Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian, lớp 12 THPT

Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

Môc lôc
Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ
không gian, lớp 12 THPT
*****
NéI DUNG

TT

Trang

A

MỞ ĐẦU

1
2
3
4

Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu

B

NỘI DUNG

I

II
III
1
2
2.1
2.2
2.3

Cơ sở lí luận
Thực trạng của vấn đề
Các sáng kiến kinh nghiệm
Kiến thức trang bị
Các dạng toán cơ bản
Dạng 1.Tìm các điểm thõa mãn điều kiện cho trước .
Dạng 2.Một số bài toán về viết phương trình mặt phẳng.

1
1
1
1
1
2
2
2
3
7
12

IV

Dạng 3.Một số bài toán về viết phương trình đường thẳng.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .......................

C

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

17
18

Tài liệu tham khảo

19

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

1


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

A.MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài .
Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của môn Toán là hình

thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và phải biết vận
dụng kiến thức vào thực tiễn.Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn phương
pháp phù hợp để giải các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng. Chọn được
phương pháp thích hợp sẽ cho ta lời giải hay và ngắn gọn, dễ hiểu, tiết kiệm thời
gian. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng
toán là hết sức cần thiết.
Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi học sinh giỏi hay thi
tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng, thường xuất hiện các bài toán về
phương pháp tọa độ trong không gian. Có thể nói rằng toán về phương pháp tọa độ
trong không gian rất đa dạng phong phú. Cực trị hình học trong phương pháp tọa
độ trong không gian là một dạng toán khó đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư duy
hình học vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
Trong năm học 2015- 2016 được phân công giảng dạy lớp 12 trước khi dạy
chương :" Phương pháp tọa độ trong không gian" bản thân tôi luôn trăn trở: làm
thế nào để khi học sinh đọc đề thi thấy xuất hiện câu cực trị hình học trong hình toạ
độ không gian nhưng học sinh không cảm thấy sợ. Trong quá trình trực tiếp giảng
dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi
cuốn được các em học sinh khá giỏi. Để giúp học sinh định hướng được cách làm
dạng toán này, hiểu sâu hơn, tự tin hơn khi gặp các bài toán cực trị đặc biệt là cực
trị trong hình toạ độ không gian, phát triển tư duy, hướng học sinh tới niềm say mê
sáng tạo, tôi mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài: "Định hướng
giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian, lớp 12
THPT".
2.Mục đích nghiên cứu. Đưa ra phương pháp cơ bản để giải một số bài toán cực trị
trong hình toạ độ không gian đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình
học, giúp học sinh có hướng nhìn mới về dạng toán này.
3. Đối tượng nghiên cứu. Các bài toán cực trị trong hình toạ độ không gian cụ thể
là: các bài toán liên quan đến tìm các điểm thoã mãn điều kiện cho trước, viết
phương trình mặt phẳng, đường thẳng áp dụng cho học sinh lớp 12 THPT.
4. Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết.

B.NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận.
Trong chương trình hình học 12 chương :"Phương pháp tọa độ trong không
gian" tập trung chủ yếu vào các dạng toán xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện
cho trước, lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng. Tuy nhiên các kiến thức trong
sách giáo khoa chỉ ở mức cơ bản song trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học,
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

2


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
Cao đẳng, đề thi thử của một số trường lại vẫn có loại bài tập này.Vì vậy việc cung
cấp nội dung phương pháp là hết sức cần thiết.
II .Thực trạng của vấn đề.
Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi, ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi
Đại học, Cao đẳng, tôi nhận thấy phần bài tập liên quan đến các bài toán cực trị
hình học trong hình tọa độ không gian là một phần bài tập khó, học sinh tương đối
gặp khó khăn trong cách tư duy, định hướng cách giải bởi vì sách giáo khoa hầu
như bỏ qua dạng bài tập này, các tài liệu tham khảo cũng có nhắc tới song không có
tính hệ thống.Vì vậy, học sinh lúng túng khi gặp phải tình huống này. Khi chưa cải
tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được vài em tập trung làm bài tập dạng này, tuy
nhiên cũng không có tính hệ thống mà làm thiên về phương pháp đại số. Nếu trang

bị cho các em những kỹ năng, tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc
kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi gặp một bài toán dạng như thế này
thì các em sẽ định hướng, tư duy được cách giải theo hướng hình học một cách tự
tin, nhanh chóng và chính xác.
III. Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
1.Kiến thức trang bị.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ta có các kết quả sau:
r r
r r
r r r r r
r
1.1. Nếu n ⊥ u; n ⊥ v ⇒ n cùng phương với u; v  .Chọn n = u; v 
r

1.2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận véc tơ n( A; B; C ) làm véc tơ pháp
tuyến có phương trình : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )
r
1.3. Đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận véc tơ u (a; b; c) làm véc tơ chỉ
 x = x0 + at

phương có phương trình tham số :  y = y0 + bt ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 ).
 z = z + ct
0

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
Nếu a,b,c đều khác 0 thì ta có phương trình chính tắc :
.
a

b
c
1.4.Cho 2 điểm A( x A ; y A ; z A ); B( xB ; yB ; z B ) ,điểm M ( xM ; yM ; zM ) chia AB theo tỷ số k :
x A − kxB

 xM = 1 − k

uuur
uuur
y A − kyB

MA = k MB được xác định bởi công thức sau  yM =
1− k

z A − kz B

 zM = 1 − k


2.Các dạng toán cơ bản.
Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các bài toán cực trị trong hình học không
gian thường gặp trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi, tôi đã đúc
kết thành những dạng toán cơ bản như sau:
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

3


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

Dạng 1.Tìm các điểm thõa mãn điều kiện cho trước .
Bài toán 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) .Tìm điểm M
trên (P) sao cho :
a) MA + MB nhỏ nhất.
b) MA − MB lớn nhất.
Phương pháp . Hướng dẫn học sinh hình thành các bước giải bài toán.
a) MA+MB nhỏ nhất.
• Bước 1 : Xét vị trí tương đối của A, B so với mặt phẳng (P).
• Bước 2 :+) Nếu A, B khác phía đối với (P)(AB không song song với (P)).
(MA + MB)min khi M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P)
A

A

B

M

M
P)

P)

A1

B

+) Nếu A, B cùng phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P).Khi đó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B
Do A1 và B khác phía đối với (P) nên (MA + MB) min
⇔ (MA1 + MB) min = A1 B ⇔ M, A1, B thẳng hàng ⇒ M = A1 B ∩ ( P ) .Tìm toạ độ M.
b) MA − MB lớn nhất.
• Bước 1 : Xét vị trí tương đối của A,B so với mặt phẳng (P).
• Bước 2 :+) Nếu A, B cùng phía đối với (P).
MA − MB max khi M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ) .
A

A
B
M

M

P)

M

A1

M1

B

P)

+) Nếu A, B khác phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P) Khi đó MA − MB = MA1 − MB ≤ A1B
Do A1 và B cùng phía đối với (P) nên MA − MB max ⇔ MA − MB max = A1B
⇔ M, A1, B thẳng hàng.
Ví dụ .Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x+y+z-4=0.
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho :
a) MA+MB nhỏ nhất, biết A(1;0;0) , B(1;2;0).
b) MA − MB lớn nhất, biết A(1;2;- 1), B(0;1;2).
Định hướng: Để giải bài toán này ta cần xác định các bước làm :
Bước 1: Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B so với mặt phẳng (P).
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

4


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
Bước 2: Lập luận để tìm ra vị trí của điểm M thuộc mp(P) dựa vào phần lý thuyết.
Sau đó tiến hành tìm toạ độ điểm M.
Giải .
f
(
x
;

y
;
z
)
=
x
+
y
+
z
−
4
Đặt
a. f (1;0;0). f (1; 2;0) = (−3)(−1) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P).Khi đó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B .
Do A1 và B khác phía đối với (P) nên (MA + MB) min
⇔ (MA1 + MB) min = A1 B ⇔ M, A1, B thẳng hàng ⇒ M = A1 B ∩ ( P ) .
r
Đường thẳng ∆ vuông góc với (P) đi qua A(1;0;0) nhận véc tơ pháp tuyến n(1;1;1)
x = 1+ t

của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là:  y = t
z = t


Gọi I là giao của đường thẳng ∆ với (P) thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :
x = 1+ t
t = 1
y = t
x = 2



⇔
⇔ I(2;1;1)

z = t
y =1
 x + y + z − 4 = 0
 z = 1

Do I là trung điểm của A A1 nên A 1 (3;2;2).
uuur
Ta có A1B (-2;0;-2).
uuur
Đường thẳng ∆ đi qua A 1 (3;2;2) nhận véc tơ A1B (-2;0;-2) làm vec tơ chỉ phương
có phương trình là :

x = 3 + t

y = 2
z = 2 + t


x = 3 + t
y = 2
3 1
3 1

⇒ M ( ; 2; ) .Vậy M ( ; 2; ) .
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 

2 2
2 2
z = 2 + t
 x + y + z − 4 = 0
b) f (1; 2; −1). f (0;1; 2) = (−2)(−1) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía đối với (P).
Khi đó MA − MB ≤ A B , MA − MB max khi M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P)
uuuu
r
Ta có A B (-1;-1;3)
uuuu
r
Đường thẳng ∆ đi qua A (1;2;-1) nhận véc tơ A B (-1;-1;3) làm vec tơ chỉ phương
x = 1− t

có phương trình là  y = 2 − t
 z = −1 + 3t


Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

5


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

x = 1− t
t = 2
y = 2−t
 x = −1


⇔
⇒ M (−1;0;5) .
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
 z = −1 + 3t
y = 0
 x + y + z − 4 = 0
 z = 5
Bài toán 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A1 ; A2 ;...; An .Xét
ur
uuuu
r
uuuur
uuuur
w = α1 MA1 + α 2 MA2 + ... + α n MAn .Trong đó α1 ; α 2 ;..; α n là các số thực cho trước thoã mãn
ur
α1 + α 2 + ... + α n ≠ 0 .Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho w có độ dài nhỏ nhất.

Phương pháp.Cần hướng dẫn học sinh hình thành quy trình bài toán theo các bước
Bước 1. Xác định điểm cố định.
uuur
uuuu
r
uuuu
r r

uuuur uuuu
r uuuu
r
Gọi G là điểm thoã mãn : α1 GA1 + α 2 GA2 + ... + α n GAn = 0 với MAk = MG + GAk , k = 1, n .
ur

uuuu
r

uuuur

uuuur

uuuu
r

Khi đó w = α1 MA1 + α 2 MA2 + ... + α n MAn = α1 + α 2 + ... + α n MG .
Bước 2. Lập luận tìm vị trí của điểm M.
ur
Do α1 + α 2 + ... + α n ≠ 0 nên w có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M
thuộc (P) nên MG nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của G lên (P).
Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0.Tìm
uuur uuur uuuu
r
điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho: MA + 3MB + 4MC nhỏ nhất, biết A(1;2;-1),
B(0;1;2),C(0;0;3).
Định hướng. Xác định các bước làm bài toán này.
Bước 1. Xác định điểm cố định theo hướng dẫn ở phần phương pháp.
Bước 2. Lập luận để tìm vị trí của điểm M.
Giải

uuur uuur uuuu
r uuu
r uu
r
uuu
r uur
uuu
r uur
uuu
r uur uur uur
Ta có : MA + 3MB + 4MC = ( MI + IA) + 3( MI + IB) + 4( MI + IC ) = 8MI + IA + 3IB + 4 IC
uu
r

uur

uur

r

uur

r
1 uuu
8

uuu
r

uuur

Ta cần tìm điểm I sao cho IA + 3IB + 4 IC = 0 ⇔ OI = (OA + 3OB + 4OC ) .
1 5 17
) và I cố định.
8 8 8
uuur uuur uuuu
r
uuu
r
MA + 3MB + 4 MC = 8 MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên (P).

Vậy I( ; ;

Phương
trình đường thẳng ∆ đi qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến
r
n(1;1;1) của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là:
1
5
17
y−
z−
8=
8=
8
1
1
1
1
5

17

 x − 8 y − 8 z − 8
1
5
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình :  1 = 1 = 1 ⇔ M( ; 1; )
2
2

 x + y + z − 4 = 0
x−

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

6


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
1
2

5
2

Vậy M( ; 1; )
Bài toán 3.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A1 ; A2 ;...; An .Xét biểu
thức T= α1MA12 + α 2 MA22 + α 3 MA32 + ... + α n MAn2 , trong đó α1 ;α 2 ;...; α n là các số thực cho
trước.Tìm M thuộc (P) sao cho :
a) T có giá trị nhỏ nhất biết α1 + α 2 + ... + α n > 0 .
b) T có giá trị lớn nhất biết α1 + α 2 + ... + α n < 0 .
Phương pháp.
Bước 1.Xác định điểm cố định.
uuur
uuuu
r
uuuu
r r
uuuur uuuu
r uuuu
r
Gọi G là điểm thoã mãn α1 GA1 + α 2 GA2 + ... + α n GAn = 0 .Ta có: MAk = MG + GAk , k = 1; n .
T= α1MA12 + α 2 MA22 + ... + α n MAn2 = α1GA12 + α 2GA22 + ... + α nGAn2 + (α1 + α 2 + ... + α n ) MG 2 .
Bước 2.a) Nếu α1 + α 2 + ... + α n > 0 . Do α1GA12 + α 2GA22 + ... + α nGAn2 không đổi nên T có
giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất.
b) Nếu α1 + α 2 + ... + α n < 0 , T có giá trị lớn nhất khi MG nhỏ nhất.
MG nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của G lên (P).
Ví dụ1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0. Tìm
điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho: MA2 − 3MB 2 nhỏ nhất, biết A(1;2;-1),B(-1;0;3)
Định hướng.
uuur uuur
Bước 1 : Xác định điểm cố định .Trước hết cần phân tích các vec tơ MA, MB thành
tổng của 2 vec tơ .
Bước 2: lập luận để MA2 − 3MB 2 lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M.
Giải

uuur 2 uuu
r uu
r 2
uuu
r uu
r
Xét điểm I tùy ý ta có : MA = ( MI + IA) = MI 2 + IA2 + 2MI .IA
uuur 2 uuu
r uur
uuu
r uur
MB = ( MI + IB ) 2 = MI 2 + IB 2 + 2MI .IB
uuu
r uuu
r uur
MA2 − 3MB 2 = −2 MI 2 + IA2 − 3IB 2 + 2 MI .( IA − 3IB)
uu
r uur r
Giả sử IA − 3IB = 0 .Gọi I(x;y;z) ta có :
x A − 3 xB

 x = −2

y A − 3 yB

⇒ I(-2;-1;5).
y =
−2

z A − 3zB


 z = −2

Do I cố định nên IA2 , IB 2 có độ dài không đổi.Vậy MA2 − 3MB 2 lớn nhất khi IM 2 nhỏ
nhất ⇔ MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I lên (P).
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến
r
x + 2 y +1 z − 5
=
=
n(1;1;1) của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là :
.
1
1
1

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

7


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
 x + 2 y +1 z − 5
=

=
−4 −1 17

1
1 ⇔ M( ;
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình  1
; )
3 3 3
 x + y + z − 4 = 0
−4 −1 17
Vậy M( ; ; ).
3 3 3

Ví dụ 2( Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4;1;5), B(3;0;1),C(−1;2;0) và
= 0 .Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao
mặt phẳng (P) có phương trình: 3x − 3y + 2z+u37
uur uuur uuur uuur uuuuruuur
cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA.MB + MB.MC + MC.MA .
Định hướng.Hướng dẫn HS thực hiện theo các bước đã phân tích
.
uuur uuur uuuu
r
Bước 1. Tìm điểm cố định.Trước hết cần phân tích các vec tơ MA, MB , MC thành
tổng của 2 vec tơ .
Bước 2. Sau đó lập luận để S nhỏ nhất.
Giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra G ( 2;1; 2 )
Ta có:
uuuu

r uuu
r uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r
S = MG + GA MG + GB + MG + GB MG + GC + MG + GC MG + GA
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuuruuu
r
uuu
r uuu
r uuu
ruuur uuur uuu
r
= 3MG2 + 2MG GA + GB + GC + GAGB + GBGC + GCGA = 3MG2 + GAGB + GBGC + GCGA
uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu

r
Do GAGB
. + GB.GC + GC.GA không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi MG đạt giá trị

(

)(

(

) (

)

)(

) (

)(

)

nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu của G lên (P).
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua G vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến
uu
r
nP (3; −3; 2)

của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là :

x − 2 y −1 z − 2
=
=
3
−3
2

 x − 2 y −1 z − 2
=
=

−3
2 .Ta tìm được M(−4;7; −2)
Toạ độ điểm M là nghiệm hệ :  3
3x − 3 y + 2 z + 37 = 0

Nhận xét :Với cách định hướng phân tích bài toán như trên học sinh sẽ thấy vấn
đề của bài toán trở nên đơn giản, dễ giải quyết.

Dạng 2.Một số bài toán về viết phương trình mặt phẳng.
Bài toán 1. Cho 2 điểm phân biệt A, B.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và
cách B một khoảng lớn nhất.
Phương pháp.
Bước 1.Gọi H là hình chiếu của B lên (P).Tam giác ABH vuông tại H

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

8


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
B

Bước2.Lập luận tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Ta có =AB
Bước 3.(P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc Avới AB

H

A
(P)

Ví dụ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; -1; 1) và cách gốc toạ độ
một khoảng lớn nhất.
Định hướng.Để viết phương trình mặt phẳng thì ta cần xác định điểm đi qua và
vec tơ pháp tuyến. Như vậy, ở bài toán đã cho (P) chứa A.Vậy cần xác định véc tơ
pháp tuyến ở bài toán như thế nào? Hướng dẫn học sinh là theo 3 bước trên.
Giải.
O
Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P).
Khi đó = OA
Vậy mp(P) đi qua A(2;-1;1) và nhận làm véc tơ pháp
H
A

tuyến.Vậy (P) : .
(P)

Nhận xét : Như vậy, khi định hướng rõ ràng phương pháp thì học sinh có tư duy
trực quan hơn, làm bài nhanh hơn, cảm thấy tự tin hơn với bài làm của mình.
Bài toán 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A không thuộc đường
thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P)
lớn nhất .
Phương pháp:Bước 1.Gọi H là hình chiếu của A trên (P), K
là hình chiếu của A lên đường thẳng d.
Bước 2. Ta có d(A;(P)) =AH ≤ AK.
Vậy d(A;(P)) lớn nhất khi và chỉ khi AH =AK. Hay H ≡ K.
A

H

d

uuur

K

P)

Bước 3.Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và nhận AK làm vectơ pháp tuyến.
Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh Đại học, khối A năm 2008).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:

x −1 y z − 2
= =

. Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A
2
1
2

đến (P) lớn nhất .
Định hướng: Bài toán này có thể giải theo 2 cách, nếu không có sự định hướng về
phương pháp thì hầu như các em làm theo cách 2 là cách thiên vể đại số và giải tích
nhiều hơn, ngay cả đáp án cũng thiên về phương pháp này. Nhưng khi có sự định
hướng rõ ràng về mặt phương pháp thì học sinh sẽ làm theo cách thứ nhất thiên về
hình học, ít phải tính toán. Xét cả 2 cách làm sau đây sau đó học sinh sẽ tự rút ra
được nhận xét về 2 cách làm này.
Giải

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

9


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
Cách 1. Gọi H là hình chiếu của A trên ( α ), K là hình chiếu của A lên đường thẳng
d.Ta có d(A;(P)) =AH ≤ AK .
Vậy d(A;( α )) lớn nhất khi và chỉ khi AH
=AK. Hay H ≡ K.

uuur
Vậy ( α ) chứa đường thẳng d và nhận
làm vec tơ pháp tuyến.
uuur AK
∈
Ta có K d nên K(1+2t;t;2+2t) và AK (2t − 1; t − 5; 2t − 1) .
uur
uuur uur
Đường thẳng d có vtcp u (2;1;2) đi qua (1;0;2)Theo giả thiết ta có: AK .u = 0 ⇔ t = 1
d

d

A

Véc tơ pháp tuyến của () là .
Phương trình mặt phẳng () : 1(x-1)-4y +1(z-2)=0
Vậy mặt phẳng (): x-4y+z-3=0

H
d

K

P)

Cách 2. Đường thẳng d đi qua 2 điểm ulà
M(1;0;2) và N(-1;-1;0). Do ( α ) chứa
ur
đường thẳng d nên M, N thuộc ( α ). Gọi nα = ( A; B; C ) là vec tơ pháp tuyến ( α ).

PT mặt phẳng ( α ) chứa điểm M nên có phương trình :
A(x-1)+By+C(z-2)=0( A2 + B 2 + C 2 > 0 )
Vì ( α ) đi qua N nên ta có: B =-2A-2C.
9 A + 9C

( A + C )2
=9
5 A2 + 8 AC + 5C 2
5 A2 + 8 AC + 5C 2
9
+) Nếu C=0 thì A ≠ 0 nên d(A;( α ))=
5
A
+) Nếu C ≠ 0 thì đặt t = , t ∈ ¡ .Ta có : d(A;( α ))=
C
9 A + 9C
(t + 1) 2
2(1 − t 2 )
(t + 1) 2
/
f
(
t
)
=
;
f
(
t
)

=
=9
=
9
f
(
t
),
với
5t 2 + 8t + 5
(5t 2 + 8t + 5) 2
5t 2 + 8t + 5
5 A2 + 8 AC + 5C 2
1
2
f / (t ) = 0 ⇔ t = ±1 ; lim f (t ) = ; f (−1) = 0; f (1) = ;Sử dụng bảng biến thiên ta có
x →±∞
5
9
2
Max f (t ) = f (1) = ⇒ d(A;( α ))= 3 2 ⇔ t=1 hay A=C. Chọn A=C=1 .Vậy B=-4
9
Phương trình mặt phẳng ( α ): 1(x-1)-4y +1(z-2)=0.Hay mặt phẳng ( α ): x-4y+z-3=0

d(A;( α ))=

Nhận xét:Cách 1dễ làm, ít phải tính toán, thiên về hình học, cách 2 nặng về đại số.
Bài toán 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), đường thẳng
d.Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d sao cho góc giữa (Q) và (P) nhỏ nhất (d
và (P) không vuông góc với nhau).

Phương pháp. Hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau đây:
Bước 1. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d. Dựng đường thẳng qua M vuông góc
với mặt phẳng (P). Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó. Hạ AH ⊥ (Q) , AK ⊥ d .

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

10


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
·
Bước 2. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là MAH
HM KM
KM
·
≥
. Mà
không đổi nên MAH
AM AM
AM
·
nhỏ nhất khi sin MAH
nhỏ nhất, hay H ≡ K .

A

·
.Ta có sin MAH
=

H
K
d

M

Q)

Bước 3. Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc
uu
r r

u
với mặt phẳng (AMK). Mặt phẳng (AMK) có vec tơ pháp tuyến  d ; n  .
( P)

r
uu
r r
uu
r r
r
uu
r uu

r r
Tacó n ( Q ) ⊥ ud ; n ( Q ) ⊥ ud ; n ( P )  nên chọn véc tơ pháp tuyến của (Q) là n ( Q ) = ud ; ud ; n ( P )  

Ví dụ (Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cho hai điểm A ( 1; 2; −1) , B ( 0; 4;0 ) và mặt
phẳng (P) có phương trình: 2 x − y − 2 z + 2015 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( Q )
đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng ( P ) một góc nhỏ nhất.
Định hướng: Bài toán này thực chất là bài toán trên nhưng ở đây không cho đường
thẳng d song ta phải hiểu đó chính là đường thẳng AB.Cũng có 2 cách làm bài toán
này.Cách 1 làm theo 3 bước đã hình thành và chứng minh ở phần phương pháp.
Cách 2 làm theo phương pháp thiên về đại số và giải tích, xét hàm số và ngay cả
đáp án cũng thiên về phương pháp này.
Giải
Cách 1. Gọi d đường thẳng đi qua A,B. Dựng đường thẳng qua B vuông góc với
mặt phẳng (P). Lấy diểm C cố định trên đường thẳng đó. Hạ CH ⊥ (Q) , CK ⊥ d .
·
C
Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là BCH
.Ta có sin
HB KB
KB
·
·
≥
=
. Mà
không đổi nên BCH
nhỏ nhất khi sin
BCH
CB CB

CB
·
nhỏ nhất, hay H ≡ K .
BCH

Mặt phẳng (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông
góc với mặt phẳng (CBK).
r

r

K
A
Q

B

r

uuur r
⊥ AB; n ( Q ) ⊥ (CBK ) nên (Q) có 1
uuur uuu
r r
r
uuur
=  AB;  AB; n ( P )   =(-6;-6;6) với AB(−1; 2;1) ; n ( P ) (2;-1;-2).



Gọi n , n là véc tơ pháp tuyến của (P), (Q) thì: n

(P)

H

(Q )

r
n
vectơ pháp tuyến là ( Q )

(Q)

Chọn (1;1;-1) là một vectơ pháp tuyến của (Q) thì phương trình mặt phẳng (Q) đi
qua A là: 1.(x-1)+1(y-2)-1(z+1)=0 hay x + y − z − 4 = 0
uur

2
2
2
Cách 2. Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Q ) : nQ = ( a; b; c ) , ( a + b + c > 0 )
Mặt phẳng ( Q ) đi qua điểm B nên có phương trình dạng

ax + b ( y − 4 ) + cz = 0 ( Q )

( a , b, c ∈ ¡ , a

2

+ b2 + c2 > 0)

Mà điểm A cũng thuộc ( Q ) nên a.1 + b ( 2 − 4 ) + c ( −1) = 0 ⇔ a = 2b + c ( 1) .
uur
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : nP = ( 2; −1; −2 ) .
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

11


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
uur uur
nP .nQ
2a − b − 2c
Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) .Ta có: cosα = uur uur =
nP . nQ 3. a 2 + b 2 + c 2

Thế a = 2b + c ( 1) vào ( 2 ) ta được : cosα =

3b
3. 5b 2 + 4bc + 2c 2

=

( 2)

b
5b 2 + 4bc + 2c 2

+) Nếu b = 0 ⇒ cosα =0 ⇒ α =900 .
Nếu

b ≠ 0 ⇒ cosα =

1
2

c
c
2  ÷ + 4  ÷+ 5
b
b

1

=

2

=

1
2

≤

1
3

c
c
c 
2  ÷ + 4  ÷+ 5
2  + 1÷ + 3
b
b
b 
1
c
⇔ = −1 ⇔ c = −b, a = b .
Vậy góc α nhỏ nhất khi cos α lớn nhất ⇔ cosα =
3
b
Chọn a=1 thì b=1;c=-1. Do đó phương trình mặt phẳng ( Q ) là : x + y − z − 4 = 0 .

Nhận xét: Rõ ràng là cách 1cho ta kết quả nhanh, dễ nhớ hơn, tiết kiệm được thời
gian, ít phải tính toán do vậy kết quả chính xác hơn.
Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d và d / .
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữa (P) và đường thẳng d /
lớn nhất (d và d / chéo nhau).
Phương pháp.
d/
Bước 1. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d. Dựng đường
A
thẳng qua M và song song với đường thẳng d. Lấy điểm A cố
định trên đường thẳng đó . Hạ ,.

H
Bước 2. Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d là .Ta có
K
d
M
cos=.
P)
Mà

KM
không đổi nên ·AMH lớn nhất khi cos ·AMH nhỏ nhất, hay H ≡ K .
AM

Bước 3. Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với
uu
r r
mặt phẳng (AMK).Mặt phẳng (AMK) có vec tơ pháp tuyến ud ; u  .
d/

r
uu
r r
uu
r r
r
uu
r uu
r r
Ta có n ( P ) ⊥ ud ; n ( P ) ⊥ ud ; u d /  nên chọn véc tơ pháp tuyến của (P) là n ( P ) = ud ; ud ; u d /  
x −1 y + 2 z

=
=
Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d:
và
1
2
−1
x + 2 y −1 z
=
= . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho
đường thẳng d / :
2
−1 2

góc giữa (P) và đường thẳng d / lớn nhất.
Định hướng. Hướng dẫn học sinh thực hiện theo 2 cách từ đó rút ra nhận xét .
Cách 1 : làm theo ba bước như ở phần phương pháp.
Cách 2 : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên về đại số và gải tích.
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

12


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

Giải
Cách 1. Vận dụng kiến thức đã học ở lý thuyết và áp dụng lập luận tương tự ta có
mặt phẳng (P) cần tìm đi qua M(1;-2;0) thuộc d và có véc tơ pháp tuyến

r
uu
r uu
r r
uu
r
r
n ( P ) = ud ; ud ; u d /   với ud (1; 2; −1) ; u d / (2; −1; 2) lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai



đường thẳng d và d / .
uu
r r

r

uu
r uu
r r

Ta có : ud ; u  = (3; −4; −5) ⇒ n = ud ; ud ; u   =(-14;2;-10)
Chọn (7;-1;5) là một vectơ pháp tuyến của (P) khi đó (P) quauurM là : 7x-y+5z -9=0
Cách 2. Đường thẳng d qua M(1;-2;0) có vectơ chỉ phương ud (1; 2; −1) .
Phương
trình

mặt phẳng (P) là : A(x-1)+B(y+2)+Cz=0, A2 + B 2 + C 2 > 0 .
r uu
r
Ta có n ud = 0 nên C=A+2B.
Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d là góc ϕ thoã mãn :
d/

(P)

d/

(P)

r uur
ϕ
=
cos(
n
( P ) , ud / ) =
sin

4 A + 3B
3 A2 + B 2 + ( A + 2 B ) 2

+) Nếu B=0 thì A ≠ 0 nên

sin ϕ =

=

2 2
3

1
3

(4 A + 3B) 2
A2 + B 2 + ( A + 2 B ) 2

.

A
1 (4t + 3) 2
(4t + 3)2
, t ∈ ¡ ta có : sin ϕ =
=
f
(
t
),
f
(
t
)
=
B
3 2t 2 + 4t + 5
2t 2 + 4t + 5
4(4t + 3)(t + 7)
25

3
/
f (t ) = 8; f (−7) = ; f (− ) = 0 . Lập bảng biến thiên .
Vì f (t ) = (2t 2 + 4t + 5)2 ; xlim
→±∞
3
4
25
Ta tìm được max f (t ) = . Do góc ϕ lớn nhất thì sin ϕ lớn nhất.
3
ϕ
Vậy sin lớn nhất khi t=- 7 hay A = −7 B .

+) Nếu B ≠ 0 thì đặt t =

Chọn B=-1 thì A=7 và C=5 khi đó (P) là : 7x-y+5z -9=0.
Nhận xét: Trong 2 cách làm ta thấy cách thứ nhất tiện lợi hơn rất nhiều và ít phải
tính toán dẫn đến ít mắc sai lầm trong bài làm hơn.Cách 2 nặng về đại số, giải tích

Dạng 3.Một số bài toán về viết phương trình đường thẳng.

Bài toán 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), điểm A ∈ ( P),
điểm B ≠ A . Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) thoã mãn điều kiện
đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp.
Bước1.Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên (P) và đường thẳng d.
Bước 2.Ta có d ( B, d ) = BK ≤ BA nên khoảng cách đó lớn nhất
khi và chỉ khi K ≡ A ,tức là đường thẳng d nằm trong (P), d đi
qua A và vuông góc với AB.
r

r uuur
Đường thẳng d nhận một vectơ chỉ phương là u =  n ; AB 
B

d

H

d

P)

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

A

(P)

Trường THPT Hậu Lộc 3

K

13


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

Mặt khác d ( B, d ) = BK ≥ BH nên khoảng cách đó nhỏ nhất khi và chỉ khi K ≡ H tức
là đường thẳng d nằm trong (P), d đi qua A và hình chiếu vuông góc H của điểm B
lên (P), nói cách khác đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)
r uuur

n
trong đó (Q) chứa AB và vuông góc với (P), (Q) có vec tơ pháp tuyến  ; AB  .
(P)

r
r
r uuur
Đường thẳng d nhận một véc tơ chỉ phương là u d =  n ( P ) ;  n ( P ) ; AB   .

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng d.
Ví dụ.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y-z-1=0, điểm A(1;0;0), điểm
B (0; 2; −3) . Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) thoã mãn điều kiện:
a) Đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
b) Đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất.
Định hướng.Hướng dẫn học sinh thực hiện theo 2 cách từ đó rút ra nhận xét .
Cách 1 : làm theo ba bước như ở phần phương pháp.
Cách 2 : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên về đại số và gải tích.
Giải
Cách 1.Lập luận tương tự như phần phương pháp.
a)Theo cách lập luận phần lý thuyết ta có đường thẳng d đi qua A và cách B một
r
r uuur
khoảng lớn nhất là đường thẳng có véc tơ chỉ phương u =  n ; AB  với :
r
n ( P ) = (1; 2; −1) ;

d

(P)

r
r uuur
uuur


u
=
n
(-1;2;-3)
d
AB
 ( P ) ; AB  =(-4;4;4) chọn vectơ chỉ phương (-1;1;1)

Vậy đường thẳng d đi qua A có vec tơ chỉ phương (-1;1;1) có phương trình là :
x −1 y z
= =
−1 1 1

b) Theo cách lập luận phần lý thuyết ta có đường thẳng d đi qua A và cách B một
r

r

r

uuur

khoảng nhỏ nhất là đường thẳng có véc tơ chỉ phương u =  n ;  n ; AB   với
d

(P)

( P)

r
r uuur
r
r
r uuur
u d =  n ( P ) ; AB  =(-4;4;4); u d =  n ( P ) ;  n ( P ) ; AB   =(12;0;12)


r
Vậy đường thẳng d đi qua A có vec tơ chỉ phương u d có phương trình là :
x = 1+ t

y = 0
z = t

r
Cách 2. Gọi véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u d (a;b;c) ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ).
r
r r
(P) có véc tơ pháp tuyến n ( P ) = (1; 2; −1) .Vì d ⊂ ( P) nên u d n ( P ) = 0 ⇔ c = a + 2b
r uuu

r
uuur

 = (−2a − 7b; 2a − 2b; 2a + b)
u
;
AB
Và AB (-1;2;-3) nên  d

r uuu
r
u d ; AB 
12a 2 + 24ab + 54b 2


d ( B, d ) =
=
uur
2a 2 + 4ab + 5b 2
u
r
uuur
n ( P ) = (1; 2; −1) ; AB (-1;2;-3) ;

d

+)Nếu b=0 thì a ≠ 0 nên d ( B, d ) = 6 (1).
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

14


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
a
, t ∈ ¡ ta có :
b
12t 2 + 24t + 54
12t 2 + 24t + 54
24
d ( B; d ) =
=
f
(
t
),
f
(
t
)
=
= 6+ 2
2
2
2t + 4t + 5

2t + 4t + 5
2t + 4t + 5
4(t + 1)
/
f (t ) = 6
6 < d ( B; d ) ≤ 14
Vì f (t ) = −24 (2t 2 + 4t + 5) 2 ; f / (t ) = 0 ⇔ t = −1 ; f (−1) = 14 ; xlim
→±∞

+)Nếu b ≠ 0 thì đặt t =

(2). Kết hợp (1), (2) ta có 6 ≤ d ( B; d ) ≤ 14
a) Khoảng cách lớn nhất d ( B; d ) = 14 khi t=-1 ⇔ a=-b.Chọn b=1 thì a=-1; c=1
uu
r

Phương trình đường thẳng d đi qua A có ud (-1;1;1) là:

x −1 y z
= =
−1 1 1

b) Khoảng cách nhỏ nhất d ( B; d ) = 6 khi b=0; a=c.Chọn a=1 thì c=1.
x = 1+ t
uu
r

Phương trình đường thẳng d đi qua A có ud (1;0;1) là:  y = 0
z = t


Nhận xét: lựa chọn cách thứ nhất cho lời giải đẹp, tiết kiệm được thời gian và cho
độ chính xác cao hơn vì học sinh ít phải tính toán.
Bài toán 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), điểm A ∈ ( P) .
Đường thẳng d / cắt (P). Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) thoã mãn
điều kiện đường thẳng d đi qua A và khoảng cách giữa d và d / lớn nhất (đường
thẳng d / không đi qua A )
Phương pháp.
Bước 1. Gọi B là giao điểm của đường thẳng d / và (P),d / / là đường thẳng đi qua
Avà song song với đường thẳng d / ,(Q) là mặt phẳng chứa A và d / / .
Vậy đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 2. Gọi H, Klà hình chiếu của B lên (Q), d / / .
Ta có: d(d;d / )=d(d / ;(Q))=d(B,(Q))=BH ≤ BK .
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K
Bước 3. Khi đó đường thẳng d đi qua A nhận véc tơ chỉ phương
d/

K

B

P)

H

A

r
uu
r

r uuuu
ud =  n P ; AA/  ( trong đó A / là hình chiếu của A trên đường thẳng d / ).



Ví dụ. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm O và đường thẳng

x −1 y +1 z
x y +1 z −1
=
= . Đường thẳng d / : =
=
. Lập phương trình đường thẳng d
1
−2 1
2
−2
−1
đi qua O, vuông góc với đường thẳng ∆ và cách d / một khoảng lớn nhất.
∆:

Định hướng: Bài toán này cũng vậy ta có thể giải theo 2 cách như các bài toán trên
Cách 1 : làm theo ba bước như ở phần phương pháp.Ở đây cần phân tích cho HS
thấy (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng ∆ .
Cách 2 : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên về đại số và gải tích.
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

15

d//


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
Giải

∆ .Vậy véc tơ pháp tuyến
Cách 1.Như vậy d ⊂ ( P) với (P) đi qua O và vuông góc
r
uu
r
của (P) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ .Vậy n ( P ) (1;-2;1)= uV . Ta có O∉ d /

Theo kết quả đã chứng minh, đường thẳng d đi qua O có 1 vec tơ chỉ phương là :
uu
r
r uur
ud =  n ; OI  ,với I là hình chiếu của O trên đường thẳng d / .
(P)

uur

Tọa độ điểm I(2t;-1-2t;1-t) ⇒ OI (2t ; −1 − 2t;1 − t )

uu

r
r uur  −13 −12 −11 
uur uur
uur −2 −7 10
−1


⇒
⇒
u
=
u
OI
.
u
=
0
⇔
t
=
OI
(
;
;
)
Vì OI ⊥ d nên
d
d/
 V ; OI  =  9 ; 9 ; 9 ÷
9

9 9 9

/

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (13;12;11).
Vậy phương trình đường thẳng d là :

x
y
z
=
=
13 12 11

r

Cách 2. Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u (a;b;c) ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ).
r
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương lần lượt là u (1;-2;1).
r r
Vì d ⊥ ∆ nên u u V = 0 ⇔ c = − a + 2b . Đường thẳng d / đi qua M(0;-1;1) có vtcp
d

∆

d

r r
r
u d / (2;-2;-1) ta có u d / ; u d  = (2a − 3b; a − 4b; 2a + 2b)

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là : d(d;d / )=

r r uuuu
r
u d / ; u d  OM
a + 6b
(a + 6b)2


=
=
r r
9a 2 − 12ab + 29b 2
u d / ; u d 
(2a − 3b) 2 + (a − 4b) 2 + (2a + 2b) 2


1
+)Nếu b=0 thì a ≠ 0 nên d(d;d / )= .
3
a
(a + 6b) 2
+) Nếu b ≠ 0 thì đặt t= , t ∈ ¡ .Khi đó d(d / ;d)=
,
b
9a 2 − 12ab + 29b 2
2(t + 6)(65 − 60t ) /
13
/

Ta có f (t ) = (9t 2 − 12t + 29) 2 , f (t ) = 0 ⇔ t = −6; t = 12 .
13 17
1
17
13
f (t ) = nên maxf(t)= ⇔ t = .
Vì f(-6)=0;f( )= ; xlim
12
9 →±∞
9
9
12

(t + 6) 2
f (t ) = 2
9t − 12t + 29

Vậy d(d / ;d) lớn nhất khi t=13/12, chọn a=13;b=12;c=11.
Vậy phương trình đường thẳng d qua O có phương trình là:

x
y
z
=
= .
13 12 11

Nhận xét: Rõ ràng là cách làm thứ nhất cho hiệu quả tốt hơn cách làm thứ hai.
Bài toán 3.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P),điểm A ∈ (P)
Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A, đồng thời d tạo với đường

thẳng d / một góc lớn nhất, nhỏ nhất.

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

16


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

Phương pháp:+) Đôí với trường hợp góc lớn nhất :Vì
luôn tồn tại đường thẳng d đi qua A tạo với đường thẳng
dmột góc 90, nên góc lớn nhất bằng 90khi d vuông góc
với dvà nằm trong (P).Vậy đường thẳng d đi qua A nhận
véc tơ chỉ phương .

M
d/

d//
H
K

A

d

(P)

+) Đôí với trường hợp góc bé nhất
Bước 1. Gọi d / / là đường thẳng đi qua Avà song song với đường thẳng d / .Lấy M
cố định thuộc đường thẳng d / / . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên (P),
đường thẳng d.
MK MH
·
·
≥
Bước 2. Góc giữa hai đường thẳng là MAK
.Ta có sin MAK
=
.
MA

MA

·
·
·
Góc MAK
nhỏ nhất khi sin MAK
nhỏ nhất.Vậy MAK
nhỏ nhất khi K trùng H hay d là
đường thẳng đi qua A,H hay d chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) trong
đó (Q) là mặt phẳng chứa Avuông góc với (P) và song song với đường thẳng d / .
Bước 3. Viết phương trình đường thẳng d.

uur r
Vậy (Q) có 1 véc tơ pháp tuyến là : ud ; n  .
/

( P)

uu
r

r

uuu
r r

Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là : ud =  n ud ; n  
Ví dụ.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d đi qua
A(1;-1;2), song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-z+3=0, đồng thời d tạo với đường
( P)

thẳng d / :

/

(P)

x +1 y −1 z
=
= một góc lớn nhất, nhỏ nhất.
1
−2

2

Định hướng: Bài toán này bản chất cũng là bài toán tổng quát ở trên tuy nhiên cần
cho học sinh biết phát hiện vậy thì mặt phẳng (P) trong bài toán này là gì?Thực
chất (P) là mặt phẳng đi qua A và song song (Q) như vậy (P) có cùng vec tơ pháp
tuyến với (Q). Đối với trường hợp góc lớn nhất ta thấy luôn tồn tại. Đối với trường
hợp góc bé nhất ta thực hiện theo các bước phân tích ở bài toán tổng quát để đi tìm
vectơ chỉ phương của đường thẳng. Bài toán này có thể giải theo 2 cách như các bài
toán trên.
Giải.
Cách 1.Lập luận như phần lý thuyết ta có
Đường thẳng d đi qua A và song
song với (Q) tức là d nằm trong mặt phẳng (P) :
r
Véc tơ pháp tuyến của (P) là n (2;-1;-1) đi qua A có phương trình: 2x-y-z-1=0.
+) Góc giữa d và d / lớn nhất bằng 90 0 , khi đó d có một véc tơ chỉ phương là
(P)

uu
r
r r
x −1 y +1 z − 2
ud = u d / ; n ( P )  = (4;5;3) . Phương trình đường thẳng d là :
=
=
.
4
5
3

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

17


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
+) Góc giữa d và d / nhỏ nhất khi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và mặt phẳng
(R), trong đó (R) là mặt phẳng vuông góc với (P) và song song với d / có một vectơ
uuu
r r

uu
r

r

uuu
r r

pháp tuyến là ud ; n  .Vectơ chỉ phương của d là ud =  n ud ; n   = (2; −10;14) .
/

(P)

( p)

Phương trình đường thẳng d là :

x −1 y + 1 z − 2
=
=
.
1
−5
7

/

(P)

r

Cách 2. Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u (a;b;c) ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ).
r r
Vì d / /(Q) nên u n = 0 ⇔ c = 2a − b .
r
Đường thẳng d / có vectơ chỉ phương u (1;-2;2) nên góc ϕ của 2 đường thẳng
d

d

(Q )

d/

thõa mãn :

uu
r uur
cos ϕ = cos(ud ; ud / ) =

5a − 4b
3 5a − 4ab + 2b 2
2

+)Nếu b=0 thì a ≠ 0 nên cos ϕ = 5 3 .
a
b

(5t − 4) 2
1
(5t − 4) 2
=
f
(
t
);
f
(
t
)
=
3 5t 2 − 4t + 2 3
5t 2 − 4t + 2

2(5t − 4)(10t + 2)
lim f (t ) = 5 .Ta có Maxf(t)=f( −1 )= 25 ; Min f(t)= f( 4 )=0
f / (t ) =
;
2
2
x →±∞
(5t − 4t + 2)
5
3
5
4
+)Góc ϕ lớn nhất khi cos ϕ nhỏ nhất ⇔ cos ϕ =0 ⇔ ϕ =90 0 khi t= hay b=5;a=4;c=3
5
uu
r
x −1 y +1 z − 2
=
=
Vậy phương trình đường thẳng d qua A có vectơ ud (4;5;3) là:
.
4
5
3
5
−1
+)Góc ϕ bé nhất khi cos ϕ lớn nhất ⇔ cos ϕ =
khi t= hay b=-5;a=1;c=7
3 3
5

uu
r
x −1 y +1 z − 2
=
=
Vậy phương trình đường thẳng d qua A có vectơ ud (1; −5;7) là :
.
1
−5
7
1
+) Nếu b ≠ 0 thì đặt t = , t ∈ ¡ , khi đó: cos ϕ =

Nhận xét: cách làm thứ nhất cho lời giải đẹp, tốn ít thời gian, hiệu quả tốt hơn
cách làm thứ hai.
IV.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài đã được áp dụng thường xuyên ở các lớp kết quả đạt được tương đối tốt. Học
sinh đã giải quyết được rất nhiều bài toán về cực trị. Các em đã thích dần với bài
tập loại này, học tập hăng say và tích cực hơn rất nhiều, tạo cho các em một niềm
tin khi giải toán. Đề tài góp phần nâng cao kết quả thi Đại học, Cao đẳng và học
sinh giỏi cấp tỉnh bộ môn Toán, hạn chế việc học sinh sợ khi gặp phải các bài toán
cực trị trong hình học giải tích lớp 12, đồng thời tạo được hứng thú cho học sinh
góp phần năng cao chất lượng dạy và học. Đề tài đã phát huy được tính tích cực của
học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi, sáng tạo trong quá trình giải một bài
toán có liên quan đến cực trị trong hình học.Đề tài đã được các thành viên trong tổ
Toán – Tin góp ý và đánh giá tốt. Đề tài đã được các thầy cô áp dụng rộng rãi với
các đối tượng học sinh lớp mình phụ trách, đem lại hiệu quả rất thiết thực trong
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

18


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
giảng dạy bộ môn Toán ở trường THPT Hậu Lộc 3 hiện nay. Với cách làm này học
sinh có cách nhìn bài toán cực trị trong hình học giải tích gần với tư duy hình học
không gian hơn không nặng về tính toán nhưng đòi hỏi ở các em tư duy trừu tượng
hơn một chút, định hướng cho các em thấy được dạng quen thuộc, những kỹ năng
cần thiết. Nếu trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết thì nhìn vào bài toán
như vậy các em sẽ định hướng được cách giải, giải nhanh và thành thạo .
Trong năm học 2012 -2013, 2013 -2014, 2014 -2015, 2015-2016 tôi đã thực
nghiệm đề tài của mình ở các lớp 12A6,12B3 và 12C2, 12A1 kết quả cụ thể như
sau :
Loại
Loại
Loại
Loại
Loại
trung
giỏi
khá
yếu
Đối tượng
bình

Áp dụng thường xuyên ở lớp 12 A1

20 %

50 %

30 %

0%

Áp dụng thường xuyên ở lớp 12 C2
Không áp dụng thường xuyên ở lớp 12 B3
Không áp dụng thường xuyên ở lớp 12 A6

15 %
0%
0%

50 %
30 %
20 %

30 %
50 %
55 %

5%
20 %
25%

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trên đây là một số kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm giảng dạy
môn toán phần cực trị trong hình toạ độ không gian. Với đề tài này tôi hy vọng sẽ
giúp cho các em học sinh biết cách áp dụng và giải quyết các bài toán có liên quan
đến cực trị hình học trong hình toạ độ không gian và cải tiến phương pháp học tập.
Trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn chưa được hoàn hảo, không thể tránh
khỏi những thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về hình thức khoa học. Tôi rất
mong được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp, của hội đồng khoa học để
đề tài những năm học tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục.
Vì vậy để đề tài thu được kết quả tốt và triển khai sâu rộng cho các em HS thì
Tôi có một vài kiến nghị đề xuất như sau:
Đối với cán bộ quản lý nhà trường cần đầu tư thêm nhiều tài liệu tham khảo cho
giáo viên, có thư viện phong phú để HS tham gia nghiên cứu tài liệu, có kinh phí hỗ
trợ khuyến khích động viên giáo viên.
Mở rộng hội nghị khoa học để trao đổi kinh nghiệm dạy và học, tìm cách áp
dụng đề tài nghiên cứu một cách có hiệu quả.
Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi về chuyên
môn, xây dựng các tiết dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh, phải xem sinh
hoạt Tổ nhóm chuyên môn là công việc để trau dồi về chuyên môn, tự học tập lẫn
nhau giúp nhau cùng tiến bộ.

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

19

Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
Tạo điều kiện về thời gian để rèn luyện HS yếu kém, bồi dưỡng HS khá giỏi để
đề tài được áp dụng rộng rãi và có kết quả cao hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Hậu lộc , ngày 25 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan SKKN không có sự
sao chép
Người viết sáng kiến kinh nghiệm
LÊ THỊ HẠNH
Tài liệu tham khảo
1. Hình học không gian - Phan Huy Khải.
2. Sách giáo khoa hình học12 và sách bài tập hình học lớp 12 THPT
3.Đề thi đại học, cao đẳng của Bộ giáo dục.
4.Đề thi học sinh giỏi môn toán Tỉnh Thanh hóa.
5.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.
6. Đề thi thử các trường.

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

20