Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10, thông qua giải các bài toán về bất đẳng thức bằng tam thức bậc 2 định hướng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 10,
THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG
PHÁP TAM THỨC BẬC 2 ĐỊNH HƯỚNG

Người thực hiện: Mai Tiến Linh
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia 4
SKKN thuộc môn : Toán

THANH HOÁ NĂM 2016


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thơng qua giải các bài tốn về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

MỤC LỤC
Trang
A. Đặt vấn đề..................................................................................................... ..2
I.Lời mở đầu................................................................................................2
II.Thực trạng nghiên cứu.............................................................................3
III. Kết quả thực trạng.................................................................................4
B. Giải quyết vấn đề............................................................................................4
I. Các giải pháp thực
hiện............................................................................4

II. Các biện pháp tổ chức thực hiện............................................................4
a. Cơ sở lý thuyết........................................................................................4
b.

Nội

dung

chính

của

đề

tài........................................................................6
C. Kết luận.........................................................................................................17
I. Kết quả...................................................................................................17
II.

Kiểm

nghiệm

lại

kết

quả..................................................................17
III. Đề xuất và kiến nghị...........................................................................19
D. Phụ lục & một số sách, website tham khảo................................................21

Trang 2


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

A. Đặt vấn đề
I. Lời mở đầu:
Bất đẳng thức được hình thành rất sớm, ngay từ buổi sơ khai của toán học
.Thật vậy, ở thời kỳ trước công nguyên con người đã phát hiện ra rằng độ dài
cạnh huyền của tam giác vuông lớn hơn độ dài mỗi cạnh góc vuông, hay trong
tam giác bất kỳ thì tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại. Nói tổng quan,
lịch sử phát triển của bất đẳng thức gắn liền với lịch sử hình thành và phát triển
của toán học. Bất đẳng thức có mặt ở bên trong hầu hết các lý thuyết toán học,
không chỉ thế bất đẳng thức còn xuất hiện rất nhiều trong các môn khoa học
khác như vật lý, hóa học, thiên văn học, sinh học, kinh tế, chính trị, tâm lý giáo
dục,...Trong chương trình toán học phổ thông thì bất đẳng thức đóng một vai trò
rất quang trọng, là cầu nối để phát triển và hình thành tư duy cho học sinh, là
nền tảng để các các môn học khác phát triển
Tuy nhiên bất đẳng thức là một chuyên đề khó đối với học sinh THPT vì
nó đòi hỏi phải có một nền tảng tư duy lập luận vững chắc. Trong các kỳ thi học
sinh giỏi, thi olympic toán học khu vực và quốc tế, trong kỳ thi THPT quốc gia ,
các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng thường xuên được đề cập và nó
thuộc loại khó và rất khó.Trong rất nhiều chuyên đề về bất đẳng thức thì chuyên
đề sử dụng tam thức bậc hai định hướng là một chuyên đề hay và thường xuyên
được sử dụng để giải các bài toán về bất đẳng thức. Ta biết rằng tam thức bậc
hai là một chuyên đề cơ bản nhất đóng vai trò nòng cốt trong các kiến thức toán
bậc trung học thổ thông. Hầu hết các bài toán và ví dụ được khảo sát trong
chương trình đại số về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất

đẳng thức và các bài toán về cực trị...và trong chương trình giải tích các lớp cuối
bậc phổ thông như khảo sát hàm số ...đều gắn liền với tam thức bậc hai. Những
kiến thức về tam thức bậc hai là những kiến thức mà mỗi học sinh phổ thông
đều phải nắm vững vì chúng được sử dụng trong các kỳ thi THPT quốc gia, kỳ

Trang 3


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

thi học sinh giỏi cấp tỉnh,và olympic.Trong chương trình toán THPT thì số tiết
dành cho chuyên đề bất đẳng thức là rất ít mà kiến thức để giải một bài toán bất
đẳng thức cần dùng rất là nhiều, cho nên khi nói đến giải các bài toán bất đẳng
thức thì phần lớn các em học sinh đều có tâm lý ngại học, bởi vì nó khó phải
kiên trì và phải có khả năng tư duy trừu tượng thì mới học tốt được.Tuy nhiên
các bài toán liên quan đến bất đẳng thức có trong chương trình THPT lại là một
nội dung có mặt trong các kỳ thi THPT quốc gia, do đó để đạt được kết quả cao
thì các em phải làm được bài toán này. Đây không phải là điều mà nhiều em học
sinh có thể làm được.
Với học sinh lớp 10 thì việc tiếp cận và làm được các bài toán về bất đẳng
thức, đòi hỏi các em phải nắm vững được các bất đẳng thức cơ bản, có rất nhiều
phương pháp khác nhau để tiếp cận và giải các bài toán về bất đẳng thức, do đó
phải có kỹ năng và khả năng tư duy trừu tượng tốt, đây là điều mà rất nhiều học
sinh chưa làm được. Vì vậy, để cho các em có một cơ sở vững chắc về bất đẳng
thức, và tạo cho các em hứng thú về môn toán học nói chung và chuyên đề về
bất đẳng thức nói riêng, tôi đã chọn đề tài skkn "Rèn luyện kỹ năng và phát
triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất đẳng thức
bằng phương pháp tam thức bậc hai định hướng".Với đề tài này nhằm góp
phần nâng cao chất lượng học tập môn đại số, phát huy tính chủ động, tư duy

sáng tạo cho học sinh THPT nói chung và lớp 10 nói riêng, sử dụng đa dạng và
sáng tạo các phương pháp giải toán ,giúp học sinh giải bài toán nhanh hơn và
hiệu quả hơn, đồng thời qua đó giúp học sinh củng cố được kiến thức liên quan
đến đại số.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
Qua thực tế giảng dạy học sinh THPT nói chung và học sinh lớp 10 tôi
thấy các em thường gặp các khó khăn sau đây
+ Kiến thức về bất đẳng thức của học sinh còn yếu và thiếu , không biết
giải một bài toán bất đẳng thức như thế nào và xuất phát bắt đầu từ đâu, vì thế
học sinh thường rất ngại học chuyên đề này

Trang 4


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

+ Kỹ năng biến đổi và vận dụng kiến thức về bất đẳng thức đã có chưa tốt
+ Khả năng về tư duy triều tượng còn hạn chế
+ Khả năng phân tích và tổng hợp các kiến thức với nhau chưa tốt
+ Kỹ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các
bài toán chưa tốt
+ Kỹ năng tính toán còn yếu
III. Kết quả của thực trạng:
Khảo sát chất lượng của học sinh 10C1, 10C3, 10C5 của trường THPT
Tĩnh Gia 4 cho thấy việc học tập các bài toán dạng này chỉ được một số học
sinh lớp 10C1 là làm được, vì các em học sinh lớp này là lớp chọn của trường,
còn lại một bộ phận học sinh không làm được hoặc làm được nhưng kết quả
không đúng và thường mất điểm những bài tập dạng này, nhất là học sinh lớp
10C3, 10C5 .Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến thực tế giảng dạy và

bước đầu đã thu được kết quả tốt trong năm học 2015- 2016 vừa qua
B. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện:
1. Hệ thống lại kiến thức đã học:
Giúp học sinh hệ thống lại kiến thức đã học về bất đẳng thức đã học ở thcs,
các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, định lý về dấu tam thức bậc hai và các
bài toán liên quan đến dấu tam thức bậc 2
2. Phân loại các dạng bài toán :
Loại 1: Phương pháp vận dụng định lý về dấu tam thức bậc 2 để chứng
minh bất đẳng thức
Loại 2: Phương pháp tam thức bậc 2 định hướng và mở rộng cho tam thức
bậc α (α > 1)
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện
Để thực hiện đề tài này tôi sử dụng các tiết học chính khóa, ôn tập và tự chọn
của 3 lớp khối 10 là 10C1, 10C3, 10C5, qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán và phát huy khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh

Trang 5


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

a. Cơ sở lý thuyết
Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về
+ Một số tính chất về bất đẳng thức
+ Một số kiến thức về dấu tam thức bậc 2
+ Nắm vững kiến thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất và các
phương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức
1) Một số định lý về bất đẳng thức

+) a > b ⇔ b < a
+) a > b ⇔ a ± m> b ± m
+) a + c > b ⇔ a > b − c
a > c
⇒ a + c > b+ d
+) 
c
>
d

 ac > bc,∀c > 0
+) a > b ⇔ 
 ac < bc,∀c < 0
a > b > 0
⇒ ac > bd
+) 
c
>
d
>
0

+) a > b ≥ 0 ⇒ an > bn,∀n∈ ¢ +
+) a > b ≥ 0 ⇒ n a > n b,∀n∈ ¢ + ,n ≥ 2
+) a2 ≥ 0,∀a∈ ¡
2) Định lý về dấu tam thức bậc 2
• Tam thức bậc đối với x là biểu thức có dạng f (x) = ax2 + bx + c , trong đó
a, b, c là những hằng số, a ≠ 0
• Định lý về dấu tam thức bậc 2:
Cho f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) , và ∆ = b2 − 4ac , khi đó

1. Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x∈ ¡
2. Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x =

−b
2a

Trang 6


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

3. Nếu ∆ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2,
trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2. Trong đó x1, x2 (x1 < x2) là 2
nghiệm của f(x)
3) Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu
 f (x) ≤ M ,∀x∈ D
, khi đó ta ký hiệu giá trị lớn nhất của hàm số f(x)

∃x0 ∈ D, f (x0) = M
trên D là : max f (x) = M
D

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu
 f (x) ≥ m,∀x∈ D
, khi đó ta ký hiệu giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)

∃x0 ∈ D, f (x0) = m

trên D là : min f (x) = m
D

b) Nội dung chính của đề tài
Dạng toán 1 : Phương pháp vận dụng định lý về dấu tam thức bậc 2 để
chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bài toán 1 :
Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn các hệ thức a2 + b2 + c2 = 2, ab + bc + ca = 1
 4 4
Chứng minh rằng : a,b,c∈  − ; 
 3 3
Chứng minh
Theo giả thiết ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2ca = 4
Đặt : a + b + c = t ⇒ a + b = t - c và t = 2

Trang 7


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

Ta có : ab + bc + ca = 1 ⇒ ab = 1 - (a +b)c = c2 - tc + 1. Do đó a , b là nghiệm
của phương trình bậc 2 theo ẩn X là : X2 − (t − c)X + c2 − tc + 1= 0
Ta có : ∆ = (t − c)2 − 4(c2 − tc + 1) = −3c2 + 2tc
vì a, b tồn tại nên : ∆ ≥ 0 ⇔ −3c2 + 2tc ≥ 0 ⇔ 2tc ≥ 3c2 ⇒ tc ≥ 0 ⇒ tc = tc = 2 c
2

Do đó : ∆ = −3 c + 4 c ≥ 0 ⇔ 0 ≤ c ≤

 4 4

4
hay c∈  − ; 
3
 3 3

Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta hoàn toàn chứng minh được
 −4 4
a,b∈  ;  ⇒ đpcm
 3 3
Bài toán 2 : Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh
rằng : a + ab + 2abc ≤

9
(1)
2
Chứng minh

Từ giả thiết ta có : b = 3 - a - c, và 0 ≤ a,b,c ≤ 3
Khi đó (1) ⇔ a + a(3− a − c) + 2ac(3− a − c) ≤
⇔ (2c + 1)a2 + (2c2 − 5c − 4)a +
Đặt f(a) = (2c + 1)a2 + (2c2 − 5c − 4)a +

9
2

9
≥ 0 (2)
2

9

2

Ta thấy f(a) là một tam thức bậc 2 của a có hệ số a2 là 2c + 1 > 0 và
∆ = (2c2 − 5c − 4)2 − 18(2c + 1) = (2c − 1)2(c2 − 4c − 2) ≤ 0 , 0 ≤ c ≤ 3, nên theo
định lý về dấu tam thức bậc 2 thì : f (a) ≥ 0 hay (2) luôn đúng ⇒ đpcm
3
1
Dấu "=" xẩy ra khi a = ,b = 1,c =
2
2
Bài toán 3 : Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn

1
1
1
3
+
+
= .
1+ x 1+ y 1+ z 2

Trang 8


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

Chứng minh rằng :

x + y + z  xy

yz
zx  9
+ 2
+
+
÷≥ (1)
2
x
+
y
y
+
z
z
+
x

 2
Chứng minh

Đặt a = x + y + z, b = xy + yz + zx, c = xyz. Từ giả thiết ta có : 3 + a = b +3c
Khi đó :
a
a(3+ a − b) + 3b2 9
(1) ⇔ + 2
≥
2
3ab + b − 3− a
2
⇔ 3(b + 1)a2 + 2(9 − 15b)a + 12b2 − 9b + 27 ≥ 0 (2)

Đặt f (a) = 3(b + 1)a2 + 2(9 − 15b)a + 12b2 − 9b + 27. Ta thấy f(a) là một tam
thức bậc 2 có hệ số a2 là 3(b+1) > 0 và ∆ = −36b(b − 3)2 ≤ 0, nên f(a)
≥ 0,∀a > 0 hay (2) luôn đúng ⇒ đpcm
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Bài toán 4 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng
(ab2 + bc2 + ca2)(ab + bc + ca) ≤ 9 (1)
Chứng minh
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c .
Khi đó ta có : c(b − a)(b − c) ≤ 0 ⇔ a2b + b2c + c2a ≤ b(a2 + ac + c2
Đặt x = ac, từ giả thiết ta có a + c = 3 - b.Từ đó để chứng minh (1) ta sẽ đi chứng
minh: b(a2 + ac + c2)(ab + bc + ca) − 9 ≤ 0 (2)
⇔ b(a + c)2 − ac  b(a + c) + ac − 9 ≤ 0


⇔ b(3− b)2 − x  b(3− b) + x − 9 ≤ 0


⇔ −bx2 + (2b3 − 9b2 + 9b)x − b5 + 9b4 − 27b3 + 27b2 − 9 ≤ 0
Đặt f (x) = −bx2 + (2b3 − 9b2 + 9b)x − b5 + 9b4 − 27b3 + 27b2 − 9 . Vì hệ số của
x2 là - b < 0 (theo giả thiết) và

Trang 9


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

∆ x = (2b3 − 9b2 + 9b)2 + 4b(−b5 + 9b4 − 27b3 + 27b2 − 9
= 9b(b3 − 6b2 + 9b − 4)
= 9b(b − 1)2(b − 4) ≤ 0

Nên f(x) ≤ 0, suy ra (2) đúng ⇒ đpcm
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : a = b = c = 1
Bài toán 5 : Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn : x + y + z = 1. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức : P = 9xy + 10yz + 11zx (1)
Giải
Từ giả thiết ta có : z = 1- x - y, khi đó
(1) ⇔ P = 9xy + 10yz + 11zx = 9xy + z(10y + 11x)
⇔ 9xy + (1− x − y)(10y + 11x) , Khai triển và rút gọn ta thu được
P = −11x2 − 10y2 + 11x + 10y − 12xy ⇔ 11x2 + (12y − 11) + 10y2 − 10y + P = 0 (2)
Đặt f (x) = 11x2 + (12y − 11) + 10y2 − 10y + P .Coi đây là tam thức bậc 2 ẩn x,
do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (2) phải có nghiệm, tức là
∆ = (12y − 11)2 − 44(10y2 − 10y + P ≥ 0
⇔ −296y2 + 176y + 121− 44P ≥ 0
⇔P≤−

74 2 22
121  495
y − y−
≤

11 
37
296 ÷
 148

Vậy MaxP =

495
25
11

27
, khi và chỉ khi x = , y = , z =
148
74
37
74

Nhận xét : Ý tưởng bài toán trên bắt nguồn từ việc đưa biểu thức từ 3 biến về
hai biến và rồi 1 biến, từ đó sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình
bậc 2 để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Hoàn toàn tương tự, ta có thể dùng ý
tưởng này để chứng minh những bài toán có dạng : Cho các số không âm x,y,z
thỏa mãn x + y + z = k.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = mxy + nyz + pzx
Bài toán 6 : Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn : ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P = a2 + 2b2 + 5c2 (1)

Trang 10


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

Giải
• Xét c = 0 thì ab = 1 và P = a2 + 2b2 ⇒ P ≥ 2 2 ab ≥ 2 2
⇒ MinP = 2 2 (*)
• Xét c ≠ 0, khi đó ta chỉ cần xét 0 < P < 2 2
a
 c = α
a = α c
⇔
Đặt 

b = β c
b = β
 c
2
2
Từ giả thiết ta có : c (αβ + β + α ) = 1⇒ c =

1
αβ + β + α

2
2
α
+
2
β
+5
Từ (1) ⇔ P = c (α + 2β + 5) =
αβ + α + β
2

2

2

⇔ α 2 − P (β + 1)α + 2β 2 − P β + 5 = 0 (2) , để tồn tại α thì phương trình (2)
phải có nghiệm, tức là :
∆ = P 2(β + 1)2 − 4(2β 2 − P β + 5) ≥ 0
⇔ β 2(P 2 − 8) + 2(P 2 + 2P )β + P 2 − 20 ≥ 0 (3)
Vì 0 < P < 2 2 nên P 2 − 8 < 0 , do đó để (3) đúng thì ∆ 'β ≥ 0

⇔ (P 2 + 2P )2 − (P 2 − 8)(P 2 − 20) ≥ 0
⇔ P 4 + 4P 3 + 4P 2 − P 4 + 28P 2 − 160 ≥ 0
⇒ minP = 2 (**)

⇔ 4P 3 + 32P 2 − 160 ≥ 0
⇔ 4(P − 2)(P 2 + 10P + 20) ≥ 0
⇔ P ≥ 2(0 < P < 2 2)
Từ (*) và (**) suy ra MinP = 2
Dấu "=" xẩy ra khi : β =
hay a = ±

3
11

,b = ±

P 2 + 2P
P2 − 8

2
11

,c = ±

= 2,α =

P (β + 1)
=3
2

1
11

Trang 11


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

Dạng toán 2 : Phương pháp tam thức bậc 2 định hướng
1. Trước hết ta xây dựng tam thức bậc α từ tam thức bậc 2
Xuất phát từ bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
x2 + 1≥ 2x,∀x∈ ¡

(*) ⇔ x2 − 2x + 1≥ 0,∀x∈ ¡

Đặt : f (x) = x2 − 2x + 1 (1), Khi đó (1) là một tam thức bậc 2, và f(x) = 0 khi và
chỉ khi x = 1
Từ đó ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc α ( α > 1) để có bất đẳng thức
tương tự như (*) bằng cách thay số 2 bởi số α . Thật vậy, ta có thể thiết lập bất
đẳng thức dạng : xα + (?) ≥ α x, ∀x∈ ¡ + (2) sao cho dấu đẳng thức xẩy ra khi x
= 1. Thay x = 1 vào (2) ta nhận được : (?) = α -1, tức là (2) sẽ có dạng
xα + α − 1≥ α x,∀x∈ ¡

+

(3)

(3) chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết
Để chứng minh (3) ta có thể sử dụng đạo hàm để chứng minh, thậy vậy ta xét

hàm số : f (x) = xα + α − 1− α x,∀x∈ ¡

+.

Ta có f(1) = 0 và f'(x) = α xα −1 − α = α (xα −1 − 1) , f'(x) = 0 khi và chỉ khi x = 1,
và x = 1 là cực tiểu duy nhất của hàm số f(x) trên ¡

+,

nên

f (x) ≥ f (1) = 0 ⇒ xα + α − 1≥ α x ⇒ đpcm
Nhận xét :
• Trong áp dụng đặc biệt trong các dạng toán xác định giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất, bất đẳng thức bernoulli dạng (3) chỉ được sử dụng trong
trường hợp dấu đẳng thức xẩy ra khi x = 1.
• Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x=x0> 0
Ta có x = x0 ⇔

x
x
= 1, khi đó ta thay x bằng
trong (3) ta có
x0
x0

Trang 12


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất

đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng
α

 x
 x
+
(
α
−
1)
≥
α
 ÷
 ÷
÷
÷
 x0 
 x0 
⇔ xα + x0α (α − 1) ≥ α .x.x0α −1
⇔ xα ≥ x0α + α x0α −1(x − x0) , dấu "=" xẩy ra khi x = x0 (*)

• Với α = 2 và x0 = y, ta có bất đẳng thức :
x2 ≥ y2 + 2y(x − y),∀x, y∈ ¡ (**) , dấu "=" xẩy ra khi x = y
• Với α > 1, x > 0, y > 0, và x0 = y, ta có bất đẳng thức
xα ≥ yα + α yα −1(x − y) (***), dấu "=" xẩy ra khi x = y
2. Một số bài tập vận dụng
a ≥ 4

Bài toán 1 : Cho a + b ≥ 7 , Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ≥ 29
a + b + c = 9


Chứng minh
Áp dụng (**) ta có
a2 ≥ 42 + 2.4(a − 4),∀a

2
2
2
2
2
b ≥ 3 + 2.3(b − 3),∀b ⇒ a + b + c ≥ 29 + 24(a − 4) + 3(b − 3) + 2(c − 2
 2 2
c ≥ 2 + 2.2(c − 2),∀c
⇒ a2 + b2 + c2 ≥ 29 + 22(a − 4 + b − 3+ c − 2) + 1(a − 4 + b − 3) + 1(a − 4) (1)
2(a − 4 + b − 3+ c − 2) ≥ 0

Theo giả thiết ta có : a − 4 + b − 3 ≥ 0
a − 4 ≥ 0

Vậy từ (1) suy ra ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ 29 ⇒ đpcm
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : a = 4, b = 3, c = 2
Nhận xét : Bài toán 1 có thể mở rộng với 3 biến x, y, z thành bài toán
tổng quát sau :

Trang 13


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

Bài toán 2: Cho 3 số thực dương thỏa mãn a ≥ b ≥ c
x ≥ a

và  x + y ≥ a + b
. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2
x + y+ z = a + b+ c

Chứng minh
 x2 ≥ a2 + 2.a(x − a)

2
2
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có  y ≥ b + 2.b(x − b) , cộng 3 bất đẳng thức
 2 2
 z ≥ c + 2.c(x − c)
trên vế theo vế ta được :
x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2a(x − a) + 2b(y − b) + 2c(z − c)
⇔ x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2(a − c)(x − a) + (b − c)(y − b) + c(x + y + z − a − b − c)
⇔ x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2(a − c)(x − a) + (b − c)(y − b)
⇔ x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2(a − b)(x − a) + (b − c)(x + y − a − b)
1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 3
≥0

⇔ x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2
⇒ đpcm, dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : x = a, y = b, z = c
a ≥ 4

Bài toán 3 : Cho a, b, c ≥ 0, thỏa mãn điều kiện a + b ≥ 7
a + b + c = 9


Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 ≥ 99
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức (***) với α = 3 ta có
a3 ≥ 43 + 3.42(a − 4)

3
3
2
b ≥ 3 + 3.3 (b − 3) , cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta được :
 3 3
2
c ≥ 2 + 3.2 (c − 2)
a3 + b3 + c3 ≥ 99 + 316(a − 4) + 9(b − 3) + 4(c − 2)

Trang 14


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

≥ 99 + 3 4(a + b + c − 9) + 5(a + b − 7) + 7(a − 4)
1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 43
≥0

( Theo giả thiết)

≥ 99
⇒ đpcm, dấu "=" xẩy ra khi a = 4, b = 3, c = 2
Nhận xét : Bài toán 3 có thể mở rộng với 3 biến x, y, z thành bài toán
tổng quát sau :

Bài toán 4 : Cho 3 số thực dương thỏa mãn a ≥ b ≥ c
x ≥ a

và  x + y ≥ a + b
. Chứng minh rằng x3 + y3 + z3 ≥ a3 + b3 + c3
x + y+ z = a + b+ c

Lưu ý : Chứng minh bài toán 4 hoàn toàn tương tự bài toán 2 tổng quát
x ≥ 3
Bài toán 5 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện 
. Chứng minh
x+ y = 4
rằng : x4 + y4 ≥ 82
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức (***) với α = 4 ta có
 x4 ≥ 34 + 4.33(x − 3)
, cộng 2 bất đẳng thức trên vế theo vế ta được :
 4 4
3
 y ≥ 1 + 4.1 (y − 1)
x4 + y4 ≥ 34 + 14 + 4.33(x − 3) + 4.14(y − 1)
⇔ x4 + y4 ≥ 82 + 428(x − 3) + (x + y − 4)
⇔ x4 + y4 ≥ 82
⇒ đpcm, dấu "=" xẩy ra khi x = 3, y = 1
Nhận xét : Bài toán 5 có thể mở rộng với 3 biến x, y, z thành bài toán tổng quát
sau :
Bài toán 6 : Cho 3 số thực dương thỏa mãn a ≥ b ≥ c

Trang 15

Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

x ≥ a

và  x + y ≥ a + b
. Chứng minh rằng x4 + y4 + z4 ≥ a4 + b4 + c4
x + y+ z = a + b+ c

Lưu ý : Chứng minh bài toán 6 hoàn toàn tương tự bài toán 4 tổng quát
Nhận xét : Từ các bất đẳng thức trên ta có thể khái quát hóa thành bài toán tổng
quát như sau
Bài toán 7 : Cho k,n∈ ¥ ,k > 1,n > 1,a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ ak > 0, và thỏa mãn điều

 x1 ≥ a1

 x1 + x2 ≥ a1 + a2
kiện sau : 
...

 x + x + ... + x = a + a + ...a
k
1
2
k
 1 2
Chứng minh rằng : x1n + x2n + ... + xkn ≥ a1n + a2n + ... + akn
Bài toán 8 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
3

3

3

2

2

2

 a   b  c   a   b  c 
 ÷ +  ÷ +  ÷ ≥  ÷ +  ÷ +  ÷ (1)
 b  c   a   b  c   a 
Chứng minh
Đặt a2 = x, b2 = y, c2 = z, thì

3
x2

3
y2

3

a =

3
x2 ,b3 =

3
3
.
3
y2 ,c = z2

Khi đó bất đẳng thức (1)

3
z 2



x y z
trở thành : 
+
+
≥
+ +
 ÷  ÷  ÷
y z x
 y
 z
 x
Theo bất đẳng thức (***) ta có

Trang 16


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất

đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng
3
3


3
1
2
2






x
3
x
x
3x 


2 + .12.
≥
1
−
1
≥
1
+

. − 1÷

÷
 ÷
 y ÷
2  y   y 
2y 




3
3


3
1
 y  2 2 3 2  y 
 y  2
3y 
 ÷ ≥ 1 + .1 . − 1÷ ⇔  ÷ ≥ 1+ . − 1÷ , cộng 3 bất đẳng thức vế
2 z 
2z 
 z 
 z 


3
3
 z  2 3 3 1  z   z  2

3z 
 ÷ ≥ 12 + .12. − 1÷  ÷ ≥ 1+ . − 1÷
2  x   x 
2x 
 x 



3
x2

3
y2

3
z 2



 x y z  1 x y z 
với vế ta có : 
 ÷ +  ÷ +  ÷ ≥  + + ÷+  + + − 3÷
 y
 z
 x
 y z x  2 y z x 
x y z
Mặt khác + + − 3 ≥ 0 , nên suy ra
y z x

3

3

3

 x2  y 2  z 2 x y z
 ÷ + ÷ + ÷ ≥ + +
y z x
 y
 z
 x

⇒ đpcm, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài toán 9 :
Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 (1)
Chứng minh
Đặt a3 = x,

4

b3 = y,

thức (1) trở thành

4
x3

4

4

c3 = z ⇒ a4 = x3 , b4 = y3 , c4 = z3 , khi đó bất đẳng

+

4
y3

+

4
z3

≥ x + y + z (2)

, theo bđt (***) với α =

4
ta có
3

 4 4 4
 4
 x3 ≥ 13 + ( x − 1)
 x3 ≥ 1+ 4( x − 1)
3
3



 4 4
 4
4
 3 3 4

 y ≥ 1 + ( y − 1) ⇔  y3 ≥ 1+ ( y − 1) , cộng 3 bất đẳng thức vế với vế ta có
3
3


4
4
4


4
4
3
3
 z ≥ 1 + z( x − 1)
 z3 ≥ 1+ ( z − 1)
3
3





Trang 17

Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng
4
x3

+

4
y3

+

4
z3

4

4

4

4
1
≥ 3+ ( x + y + z − 3) ⇔ x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z + ( x + y + z) − 1
3
3

Mặt khác tai lại có : x + y + z ≥ 3

⇒

4
x3

+

4
y3

4
+ z3

≥ x + y+ z

⇒ đpcm

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a = b= c =1
3. Một số bài tập đề nghị
Bài tập 1 :
Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc + 1≥ 2(ab + bc + ca)
Bài tập 2 : Cho 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn a2 + b2 = 1 và c + d = 3.
Chứng minh rằng : ac + bd + cd ≤ 9 + 6 2
4
Bài tập 3 : Cho dãy số thực a1,a2,...an ∈  0;1 .
Chứng minh rằng

( 1+ a1 + a2 + ...an )

2

(

≥ 4 a12 + a22 + ... + an2

)

x ≥ 3

Bài toán 4 : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện  x + y ≥ 5 .
x + y+ z = 6

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x3 + y3 + z3
x ≥ 2

Bài toán 5 : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện  x + y ≥ 3
.
2x + 2y + z = 9

Chứng minh rằng : 8x3 + 8y3 + z3 ≥ 73
C. Kết luận
I. Kết quả: Sau một năm học 2015-2016 qua việc áp dụng cho đối tượng học
sinh ở 3 lớp 10của trương THPT Tĩnh Gia 4, kết quả thu được như sau:
Lớp

SL

Loại giỏi
SL
%

Loại khá
SL
%

Loại TB
SL
%

Loại yếu
SL
%

Trang 18


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

10C1
10C3
10C5

43
41
42

12
10
5

27,9
24,3
11,7

23
15
10

53,4
36,5
23,8

8
12
21

18,7
29,2
50,0

0
4
7

4,6
10
14,5

II. Kiểm nghiệm lại kết quả:

1. Kết quả của biện pháp mới:
Ban đầu học sinh chưa làm quen được phương pháp mới, các em còn nhút nhát,
thụ động, đợi đến khi giáo viên gọi thì các em mới phát biểu ý kiến. Và các em
không tự mình phân tích được bài giải mà phải có sự gợi ý của giáo viên nên kết
quả tiết dạy không cao. Dần về sau học sinh hoạt động tích cực và có tính tự
giác, các em mạnh dạn đứng lên phân tích và tự mình trình bày bài giải một cách
logíc, có khoa học.
2. Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm:
a. Đối với bản thân:
- Giáo viên phải nghiên cứu sâu, kỹ về kiến thức chuyên môn và các kiến thức
liên quan đến bài dạy. Nên từ đó đã xoá đi tính chủ quan của giáo viên, dần theo
thời gian giáo viên đã tự bồi dưỡng cho mình một kiến thức chuyên môn vững
vàng.
- Những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có
nhiều kinh nghiệm trong dự đoán các tình huống và xử lý tình huống.
b. Đối với học sinh:
- Đa số các em đều biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán tương tự qua đó
sáng tác ra một lớp các bài toán, từ đó hình thành được kỹ năng giải toán và khả
năng tư duy toán học. Nhiều em đã giải được các bài toán khó, tìm ra được
nhiều cách giải khác nhau và độc đáo từ một bài toán đã được giải
- Học sinh học chuyên đề bất đẳng thức này không còn e ngại, gò bó theo khuôn
mẫu, mà các em phát huy được tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập.
- Các em học sinh học, từ những bước cơ bản vững chắc đầu tiên, dẫn đến đam
mê, rồi các em hiển nhiên trở thành một học sinh giỏi toán
c. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn:

Trang 19


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất

đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

Đây là phương pháp không khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được. Và
đặc biệt là áp dụng được đối với tất cả các đối tượng học sinh. Nên tôi đã đem
phổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp ý quí báu và đã mạnh
dạn áp dụng phương pháp này vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại
thành công.
3. Nguyên nhân thành công và tồn tại:
a. Nguyên nhân thành công:
- Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng là một trải nghiệm mới mẻ,
mặc dù trong trường thpt phương pháp này có đề cập song nó còn quá ít và khó
vận dụng để giải toán, qua đó rèn luyện cho các em học sinh tìm lời giải các bài
toán và rèn luyện việc giải toán
- Bản thân, đã có sự đam mê môn toán học từ khi còn ngồi dưới ghế nhà trường
phổ thông, say sưa nghiêm cứu tìm ra những phương pháp mới trong giảng dạy
- Được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến nhiệt tình của các đồng nghiệp trong tổ
chuyên môn.
- Lớp tôi phụ trách phần lớn học sinh đều có tinh thần vượt khó, tự giác học tập.
b. Tồn tại:
- Các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức, thì phần lớn các em không có
nhiều hứng thú vì nó khó và không có định hướng trước để giải được nó.
- Các bài toán liên quan đến nhiều kiến thức khác nhau đòi hỏi các em phải có
kiến thức vững vàng liên quan đến đại số và nhất là kỹ năng biến đổi trong toán
học
4. Bài học kinh nghiệm:
Đối với các bài toán đòi hỏi cần phải có sự tư duy như các dạng toán ở
trên, thì học sinh đôi lúc phân tích hướng giải không đúng với ý đồ của giáo
viên. Khi đó giáo viên phải tôn trọng và phân tích theo hướng giải của các em,
sau đó chỉ rõ các ưu khuyết điểm của hướng giải mà các em đã đưa ra.
Theo phương pháp trên làm cho học sinh tiếp thu bài học một cách tích

cực và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo có khoa học. Kết quả thu được góp

Trang 20


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

phần không nhỏ để đáp ứng được nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học mà
ngành giáo dục đề ra.
III. Đề xuất và kiến nghị:
Kevin P.Lee một nhà khoa học đã từng nói " Suy cho cùng, toán học là về
các ý tưởng...Ý tưởng, đó là toán học. Một trang tính toán không có chữ viết
hoặc diễn giải nào chứa cái phi toán". Còn đối với G.Polya (1887 - 1985) một
nhà toán học và sư phạm nổi tiếng của Mỹ đã từng nói "Dạy học không phải một
khoa học mà là một nghệ thuật".Do đó ở mỗi thầy giáo giỏi đều có phương pháp
riêng, và mỗi thầy giáo giỏi khác mọi thầy giáo giỏi khác ở phương pháp đo
́.Chính vì lẽ đó việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn học là nhiệm vụ,
trách nhiệm cũng là lương tâm của các thầy, cô giáo. Với tinh thần đó tôi mong
muốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng dạy với cc đồng nghiệp, mong
tất cả các thầy, cô giáo có nhiều SKKN hay góp phần nâng cao chất lượng giảng
dạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng.
Tôi xin chân thành cảm ơn

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác

Người thực hiện

Mai Tiến Linh

Trang 21


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

PHỤ LỤC
MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO

TT

Tên sách và website

Tác giả và website

1

Bất đẳng thức định lý và áp dụng

Nguyễn Văn Mậu

2

Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán

Nguyễn Thái Hòe

3

Phương pháp giải toán bất đẳng thức
Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ

Võ Đại Mau

4
5

quyển 1,2,3,4,5,6 - Nhà xuất bản giáo dục
Những viên kim cương trong bất đẳng thức

Nhiều tác giả
Trần Phương

Trang 22


Skkn : Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất
đẳng thức, bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

6

Lý thuyết cơ sở của hàm lồi và các bđt cổ điển

Nguyễn Minh Tuấn

7

www.vnmath.com

Trang web toán học

8



Thư viện, tư liệu

9



Thư viện, tư liệu

10 www.mathvn.com

Trang toán học

11

Trang web toán học



12

Trang web toán học

13

Trang web toán học

14

Trang web toán học

15

Trang web toán học

16 />
Trang web toán học

17 www.moet.gov.vn

Trang web bộ giáo dục

18

Trang web bách khoa
toàn thư mở

Trang 23