Cách ra đề bài tập trắc nghiệm toán tích phân chống mẹo dùng máy tính cầm tay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁCH RA ĐỀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TOÁN TÍCH PHÂN
CHỐNG MẸO DÙNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Người thực hiện: Nguyễn Thị Bé
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2017


MỤC LỤC
Nội dung
1- PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2- PHẦN NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1, Đối với giáo viên
2.2.2, Đối với học sinh
2.3 Các giải pháp ra đề khắc phục tình trạng bấm máy tính cầm tay.
2.3.1, Ra đề từ định nghĩa tích phân.
2.3.2, Ra đề từ các tính chất của tích phân.

2.3.3, Ra đề từ các phương pháp tính tích phân.
2.3.4, Ra đề từ các lớp tích phân đặc biệt.
2.3.5, Ra đề từ bài toán thực tế và ứng dụng liên quan đến tích
phân.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3- PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
3.2 Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN được xếp loại cấp tỉnh

Trang
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
6
6
8
9
12
13
15

17
16
16
17
17

2


1. PHẦN MỞ ĐẦU1
1.1 Lý do chọn đề tài
Ngay sau khi Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố dự thảo phương án thi và
xét tuyển đại học 2017 với việc chuyển từ thi tự luận môn Toán sang trắc
nghiệm thì có rất nhiều ý kiến trái chiều được đưa ra. Nhiều ý kiến cho rằng thi
trắc nghiệm thì casio sẽ lên ngôi, 12 năm học nay chỉ cần biết dùng máy tính là
đủ. Ý kiến đó là chủ quan. Có thể cách ra đề thử nghiệm lần một khiến cho mọi
người suy nghĩ như vậy nhưng cứ nhìn vào đề thử nghiệm lần hai, lần ba chúng
ta sẽ thấy Bộ đã ra đề chuẩn trong khâu chống mẹo vặt khi dùng máy tính cầm
tay giải toán. Chủ đích của người ra đề rất rõ với những bài toán hết sức cơ bản
nhưng biến tấu khác đi một chút, dù không làm thay đổi độ khó nhưng vẫn khiến
học sinh cần nắm rõ bản chất giải tự luận thì mới hoàn thành được câu hỏi, chứ
không có tình trạng dùng máy tính cầm tay giải ngay bài toán như đề lần một.
Nếu ai làm đề sẽ thấy rõ, Bộ GD và ĐT dường như muốn truyền đi một
thông điệp tới giáo viên hãy dạy học sinh đúng bản chất, đúng cách giải, chắc
kiến thức SGK….Chứ đừng chạy theo mẹo vặt, thủ thuật, vì những kiến thức đó
không tồn tại được lâu và người ra đề thừa hiểu cách hóa giải.
Hiện nay chưa có một tài liệu chính thống nào cung cấp tới các trường
THPT về cách dạy toán theo hình thức trắc nghiệm cũng như hệ thống bài tập
trắc nghiệm để giáo viên và học sinh nghiên cứu, chính vì vậy tôi đã chọn đề tài:
“Cách ra đề bài tập trắc nghiệm toán tích phân chống mẹo dùng máy tính

cầm tay” nhằm góp một phần nhỏ kinh nghiệm của mình trong quá trình nâng
cao trình độ chuyên môn cùng các bạn bè đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Nhìn nhận rõ bản chất của hình thức thi trắc nghiệm môn Toán.
- Làm cơ sở lý luận, cơ sở đánh giá cho các đề ôn tập.
- Vận dụng vào thực tế nhà trường trên cơ sở đối tượng học sinh, phương
tiện dạy học hiện có.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
* Đề tài nghiên cứu về cách ra đề để chống các mẹo vặt dùng máy tính
casio trong bài toán trắc nghiệm tích phân.
* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch
giáo dục ở trường THPT, các định hướng và quan điểm về đổi mới phương
pháp dạy học, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Yên Định II.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

1

Mục 1 do tác giả tự viết ra
3


Nghiên cứu một số tài liệu về cách ra đề trắc nghiệm, đổi mới PPDH môn
toán, tài liệu nghiên cứu cách kiểm tra đánh giá học sinh… để xây dựng lý luận
cho đề tài.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
Giảng dạy trực tiếp, ra đề kiểm tra từ đó đánh giá nhận xét cách làm, chất
lượng đề. Quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút ra bài học
về việc ra đề trắc nghiệm mà không làm mất đi sự tư duy của toán hoc.
- Phương pháp thống kê, xử lý dữ liệu

Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá giữa các đề thi
khác nhau.

4


2. PHẦN NỘI DUNG2
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Từ ba đề thi minh họa môn Toán mà bộ GD và ĐT đã công bố thì nếu
không cần trình bày thì thi trắc nghiệm cũng có thể đánh giá được nhiều mặt kĩ
năng của học sinh. Không ai có thể khẳng định rằng khi làm trắc nghiệm về
toán mà thí sinh không cần tư duy. Cho rằng bấm máy tính là đủ để làm trắc
nghiệm toán thì quá cực đoan, mà không nghĩ rằng đó là do việc ra câu hỏi là để
đánh giá khả năng tính toán chứ không thực sự là tư duy toán học. Tức là đề thi
không có tính giá trị để đánh giá tư duy nếu chỉ gồm những câu như vậy.
Nói tóm lại, thi theo hình thức nào cũng có cái hay và cái dở. Điều quan
trọng hơn là ta tổ chức thi như thế nào, có nghiêm túc không. Ở cách thi tự luận
thì cả ba khâu: ra đề, coi thi, chấm thi đều quan trọng, còn ở thi trắc nghiệm thì
khâu ra đề sẽ là quan trọng nhất và khó nhất, cần có một sự đầu tư rất kỹ lưỡng
và cần có một ngân hàng đề đủ lớn với chất lượng tốt. Đó là công việc cần một
công trình sư giỏi, một quản lý dự án cứng, một đội ngũ mạnh và cần nhiều thời
gian làm việc nghiêm túc.
2.2 Thực trạng vấn đề
2.2.1, Đối với giáo viên
Ngay sau khi Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố dự thảo phương án thi và
xét tuyển đại học 2017 với việc chuyển từ thi tự luận môn Toán sang trắc
nghiệm thì có rất nhiều tài liệu luyện thi trắc nghiệm Toán được tung ra thị
trường, trên các trang mạng xã hội. Tuy vậy về phía giáo viên thì ngoài việc có
các đợt tập huấn ngắn hạn về ra đề thi trắc nghiệm mà lại không phải tất cả các
giáo viên đều tham gia thì chưa có một tài liệu chính thống hay một chương

trình đào tạo nào dành cho giáo viên về cách ra đề cũng như cách dạy học sinh
tiếp cận với hình thức thi mới này. Chính vì vậy có không ít giáo viên còn lúng
túng và chưa thích ứng kịp với các vấn đề mới nảy sinh khi thi toán trắc
nghiệm. Nhất là việc học sinh ồ ạt học bấm máy tính casio, đua nhau mua máy
tính đời cao nhất và học các mẹo bấm máy tính để giải toán càng làm cho giáo
viên cần phải có trình độ chuyên môn vững và nắm chắc bản chất cũng như tất
cả các cách giải quyết đề thi dưới mọi hình thức.
Để có thể hóa giải được mẹo sử dụng máy tính casio thì trước hết phải là
người giỏi sử dụng máy tính casio từ đó sẽ tìm ra cách ra đề để học sinh nếu
không hiểu rõ bản chất thì không thể nào có cách chỉ bấm máy tính là ra ngay
được.
2.2.2, Đối với học sinh
Đa số các em còn bỡ ngỡ với hình thức thi mới, chưa có nhiều kinh
nghiệm, thiếu kĩ năng làm bài tập, bài thi trắc nghiệm. Dễ chạy theo xu hướng
đám đông để rồi mất thời gian xóa bỏ tư duy kiểu bấm máy là xong để về với tư
2

Ở mục 2 các mục 2.1, 2.2 do tác giả tự viết ra
5


duy phải nắm vững bản chất vấn đề. Đồng thời thiếu tài liệu đọc thêm để phục
vụ cho việc học và thi theo hình thức trắc nghiệm
2.3 Các giải pháp ra đề bài tập trắc nghiệm toán tích phân chống mẹo dùng
máy tính cầm tay.
Tích phân là một trong các bài toán mà học sinh nghĩ ngay đến việc sử
dụng máy tính casio, nhưng nếu đọc kĩ một chút thì chúng ta sẽ nhận thấy
không khó khăn gì trong việc ra đề để học sinh bắt buộc phải nắm vững từ định
nghĩa đến tính chất hay các công thức của tích phân vì nếu không thì việc bấm
máy tính sẽ còn lâu hơn rất nhiều thậm chí không thể có cách bấm. Sau đây tôi

xin đưa ra một số bài tập theo từng phần để minh họa điều đó.
2.3.1, Ra đề bài tập trắc nghiệm từ định nghĩa tích phân3
Trước hết ta nhắc lại định nghĩa tích phân:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm
của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b
b

(hay tích phân xác định trên đoạn [a, b]) của hàm số f(x), kí hiệu là:

∫ f ( x)dx .
a

b

∫ f ( x)dx = F ( x)

Vậy:

b
a

= F(b) – F(a)

(1)

a

Chú ý và nhận xét
• Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:
a

b

a

a

a

b

∫ f ( x)dx = 0 ; ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx
• Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

b

∫ f ( x)dx
a

b

hay

∫ f (t )dt .
a

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào
biến số x hay t. [1]
Từ định nghĩa trên ta có thể ra các dạng đề như sau:
Câu 1: Biết rằng f(x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên R và có f(0) = 2. Khi đó

x

∫ f ' (t )dt

bằng

0

A. f(x) + 2

B. f(x+ 2)

C. f(x)

D. f(x) – 2

Hướng dẫn:
x

Ta có:

∫ f '(t )dt = f (t )

x
0

= f ( x) − f (0) = f ( x) − 2

0

ở mục 2.3.1 phần định nghĩa tích phân tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1,
câu 1 do tác giả tự viết ra.
3

6


2

3
Câu 2 : Có bao nhiêu số thực a thõa mãn ∫ x dx = 2?

4

a

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

2

∫ x dx
3

Hướng dẫn: Từ

= 2 ta có phương trình: a4 = 8 vậy có một giá trị a thõa

a

mãn.
a

Câu 3: Có bao nhiêu số thực a ∈ (0; 2017) sao cho ∫ sin xdx = 0
0

A. 301

B. 311

C. 321

D. 331

a

Hướng dẫn: ∫ sin xdx = 0 suy ra cosa = 1 hay a = k2π. Do số thực a ∈ (0; 2017)
0

nên 0 < k < 321,0155…. Mặt khác k là số nguyên nên có 321 số k. Từ đó có
321 số thực a tương ứng.
Câu 4: Cho f(x), g(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [0; 1] và
2

∫ g ( x). f '( x)dx = 1 ,

0

2

2

0

0

∫ g '( x). f ( x)dx = 2 . Tính tích phân: I = ∫ [ f ( x).g ( x)]' dx

A. I = 3

B. I = 1
2

2

0

0

C. I = 2

D. -1

Hướng dẫn: ∫ [ f ( x).g ( x)]' dx = ∫ [g ( x). f '( x) + g '( x) f ( x)]dx
2

2

0

0

= ∫ g ( x). f '( x)dx + ∫ g '( x). f ( x)dx = 3
2

Câu 5: Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thõa mãn

∫

f (t ) dt = 3 và

0

2

∫ f (u )du = −2 .

−1

0

Khi đó

∫ f ( x)dx

bằng

−1

A. 5

B. -1
2

Hướng dẫn:

∫

0

f (u )du =

−1

nên ta có:

∫

−1

0

0

−1

−1

C. 1

D. - 5

2

f (u )du + ∫ f (u )du . Do tính chất bất biến của tích phân

∫ f (u )du = ∫ f ( x)dx

0

và

2

2

0

0

∫ f (u )du = ∫ f (t )dt

0

Vậy

∫ f ( x)dx = −5

−1

4

Trong trang này câu 2, câu 3, câu 4, câu 5 là do tác giả viết ra.
7


Câu 65: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [1; 2], f(1) = 1 và f(2) = 2. Tính
2

I = ∫ f '( x)dx
1

A. 1

B. -1
2

C. 3

D.

7
2

Hướng dẫn: I = ∫ f '( x)dx = f ( x) 1 = f (2) − f (1) = 1 [2]
2

1

2.3.2, Ra đề từ các tính chất của tích phân6
Nhắc lại các tính chất:
b

b

a

a

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

Tính chất 1:

(k là hằng số)

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

Tính chất 2:

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

Tính chất 3:

(a < c < b) [1]

Từ các tính chất trên ta có thể các bài tập như sau:
π
2

π
2

0

0

Câu 1: Cho ∫ f ( x)dx = 5 . Khi đó ∫ [ f ( x) + 3sin x]dx bằng:
A. 5 + π

π
2

B. 5 +
π
2

π
2

0

0

Hướng dẫn: ∫ [ f ( x) + 3sin x]dx =
2

Câu 2: Giả sử ∫ f ( x)dx = 2 ,
0

∫

C. 8

D. 2

π
2

π

f ( x )dx + ∫ 3sin xdx = 5 − 3cos x 02 = 8
0

4

4

2

0

∫ f ( x)dx = 3 , ∫ g ( x)dx = 4 . Khẳng định nào sau đây là

sai?
4

A. ∫ ( f ( x) − g ( x))dx = 1

B.

0

C.

4

4

0

0

Hướng dẫn:

∫
0

4

0

0

∫ f ( x)dx > ∫ g ( x)dx
4

∫ f ( x)dx < ∫ g ( x)dx
4

4

D.

∫ f ( x)dx = 5
0

2

4

0

2

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 5 . Suy ra khẳng định C là sai.

Trong trang này câu 6 được trích dẫn từ TLTK số 2
Ở mục 2.3.2 phần các tính chất của tích phân tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK
số 1, câu 1, câu 2 do tác giả tự viết ra.
5
6

8


Câu 37: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thõa mãn f(x) + f(-x) = 5 +
π
3

2cosx, với mọi x thuộc R. Khi đó: I =
A.

5π
+ 3
3

B.

∫

−π
3

f ( x )dx bằng bao nhiêu?

5π
− 3
3

C.
π
3

Hướng dẫn: Đặt t = -x, ta được: I =
π
3

π
3

−π
3

−π
3

∫ [f ( x) + f (− x)]dx = ∫ (5 + 2 cos x)dx =

Câu 4: Biết

f (−t )dt =

π
3

∫

−π
3

D. 3
f (− x)dx . Do đó 2I =

10π
5π
+ 2 3 . Vậy I =
+ 3
3
3

2

3

3

3

0

0

0

2

∫ f ( x)dx = 4 , ∫ [f ( x) − g ( x)]dx = 6 , ∫ [f ( x) + g ( x)]dx = 8 . Tính I = ∫ f ( x)dx

A. I = 11

B. I = 3
3

Hướng dẫn: Ta có:

∫
0

3

∫

∫

−π
3

5π
3

3

0

D. I = -11

3

1
f ( x)dx = [ ∫ [f ( x) − g ( x)]dx + ∫ [f ( x) + g ( x)]] = 6 + 8 = 14 . Suy ra
2 0
0
3

f ( x)dx = 7 . Mặt khác

C. I = -3

∫
0

2

3

0

2

f ( x)dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx . Từ đó:

3

∫ f ( x)dx = 7 − 4 = 3
2

2.3.3, Ra đề từ các phương pháp tính tích phân8
Có hai phương pháp tính tích phân:
• Đổi biến số
Dạng 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = µ (t ) có
đạo hàm liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho µ (α ) = a, µ ( β ) = b và a ≤ µ (t ) ≤ b với
mọi t ∈ [α ; β ] . Khi đó:

b

∫
a

β

f ( x)dx = ∫ f ( µ (t )) µ ' (t )dt
α

b

Dạng 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính

∫ f ( x)dx , ta chọn
a

hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm
liên tục và u(x) ∈ [α ; β ] Giả sử hàm số x = µ (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[α ; β ] sao cho µ (α ) = a, µ ( β ) = b và a ≤ µ (t ) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ] . Khi đó:
b

∫
a

β

f ( x)dx = ∫ f ( µ (t )) µ ' (t )dt [1]
α

• Tích phân từng phần
Trong trang này câu 3, câu 4 do tác giả tự viết ra
Ở mục 2.3.3 phần các phương pháp tính tích phân tác giả tham khảo nguyên văn từ
tài liệu sô 1
7
8

9

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;
b] thì
b

∫ u( x)v' ( x)dx

b

= u ( x)v( x) a - ∫ u ' ( x)v( x)dx
b

a

a

Từ hai phương pháp này ta có thể ra đề như sau:
9

9

Câu 1 : Biết rằng f(x) là hàm số liên tục trên R và

∫ f ( x)dx = 9 . Khi đó, giá trị
0

3

của

∫ f (3x)dx

là:

0

A. 1

B. 2

C. 3
3

Hướng dẫn: Đặt t = 3x. Ta có:

∫

D.4

9

f (3 x)dx =

0

1
f (t )dt = 3
3 ∫0

e

2

Câu 2: Cho I = ∫ ln xdx . Khi đó:
1

e

A. I = ( x ln x + x)

e
2
1

B. ( x ln x − 1)

e
2
1

C. ( x(ln x − 1))

Hướng dẫn: Đặt u = lnx, dv = dx ta được du =

e
2
1

2
2
D. ( ln x )

2 1

1
dx , v = x. Từ đó:
x

e

I = ( x(ln x − 1)) 12
e

Câu 3: Biết

∫x

2

ln xdx =

1

p
m 3 p
m
e +
với
và q là hai phân số tối giản. Khi đó
n
q
n

m p
+ bằng bao nhiêu?
n q

A.

1
3

B.

1
9

C. −

Hướng dẫn: Đặt u = lnx, dv = x 2 dx ta được du =

1
9

D. −

1
3

1
x3
dx , v =

. Từ đó:
x
3

e

m p
1
x3
x3
2e3 1
+ . Vậy + =
I = ( ln x − ) =
n q
3
3
9 1
9 9

9

Trong trang này câu 1, câu 2, câu 3 là do tác giả tự viết ra
10


π
2

10

Câu 4 : Cho tích phân I = ∫ s inx 8 + cos xdx . Đặt u = 8 + cosx thì kết quả nào
0

sau đây là đúng?
9

8

8

1
B. 2 ∫ udu
9

A. I = 2∫ udu
8

C.

9

∫

udu

D.

9

∫

udu

8

Hướng dẫn: Ta nhận thấy (cosx+8)’= -sinx.
π
2

π
2

Vậy I = ∫ s inx 8 + cos xdx = − ∫ 8 + cos xd (8 + cos x) . Đổi cận: x = 0 thì u = 9 và x =
0

0

8

9

π
thì u = 8. Do đó I = − ∫ udu = ∫ udu
2
9
8

Những câu sau xin trích từ đề minh họa lần 3 môn Toán của Bộ GD và ĐT
2

2
Câu 5: Tính tích phân I = ∫ 2x x − 1dx bằng cách đặt u = x 2 − 1. Mệnh đề nào
1

dưới đây đúng?
3

3

2

A. I = 2∫ udu.

C. I = ∫ udu.

B. I = ∫ udu.

0

0

1

2

D. I =

1
udu.
2 ∫1

3

2

Hướng dẫn: I = ∫ x − 1d ( x − 1) . Đặt x − 1 = u nên I = ∫ udu.
2

2

2

0

1

1

1+ e

dx

Câu 6: Cho ∫ e x + 1 = a + b ln 2 , với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a 3 + b3 .
0
A. S = 2.

B. S = −2.

C. S = 0.

D. S = 1.

x

Hướng dẫn: Đặt t = e + 1,
1

dx
ta có ∫ e x + 1 =
0

e +1

∫
2

dt
=
t(t − 1)

e +1

e +1

1 1
t −1
e +1
∫2 [ t − 1 − t ]dt = (ln t ) 2 = 1 − ln 2

Vậy: a = 1 và b = -1 nên S = 0

Trong trang này câu 4 là do tác giả tự viết ra, câu 5, câu 6, câu 7 là tác giả trích dẫn
từ TLTK số 3
10

11


Câu 7: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

1

∫ ( x + 1) f ( x ) dx = 10
'

và 2f ( 1) − f ( 0 ) = 2. Tính

0

1

I = ∫ f ( x ) dx.
0

[3]

A. I = −12.

B. I = 8.

C. I = 12.

D. I = −8.

Hướng dẫn: Đặt u = x + 1; dv = f’(x)dx khi đó du = dx; v = f(x). Suy ra:
1

1

1

0

0

∫ ( x + 1) f ( x ) dx = [(x + 1)f (x)] − ∫ f (x)dx = 2f (x) − f (0) − ∫ f (x)dx
1

'

0

0

Vậy: I = -8
2.3.4, Ra đề từ lớp các tích phân đặc biệt11
a

* Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên [- a; a] thì

∫ f ( x)dx = 0

−a

a

* Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên [ -a; a] thì

∫

−a

2

f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx [4]
0

3

Câu 1: Cho f(x) là hàm số liên tục trên R và là hàm số lẻ. Khi đó

∫ f ( x)dx

bằng

−3

A. 0

B. 6

C. -6

D. – 9

Hướng dẫn: Ta có ngay đáp án từ tính chất của lớp tích phân đặc biệt nêu trên.
Câu 2: Cho hàm số f(x) là hàm số liên tục trên R và là hàm số chẵn sao cho
2

∫

f ( x)dx = 6 . Khi đó

0

∫ f ( x)dx

bằng

−2

0

A. - 6

B. 6

C. 0

D. -12

Hướng dẫn: Do f(x) là hàm số liên tục trên R và là hàm số chẵn nên
2

2

2

0

2

−2

0

−2

−2

0

∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx = 12 . Mặt khác ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

0

nên

∫ f ( x)dx = 6

−2

0

Câu 3: Cho f(x) là hàm số liên tục trên R và là hàm số lẻ sao cho

∫ f ( x)dx = 4 .

−5
5

Khi đó

∫ f ( x)dx

bằng

0

Ở mục 2.3.4 phần tính chất các lớp tích phân đặc biệt tác giả tham khảo từ TLTK số
4, câu 1, câu 2, câu 3 do tác giả tự viết ra
11

12


A. - 4

B. 4

C. 20

D. -20
5

Hướng dẫn: Do f(x) là hàm số liên tục trên R và là hàm số lẻ nên

∫ f ( x)dx = 0 .

−5

Mặt khác

5

0

5

−5

−5

0

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

5

nên

∫ f ( x)dx

=-4

0

1

Câu 412: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thõa mãn

∫ f ( x)dx = 2 . Khi

−1
1

đó giá trị tích phân

∫ f ( x)dx

là:

0

A. 2

B. 1

C.

1
2

D.
1

Hướng dẫn: Do f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R nên

∫

−1

1
4
1

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x )dx .
0

1

Suy ra

∫ f ( x)dx

=1

0

2.3.5, Ra đề từ các công thức ứng dụng tích phân tính diện tích thể tích và

thông qua các bài toán thực tế.13
* Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên
đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x= b được tính theo công thức:
b

S=

∫

f ( x ) dx

a

* Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f 1(x) và y =
f2(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x= b được
tính theo công thức:
b

S=

∫

f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx

a

* Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai
đường thẳng x = a và x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối
tròn xoay. Thể tích V của nó được tính theo công thức:
b

V = π ∫ f 2 ( x)dx

[1]

a

Từ các công thức sau ta có thể ra các đề bài tập như sau:
Câu 1. Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Công thức tính
diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) và các
đường thẳng x = a, x = b là:
12
13

Trong trang này câu 4 , câu 1 do tác giả tự viết ra
Ở mục 2.3.5 phần lý thuyết được tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1
13


b

b

A. ∫ [f ( x) − g ( x)]dx

B.

a

∫

f ( x) + g ( x) dx

a

b

C.

∫
b

b

a

a

D. ∫ g ( x)dx − ∫ f ( x )dx

f ( x) − g ( x) dx

a

Hướng dẫn: Với câu hỏi này yêu cầu học sinh phải nắm vững lý thuyết.
Câu 214: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3, trục
hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2, biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục
tọa độ là 2cm.
A. S = 15(cm2)

B. S =

15
(cm2)
4

C. S =

17
(cm2)
4

D. S = 17(cm2)

Hướng dẫn:
Đây là bài toán tính diện tích hình phẳng đứ về tích phân thông thường, tuy
nhiên mỗi đơn vị độ dài trên các trục tọa độ là 2cm. Do đó sau khi tính xong ta
sẽ nhân kết quả với 4 và đơn vị diện tích là cm2.
Xét phương trình hoành độ giao điểm x 3 = 0 ta có x = 0. Trên [-1; 0] thì y = x 3
không dương còn trên [0; 2] thì y = x 3 dương nên diện tích hình phẳng trên trục
0

2

−1

0

3
3

tọa độ nếu tính theo đơn vị độ dài trên trục tọa độ là: S = ∫ (− x )dx + ∫ x dx =

2

17
4

2

(đơn vị độ dài). Đổi về đơn vị cm thì S = 17(cm )
Câu 3. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ
dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận
trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là
100.000 đồng/ 1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất
đó ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)
A. 7.862.000 đồng.

B. 7.653.000 đồng.

C. 7.128.000 đồng.

D. 7.826.000 đồng.

8
m

Hướng dẫn: Chọn hệ trục như hình vẽ với 2a = 16, 2b = 10. Suy ra a = 8, b = 5.
x2 y2
+
= 1 . Xét đường cong phía trên trục Ox, phương

Khi đó phương trình (E):
64 25
4
20π
x2
y x2
+ 10 3 . Khi
trình đường cong đó là: y = 25 1 − . Suy ra: S = 5 ∫ 1 − dx =
64
3
64
−4
40π
+ 20 3 .
đó diện tích trồng hoa là: S’ = 2S =
3

Do vậy số tiền ông An cần để trồng hoa là:
T = S’. 100 000 ≈ 7.653.000 [2]

8m

Trong trang này câu 2 do tác giả tự viết ra, câu 3 do tác giả
O trích nguyên văn từ
TLTK số 2
14

x
14

Câu 415: Cho hình thang cong H

y

x

giới hạn bởi các đường y = e ,
y = 0, x = 0 và x = ln4.Đường
thẳng x = k (0 < k < ln4)chia (H)
thành hai phần có diện tích là S1
và S2 (Như hình vẽ). Tìm k để
S1 = 2S2
2
A. k = ln 4
3

C. k = ln

B. k = ln2

8
3

O

D. k = ln3

Hướng dẫn: Do S1 = 2S2 ⇒ S1 =

S2

S1

2
2
S=
3
3

ln 4

∫

e x dx =

0

2
3

x
ln4

k

ln 4

2

∫ e dx = 3 e
x

0

x ln 4
0

=2

k

x
x
x
Từ đó: S1 = ∫ e dx = e − 1 = 2 ⇒ e = 3 ⇒ k = ln 3
0

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Bằng việc áp dụng các giảp pháp ra đề để học sinh nắm vững bản chất phần
toán tính phân, chống các mẹo vặt bấm máy tính cầm tay, tôi nhận thấy học sinh
đã có cái nhìn đúng đắn về hình thức thi trắc nghiệm. Các em đã rèn luyện được
nhiều kĩ năng trong tư duy nhanh, nắm vững bản chất của bài toán để phát hiện
và giải quyết vấn đề một cách nhanh nhất, chính xác nhất. Đồng thời giúp các
em nhận ra rõ ràng rằng không có một giải pháp thần thánh nào mà chỉ cần ngồi
bấm máy tính là có thể giải được toán trắc nghiệm. Cần phải có tư duy tốt, có sự
kết hợp giữa nhiều hình thức làm toán thì mới đem lại kết quả cao nhất.
Trong năm học 2016 – 2017 tôi đã áp dụng sáng kiến này đối với đối tượng
là học sinh lớp 12C9 trường THPT Yên Định II. Các em đã có sự chuyển biến

rất khả quan. Điều đó thể hiện qua bảng khảo sát sau:
Điểm khảo sát chất lượng phần toán tích phân năm học 2016 -2017
Lớp

15

Sĩ

Điểm >=8

số

SL

TL%

Trên TB
SL TL%

SL

Dưới TB

Điểm <2.5

TL%

SL TL%

Trong trang này câu 4 do tác giả trích dẫn nguyên văn từ TLTK số 2

15


12C9

39

13

33.3%

30

76.9%

9

23.1%

0

0%

39

20

51.3%

15

38.5%

4

10.2%

0

0%

39

25

64.1%

14

35.9%

0

0%

0

0%

(lần 1)

12C9
(lần 2)
12C9
(lần 3)
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Mỗi một sự thay đổi luôn luôn cần có thời gian và sự trải nghiệm thực tế để
có thể hoàn thiện cũng như thích ứng. Qua sang kiến này giúp cho bản thân tôi
cũng như học sinh nhìn nhận rõ về cách ra đề bài thi trắc nghiệm toán tích phân,
từ đó rút ra kinh nghiệm cho mình về cách dạy cũng như cách tư duy. Với cách
ra đề như đã nêu trên thì học sinh sẽ thấy rõ việc dùng mẹo vặt bấm máy tính
cầm tay ở đây đã bị vô hiệu hóa.
Với mục đích giúp các em học sinh có cái nhìn đầy đủ về hình thức thi trắc
nghiệm môn Toán nói chung và trắc nghiệm toán tích phân nói riêng tôi đã áp
dụng các giải pháp ra đề nêu trên. Tuy rằng các bài toán đó không phải là khó
nhưng nó chứa đựng cách tư duy hay, hiểu đúng bản chất bài toán và đặc biệt
chống được các mẹo vặt bấm máy tính cầm tay.
* Về mặt nhận thức: các em nhận thức được cần phải học tập nghiêm túc và
phải học tập như thế nào, biết tiếp thu khái niệm cơ bản, con đường dẫn đến
định lí, công thức.
* Về mặt hành động: Các em xóa bỏ ngay cái suy nghĩ thi trắc nghiệm toán
là chỉ cần biết bấm máy tính là đủ.
Do là năm đầu tiên Bộ GD và ĐT chuyển sang hình thức thi toán trắc
nghiệm nên tôi chỉ mới áp dụng được giải pháp này ở trường THPT Yên Định
II một năm học 2016 -2017. Nhưng tôi tin rằng với các giải pháp trên sẽ phần
nào chấm dứt được tình trạng lạm dụng máy tính cầm tay trong giải toán trắc
nghiệm và học sinh có phương pháp học tập đúng đắn không những riêng bộ
môn Toán mà cho tất cả các môn học.
Với khả năng nghiên cứu và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế, tôi rất mong
nhận được sự quan tâm đóng góp ý kiến của tổ chuyên môn, sự góp ý của đồng

nghiệp để giải pháp được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.
3.2 Kiến nghị
16


Năm học 2016 – 2017 là năm đầu tiên Bộ GD và ĐT quyết định trong kì
thi THPT Quốc gia môn Toán sẽ thi bằng hình thức thi trắc nghiệm, thời gian
giảm từ 180 phút theo hình thức thi tự luận như trước đây xuống còn 90 phút,
với 50 câu hỏi trắc nghiệm. Sự thay đổi này khiến cho giáo viên gặp không ít
lúng túng. Đa số giáo viên đã quen với cách dạy cho học sinh học tập, làm bài
thi theo hình thức tự luận. Chính vì vậy tôi mong rằng Sở GD và ĐT tổ chức
nhiều hơn nữa các hội thảo, các diễn đàn, các chuyên đề, các văn bản thậm chí
các chương trình đào tạo chuyên sâu để có thể giúp giáo viên nâng cao trình độ
chuyên môn, nắm bắt kịp thời và có cách dạy tốt nhất đối với hình thức thi trắc
nghiệm.
Tài liệu tham khảo
[1]. Sách giáo khoa Giải Tích 12 – chương trình chuẩn của nhà xuất bản Giáo
Dục
[2]. Đề minh họa lần 2 Kì Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia năm 2017 của
Bộ Giáo Dục và Đào tạo.
[2]. Đề minh họa lần 3 Kì Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia năm 2017 của
Bộ Giáo Dục và Đào tạo.
[4]. Sách tham khảo “Phương pháp giải toán tích phân” của đồng tác giả Lê
Hồng Đức – Lê Bích Ngọc.
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được xếp loại C cấp tỉnh
- Sáng kiến kinh nghiệm: “Cách ra đề bài tập có đáp số giống nhau” được Hội
đồng khoa học Nghành đánh giá xếp loại Ccấp tỉnh năm học 2009 - 2010
- Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số giải pháp khắc phục tình trạng học sinh học
yếu môn toán lớp 11 ở THPT” được Hội đồng khoa học Nghành đánh giá xếp

loại C cấp tỉnh năm học 2011 – 2012.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Bé

17


18