Một số phương pháp để giải bài toán hệ phương trình trong đề thi đại học

S
Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT TẠO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Người thực hiện: Nguyễn Xuân Sơn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2016


MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1. MỞ ĐẦU
1
1.1. Lý do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2
2.1. Cơ sở lí luận của sang kiến kinh nghiệm
2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sang kiến kinh nghiệm
2
2.3. Một số phương pháp để giải bài toán hệ phương trình
2
2.3.1. Phương pháp biến đổi tương đương
2
2.3.1.1. Hệ phương trình có một phương trình là phương trình bậc nhất
với ẩn x ( hoặc y )
2
2.3.1.2. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình tích 4
2.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
6
2.3.3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
9
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

12

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

13

3.1. Kết luận

13

Tài liệu tham khảo

14

1. MỞ ĐẦU
2


1.1. Lý do chọn đề tài
Hệ phương trình là một bài toán khó, thường có mặt trong các đề thi Đại
học. Các bài toán dạng này thường được ẩn dưới dạng không mẫu mực, tức là
không có dạng đã có quy tắc giải. Nhưng nếu biết cách biến đổi, ta cũng sẽ đưa
được về các dạng toán thường gặp. Trong thực tế, để giải được bài toán này đòi
hỏi học sinh phải nghiên cứu kỹ, nắm vững các kiến thức về hằng đẳng thức, các
kiến thức liên quan như: biến đổi tương đương, hàm số và tính đơn điệu của hàm
số…
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán trong trường THPT tôi nhận thấy
rằng trình độ của học sinh là rất khác nhau. Mức độ và năng lực tư duy của các
em cũng chênh lệch rất đáng kể. Với đối tượng học sinh ở các lớp cơ bản tiếp
thu chậm thì việc giải được bài toán hệ phương trình là khó có thể thực hiện
được.
Vậy làm thế nào để các em học sinh có thể giải được bài toán này trong
kỳ thi Đại học?
Vì vậy trong bài viết này, tôi đưa ra một số phương pháp để giải bài
toán hệ phương trình trong đề thi Đại học.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm tạo ra một không khí làm việc tập thể một cách thoải mái, tạo điều
kiện để các em được học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, gây được hứng thú và
phát triển tư duy logíc. Giúp các em học sinh khi tham gia kỳ thi Đại học, gặp
bài toán giải hệ phương trình sẽ tự tin và sử dụng các phương pháp giải đã học

để giải tốt bài toán này. Đặc biệt qua đó giúp học sinh có khả năng ứng phó và
thích ứng nhanh với các thay đổi, đáp ứng yêu cầu của cuộc đổi mới phương
pháp giảng dạy trong ngành giáo dục nói riêng và trên đất nước
nói chung.
Qua nhiều lần thử nghiệm tôi nhận thấy rằng: khi được trang bị các
phương pháp giải học sinh mới đạt được mong muốn đã nêu ở trên.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán giải hệ phương trình trong các đề thi Đại học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điêù tra từ thực tế dạy học.
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm .

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sang kiến kinh nghiệm
- Phương pháp biến đổi tương đương: Là phương pháp sử dụng các kỹ
thuật biến đổi đồng nhất, nhằm đưa một phương trình trong hệ phương trình về
dạng đơn giản hơn để giải, hoặc đưa hệ phương trình về các dạng đã biết.
- Phương pháp đặt ẩn phụ: đặt a = f (x, y) và b = g(x, y) rôi tìm điều
kiện của a và b (nếu có). Sau đó đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương
trình hai ẩn a và b mà có thể giải được bằng phương pháp biến đổi tương
đương.
- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Sử dụng các phép
biến đổi tương đương để đưa một trong hai phương trình của hệ phương trình về
dạng f (u(x)) = f (v(y)) với y = f (t) là một hàm số đơn điệu trên tập D (dựa vào
các phương trình của hệ ta tìm ra D ). Từ đó suy ra u(x) = v(y) , suy ra mối quan
hệ giữa hai ẩn x và y .

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sang kiến kinh nghiệm
Khi gặp bài toán giải hệ phương trình trong đề thi đại học, học sinh rất
lúng túng trong cách giải quyết. Tuy nhiên khi nắm bắt được các phương pháp
giải thì khó khăn sẽ được giải quyết.
2.3. Một số phương pháp để giải bài toán hệ phương trình
2.3.1. Phương pháp biến đổi tương đương
Các loại hệ phương trình thường gặp sử dụng biến đổi tương đương:
2.4.1.1. Hệ phương trình có một phương trình là phương trình bậc nhất
với ẩn x ( hoặc y )
Các Ví dụ:
Ví dụ 1: ( ĐH – khối D năm 2002) Giải hệ phương trình:
23x = 5y2 − 4y (1)

 4x + 2x+1
= y (2)
 x
 2 +2
Giải: Từ phương trình (2) ta có: y = 2x thế vào phương trình (1) ta được:
y= 0

y3 − 5y2 + 4y = 0 ⇔  y = 1
 y = 4
Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (0;1) và (2;4).
Ví dụ 2: ( ĐH – khối A năm 2004) Giải hệ phương trình:

1
log1 (y − x) − log4 y = 1(1)
 4
 2 2
(2)

 x + y = 25

4


Giải:
Điều kiện: y > x và y > 0 .
Phương trình (1) tương đương với phương trình:
1
y− x
3y
− log4(y − x) − log4 = 1⇔ − log4
= 1⇔ x = .
y
y
4
2

 3y 
Thế vào phương trình (2) ta có:  ÷ + y2 = 25 ⇔ y = ±4.
 4
So sánh với điều kiện, ta được y = 4, suy ra x = 3 ( thỏa mãn y > x ).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (3;4) .
Ví dụ 3: ( ĐH – khối B năm 2008) Giải hệ phương trình:
 x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 (1)
 2
(2)
 x + 2xy = 6x + 6
Giải:
Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình.

− x2 + 6x + 6
x
≠
0
Xét
, ta có (2) ⇔ y =
thế vào phương trình (1), ta được:
2x
 − x2 + 6x + 6  2  − x2 + 6x + 6 
(1) ⇔ x4 + 2x3 
÷+ x 
÷ = 2x + 9

÷

÷
2
x
2
x




 x = 0(L )
⇔ x4 + 12x3 + 48x2 + 64x = 0 ⇔ x(x + 3) = 0 ⇔ 
 x = −4
Với x = −4 ⇒ y = −

17

.
4

17
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (−4; − ).
4
Bài tập tương tự:
Bài 1: ( ĐH – khối B năm 2005) Giải hệ phương trình:
 x − 1 + 2 − y = 1

2
3
3log9(9x ) − log3 y = 3
Bài 2: ( ĐH – khối A năm 2009) Giải hệ phương trình:
log (x2 + y2) = 1+ log (xy)
2
2
 x − xy+ y
= 81
3
Bài 3: ( ĐH – khối D năm 2009) Giải hệ phương trình:
2

2

5


 x(x + y + 1) − 3 = 0


5

2
(
x
+
y
)
−
+ 1= 0

x2

Bài 4: ( ĐH – khối B năm 2010) Giải hệ phương trình:
log2(3y − 1) = x
 x
x
2
4 + 2 = 3y
Bài 5: ( ĐH – khối D năm 2010) Giải hệ phương trình:
 x2 − 4x + y + 2 = 0

2log2(x − 2) − log 2 y = 0
2.3.1.2. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình
tích
Các Ví dụ:
Ví dụ 1: ( ĐH – khối A năm 2003) Giải hệ phương trình:

1
1

 x − x = y − y (1)

2y = x3 + 1 (2)

Giải:
Điều kiện xác định: x ≠ 0; y ≠ 0.
y = x

1
(1) ⇔ (x − y)1+ ÷ = 0 ⇔ 
y = − 1
xy 


x
x= 1
3

Với y = x , thế vào (2) ta được: x − 2x + 1= 0 ⇔ 
−1± 5
x=

2
1
Với y = − , thế vào (2) ta được:
x
2

2


1 
1 3
(2) ⇔ x + x + 2 = 0 ⇔  x2 − ÷ +  x + ÷ + = 0 (phương trình vô nghiệm)
2 
2 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:
4

 −1+ 5 −1+ 5   −1− 5 −1− 5 
(1;1);
;
;
÷;
÷.

÷
÷
2
2
2
2




6

Ví dụ 2: ( ĐH – khối B năm 2013) Giải hệ phương trình:
2x2 + y2 − 3xy + 3x − 2y + 1= 0
(1)
 2 2
4x − y + x + 4 = 2x + y + x + 4y (2)
Giải:
Điều kiện: 2x + y ≥ 0, x + 4y ≥ 0.
y = x+ 1
(1) ⇔ (x − y + 1)(2x − y + 1) = 0 ⇔ 
 y = 2x + 1
Với y = x + 1, thay vào (2) ta được:
3x2 − x + 3 = 3x + 1 + 5x + 4
⇔ 3(x2 − x) + (x + 1− 3x + 1) + (x + 2 − 5x + 4) = 0


1
1
⇔ (x2 − x) 3+
+
÷= 0
x + 1+ 3x + 1 x + 2 + 5x + 4 

x = 0
⇔ x2 − x = 0 ⇔ 
x = 1
Khi đó ta được nghiệm (x; y) là: (0;1);(1;2)
Với y = 2x + 1, thay vào (2) ta được:
3− 3x = 4x + 1 + 9x + 4
⇔ 3x + ( 4x + 1 − 1) + ( 9x + 4 − 2) = 0



4
9
⇔ x 3+
+
÷= 0 ⇔ x = 0
4x + 1 + 1
9x + 4 + 2 

Khi đó ta được nghiệm (x; y) là: (0;1).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (0;1); (1;2) .
Ví dụ 3: ( ĐH – khối D năm 2012) Giải hệ phương trình:
 xy + x − 2 = 0
(1)
 3 2
2
2
2x − x y + x + y − 2xy − y = 0 (2)
Giải:
 y = 2x + 1
2
(2)
⇔
(2
x
−
y
+
1
)(

x
−
y
)
=
0
⇔
Ta có:

2
 y = x
Với y = x + 1 thay vào (1) ta được: x2 + x − 1= 0 ⇔ x = −1± 5 .
2
 −1+ 5
  −1− 5

(
x
;
y
)
;
5
;
;
−
5
÷
÷.
Do đó ta được các nghiệm

là: 
÷
÷
2
2



Với y = x2 thay vào (1) ta được:
7


x3 + x − 2 = 0 ⇔ (x − 1)(x2 + x + 2) = 0 ⇔ x = 1.
Do đó ta được các nghiệm (x; y) là: (1;1)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:
 −1+ 5
  −1− 5

(1;1);
; 5÷;
; − 5÷.

÷
÷
2
2



Bài tập tương tự:

Bài 1: ( ĐH – khối B năm 2002) Giải hệ phương trình:
 3 x − y = x − y

 x + y = x + y + 2.
Bài 2: ( ĐH – khối B năm 2003) Giải hệ phương trình:

y2 + 2
3y =

x2

2
3x = x + 2.

y2

Bài 3: ( ĐH – khối D năm 2008) Giải hệ phương trình:
 xy + x + y = x2 − 2y2

 x 2y − y x − 1 = 2x − 2y.
Bài 4: ( ĐH – khối A năm 2011) Giải hệ phương trình:
5x2y − 4xy2 + 3y3 − 2(x + y) = 0

2
2
2
 xy(x + y ) + 2 = (x + y) .
2.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Các Ví dụ:
Ví dụ 1: ( ĐH – khối A năm 2008) Giải hệ phương trình:

 2
5
3
2
 x + y + x y + xy + xy = − 4
(∗)

5
 x4 + y2 + xy(1+ 2x) = −

4
Giải:
 2
5
2
x
+
y
+
xy
(
x
+
y
)
+
xy
=
−


4.
Ta có: (∗) ⇔ 
(x2 + y)2 + xy = − 5

4
2
Đặt a = x + y; b = xy hệ phương trình trở thành:
8




5 
5
2 5
a
+
b
+
ab
=
−
b
=
−
a
−
a
=
0;

b
=
−

4 ⇔ 
4 ⇔ 
4


a2 + b = − 5
a3 + a2 + a = 0  a = − 1; b = − 3



4
4
2
2

5
 x2 + y = 0  x = 3


5
4
Với a = 0; b = − ta có hệ phương trình: 
5 ⇔
4
25
 xy = −


3

4
 y = − 16
 2
1
x = 1
x + y= −


1
3
2⇔ 
Với a = − ; b = − ta có hệ phương trình: 

3
2
2
 xy = − 3
 y = − 2

2
 5
25  
3
; 1; − ÷
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  3 ;− 3 ÷
16 ÷
2

 4

Ví dụ 2: ( ĐH – khối D năm 2009) Giải hệ phương trình:
 x(x + y + 1) − 3 = 0 (1)

5

2
(
x
+
y
)
−
+ 1= 0 (2)

x2

Giải:
Điều kiện xác định: x ≠ 0.
Chia hai vế của (1) cho x, ta được hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

3
 x + y + 1− x = 0
(∗)

5
2
(x + y) −
+ 1= 0


x2
1
Đặt a = x + y,b = hệ phương trình (∗) trở thành:
x
 a = 2; b = 1
a − 3b + 1= 0
⇔
 2
1
1
2
a − 5b + 1= 0  a = ; b =

2
2
Với a = 2; b = 1 ta tìm được x = 1; y = 1.
1
1
3
Với a = ; b = ta tìm được x = 2; y = − .
2
2
2

3
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (1;1); 2;− ÷.
2


9


Ví dụ 3: ( ĐH – khối B năm 2009) Giải hệ phương trình:
 xy + x + 1= 7y
(1)
 2 2
2
 x y + xy + 1= 13y (2)
Giải:
Nhận thấy y= 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình. Chia hai vế của (1)
cho y2 và của (2) cho y , ta được:
2
 1
1 x 2

x
 2 + y + x = 13  + x÷ − = 13
y
 y
y

⇔ 

 x
x + 1+ x= 7
 1
+
x


÷+ y = 7
 y y
 y



1
x
+ x, b = hệ phương trình trở thành:
y
y
a2 − b = 13 a2 + a − 20 = 0  a = 4; b = 3
⇔
⇔

 a = −5; b = 12
a + b = 7
b = 7 − a

1
 x + y = 4  xy + 1= 4y  x = 1; y = 1

⇔
⇔
Với a = 4; b = 3 ta có hệ: 
3

 x = 3y
x = 3
 x = 3; y = 1

 y

1
x
+
= −5

y

Với a = −5; b = 12 ta có hệ: 
hệ vô nghiệm.
x
 = 12
 y
 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  1; ÷; (3;1).
 3
Bài tập tương tự:
Bài 1: ( ĐH – khối B năm 2002) Giải hệ phương trình:
 3 x − y = x − y

 x + y = x + y + 2.
Bài 2: ( ĐH – khối A năm 2006) Giải hệ phương trình:
 x + y − xy = 3

 x + 1 + y + 1 = 4
Bài 3: ( ĐH – dự bị khối A năm 2006) Giải hệ phương trình:
Đặt a =

10

 x2 + 1+ y(x + y) = 4y

2
(x + y − 2)(x + 1) = y
Bài 4: ( ĐH – dự bị khối D năm 2009) Giải hệ phương trình:
 x(x + y + 1) − 3 = 0

5

2
(x + y) − 2 + 1= 0
x

Bài 5: ( ĐH – dự bị khối A năm 2007) Giải hệ phương trình:
 x4 − x3y + x2y2 = 1
 3
2
 x y − x + xy = 1
2.3.3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Các Ví dụ:
Ví dụ 1: ( ĐH – khối A năm 2010) Giải hệ phương trình:
4(x2 + 1)x + (y − 3) 5− 2y = 0 (1)
 2 2
(2)
4x + y + 2 3− 4x = 7
Giải:
3
5

Điều kiện: x ≤ ; y ≤ .
4
2
Phương trình (1) tương đương với phương trình:
(4x2 + 1)2x = (5− 2y + 1) 5− 2y (∗)
Nhận thấy (∗) có dạng f (2x) = f ( 5 − 2y) , với f (t) = (t2 + 1)t.
Ta có f ′(t) = 3t2 + 1> 0,∀t∈ ¡ suy ra hàm số f (t) đồng biến trên ¡ .
x≥ 0

Do đó: (∗) ⇔ 2x = 5 − 2y ⇔ 
5− 4x2
y =

2
2

5

Thế vào phương trình (2) ta được: 4x +  − 2x2 ÷ + 2 3− 4x − 7 = 0 (3)
2

3
Lại thấy x = 0 và x = không phải là nghiệm của (3).
4
2
 3
5

2
2

Xét hàm số g(x) = 4x +  − 2x ÷ + 2 3− 4x − 7 trên khoảng  0; ÷.
 4
2

2

11


5

 3
4
4
g′(x) = 8x − 8x − 2x2 ÷−
= 4x(4x2 − 3) −
< 0,∀x∈  0; ÷. ss
3− 4x
3− 4x
2

 4
 3
uy ra hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng  0; ÷.
 4
 1
1
Măt khác g ÷ = 0 nên phương trình (3) có một nghiệm duy nhất là x = , suy
2
 2

ra y = 2.
1 
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  ;2÷.
2 
Ví dụ 2: ( ĐH – khối A năm 2012) Giải hệ phương trình:
 x3 − 3x2 − 9x + 22 = y3 + 3y2 − 9y

 2 2
1
x + y − x+ y =

2
Giải:
(x − 1)3 − 12(x − 1) = (y + 1)3 − 12(y + 1) (1)

2
2
Hệ đã cho tương đương với: 
1 
1
(2)
 x − ÷ +  y + ÷ = 1
2 
2


 3
1
1
−

1
≤
x
−
≤
1
− ≤ x − 1≤


2 ⇔ 2
2
Từ (2), suy ra 

−1≤ y + 1 ≤ 1 − 1 ≤ y + 1≤ 3

 2
2
2
 3 3
Xét hàm số f (t) = t3 − 12t trên  − ; 
 2 2
Ta có f ′(t) = 3(t2 − 4) < 0 , suy ra f (t) nghịch biến
Do đó (1) ⇔ x − 1= y + 1⇔ y = x − 2 (3).

1
x
=


1 

3
2
2
Thay vào (2), ta được  x − ÷ +  x − ÷ = 1⇔ 4x − 8x + 3 = 0 ⇔ 
2 
2

x = 3

2
 1 3  3 1
Thay vào (3), ta được nghiệm của hệ (x; y) là:  ;− ÷;  ;− ÷.
 2 2  2 2
 1 3  3 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  ;− ÷;  ;− ÷.
 2 2  2 2
2

2

Ví dụ 3: ( ĐH – khối A năm 2013) Giải hệ phương trình:
12


 x + 1 + 4 x − 1 − y4 + 2 = y (1)

 x2 + 2x(y − 1) + y2 − 6y + 1= 0 (2)

Giải:
Điều kiện: x ≥ 1.

Từ (2) ta được 4y = (x + y − 1)2 , suy ra y≥ 0.
Đặt u = 4 x − 1(u ≥ 0) .
Phương trình (1) trở thành:

u4 + 2 + u = y4 + 2 + y (3) .

Xét hàm số f (t) = t + 2 + t, với t ≥ 0. Ta có f ′(t) =
4

2t3
4

+ 1> 0,∀t ≥ 0.

t +2
Do đó phương trình (3) tương đương với y = u, nghĩa là x = y4 + 1.
Thay vào phương trình (2) ta được y(y7 + 2y4 + y − 4) = 0 (4).

Hàm số g(y) = y7 + 2y4 + y − 4 có g′(y) = 7y6 + 8y3 + 1> 0, ∀y ≥ 0.
Mà g(1) = 0, nên (4) có hao nghiệm không âm là y = 0 và y = 1.
Với y = 0, x = 1.
Với y = 1, x = 2.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (1;0); (2;1).
Bài tập tương tự:
Bài 1: ( ĐH – dự bị khối D năm 2006) Giải hệ phương trình:
ln(x + 1) − ln(y + 1) = x − y
 2
2
 x − 12xy + 20y = 0
Bài 2: ( ĐH – dự bị khối A năm 2007) Giải hệ phương trình:

 x + x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1


 y + y2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1
Bài 3: ( ĐH – dự bị khối B năm 2008) Giải hệ phương trình:
 x − 1 − y = 8− x3

4
(x − 1) = y

13


2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Đề tài của tôi đó được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được
học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải hệ phương trình.
Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với
mức học trung bình cứng trở lên đó có kỹ năng giải các bài tập. Số học sinh biết
áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào
giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên,
kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Điểm từ 5 đến
Điểm 8 trở lên
Điểm dưới 5
8
Năm
Tổng
Lớp
học

số
Số
Số
Số
Tỷ lệ
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng
lượng
38
8
13.1 % 20 52,6 % 13 34,3 %
2012- 12A9
2013
12B9
36
5
14 %
17
47 %
14
39 %
39
8
20,5 % 22 56,4 %
9
23.1 %
2014- 12A10
2015 12B10

42
9
21 %
23
55 %
10
24 %
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy bài
toán giải hệ phương trình giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương
ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.

14


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Bài toán giải hệ phương trình là một bài toán thường gặp trong các đề thi
Đại học. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là
phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Việc giảng dạy giải bài tập toán nói chung, hay một bài toán giả hệ
phương trình nói riêng phụ thuộc vào nhiều yếu tố. Tuy nhiên nếu chúng ta biết
kết hợp, vận dụng các kiến thức và phương pháp giải đã học nhuần nhuyễn, hợp
lý sẽ đạt được hiệu quả cao.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn đề tài không tránh
khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các
đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho đề tài đạt hiệu quả cao hơn. Tôi xin chân
thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phũng thư viện để nghiên cứu

học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ
sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.

XÁC NHẬN CỦA HIÊU TRƯỞNG

Thanh Hoá, ngày 10 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Nguyễn Xuân Sơn

15


Tài liệu tham khảo :
Đề thi tuyển sinh vào Đại học – cao đẳng của Bộ Giáo dục và đào tạo.

16