Xây dựng và sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực quan với mục đích vạch ra sai lầm và sửa chữa thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm số mũ, hàm số logarit

MỤC LỤC
Mở đầu..................................................................................................................2
I. Lý do chọn đề tài............................................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu....................................................................................2
III. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................2
IV. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................3
V. Đóng góp của Sáng kiến...............................................................................3
1. Về mặt lý luận............................................................................................3
2. Về mặt thực tiễn........................................................................................3
Chương I...................................................................................................3
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn..............................................................................3
1.1. Vai trò và chức năng của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học
.......................................................................................................................3
1. 2. Vai trò của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học...................3
1.3. Chức năng của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học.............4
1.4. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan
.......................................................................................................................5
1.5. Hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan......5
1.6. Đặc điểm, yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số
logarít ở trường phổ thông.............................................................................6
1.7. Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trường Trung học
phổ thông.......................................................................................................6
1. 8. Kết luận chương I..................................................................................7
Chương II:................................................................................................8
II. Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch ra sai lầm và sửa chữa
thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm số mũ, hàm số
logarít.................................................................................................................8
2.1. Những sai lầm do việc không nắm vững các định nghĩa, định lý, quy
tắc... vận dụng chúng một cách máy móc không chú ý đến điều kiện áp
dụng:..............................................................................................................8
2.2. Dùng phương tiện trực quan để vạch ra những sai lầm của học sinh

trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít..........................10
2.3. Sử dụng phương tiên trực quan giải quyết những khó khăn thường gặp
của học sinh khi học phần hàm số mũ và hàm số logarít thường gặp.........14
2.4 Kết luận chương 2.................................................................................17
Tài liệu tham khảo.............................................................................................18


Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
Thực hiện chủ trương của Đảng, của Bộ giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu
cầu phát triển mới của xã hội, quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói
riêng đã có nhiều sự thay đổi. Nghị quyết TW “…đổi mới mạnh mẽ phương
pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện
nếp tư duy cho học sinh, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến hiện đại
vào quá trình dạy học…”.
Một trong những hướng quan trọng của sự phát triển phương pháp hiện
đại trong dạy học toán là xây dựng các phương tiện dạy học và chỉ dẫn phương
pháp sử dụng chúng trong các giờ toán, nhằm hình thành ở học sinh các hình
ảnh cảm tính của đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tình huống có vấn
đề, tạo nên sự hứng thú trong các giờ học toán.
Trong thời gian gần đây dưới ảnh hướng của sự tiến bộ khoa học kỹ thuật
và sự phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học đã xuất hiện ở
trường phổ thông. Nó không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà
còn là phương tiện tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh, là
phương tiện tổ chức khoa học lao động sư phạm của giáo viên và học sinh.
Thực tế dạy học ở nhà trường Trung học phổ thông nước ta cho thấy học
sinh thường gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số
logarít, nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức, học thuộc khái niệm, nhưng
không giải thích được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn tới việc vận
dụng một cách máy móc, hoặc không biết hướng vận dụng. Do vậy việc sử dụng

các phương tiện trực quan vào quá trình dạy học là việc làm cần thiết và phù hợp
với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường phổ thông.
Từ nhận thức ấy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình với tiêu đề: Xây dựng và
sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực quan với mục đích vạch ra
sai lầm và sửa chữa thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần
hàm số mũ, hàm số logarít.
II. Mục đích nghiên cứu
Sáng kiến xác định một số dạng phương tiện dạy học trực quan cần thiết
và chỉ dẫn phương pháp sử dụng chúng trong dạy học khái niệm - Định lý - Giải
toán phần hàm số mũ, hàm số logarít.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Hệ thống hóa cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học hàm số mũ và hàm số
logarít, trong mối liên hệ với vai trò và chức năng của phương tiện trực quan
trong dạy học toán.
2. Hình thành các yêu cầu sư phạm của các dạng phương tiện trực quan
trong dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít và thể hiện cụ thể qua một số
dạng phương tiện trực quan tương ứng với các hoạt động chủ yếu trong dạy học
toán.
2


IV. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu, phương pháp dạy học toán và sách giáo khoa,
sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài nghiên cứu.
2. Quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh về hàm
số mũ, hàm số logarít có sử dụng các phương tiện dạy học trực quan.
Phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh khi học phần hàm số
mũ, hàm số logarít theo sách giáo khoa

V. Đóng góp của Sáng kiến
1. Về mặt lý luận
Xác định các cơ sở khoa học để xây dựng và sử dụng phương tiện trực
quan trong quá trình dạy học.
Xác định được các biện pháp áp dụng phương tiện trực quan nhằm góp
phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít.
2. Về mặt thực tiễn
Thể hiện được các yêu cầu sư phạm đã chỉ ra vào việc xây dựng và sử
dụng các phương tiện trực quan để dạy học một phần quan trọng của chương
Giáo viên toán ở trường THPT có thể sử dụng Sáng kiến làm tài liệu tham
khảo khi dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít.
Chương I
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Vai trò và chức năng của phương tiện trực quan trong quá trình dạy
học
Trong thực tiễn dạy học, học sinh thường gặp khó khăn có khi tưởng
chừng không vượt qua nổi khi chuyển từ cụ thể lên trừu tượng và khi đi từ cái
trừu tượng lên cái cụ thể trong tư duy. Khó khăn đó nằm chủ yếu ở chỗ: Khi tri
giác cái cụ thể hiện thực học sinh không biết phát hiện ra cái chung bản chất và
chủ yếu ẩn nấp hoặc bị che lấp trong muôn vàn cái riêng không bản chất và thứ
yếu của cái cụ thể; ngược lại, khi vận dụng khái niệm, định luật vào những
trường hợp cụ thể thì học sinh lại lúng túng trong việc tìm ra cái riêng biệt đơn
nhất, độc đáo của chúng mặc dù chúng đều có cùng một cái chung bản chất [18].
1. 2. Vai trò của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học
Trong dạy học toán việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan đóng
một vai trò rất quan trọng. Phương tiện trực quan không chỉ giúp cho việc minh
họa và tập trung sự chú ý của học sinh vào những thuộc tính và đặc điểm bên
ngoài của đối tượng và hơn thế phương tiện trực quan còn giúp học sinh nhanh
chóng phát hiện những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ bản chất của
đối tượng và cho phép nhận ra nó như một cái toàn bộ thống nhất [4].

Phương tiện trực quan không chỉ tham gia vào quá trình hình thành khái
niệm mà còn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải bài tập toán… phương
3


tiện trực quan là cầu nối, là khâu trung gian trong giai đoạn trừu tượng hóa (từ
cụ thể trừu tượng lên khái niệm lý thuyết) và cả trong giai đoạn cụ thể hóa (tái
tạo ra cái cụ thể trong tư duy)
Mối quan hệ đó được thể hiện ở sơ đồ sau:
Trừu tượng hoá
Cái cụ
thể hiện
thực

Phương
tiện
trực
quan

Cái trừu
tượng lý
thuyết

Cụ thể hoá
Khẳng định của V.I. Lênin về mối quan hệ biện chứng của nhận thức là rất
sâu sắc khi cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau của ba yếu
tố: Trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn. Mỗi yếu tố đó đều cần
thiết và mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được. Sự tác động lẫn
nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu chí cuối “Từ trực quan
sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ trừu tượng đến thực tiễn. Đó là con

đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự nhận thức hiện thực khách
quan”
Nhà toán học nổi tiếng A.N. Kôlmôgorôv lưu ý giáo viên “đừng để hứng
thú đến mặt lôgíc của giáo trình làm lu mờ việc giáo dục tư duy trực quan cho
học sinh”, một khi chương trình và sách giáo khoa đã được hiện đại hóa
Vai trò của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học là rất quan
trọng. Do đặc điểm của toán học, hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi
nhất, có ý nghĩa nhất trong môn toán là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ,
đồ thị, bảng, công thức, kí hiệu…). Phương tiện trực quan tượng trưng là một
hệ thống ký hiệu quy ước nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu tách rời
khỏi tất cả các tính chất khác của đối tượng và hiện tượng
1.3. Chức năng của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học
Quan niệm mới về thành phần và chức năng của phương tiện trực quan
dẫn đến xu hướng sử dụng ngày càng nhiều các mô hình trong dạy học. Khi mức
độ trừu tượng của các đối tượng nhận thức đối với việc học trong môn toán được
nâng cao thì các phương tiện trực quan trở thành phương tiện nhận thức có hiệu
quả, giúp học sinh tìm thấy được các mối liên hệ và quan hệ giữa các yếu tố
thành phần trong sự vật hiện tượng hoặc giữa các sự vật hiện tượng với nhau.
a. Chức năng truyền thụ tri thức:
+) Khi nhận thức chuyển từ cụ thể đến trừu tượng phương tiện trực quan
giúp tạo ra các hình ảnh ban đầu các biểu tượng về đối tượng nghiên cứu.
+) Khi nhận thức chuyển từ trừu tượng đến cụ thể phương tiện trực quan
minh họa bằng hình ảnh cho các khái niệm trừu tượng đã biết từ trước.
+) Phương tiện trực quan thiết lập cho học sinh mẫu của sự biểu thị khoa
học chính xác của khái niệm trừu tượng.
4


b. Chức năng hình thành kỹ năng học sinh:
+) Phương tiện trực quan cho học sinh làm quen với sự sử dụng để tìm

các kiến thức cần thiết và áp dụng nó.
+) Làm cho học sinh làm quen với các phương pháp nghiên cứu toán
học.
c. Chức năng phát triển hứng thú học tập:
+) Tạo cho học sinh cảm hứng thẩm mỹ, các tình huống có vấn đề, tạo ra
sự hứng thú toán học.
+) Tái tạo cho học sinh nội dung các vấn đề nghiên cứu trong dạng gắn
gọn, nhằm củng cố, ghi nhớ, áp dụng kiến thức.
d. Chức năng điều khiển quá trình dạy học:
+) Hướng dẫn phương pháp trình bày chủ đề nghiên cứu cho giáo viên.
+) Nhanh chóng làm xuất hiện và ngừng truyền thông tin học tập trong
hoạt động nhận thức, khi kiểm tra và đánh giá kết quả dạy học.
+) Bảo đảm thực hiện các hình thức học tập cá biệt và phân nhóm.
Trong dạy học toán vai trò và chức năng của phương tiện trực quan là rất
quan trọng, ảnh hưởng rất nhiều đến sự nhận thức, tư duy của học sinh trong quá
trình học tập.
1.4. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực
quan
Khi xây dựng và sử dụng đúng đắn các phương tiện trực quan phục vụ
cho việc dạy học theo một chủ đề thì vừa đạt được mục đích dạy học nói chung,
vừa đạt được mục đích dạy học một chủ đề nói riêng, đồng thời phải góp phần
nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học. Việc phân tích đánh giá hiệu quả của
quá trình dạy học theo một chủ đề, không chỉ thể hiện ở việc đánh giá kết quả
học tập nhất thời của học sinh mà còn phải xem xét việc lựa chọn phương tiện
và cả quá trình sử dụng phương tiện của thầy cô và trò ở lớp. Nếu đã lựa chọn
phương tiện dạy một cách thích hợp thì khi sử dụng nó có thể khai thác được các
chức năng của phương tiện nhằm đạt được yêu cầu đặt ra cho nó và như thế sẽ
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học [2].
1.5. Hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan
Kết quả của việc giảng dạy khi sử dụng phương tiện trực quan phụ thuộc

vào việc lựa chọn đúng đắn các phương tiện trực quan và việc sử dụng đúng đắn
các phương tiện đó trong quá trình dạy học toán
Thực tiễn dạy học cho thấy rằng nếu có ý thức và kỹ năng sử dụng các
phương tiện trực quan một cách hợp lý thì sẽ góp phần:
- Tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy học.
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức bền vững, chính xác trong dạng
ngắn gọn, rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất và
đời sống.
5


Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa là giảng dạy dựa trên các
hình tượng hiểu biết của học sinh.
1.6. Đặc điểm, yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít
ở trường phổ thông
a) Về phương diện mục đích dạy học:
Dự thảo chương trình cải cách môn toán đã chỉ rõ: Cung cấp cho học sinh
một hệ thống vững chắc những tri thức, kỹ năng phương pháp toán phổ thông,
cơ bản, hiện đại, tương đối hoàn chỉnh, thiết thực, sát thực tế Việt Nam, theo
tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp [17].
- Làm cho học sinh nắm vững chắc những khái niệm về hàm số mũ, hàm
số logarít, các tính chất, định lý, các dạng đồ thị, các phương trình, bất phương
trình mũ, logarít.
- Giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa hàm số mũ với hàm số
logarít, chỉ ra các ứng dụng thực tế của hàm số mũ và hàm số logarít (trong các
ngành kỹ thuật, trong hóa học, trong âm nhạc…) và giải các bài toán thích hợp .
b) Về phương diện nội dung dạy học:
* Về mặt lý thuyết:
Xây dựng khái niệm hàm số mũ y = ax (a > 0) với tập xác định là toàn bộ
R, đó là một hàm số liên tục, đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1 và

luôn luôn có giá trị dương...
Việc học hàm số mũ có tác dụng quan trọng là chuẩn bị cho việc học hàm
số logarít, để dẫn tới logarít là một vấn đề có ý nghĩa về mặt thực tiễn.
Bằng việc sử dụng các phương tiện trực quan hợp lý khi giảng dạy giáo
viên phải làm cho học sinh thấy được ý nghĩa lý thuyết và thực tế, tác dụng giáo
dục của toàn chương, nắm vững khái niệm, tính chất, các định lý về logarít và ý
nghĩa của định lý đó. Trên cơ sở đó học sinh mới có ý thức trong việc rèn luyện
kỹ năng sử dụng logarít vào việc giải các bài toán và thực tiễn.
* Về phương diện bài tập:
Bằng các hình ảnh minh họa trực quan cần rèn luyện cho học sinh đạt
được những kỹ năng sau đây: Giúp học sinh biết lập luận có căn cứ, trình bày lời
giải một cách mạch lạc, biết vận dụng công thức một cách sáng tạo khi giải các
bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarít.
Biết khai thác các ứng dụng của hàm mũ và hàm số logarít vào thực tiễn,
đồng thời rèn luyện các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tự kiểm
tra đánh giá...
1.7. Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trường Trung học
phổ thông
Việc phân tích thực tế dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít là việc
làm rất cần thiết. Điều đó cho chúng tôi có thêm cơ sở xác định đúng đắn các
yêu cầu sư phạm đối với các phương tiện dạy học trực quan [2].
Thực tiễn dạy học ở trường Trung học phổ thông cho thấy chất lượng dạy
học phần hàm số mũ, hàm số logarít chưa cao, học sinh nắm kiến thức một cách
6


hình thức, lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý. Chẳng hạn cho rằng lý
luận dẫn đến định nghĩa số mũ 0, a0 = 1(a ≠ 0 ) là một chứng minh.
Nhiều học sinh còn mơ hồ hoặc là không nắm được các tính chất, không hiểu
được bản chất của các định lý về hàm số mũ, hàm số logarít.

Chẳng hạn: “4 3 nghĩa là gì” thì câu trả lời của đa số học sinh còn thiếu
chính xác. Bên cạnh đó, do việc không nắm chắc các giả thiết, định lý, các công
thức… nhiều học sinh còn phạm phải sai lầm.
Ví dụ như cho rằng:
+) logaA.B = log
aA.logbB (A,B > 0 và a,b ≠ 1)
+) loga(A+B) = logaA + logaB
+) log2-8 = -3 (họ lý giải rằng (-2)3 = - 8)
+) logaxα = αlogax; n a. m a = m+ n a ….
Trước hết phải thấy rằng do học sinh nắm kiến thức thiếu vững chắc dẫn
tới việc vận dụng vào các bài toán cụ thể thường mắc sai lầm. Điều đó có lẽ một
phần là do nội dung cấu trúc chương trình và sách giáo khoa chưa thật hợp lý,
phương pháp dạy học của giáo viên lại có chỗ cần được điều chỉnh, chẳng hạn
hầu như các tính chất hàm số mũ, hàm số logarít không được chứng minh, giáo
viên lại không có biện pháp thích hợp để khắc phục; mặt khác, hệ thống bài tập
và câu hỏi trong sách giáo khoa chỉ đòi hỏi học sinh ở mức độ rất đơn giản, áp
dụng đơn thuần (việc phân loại các sai lầm và khắc phục các sai lầm của học sinh
khi học phần hàm số mũ, hàm số logarít ). Thực tế đó giúp ta hiểu rằng càng phải
chuẩn bị cho giáo viên những điều kiện cần thiết, trong đó có việc hướng dẫn giáo
viên tạo ra và sử dụng các phương tiện dạy học một cách thích hợp, để họ có thể
dạy tốt phần hàm số mũ, hàm số logarít theo yêu cầu của chương trình sách giáo
khoa.
1. 8. Kết luận chương I
Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học toán ở trường phổ
thông đối chiếu với những quan điểm đổi mới phương pháp dạy toán trong giai
đoạn hiện nay, chúng tôi cho rằng:
1. Để giáo dục toán cho học sinh ở trường Trung học phổ thông qua dạy
học toán cần quan tâm tới phương pháp dạy học trực quan, để từ đó thông qua
việc tổ chức hoạt động toán học, học sinh tự giác tìm tòi kiến thức mới.
2. Do đặc điểm tính chất phần hàm số mũ, hàm số logarít không chứng

minh nên việc tăng cường sử dụng phương tiện dạy học trực quan là cách thức
hợp lý trong việc cung cấp những kiến thức bền vững, chính xác và có hiệu quả
cho học sinh, tạo điều kiện cho học sinh luyện tập, vận dụng kiến thức vào giải
toán và các ứng dụng thực tiễn đa dạng.

7


Chương II:
II. Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch ra sai lầm và sửa
chữa thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm số
mũ, hàm số logarít.
2.1. Những sai lầm do việc không nắm vững các định nghĩa, định lý,
quy tắc... vận dụng chúng một cách máy móc không chú ý đến điều
kiện áp dụng:
Có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến sai lầm. Việc không nắm vững định
nghĩa, định lý, giả thiết của định lý, vận dụng một cách mơ hồ, chẳng hạn nhiều
học sinh cho rằng:
* log3(-4)(-8) = log3-4 + log3 (-8)
* log2 (x2 -1) = log 2 (x-1) (x+1) = log2 (x-1) + log2(x+1)
( |x| > 1)
2
* loga(-7) = 2loga-7
* logax2 = 2logax (0 < a ≠ 1)
Đây là loại sai lầm do học sinh không nắm vững khái niệm, tính chất, giả
thiết của định lý.
Để tránh những sai lầm kiểu này giáo viên cần phân tích một cách rõ ràng
trực quan cho học sinh hiểu vấn đề.
x > 0
* Hàm số y = logax xác định khi 

dẫn tới log3(-4), log3(-8),
0 < a ≠ 1
loga(-7) không tồn tại.
x > 0
* logaxα = αlogax với điều kiện 
như vậy logax2 xác định
0 < a ≠ 1
2
∀x ∈ R(0 < a ≠ 1) nên logax = 2loga|x| thế thì mới đảm bảo giả thiết của định lý.
Ngoài ra, không ít học sinh mắc phải sai lầm kiểu:
* loga(x1 ± x2 ) = logax1 ± logax2
* loga(x1.x2) = logax1logax2
(x1, x2 > 0; 0 < a ≠ 1)
Để sửa chữa những sai lầm này trong khi dạy, người giáo viên cần phải
làm rõ cho học sinh thấy được bản chất của định lý, giả thiết định lý... cụ thể
giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán sau:
Bài toán 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng đinh sau:
A. Cơ số của lôgarit là một số thực.
B. Cơ số của lôgarit là một số nguyên.
C. Cơ số của lôgarit là một số nguyên dương.
D. Cơ số của lôgarit là một số nguyên dương và khác 1..
Bài toán 2. Giải phương trình:
3
log1 (x + 2)2 − 3 = log1 (4 − x)3 + log1 (x + 6)3
2 4
4
4
Đa số học sinh lập luận bài toán như sau:
8

(x + 2)2 > 0  x > −2


3
Điều kiện: (4 − x) > 0 ⇔  x < 4 ⇒ −2 < x < 4
x + 6 > 0
 x > −6


Đây là một sai lầm tầm thường nhưng cần phải vạch ra cho học sinh hiểu
bởi vì khi giải phương trình ta phải đi tìm tập nghiệm, thế thì sau khi tìm ra được
những x rồi thì lại phải đối chiếu xem những x đó có thuộc tập nghiệm hay
không ? Một lẽ tất nhiên (x+2) 2 > 0 ∀x ≠ -2 điều kiện của phương trình là
− 6 < x < 4

 x ≠ −2
Tuy nhiên, có nhiều học sinh không mắc phải sai lầm ấy, nhưng khi bắt tay
vào giải thì không ít học sinh cả học sinh khá cũng lập luận bài toán như sau:
Phương trình
⇔ 3 log1 (x + 2) − 3 = 3 log1 (4 − x) + 3 log1 (x + 6)
4

4

4

1
= log1 (4 − x) + log1 (x + 6)
4

4
4
4

⇔ log1 (x + 2) − log1
4

x = 2 loại vì -6 < x < 2
⇔ 4(x + 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔ 
x = −8
Vậy phương trình có một nghiệm x = 2 thực tế phương trình này có 2
nghiệm tại sao phương trình lại mất một nghiệm ?
Để học sinh khắc phục được những sai lầm này thầy giáo có thể nêu lên
một hệ thống logíc giữa các kiến thức sau. Để giúp học sinh nhận ra vấn đề một
cách trực quan hơn, ta có bảng tổng kết sau:
1. Nếu x< 0; y< 0 thì x.y và

x
x
đều lớn hơn 0 và logax.y, loga có nghĩa
y
y

nhưng logax; logay không tồn tại
Trong trường hợp này: logax.y = loga|x| + loga|y|
x

loga y = loga|x| - loga|y| (0 < a ≠ 1)
2n
2.

thứcbài
logtoán
aN ( n là số nguyên) có nghĩa với N ≠ 0 là số thực bất kỳ
CóBiểu
thể giải
như sau:
log1 x2n
+ 2log
− 3aN
= 3 log1ví
(i4 N
−>
x)0+ 3 log1 (x + 6)
Phương
⇔ 3|N|
logaN2ntrình
= 2nlog
=
a
4 
4
4
2nloga - N víi N < 0

9


1
= log1 (4− x) + log1 (x + 6)
4

4
4
4

⇔ log1 x + 2 − log1
4

⇔ log1 4.x + 2 = log1 (4− x)(x+ 6)
4

4

4(x + 2) = −x2 − 2x+ 24víi − 2 < x < 4
⇔ 4.x + 2 = −x − 2x+ 24⇔ 
4(x+ 2) = x2 + 2x− 24víi − 6 < x < −2
x = 2

x = 2 thỏa mãn -2 < x < 4
⇔ x = −8
⇒
thỏa mãn -6 < x < -2
x = 1± 33

x = 2
Vậy nghiệm của phương trình là: 
 x = 1 − 33
2.2. Dùng phương tiện trực quan để vạch ra những sai lầm của học sinh
trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít.
Việc sử dụng phương tiện trực quan để minh họa một cách dễ hiểu về
những sai lầm của học sinh trong quá trình học là rất cần thiết, bởi trong quá

trình học, học sinh thường mắc những sai lầm mà bản thân các em không nhận
ra [2].
Để hiểu rõ hơn vấn đề này có thể bắt đầu bằng ví dụ sau:
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2

2

2

y = 4sin x + 4cos x
Đối với bài toán trên có rất nhiều phương pháp giải, nhưng không ít em
mắc phải sai lầm kiểu:
2
0 ≤ sin2 x ≤ 1 40 ≤ 4sin x ≤ 41
sin2 x
cos2 x
⇒
⇒
2
≤
4
+
4
≤8


0 ≤ cos2 x ≤ 1 40 ≤ 4cos2 x ≤ 41
Vậy maxy = 8 và miny = 2.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm và thiếu sót của lời giải là do việc học sinh

không nắm vững khái niệm giá trị lớn nhất và bé nhất, mặt khác do học sinh ngộ
nhận rằng y ≥ c thì chắc chắn y nhỏ nhất bằng c, học sinh không hiểu được
rằng có thể tồn tại một số m nào đó thỏa mãn y ≥ m (mà m ≤ c).
Cần phải làm cho học sinh thấy rõ: Một biểu thức y luôn có giá trị ≥ c
(hoặc y ≤ c) với mọi giá trị thích hợp của biến thì không nhất thiết rằng tồn tại
bộ giá trị thích hợp để y = c dù cho y > c, thì cách viết y ≥ c vẫn hoàn toàn đúng
về mặt logic.

10


Mặt khác do không ý thức được điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng
sin2 x = 1
thức khi maxy = 8 dấu bằng xảy ra ⇔  2
vô nghiệm.
cos x = 1
Tương tự khi miny = 2 thì dấu ằng
không xảy ra.
y = f(x)
B
Để vạch ra những sai lầm
này thầy giáo có thể vẽ lên bảng
hai đồ thị:
Nhìn vào hình vẽ rõ ràng là
f(x) ≥ g(x) và f(xB) = g(xB) nhưng
A
g(x)
minf(x) = miny = f(xA) < f(xB).
Có thể nói một nguyên nhân khác nữa dẫn đến sai lầm trên là do học sinh đã áp
dụng mệnh đề "nếu f(x) ≥ g(x) và xảy ra f(x) = g(x) = C (hằng số) thì min

f(x) = C".
Có thể giải bài toán như sau:
2
2
áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 4sin x + 4cos x ≥ 2 41 = 4
2
2
π
π
dấu bằng xảy ra khi 4sin x = 4cos x ⇔ x = + k
4
2
2
ta lại có 4sin x − 1≥ 0 (1) ,
2
4cos x − 1≥ 0 (2) nhân (1) và (2)
2
2
⇒ 4sin x + 4cos x ≤ 5 dấu bằng xảy ra khi sinx = 0 hoặc cosx = 0
Vậy maxy = 5; miny = 4.
* Tất cả các tính chất của hàm số mũ đều được suy từ các tính chất của
lũy thừa với số mũ thực. Theo chương trình sách giáo khoa. những tính chất đó
không chứng minh vì phép chứng minh phần lớn vượt ra ngoài chương trình
toán học bậc phổ thông. Để giúp học sinh nhớ và hiểu được bản chất các tính
chất không chứng minh của hàm số mũ, chúng tôi sẽ dựa vào mô hình trực quan
là đồ thị của hàm số mũ.

y

y

y

a>1

01

1

1

y=
1

Để giúp học 0sinh nắm vững
các tính0chất của hàm
x
x số mũ khi
0 sử dụngxcác mô
Hình
5
Hình
4
Hình
3
hình trực quan trên giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh bởi những
câu hỏi
có tính dẫn dắt:
11

Hỏi: Các em có nhận xét gì về vị trí đồ thị hàm số y = a x so với trục 0x
trong 2 truờng hợp 0 < a < 1 và a > 1 ?
Từ đó giáo viên gợi ý để học sinh phát hiện và nắm được các tính chất:
- Đồ thị của hàm số y = ax luôn nằm phía trên 0x có nghĩa là tập giá trị của
y = ax là R+*.
- Khi x = 0; y = a0 = 1 đồ thị y = ax luôn đi qua điểm A(0,1)
- Đồ thị y = ax là một đường liền, liên tục ⇒hàm số y = ax liên tục ∀x∈R.
- Nếu a > 1 thì ∀x1, x2∈R mà x1 > x2 ta có ax1 > ax2
- Nếu 0 < a < 1 thì ∀x1, x2∈R mà x1 > x2 ta có ax1 < ax2
Nói cách khác: a > 1 hàm số y = ax đồng biến trong R
0 < a < 1 hàm số y = ax nghịch biến trong R
• Sau khi học sinh đã biết cách vẽ đồ thị của hàm số mũ, giáo viên có
thể ra bài toán sau, nhằm củng cố và rèn luyện khả năng vận dụng các tính chất
của hàm số mũ.
Bài toán 4: Vẽ trên cùng một hệ trục đồ thị của các hàm số:
 1 x
y = 2 , y =   , y = 3x
 2
x

Giáo viên đặt câu hỏi: Các em có nhận xét gì về vị trí cả 3 đồ thị hàm số
trên so với trục 0x ? chúng có điểm gì chung ?

y
y=

x

3

y=
3x y =
2x

Từ mô hình 6: Trực quan sẽ giúp học 2sinh nắm vững hơn các tính chất
của hàm số mũ.
- Đồ thị của cả 3 hàm số trên đều nằm1phía trên trục hoành: Tính chất
của hàm số y = ax > 0 ∀x∈R.
0 tại 1điểm
2 có3 tung
4 độx y = 1: Tính
-3 đều
-2 cắt
-1 0y
- Đồ thị của cả 3 hàm-4số trên
chất a0 = 1 ∀a > 0
6 gần sát tới trục hoành khi
- Đồ thị hàm số không cắt trục hoànhHình
nhưng
x → -∞ trong trường hợp a > 1 và khi x→ +∞ trong trường hợp 0 < a < 1.
4

12


x

 1

Ngoài ra ta có nhận xét: Ta thấy y = 2 và y =   đối xứng nhau qua 0y.
 2
x
 1
Một cách tổng quát đồ thị y = a x và y =   đối xứng nhau qua trục 0y.
 a
x
Đồ thị y = 3 “dốc” hơn đồ thị y = 2x. Một cách tổng quát hàm số y =
ax (a > 1) nếu a càng lớn thì khi x tăng, a x tăng càng nhanh, đồ thị hàm số càng
“dốc hơn” (đi lên từ trái sang phải nhanh hơn)
Ngược lại đồ thị y = ax (0 < a < 1) Nếu a càng nhỏ thì |x| tăng, a x giảm
càng nhanh, đồ thị hàm số càng “dốc” (đi xuống từ trái sang phải nhanh hơn)
Sau khi học sinh đã biết cách vẽ đồ thị của hàm số mũ, giáo viên có thể
ra bài toán sau, nhằm củng cố và rèn luyện khả năng vận dụng các tính chất của
hàm số mũ.
Bài toán 4: Cho ba số thực dương a, b, c
khác 1.
Đồ thị các hàm số y = a x , y = b x , y = c x
được
cho trong hỡnh vẽ bờn. Mệnh đề nào dưới
đây
đúng?
A. a < c < b .
B. a < b < c .
C. b < c < a .
D. c < a < b .
x

* Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức thường thấy trong
học tập môn toán là một số học sinh học thuộc cách phát biểu định nghĩa,

nhưng lại không nhận biết được đối tượng cụ thể có thỏa mãn định nghĩa ấy hay
không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn định nghĩa. Vì vậy
cần cho học sinh tiến hành những hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” để củng
cố khái niệm đã học. Chẳng hạn, khi học sinh học về hàm số logarít có thể cho
học sinh làm hệ thống bài tập theo phiếu bài tập sau:
1. Các hàm số sau đây hàm số nào là hàm số logarít
y = log0,25; y = loga - x2; y = log0,5-7
2.Với giá trị nào của x các hàm số sau đây xác định
y = log5-x2; y = log 2 x2 − 3x ; y = log0,5(x2+2x+1)

1. Với giá trị nào của x thì biểu thức

1
(0 < a ≠ 1) có nghĩa.
loga x
13


(học sinh thường chỉ nêu ra được điều kiện x > 0 mà quên mất tính
chất 2 là x còn phải khác 1 nữa)
2. Tính logarít sau: log1001; log11; log0,51
3. Vẽ đồ thị y = logxx (0 < x ≠ 1)

1. Số A và B phải như thế nào nếu:
log2A < log2B; log0,5A > log0,5B; log0,3A < log0,3B
2. Cơ số a phải như thế nào nếu: loga4 < loga2 ; loga0,3 > loga0,2
1. Hiệu logaA - logaB sẽ thay đổi như thế nào nếu thay A, B bằng A 2,
B2
(tăng 2 lần) nếu thay A, B bằng 2A, 2B (không đổi)
2. Với điều kiện nào thì logax2 = 2logax ; logax 4 = 2logax2

3. Từ phương trình logax2 = loga9 ta biến đổi thành 2logax = 2loga3
(0 < a ≠ 1), từ đó ta có x = 3 tại sao lại mất nghiệm số x = -3.
4. Muốn cho log2ax có nghĩa thì giá trị x phải như thế nào?
2.3. Sử dụng phương tiên trực quan giải quyết những khó khăn thường gặp
của học sinh khi học phần hàm số mũ và hàm số logarít thường gặp
Hầu hết học sinh đã vẽ được đồ thị hàm số mũ y = a x (0 < a ≠ 1) và đồ
thị hàm số y = logax (0 < a ≠ 1; x > 0), nhưng học sinh thường gặp khó khăn
trong một số trường hợp đặc biêt suy rộng về đồ thị của hàm số mũ và hàm số
logarít.
Chẳng hạn: - Từ đồ thị hàm số y = ax hãy suy ra đồ thị các hàm
y = - ax; y = a-x; y = ax+α; y = ax + α; y = a x
- Từ đồ thị y = logax hãy suy ra đồ thị các hàm
1
y = logax ; y = loga x ; y = logax + α ; y = logax ; y = loga ( x + α )

Từ những kiến thức đã có là đồ thị hàm số mũ và đồ thị hàm số logarít,
giáo viên hướng dẫn học sinh khái quát hóa các dạng đồ thị có thể có của hàm số
y = ax và y = logax.
* Phương pháp chung để khảo sát một hàm số mũ và một hàm số logarít
được thực hiện như sau:
Bước1: Định miền xác định.
Bước2: Xét tính đơn điệu của hàm số rồi suy ra bảng biến thiên.
Bước3: Lấy thêm một vài điểm rồi dựa vào bảng biến thiên để có được
đồ thị.
Giả sử hàm số y = ax có đồ thị (c).
14


- Đồ thị y = a-x nhận được bằng cách lấy đối xứng (c) qua trục 0y.
- Đồ thị y = a x nhận được bằng:

+) Giữ nguyên phần đồ thị (c) ở bên phải 0y.
+) Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua 0y.
- Đồ thị y = ax+α nhận được bằng cách tịnh tiến (c) theo trục 0x, α đơn vị
(lên trên nếu α > 0, xuống dưới nếu α < 0).
- Đồ thị y = ax + α nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị (c) theo trục 0y,
α đơn vị (lên trên nếu α > 0, xuống dưới nếu α < 0).
• Để vấn đề trên được cụ thể và trực quan hơn thầy giáo có thể sử dụng
mô hình trực quan là đồ thị hàm số, chẳng hạn ta xét bài toán sau:
Bài toán 5: Vẽ đồ thị hàm số y = 3x từ đó suy ra đồ thị các hàm số sau:
y = 3-x; y = - 3x; y = 3x-1; y = 3 x ; y = 3x + 1
Hướng dẫn: y = 3x tập xác định R; hàm số đồng biến (a = 3 > 1)
Ta có bảng biến thiên:
x
-∞
+∞
+∞
y=3x
-∞

y=

-x

3
3
- Đồ thị: ta lấy thêm các
điểm A(0,1) B(-1, 1/3) C(1,3)
- Đồ thị y = 3 -x nhận được
bằng cách lấy đối xứng (c) qua
1

0y
- Đồ thị y = 3| x | bằng cách
0
giữ nguyên phần đồ thị
y = 3x
bên phải 0y rồi lấy đối xứng qua
0y
- Đồ thị y = 3x-1 nhận được
bằng cách tịnh tiến (c) theo trục
ox sang phải 1 đơn vị.
- Đồ thị y = -3x
nhận được bằng cách lấy
đối xứng (c) qua trục ox.
Hoàn toàn tương
tự giáo viên yêu cầu học

y
3

x

y=

y

(c)

1

y=

3x

x
y=
3x+1

y

1

y=3
x

y=3x-

1

2

x

0
1
1
1
3

0
1
Hình 11

15
y=
x

x


sinh học lập luận đối với
đồ thị của hàm số logarít.
• Giả sử đồ thị
y
= logax là (c)
- Đồ thị y = -logax
1
(hoặc loga x ) nhận được

bằng cách lấy đối xứng
(c) qua ox.

- Đồ thị y = loga(x+α) nhận được bằng cách tịnh tiến (c) theo trục ox α
đơn vị (sang trái nếu α > 0, sang phải nếu α < 0)
- Đồ thị y = logax + α nhận được bằng cách tịnh tiến (c) theo trục oy α
đơn vị (lên trên nếu α > 0, xuống dưới nếu α < 0)
- Đồ thị y = loga x nhận được bằng cách:
+) Giữ nguyên phần đồ thị (c) phía trên 0x.
+) Đối xứng phần đồ thị phía dưới 0x của (c) qua trục 0x
Giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài toán sau:
Câu 5: Cho 3 số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị hàm số
y = log a x; y = log b x .Chọn mệnh đề đúng.

A. b < a < c
B. a < b < c
C. a < c < b
D. c < a < b
Do đặc điểm của môn toán, phương pháp trực quan
rất cần thiết trong dạy học bộ môn giúp học sinh khắc phục khó khăn ban đầu,
tiếp thu vận dụng được các khái niệm tính chất và suy luận trừu tượng trong quá
trình giải toán.
Các dạng trực quan bao gồm: Trực quan tĩnh và trực quan động
- Trực quan động thường dựa vào máy tính được xây dựng từ các phần
mềm dạy học (gọi là trực quan ảo).
- Trực quan tĩnh thường là hình ảnh vật chất, hình biểu diễn, sơ đồ, ký
hiệu…
Trong quá trình giải toán phần hàm số mũ và hàm số logarít việc sử dụng
hợp lý các phương tiện trực quan tượng trưng sẽ giúp học sinh tìm ra hướng giải
quyết bài toán đỡ khó khăn hơn, cách lập luận sẽ có căn cứ xác đáng hơn, rèn
luyện được kỹ năng nhiều hơn, những sai sót trong tính toán sẽ ít mắc phải
hơn...
16


Có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến thiếu sót và sai lầm của học sinh. Trong
phần này chúng tôi chỉ tập trung vào một số sai lầm điển hình của học sinh khi
học phần hàm số mũ, hàm số logarít; đồng thời sử dụng một số phương tiện trực
quan để vạch ra những sai lầm đó.
2.4 Kết luận chương 2
Làm rõ được vai trò và chức năng của phương tiện trực quan trong quá
trình dạy học, các cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các biện pháp sử dụng
trực quan trong dạy học.
Những kết quả thu được ở trên bước đầu cho phép kết luận rằng: Nếu

quan tâm đến việc xây dựng và sử dụng hợp lý các phương tiện dạy học trực
quan sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông, đáp
ứng được yêu cầu của đổi mới phương pháp dạy học toán.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến

Bùi Hùng Tráng

17


Tài liệu tham khảo
1. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2001), Các bài
giảng luyện thi môn toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
2. Bùi Hùng Tráng,(2005) Góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số
mũ, hàm số logarít - Đại số và Giải tích 11 THPT (sách giáo khoa chỉnh lý hợp
nhất năm 2000) thông qua việc xây dựng và sử dụng một số dạng phương tiện
dạy học trực quan”.Luận văn thạc sỹ.Vinh
3. Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà, Phạm Văn Hạc, Phạm Văn
Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê Đình
Thịnh (1997), Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp,
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
4. Hoàng Chúng (1978), Phương pháp dạy học toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
5. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán mũ, logarít, Nxb
Hà Nội, Hà Nội.

6. Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảng, Bùi Huy Ngọc, Vũ Dương Thụy (2001),
Phương pháp dạy học môn toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
7. Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh (2001), Logic toán, Nxb Thanh Hóa,
Thanh Hóa.
8. Goocki D.P (1974), Logic học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
9. Nguyễn Viết Hải (1984), Bản tóm tắt luận án tiến sỹ, Các bộ thiết bị dạy học
như là phương tiện dạy học hình học.
10. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Nguyễn Đạo Phương, Lê
Tất Tốn, Đặng Quan Viễn (2000), Toán bồi dưỡng học sinh THPT, Đại
số 10, 11, 12, Nxb Hà Nội, Hà Nội.
11. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học
môn toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
12. Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thắng (1997), Tâm lý học lứa tuổi
và tâm lý học sư phạm, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
13. Phan Huy Khải (1998), Toán nâng cao 11, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
14. Krutecxki A.V (1982), Tâm lý học lứa tuổi và sư phạm, Nxb Giáo dục, Hà
Nội.
15. Bùi Tuấn Khang (1997), Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm dùng để
đánh giá thành quả dạy học môn toán cho sinh viên chương trình 1, Luận
văn Thạc sỹ.
16. Nguyễn Bá Kim (1999), Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, Nxb
Giáo dục, Hà Nội.
17. Bùi Gia Quang (1986), Sử dụng các tổ hợp đồ dùng dạy học để dạy học
phần hình học không gian ở lớp cuối bậc phổ thông cơ sở trong cải cách
giáo dục, Luận án Tiến sỹ.
18. Đào Tam (2000), “Bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông, năng lực
huy động kiến thức trong giải bài toán", Nghiên cứu giáo dục.
18