Một số phương pháp so sánh phân số trong dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 tại trường THCS nga tiến, nga sơn

I. MỞ ĐẦU.
1. Lý do chọn đề tài
Căn cứ vào tình hình thực tiễn của sự nghiệp giáo dục nói riêng và nhu
cầu ngày càng phát triển của xã hội. Chúng ta thấy một yêu cầu đặt ra trong sự
nghiệp giáo dục hết sức cấp bách, đó là đổi mới sự nghiệp giáo dục nhằm nâng
cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường. Để đáp ứng những việc làm cần thiết
và cấp bách đó, đòi hỏi mỗi giáo viên đứng lớp phải thường xuyên học hỏi, tự
bồi dưỡng, nâng cao kiến thức bộ môn, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, đồng
thời phải luôn cải tiến phương pháp giảng dạy trên lớp để từ đó đúc rút những
kinh nghiệm quý báu giúp phần nâng cao kỹ năng nghiệp vụ của bản thân. Song
việc qua lại để trao đổi kinh nghiệm lẫn nhau giữa các đồng nghiệp cũng có
nhiều khó khăn, sáng kiến kinh nghiệm là một phương tiện tốt để giáo viên qua
đó gián tiếp trao dồi với nhau những kinh nghiệm của mình để cùng nhau làm
tốt công việc mà sự nghiệp giáo dục giao phó.
Đối với học sinh THCS số học là một mảng khó trong chương trình toán
THCS. Phần lớn học sinh chưa có phương pháp giải bài tập, nguyên nhân cơ bản
của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập số học là ở chỗ: học
sinh chỉ thu nhận kiến thức về cách giải một bài tập cụ thể nào đó nhưng kĩ năng
chung về việc giải toán khác thì yếu. Trong đó ý muốn cơ bản của việc dạy cách
giải bài tập toán phải là dạy cho học sinh giải những bài tập tương đối mới,
những bài giải đòi hỏi sự tìm tòi, sáng tạo trong các cách giải.
Môn toán là một môn khoa học tự nhiên rất gần gũi với các em, ngoài
mục đích cung cấp những kiến thức cơ bản về toán học nó còn mang tính giáo
dục sâu sắc tới nhân cách với đức tính cần cù, lòng say mê nghiên cứu, tính tư
duy sáng tạo, giữa bài học trìu tượng với ứng dụng thực tế trong cuộc sống, tới
nhiều vấn đề có tính logic giữa học với hành. Trong toán học, phân số là một số
dùng để đo, đếm trong thực tế là số sắp xếp thứ tự trong trục số. Vì vậy học sinh
phải nắm vững thứ tự của nó. Quá trình dạy và học ở trường phổ thông ngoài
việc hình thành kiến thức mới cho học sinh phải giúp học sinh có kỹ năng vận
dụng kiến thức đó là một việc hết sức quan trọng. Học sinh lớp 6 tư duy còn hạn
chế, còn chưa quen với phương pháp học mới và do đó so sánh phân số cũng là

một vấn đề khó với học sinh lớp 6. Qua khảo sát việc so sánh phân số ở học sinh
lớp 6 tôi nhận thấy nhiều em học sinh chỉ áp dụng máy móc, đơn thuần như:
“Quy đồng mẫu hoặc tử” để so sánh. Khi phải so sánh các phân số phức tạp các
em gặp rất nhiều lúng túng, khó khăn và dẫn tới việc sắp xếp thứ tự không đúng,
đó cũng là lí do chính tôi chọn đề tài “Một số phương pháp so sánh phân số
trong dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 tại trường THCS Nga Tiến,
Nga Sơn”.
Trong giảng dạy, tuy SGK đã trình bày một cách có hệ thống các kiến
thức cơ bản và các bài tập thuộc các dạng nhưng vẫn chưa đủ và cũng vì ý thức
tự học, tự đọc sách của một số học sinh là chưa cao. Việc làm cho học sinh khối

1


6 nắm phương pháp so sánh phân số và vận dụng vào giải các bài tập có liên
quan là công việc rất quan trọng, không thể thiếu được của người dạy toán,
thông qua đó rèn luyện tư duy logic, khả năng sáng tạo cho học sinh. Để làm
được điều đó người giáo viên phải cung cấp cho học sinh một kiến thức cơ bản
và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về so sánh phân số.
2. Mục đích nghiên cứu.
Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn
Toán. Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh. Khơi dậy tính
sáng tạo và giải toán cho học sinh. Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở
rộng các bài toán từ đó giúp các em hình thành phương pháp giải. Giúp học sinh
hứng thú hơn trong học tập đặc biệt là bồi dưỡng Học sinh giỏi.
Xuất phát từ lí do trên, tôi xin chọn đề tài “Một số phương pháp so sánh
phân số trong dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 tại trường THCS Nga
Tiến, Nga Sơn”. Mong rằng sẽ phần nào giải quyết được những khó khăn trong
dạy và học so sánh phân số, từ đó giúp các em học sinh chủ động hơn trong việc
dùng những phương pháp này để giải các bài toán có liên quan, từ đơn giản đến

phức tạp. Học sinh sẽ học tốt hơn, hứng thú say mê hơn với bộ môn Toán.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh hiểu và vận dụng được quy tắc so sánh hai phân số cùng mẫu và
không cùng mẫu, nhận biết được phân số âm, phân số dương.
Học sinh có kĩ năng viết các phân số đã cho dưới dạng các phân số có
cùng mẫu dương để so sánh phân số.
Trong khuôn khổ bài viết tôi mong rằng sẽ giúp các em học sinh nâng cao
năng lực trí tuệ trong việc phát hiện vấn đề, nâng cao việc rèn kĩ năng cho học
sinh so sánh có luận cứ, có hướng đi rõ ràng, khắc phục những vướng mắc trong
việc dạy và thực hành làm bài tập. Làm cho học sinh lựa chọn, khám phá ra
hướng đi đúng, lời giải đúng và nhanh nhất trong giải toán so sánh phân số và
các bài tập có liên quan.
4. Phương pháp nghiên cứu.
-Trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi đã vận dụng phương pháp nghiên cứu
đã học: Phương pháp đổi mới “Lấy người học làm trung tâm ”, đó là phương
pháp tổng hợp, đánh giá.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của lý thuyết.
- Hệ thống hóa tài liệu, đối chiếu, nghiên cứu thêm nhiều các tài liệu có liên
quan để chọn lọc những kiến thức cơ bản, trọng tâm làm tư liệu mới, chính xác
nhất, học hỏi thêm những kinh nghiệm của những người đi trước để làm kinh
nghiệm cho bản thân
- Phương pháp thực nghiệm, phương pháp thống kê toán học và xử lý kết quả
thực nghiệm.

2


II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lý luận:
Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy

nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông.
Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, tiếp thu đầy đủ kiến
thức, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, ... học tập tốt môn toán phần nào
cũng đáp ứng được những yêu cầu đó.
Việc học toán không phải chỉ học mình kiến thức như SGK, không chỉ
làm bài tập do giáo viên đưa ra mà biết nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tổng quát
hóa vấn đề và rút ra được những điều bổ ích.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài tập số học 6 một cách
chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi
giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh
giá bài toán, kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tùy theo từng đối
tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã
học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập thật tốt bộ môn.
Việc bồi dưỡng kiến thức cơ bản là một công việc cực kỳ quan trọng vì
kiến thức cơ bản là nền tảng quyết định đến khả năng học tập của các em, đặc
biệt môn Toán càng quan trọng hơn vì lượng kiến thức của bộ môn Toán có mối
quan hệ chặt chẽ với nhau. Do đó trong quá trình dạy học cần rèn luyện giúp học
sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về phân số từ đó có cơ sở để giải các bài
toán có liên quan.
2. Thực trạng của vấn đề
Khả năng tính toán của các em chưa linh hoạt, chưa vận dụng hợp lí các
phương pháp giải, tổng hợp logic, khả năng phân tích, dự đoán kết quả và khả
năng khai thác bài toán của một số em còn nhiều hạn chế.
Học sinh không nắm vững được những kiến thức đã học, một số học sinh
không có khả năng phân tích một bài toán từ những gì đề bài yêu cầu sau đó
tổng hợp lại, không chuyển đổi được từ ngôn ngữ bình thường sang ngôn ngữ số
học hoặc không tìm ra phương pháp chung để giải dạng toán về phân số, từ đó
cần có khả năng so sánh các cách giải để trình bày lời giải cho hợp lí. Nhiều học
sinh một bài giải không xác định được đáp án đúng và sai. Vận dụng các cách
giải đó để có thể tạo ra một bài toán mới tổng quát hơn. Nhiều học sinh hài lòng

với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển bài
toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo
của bản thân.
Trong quá trình học tập đa số các em dễ bị mất các kiến thức cơ bản, do
các em cho rằng các kiến này không quan trọng nên thường không chú trọng.
Trong quá trình dạy học giáo viên cần chú trọng đến việc bồi dưỡng các kiến
thức cơ bản cho các em để nhằm giúp cho các em nắm vững các kiến thức. Từ

3


đó các em có nền tảng vững chắc và cũng là cơ sở giúp cho các em học tập một
cách tốt hơn. Muốn vậy, trong quá trình giải toán giáo viên có thể thông qua hệ
thống câu hỏi để học sinh nắm lại các kiến thức đã học.
Trong chương trình sách giáo khoa hiện hành phần so sánh được trình bày ở
lớp 6 rất ít và hạn hẹp, các phương pháp đưa ra và bài tập còn hạn chế. Sau khi
học, đứng trước một bài toán học sinh không biết tư duy hướng giải quyết, đặc
biệt là thi học sinh giỏi THCS các bài toán ngày càng có độ khó cao, chính vì
vậy nhiều học sinh không thể giải quyết được loại bài toán so sánh. Bằng kinh
nghiệm của bản thân, cùng sự giúp đỡ của đồng nghiệp, tôi đã hướng dẫn cho
học sinh cách nhận dạng và tư duy hướng giải quyết khi gặp các bài toán so sánh
và nhận thấy có hiệu quả cao. Đây là động lực để tôi mạnh dạn viết sáng kiến
này.
3. Một số giải pháp
3.1. Phương pháp 1: Quy đồng mẫu
a) Phương pháp giải: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: Tử nào lớn
hơn thì phân số đó lơn hơn.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh

2
3
và
3
4

Bài làm
Ta viết:
2
2.4
8
3
3.3
9
=
=
và =
=
3
3.4 12
4
4.3
12
8
9
2
3
2
3
Vì 8 < 9 nên

<
hay < . Vậy <
12
12
3
4
3
4
−3
4
Ví dụ 2: So sánh
và
4
−5

Bài làm

Ta viết:

−3
− 3.5 − 15
4
=
=
và
4
4.5
20
−5
− 15

Vì –15 > –16 nên
>
20
− 14
Ví dụ 3: So sánh
và
21

− 4 − 4.4 − 16
=
=
5
5.4
20
− 16
−3
−4
−3
4
hay
>
. Vậy
>
20
4
5
4
−5
− 60
− 72

=

Bài làm
Trước khi so sánh ta thực hiện rút gọn rồi quy đồng:

− 14
− 2 − 4 − 60
5
=
=
;
=
21
3
6
− 72
6
−4
5
− 14
− 14
− 60
− 60
Vì – 4 < 5 nên
< hay
<
. Vậy
<
6

6
21
− 72
21
− 72

4


Ví dụ 4: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
2 1 5 1
; ; ;
3 2 9 6

Bài làm
Ta có:
2
2.6 12 1 1.9
9 5
5.2 10 1
1.3
3
= ; =
=
= ; =
= ; =
=
3
3.6 18 2 2.9 18 9
9.2 18 6

6.3
18
3
9
10
12
1
1
5 2
Vì
< <
<
nên < < <
18
18 18
18
6
2
9 3

3.2. Phương pháp 2: Quy đồng tử
a) Phương pháp giải: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu: Mẫu nào nhỏ
hơn thì phân số đó lớn hơn.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh

2
5
và
5

7

Bài làm
Ta có:
2
2.5 10 5
5.2
10
=
=
; =
=
5
5.5 25 7
7.2
14
10 10
2
5
Vì
<
nên <
25 14
5
7
−3
−6
Ví dụ 2: So sánh
và
4

7

Bài làm
Ta có:

Vì

− 3 − 3.2
−6
6 −6
6
=
=
=
;
=
4
4.2
8
−8 7
−7

6
6
−3
−6
>
nên
>
−8

−7
4
7

Ví dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
4 16
2
8
;
;
;
21 163 179 349

Bài làm
Nhận xét: Mẫu là các số nguyên tố cùng nhau, phức tạp hơn tử rất nhiều nên ta
có thể quy đồng tử:
4.4
16
2
2.8
16
8
8 .2
16
4
=
= ;
=
=
;

=
=
21
21.4
84 179
179.8
1432 349
349.2
698
16
16
16
16
2
8
16
4
Vì
<
<
<
nên
<
<
<
21
1432
698
163
84

179
349
163

GV kết luận: Trong quá trình làm bài cần lưu ý khi nào sử dụng phương pháp 1
(Khi mẫu đơn giản), khi nào sử dụng phương pháp 2 (khi tử đơn giản).

5


2010
2011
2012
+
+
2011
2012
2013
2010 + 2011 + 2012
và Q =
2011 + 2012 + 2013

Ví dụ 4: So sánh P và Q, biết: P =

Bài làm

Ta có: Q =

2010 + 2011 + 2012
2010

2011
=
+
+
2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013
2011 + 2012 + 2013

2012
2011 + 2012 + 2013

Vì:

2010
2010
<
2011 + 2012 + 2013
2011
2011
2011
<
2011 + 2012 + 2013
2012
2012
2012
<
2011 + 2012 + 2013
2013

Nên suy ra:

2010
2011
2012
2010
2011
+
+
<
+
+
2011 + 2012 + 2013
2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013
2011
2012
2012
2013

Hay Q < P.
Ví dụ 5: Cho S =

3 3 3 3 3
+ + + + .
10 11 12 13 14

a) So sánh S với 1.
b) So sánh S với 2.
Bài làm
a) Ta có:
3
3 3

3 3
3 3
3 3
3
> ;
> ;
> ;
> ;
>
10
15 11
15 12
15 13
15 14
15

Suy ra:
S=

3 3 3 3 3
3 3
3 3 3
15
+ + + +
>
+ + + + => S >
hay S > 1
15
10 11 12 13 14 15 15 15 15 15

b) Ta có:
3
3 3
3 3
3 3
3 3
3
< ;
< ;
< ;
< ;
<
11
10 12
10 13
10 14
10 15
10

Suy ra:
3 3 3 3 3
3
3
3
3
3
15
+ + + +
<
+ + + + => S <

hay S < 2
10 11 12 13 14 10 10 10 10 10
10
1
1
1
1
1
Ví dụ 6: Cho A = 2 + 2 + 2 + 2 +…+ 2 . So sánh A với 2.
1
2
3
4
50

S=

Bài làm
Ta có:

1
1
1 1
= 2 <
1.2 1 2
2

6

1
1
1 1
= 2 <
2.3
2 3
3
1
1
1 1
= 2 <
3.4
3 4
4

………
1
1
1
1
=
2 <
49.50 49 50
50
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
Suy ra: A = 2 + 2 + 2 + 2 +…+ 2 < 2 + + + +…+
49.50
1
2
3
4
50
1 1.2 2.3 3.4
1 1
1 1
1
1
⇒ A < 1+ +
- +…+
1 2
2 3
49 50
1
⇒ A < 1+1 50
99
⇒ A<
< 2.
50

Vậy A < 2.
3.3. Phương pháp 3: Dùng số hoặc phân số làm trung gian.

a) Phương pháp giải:
* Dùng số 0 làm trung gian:
a
> 0 nếu a và b cùng dấu.
b
c
+ < 0 nếu c và d khác dấu.
d
a
c
Thì khi đó: >
b
d

+

* Dùng số 1 làm trung gian:
a
c
a
c
> 1; < 1 ⇒ >
b
d
b d
a
c
a
c
- Nếu – M = 1; – N = 1 mà M > N thì >

b
d
b
d

- Nếu

+ M, N là phần thừa so với 1 của hai phân số đã cho.
+ Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
- Nếu

a
c
a
c
+ M = 1; + N = 1 mà M > N thì <
b
d
b
d

+ M, N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của hai phân số đã cho.
+ Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
* Dùng một phân số làm trung gian.
Nếu

p
p
a
c c

a
> ; > q thì > q
b
d d
b

b) Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh

− 192
− 18
và
193
− 19

7


Bài làm

− 192
− 18
− 192
− 18
Vì
< 0;
> 0 nên
<
193
− 19

193
− 19
7
19
Ví dụ 2: So sánh và
9
17

Bài làm
7
19
7
19
< 1;
> 1 nên <
9
17
9
17
97
2006
Ví dụ 3: So sánh
và
98
2007

Vì

Bài làm
Nhận xét: Hai phân số đều có tử nhỏ hơn mẫu nên hai phân số đều nhỏ hơn 1.

Ta có:
97
1
2006
1
+
= 1;
+
=1
98
98
2007
2007
1
1
97
2006
Vì
>
nên
<
98
2007
98
2007
37
377
Ví dụ 4: So sánh
và
67

677

Bài làm
Nhận xét: Hai phân số đều có tử nhỏ hơn mẫu nên hai phân số đều nhỏ hơn 1.
Ta có:
37
30
377 300
+
= 1;
+
=1
67
67
677 677
30
300
300
300
377
37
Vì
=
mà
>
Nên
>
67
670
670

677
677
67
2017
2016
Ví dụ 5: So sánh
và
2016
2015

Bài làm
Nhận xét: Hai phân số đều có tử lớn hơn mẫu nên hai phân số đều lớn hơn 1.
Ta có:
2017
1
2016
1
–
= 1;
–
=1
2016
2016
2015 2015
1
1
2017
2016
Vì
<

nên
<
2016
2015
2016
2015

Ví dụ 6: So sánh

72
58
và
73
99

Bài làm
72
72
72
72
58
72
58
, ta thấy:
>
và
>
nên
>
99

73
99
99
99
73
99
58
72
58
58
58
72
58
Hoặc xét số trung gian là , ta thấy:
>
và
>
nên
>
73
73
73
73
99
73
99

- Xét phân số trung gian là
-

8


Ví dụ 7: So sánh

12
13
và
49
47

Bài làm
- Xét phân số trung gian là

12
12
12
12
13
12
, ta thấy:
<
và
<
nên
<
47
49
47
47

47
47

13
47

- Hoặc xét số trung gian là
Ví dụ 8: So sánh

n
n+2
và
n+4
n+3

- Xét phân số trung gian là
n
n+2
<
n+4
n+3

- Hoặc xét số trung gian là
n
n+2
<
n+4
n+3

13

12
13
13
13
12
13
, ta thấy:
<
và
<
nên
<
49
49
49
49
47
47
47

Bài làm

n
n
n
n
n+2
, ta thấy:
<
và

<
nên
n+3
n+4
n+3
n+3
n+3
n+2
n
n+2
n+2
n+2
, ta thấy:
<
và
<
nên
n+4
n+4
n+4
n+4
n+3

Như vậy ta thấy trong nhiều trường hợp phân số trung gian thường có tử là
tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ hai hoặc ngược lại.
Ví dụ 9: So sánh

129
57
và

260
112

Bài làm
129
130
129
1
<
hay
<
260
260
260
2
57
56
57
1
>
hay
>
112
112
112
2
129
57
1
Nên

<
(Số trung gian là )
260
112
2
22
51
Ví dụ 10: So sánh
và
67
152

Vì

Bài làm
22
22
22
1
<
hay
<
67
66
67
3
51
51
51
1

>
hay
>
152
153
152 3
22
51
1
Nên
<
(Số trung gian là )
67
153
3
1
1
1
1
7
+
+
+ ... +
Ví dụ 11: Cho A =
. So sánh A với .
101 102 103
200
12

Vì

9


Bài làm
Ta chọn biểu thức B làm trung gian sao cho A > B, còn B ≥

7
. Tách A thành hai
12

nhóm, mỗi nhóm có 50 phân số, rồi thay mỗi phân số trong từng nhóm bằng
phân số nhỏ nhất trong nhóm ấy, ta được:
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
)+(
)>
101 102 103

150
151 152 153
200
1
1
1 1 7
>
.50 +
. 50 = + =
150
200
3 4 12
7
Vậy A >
12

A= (

3.4. Phương pháp 4: Phương pháp nhân chéo. (So sánh tích trung tỉ và tích
ngoại tỉ)
a) Phương pháp giải:
a
c
⇔ a.d > b.c (b, d ≠ 0)
>
b
d
a
c
⇔ a.d > b.c (b, d ≠ 0)

Nếu >
b
d

Nếu

b) Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh:

5
14
và
7
21

Bài làm
5
14
>
7
21
−6
−9
Ví dụ 2: So sánh:
và
5
8
−6
−9
Vì – 6 . 8 > – 9 . 5 nên

>
5
8

Vì 5 . 21 > 7. 14 nên

3.5. Phương pháp 5: Dùng tính chất sau với m ∈ N và m ≠ 0:
a) Phương pháp giải:
a
a a+m
* <1⇒ <
b
b b+m
a
a a+m
* >1⇒ >
b
b b+m

b) Ví dụ:
Ví dụ 1:

a
a a+m
* =1⇒ =
.
b
b b+m
a c a+c
* = =

.
b d b+d

a+n
a
và
b+n
b
10
10 + 1
B = 11 . So sánh A và B.
10 + 1

a. Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh
b. Cho A =

1011 − 1
;
1012 − 1

a) Ta xét 3 trường hợp

Bài làm

a
a
a
=1;
>1; <1
b

b
b

10


a
a+n a
= 1 ⇔ a = b thì
= =1
b
b+n b
a
TH 2: > 1 ⇔ a > b ⇔ a + n > b + n
b
a+n
a−b a
a−b
; có phần thừa so với 1 là
Mà
có phần thừa so với 1 là
,
b+n
b+n b
b
a−b a−b
a+n a
<
<
vì

nên
b+n
b
b+n b
a
TH3: < 1 ⇔ a < b ⇔ a + n < b + n.
b
a+n
b−a a
b−a
Khi đó
có phần bù tới 1 là
, có phần bù tới 1 là
b+n
b+n b
b
b−a b−a
a a+n
<
vì
nên <
b+n
b
b b+n
11
10 − 1
b) Cho A = 12 ;
10 − 1
(1011 − 1) + 11 1011 + 10
a+n

a
a
=
rõ ràng A < 1 nên theo a, nếu b <1 thì b + n > b ⇒A < 12
(10 − 1) + 11 1012 + 10

TH 1:

10(1010 + 1) 1010 + 1
1011 + 10
=
Do đó A< 12
=
10(1011 + 1) 1011 + 1
10 + 10

Vậy A < B.
Ví dụ 2: So sánh: A =

2005 2005 + 1
2005 2004 + 1
và
B
=
2005 2006 + 1
2005 2005 + 1

Bài làm

2004

+ 1) 2005 2004 + 1
2005
+1
2005 2005 + 1 + 2004 2005(2005
Vì A < 1 nên A =
<
=
=
2005
+ 1) 2005 2005 + 1
2005 2006 + 1
2005 2006 + 1 + 2004 2005(2005
2005

= B. Vậy A < B
Ví dụ 3: So sánh: A =

2009 2010 − 2
2009 2009 + 1
B
=
và
2009 2010 + 1
2009 2011 − 2

Bài làm
2009 − 2 20092010 − 2 + 2011 2009 2010 + 2009
2009 − 2
B=
<

1
⇒
B
=
<
=
20092011 − 2
20092011 − 2 20092011 − 2 + 2011 20092011 + 2009
2009(20092009 + 1) 2009 2009 + 1
=
=
= A . Vậy: A > B
2009(20092010 + 1) 2009 2010 + 1
2010

2010

3.6. Phương pháp 6: So sánh giá trị của hai phân số
a) Phương pháp giải: So sánh giá trị của hai phân số: Tính thương của phép
chia tử cho mẫu của từng phân số rồi so sánh hai kết quả tìm được.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh

5 12
và ?
8 15

Bài làm

11

5
12
= 0,625;
= 0,8.
8
15
5 12
Vì 0,625 < 0,8 nên <
8 15
3
4
và
Ví dụ 2: So sánh
?
−4 −5

Ta có

Bài làm

3
4
Ta có
= – 0,75 ;
= –0,8
−4
−5
3

4
>
Vì – 0,75 > – 0,8 nên
−4 −5

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:
7 210 11 13
31 313
53 531 25 25251
a ) và
; b) và ; c) và
; d ) và
; e) và
8 243 15 17
41 413
57 571 26 26261

Hướng dẫn giải
a) Quy đồng tử;
b) Xét phần bù đến đơn vị.
c) Xét phần bù đến đơn vị, chú ý:

10 100 100
=
>
41 410 413

53 530
=

. Xét phần bù đến đơn vị.
57 570
1
1010
1010
=
>
e) Chú ý: phần bù đến đơn vị là
26 26260 26261

d) Chú ý:

Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu, hãy dùng tính chất của phân số để
so sánh các phân số sau:
a) A =

244.395 − 151
423134.846267 − 423133
và B =
244 + 395.243
423133.846267 + 423134

Hướng dẫn giải

Sử dụng tính chất a(b ± c)= ab ± ac

+ Viết 244.395 = (243+1).395 = 243.395+395
+ Viết 423134.846267 = (423133+1).846267 =
423133.846267+846267
+ Kết quả A = B = 1

53.71 − 18
54.107 − 53
135.269 − 133
;N =
;P =
?
71.52 + 53
53.107 + 54
134.269 + 135
33.103
3774
và B =
Bài tập 3: So sánh A = 3
3
2 .5.10 + 7000
5217
b) M =

Hướng dẫn giải

33
3774 :111 34
=
7000=7.103, rút gọn A = ; B=
47
5217 :111 47
4
3 5 6
5

6 4 5
Bài tập 4: So sánh A = + 5 + 2 + 3 + 4 và B = 4 + 5 + 2 + + 3
7
7 7 7
7
7 7 7

Hướng dẫn giải

12


Chỉ tính

3
6 153 6
5 299
+ 4 = 4 ; 2 + 4 = 4
2
7
7
7 7
7
7

Từ đó dễ dàng kết luận : A < B
Bài tập 5: So sánh M =

1919.171717
18

và N =
?
191919.1717
19

Hướng dẫn giải
1919 = 19.101 và 191919 = 19.10101 ; Kết quả M > N
Bài tập 6: So sánh

17 1717
và
?
19 1919

Hướng dẫn giải

a c a+c
17 1700
. Chú ý :
=
+ Cách 1: Sử dụng = =
b d b+d
19 1900

+ Cách 2: Rút gọn phân số rồi so sánh.

Bài tập 7: Cho a, m, n ∈ N*. Hãy so sánh : A =

10 10
11 9

+ n và B = m + n ?
m
a
a
a
a

Hướng dẫn giải
 10 9  1
 10 9  1
A =  m + n ÷+ n và B =  m + n ÷+ m
a  a
a  a
a
a
1
1
Muốn so sánh A và B, ta so sánh n và m bằng cách xét các trường hợp
a
a

sau:
a) Với a = 1 thì am = an ⇒ A = B
b) Với a ≠ 0:
• Nếu m = n thì am = an ⇒ A = B
1
1
> n ⇒A < B
m
a

a
1
1
• Nếu m > n thì am > an ⇒ m < n ⇒ A > B
a
a
31 32 33 60
Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: P = . . ... và Q = 1.3.5.7...59 ?
2 2 2
2

•

Nếu m < n thì am < an ⇒

Hướng dẫn giải
Ta có:
31 32 33 60 31.32.33...60 (31.32.33...60)(1.2.3...30)
. . ... =
=
2 2 2
2
2 30
2 30.(1.2.3...30)
(1.3.5...59)(2.4.6...60)
=
= 1.3.5...59 = Q
2.4.6...60
P=

Vậy P = Q
Bài tập 9: So sánh M =

7.9 + 14.27 + 21.36
37
và N =
?
21.27 + 42.81 + 63.108
333

Hướng dẫn giải

13


7.9 + 14.27 + 21.36

7.9(1 + 2.3 + 3.4)

1

Rút gọn M = 21.27 + 42.81 + 63.108 = 21.27(1 + 2.3 + 3.4) = 9 ; N =
37
37 : 37 1
=
=
333 333 : 37 9

Vậy M = N.
Bài tập 10: Sắp xếp các phân số

21 62
93
; và
theo thứ tự tăng dần ?
49 97 140

Hướng dẫn giải
Quy đồng tử rồi so sánh
7

6

5

3

 1 
 1 
 3
 5 
Bài tập 11: So sánh a) A =  ÷ và B = 
÷ ; b)C =  ÷ và D = 
÷?
 80 
 243 
8
 243 

Hướng dẫn giải

x

n

x

n

Áp dụng công thức:  ÷ = n và ( x m ) = x m.n
y
 y
7

7

n

7

6

6

1
1
 1  1 1
 1  1
a) A =  ÷ >  ÷ =  4 ÷ = 28 và B= 
÷ =  5 ÷ = 30
 80   81   3  3

 243   3  3
1
1
Vì 28 > 30 nên A > B
3
3
5

5

3

3

 3   3  243
 5   5  125
b) C =  ÷ =  3 ÷ = 15 và D = 
÷ =  5 ÷ = 15
2
3
8  2 
 243   3 
125
243
125
125
⇒ C > D.
15 làm phân số trung gian, so sánh
15 >
15 >

2
2
2
315
1 3 5 99
2 4 6 100
Bài tập 12: Cho M = . . ... và N = . . ...
2 4 6 100
3 5 7 101
1
a) Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N
c) Chứng minh: M <
10

Chọn

Hướng dẫn giải
Nhận xét M và N đều có 50 thừa số
1 2 3 4 5 6
99 100
< ; < ; < ;...
<
nên M < N
2 3 4 5 6 7 100 101
1
b) Tích M.N =
101
1
1
1

c)Vì M.N =
mà M < N nên ta suy ra được : M.M <
<
101
101 100
1 1
1
tức là M.M < . ⇒ M <
10 10
10

a) Và

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Đề tài “Một số phương pháp so sánh phân số trong dạy học và bồi dưỡng học
sinh giỏi toán 6 tại trường THCS Nga Tiến, Nga Sơn” đã được tôi đưa vào giảng

14


dạy và đồng thời tôi cũng tiến hành thực nghiệm sư phạm ở các lớp học sinh 6
trường THCS Nga Tiến – huyện Nga Sơn. Cụ thể như sau:
4.1. Đối với công tác giảng dạy
Năm học 2016 – 2017, trong quá trình giảng dạy cho các em học sinh tôi
đã dạy cho học sinh hai lớp 6A, 6B để làm thực nghiệm. Lớp 6A dạy theo hướng
dẫn SGV và SGK lớp 6, còn lớp 6B tôi vận dụng đề tài “Một số phương pháp
so sánh phân số trong dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 tại trường
THCS Nga Tiến, Nga Sơn”.
Kết quả như sau:

Lớp
Sỹ số
Điểm < 5
Điểm ≥ 5
Số lượng
%
Số lượng
%
6A
36
10
27,77
26
72,23
6B
37
0
0
37
100
4.2. Đối với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối 6
Kết quả cho thấy, việc sử dụng bài tập có nhiều cách giải trong tiết dạy và các
hoạt động khác làm cho học sinh học tập tích cực hơn, không khí lớp học sôi nổi,
kết quả các bài kiểm tra đạt chất lượng cao hơn.Các học sinh điểm cao nhiều hơn
và các em muốn học muốn phấn đấu để vào được đội tuyển nhiều hơn.
Bồi dưỡng
Phương pháp
Kết quả đội tuyển thi
Kết quả quan sát
HSG

thực nghiệm
HSG
2015-2016 Tôi tiếp tục sử Các em đam mê và hứng - Có 3 học sinh đạt
dụng giải pháp thú học tập cao. Khả năng học sinh giỏi cấp
của đề tài này và tự học, tự tìm kiến thức trường.
rút kinh nghiệm mới và năng lực tư duy
năm trước.
phát triển tốt.
2016-2017 Tôi tiếp tục áp Học sinh đam mê học tập - Có 2 học sinh dự thi
dụng giải pháp và tích cực, năng lực tư duy cấp huyện đạt 1 giải
rút kinh nghiệm của các em phát triển tốt và nhất và 1 giải nhì.
lần trước
toàn diện.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Qua quá trình giảng dạy và thực nghiệm rút ra kết luận:
- Đã phân loại các dạng bài tập về so sánh phân số, nêu ra đặc điểm từng dạng
để hướng dẫn học sinh nhận biết từ đó chọn phương pháp giải phù hợp.
- Đã tiến hành thực nghiệm từ đó đánh giá tính hiệu quả của SKKN.
Tôi hi vọng từ kết quả của đề tài này sẽ giúp các em học sinh lớp 6 học tốt các
bài toán so sánh phân số, giúp các bạn đồng nghiệp có thêm một tài liệu tham
khảo phục vụ cho quá trình giảng dạy tốt hơn.
Bài viết này dựa trên cơ sở những kiến thức và kinh nghiệm đã tích lũy được
trong quá trình học tập và công tác. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn tới các

15


thầy cô giáo, đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn thành bài viết này. Rất mong được
sự phê bình, đánh giá đóng góp của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp.

2. Kiến nghị
Kính đề nghị Phòng giáo dục và Đào tạo Huyện Nga Sơn, Sở Giáo dục – Đào
tạo Thanh Hóa cần tổ chức tập huấn mở rộng nhiều SKKN hay tới cán bộ, giáo
viên trong toàn huyện. Đặc biệt những sáng kiến hay có nhiều ứng dụng trong
thực tiễn giảng dạy cần được phổ biến cho đông đảo tới các đồng nghiệp trong
toàn tỉnh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Nga Sơn, ngày 08 tháng 04 năm 2017
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Mai Thị Hà

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1- Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 6. Phan Đức Chính – Tôn Thân – Phạm
Gia Đức. Nhà xuất bản giáo dục.
2- Nâng cao và phát triển Toán 6. Tác giả: Vũ Hữu Bình. Nhà xuất bản giáo
dục.
3- Tuyển chọn 400 bài tập toán 6. Nhà Xuất đại học quốc gia thành phố Hồ Chí
Minh.
4- Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6. Vũ Hữu Bình – Tôn Thân – Đỗ Quang
Hiếu. Nhà Xuất bản giáo dục.
5- Nâng cao và các chuyên đề toán 6. Nhà xuất bản giáo dục.
6- Các loại tài liệu khác.....

17


DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ
CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên: Mai Thị Hà
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Nga Tiến, Nga Sơn
TT
1
2

Tên đề tài SKKN

Cấp
Kết
Năm học
đánh giá quả
xếp loại
Phát triển bài toán mới từ bài toán cơ Huyện
B
2014 - 2015
bản để nâng cao năng lực tư duy hình
học cho học sinh lớp 6.
2016 - 2017
Một số phương pháp so sánh phân số Huyện
A
trong dạy học và bồi dưỡng học sinh
giỏi toán 6 tại trường THCS Nga
Tiến, Nga Sơn.

18