Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải một số dạng bài tập hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÂY DỰNG QUY TRÌNH
GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP
11.

Người thực hiện: Tống Văn Anh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2016

1


A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Trong thời đại toàn cầu hóa, công nghệ thông tin phát triển bùng nổ, đứng trước
yêu cầu về một nguồn nhân lực năng động, sáng tạo, có kiến thức và kỹ năng
chuyên nghiệp... nền giáo dục nước ta đã chú trọng: đổi mới mạnh mẽ phương pháp
dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận
dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều,
ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ
sở để người học tự cập nhật tri thức, hình thành kỹ năng, phát triển năng lực.
Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các
hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ
thông tin và truyền thông trong dạy và học.
Có thể nói đổi mới phương pháp dạy học là yêu cầu cấp thiết, trong đó đổi mới

phương pháp dạy, học Toán nhận được nhiều sự quan tâm. Tuy nhiên có một thực
trạng đang tồn tại hiện nay là: với môn khoa học đòi hỏi ở học sinh khả năng tư duy
logic cao như Toán học mà nhiều em vẫn giữ thói quen suy nghĩ rập khuôn, áp
dụng máy móc kiến thức nên đã gặp không ít khó khăn trong quá trình học tập, dẫn
đến tâm lí nặng nề khi bước vào tiết học; Về phía giáo viên, trong quá trình giảng
dạy thường chú ý cung cấp quy trình giải bài tập để các em vận dụng dẫn đến
không phát huy được khả năng tư duy, vai trò tích cực, chủ động của học sinh.
Đặc biệt ở nội dung hình học không gian tổng hợp, đa số học sinh không nắm
vững cách giải một số dạng bài tập, không giải quyết được bài tập cơ bản, không có
hứng thú học tập.Trong khi đây là phần kiến thức quan trọng ở cấp THPT: là nội
dung cơ bản của chương trình, chiếm một thời lượng đáng kể ở cấp học và trong
các kỳ thi thì câu hỏi về hình học không gian tổng hợp là không thể thiếu.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi nhận thấy việc giáo viên trong định hướng cho
học sinh xây dựng quy trình giải các dạng bài tập hình học không gian là cần thiết.
Qua thực tiễn giảng dạy, tôi xin đề xuất một kinh nghiệm nhỏ khắc phục tồn tại
đã nêu, từ đó góp phần đáp ứng yêu cầu nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán ở
trường THPT: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải một số
dạng bài tập hình học không gian lớp 11”. Hy vọng rằng với sáng kiến này sẽ góp
phần nâng cao được khả năng tư duy lôgic của học sinh, giúp các em nắm vững các
phương pháp giải bài tập, có thể tự mình giải quyết được một số dạng bài tập về
hình học không gian từ đó xóa bỏ được rào cản tâm lí, có hứng thú học tập.
2.Mục đích nghiên cứu:
Đề tài hướng đến mục đích khắc phục những tồn tại trong thực tiễn giảng dạy,
giúp học sinh đúc rút, nắm vững kiến thức công cụ để giải một số dạng bài tập hình
học không gian tổng hợp.

2


3.Đối tượng nghiên cứu:

Tổng kết kinh nghiệm định hướng cho học sinh xây dựng quy trình giải một số
dạng bài tập hình học không gian trong chương trình lớp 11.
4.Phương pháp nghiên cứu:
Kết hợp phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin với phương
pháp nghiên cứu bài học .

3


B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận
Trong dạy học môn toán, việc rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học
sinh là rất quan trọng. Trong đó năng lực giải toán là tổ hợp các thuộc tính độc đáo,
phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ra lời giải cho bài toán, dạng
toán. Việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, khả năng đặc biệt hóa khái quát hóa trong dạy
học môn toán là không thể thiếu được.
Đối với phần hình học không gian thì việc rèn luyện và phát triển năng lực giải
toán cho học sinh để các em giải được bài tập cụ thể, đồng thời xây dựng được quy
trình, phương pháp giải cho dạng bài tập đó là rất cần thiết. Bởi có như thế, học
sinh mới nắm được các kiến thức cơ bản, biết vận dụng, biết liên kết các kiến thức
với nhau; các kỹ năng, các khả năng được rèn luyện phát triển, làm cho năng lực tư
duy của học sinh được nâng cao, từ đó học sinh có thể độc lập giải quyết được các
vấn đề mới nảy sinh. Khi năng lực tư duy phát triển thì học sinh chủ động xử lí
được các tình huống thường gặp trong thực tiễn cuộc sống.
II. Thực trạng tại trường THPT Dương Đình Nghệ
Với chất lượng đầu vào thấp, đa số học sinh được khảo sát không giải được và
không nắm được quy trình giải các bài tập cơ bản về hình học không gian tổng hợp.
Một số ít học sinh giải được các dạng bài tập về hình học không gian tổng hợp
nhưng quy trình giải thì tiếp thu một cách thụ động không hiểu được bản chất của
vấn đề.

Giáo viên khi giảng dạy thường nêu một số quy trình sau đó cho các em áp dụng
vào làm bài tập, không hướng dẫn học sinh tìm ra quy trình, làm mất tính chủ động
tích cực của học sinh.
III. Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải một số dạng bài
tập hình học không gian lớp 11:
1. Xây dựng quy trình tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
1.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên AB, AC sao cho MN và BC
cắt nhau. Tìm giao điểm của:
a) Đường thẳng AC và mp(BCD).
b) Đường thẳng MN và mp(BCD).
Lời giải câu a:
a) Dựa vào khái niệm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, học sinh tìm được
giao điểm là C
4


Nhận xét: Sau khi giải xong câu a của bài tập trên nếu
không hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải cho
dạng bài tập này thì học sinh sẽ rất khó khăn khi giải
câu b và các bài tập về tìm giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng. Để học sinh nắm được bản chất đồng
thời khắc sâu quy trình giải của dạng bài tập tìm giao
điểm của đường thẳng và mặt phẳng, tôi hướng dẫn
học sinh xây dựng quy trình như sau.
1.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy
trình
• Giáo viên giúp học sinh nhận ra giao điểm C cần
tìm là giao điểm của AC với giao tuyến của mp(BCD) và mp ( α ) , trong đó mp ( α )
chứa đường thẳng AC.

+ Giáo viên:
Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng nào thuộc mp(BCD).
+ Học sinh:
Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng BC thuộc mp(BCD)
hoặc C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng DC thuộc mp(BCD).
+ Giáo viên: Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng BC thuộc
mp(BCD) thì BC là giao tuyến của mp(BCD) và mặt phẳng nào chứa AC.
+ Học sinh: BC là giao tuyến của mp(BCD) và mp(ABC) chứa AC.
+ Giáo viên: Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng DC thuộc
mp(BCD) thì DC là giao tuyến của mp(BCD) và mặt phẳng nào chứa AC.
+ Học sinh: DC là giao tuyến của mp(BCD) và mp(ACD) chứa AC.
•
Giáo viên giúp học sinh dự đoán các bước giải bài tập dạng này.
+ Giáo viên: Như vậy trong cả hai trường hợp trên ta thấy giao điểm C cần tìm là
giao điểm của đường thẳng AC với giao tuyến của mp(BCD) và mp ( α ) , trong đó
mp ( α ) chứa đường thẳng AC. Từ đây giáo viên cho học sinh dự đoán các bước
giải dạng bài tập tìm giao điểm I của đường thẳng ∆ và mp(P).
+ Học sinh:
Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng ∆ .
Bước 2: Tìm giao tuyến d của hai (P) và (Q).
Bước 3: Giao điểm I cần là giao điểm của d với ∆ .
1.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập
Học sinh vận dụng quy trình vào giải câu b và các bài tập sau:
b) Chọn mp(ABC) chứa đường thẳng MN. Giao tuyến của mp(ABC) và mp(BCD) là
BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC (vì theo giả thiết MN và BC cắt nhau).
Vậy I là giao điểm của MN và mp(BCD).
5


Bài tập 1. (Bài tập 5a trang 53 SGK hình học 11- chương trình chuẩn)

Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng ( α ) có hai cạnh AB và CD không song
song. Gọi S là điểm ngoài mp ( α ) và M là trung điểm của SC. Tìm giao điểm của
đường thẳng SD và mp(MAB).
Lời giải:
Chọn mp(SCD) chứa đường thẳng SD.
Tìm giao tuyến của mp(MAB) và mp(SCD).
Ta có M là một điểm chung của (MAB) và (SCD).
Gọi E là giao điểm của AB và CD, suy ra EM là giao
tuyến của mp(SAB) và mp(SCD).
Gọi N là giao điểm của EM và SD,
khi đó N∈ EM ⊂ mp(MAB) ⇒ N ∈ mp(MAB).
Vậy N là giao điểm của SD và mp(MAB).
Bài tập 2. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '.
Tìm giao điểm của đường thẳng A ' C và mặt phẳng
( BB ' D ' D ) .
Lời giải:
Chọn mp ( A ' D ' CB ) chứa đường thẳng A ' C , ta có
giao tuyến của ( A ' D ' CB ) và ( BB ' D ' D ) là đường
thẳng BD ' . Gọi O là giao điểm của đưởng thẳng
A ' C với đường thẳng BD ' , khi đó O∈ BD ' ⊂
( BB ' D ' D ) , suy ra O là giao điểm của A ' C và mp
( BB ' D ' D ) .
1.4 Bài tập tự luyện
1. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mp(MNK).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mp(MNK).
2. Cho hình chóp SABCD, M là một điểm trên cạnh SD. Tìm giao điểm của đường
thẳng BM và mặt phẳng (SAC).
3. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '. Tìm giao điểm của đường thẳng AC ' với mặt
phẳng ( BDA ') và mặt phẳng ( B ' D ' C ) .

2. Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng đồng quy
2.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập :
6


Bài tập (Bài tập 5b trang 53 SGK hình học 11- chương trình chuẩn):
Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng ( α ) có hai cạnh AB và CD không song
song. Gọi S là điểm ngoài mp ( α ) ; M là trung điểm của SC; N là giao điểm của SD
với mp(MAB); O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng
SO, AM, BN đồng quy.
(Tìm giao điểm N của SD và mp(MAB) đã làm ở bài tập 2 phần 1).
+ Giáo viên:
Ba đường thẳng đồng quy nếu như chúng cùng đi qua
một điểm. Giả sử hai đường AM và BN cắt nhau tại I
lúc đó ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy khi
nào?
+ Học sinh:
Ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy khi SO đi qua
I hay ba điểm S, I, O thẳng hàng.
+ Giáo viên:
Trong không gian để chứng minh ba điểm thẳng hàng
ta thường chứng minh ba điểm đó là các điểm chung
của hai mặt phẳng phân biệt.
Đường SO là giao tuyến của hai mặt phẳng nào?
+ Học sinh:
Đường SO là giao tuyến của mp(SBD) và mp(SAC).
+ Giáo viên:
Điểm I có phải là điểm chung của mp(SBD) và mp(SAC) không? vì sao?
+ Học sinh:
Vì I ∈ AM ⊂ ( SAC ) , I ∈ BN ⊂ ( SBD ) nên I là điểm chung của (SBD) và (SAC).

Lời giải:
Trong mp(MAB), ta có AM và BN cắt nhau. Gọi I là giao điểm của AM và BN, do
đó SO, AM, BN đồng quy khi SO đi qua I hay S, I, O thẳng hàng.
Ta lại có: ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO; I ∈ AM ⊂ ( SAC ) ; I ∈ BN ⊂ ( SBD ) . Suy ra S, I, O
đều thuộc giao tuyến của mp(SBD) và mp(SAC), do đó S, I, O thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy tại điểm I.
2.2 Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy
Qua cách hướng dẫn học sinh giải bài tập ở phần 2.1 thì học sinh xây dựng quy
trình chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy như sau:
Bước 1: Tìm giao điểm I của hai đường thẳng a và b.

7


Bước 2: Tìm mp(P) và mp(Q) sao cho c là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)
và I là điểm chung của hai mặt phẳng (P), (Q).

2.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập.
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là ba điểm lần lượt trên ba cạnh AB, AC và BD sao
cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H ( H ≠ D, I ≠ C ) . Chứng minh ba đường thẳng
CD, IG, HF đồng quy.
Lời giải:
Trong mp(GEF), ta có HF và IG cắt nhau. Gọi K là
giao điểm của HF và IG, do đó CD, IG, HF đồng
quy khi CD đi qua K hay C, K, D thẳng hàng. Lại
( ACD ) ∩ ( BCD ) = CD;
có:
K ∈ HF ⊂ ( ACD ) ; K ∈ IG ⊂ ( BCD ) . Suy ra C, K,
D đều thuộc giao tuyến của mp(BCD) và
mp(ACD), do đó C, K, D thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy tại điểm
K.
Nhận xét:
•
Qua việc xây dựng quy trình giải bài tập chứng minh ba đường thẳng đồng
quy ta thấy để chứng minh ba điểm thẳng hàng thì chứng minh cho ba điểm đó
cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
•
Ngoài phương pháp chứng minh cho ba đường thẳng đồng quy đã nêu trên,
ta còn có một phương pháp khác nữa để chứng minh ba đường thẳng đồng quy
là sử dụng định lí “ Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau”.
2.4 Bài tập tự luyện
1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có AB không song song với CD. Trên SC lấy
điểm E không trùng với S và C, gọi F là giao điểm của SD với mp(ABE).
Chứng minh ba đường thẳng AB, CD và EF đồng quy.
2) Cho tứ diện ABCD. Qua C dựng mp ( α ) cắt AB, SB tại B1, B ' và qua B dựng mp
( β ) cắt AC, SC tại C1, C '. Hai đường thẳng BB ', CC ' cắt nhau tại O '; BB1, CC1
cắt nhau tại O1; kéo dài O ' O1 cắt SA tại I.
a) Chứng minh AO1, SO ' và BC đồng quy.

8


b) Chứng minh I , B1, B ' thẳng hàng.
3. Xây dựng quy trình xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
mặt phẳng
Nhận xét: Đối với dạng bài tập này khi dạy giáo viên thường chỉ hướng dẫn học
sinh tìm ta kết quả và không nêu lên phương pháp giải cho dạng bài tập, dẫn đến
học sinh không nắm được bản chất của việc đi tìm hình chiếu của một điểm trên

một mặt phẳng, từ đó mới tư duy để tìm hướng giải quyết khi gặp lại dạng bài tập
này, do đó các em rất lúng túng khi giải các bài tập có liên quan đến hình chiếu của
một điểm lên mặt phẳng như là bài tập về góc, khoảng cách.
Từ thực tiễn giảng dạy, tôi định hướng cho học sinh xây dựng quy trình xác định
hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng như sau:
3.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập :
Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định hình chiếu vuông góc của:
a) Điểm A trên mp ( A ' B ' C ' D ' ) .
b) Điểm A trên mp ( BB ' D ' D ) .
Lời giải:
a) Theo định nghĩa phép chiếu vuông góc học sinh có
thể tìm được hình chiếu vuông góc của A trên mp
( A ' B ' C ' D ') là điểm A '.
3.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình
Từ kết quả của câu a giáo viên có thể gợi ý cho học sinh
suy nghĩ một số vấn đề về bài toán như sau:
• Các mặt phẳng ( AA ' B ' B ) , ( AA ' C ' C ) , ( AA ' D ' D ) có
những điểm chung nào và các mặt phẳng đó như thế
nào với mp ( A ' B ' C ' D ' ) .
• Giao tuyến của mp ( A ' B ' C ' D ' ) với các ( AA ' B ' B ) , ( AA ' C ' C ) , ( AA ' D ' D ) như
thế nào với AA ' , từ đó suy ra A ' là gì của A trên các giao tuyến đó.
Sau khi suy nghĩ trả lời được các câu hỏi trên, từ đó học sinh phát biểu quy trình
giải bài tập “ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng (P)” như sau:
Bước 1: Tìm một mặt phẳng ( α ) chứa I và vuông góc với (P).
Bước 2: Tìm giao tuyến d của (P) và ( α ) .
Bước 3: Từ I hạ IH vuông góc với d tại H, khi đó H là hình chiếu vuông góc của I
trên (P).
3.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập
b) Trong hình vuông ABCD có BD ⊥ AC (1)
9

Hơn nữa AA ' ⊥ (ABCD) ⇒ AA ' ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BD ⊥ ( ACC ' A ' ) . Mà BD ⊂ ( BDD ' B ') ⇒( ACC ' A ') ⊥ ( BDD ' B ')
Giao tuyến của ( ACC ' A ') và ( BDD ' B ' ) là OO ' (với O, O ' lần lượt là tâm của 2
đáy ABCD, A ' B ' C ' D ' ) . Mặt khác ta có AO ⊥ OO ' ⇒ AO ⊥ ( BDD ' B ' ) . Do đó O
là hình chiếu của A trên mp ( BDD ' B ' ) .
Bài tập 1: Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC đều. Xác định hình
chiếu vuông góc của điểm A trên mp(SBC).
Lời giải:
Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC
(1)
Gọi M là trung điểm của BC, do ∆ ABC đều
⇒ AM ⊥ BC
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAM)
BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM).
Giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAM) là SM . Kẻ
AH vuông góc với SM tại H, suy ra AH ⊥ (SBC).
Vậy H là hình chiếu của A trên mp(SBC).
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông tâm O cạnh a, các cạnh bên đều bằng
2a. Xác định hình chiếu vuông góc của O trên
mp(SBC)
Lời giải:
Theo giả thiết SA = SC ⇒ ∆ SAC cân ở S, suy ra
SO ⊥ AC. Tương tự SO ⊥ BD
Do đó SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC
(1).
Gọi M là trung điểm của BC ta có OM ⊥ BC (2).

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SOM), BC ⊂ (SBC) nên
(SBC) ⊥ (SOM).
Giao tuyến của mp (SBC) và mp(SOM) là SM.
Từ O kẻ OH vuông góc với SM tại H suy ra
OH ⊥ (SBC). Vậy H là hình chiếu vuông góc
của O trên mp(SBC).
Nhận xét. Các bài tập đều sử dụng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc. “Nếu
hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt
phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia” .
3.4 Bài tập tự luyện
10


1) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định hình chiếu vuông góc của
điểm A ' trên mặt phẳng ( AB ' D ') .
2) Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AA ' vuông góc mặt phẳng (ABC), AA ' = a,
tam giác ABC vuông tại A với BC = 2a, AB = a 3. Xác định hình chiếu vuông góc
của điểm A trên mặt phẳng ( A ' BC ) .
3) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Tìm hình chiếu
vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC).
4) Cho hai tia chéo nhau Ax, By nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy
điểm C. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax. Xác định hình chiếu vuông
góc của điểm C trên mp (ABD).
4. Xây dựng quy trình xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) cắt nhau là góc giữa đường thẳng d
và hình chiếu d ' của nó trên mặt phẳng ( α ) .
4.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau
Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định góc giữa:
a) AD ' và mp ( A ' B ' C ' D ' ) ;
b) BD ' và mp ( AA ' D ' D ) .

Lời giải:
a) Từ định nghĩa trên, học sinh có thể xác định được
góc giữa AD ' và mp ( A ' B ' C ' D ' ) như sau:
Ta có hình chiếu của đường AD ' lên ( A ' B ' C ' D ' ) là
đường A ' D ' suy ra góc ·AD ' A ' là góc giữa đường
thẳng AD ' và mp ( A ' B ' C ' D ' ) .

4.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy
trình
Giáo viên có thể giúp học sinh dự đoán các bước của quy trình xác định góc giữa
đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) cắt nhau:
Bước 1: Tìm giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) .
Bước 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M thuộc d ( M ≠ I ) trên ( α ) .
·
Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) là góc MIH
.
Từ dự đoán đó,học sinh có thể giải câu b như sau:
11


b) Ta có:
BD ' giao với mp ( ADD ' A ') tại D '; A là hình chiếu của B trên mp ( ADD ' A ') , suy
ra AD ' là hình chiếu của BD ' trên mp ( ADD ' A ') . Do đó góc giữa BD ' với mp
· ' A.
( ADD ' A ') là góc BD

4.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập
Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 3a, SA = 2a. Tính góc giữa
cạnh bên và mặt đáy.
Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ ABC.
Tìm góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng (ABC).
Ta có: SA giao với mặt phẳng (ABC) tại điểm A;
S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG ⊥ (ABC)
suy ra G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).
·
Do đó SAG
là góc giữa SA và mp(ABC).
Vì ∆ ABC đều cạnh 3a nên AG =

2
AM = a 3.
3

·
Trong tam giác SAG ta có cos SAG
=

AG a 3
3
=
=
.
SA
2a
2

Vậy góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30o.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông tâm O, đường thẳng SA
vuông góc với mặt đáy. Xác định góc giữa:

a) SC và (ABCD);
b) SC và (SAD);
c) SB và (SAC).
Lời giải:
a) Ta có: SA ⊥ mp(ABCD) nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là A; giao
điểm của SC với mặt phẳng (ABCD) là C.
·
Vậy SCA
là góc giữa SC và mp(ABCD).
b) Ta có SC giao với mp(SAD) tại S
CD ⊥ SA
Mặt khác 
⇒ CD ⊥ mp(SAD), suy ra D
CD ⊥ AD
là hình chiếu vuông góc của C trên mp(SAD).
·
Vậy CSD
là góc giữa SC và mp(SAD).
12


OB ⊥ AC
c) Ta có SB giao với mp(SAC) tại S. Mặt khác 
⇒ OB ⊥ (SAC), suy ra O
OB ⊥ SA
·
là hình chiếu vuông góc của B trên mp(SAC). Vậy OSB
là góc giữa SB và
mp(SAC).
4.4 Bài tập tự luyện

1) Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC vuông cân tại A, AA ' ⊥ ( ABC ) . Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AB, B ' C '.
a) Xác định góc giữa MN và mặt đáy.
b) Xác định góc giữa MN và mặt bên ( BCC ' B ') .
2) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a và ∆ ABC đều cạnh a. Tính cô-sin
góc giữa SC và mp(SAB).
3) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = a, AB = 2a. Gọi O, M, N lần lượt là
trung điểm của SA, BC. Tính tang góc giữa MN và mp(SBD).
5. Xây dựng quy trình xác định góc giữa hai mặt phẳng
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ
một điểm I trên c ta dựng trong (P) đường thẳng a vuông góc với c và trong (Q)
đường thẳng b vuông góc với c. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc
giữa hai đường thẳng a và b.
5.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = AB = a. Tính cô-sin góc giữa mp(SAB)
và mp(ABC).
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập theo những gợi ý sau:
+) Hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) cắt nhau theo giao tuyến nào?
+) Gọi M là trung điểm của AB khi đó góc giữa mp(SAB) và mp(ABC) là góc
giữa hai đường thẳng nào? vì sao?
Từ đó, học sinh sẽ có lời giải của bài tập như sau:
Lời giải:
Ta có ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB.
Gọi M là trung điểm của AB

Lại có: ∆ ABC đều nên CM ⊥ AB ( CM ⊂ ( ABC ) ) ;
∆ SAB cân tại S nên SM ⊥ AB ( SM ⊂ ( SAB ) ) .

13

Do đó góc giữa mp(SAB) và mp(ABC) là góc giữa hai đường thẳng SM và CM.
Vì SM và CM là hai đường cao của tam giác đều cạnh a nên SM = CM =

a 3
, từ
2

SM 2 + CM 2 − SC 2 1
= .
2SM .CM
3
1
Vậy cô-sin góc giữa mp(SAB) và mp(ABC) bằng .
3
5.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình
Từ kết quả của bài tập trên giáo viên có thể gợi ý cho học sinh suy nghĩ một số vấn
đề về bài toán như sau:
• Mặt phẳng ( α ) chứa hai đường thẳng SM và CM như thế nào với AB?
• Hai đường thẳng SM và CM lần lượt là giao tuyến của mp ( α ) với hai mặt
phẳng nào?
• Để tìm được đường thẳng SM và CM ta cần tìm mp ( α ) thõa mãn điều kiện gì?
Sau khi suy nghĩ trả lời được các câu hỏi trên, từ đó học sinh phát biểu quy trình
giải bài tập “ Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)” như sau:
Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 2: Tìm mặt phẳng (R) vuông góc với d.
Bước 3: Tìm giao tuyến a = ( P ) ∩ ( R ), b = (Q) ∩ ( R). khi đó góc giữa hai mặt
phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Nhận xét. Khi dạy dạng bài tập này giáo viên thường nêu quy trình trước rồi hướng
dẫn học sinh vận dụng quy trình vào giải bài tập hoặc chỉ hướng dẫn học sinh giải

bài tập, mà không đưa ra lưu ý khi tìm mặt phẳng (R) vuông góc với d như thế nào,
vì vậy các em dù nắm được quy trình (một cách thụ động) song vẫn chưa giải bài
tập dạng này một cách thuần thục.
·
định lí cô-sin trong tam giác ta có cos SMC
=

5.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập
Bài tập 1. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Xác định góc giữa hai mặt
phẳng ( DA ' C ') và ( ABB ' A ') .
Lời giải:
Thực hiện theo quy trình:
Bước 1:Tìm giao tuyến của mp ( DA ' C ') và mp ( ABB ' A ')

14


Hai mặt phẳng ( DA ' C ') và ( ABB ' A ') lần lượt chứa hai đường thẳng DC ' và AB '
song song nên giao tuyến của ( DA ' C ') và ( ABB ' A ') là đường thẳng a qua A ' và
song song với AB ' .
Bước 2: Tìm mặt phẳng (P) vuông góc với a
Gọi I, J lần lượt là tâm của hai hình vuông ABB ' A ' và
CDD ' C '. Ta có IJ ⊥ ( ABB ' A ') , suy ra IJ vuông góc
với a, lại có IA ' ⊥ AB ' ⇒ IA ' ⊥ a
(vì AB '/ / a ), do đó a ⊥ ( IA ' J ) .

Bước 3: Xác định góc giữa ( DA ' C ') và ( ABB ' A ') .
Vì ( IA ' J ) ∩ ( ABB ' A ') = A ' I , ( IA ' J ) ∩ ( DA ' C ' ) = A ' J nên góc giữa mp ( DA ' C ')
và mp ( ABB ' A ') là góc giữa hai đường thẳng A ' I và A ' J , vì tam giác IA ' J vuông
· ' J.

tại I suy ra góc giữa hai đường thẳng A ' I và A ' J là góc IA
· ' J là góc giữa hai mặt phẳng ( DA ' C ') và ( ABB ' A ') .
Vậy góc IA
Bài tập 2. (Bài tập 24 trang 111 SGK hình học 11- chương trình nâng cao)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác
định x hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60o.
Lời giải:
Ta có: ( SBC ) ∩ ( SCD ) = SC ;
BD ⊥ AC 
 ⇒ BD ⊥ mp(SAC) ⇒ BD ⊥ SC.
BD ⊥ SA 
Kẻ BH vuông góc với SC tại H, suy ra SC ⊥ (BHD).
Vì ( BHD ) ∩ ( SBC ) = BH , ( BHD ) ∩ ( SCD ) = HD
nên góc giữa mp ( SBC ) và mp ( SCD ) là góc giữa hai đường thẳng BH và HD .
Áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông SBC và SCD ta suy ra
BH = DH = BC .

BS 2
BC 2 + BS 2

= BC .

AB 2 + SA2
BC 2 + AB 2 + SA2

=a

a 2 + x2
2a 2 + x 2

.

15


BH 2 + DH 2 − BD 2
·
Theo định lí cô-sin trong tam giác BHD ta có cos BHD =
2 BH .HD
−a 2
·
.
hay cos BHD = 2
a + x2

Để góc giữa mp ( SBC ) và mp ( SCD ) bằng 60o thì góc giữa hai đường thẳng BH
1
−a 2
1
·
o
HD
cos
BHD
=
±
⇔
=
±
⇔ x = a.

và
bằng 60 , khi đó
2
2
2
2
a +x
Vậy x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60o.
Nhận xét. Qua bài tập ta thấy để tìm được mặt phẳng (R) vuông góc với d ở bước
hai của quy trình giải bài tập “ Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)” ta làm
như sau:
• Tìm hai điểm M, N lần lượt thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q) sao cho MN
vuông góc với một trong hai (P), (Q) sau đó từ M hạ MH vuông góc với d tại
H. Khi đó mp(R) cần tìm là mp(MHN).
• Tìm hai điểm M, N lần lượt thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q) sao cho MN
vuông góc d sau đó từ M hạ MH vuông góc với d tại H. Khi đó mp(R) cần
tìm là mp(MHN).
5.4 Bài tập tự luyện
·
·
1) Cho hình chóp S.ABC có ·ASB = 120o, BSC
= 60o, CSA
= 90o, SA = SB = SC = a.
Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABC ) .
2) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SA = a 2. Đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D, với AB = AD = DC = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng sau:
a) mp ( SBC ) và mp ( ABC ) .
b) mp ( SAB ) và mp ( SBC ) .
c) mp ( SAC ) và mp ( SCD ) .
3) Cho ∆ đều ABC cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Cy cùng vuông góc với

mp(ABC) và ở về một phía của mặt phẳng ấy. M, N lần lượt là 2 điểm thay đổi trên
Bx, By sao cho CN = 2 BM = a 2 . Tính góc giữa mp(AMN) và mp(CBMN).

16


IV. Kết quả thực hiện
Năm học 2015-2016 tôi đã vận dụng kinh nghiệm này vào dạy ở lớp 11C6 kết quả
thu được khả quan hơn so với năm học trước đó, số học sinh biết làm các bài tập cơ
bản tăng lên, đa số học sinh đều nhớ được quy trình giải các dạng bài tập đã được
nêu trong sáng kiến, vì thế các em chủ động tích cực trong khi làm bài tập đặc biệt
so với năm học trước thì năm học này học sinh có hứng thú học hình học không
gian tổng hợp hơn nhiều.
Kết quả cụ thể của hai lớp có chất lượng như nhau:
Năm học 2014-2015, dạy lớp 11B7 khi chưa được vận dụng kinh nghiệm đã nêu
trên.
Sĩ số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

42

0

0

8

19,4

14

33

20

47,6

Năm học 2015-2016 dạy lớp 11C6 đã vận dụng kinh nghiệm nêu trên.
Sĩ số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, kém
SL
%
SL
%
SL

%
SL
%
39

4

10,3

8

20,5

14

35,9

13

33,3

17


C. KẾT LUẬN
Trong sáng kiến này, tôi đã hướng dẫn học sinh xây dựng năm quy trình thuật
giải cho dạng toán hình học không gian, đáp ứng nhu cầu thực tiễn của đại đa số
học sinh trường THPT Dương Đình Nghệ là giải được các bài tập trong mỗi dạng
và giúp các em nắm một số kiến thức nền phục vụ cho bài tập tính thể tích của khối
chóp, khối lăng trụ ở lớp 12. Trong thời gian tới, tôi mong muốn sẽ định hướng cho

học sinh xây dựng nhiều quy trình hơn nữa để giúp các em giải bài toán hình học
không gian một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Đây cũng chính là nền tảng vững
chắc để tôi nghiên cứu, vận dụng một số phương pháp rèn luyện, phát triển năng
lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập hình học không gian.
Rất mong nhận được những góp ý chân thành của bạn đọc, tôi xin cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày10 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Tống Văn Anh

18


MỤC LỤC
Mục

Trang
1
1

A.
1.

MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài

2.

Mục đích nghiên cứu

1

3.

Đối tượng nghiên cứu

2

4.

Phương pháp nghiên cứu

2

B.

NỘI DUNG

I.

Cơ sở lí luận

3
3

II.

Thực trạng tại trường THPT Dương Đình Nghệ

3

III.

III. Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình
giải một số dạng bài tập hình học không gian lớp 11:

3

1.

Xây dựng quy trình tìm giao điểm của đường thẳng và mặt
phẳng

3

2.

Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng đồng quy

5

3.

Xây dựng quy trình xác định hình chiếu vuông góc của một
điểm trên một mặt phẳng

7

4.

Xây dựng quy trình xác định góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng cắt nhau

10

5.

Xây dựng quy trình xác định góc giữa hai mặt phẳng

12

IV.

Kết quả thực hiện

16

C.

KẾT LUẬN

17

19