Giúp học sinh định hướng nhanh cách giải một số dạng toán nguyên hàm, tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5

Mẫu 1 (1)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH ĐỊNH HƯỚNG NHANH CÁCH GIẢI MỘT SỐ
DẠNG TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

Người thực hiện: Lê Thị Hằng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn : Toán

MỤC LỤC
THANH HOÁ NĂM 2017


-----MỤC LỤC
Đề mục
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. phương pháp nghiên cứu
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận
2.2. Thực trạng của đề tài
2.3. Các giải pháp thực hiện

3. Kết luận – Kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị

Trang
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
19
19
19


1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài
Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi,
đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia. Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiêm
mà không chỉ đơn thuần dùng máy tính Casio mà phải sử dụng các kiến thức cơ
bản một cách hợp lí, sử dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải nguyên
hàm, tích phân một cách nhanh nhất. Muốn vậy phải bồi dưỡng năng lực tư duy
độc lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh và kỹ thuật tính nhanh,
trước tiên phải trang bị cho các em nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, các
khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy, người giáo viên phả vận dụng các

phương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tich cực,
xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục. Học tập phải thực sự là nhu cầu,
mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh. Người thầy giỏi phải
giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên
tưởng, kết nối giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán. Giữa bài toán chưa biết cách
giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh,
từng trường hợp riêng lẻ để giải một bài toán nhanh nhất. Với lý do trên tôi đã
chọn chọn đề tài “giúp học sinh định hướng nhanh cách giải một số dạng toán
nguyên hàm, tích phân”
1.2. Mục đích ngiên cứu: Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân rất phong
phú và đa dạng, nó cũng là bài toán mà ta rất hay sử dụng vào thực tế như: Tính
diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay. Thời lượng trong phân phối
chương trình thì ít ỏi. Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với
mục đích giúp học sinh giải một cách nhanh gọn một số bài tập nguyên hàm, tích
phân. Giúp các em đạt hiệu quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc
gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: Cách giải một số dạng nguyên hàm, tích phân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân
chiếm một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích
phân chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương
nhiều phương pháp và kỹ thuật giải từng dạng cho học sinh. Học sinh chỉ mới
giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó. Do đó các bài toán về
nguyên hàm tích phân chưa khai thác được hết cách giải. Qua quá trình giảng
dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc biệt mạng internet tôi nhận thấy việc dạy
cho học sinh định hướng giải một cách nhanh nhất một bài toán là rất cần kiến
để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ thi đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia
rất cấp bách như hiện nay.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

Khi tôi được phân công dạy môn Toán khối 12 tôi nhận thấy nếu cứ dạy theo
sách giáo khoa học sinh rất mơ hồ, không nhận dạng được các bài toán để giải
quyết nhanh được.Từ đó tôi đã có suy nghĩ là làm cách nào để các em có thể giải
quyết nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân. Trong quá trình giảng dạy tôi đã
tích lũy được “giúp học sinh định hướng nhanh cách giải một số dạng toán
nguyên hàm, tích phân”
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Dựa vào định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính
tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh ngiêm.
Học sinh chỉ biết vận dụng định nghĩa, định lí một cách máy móc mà không phân
loại được thành từng dạng.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích .
Phương pháp chung:
Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng:
n

f(x) =

∑α
i =1

i

f i ( x)

với fi(x) là nguyên hàm trong bảng công thức và αi là các hằng số.

Bước 2: Khi đó:
n

n

i =1

i =1

f ( x)dx = ∫ ∑α i f i ( x)dx = ∑α i ∫ f i ( x)dx

∫

Ví dụ 1: Tinh tích phân : I = ∫

dx
.
1 +e x

Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + ex) – ex.
Ta được:

(

)

1
1+ ex − ex
ex

=
=
1
−
1+ ex
1+ ex
1+ ex

ex 
d 1+ ex
dx = ∫ dx − ∫
⇒ I = ∫ 1 −
1 + e x 
1+ ex


(

)

= x - ln(1 + ex) + C.
1

dx

Ví dụ 2: Tích phân I = ∫ x 2 − 5x + 6 bằng:
0

A. I = 1

B. I = ln

4
3

C. I = ln2

D. I = −ln2

Nhận xét : -Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa về dạng đã gặp
thì bài toán này rất khó giải quyết.
- Ở ví dụ 2 ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức .


1
a
b
=
+
x − 5x + 6 x − 3 x − 2
2

- Nếu bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì ta có thể chia tử cho mẫu
trước rồi mới thực hiện đồng nhất thức .
Ví dụ 3: Giả sử

π
4

∫ sin 3x.sin 2 xdx = (a + b)

0

A. −

1
6

B

C. −

1

2
2

khi đó a+b là

3
10

D.

1
5

Ở ví dụ 3 ta thấy rằng muốn tính được nguyên hàm tích phân ta phải biến đổi
lượng giác tích thành tổng sin3x.sin2x =

1

(cosx – cos5x )
2

Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác ở dạng tích thì cách làm nhanh nhất
thường là biến đổi tích thành tổng.
2.3.2. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân.
Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau.
Định lý1:
a.Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm thì:
∫ f(u)du = F(u) + C.
b. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với đạo
hàm ϕ’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)].ϕ’(t)dt.
Định lý 2:
a. Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm trên [a,b] thì:
ϕ (b )

ϕ (b )

(a)

ϕ (a)

f (u )du = F (u )
∫
ϕ

.

b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = ϕ(t)
xác định và liên tục trên đoạn [α, β] và thoả mãn các điều kiện sau:
(i).
Tồn tại đạo hàm ϕ’(t) liên tục trên đoạn [α, β].
(ii).
ϕ(α) = a và ϕ( β) = b.
b

(iii).

Khi đó :

β

∫ f ( x)dx = α∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt.
a

Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = ϕ(t) hay u = ϕ(x)
sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể.
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:


Dấu hiệu

Cách chọn

π
−π
 x = a sin t ,  2 ≤ t ≤ 2 




 x = a cos t , ( 0 ≤ t ≤ π )

a
− π π 
,t ∈
, , t ≠ 0
x =
sin t
 2 2


a
π
x =
, t ∈ [ 0, π ], t ≠
cos t
2

x = a cos 2t

a2 − x2

x2 − a2

a+x a−x
,
a−x a+x

( x − a )( b − x )

x= a + (b – a)sin2t
t là mẫu số
t = f (x)
t= x+a + x+b

Hàm có mẫu số
Hàm f(x, f (x) )
Hàm f(x) =

1

( x + a )( x + b )

t = lnx

1
x

Hàm f(x) = f(lnnx; )
Ví dụ 1: Tính tích phừn: I = ∫

dx
x x 2 +1

.

Giải: Đổi biến số:
t=

x 2 +1 ⇒t 2 = x 2 +1 ⇒tdt = xdx

Ta có:
I =∫
=∫
=

(

dx

=∫

xdx

x x 2 +1
x 2 x 2 +1
tdt
dt
1  1
1 
=∫ 2
= ∫
−
dt
2
t −1 t
t −1 2  t −1 t +1 

)

1  t −1 
 ln

 +C
2
 t +1 

1 
= ln
2 


x 2 +1 −1 
 +C
2
x +1 +1 

8

Ví dụ 2: Tính tích phân: I =

∫x
3

Giải:
Đặt:

dx

x2 +1


x

t = x 2 + 1 ⇒ dt =

x2 +1

xdx
tdt
⇒ dx =
t
x

dx =

x = 3⇒t =2
x = 8 ⇒t =3

Khi đó:
dx
x x +1
2

=

tdt
x

2

x +1
2

=

(

tdt
dt
1 1
1 
= 2
= 
−
dt
t − 1 t t − 1 2  t − 1 t + 1
2

)

3

3

1  1
1 
1
⇒ I = ∫

−
dt = ( ln t − 1 − ln t + 1 )
2 2  t −1 t +1
2
2
3

1 3
 1 t −1
=  ln
 = ln .
 2 t +1 2 2 2

2.3.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
Nhận xét : Khi gặp các dạng sau thì ta dùng phương pháp tích phân từng phần
Dạng 1: ∫ P(x)axdx, ∫ P(x)sin(ax +b)dx, ∫ P(x)cos(ax + b)dx
đặt: u = P(x)
Dạng 2 : ∫ P(x)logaxdx
Đặt u = loga x
Dạng 3 : ∫ eaxsinbxdx, ∫ eaxcosbxdx
nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax hoặc u = sinbx ;
u = cosbx
Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp
này:
Ví dụ1 : Tinh tích phân : I = ∫

x ln( x +

x 2 + 1)

x 2 +1

dx.

2
Giải: Ta viết lại I dưới dạng: I = ∫ ln( x + x +1)

)

(

x

1+
u = ln x + x 2 + 1

2
x +1


.dx =
⇒ du =
x
Đặt: 
2
x
+
x
+
1

dv
=
dx


x2 +1

v = x 2 + 1


x
x 2 +1

dx.

dx
x2 +1

Đặc biệt :Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm
Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số
f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex . Tính a2 + b2 +c2 +d2
A . 244

B. 247

C. 245

D. 246

- Như vậy khi gặp dạng tích phân này ta tính như thế nào ?
- Cũng dùng tích phân từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :
F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình phương
của các hệ số và chọn đáp án đúng.
Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và
dẫn đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong quá trình giảng bài tôi đưa ra cách tính
nhanh như vậy để có kết quả nhanh trong quá trình làm bài trắc nghiệm.
2.3.4. Xác định tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ.
Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dựng hàm
phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của
hàm số f(x).Để xỏc định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta
tiến hành thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức
là:
 F ( x) + G ( x) = A( x) + C

 F ( x) − G ( x) = B( x) + C '

-

Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) =

1
[A(x) + B(x)] + C.
2

Đối với phương pháp này, điều khác là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao
cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn.

sin x
Ví dụ :
Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =
.
sin x − cos x
cos x
Giải:
Chọn hàm số phụ: g(x) =
.
sin x − cos x
Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta
sin x + cos x
có: f(x) + g(x) =
sin x − cos x
Suy ra:
d (sin x − cos x)
sin x + cos x
dx = ∫
= ln sin x − cos x + C
sin x − cos x
sin x − cos x
sin x − cos x
f ( x) − g ( x) =
=1
sin x − cos x

F ( x) + G ( x ) = ∫

⇒ F ( x) − G ( x) = ∫ dx = x + C '
 F ( x) + G ( x) = ln sin x − cos x + C

1
⇒
⇒ F ( x) = ( ln sin x − cos x + x ) + C
2
 F ( x) − G ( x ) = x + C '

2.3.5. Xác định tích phân của các hàm số lượng giác.
Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau:


a)Sử dụng các nguyên hàm cơ bản
b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm số lượng giác
c ) Sử dụng phương pháp biến đổi các công thức lượng giác
d) Phương pháp đổi biến.
I = ∫ R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các
hướng sau:
- Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx.
- Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx.
- Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx.
- Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu
x
2

tỉ bằng phép đổi biến t = tg .
e)Phương pháp tích phân từng phần.
f)Sử dụng nguyên hàm phụ.
0

Tính: I =

Ví dụ 1 :

−

Giải:

sin 2 x

∫π ( 2 + sin x )

2

dx.

2

Nhận xét

R (sin x, cos x) =

sin 2 x

( 2 + sin x )

2

=

2 sin x cos x

( 2 + sin x )

2

=−

2 sin x(− cos x)

( 2 + sin x ) 2

= − R (sin x,− cos x)

Từ nhận xét ta đổi biến
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;
π
x= −
⇒ t = -1.
2
Khi đó:
Ví dụ 2 : Tìm các hằng số A , B để hàm số f(x) = A.sinπx + B thỏa các
điều kiện:
2

f ' (1) = 2 ;

∫ f (x)dx = 4
0

2


A = −
π
A. 
B = 2

2

A =
π
B. 
 B = −2

π

A = −
2
C. 
B = 2

HD: f ' (x) = A.πcosπx ⇒ f ' (1) = - Aπ mà f ' (1) = 2 ⇒A = −
2

2

0

0

∫ f (x)dx = ...= 2B mà ∫ f (x)dx = 4 ⇒ B = 2

2.3.6. Tích phân các hàm số hữu tỉ :

2

A =
π
D. 
 B = 2
2
π


Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong
các phương pháp cơ bản sau:
a)Phương pháp tam thức bậc hai.
b)Phương pháp phân tích.
c)Phương pháp đổi biến.
d)Phương pháp tích phân từng phần.
e)Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dựng công thức
đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng
phần.
Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng
của từng bài toán cụ thể.
1

Ví dụ 1:

dx
.
x + 4x 2 + 3

Tính tích phân: I = ∫

4

0

Giải:

Biến đổi:

1
1
1 1
1 
= 2
=  2
− 2

2
2
x + 4x + 3 x + 1 x + 3 2  x + 1 x + 3 

(

4

)(

)

Khi đó :
1
1
1  dx
dx 

I =  ∫ 2
−∫ 2
2  0 x + 1 0 x + 3 

.
1

I1 = ∫

+) Ta đi xác định tích phân
−π
π
2;
Đặt x = tgt, 2

0

dx
x2 + 1

.

(

)

dx
1 + tg 2 t dt
dx = 1 + tg t dt & 2
=
= dt
2
x
+
1
1
+
tg
t
Suy ra:
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;
π
x = 1 ⇒t = 4 .

(

2

π
4

Khi đó:

)

I 1 = ∫ dt = t

π
4
0

=

0

π
4

.
1

+) Ta đi xác định tích phừn I 2 = ∫
0

Đặt x = 3 tgt,

−π
π
2
2

dx
.
x +3
2


(

)

dx
3 1 + tg 2 t dt
1
=
=
dt .
Suy ra: dx = 3 1 + tg t dt & 2
2
x +3
3(1 + tg t )
3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;
π
x = 1 ⇒t = .
6
Khi đó

(

1

π
6

∫ dt =
3

I2 =

0

1
3

t

π
6
0

2

)

=

π .
6 3

Từ đó ta có:

1 π
π 
.
I =  −
2  4 6 3 
Nhận xét: Như vậy, ta đã kết hợp nhiều phương pháp lại với nhau để giải ví dụ
trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương pháp là phương pháp
phân tích và phương pháp đổi biến.
0

Ví dụ 2: Giả sử

3x 2 + 5x − 1
2
I= ∫
dx = a ln + b . Khi đó giá trị a + 2b
x−2
3
−1

là
A. 30
B. 40
C. 50
2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

D. 60

b

Để tính tích phân : I = ∫ f ( x, m) dx ta thực hiện theo các bước sau:
a

+) Bước 1: Xétt dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b]. Từ đố phân đoạn [a,
b] thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả
sử:
[a, b] = [a, c1] ∪ [c1, c2] ∪… ∪ [ck, b].
+) Bước 2: Khi đó ta có :
c1

c2

b

a

c1

ck

I = ∫ f ( x, m) dx + ∫ f ( x, m) dx + ... + ∫ f ( x, m) dx
1

Ví dụ :

Tnh tích phân: I = ∫ x x − a dx (a > 0).
0

Giải:
Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu a ≥ 1, khi đó ta có:
1

− x 3 ax 2
I = − ∫ x( x − a)dx =
+
3
2
0

1

=
0

a 1
− .
2 3


Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:
a

1

I = − ∫ x ( x − a )dx + ∫ x( x − a)dx
0

a

a

1

 − x 3 ax 2 
 x 3 ax 2 
 + −

= 
+
2  0  3
2  a
 3
a3 a3 1 a a3 a3 a3 a 1
=−
+
+ − −
+
=
− + .
3
2 3 2 3
2
3 2 3

2.3.8.Một số tích phân đặc biệt :
Khi làm các bài toán nguyên hàm tích phân chúng ta thường lúng túng khi gặp
một số bài toán đặc biệt: Sử dụng tính chẵn , lẻ của hàm số .
α

Nếu hàm số y = f(x) là hàm lẻ thì

∫α f ( x)dx = 0

−
π
4

∫πtan

Ví dụ 1 :

−
4

5

xdx = 0
α

Nếu hàm số y = f(x) là hàm chẵn thì

∫

−α

α

0

a

f ( x )dx
= f ( x)dx
x
+ 1 ∫0

∫α a

Và

α

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x) dx

−

1

1

x4 +1
4
∫−1 e x + 1dx = ∫0 ( x + 1)dx

Ví dụ 2 :

2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm :
1

Câu 1:

2
Tích phân I = ∫ (3x + 2x − 1)dx bằng:
0

A. I = 1
Câu 2:

B. I = 2

C. I = 3

D. I =4

C. 2

D. 0

7
3

D. 4

π
2

Tích phân I = ∫ sin xdx bằng:
0

A. -1

B. 1
1

Câu 3:

2
Tích phân I = ∫ (x + 1) dx bằng:
0

A.

8
3

B. 2

C.

1

Câu 4:

x +1
Tích phân I = ∫ e dx bằng:
0

A. e − e
2

B. e 2

C. e2 − 1

D. e + 1


4

Câu 5:

x +1

Tích phân I = ∫ x − 2 dx bằng:
3

B. −2 + 3ln 2

A. -1 + 3ln2
1

Câu 6:

C. 4 ln 2

D.1 + 3ln 2

x +1

Tích phân I = ∫ x 2 + 2x + 5 dx bằng:
0

A. ln

8
5

1
2

B. ln

8
5

C. 2 ln

8
5

D. −2 ln

8
5

e

Câu 7:

1
Tích phân I = ∫ dx bằng:
x
1

A. e

B. 1

1
e

C. -1

D.

C. e

D. 0

C. 4e4

D. 3e4 − 1

1

Câu 8:

x
Tích phân I = ∫ e dx bằng :

0

A. e − 1

B. 1 − e
2

Câu 9:

2x
Tích phân I = ∫ 2e dx bằng :
0

A. e

B. e4 − 1

4

2

Câu 10:

 2
Tích phân I = ∫  x +
1



19

A.
8
e

Câu 11:

Tích phân I = ∫
1

1 
÷dx bằng:
x4 
23
B.
8

C.

21
8

D.

25
8

1
dx bằng:
x+3

A. ln ( e − 2 )

B. ln ( e − 7 )

 3+ e 
÷
 4 

C. ln 

D.

C. 20

D. 18

ln 4 ( e + 3 ) 
3

Câu 12:

3
Tích phân I = ∫ ( x + 1) dx bằng:
−1

A. 24

B. 22
2

Câu 13:

Tích phân I = ∫
1

1

( 2x + 1)

A. 1

dx bằng:

B.
1

Câu 14: Tích phân I = ∫
0

A. I = 1

2

1
2

C.

1
15

D.

1
4

dx
bằng:
x − 5x + 6
2

B. I = ln

4
3

C. I = ln2

D. I = −ln2


1

Câu 15:

xdx

Tích phân: J = ∫ (x + 1)3 bằng:
0

A. J =

1
8

B. J =
3

Câu 16:

Tích phân K = ∫
2

1
4

C. J =2

D. J = 1

x
dx bằng:
x −1
2

A. K = ln2

8
3

1
2

C. K = ln D. K = ln

B. K = 2ln2

8
3

3

Câu 17:

Tích phân I = ∫ x 1 + x 2 dx bằng:
1

A.

4− 2
3

B.
1

Câu 18:

C.

4+ 2

3

D.

8+ 2 2
3

dx

Tích phân ∫ x − 2 bằng:
0
A. − ln 2
B. ln 3
1

Câu 19:

8−2 2
3

C. − ln 3

D. ln 2

2dx

Tích phân ∫ 3 − 2x = ln a . Giá trị của a bằng:
0
A. 1
B. 2

C. 3

D. 4

1

Câu 20:

∫

Cho tích phân

3

1 − xdx , với cách đặt t = 3 1 − x thì tích phân đã cho bằng

0

với tích phân nào ?
1

1

3
A. 3∫ t dt

2
B. 3∫ t dt

0

0

ln 2

Câu 21:

Tích phân I =

∫ xe

−x

1

3
C. ∫ t dt
0

1

D. 3∫ tdt
0

dx bằng:

0

1
A. ( 1 − ln 2 )

2

B.

1
( 1 + ln 2 )
2

C.

1
( ln 2 − 1)
2

D.

1
( 1 + ln 2 )
4

C.

1
( ln 2 − 1)
2

D.

1
( 1 + ln 2 )

4

2

ln x
dx bằng:
2
x
1
1
B. ( 1 − ln 2 )
2

Câu 22: Tích phân I = ∫

1
( 1 + ln 2 )
2
5
dx
= ln K . Giá trị của K là:
Câu 23: Giả sử ∫
2x − 1
1

A.

A. 9

B. 8

3

Câu 24:

Biến đổi

∫ 1+
0

x
dx thành
1+ x

trong các hàm số sau:

C. 81

D. 3

2

∫ f ( t ) dt , với
1

t = 1 + x . Khi đó f(t) là hàm nào


2
A. f ( t ) = 2t − 2t

2
B. f ( t ) = t + t

f ( t ) = 2t + 2t

2
C. f ( t ) = t − t

D.

2

1

Câu 25:

Đổi biến x = 2sint tích phân

∫
0

π
6

dx
4 − x2

trở thành:

π

6

A. ∫ tdt

π
6

B. ∫ dt

0

0

π
3

C. ∫ 1 dt
t
0

D. ∫ dt

C. 1

D. 2

C. I = sin1

D. Một kết

0

π
2

Câu 26:

dx
bằng:
2
π sin x

Tích phân I = ∫
4

A. 4

B. 3
π
e2

Câu 27:

Cho I = ∫ cos ( ln x ) dx , ta tính được:
1

x

A. I = cos1
quả khác

B. I = 1
2 3

Câu 28:

∫

Tích phân I =
A.

2

π
6

3
x x −3
2

B. π
b

Câu 29: Giả sử ∫ f (x)dx = 2 và
a

A. 5

C.

π
3

b

∫ f (x)dx = 3 và a < b < c thì
c

B. 1

D.

π
2

c

∫ f (x)dx

bằng?

a

C. -1

D. -5

C. I = J

D. I > J > 1

C. 8

D. 4

C. 2π 2 − 3

D. 2π2 + 3

π
4

16

Câu 30:

dx bằng:

Cho I = ∫ xdx và J = ∫ cos 2xdx . Khi đó:
1

0

A. I < J

B. I > J
4

Câu 31:

Tích phân I = ∫ x − 2 dx bằng:
0

A. 0

B. 2
π

Câu 32:

2
Tích phân I = ∫ x sin xdx bằng :
0

A. π − 4

B. π2 + 4

2

Câu 33:

Kết quả của
A. 0 B.-1

∫

1

1

dx
là:
x

2

Câu 34: Cho ∫ f ( x ) dx = 3 .Khi đó
0

A. 2

1
2

C.

B. 4

D. Không tồn tại

2

∫  4f ( x ) − 3 dx

bằng:

0

C. 6

D. 8


3

Câu 35:

Tích phân I =

∫
2

x
x2 −1

A. 2 2

B. 2 2 − 3
1

Câu 36:

1
3

D. 3

1

3
2

1
3

B. ln
3

Tích phân I =

∫
2

Câu 38:

C. 2 2 + 3

Tích phân I = ∫ x 2 + 4x + 3 dx có giá trị là:
0
A. − ln

Câu 37:

dx có giá trị là:

x
x2 −1

3

2

C.

1 3
ln
2 2

1
2

D. − ln

3
2

dx có giá trị là:

A. 2 2
B. 2 2 − 3
C. 2 2 + 3
D. 3
3
2
3
2
Cho f ( x ) = 3x − x − 4x + 1 và g ( x ) = 2x + x − 3x − 1 . Tích phân
2

∫ f ( x ) − g ( x ) dx bằng với tích phân:

−1

2

A.

∫(x

3

−1
1

− 2x 2 − x + 2 ) dx

B. ∫ ( x 3 − 2x 2 − x + 2 ) dx −
−1
1

C.

∫(x

3

−1

− 2x 2 − x + 2 ) dx +

2

∫( x

− 2x 2 − x + 2 ) dx

3

1

2

∫( x

3

1

− 2x 2 − x + 2 ) dx

D. tích phân khác
Câu 39:

π
2

3
x bằng:
Tích phân ∫ sin x.cos
dx

2
0

A.

cos x + 1

1 1
− ln 2
3 2

B.
1

Câu 40:

Cho tích phân I = ∫
0

1 1
+ ln 2
2 2

C.

1 1
− ln 2
2 3

1

2

1
2

D. − ln 2

π

2
x
cos x
dx và J =
∫ 3sin x + 12dx , phát biểu nào sau đây
x +3
0

đúng:
A. I > J

1
3

C. J = ln 5

B. I = 2

D. I = 2J

1

Câu 41:

2
Cho tích phân I = ∫ x ( 1 + x ) dx bằng:
0

1

A.

∫( x

3

0

+ x4 ) dx

1

 x3 x4 
B.  + ÷
4 0
 3

1

x3
C. (x + )

3 0

D. 2

π.a 3
C.
16

π.a 3
D.
8

2

a

Câu 42:

2
2
2
Tích phân ∫ x a − x dx ( a > 0 ) bằng:
0

π.a
A.
8

4

π.a 4
B.
16


1

Câu 43:

x +1
Tích phân I = ∫ x.e dx có giá trị là:
2

0

A.

e +e
2
2

B.

e2 + e
3

C.

e2 − e
2

D.

e2 − e
3

1

Câu 44:

x
Tích phân I = ∫ ( 1 − x ) e dx có giá trị là:
0

A. e + 2

B. 2 - e
D. e
0

Câu 45:

Tích phân I =

cos x

∫ 2 + sin x dx

−

π
2

A. ln3
D. ln2
Câu 46:

C. e - 2

có giá trị là:

B. 0
π
6

Tích Phân

∫ sin

3

C. - ln2

x.cos xdx bằng:

0

A. 6

B. 5

1

Câu 47: Nếu ∫ f (x)dx =5 và
0

A. 8
Câu 48:

C. 4

1

∫ f (x)dx = 2 thì
2

B. 2

D.

1
64

2

∫ f (x)dx

bằng :

0

C. 3

D. -3

π
3

Tích Phân I = ∫ tan xdx là :
0

A. ln2

B. –ln2

C.

1
ln2
2

1
2

D. - ln2

1

Câu 49:

Cho tích phân I = ∫ x ( 1 + x ) dx bằng:

0

1

A.

∫( x
0

2

1

 x 2 x3 
B.  + ÷
3 0
 2

+ x ) dx
3

1

x3
C. (x + )
3 0
2

D. 2

3

Câu 50:

2
Tích phân I = ∫ ln[2 + x(x − 3)]dx có giá trị là:
2

A. −4 ln 2 − 3
5ln 5 − 4 ln 2 + 3

B. 5ln 5 − 4 ln 2 − 3

C. 5ln 5 + 4 ln 2 − 3

D.

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
2.4.1. Với hoạt động giáo dục: Tôi đã sử dụng những phương pháp giải các bài
nguyên hàm ,tích phân này vào giảng dạy thấy đa số học sinh hiểu bài và vận dụng
một cách linh hoạt, dễ dàng khi giải toán, kết quả giải bài tập chương này tăng lên
rõ rệt. Cụ thể như sau .
Năm
Lớp Tổng Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến
Điểm dưới 5


8
học
20062007

20072009
20092010
20112012
20132014
20142015

số
12A7

58

Số
lượng
20

34,5 %

Số
lượng
29

50 %

Số
lượng
9

12A9

56

25

44,6 %

20

37,8%

11

42,6%
39,6,4%

22
23

41 %
48 %

9
6

19,6%
16,4%
12 %

12A2
12A5

54
48

23
19

12A3

44

25

57%

17

38,6%

2

4,4%

12A6
12A7

45
46

22
25

49%
54%

19
18

42 %
39%

4
3

9%
7%

12A2

44

22

50%

19

43%

3

12C5

45

25

55,5%

17

38%

2

Tỷ lệ

Tỷ lệ

Tỷ lệ
15,5%

7%
6,5%

2.4.2. Với bản thân : Trong quá trình giảng dạy khi sử dụng sáng kiến kinh
nghiệm vào dạy thì tôi đã dẫn dắt học sinh áp dụng bài tập một cách nhanh chóng,
định hướng cho học sinh có thể giải nhanh một số bài toán nguyên hàm, tích
phân.2.4.3 Với đồng nghiệp : Trong quá trình sinh hoạt chuyên môn tôi cũng đưa
ra sáng kiến kinh nghiệm của mình, đã được đồng nghiệp trong tổ đón nhận và
đóng góp ý kiến để bài dạy được sâu sắc hơn, hoàn thiện hơn.

2.4.4. Với nhà trường: Với sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong
trường nói chung và của bản thân tôi nói riêng cũng đã đóng góp một phần nhỏ để
chất lượng nhà trường ngay càng đi lên .
3. Kết luận và kiến nghị:
3.1: Kết luận: Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối trong quá
trình dạy và học đối với học sinh THPT và đặc biệt đáp ứng nhu cầu cần thiết đối
với học sinh trong các kỳ thi , đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia hiện hành. Theo tôi
khi dạy phần toán nguyên hàm , tích phân và ứng dụng giáo viên cần chỉ rõ các
dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và
hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp
ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị :
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập
nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .


- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu
lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở
nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.
Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến do mình
viết, không coppi, không sao chép.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Người viết sáng kiến
Lê Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Sách giáo khoa giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục


2]. Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục
[3]. Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục
[4]. Các bài giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất bản giáo dục
[5]. Đề thi ĐH môn toán các năm và đề thi minh họa năm 2017 của bộ GD và ĐT
[6]. Mạng internet.