Một số vấn đề về phương trình sai phân dạng Xn+1 = α + (Xn - 1)/Xn

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Khải, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng sau
đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán và các khoa phòng chức năng của
trường, các Thầy, Cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt
là các Thầy, Cô giáo khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường.
Tôi xin cảm ơn các bạn học viên và người thân trong gia đình đã giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả luận văn

Dương Thị Minh Thu

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả luận văn

Dương Thị Minh Thu

ii


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

i

LỜI CAM ĐOAN

ii

PHẦN MỞ ĐẦU
1

1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Nghiệm tổng quát x
˜n . . . . . . . . . . . . . . . .
∗
1.3.4 Nghiệm riêng xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một . . . .

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . .
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ
số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Tính ổn định và tính hút của điểm cân bằng . . . . . . .
1.5.1 Định nghĩa sự ổn định và sự ổn định tuyến tính .
1.5.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương . . .

3
3
4
4
5
6
6
7
8
9
10
12
12
13
17
18
18
26

2 Một số vấn đề về phương trình sai phân dạng xn+1 =
α + xxn−1

31
n
2.1 Trường hợp α < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iii


2.2

2.1.1 Sự ổn định tuyến tính hóa . .
2.1.2 Tính hút toàn cục . . . . . . .
2.1.3 Tính dao động . . . . . . . .
Trường hợp α ≥ 0 . . . . . . . . . . .
2.2.1 Phương trình tuyến tính hóa
2.2.2 Bán chu kì của (2.12) . . . . .
2.2.3 Trường hợp 0 ≤ α < 1 . . . .
2.2.4 Trường hợp α = 1 . . . . . . .
2.2.5 Trường hợp α > 1 . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

31
33
38
40
40
44
46
46
47

KẾT LUẬN

51

Tài liệu tham khảo

52

iv


PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.
Phương trình sai phân là một trong những vấn đề quan trọng của
Giải tích toán học. Bên cạnh các bài toán về phương trình sai phân hệ
số hằng đã hoàn toàn được làm sáng tỏ thì các bài toán còn lại vẫn là
vấn đề mở cho toán học đương đại. Với mong muốn tìm hiểu về phương
trình sai phân, dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Khải và dựa trên
hai công trình nghiên cứu:
• On the recursive sequence xn+1 = α + xxn−1
, Alaa E. Hamza, Journal
n
of Mathematical Analysis and Applications.
, A.M. Amleh, E.A. Grove,
• On the recursive sequence xn+1 = α+ xxn−1
n
G. Ladas, Journal of Mathematical Analysis and Applications.
tôi đã chọn đề tài : "Một số vấn đề về phương trình sai phân
dạng xn+1 = α + xxn−1
."
n
2. Mục đích nghiên cứu.
.
Nghiên cứu về phương trình sai phân dạng xn+1 = α + xxn−1
n
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu về phương trình sai phân nói chung và phương trình sai phân
xn+1 = α + xxn−1
nói riêng.
n
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu: Phương trình sai phân xn+1 = α + xxn−1

.
n
Phạm vi nghiên cứu: Phương trình sai phân.
5. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp của giải tích toán học để tiếp cận vấn đề.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn.
Luận văn là một tài liệu bước đầu về phương trình sai phân
xn+1 = α + xxn−1
.
n
7. Cấu trúc luận văn.
Luận văn được trình bày gồm 2 chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số kiến
thức chuẩn bị về sai phân và một số tính chất của sai phân; phương
trình sai phân tuyến tính cấp n, cấp 1, cấp 2; một số khái niệm chung
về sự ổn định của phương trình sai phân.
1


Chương 2: Một số vấn đề về phương trình sai phân dạng
xn+1 = α + xxn−1
.
n
• Trường hợp α < 0 chúng ta nghiên cứu tính ổn định toàn cục,
tính không đổi và đặc trưng dao động của phương trình sai phân
xn+1 = α + xxn−1
với các điều kiện ban đầu x−1 , x0 là các số thực âm.
n
• Trường hợp α ≥ 0 chúng ta nghiên cứu tính ổn định toàn cục,
đặc trưng giới hạn và tính tuần hoàn tự nhiên của nghiệm dương của

phương trình sai phân xn+1 = α + xxn−1
với các điều kiện ban đầu x−1 ,
n
x0 là các số thực dương.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Giới hạn

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (cn )∞
n=1 là một dãy bị chặn các số thực. Kí
hiệu:
an = inf{ck : k ≥ n};
bn = sup{ck : k ≥ n}.
Dãy (an ) là dãy tăng và bị chặn, do vậy nó có giới hạn. Giới hạn này
được gọi là lim inf của dãy (cn ) và kí hiệu là lim inf cn .
n

lim inf cn = lim inf{ck : k ≥ n}.
n

n→∞

Tương tự, dãy (bn ) là dãy giảm và bị chặn, do vậy nó có giới hạn. Giới
hạn này được gọi là lim sup của dãy (cn ) và kí hiệu lim sup cn .

n

lim sup cn = lim sup{ck : k ≥ n}.
n

n→∞

Ví dụ 1.1.2
(i) Xét dãy
un = (−1)n .n
Ta có:
lim u2k = lim (−1)2k .2k = +∞;

k→+∞

k→+∞

lim u2k+1 = lim (−1)2k+1 .(2k + 1) = −∞.

k→+∞

k→+∞

Do đó:
3


lim inf un = −∞,

lim sup un = +∞.

n

n

(ii) Xét dãy
vn = (−1)n .
Ta có:
lim v2k = lim (−1)2k = 1;

k→+∞

k→+∞

lim v2k+1 = lim (−1)2k+1 = −1.

k→+∞

k→+∞

Do đó:
lim inf vn = −1,

lim sup vn = 1.

n

n

(iii) Xét dãy

2nπ
3

wn = cos
Ta có:

lim w3k = lim cos 2kπ = 1;

k→+∞

k→+∞

2π
−1
=
;
k→+∞
3
2
4π
−1
= lim cos
=
.
k→+∞
3
2

lim w3k+1 = lim cos

k→+∞

lim w3k+2

k→+∞

Do đó:
lim inf wn =
n

1.2

Sai phân.

1.2.1

Sai phân

−1
,
2

lim sup wn = 1.
n

Định nghĩa 1.2.1 Ta gọi sai phân cấp 1 của hàm số x(n) = xn với
n ∈ Z (hoặc n thuộc tập con nào đó của Z) là hiệu:
∆xn = xn+1 − xn .
Định nghĩa 1.2.2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của
sai phân cấp 1 của xn và bằng qui nạp ta được sai phân cấp k của hàm

xn là sai phân của sai phân cấp k − 1 của hàm số đó.
4


Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là:
∆2 xn = ∆(∆xn )
= ∆xn+1 − ∆xn
= xn+2 − xn+1 − (xn+1 − xn )
= xn+2 − 2xn+1 + xn
Sai phân cấp 3 của hàm xn là:
∆3 xn = ∆(∆2 xn )
= ∆2 xn+1 − ∆2 xn
= xn+3 − 2xn+2 + xn+1 − (xn+2 − 2xn+1 + xn )
= xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn
Qui nạp sai phân cấp k của hàm xn là
∆k xn = ∆(∆k−1 xn ) = ∆k−1 xn+1 − ∆k−1 xn
k

(−1)i Cki xn+k−i ,

=

(1.1)

i=0

k!
Từ công thức (1.1) suy ra một số tính chất của
i!(k − i)!
sai phân sau đây.

trong đó Cki =

1.2.2

Tính chất của sai phân

Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của
hàm số.
k

k

(−1)i Cki xn+k−i .

∆ xn =
i=0

Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số đều là một toán tử tuyến
tính.
Tính chất 3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là
(i) Đa thức bậc m − k, nếu k < m
(ii) Hằng số, nếu k = m
5


(iii) Bằng 0 khi k > m.
Tính chất 4.
N

∆k xn = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xa ,

k ∈ Z+ .

n=a

1.3
1.3.1

Phương trình sai phân tuyến tính
Phương trình sai phân

Định nghĩa 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức
tuyến tính giữa sai phân các cấp:
F (xn , ∆xn , ∆2 xn , ..., ∆k xn ) = 0

(1.2)

trong đó, xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn , cấp lớn nhất của các
sai phân (ở đây là bằng k), là cấp của phương trình sai phân; hàm phải
tìm là xn = x(n).
Định nghĩa 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một
biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau
ao xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = fn

(1.3)

trong đó a0 , a1 , ..., ak với a0 = 0, ak = 0 là các hằng số hoặc các hàm số
của n, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; fn là một hàm
số đã biết của n, được gọi là vế phải ; xn là hàm cần tìm, được gọi là ẩn.
Phương trình (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp

k (còn gọi là bậc k), để tính được xn , ta phải cho trước k giá trị liên tiếp
của xn , rồi tính các giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi (1.3).
Định nghĩa 1.3.3
Nếu fn ≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất.
Nếu fn ≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất.

6


Nếu fn ≡ 0 và a0 , a1 , ..., ak là các hằng số; a0 = 0, ak = 0 thì phương
trình (1.3) trở thành:
ao xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = 0

(1.4)

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với các
hệ số hằng số.
1.3.2

Nghiệm

Định nghĩa 1.3.4
Hàm số xn biến n, thỏa mãn (1.3) được gọi là nghiệm của phương
trình sai phân tuyến tính (1.3).
Hàm số ˜xn phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (1.4), được gọi là nghiệm
tổng quát của (1.4), với mọi tập giá trị ban đầu x0 , x1 ... xk−1 ta luôn
xác định được duy nhất các tham số C1 , C2 ...Ck để nghiệm ˜xn trở thành
nghiệm riêng của (1.4), tức là vừa thỏa mãn (1.4) vừa thỏa mãn ˜x0 = x0 ,

˜x1 = x1 ,..., ˜xk−1 = xk−1 .
Định lý 1.3.5 Nghiệm tổng quát xn của (1.3) bằng tổng ˜xn và x∗n , với
˜xn là nghiệm tổng quát của (1.4) và x∗n là một nghiệm riêng bất kì của
(1.3) :
xn = ˜xn + x∗n .
Định lý 1.3.6 Nếu xn1 , xn2 , ..., xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của
(1.4) thì nghiệm tổng quát ˜xn của (1.4) có dạng:
˜xn = C1 xn1 + C2 xn2 + ... + Ck xnk
trong đó C1 , C2 , ..., Ck là các hằng số tùy ý.
Bây giờ ta tìm nghiệm x
˜n của (1.4) và x∗n của (1.3). Vì phương trình
thuần nhất (1.4) luôn có nghiệm xn = 0, nên để tìm nghiệm tổng quát,
ta tìm xn của (1.4) dưới dạng xn = Cλn , C = 0, λ = 0.
Thay xn = Cλn vào (1.4) và ước lượng cho Cλn = 0 ta được:
Lλ = ao λk + a1 λk−1 + ... + ak = 0

(1.5)

Phương trình (1.5) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.4).
Nghiệm x
˜n của (1.4) và x∗n của (1.3) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc
nghiệm của (1.5).
7


1.3.3

Nghiệm tổng quát x
˜n

Định lý 1.3.7
• Nếu phương trình đặc trưng (1.5) có k nghiệm thực phân biệt λ1 , λ2 , ..., λk
thì nghiệm tổng quát ˜xn của (1.4) có dạng:
k

˜xn =

C1 λn1

+

C2 λn2

+ ... +

Ck λnk

Ci λni ,

=
i=1

trong đó Ci , i = 1, ..., k là các hằng số tùy ý.
• Nếu phương trình đặc trưng (1.5) có nghệm thực λj bội s, thì ngoài
nghiệm λnj , ta lấy thêm các vectơ bổ sung nλnj , n2 λnj , ..., ns−1 λnj , cũng là
các nghiệm độc lập của (1.4) và do đó:
s−1

k

Cji ni λnj

˜xn =
i=0

Ci λni ,

+
j=i=1

trong đó Cji và Ci là các hằng số tùy ý.
• Nếu phương trình đặc trưng (1.5) có nghiệm phức
λj = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ),
trong đó r = |λj | =

√

a2 + b2 , ϕ = acgumenλj , có nghĩa là tan ϕ =

b
,
a

thì nghiệm tổng quát ˜xn có dạng:
k

Ci λni + rn (Cj1 cos nϕ + Cj2 sin nϕ)

˜xn =
j=i=1

trong đó Ci , Cj1 , Cj2 là các hằng số tùy ý.
• Nếu phương trình đặc trưng (1.5) có nghiệm phức λj bội s, thì nó
¯ j bội s; trong trường hợp này, ngoài
cũng có nghiệm liên hợp phức λ
¯ j1 = rn sin nϕ ta cần lấy thêm 2n − 2 vectơ
nghiệm λj1 = rn cos nϕ, λ
nghiệm bổ sung
λj2 = rn n cos nϕ, λj3 = rn n2 cos nϕ, ..., λjs = rn ns−1 cos nϕ
¯ j2 = rn sin nϕ, λ
¯ j3 = rn n2 sin nϕ, ..., λ
¯ js = rn ns−1 sin nϕ
λ
Khi đó ta ta có:
8


k

Ci λni + rn [(A1 + A2 n + ... + As ns−1 ) cos ϕn

˜xn =
j=i=1

+(B1 + B2 n + ... + Bs ns−1 ) sin ϕn]
trong đó, Ci , A1 , A2 , ..., As , B1 , B2 , ..., Bs là các hằng số tùy ý.
1.3.4

Nghiệm riêng x∗n .

Ta xét các trường hợp sau đây:
Trường hợp 1 : fn là đa thức bậc m của n ; m ∈ N :
fn = Pm (n)
• Nếu các nghiệm λ1 , λ2 , ..., λk là các nghiệm thực khác 1 của phương
trình đặc trưng (1.5) thì:
x∗n = Qm (n),

m ∈ N.

trong đó Qm (n) là đa thức cùng bậc m với fn .
• Nếu phương trình đặc trưng (1.5) có nghiệm λ = 1 bội s thì:
x∗n = ns Qm (n),

m ∈ N.

trong đó Qm (n) là đa thức của n cùng bậc m với fn .
Trường hợp 2 : fn = Pm (n) β n , trong đó Pm (n) là đa thức bậc m của
n; m ∈ N
• Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.5) đều là các nghiệm
thực khác β, thì x∗n có dạng:
x∗n = Qm (n)β n
trong đó Qm (n) là đa thức cùng bậc với fn .
• Nếu phương trình đặc trưng (1.5) có nghiệm λ = β bội s thì tìm x∗n
dưới dạng
x∗n = ns Qm (n)β n
trong đó Qm (n) là đa thức của n cùng bậc với fn .
Trường hợp 3 : fn = α cos nx + β sin nx với α, β là hằng số.
Trong trường hợp này, nghiệm riêng x∗n được tìm dưới dạng:
x∗n = a cos nx + b sin nx.
9

Trường hợp 4 : fn = fn1 + fn2 + ... + fns
Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng x∗ni ứng với từng hàm fni ,
i = 1, 2, ..., s; Nghiệm riêng x∗n ứng với hàm fn sẽ là x∗n = x∗n1 + x∗n2 +
... + x∗ns , do tính tuyến tính của phương trình sai phân.
Để chi tiết các vấn đề nêu ở trên, ta nghiên cứu phương trình sai
phân tuyến tính cấp một và cấp hai.
1.3.5

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một

1.3.5.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.3.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một có dạng:
axn+1 + bxn = fn

(a = 0, b = 0)

hoặc
xn+1 = qxn + fn

(q = 0)

(1.6)

Nếu a, p, q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính
cấp một với hệ số hằng số.
Nếu a,p,q phụ thuộc n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp
một với hệ số biến thiên.

fn là hàm đã biết của n, gọi là vế phải; xn được gọi là ẩn.
Nếu fn ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất.
Nếu fn ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất.
1.3.5.2 Nghiệm

Nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng:
xn = x
˜n + x∗n
trong đó x
˜n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất và có dạng:
x
˜n = Cλn , với λ =

−b
hoặc λ = q.
a

Vậy ta cũng có thể viết x
˜n = Cq n , C = 0 còn x∗n là một nghiệm riêng
bất kì của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.
10


1.3.5.3 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình sai phân
tuyến tính cấp một không thuần nhất

Phương pháp 1: Phương pháp chọn (phương pháp hệ số bất định)
(i) fn là đa thức bậc m của n: fn = Pm (n)

• λ = 1 thì x∗n được tìm dưới dạng đa thức cùng bậc m với fn .
x∗n = Qm (n); Qm (n) là đa thức bậc m của n.
• λ = 1 thì ta có x∗n = nQm (n); Qm (n) là đa thức bậc m của n.
(ii) Nếu fn = αβ n (αβ = 0), thì tìm x∗n dưới dạng :
• x∗n = Cβn, nếu λ = β
• x∗n = Cnβn, nếu λ = β
Mở rộng: Nếu fn = Pm (n)β n (β = 0). Khi đó, x∗n được tìm dưới
dạng:
• x∗n = Qm (n)β n , nếu λ = β;
• x∗n = nQm (n)β n , nếu λ = β.
−b
trong đó λ là nghiệm của phương trình đặc trưng, λ =
hoặc
a
λ = q; Qm (n) là đa thức bậc m của n.
(iii) fn = α sin nx + β cos nx, α2 + β 2 = 0, x = kπ, k ∈ Z
Khi đó: x∗n = A sin nx + B cos nx.
s

s

x∗nk với x∗nk

fnk . Khi đó, x∗n được tìm dưới dạng: x∗n =

(iv) fn =

k=1

k=1

tương ứng là nghiệm riêng của fnk , k = 1, 2, ..., s.
Phương pháp 2 : Phương pháp biến thiên hằng số
Xét phương trình
axn+1 + bxn = fn .
Phương trình này có nghiệm
x
˜n = Cλn với λ =

−b
.
a

Để tìm nghiệm riêng, ta xem C biến thiên theo n, có nghĩa là C là
một hàm của n và tìm x∗n = Cn λn . Thay vào phương trình sai phân, ta
được:
aCn+1 λn+1 + bCn λn = fn
11


−b
+ bCn λn = fn
a
n
⇔ −bλ (Cn+1 − Cn ) = −bλn ∆Cn = fn
fn
⇔ ∆Cn = − n .
bλ
Lấy tổng 2 vế theo k từ 0 đến n − 1, ta được:
⇔ aCn+1 λn

1
Cn = C0 −
b
Vậy

x∗n

1
= C0 −
b

n−1

k=0

n−1

k=0

fk
.
λk

fk
.λn .
k
λ

1.3.5.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên

Xét phương trình sai phân cấp một với hệ số biến thiên
xn+1 = qn xn + fn ,

n = 0, 1, 2, ...

(1.7)

x0 = a
trong đó qn và fn là các hàm số của n.
Để tìm nghiệm của (1.7) ta dựa vào định lý sau đây.
Định lý 1.3.9 Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân không thuần
nhất (1.7) xn có dạng:
xn = ˜xn +x∗n
trong đó ˜xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng
xn+1 = qn xn
còn x∗n là một nghiệm riêng tùy ý của (1.7).

1.4
1.4.1

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
Định nghĩa

Định nghĩa 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng:
axn+2 + bxn+1 + cxn = fn
12

(1.8)

hay
xn+2 = pxn+1 + qxn + fn , q = 0
trong đó xn là hàm của đối số nguyên n, gọi là ẩn; fn là hàm số của n,
gọi là vế phải.
Nếu a, b, c, p, q là các hằng số thì (1.8) gọi là phương trình sai phân
tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số.
Nếu a, b, c, p, q là các hàm số thì của n (1.8) gọi là phương trình sai
phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.
Nếu fn ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp
hai tương ứng với (1.8) là:
axn+2 + bxn+1 + cxn = 0
hay
xn+2 = pxn+1 + qxn .

(1.9)

Nếu fn ≡ 0 thì (1.8) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
không thuần nhất
1.4.2

Nghiệm

Nghiệm tổng quát của (1.8) có dạng:
xn = xn + x∗n
trong đó xn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
(1.9) và x∗n là một nghiệm riêng tùy ý của (1.8).
1.4.2.1 Nghiệm tổng quát xn của phương trình thuần nhất

(i) Nếu phương trình đặc trưng
aλ2 + bλ + c = 0

(1.10)

có hai nghệm thực phân biệt λ1 = λ2 thì
xn = Aλn1 + Bλn2
trong đó A, B là hai hằng số tùy ý.
(ii) Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm thực kép λ1 = λ2 = λ
thì
xn = (A + Bn)λn
trong đó A, B là hai hằng số tùy ý.
13


(iii) Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm phức
λ = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ)
với i2 = −1, r = |λ| =

x2 + y 2 , ϕ = arc = arctg

y
x

thì (1.10) có nghiệm phức liên hợp
¯ = x − iy = r(cos ϕ − i sin ϕ)
λ
với i, r, ϕ đã nói ở trên.
Khi đó nghiệm tổng quát xn của (1.9) có dạng:
xn = rn (A cos nϕ + B sin nϕ)

Trong đó A, B là các hằng số tùy ý.
1.4.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n

Phương pháp 1: Phương pháp chọn (còn gọi là phương pháp hệ số
bất định).
Xét các trường hợp sau:
(i) fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk (n)
• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) không có nghiệm λ = 1 thì
x∗n = Qk (n)
trong đó Qk (n) là đa thức bậc k của n.
• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm đơn λ = 1 thì
x∗n = nQk (n).
• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm kép λ = 1 thì
x∗n = n2 Qk (n).
(ii) fn = Pk (n)β n , trong đó Pk (n) là đa thức bậc k của n
• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) không có nghiệm λ = β thì
x∗n = Qk (n)β n
trong đó Qk (n) là đa thức bậc k của n.
• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm đơn λ = β thì
x∗n = nQk (n)β n .
• Nếu phương trình đặc trưng (1.10) có nghiệm kép λ = β thì
x∗n = n2 Qk (n)β n .
14


(iii) fn = Pm (n) cos βn + Ql (n) sin βn
trong đó Pm (n) và Ql (n) là các đa thức bậc m, l của n. Kí hiệu
k = max[m, l].
• Nếu α = cos β±i sin β, với i2 = −1 không là nghiệm của phương
trình đặc trưng (1.10) thì tìm x∗n dưới dạng:

x∗n = Tk (n) cos βn + Rk (n) sin βn
trong đó Tk (n), Rk (n) là các đa thức bậc k của n.
• Nếu α = cos β ± i sin β, với i2 = −1 là nghiệm của phương trình
đặc trưng (1.10) thì tìm x∗n dưới dạng:
x∗n = nTk (n) cos βn + nRk (n) sin βn
trong đó Tk (n), Rk (n) là các đa thức bậc k của n.
Phương pháp 2: Phương pháp biến thiên hằng số
Xét phương trình sai phân
xn+2 = pn xn+1 + qn xn + fn

(1.11)

có phương trình sai phân thuần nhất tương ứng là:
xn+2 = pn xn+1 + qn xn .

(1.12)

Nếu un , vn là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1.12) thì ta tìm
nghiệm riêng của (1.11) dưới dạng
x∗n = An un + Bn vn
trong đó An , Bn là hai hàm số của n. Thay x∗n vào (1.11), ta được:
An+2 un+2 + Bn+2 vn+2 = pn (An+1 un+1 + Bn+1 vn+1 )+
+ qn (An un + Bn vn ) + f (n).

(1.13)

Ta có:
An+2 un+2 − pn An+1 un+1 − qn An un
=un+2 (An+2 − An+1 ) + un+2 An+1 − pn An+1 un+1 − qn An un
=un+2 An+1 + An+1 (pn un+1 + qn un ) − pn An+1 un+1 − qn An un

=un+2 An+1 + qn An un
15


vì un+2 = pn un+1 + qn un theo giả thiết un là nghiệm của (1.12).
Theo công thức sai phân của tích
an bn = bn+1 an + an bn
ta có:
2

(un+1 An ) = un+2

An +

un+1 An

và
un+2 An+1 + qn un An
= un+2 ( An+1 − An ) + un+2 An + qn un An
= un+2 2 An + un+2 An + qn un An
= (un+1 An+1 ) − un+1 An + un+2 An + qn un An
= (un+1 An+1 ) + An (−un+2 + un+1 + un+2 ) + qn un An
= (un+1 An+1 ) + un+1 An + qn un An .
Tương tự đối với vn ta có:
Bn+2 vn+2 −pn Bn+1 vn+1 −qn Bn vn =

(vn+1 Bn+1 )+vn+1 Bn +qn vn Bn .

Thay vào (1.13), ta được:
(un+1 An )+ (vn+1 Bn )+un+1 An +vn+1 Bn +qn un An +qn vn Bn = fn

hay
(un+1 An +vn+1 Bn )+(un+1 An +vn+1 Bn )+qn (un An +vn Bn ) = fn .
Suy ra
un+1 An + vn+1 Bn = 0
qn (un An + vn Bn ) = fn
là đủ.
Giải hệ phương trình này theo
An =

An ,

−vn+1 fn
,
qn Wn

Bn , ta được:

Bn =

un+1 fn
qn Wn

un+1 vn+1
= 0, do giả thiết un , vn độc lập tuyến tính.
un
vn
Từ đó x∗n = An un + Bn vn .

với Wn =

16


Đặc biệt, nếu phương trình có hệ số hằng số thì phương trình đặc
trưng
λ2 − λp − q = 0
có nghiệm λ1 , λ2 với λ1 λ2 = −q. Do vậy:
(i) Nếu λ1 = λ2 là các nghiệm của phương trình đặc trưng thì hai
nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình sai phân thuần nhất
là:
un = λn1 , vn = λn2 .
λn+1
λn+1
1
2
= λn1 λn2 (λ1 − λ2 )
Khi đó: Wn =
n
n
λ1
λ2
fn
−fn
và An = n+1
, Bn = n+1
.
λ1 (λ1 − λ2 )
λ2 (λ1 − λ2 )
(ii) Nếu λ1 = λ2 = λ là nghiệm thực kép của phương trình đặc trưng
thì hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình sai phân thuần

nhất là:
un = λn , vn = nλn .
λn+1 (n + 1)λn
Khi đó: Wn =
= −λ2n+1
λn
nλn
−(n + 1)fn
fn
và An =
,
B
=
.
n
λn+2
λn+2
(iii) Nếu r(cos ϕ + i sin ϕ) là nghiệm phức của phương trình đặc trưng
thì hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình sai phân thuần
nhất là:
un = rn cos nϕ, vn = rn sin nϕ.
rn+1 cos(n + 1)ϕ rn+1 sin(n + 1)ϕ
= −r2n+1 sin ϕ
n
n
r cos nϕ
r sin nϕ
−fn sin(n + 1)ϕ
fn cos(n + 1)ϕ
An =

,
B
=
.
n
rn+2 sin ϕ
rn+2 sin ϕ

Khi đó: Wn =
và
1.4.3

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến
thiên

Xét phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên
xn+2 = pn xn+1 + qn xn + fn , n = 0, 1, 2, ...
17

(1.14)


x0 = a, x1 = b
trong đó pn , qn , fn là các hàm số của n.
Để tìm nghiệm của (1.14) ta dựa vào định lý sau đây.
Định lý 1.4.2 Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính
(1.15) xn có dạng:
xn = xn + x∗n
trong đó xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất
tương ứng

xn+2 = pn xn+1 + qn xn

(1.15)

còn x∗n là một nghiệm riêng bất kỳ của (1.14).
Để tìm nghiệm tổng quát xn của (1.15) ta dựa vào định lý sau đây.
Định lý 1.4.3 Nếu un và vn là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1.15)
thì nghiệm tổng quát xn của (1.15) sẽ là:
xn = Aun + Bvn
trong đó A, B là hai hằng số tùy ý.

1.5
1.5.1

Tính ổn định và tính hút của điểm cân bằng
Định nghĩa sự ổn định và sự ổn định tuyến tính

Cho I là một đọan các số thực và
f :I ×I →I
là một hàm khả vi liên tục. Khi đó, với mỗi điều kiện ban đầu x0 , x−1
∈ I thì phương trình sai phân
xn+1 = f (xn , xn−1 ),
có duy nhất một nghiệm {xn }

n = 0, 1, ...

(1.16)

∞
n=−1 .

Định nghĩa 1.5.1 Điểm ¯x ∈ I được gọi là điểm cân bằng (equilibrium point) của phương trình (1.16) nếu
¯x = f (¯x,¯x).
18


Tức là,
xn = ¯x ∀n ≥ 0
là một nghiệm của (1.16), hay ¯x là điểm cố định (fixed point) của
f.
Ví dụ 1.5.2 Xét phương trình sai phân
xn+1 = −3 +
Điểm cân bằng ¯x thỏa mãn ¯x = −3 +

xn−1
.
xn

¯x
⇔
¯x

¯x = −2.

Định nghĩa 1.5.3 Giả sử ¯x là điểm cân bằng của phương trình (1.16)
(i) Điểm cân bằng ¯x của (1.16) được gọi là điểm ổn định địa phương
(locally stable) nếu ∀ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
x0 , x−1 ∈ I thỏa mãn
|x0 − ¯x | + |x−1 − ¯x| < δ,
ta có :

|xn − ¯x| < ε,

∀n ≥ −1.

(ii) Điểm cân bằng ¯x của (1.16) được gọi là điểm ổn định tiệm cận
địa phương (locally asymptotically stable) nếu ¯x ổn định địa
phương và nếu ∀γ > 0 sao cho với mọi x0 , x−1 ∈ I thỏa mãn
|x0 − ¯x| + |x−1 − ¯x| < γ,
ta có:
lim xn = ¯x.

n→∞

(iii) Điểm cân bằng ¯x của (1.16) được gọi là điểm hút toàn cục
(global attractor) nếu với mọi x0 , x−1 ∈ I ta có:
lim xn = ¯x.

n→∞

19


(iv) Điểm cân bằng ¯x của (1.16) được gọi là ổn định tiệm cận toàn
cục (globally asymptotically stable) nếu ¯x ổn định địa phương
và hút toàn cục.
(v) Điểm cân bằng ¯x của (1.16) được gọi là điểm gốc (source) nếu
∃r > 0 sao cho với mọi x0 , x−1 ∈ I thỏa mãn
0 < |x0 − ¯x| + |x−1 − ¯x| < r,
tồn tại N ≥ 1 sao cho :
|xN −¯x |≥ r.

Rõ ràng điểm gốc là một điểm cân bằng không ổn định.
Định nghĩa 1.5.4
Đặt:
p=

df
df
(¯x, ¯x), q = (¯x, ¯x)
du
dv

là đạo hàm riêng của f (u, v) theo u, v tương ứng tại điểm ¯x. Khi đó,
phương trình
yn+1 = pyn + qyn−1 ,

(n = 0, 1, ...)

(1.17)

được gọi là phương trình tuyến tính hóa liên kết với phương trình (1.16)
về điểm cân bằng ¯x.
Định lý 1.5.5 (Tính ổn định tuyến tính hóa)
(i) Nếu cả hai nghiệm của phương trình bậc hai
λ2 − pλ − q = 0

(1.18)

đều thỏa mãn |λ| < 1 thì điểm cân bằng ¯x là điểm ổn định tiệm cận
địa phương.
(ii) Nếu ít nhất một trong hai nghiệm của phương trình (1.18) thỏa mãn

|λ| > 1 thì điểm cân bằng ¯x là điểm không ổn định.

20


Định lý 1.5.6
(i) Điều kiện cần và đủ để cả hai nghiệm của (1.18)thỏa mãn |λ| < 1
là:
|p| < 1 − q < 2.
(ii) Điều kiện cần và đủ để hai nghiệm của (1.18) thỏa mãn |λ| > 1 là:
|q|> 1 và |p|< |1 − q|.
trong trường hợp này điểm cân bằng ¯x là điểm gốc (repeller).
(iii) Điều kiện cần và đủ để một nghiệm |λ1 | > 1 và nghiệm còn lại
|λ2 | < 1 là:
p2 + 4q > 0 và |p|> |1 − q|.
trong trường hợp này điểm cân bằng không ổn định ¯x là điểm yên
ngựa (saddle point).
(iv) Điều kiện cần và đủ để một nghiệm của (1.18) có |λ|= 1 là:
|p|= |1 − q|

hoặc

q = −1
|p| 2

trong trường hợp này điểm cân bằng ¯x là điểm không hyperbolic
(nonhyperbolic point).
Chứng minh
Giả sử phương trình có hai nghiệm λ1 , λ2 . Theo Viet ta có:
λ1 + λ2 = p

λ1 .λ2 = −q
(i) Trường hợp 1. Phương trình có hai nghiệmthực

λ1 λ2 < 1
|λ1 | < 1
−1 < λ1 < 1
Ta có:
⇔
⇔ (1 − λ1 )(1 − λ2 ) > 0

|λ2 | < 1
−1 < λ2 < 1

(1 + λ1 )(1 + λ2 ) > 0

21