Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (213.24 KB, 19 trang )

MỤC LỤC

PHẦN 1. MỞ ĐẦU................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài..........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................1
PHẦN 2. NỘI DUNG............................................................................3
I. Cơ sở lí luận..................................................................................................3
II. Thực trạng...................................................................................................3
III. Giải pháp thực hiện...................................................................................4
1. Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng
phương pháp đặt ẩn phụ.................................................................................4
2. Dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.....................................................9
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.....................................................16
PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.......................................................17
1.
Kết
luận.......................................................................................................17
2. Kiến nghị.....................................................................................................17

1

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình môn Đại số 10, học sinh đã được tiếp cận với phương
trình chứa ẩn dưới dấu căn (phương trình vô tỉ). Trong thực tế các bài toán giải
phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng. Đặc biệt, trong các đề thi Đại học Cao đẳng - Học sinh giỏi các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình vô
tỉ mà chỉ có một số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng
củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không

đáng có trong khi trình bày hoặc các em không biết áp dụng phương pháp nào để
giải.
Trong SGK Đại số lớp 10, phần phương trình vô tỉ chỉ là một mục nhỏ trong
bài: "Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai" của chương IV.
Thời lượng dành cho phần này rất ít, các ví dụ và bài tập trong phần này cũng
hạn chế và chỉ ở dạng cơ bản. Nhưng trong thực tế, học sinh gặp nhiều phương
trình vô tỉ, đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi luôn
có bài tập về giải phương trình vô tỉ nhưng để biến đổi và giải chính xác phương
trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ năng biến
đổi toán học nhanh nhẹn và thuần thục.
Trong SGK Đại số lớp 10 chỉ đưa ra dạng cơ bản: A = B , phần bài tập cũng
chỉ nêu những bài tập nằm trong dạng này. Tuy nhiên, trong thực tế phương trình
vô tỉ rất đa dạng và phong phú. Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp
phải những bài toán đưa về phương trình và bất phương trình vô tỉ, đa số học
sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải. Đặc biệt,
các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi các em sẽ gặp phương trình vô tỉ ở
nhiều dạng khác nhau chứ không chỉ nằm trong khuôn khổ dạng trên. Vì vậy,
việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương pháp
giải phương trình vô tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay.
Một điều rất quan trọng là trong quá trình giải phương trình vô tỉ thì phương
pháp đặt ẩn phụ là một trong những phương pháp hữu hiệu nhất - Từ thực tiễn
giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT 4 Thọ Xuân cùng với kinh nghiệm trong
thời gian giảng dạy. Tôi xin đưa ra đề tài: "Giúp học sinh lớp 10 giải phương
trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ".
- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các
dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ và đặc
biệt là định hướng cho học sinh khi nào dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế, xây dựng cách giải các phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ.
3. Đối tượng nghiên cứu.

- Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn).
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu về phương trình vô tỉ.

2

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về các phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng
cách đặt ẩn phụ.
4.2. Phương pháp chuyên gia
Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến
làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
4.3. Phương pháp thực tập sư phạm
Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quy
trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài
nghiên cứu.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được.

3

PHẦN 2. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận.
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy
và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức
phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời
sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với

kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng
dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải
có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ
thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính
giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài
toán giải phương trình vô tỉ.
Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng
f (x) = g(x) và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước
khi giải chỉ đặt điều kiện f(x) ≥ 0 . Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều

kiện đủ để thực hiện được phép biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh
dễ mắc sai lầm khi lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều
kiện f(x) ≥ 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình.
Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi
hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến
đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản.
II. Thực trạng.
Học sinh trường THPT 4 Thọ Xuân chủ yếu là con em của các gia đình
thuần nông, điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nên việc học tập của các em
còn nhiều hạn chế. Kiến thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài còn chậm, chưa tự
hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ chưa phân
loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi, trong
khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình
đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho
phần này là rất ít.

Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày
nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải
đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này.

4

III. Giải pháp thực hiện.
1. Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn
phụ.
Dạng 1: Phương trình chứa f (x) và

f (x) .

Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt

f ( x) = t , (t ≥ 0)

- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t.
- Bước 4: Với t tìm được thỏa mãn t ≥ 0 , thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của
phương trình ban đầu và kết luận.
Ví dụ 1. Giải phương trình: x 2 + 5 x + 4 − 5 x 2 + 5 x + 28 = 0, (1) .
Giải:
+ Điều kiện: x 2 + 5 x + 28 ≥ 0 luôn đúng với mọi ∀x ∈ R .
+ Đặt x 2 + 5 x + 28 = t , (t ≥ 0) .
 t = −3
t = 8

2
+ Phương trình (1) trở thành: t − 5t − 24 = 0 ⇔ 

Do t ≥ 0 nên t = −3 loại.
+ Với t = 8 ⇒ x 2 + 5 x + 28 = 8
x = 4
⇔ x 2 + 5 x − 36 = 0 ⇔ 
.
 x = −9

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 4 và x = -9.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1, 5 x 2 + 10 x + 1 = 7 − 2 x − x 2
2, (4 − x)(6 + x) = x 2 − 2 x − 12
Dạng 2: Phương trình a( f (x) + g (x)) + b f (x) g(x) + c = 0 .
Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt

f ( x) + g (x) = t , (t ≥ 0)

- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t.
- Bước 4: Với t tìm được thỏa mãn t ≥ 0 , thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của
phương trình ban đầu và kết luận.

5

Ví dụ 2. Giải phương trình: x + 3 + 6 − x − (x + 3)(6 − x) = 3 (2).
Giải:

+ Điều kiện: −3 ≤ x ≤ 6 .
+ Đặt x + 3 + 6 − x = t , (t ≥ 0) .
⇒ t 2 = 9 + 2 (x + 3)(6 − x) .
⇒ (x + 3)(6 − x) =

t2 − 9
2
 t = −1
t = 3

2
+ Phương trình (2) trở thành: t − 2t − 3 = 0 ⇔ 

Do t ≥ 0 nên t = −1 loại.
 x = −3
.
x = 6

+ Với t = 3 ⇒ x + 3 + 6 − x = 3 ⇔ (x + 3)(6 − x) = 0 ⇔ 
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 6 và x = -3.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1, x − 1 + 7 − x − (x − 1)(7 − x) = 1
2, x + 2 + 2 − x − 5 (4 − x 2 = 2

Dạng 3: Phương trình dạng a( f (x) − g (x)) + b f (x) g(x) + c = 0 .
Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt

f ( x) − g (x) = t .

- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t.
- Bước 4: Với t tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban
đầu và kết luận.
Ví dụ 3. Giải phương trình: x + 1 − 4 − x − 2 (x + 1)(4 − x) + 3 = 0 (3).
Giải:
+ Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 4 .
+ Đặt x + 1 − 4 − x = t.
⇒ t 2 = 5 − 2 (x + 1)(4 − x) .

+ Phương trình (2) trở thành: t 2 + t − 2 = 0

6

 t = −2
⇔
t = 1

+ Với t = 1 ⇒ x + 1 − 4 − x = 1
⇔ x+ 1 = 4 − x + 1
⇔ x +1 = 4 − x + 2 4 − x +1
⇔ 4− x = x−2
x ≥ 2
⇔
2
4 − x = x − 4 x + 4
x ≥ 2
⇔ 2
 x − 3x = 0

⇔ x = 3.

+ Với t = −2 ⇒ x + 1 − 4 − x = −2
⇔ x+ 1 + 2 = 4 − x
⇔ x +1+ 2 x +1 + 4 = 4 − x
⇔ 2 x + 1 = −2 x − 1
−1

x ≤
⇔
2
4 x + 4 = 4 x 2 + 4 x + 1

−1

x ≤
⇔
2
4 x 2 − 3 = 0

⇔x=

− 3
.
2

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 3 và x =

− 3
.

2

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1, 2 x + 1 − 1 − 2 x − 2 (2 x + 1)(1 − 2 x) + 1 = 0
2, (2 − 3 x)(1 + 3 x) = 2 − 3 x − 1 + 3 x .
Dạng 4: Phương trình dạng a( f (x) ± g (x)) + b f (x) g(x) + c(f(x) + g(x)) + d = 0 .
Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt

f ( x) ± g (x) = t (tìm điều kiện của t nếu có).

- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t.

7

- Bước 4: Với t tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban
đầu và kết luận.
Ví dụ 4. Giải phương trình: x + 1 + 2 x + 3 = 3x + 2 (x + 1)(2 x + 3) − 16 (4).
Giải:
+ Điều kiện: x ≥ −1 .
+ Đặt x + 1 + 2 x + 3 = t (t ≥ 0).
⇒ t 2 = 3x + 2 (x + 1)(2 x + 3) + 4

+ Phương trình (2) trở thành: t 2 − t − 20 = 0
 t = −4
⇔
t = 5

Do t ≥ 0 nên t = −4 loại.
+ Với t = 5 ⇒ x + 1 + 2 x + 3 = 5
⇔ 21 − 3x = 2 (x + 1)(2 x + 3)
x ≤ 7
⇔ 2
 x − 146 x + 429 = 0
⇔ x=3

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 3 .
Ví dụ 5. Giải phương trình: 3 x + 2 − 6 2 − x + 4 x 2 − 4 = 10 − 3x (5).
(Đề thi đại học khối B năm 2011)
Giải:
+ Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2 .
+ Đặt x + 2 − 2 2 − x = t
⇒ t 2 = 10 − 3 x − 4 4 − x 2

+ Phương trình (2) trở thành: t 2 − 3t = 0
t = 0
⇔
t = 3

+ Với t = 0 ⇒ x + 2 − 2 2 x + 3 = 0
⇔ x+2 = 2 2− x
6
⇔x=
5

+ Với t = 3 ⇒ x + 2 − 2 2 x + 3 = 3

8

⇔ x+2 = 2 2− x +3
⇔ 5( x − 3) = 16 2 − x

Phương trình này vô nghiệm vì −2 ≤ x ≤ 2 .
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x =

6
.
5

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

( x + 3) ( 1 − x ) + 3x − 7 = 0
3 − x − 10 ( x + 3) ( 3 − x ) + 7 x + 4 = 0

1, 2 x + 3 − 1 − x − 4
2, x + 3 − 5

Dạng 5: Phương trình a f (x) + b g (x) = c f (x) g(x) .
Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt

f ( x ) = a,

g ( x) = b, (a ≥ 0, b ≥ 0) .

- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình đẳng cấp theo ẩn a và b.

- Bước 4: Với a và b tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình
ban đầu và kết luận.
Ví dụ 6. Giải phương trình: 2 ( x 2 − 3x − 2 ) x + ( x + 1) ( x 2 + 1) = 0 (6).
Giải:
+ Điều kiện: −1 ≤ x .
+ Đặt x 2 + 1 = a,

x + 1 = b, (a, b ≥ 0)

+ Phương trình (2) trở thành: 2a 2 + ab − 6b 2 = 0
 2a = 3b
⇔
 a = −2b (loai )

+ Với 2a = 3b, ta có:
⇔ 2 x2 + 1 = 3 x + 1
⇔ 4x2 − 9 x − 5 = 0
⇔x=

9 ± 161
(t/ m)
8

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x =

9 ± 161
.
8

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

9

1, 5 x 3 + 1 = 2 ( x 2 + 2 )

2, 2 x 3 − 8 = 3 ( x 2 + 2 x − 1)
2. Dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.
Phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ là một phương
pháp vô cùng quan trọng, tuy nhiên ngoài những dạng cụ thể để đặt ẩn phụ thì
một câu hỏi đặt ra là khi nào dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ và đặt ẩn
phụ như thế nào là thuận tiện nhất. Để giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp
đặt ẩn phụ thành công thì điều quyết định đó là tìm ra các mối quan hệ giữa các
đại lượng trong bài toán được gắn kết với nhau như thế nào. Mặt khác khi đặt ẩn
phụ phải thu được phương trình có thể giải được như: Phương trình bậc hai, bậc
ba, phương trình đẳng cấp, phương trình tích...
Để hiểu rõ hơn phần này ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Giải phương trình:

x 2 + 3x − 2 + 2 x 2 − x − 2 = 2 x (1).

* Phân tích hướng giải: Với phương trình này, ta sẽ tìm các mối liên hệ giữa
các đại lượng với nhau để từ đó tìm ra cách đặt ẩn phụ. Ta để ý thấy trong hai
căn thì hệ số của x 2 và hệ số tự do băng nhau (bằng -2) do đó ta liên tưởng đến
phép chia hai vế của phương trình cho x , ta thu được phương trình:
x +3−

2
2
+ 2 x −1 − = 2

x
x

Rõ ràng đến đây ta đã thấy sự liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình nên
ta hoàn toàn có thể đặt ẩn phụ để giải phương trình này.
Cách giải:
- Điều kiện: x ≤

−3 − 17
; x ≥ 2. (*)
2
2
x

2
x

- Ta có: (1) ⇔ x + 3 − + 2 x − 1 − = 2 .
⇔ x−

2
2
+ 3 + 2 x − − 1 = 2 (1')
x
x

2
x

-Đặt x − = t , khi đó (1') trở thành:

⇔ t + 3 + 2 t −1 = 2
⇔ 4 t 2 + 2t − 3 = −5t + 5
t ≤ 1
⇔ 2
9t − 82t + 73 = 0
⇔ t = 1.

10

2
x

- Với t = 1 ⇒ x − = 1 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 .
⇔ x = 2 hoặc x = −1 (loại vì không thỏa mãn điều kiện (*)).

Vậy phương trình có một nghiệm là: x = 2 .
* Nhận xét: Việc đi tìm mối liên hệ giữa các đại lượng ở phương trình này là
một hướng đi rất quen thuộc trong những hướng đi tìm ẩn phụ ở các bài toán
phương trình vô tỉ trong các kỳ thi. Việc phát hiện ra chia hai vế của phương
trình cho biến x để tìm ẩn phụ xuất phát từ ý tưởng các hệ số đối xứng, như
trong ví dụ 1 là số -2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 (2).
(Đề thi đại học khối A năm 2009)
* Phân tích hướng giải: Ở phương trình này ta thấy có chứa hai căn bậc khác
nhau do đó chúng ta không thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải, nên ta
nghĩ đến việc đặt hai ẩn phụ để giải phương trình. Để ý thấy trong căn là các nhị
thức bậc nhất nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa các ẩn phụ. Vì vậy ta có
thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình này.
Cách giải:

6
5

- Điều kiện: x ≤ . (*)
 3 3 x − 2 = u
⇒ 5u 3 + 3v 2 = 8.
- Đặt: 
 6 − 5 x = v (v ≥ 0)

- Khi đó ta được hệ:
 2u + 3v = 8
 3
2
5u + 3v = 8
8 − 2u

v = 3

⇔
2
5u 3 + 3  8 − 2u  = 8
 3 ÷



u = −2
⇔
v = 4
u = −2  3 3 x − 2 = −2
⇒

⇔ x = −2 (thỏa mãn điều kiện)
- Với 
v = 4
 6 − 5 x = 4

Vậy phương trình có một nghiệm là: x = −2 .
* Nhận xét: Với những phương trình vô tỉ chứa nhiều căn thì ta có thể đặt nhiều
ẩn phụ để chuyển về hệ phương trình.

11

Ví dụ 3. Giải phương trình: 10 ( x 2 + 3x + 5 ) = 17 x 4 − 15 x 2 + 25 (3).
* Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy hình thức phương trình
quen thuộc nhưng nếu ta dùng phương pháp lũy thừa để giải quyết thì khó đạt
được kết quả vì sẽ tạo ra phương trình bậc 4 có nghiệm vô tỉ. Do đó để giải bài
toán này, ta thử xem có thể đặt ẩn phụ được không ?
Trước hết ta cần tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình.
Ta có:

(

)

(

)

2

(

)(

x 4 − 15 x 2 + 25 = x 4 + 10 x 2 + 25 − 25 x 2 = x 2 + 5 − ( 5 x ) = x 2 + 5 x + 5 x 2 − 5 x + 5
2

)

Vì vậy, đại lượng trong căn được biểu diễn thành tích của x 2 + 5 x + 5
và x 2 − 5 x + 5 .
Do đó ta thử tìm xem đại lượng ngoài căn có liên quan đến hai biểu thức trên
không ? Theo cách xác định hệ số bất định.
Ta có: 10 x 2 + 30 x + 50 = m( x 2 + 5 x + 5) + n( x 2 − 5 x + 5)
⇔ 10 x 2 + 30 x + 50 = (m + n) x 2 + 5(m − n) x + 5(m + n) (*)
 m + n = 10
n = 2

Đồng nhất hệ số hai vế của (*) ta được: m − n = 6 ⇔ 
.
m = 8
 m + n = 10


Điều đó có nghĩa là: 10 x 2 + 30 x + 50 = 8( x 2 + 5 x + 5) + 2( x 2 − 5 x + 5) .
Đến đây ta đã tìm ra được mối liên hệ giữa các đại lượng có trong phương trình.
Cách giải:
- Điều kiện: ∀x ∈ R.
- Ta có: (3) ⇔ 8( x 2 + 5 x + 5) + 2( x 2 − 5 x + 5) = 17 (x 2 + 5 x + 5)(x 2 − 5 x + 5) .
- Đặt

x2 + 5x + 5
= t (t > 0). . Khi đó phương trình trên trở thành:
x2 − 5x + 5
t = 2
8t − 17t + 2 = 0 ⇔  1
t =
 8
2

+ Với t = 2 ⇒


25 + 445
x =
x + 5x + 5
6
= 2 ⇔ 3 x 2 − 25 x + 15 = 0 ⇔ 
.
2
x − 5x + 5

25 − 445
x =
6

2

12

1
8

+ Với t = ⇒


325 + 26245
x=

x + 5x + 5 1
126
= ⇔ 63 x 2 − 325 x + 315 = 0 ⇔ 
.
2
x − 5x + 5 8

325 − 26245
x =
126

2

Vậy phương trình có 4 nghiệm là: x =

25 ± 445
325 ± 26245
và x =
.
6

126

* Nhận xét: Với những phương trình vô tỉ chứa căn mà biểu thức trong căn
chứa bậc cao mà ta có thể phân tích được thanh tích thì ta có thể đặt ẩn phụ để
giải.
Ví dụ 4. Giải phương trình: 7( x − 2) 2 x − 1 + (11 − 8 x) 4 − x + 6 = 5 −2 x 2 + 9 x − 4 − 2 x .
(4)
* Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy phương trình chứa ba
căn thức, trong đó có hai căn thức chứa nhị thức bậc nhất và một căn thức chứa
tam thức bậc hai. Với phương trình này thì dùng phép nâng lên lũy thừa sẽ rất
khó thành công. Vì vậy ta sẽ chuyển hướng tìm mối liên hệ giữa các đại lượng
trong phương trình để tìm cách đặt ẩn phụ.
Trước hết ta quan tâm đến hai nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai ở trong
căn có liên quan gì với nhau không ?
Ta có: −2 x 2 + 9 x − 4 = (2 x − 1)(4 − x) .
Mặt khác, hệ số đứng trước các căn thức chứa nhị thức bậc nhất không có sự
tương đồng nên ta không nên đặt ẩn phụ mà đặt hai ẩn phụ và sử dụng phương
pháp hệ số bất định để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng.
Cách giải:
2 x − 1 ≥ 0
1

⇔ ≤ x ≤ 4.
- Điều kiện: 4 − x ≥ 0
2
 −2 x 2 + 9 x − 4 ≥ 0

u = 2 x − 1

- Đặt: 

v = 4 − x

; u, v ≥ 0.

- Khi đó ta có: 7(x-2) = 2u2-3v2 , 11-8x = -3u2 + 2v2, 2x-6 = 2u2 - 2v2.
Lúc đó phương trình đã cho trở thành:
2u3 -3u2v - 3uv2 + 2v3 = -(2u2 -5uv +v2) (*).
Nhận xét rằng vế trái và vế phải của (*) đều là phương trình đẳng cấp. Do đó ta
xét các khả năng:
Với v =0 ⇒ u= 0, không thỏa phương trình đã cho.
Với u,v > 0, đặt u = kv (k>0). Khi đó (*) trở thành:
13

(2k 3 − 3k 2 − 3k + 2)v3 = −(2k 2 − 5k + 2)v 2
⇔ (k + 1)(2k 2 − 5k + 2)v 3 = −(2k 2 − 5k + 2)v 2
1

k=

⇔ (2k − 5k + 2) [ (k + 1)v + 1] = 0 ⇔
2

k = 2
2

vì (k+1)v+1>0.
1
2

Với k = ⇔ 2 x − 1 =

1
1
8
4 − x ⇔ 2 x − 1 = (4 − x) ⇔ x = .
2
4
9

Với k = 2 ⇔ 2 x − 1 = 2 4 − x ⇔ 2 x − 1 = 4(4 − x) ⇔ x =

17
.
6


Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm: x =  ;

8 17 
.
9 6 

* Nhận xét: Bài toán này là bài toán có cách đặt ẩn phụ thường gặp trong
phương trình vô tỉ. Có thể phát triển bài toán này theo nhiều góc độ khác nhau
và ứng với mỗi góc độ ta sẽ có cách đặt ẩn phụ phù hợp.
Ví dụ 5. Giải phương trình: 5 x +

5

2 x

= 2x +

1
+ 4 (5).
2x

* Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy hai đại lượng x +

1
2 x

và

2

1
1 
1

x+
= x+
+ 1 nên ta có thể đặt ẩn phụ
có mối liên hệ với nhau là  x +
÷
4x
4x
2 x


để giải phương trình này.
Cách giải
- Điều kiện: x > 0.
- Đặt

2

1

1 
1
x+
= t ( t ≥ 2 ). ta có:  x +
= x+
+1
÷
2 x
4x
2 x


- Khi đó phương trình (5) trở thành:
t = 2
5t = 2(t − 1) + 4 ⇔ 2t − 5t + 2 = 0 ⇔  1 .
t =
 2
2

Do t ≥ 2 nên t =

2

1
loại.
2

14

2

 2− 2 

2− 2
x = 
 2 ÷
÷
 x=

1


2
= 2 ⇔ 2x − 4 x + 1 = 0 ⇔ 
⇔
.
Với t = 2 ⇒ x +
2


2 x
2+ 2



2+ 2
 x=
 x = 
÷
÷

2
 2 


Vậy phương trình có 4 nghiệm là: x =

3± 2 2
.
2

(

)



2
2
Ví dụ 6. Giải phương trình: 2  4 x + x + 2 − 3 ÷+ 3 4 − x + x + 2 = 0 (6).





* Phân tích hướng giải: Bài toán thoạt nhìn ta thấy hết sức rối mắt vì đã chứa
hai căn bậc lệch lại còn các đại lượng dưới căn thức lại chứa căn. Tuy nhiên
quan sát một chút và đủ tinh ý trong đại số, ta thấy rằng hai đại lượng chứa trong
hai căn thức có gắn kết với nhau.

)(

(

)

2
2
Thật vậy, ta có: x + x − 2 . − x + x + 2 = 2 .

Từ đó nếu ta đặt: t = x + x 2 − 2 ⇒ − x + x 2 + 2 =

2
.
t

Vậy là xem như mối liên hệ giữa đại lượng có trong phương trình và ẩn phụ hóa
đã hoàn tất.
Cách giải:
2
t

Đặt: t = x + x 2 − 2 ⇒ − x + x 2 + 2 = .
Lúc đó phương trình đã cho trở thành phương trình:

(

)

2 4 t −3 =

3

(

)

8
2
1
⇔ 2 4 t − 3 = 3 ⇒ 4 t + 3 − 3 = 0 (*).
t
t
t

Lại đặt u = 6 t , u > 0. Ta có (*) trở thành:
 u 2 = −1
1
4u 3 + 2 − 3 = 0 ⇔ 4u 6 − 3u 2 + 1 = 0 ⇔  2 1 .
u =
u


2

Đối chiếu điều kiện ta có:

u2 =

1
1
1
⇔ 6t = ⇔t= 6.
2
2
2

Từ đó ta có:
1
1


x
≤
x
≤
6

1
1 − 213



26
2
x + x2 + 2 = 6 ⇔ 
⇔
⇔
x
=
.
13
2
27
 x2 + 2 = x2 + 1 x + 1
x = 1− 2


25
212
27

15

Nhận xét: Việc phương trình có chứa cặp số mà tích của chúng bằng k số thực
thì việc giải quyết nó bằng ẩn phụ là hoàn toàn có thể giải quyết được, một lối đi
cũng thường gặp.
Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 7 x − 1 − 3 x 2 − x − 8 + 3 x 2 − 8 x = 1 = 2 (6)
Phân tích hướng giải: Quan sát bài ta thấy bài toán có chứa ba căn thức bậc ba,
trong đó có hai căn thức có chức tam thức bậc hai nên nếu dùng phép lũy thừa
cho bai toán nàycó thể chúng ta dính phải những tính toán rắc rối. Do đó ta
chuyển hướng đặt ẩn phụ cho bài toán này. Trược tiên ta tìm mối liên hệ giữa

các đại lượng tham gia phương trình xem chúng ta có được điều gì?
2
2
Nhận xét ta có: ( 7 x + 1) + ( − x + x + 8 ) + ( x − 8 x − 1) = 8 .

a = 3 7 x + 1

3
2
3
3
3
Do đó nếu đặt b = − x + x + 8 ⇒ a + b + c = 8.

3 2
c = x − 8 x − 1
a + b + c = 8

Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: 

3
3
3
a + b + c = 8

.

Quan sát hệ này, ta thấy ngay chìa khóa để giải quyết bài toán chính là dùng
hằng đẳng thức.
Cách giải:

a = 3 7 x + 1

3
2
3
3
3
Đặt: b = − x + x + 8 ⇒ a + b + c = 8.

3 2
c = x − 8 x − 1
a + b + c = 8

Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: 

3
3
3
a + b + c = 8

.

Lại có: ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) .
3

 3 7 x − 1 = −3 − x 2 + x + 8
 a = −b


( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) = 0 ⇔ b = − c ⇔  3 − x 2 + x + 8 = − 3 x 2 − 8 x − 1


c = − a
 3 x2 − 8x − 1 = − 3 7 x − 1

Suy ra:
2
 x − 8x + 9 = 0
 x = ±1

⇔ 7 x = 7
⇔  x = 9
 x2 − x = 0
 x = 0


Thử lại ta có tập nghiệm của phương trình là T = { −1;1;9} .

16

Kết luận: Theo các ví dụ đã phân tích ở trên ta thấy để giải một phương trình
vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ thì ta cần phải phát hiện các đại lượng liên
quan đến ẩn phụ bằng mối quan hệ nào ? Tìm được mối quan hệ đó ta sẽ đi đến
được lời giải của bài toán.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trên cơ sở thực tiễn việc đổi mới phương pháp và nội dung giảng dạy môn
Toán cho học sinh lớp 10 là hợp lý và thu được kết quả tốt, tôi đã thực hiện
thành công mục tiêu đề ra, đó là tận dụng, phát huy được trí tuệ của học sinh.
Kết quả về điểm số là khả quan trên cơ sở đặt tỷ lệ đó vào mối tương quan
với chất lượng các lớp thực nghiệm và các lớp vẫn dạy theo phương pháp truyền

thống. Học sinh đó bắt đầu nắm vững kiến thức, có kỹ năng biến đổi chuyển hoá
một số bài toán thành thạo, có hứng thú, say sưa học toán.
Bên cạnh một số bài tập cơ bản phù hợp với đa số đối tượng học sinh, cũng
có những bài tập đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy cao, phải tích luỹ
được nhiều kinh nghiệm. Từ đó, khuyến khích lòng hăng say tìm tòi giải bài tập
của một nhóm học sinh có nhận thức khá.
Tôi đã chọn lớp 10A1 là lớp thực nghiệm (TN) để dạy cho học sinh, còn
lớp 10A4 là lớp đối chứng (ĐC) chỉ dạy theo sách giáo khoa. Kết quả thực
nghiệm thu được khi cho hai lớp cùng làm một đề kiểm tra 45 phút về phương
trình vô tỉ như sau:
Lớp

n

Lớp thực nghiệm
Lớp đối chứng

Số HS đạt điểm xi
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

45

0

0

0

0

2

4

9

15

11

5

45

0

0

1

3

11

12

8

7

4

0

Qua bảng chúng ta có thể thấy, ở mỗi lần kiểm tra trong quá trình thực
nghiệm thì tỷ lệ khá giỏi của lớp thực nghiệm đều cao hơn hẳn lớp đối chứng.
Ngược lại tỷ lệ điểm trung bình và dưới trung bình của các lớp đối chứng lại cao
hơn nhiều so với các lớp thực nghiệm.

17

PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.
Việc nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ở mức độ ban đầu nên
kết quả còn nhiều hạn chế. Đòi hỏi phải tiếp tục đầu tư thời gian và trí tuệ trong
một thời gian dài để hoàn thành tốt việc giảng dạy phần kiến thức này cho học
sinh. Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá
nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế,
khiếm khuyết.
Do giới hạn về thời gian cũng như các điều kiện khác nên tôi chưa thực
hiện thực nghiệm được trên quy mô lớn hơn. Chính vì thế mà kết quả thực
nghiệm chắc chắn chưa phải là tốt nhất. Mặc dù vậy, qua thời gian thực nghiệm
tôi nhận thấy rằng, việc tạo hứng thú học tập môn Toán cho học sinh thông qua
khai thác một bất đẳng thức nói chung là điều rất cần thiết góp phần nâng cao
hiệu quả giảng dạy, phát huy được tính tích cực học tập của HS, đáp ứng được
yêu cầu đổi mới về nội dung và phương pháp trong dạy và học hiện nay.
2. Kiến nghị.
Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ
sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
Dù đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và điều kiện
nghiên cứu nên sáng kiến kinh nghiệm này còn nhiều thiếu sót. Rất mong được
sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để tôi có thể hoàn thiện hơn nữa
ở các đề tài nghiên cứu tiếp theo.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 21 tháng 05 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Trương Văn Hòa

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Đại số 10 (NXB Giáo dục)
2. Sách hướng dẫn giảng dạy (NXB Giáo dục)
3. Tài luệu tập huấn sách giáo khoa (NXB Giáo dục)
4. Các bài giảng luyện thi môn toán (NXB Giáo dục - Phan Đức Chính, Vũ
Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất)
5. Toán nâng cao Đại số 10 (Phan Huy Khải)
6. Báo Toán học tuổi trẻ (NXB Giáo dục)
7. Các đề thi đại học các năm trước.

19

Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về