Đề thi vào lớp 10 tỉnh Phú Thọ năm 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (1,5 điểm)
x 1
1  0
2
2 x  y  3
b) Giải hệ phương trình:  2
x  y  5

a) Giải phương trình:

Câu 2 (2,5 điểm)
1
2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình: y  x 2 và hai điểm
A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA  1, xB  2 .
a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.
c) Tính khoảng cách từ điểm O ( gốc tọa độ) tới đường thẳng (d)
Câu 3 (2,0 điểm)

Cho phương trình : x2  2(m  1) x  m2  m  1  0
a) Giải phương trình với m=0
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện sau:
1 1
 4
x1 x2

Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Kẻ IH  AB ,
IK  AD ( H  AB, K  AD ) .
a) Chứng minh rằng tứ giác AHIK nội tiếp
b) Chứng minh rằng IA.IC  IB.ID
c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng
d) Gọi S là diện tích tam giác ABD, S  là diện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng:
S  HK 2

S 4 AI 2

Câu 5 (1,0 điểm)
Giải phương trình:  x3  4  
3



3

( x 2  4) 2  4



2


Đáp án sơ lược:
Câu 1 (1,5đ)
a)

x 1
1  0  x 1  0  x  1
2

Vậy phương trình có tập nghiệm S  1
2 x  y  3

(1)
 y  2x  3
 y  2x  3




2
2
2
x  y  5
 x  2 x  3  5  x  2 x  8  0 (2)

b) 

Giải phương trình (2):

x1  2, x2  4
+ x  x1  2  y  1
+ x  x2  4  y  11

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y): (2; 1), (-4; -11)
Câu 2
1
2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình: y  x 2 và hai điểm A,
B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA  1, xB  2 .
a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.
c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d)
Giải:
a) Thay hoành độ các điểm A, B vào phương trình parabol:
A( -1;

1
), B( 2;2)
2

b) Gọi phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B là y  ax  b ( a, b  R )
1
1

  a  b
a 
vì đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B:  2


2


 2  2a  b
b  1
1
Phương trình đường thẳng (d) là y  x  1
2

c) Đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại C( -2; 0), D( 0; 1)
Dễ thấy tam giác OCD vuông tại O và OC  xC  2  2 ; OD  yD  1  1
CD  OD 2  OC 2  12  22  5

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống đường thẳng (d) thì khoảng cách từ điểm O
(gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) chính là độ dài đoạn OH:
1
1
SOCD  OC.OD  OH .CD
2
2
1
2 5
 1  OH . 5  OH 
2
5

Vậy khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) là

2 5

5


Câu 3:
a) Với m=0 phương trình đã cho trở thành: x 2  2 x  1  0
  2  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  1  2; x2  1  2
b)Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác không:

   0
m  2  0
 2

 2
2
0  2.(m  1).0  m  m  1  0
m  m  1  0
m  2


1  5
m 

2
1  5
Với m  2 và m 
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0.
2
 x1  x2  2(m  1)  2m  2
Áp dụng hệ thức vi-ét: 
2

 x1.x2  m  m  1
1 1
  4  x1  x2  4 x1.x2  2m  2  4.(m2  m  1)
x1 x2
3
 4m 2  2m  6  0  m  1( thỏa mãn) hoặc m 
(thỏa mãn)
2
3
Vậy : m  1 hoặc m 
2

Câu 4:

A
K
D

H
I

B

C
ˆ  900 ; AKI
ˆ  900
a) Tứ giác IHAK có AHI
ˆ  AKI
ˆ  900 mà hai góc này đối nhau  tứ giác IHAK nội tiếp.
 AHI

b) Xét hai tam giác IDA và ICB có:
ˆ  CIB
ˆ (Đối đỉnh)
AID
ˆ (Cùng chắn cung AB)  ADI
ˆ
ˆ  ACB
ˆ  ICB
ADB


 AID

BIC ( g.g ) 

AI ID

 IA.IC  ID.IB (đpcm)
BI IC

c)Xét hai tam giác HIK và BCD
ˆ  1800 (tứ giác IHAK nội tiếp)
ˆ  KAH
KIH
ˆ  DCB
ˆ  1800 (tứ giác ABCD nội tiếp)  KAH
ˆ  DCB
ˆ  1800
DAB
ˆ (1)

ˆ  DCB
 KIH
ˆ (tứ giác IHAK nội tiếp) HKI
ˆ  IAH
ˆ  CAB
ˆ  CDB
ˆ  IAH
ˆ (tứ giác ABCD nội tiếp) (2)
HKI
Từ (1) và (2): HIK đồng dạng DCB (g.g)
2

S
 KH 
d) HIK đồng dạng DCB  HIK  
 (3)
S DCB  BD 

S AIB
IB

S ADB DB
S
IB
Hai tam giác CIB và DBC chung đường cao kẻ từ đỉnh C: CIB 
SCBD DB
S
S
S
S

 CIB  AIB  ADB  AIB
SCBD S ADB
SCBD SCIB
S
S
AI
AI
Mà Hai tam giác AIB và CIB chung đường cao kẻ từ B: ADB  AIB 
 SCBD 
S ADB
SCBD SCIB IC
IC

Hai tam giác AIB và ABD chung đường cao kẻ từ đỉnh A:

2

S
S HIK
S
IC  KH 
 KH 

 HIK 
Thay vào (3): HIK 



S DCB AI S
S ADB IA  BD 

 BD 
ADB
IC

2

Áp dụng bất đẳng thức  x  y   4 xy : BD2   BI  ID   4BI .ID  4IA.IC ( Vì
IA.IC  ID.IB ). Dấu “=” xảy ra khi I là trung điểm BD
2

2

S HIK IC  KH 
IC KH 2
KH 2
S  KH 2





(Đpcm).


S ADB IA  BD 
IA 4 IA.IC 4 IA2
S 4 IA2
2



Câu 5:  x3  4  
3



3

( x 2  4) 2  4



2

(*)

Vì VP(*)>0  VT (*)  0  x3  4  0  x  3 4 >0
+Áp dụng bất đẳng thức cô-si:
VP (*) 



3

( x 2  4) 2  4



2

1
 
8



3

3



( x 2  4) 2  4 .

1  2 3 ( x 2  4) 2  16   3 ( x 2  4) 2  8 
 .
 

 

8 
3
3
 


3

3

 3 ( x 2  4) 2  8 
  x 3  4   3 ( x 2  4) 2  4  



3





3



2

( x 2  4) 2  8
 x 4
 3 x 3  20  3 ( x 2  4) 2
3
3

3



( x 2  4) 2  4 .8


3


13 2
1 2 x 2  16 x 2  8
2
( x  4).( x  4).8  .

Mà ( x  4) 
2
2
3
3
2
x 8
 3x 3  20  3 ( x 2  4) 2 
 9 x 3  x 2  68  0
3


  x  2  .  9 x 2  17 x  34   0  x  2  0  x  2(1)
 0,x  0


3

2

2

+Áp dụng bất đẳng thức cô-si:
2

3
2
2 x 44
 x3 .( x3  4) 
1 3
1 3
3
VT(*)=  x  4    x  4   x  4  .4   x  4  
 

4
4
2
4

 


2

3

3

Mặt khác: VP(*)=
2



3

( x 2  4) 2  4

3
 x3 .( x3  4) 
3

   x  4 
4


3
3
x .( x  4) 3

 16 x 2  4
4



3

 
2



3

16 x 2  4

( x 2  4) 2  4

 
2



3



2

Vậy:

16 x 2  4



2

Tiếp tục áp dụng BĐT cô si:
3

16 x 2  3 16 x 2  3 16 x 2  x 2  4 4 3 16 x 2 . 3 16 x 2 . 3 16 x 2 .x 2  8 x

8x  x2
 16 x 
3
3
3
x .( x  4) 3
8x  x2

 16 x 2  4 
4
4
3
 3 x 6  12 x 3  4 x 2  32 x  48  0
3

2

 ( x  2)(3 x 5  6 x 4  12 x 3  12 x 2  28 x  24)  0

Do 3x5  6 x4  12 x3  12 x2  28x  24  0, x  0 : x  2  0  x  2(2)
Các dấu “=” trong các bất đẳng thức xảy ra khi x=2
Từ (1) và (2): x=2
Câu 5 chỉ là lời giải của tác giả. Các bạn có cách ngắn gọn hơn xin hãy góp ý và cùng
trao đổi!