1 a(9a 1) 5a 1 (3a 1) 33 34

+ + + = + + + = + =
123
b) N =
( )
2
n 2
n 1
a.10 a 10a 1 6a 8 a(9a 1) 17a 9 3a 3 33 36

+ + + + + = + + + = + =
123
Phng phỏp 2: Da vo tớnh cht
a) Tớnh cht:
- S chớnh phng ch cú th tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9 khụng th tn cựng
bng 2, 3, 7, 8
- Khi phõn tớch ra tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s
nguyờn t vi s m chn
Gi s N = k
2
v k = a
x

b
y
c
z
(a, b, c l s nguyờn t) thỡ
N = (a
x
b
y
c
z
)
2
= a
2x
b
2y
c
2z
, suy ra:
+ S chớnh phng chia ht cho 2 thỡ phi chia ht cho 4
+ S chớnh phng chia ht cho 3 thỡ phi chia ht cho 9
+ S chớnh phng chia ht cho 5 thỡ phi chia ht cho 25
+ S chớnh phng chia ht cho 8 thỡ phi chia ht cho 16
+ Tng quỏt: S chớnh phng N chia ht cho
2k 1
p
+
thỡ N phi chia ht cho
2k 2

p
+
(p l s nguyờn t, k
N

)
- S lng cỏc c ca mt s chớnh phng l s l. o li, mt s cú s
lng cỏc c l s l thỡ s ú l s chớnh phng. Tht vy:
N = a
x
b
y
c
z
thỡ s c s ca nú bng (x+1)(y+1)(z+1)
+ Nu N l s chớnh phng thỡ x, y, z chn nờn x+1, y+1, z+1 l, do ú
s c s ca N l s l.
+ Nu s c s ca N l s l thỡ (x+1) (y+1) (z+1) l nờn cỏc tha s
x+1, y+1, z+1 u l, suy ra x, y, z, chn.
t x = 2m, y = 2n, z = 2p (m, n, p

N) thỡ N = a
2m
b
2n
c
2p
= (a
m
b

n
c
p
)
2
nờn N
l s chớnh phng.
- S chớnh phng chia cho 3 ch cú th d 0 hoc 1. Tht vy:
2 2
(3k) 9k=
chia ht cho 3
2 2
(3k 1) 9k 6k 1+ = + +
chia cho 3 d 1
2 2
(3k 2) 9k 12k 4+ = + +
chia cho 3 d 1
- S chớnh phng chia cho 4 ch cú th d 0 hoc 1
- S chớnh phng chia cho 5 ch cú th d 0 hoc 1 hoc 4
- S chớnh phng l chia cho 4 hoc chia cho 8 u d 1
- Gia hai s chớnh phng liờn tip khụng cú s chớnh phng no
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
N¨m häc
2010 - 2011
2 2 2
n x (n 1)< < +
=> x
2
không là số chính phương

2 2 2 2 2
n x (n 2) x (n 1)< < + => = +
là số chính phương
- Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính
phương thì mỗi số a và b là một số chính phương.
*) Chú ý: Để chứng minh N không là số chính phương ta có thể:
- Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 hoặc có một số lẻ chữ số 0 tận
cùng
- Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ
- Xét số dư khi N chia cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5, cho 8 , …
- Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
b) Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m
2
+ m = 4n
2
+ n
thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
Lời giải :
Ta có : 3m
2
+ m = 4n
2
+ n  4(m
2
- n
2
) + (m - n) = m
2

 (m - n)(4m + 4n + 1) = m
2
(*)
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì
[(4m + 4n + 1) + 4(m - n)]
M
d => 8m + 1
M
d.
Mặt khác, từ (*) ta có : m
2
chia hết cho d
2
=> m chia hết cho d.
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1
M
d => d = 1.
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*)
nên chúng đều là các số chính phương.
Bài 2: Tìm số nguyên tố
ab
(a > b > 0) sao cho
ab ba−
là số chính phương
Hướng dẫn:
2
ab ba 9(a b) 3 (a b)− = − = −
Do
ab ba−
là số chính phương nên a – b là số chính phương

Ta thấy
1 a b 8≤ − ≤
nên a – b
{ }
1;4∈
Với a – b = 1 thì
{ }
ab 21;32;43;54;65;76;87;98∈
nhưng
ab
là số nguyên tố nên
ab 43=
Tương tự a – b = 4 ta được
ab 73=
Vậy
ab
bằng 43 hoặc 73. Khi đó: 43 – 34 = 3
2
; 73 – 37 = 6
2
Bài 3: Các tổng sau có là số chính phương hay không ?
a) A =
2 3 20
3 3 3 3+ + + +
b) B =
2 3
11 11 11+ +
c) C =
10
10 8+

d) D =
100! 7+
e) E =
10
10 5+
f) F =
100 50
10 10 1+ +
Hướng dẫn:
Gi¸o ¸n Båi dìng HSG PhÇn Sè häc