Giúp học sinh trung bình và yếu ôn tập và làm tốt câu hỏi trắc nghiệm chương 1 giải tích lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH TRUNG BÌNH VÀ YẾU ÔN TẬP VÀ LÀM TỐT
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I GIẢI TÍCH LỚP 12

Người thực hiện: Hoàng Thị Thể
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2017
1


MỤC LỤC
Trang
1.Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài ………………………………………………….
1.2. Mục đích nghiên cứu … …………………………………………....
1.3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………
1.4. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………………

1
1
1
2

2. Các sáng kiến kinh nghiệm

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …………………………… 2
2.2. Thực trạng của vấn đề ……………………………………………… 5
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm ……………………………………….. 6
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm …………………………………18
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận …………………………………………………………… 19
3.2. Kiến nghị ……………………………………………………………19

2


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập.
Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic
và biết cách khái quát tổng hợp. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông. Hơn
thế nữa, cần dạy cho học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc tiếp cận và có khả
năng phân tích, tổng hợp vấn đề.
- Đối với học sinh trường THPT Yên Định 3 là một trường nằm ở khu vực nông
thôn kinh tế còn khó khăn. Bố mẹ các em đa số là làm nông nghiệp hoặc phải đi
làm ăn xa nên chưa có điều kiện chăm lo đến vấn đề học tập của các em. Do vậy,
đa số học sinh còn hạn chế trong việc lĩnh hội tri thức đặc biệt là đối với môn Toán.
- Từ năm 2017 kì thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán được chuyển từ dạng
tự luận sang dạng trắc nghiệm khách quan. Điều này đặt ra một yêu cầu cấp thiết là
phải thay đổi cách dạy của giáo viên và cách học của học sinh. Đối với học sinh
trung bình và yếu để làm được bài thi trắc nghiệm là một vấn đề cần phải quan
tâm.Vì để các em làm được bài thi trắc nghiệm thì không được bỏ sót bất kì phần
nội dung kiến thức nào và không được học tủ theo từng dạng. Trắc nghiệm không

yêu cầu cánh trình bày logic như tự luận mà chủ yếu là cách tư duy, làm thế nào để
giải nhanh, ngắn gọn và kết quả phải chính xác.
- Hiện tại, chưa có tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu về vấn đề giúp học sinh trung
bình và yếu ôn tập và làm tốt câu hỏi trắc nghiệm môn Toán. Đối với phần chương
I giải tích 12 là chương cơ bản quan trọng trong chương trình môn Toán và trong
cấu trúc đề thi thì đây lại là một vấn đề rất cần thiết.
Từ đó tôi mạnh dạn nghiên cứu và đưa ra đề tài “giúp học sinh trung bình và yếu
ôn tập và làm tốt câu hỏi trắc nghiệm chương I giải tích 12’’. Theo tôi đây là một
đề tài cấp thiết đối với giáo viên và học sinh trong bối cảnh hiện nay.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Xuất phát từ lý do chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi thực hiện mục đích sau:
- Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ giảng dạy và nâng cao chất lượng giáo dục.
- Giúp học sinh trung bình và yếu hình thành tư duy logic theo sơ đồ tư duy nhanh
gọn, kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng, thích hợp khi gặp câu hỏi
trắc nghiệm của chương I giải tích 12 được một cách dễ dàng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Đề tài nghiên cứu về cách hướng dẫn học sinh ôn tập và làm tốt câu hỏi trắc
nghiệm của chương I giải tích cơ bản lớp12.
- Đề tài được áp dụng cho đối tượng học sinh trung bình và yếu lớp12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng bao gồm:
- Nghiên cứu lí luận chung xây dựng cơ sở lí thuyết.

1


- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học, lựa chọn những ví dụ cụ thể phân tích
rõ những hướng tư duy cách làm nhanh của từng bài toán.
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình
giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học 2016 - 2017
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong sách giáo khoa giải tích lớp 12 chương I có trình bày:
a. Tính đơn điệu của hàm số
Định lí 1. (Về mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
'
- Nếu f ( x) > 0, ∀x ∈ K thì f(x) đồng biến trên K.
'
- Nếu f ( x) < 0, ∀x ∈ K thì f(x) nghịch biến trên K.

Định lí mở rộng:
'
'
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ( x) ≥ 0 (hoặc f ( x) ≤ 0 ) và đẳng
thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch
biến) trên K.

b. Cực trị của hàm số
Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) và có
đạo hàm trên K hoặc trên K\ {x0}, với h > 0.

 f ' ( x0 ) > 0, ∀x ∈ ( x0 − h; x0 )
- Nếu 
thì x0 làmột điểm cực đại của hàm số f(x)

 f ' ( x0 ) < 0, ∀x ∈ ( x0 ; x0 + h )


 f ' ( x0 ) < 0, ∀x ∈ ( x0 − h; x0 )
- Nếu 
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

 f ' ( x0 ) > 0, ∀x ∈ ( x0 ; x0 + h )

Định lí 3. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng K = (x0 – h; x0 + h)
với h > 0. Khi đó:
- Nếu f’(x0) = 0, f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
- Nếu f’(x0) = 0, f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại
Chú ý
2


Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì:
- x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số.
- f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.
- Điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
c. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
ĐỊNH NGHĨA.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
i) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:
∀x ∈ D : f ( x ) ≤ M

∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M

f ( x) .
Kí hiệu: M = max
D

ii) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:
∀x ∈ D : f ( x ) ≥ m

∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m

f ( x) .
Kí hiệu: m = min
D

- Quy tắc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
i) Tìm các điểm x1, x2, …, xn trên khoảng (a, b) tại đó f’(x) bằng không hoặc
f’(x) không xác định.
ii) Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b).
iii) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
M = max f ( x ) ; m = min f ( x )
[a ;b ]

[a ;b ]

Chú ý
i) Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên khoảng đó.
ii) Nếu hàm số f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn [a; b] thì f(x) đạt
được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
d. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
- Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; + ∞),
(- ∞; b) hoặc (- ∞; + ∞)).
Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim f ( x) = y0
lim f ( x) = y0
x →+∞

x →−∞

3


- Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim+ f ( x) = +∞
lim− f ( x) = −∞
lim+ f ( x) = −∞
lim+ f ( x) = +∞
x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

e. Đồ thị hàm số
- Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có các dạng đồ thị.
a>0
’

Phương trình y = 0 có

hai nghiệm phân biệt

a<0
y

y

o

o

x

x

y

y

Phương trình y’= 0 có
nghiệm kép
o

o

x

x

y

y

Phương trình y’= 0 vô
nghiệm
o

- Hàm số y =

x

o

x

ax + b
(c ≠ 0, ad -bc ≠ 0) có các hình dạng đồ thị.
cx + d

4


y

y

0

0

x

x

ad – bc > 0

ad – bc < 0

- Hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có các hình dạng đồ thị.
a>0
Phương trình
y’= 0 có ba
nghiệm phân
biệt ⇔ ab < 0

y
y

o

Phương trình
y’= 0 chỉ có
một nghiệm
phân biệt
⇔ ab ≥ 0

a<0

o

x

x

y
y

o

x

o

x

2.2. Thực trạng của vấn đề
Trong chương trình giải tích 12 kiến thức về chương I “Ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số’’ là một phần rất quan trọng. Tuy nhiên, các câu hỏi
trắc nghiệm trong sách giáo khoa chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn
giản chưa huy động, khai thác được toàn bộ nội dung kiến thức của chương.
Tôi nhận thấy việc hệ thống hóa kiến thức rèn luyện cho học sinh tư duy theo sơ
đồ nhanh gọn là một điều rất quan trọng. Do vậy, để học sinh học tốt phần này
sau khi học xong kiến thức của chương cần ôn tập hệ thống khái quát lại kiến
thức giúp học sinh có cách nhìn tổng quát. Đối với học sinh trung bình và yếu lại
5


cần phải chỉ ra từng ví dụ cụ thể để các em biết tư duy và tiếp cận bài toán theo
hướng làm trắc nghiệm.
Khi tôi được phân công giảng dạy lớp 12 đặc biệt là khi Bộ Giáo Dục và Đào

Tạo công bố, từ năm 2017 bài thi Trung học phổ thông môn Toán là bài thi trắc
nghiệm khách quan.Tôi nhận thấy học sinh trung bình và yếu của các lớp tôi dạy
làm các câu hỏi trắc nghiệm của chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số’’ còn rất hạn chế. Trong khi đó, các câu hỏi trắc nghiệm trong sách
giáo khoa còn ít và chưa đa dạng và phong phú nên chưa rèn luyện được cách
làm câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh trong phần này. Hơn nữa, các em đã quen
với cách học truyền thống là làm bài tự luận nên khi làm các câu hỏi trắc nghiệm
còn hạn chế trong cách tư duy và tiếp cận bài toán.
Để nâng cao chất lượng của học sinh trung bình và yếu tôi đã mạnh dạn nghiên
cứu và đưa ra các ví dụ phong phú đa dạng hơn. Với mỗi ví dụ trên cơ sở kiến
thức cơ bản tôi đã đưa ra cách tư duy nhanh gọn để chọn đáp án trong thời gian
ngắn phù hợp với kiểu bài thi trắc nghiệm.Tuy nhiên, đề tài này tôi chỉ áp dụng
cho đối tượng học sinh trung bình và yếu nên các ví dụ tôi đưa ra là rất cơ bản
kiến thức trong SGK để phù hợp với đối tượng học sinh.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm
Vấn đề 1. Tính đơn điệu và bảng biến thiên của hàm số
Để giải quyết nhanh các bài toán của phần này học sinh cần nắm vững cách xác
định tính đơn điệu của hàm số và phải lưu ý một số kiến thức sau:
’
-Trong địnhn lí mở rộng thì f (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
ax + b
(c ≠ 0, ad -bc ≠ 0) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng
-Hàm số y =
cx + d
khoảng xác định.
-Mối liên hệ giữa hệ số a và tính đơn điệu của các hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
và y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
- Biết phân tích và hiểu được các số liệu trên bảng biến thiên của một hàm số
Ví dụ 1. Cho K là một khoảng và hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Khẳng
định nào sau đây sai ?

A. Nếu f’(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số là hàm số hằng trên K.
B. Nếu f’(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên K.
C. Nếu f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên K.
D. Nếu f’(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên K.
Hướng dẫn Đáp án C.
Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh nhớ trong định lí mở rộng thì
f ' ( x) ≥ 0 (hoặc f ' ( x) ≤ 0 ) và đẳng thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên.
Khẳng định nào sau đây sai ?

6


−∞

y’

+∞

-

-1
0

+

+∞

3
0

6

-

y
−∞

0

A. Hàm số đồng biến trên (- 1; 3)
B. Hàm số nghịch biến trên (- ∞ ; - 1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; + ∞ ).
D. Hàm số đồng biến trên (0; 6).
Hướng dẫn
Giáo viên cần nhắc học sinh hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng theo
biến x.
Đáp án là phương án D.
Ví dụ 3. Cho bảng biến thiên của một hàm số như hình dưới đây. Hỏi hàm số đó
là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. y = x3 – 2x2 – 4x
B. y= x3 + 3x2 + 3x
C. y = - x3 – 2x2 – x
D. y = - x3 – 3x2 – 3x.
−∞

y’

+∞

-

y

-1
0

+∞

-

1
−∞

Hướng dẫn
Giáo viên cần hướng học sinh tư duy theo các bước:
- Từ mối liên hệ giữa dấu của hệ số a và tính đơn điệu của hàm số bậc ba
y = ax3 + bx2 + cx + d ta loại được phương án A và B
- Từ bảng biến thiên ta có y’ = 0 có nghiệm x = -1 nên ta loại được phương án C
Vậy đáp án là phương án D. y = - x3 – 3x2 – 3x
Ví dụ 4: Cho hàm số y =

x+3
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
x+2

A. Hàm số nghịch biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên \{-2}.
C. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ ; − 2) ∪ (−2; + ∞) .
Hướng dẫn

- Đối với câu hỏi này học sinh sẽ nhầm đáp án đúng là phương án B hoặc D

7


ax + b
(c ≠ 0,ad-bc ≠ 0) luôn đồng
cx + d
biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Vậy ta có đáp án là phương án C.
- Giáo viên cần lưu ý cho học sinh hàm số y =

Ví dụ 5: Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới đây
x
y’

−∞

+∞

2
-

-

+∞

2
y
−∞

A. y =

2x + 3
x+2

B. y =

2x − 3
x−2

C. y =

2
x+3
x−2

D. y =

Hướng dẫn
Giáo viên hướng cho học sinh tư duy theo các bước sau:

2x − 5
x−2

- Hàm số không xác định tại x = 2 nên ta loại phương án A.
- Hàm số nghịch biến nên ta loại phương án D
- Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 từ đó ta loại tiếp đáp án C
Vậy đáp án là phương án B
Ví dụ 6: Hàm số nào sau đây đồng biến trên 

A. y =

2x − 1
x+2

C. y = x 3 − 3x 2 + 3x − 3

B. y = x 4 + 2 x 2 + 2017
D. y = −3x + 2

Hướng dẫn

ax + b
(c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) ,
cx + d
y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) không đồng biến hoặc nghịch biến trên  do đó ta loại
được phương án A và B
- Hàm số y = - 3x + 2 nghịch biến trên  do y’= - 3 < 0
Vậy đáp đúng là phương án C. y = x 3 − 3x 2 + 3x − 3
- Giáo viên cần lưu ý cho học sinh các hàm số y =

Vấn đề 2. Cực trị của hàm số
Để giải quyết nhanh bài toán cực trị của hàm số học sinh cần nắm vững các khái
niệm về cực trị hơn nữa cần dựa vào các dấu hiệu nhận biết sau:
,
- f ( x ) đổi dấu qua x0 thì x0 là điểm cực trị

8

 f , ( x0 ) = 0
- Nếu  ,,
thì x0 là điểm cực trị
 f ( x0 ) ≠ 0

- Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
Nếu phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm thì hàm số có 1 điểm cực trị.
Nếu phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm thì hàm số có 2 điểm cực trị.
- Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
Nếu a.b ≥ 0 thì hàm số có 1 điểm cực trị.
Nếu a.b <0 thì hàm số có 3 điểm cực trị.
ax + b
(c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) không có cực trị
- Hàm số y =
cx + d
1
3

3

Ví dụ 1. Số điểm cực trị của hàm số y = − x − x + 7 là
A. 1
B .0
C.3
D.4
Hướng dẫn
Giáo viên hướng dẫn cho học sinh tư duy theo hướng cần nắm được kiến thức
cơ bản là hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có số điểm cực trị là 0 hoặc 2
Từ đó ta chọn chọn phương án đúng là : B. 0
Ví dụ 2. Số điểm cực đại của hàm số y = x4 + 100 là:

A. 0
B .1
C.2
D.3
Hướng dẫn
Từ hình dạng của đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c với ab ≥ 0 và a > 0 ta nhận thấy hàm
số không có điểm cực đại.
Chú ý
Với câu hỏi nay học sinh sẽ dễ nhầm lẫn với số điểm cực trị của hàm số.
Ví dụ 3. Hàm số y =
A.Có 2 điểm cực trị
C. Có 1 điểm cực trị
Hướng dẫn

x−2
có bao nhiêu điểm cực trị ?
x +1

B. Có vô số điểm cực trị
D. Không có điểm cực trị

Giáo viên cần lưu ý cho học sinh hàm số y =
điểm cực trị.
Vậy đáp án là phương án D.

ax + b
(c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) không có
cx + d

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và có đạo hàm

f’(x) = x3(x + 1)2(x – 2). Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. Có 3 điểm cực trị
B. Có 1 điểm cực trị
C. Không có cực trị
D. có 2 điểm cực trị.
Hướng dẫn
- Học sinh dễ nhầm là hàm số có 3 điểm cực trị do f’(x) = 0 có ba nghiệm.
- Giáo viên cần phân tích cho học sinh f’(x) cần phải đổi dấu qua x0
- Ta thấy f’(x) đổi dấu qua x = 0 và x = 2
- Vậy đáp án là phương án D
9


Ví dụ 5. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 − 1 . Khẳng định nào sau đây đúng.
A. Giá trị cực tiểu bằng 0.
C. Giá trị cực đại của hàm số là yCĐ = -2
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 2
D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (2; −5)
Hướng dẫn
Để làm được câu hỏi này học sinh cần nắm vững các khái niệm điểm cực đại,
điểm cực tiểu, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số và điểm cực trị của đồ
thị hàm số.
-Giáo viên hướng dẫn học sinh chọn đáp án theo các bước:
x = 0
,
-Tính y , = 3x 2 − 6 x ⇒ y = 0 ⇔ 
x = 2
Xét dấu của y’ ta có điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (2; -5)
Vậy đáp án là phương án D.
Ví dụ 6. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − (m − 1) x 2 + 2mx + 3

đạt cực trị tại điểm x = −1
B. m =

A. m = −2

5
4

C. m = −

1
4

D. m = −1

Hướng dẫn
Để làm được ví dụ này học sinh cần nắm vững dấu hiệu II để hàm số đạt cực trị
tại x thì y’’(x) = 0 và y’’(x) ≠ 0
y , = 3x 2 − 2( m − 1) x + 2m
y '' = 6 x − 2(m − 1)
Ta có

 y ,( −1) = 3 + 2( m − 1) + 2m = 0
1
⇒m=−
 ,,
4
 y ( −1) = 6(−1) − 2(m − 1) ≠ 0

Vậy đáp án là phương án C

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 4 − 3mx 2 + 2 có
3 điểm cực trị.
A. m ≥ 0
B. m = 0
C. m > 0
D. m < 0
Hướng dẫn
- Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có 3 điểm cực trị khi a.b < 0
Sử dụng kiến thức này ta chọn ngay được đáp án là C. m > 0
Ví dụ 8. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
x
y’

−∞

1
+

-

2
0

+∞

-

2
y

−∞

−∞

A. Hàm số có đúng hai cực trị.
10


B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2.
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1
D. Hàm số không xác định tại x = 1 .
Hướng dẫn
Giáo viên phân tích cho học sinh từ bảng biến thiên tư duy theo các bước:
- f’(x) đổi dấu qua x = 1 nên x = 1 là điểm cực trị.
- x = 1 là điểm cực đại nên hàm số có giá trị cực đại bằng 2.
Vậy đáp án là phương án B
Chú ý
- Học sinh sẽ nhầm lẫn x = 2 cũng là điểm cực trị do y’(2)= 0.
Giáo viên cần phân tích cho học sinh là y’ không đổi dấu qua x = 2 nên x = 2
không phải là điểm cực trị.
- Học sinh nghĩ rằng x = 1 không phải là điểm cực trị do y’ không xác định tại x = 1
Giáo viên phân tích cho học sinh y’ không xác định tại x = 1 nhưng đổi dấu qua
x = 1 nên x = 1 là điểm cực trị.
Vấn đề 3. Tiệm cận của đồ thị hàm số
Để làm nhanh được các câu hỏi về đường tiệm cận giáo viên cần phân tích cho
học sinh hệ thống và nắm rõ được các nội dung kiến thức sau:
i) Trong định nghĩa về các đường tiệm cận cần ghi nhớ:
- Chỉ cần ít nhất một trong các giới hạn của hàm số đã nêu trong định nghĩa thỏa
mãn là được.
- Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì điều kiện cần là hàm số đó phải xác

định trên một khoảng vô hạn.
ii) Đường tiệm cận của đồ thị các hàm số quen thuộc:
- Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0), y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) không
có tiệm cận
ax + b
(c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) có đường tiệm cận đứng là
cx + d
d
a
x = − và đường tiệm cận ngang là y =
c
c

- Đồ thị hàm số y =

iii) Từ cách tìm giới hạn của hàm số ta thấy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm
số phân thức là các đường thẳng x = x0 với x0 là nghiệm của mẫu thức và không
là nghiệm của tử thức.
Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C): y =
A. x = −

2
3

B. x = 5

C. x = 2

5x + 2
x−3

D. x = 3

Hướng dẫn

11


- Không nên hướng học sinh tìm theo định nghĩa tiệm cận mà cần nhớ kết quả
ax + b
(c ≠ 0, ad - bc ≠ 0)
đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
cx + d
- Từ đó ta có đáp án là: D x = 3
f ( x) = 2 và lim f ( x) = 2 . Phát biểu nào sau
Ví dụ 2. Cho hàm số y =f(x) có xlim
→ +∞
x →−∞
đây đúng:
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang
C. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x = 2
Hướng dẫn
- Từ định nghĩa đường tiệm cận ngang ta có đồ thị có tiệm cận ngang là y = 2
- Từ đó chọn đáp án là B. Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang
2
Ví dụ 3. Cho (C) là đồ thị hàm số y =
. Khẳng định nào sau đây là đúng.
1− x
A.(C) có một tiệm cận ngang

B. (C) không có tiệm cận ngang
C.(C) Có hai tiệm cận ngang
D. (C) không có tiệm cận đứng
Hướng dẫn
- Giáo viên cần lưu ý cho học sinh đây là trường hợp đặc biệt của đồ thị hàm số
ax + b
y=
(c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) với a = 0
cx + d
- Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận là: x = 1 và y = 2
- Từ đó ta chọn đáp án là: A (C) có một tiệm cận ngang

x2 − x + 1
Ví dụ 4. Cho đồ thị (C): y = 2
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x + 2x
A. Đồ thị (C) có 1 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang.
B. Đồ thị (C) có1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
C. Đồ thị (C) có 2 tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang.
D.Đồ thị (C) có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
Hướng dẫn
x2 − x + 1
= 1 suy ra đồ thị (C) có các đường tiệm cận ngang là y= 1.
-Ta có xlim
→±∞
x2 + 2x
- Do x = 0; x = -2 là nghiệm của x2 + 2x và không là nghiệm của x2 – x + 1 nên
ta có hai đường tiệm cận đứng là x = 0; x = -2.
Vậy ta có đáp án là D. Đồ thị (C) có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang
Ví dụ 5. Đồ thị nào trong các đồ thị của các hàm số sau đây có tiệm cận đứng?

3x 2 − 2 x −1
A. y =
x −1

B. y = x4 + x2

C. y = x3 – 3x + 2

D. y =

x +2
1 − x2
12


Hướng dẫn
Ta nhận thấy:
- Phương án B và C đồ thị không có đường tiệm cận
- y=

3 x 2 − 2 x −1
có 3x2 – 2x – 1 và x – 1 đều có nghiệm x = 1 do đó đồ thị hàm
x −1

số không có tiệm cận đứng
Vậy ta chọn được đáp án là: D. y =

x +2
1 − x2

Ví dụ 6. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

x 4 − x2
là:
x2 −1

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn
- Hàm số có tập xác định D = [ −2;2] nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang .
- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = - 1 và x = 1
- Từ đó chọn đáp án là phương án : B.2
Ví dụ 7.Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị
hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận ?
x
y’

−∞

-3
+
2

1
+∞

+∞

-

y
0

−∞

A.4
B.2
C.3
D.1
Hướng dẫn.
Để làm được bài toán này giáo viên cần phân tích cho học sinh trong định nghĩa
về đường tiệm cận chỉ cần ít nhất một trong các giới hạn của hàm số được thỏa mãn.
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = -3; x = 1
và một tiệm cận ngang là y = 0
Vậy đáp án đúng là phương án C.3
Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Để giải quyết nhanh các câu hỏi về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên
một đoạn, một khoảng giáo viên cần ôn tập cho học sinh nắm vững các nội dung
kiến thức sau:
- Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một hàm số là ta sử dụng quy tắc tìm
trên một đoạn hoặc ta lập bảng biến thiên.
- Nếu a là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D thì
phương trình f(x) = a có nghiệm trên tập D.
- Nếu hàm số y= f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên cả [a; b] thì f(x) đạt
giá trị lớn nhất nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
13

- Giá trị cực đại (cực tiểu) chưa phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số.
- Khi bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số mà không yêu cầu trên
đoạn( khoảng) nào thì ta phải hiểu là tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
trên tập xác định của nó.
Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3 x5 − 20 x 3 + 2 trên đoạn [ −1; 2] là:
A. 19
B. 2
C. 66
D. - 62
Hướng dẫn
- Ta có

x = 0

,
y ' = 15 x 4 − 60 x 2 ⇒ y = 0 ⇔  x = −2
 x = 2

- y(0) = 2
y(-1) = 19
y(2) = - 62
Vậy ta chọn đáp án là phương án A. 19
Chú ý
Với bài này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay thử
lần lượt từ giá trị lớn nhất đến các giá trị bé hơn trong các phương án khi nào
thỏa mãn thì dừng lại.
Phương trình 3x 5 − 20 x 3 + 2 = 66 không có nghiệm thuộc đoạn [ −1; 2] nên 66 không
là giá trị lớn nhất của hàm số.
Phương trình 3x 5 − 20 x 3 + 2 = 19 có nghiệm thuộc đoạn [ −1; 2] nên 19 là giá trị lớn
nhất của hàm số.

Vậy chọn A. 19
Ví dụ 2. Giá tri nhỏ nhất của hàm số y = 3x + 10 − x 2 là:
A. Không xác định
B. 3 10
C. −3 10
D. 10
Hướng dẫn
Giáo viên cần phân tích cho học sinh bài toán này tìm giá trị nhỏ nhất trên tập
xác định D =  − 10; 10 
x
x = 3
,
,
y
=
0
⇔
- y = 3−
ta
có
 x = −3
10 − x 2

- y( − 10 ) = −3 10,
Đáp án C.

y( 10 ) = 3 10, y( −3) = − 8, y( 3) = 10

x
Ví dụ 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 trên đoạn [- 1; 1].

A. 2

B. 1

C.

1
2

D. 4

Hướng dẫn
x
- Hàm số y = 2 đồng biến trên  nên đồng biến trên [- 1; 1].
14


1
.
2
Ví dụ 4. Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = − x 3 + 3x + 1
A. Có giá trị nhỏ nhất là 3
B. Có giá trị lớn nhất là 1
C. Có giá trị nhỏ nhất là 1
D. Có giá trị lớn nhất là 3
Hướng dẫn
- Khi gặp bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một khoảng thì ta
thường căn cứ vào bảng biến thiên.
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞)

+∞
x 0
1
y’
+
0
3
y
- Vậy giá trị nhỏ nhất là f ( − 1) =

−∞

1
Từ bảng biến thiên ta có đáp án là phương án D
Ví dụ 5. Hỏi hàm số nào sau đây có giá trị lớn nhất ?
B. y = x 3 − 3x

A. y = 2 x + 1 − x 2

C. y =

1
x

D. y = 2 x 4 + x 2 + 1

Hướng dẫn
Giáo viên cần lưu ý cho học sinh với bài toán này là xét trên TXĐ của mỗi hàm số.
- Từ đổ thị của các hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0), y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
ax + b

(c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) ta loại được các phương án B, C, D.
cx + d
Vậy đáp án là phương án A. y = 2 x + 1 − x 2
y=

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ −1;3] và có bảng biến thiên như
hình sau. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Không có

min y

B.

max y

=2

x
y’

C.

max y

=5

y

D.

min y

[ −1;3]

[ −1;3]

[ −1;3]

[ −1;3]

=1

-1
+

0
0
5

2

Từ bảng biến thiên ta có đáp án là phương án C.

+∞

2

1

Hướng dẫn

3

-2

max y

=5

[ −1;3]

Chú ý
15


Đối với học sinh có thể sẽ chọn phương án A do thấy y’ không xác định tại x = 2
Giáo viên cần phân tích cho học sinh trong quy tắc tìm GTLN và GTNN trên
một đoạn là:
Tìm các điểm x1 x2 …, xn trên khoảng (a, b) tại đó f’(x) bằng không hoặc f’(x)
không xác định
Do đó tồn tại giá trị nhỏ nhất và

min y
[ −1;3]

= y(2) = −2

Vấn đề 5. Đồ thị của hàm số
Để giải quyết nhanh câu hỏi về đồ thị hàm số giáo viên cần lưu ý cho học sinh
các nội dung kiến thức sau:

- Hình dạng đồ thị của các hàm số sau:
y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
ax + b
y=
(c ≠ 0, ad - bc ≠ 0)
cx + d
-Tính từ trái sang phải nếu đồ thị hàm số có hướng đi lên thì hàm số đồng biến
nếu đồ thị hàm số có hướng đi xuống thì hàm số nghịch biến.
Ví dụ 1. Đồ thị hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 1 có dạng:
y
y

2
2

1

1

x
-2

-1

1

x

2

-2

-1

-1

-1

-2

-2

1

2

1

2

1

2

y

y

2

2

1
1

x

x
-2

-1

1

-2

2

-1

-1

-2

-2

3

-1

4

A. Hình 1
B. Hình 2
C. Hình 3
D. Hình 4
Hướng dẫn
Với câu hỏi này nếu học sinh làm bằng cách vẽ đồ thị hàm số thì mất nhiều thời
gian và không phù hợp với bài thi trắc nghiệm.
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh suy luận theo các bước sau:
- Bốn hình đều là dạng đồ thị của hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0).Tuy nhiên hệ
số a = -1 nên ta loại được phương án A Hình 1.
- Ba hình còn lại có số giao điểm với trục Ox là khác nhau nên ta tìm số giao
điểm của đồ thị hàm số.
- Phương trình − x 4 + 2 x 2 − 1 = 0 có hai nghiệm x = 1, x = -1 số giao điểm là 2
16


Từ đó chọn đáp án là D. Hình 4
Ví dụ 2. Quan sát các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị

( C ) của hàm số

y = − x + 3x − 4
3

2

2

Hình 1
-4

Hình 3

Hình 2

Hình 4

A. Hình 1.
B. Hình2 .
C. Hình 3.
D. Hình4
Hướng dẫn
Nếu học sinh vẽ đồ thị hàm số thì mất nhiều thời gian để giải quyết nhanh thì ta
cần tư duy theo các bước:
- Bốn hình đều là đồ thị của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
- Hệ số a = - 1 thì ta loại được Hình 2 và Hình 4
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là điểm (0;-4)
Từ đó ta chọn đáp án là A. Hình 1
Ví dụ 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số
được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x − 4
B. y = −2 x3 + 9 x 2 − 12 x − 4
C. y = x3 − 3x + 2
D. y = x 4 − 3x 2 + 2
Hướng dẫn
Giáo viên hướng cho học sinh tư duy theo các bước sau:
- Đường cong là đồ thị của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0), a >0 nên ta
loại được phương án B và D

- Giao điểm của đường cong với Oy là điểm (0 ;-4) nên ta loại được phương án C
17


Vậy đáp án là phương án A. y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4
Ví dụ 4. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A. y =

2x +1
x +1

B. y =

2 x −1
x +1

C. y =

2x + 3
x +1

D. y =

−2 x + 1
1− x

Hướng dẫn
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh tư duy theo các bước sau :
- Đồ thị trên hình vẽ có các đường tiệm cận là y = 2, x = -1 nên ta loại được

phương án D .
- Giao điểm của đồ thị trên hình vẽ với trục Oy là điểm (0; 1) ta loại được các
phương án B,C
Vậy đáp án là phương án A. y =

2x +1
x +1

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 
và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định
nào sau đây là sai?
A. f(x đồng biến trên khoảng (1; + ∞ )
B. f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 0)
C. f(x) nghịch biến trên khoảng ( − ∞ ; 0)
D. f(x) nghịch biến trên khoảng ( − ∞ ; -1)
Hướng dẫn
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát đồ thị trên hình vẽ và ta thấy trên
khoảng ( − ∞ ; 0) đồ thị hàm số vừa có chiều đi lên vừa có chiều đi xuống.
Vậy đáp án là phương án: C. f(x) nghịch biến trên khoảng ( − ∞ ; 0)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số’’ là nội dung quan
trọng của chương trình môn toán lớp 12 và cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia.Tuy
nhiên đối với học sinh trung bình và yếu để làm được các câu hỏi trắc nghiệm
của phần này là tương đối khó. Do vậy, đây là vấn đề được các thầy cô rất quan

18


tâm chăn trở trong quá trình giảng dạy, ôn tập cho học sinh lớp 12 đặc biệt là đối
tượng học sinh trung bình và yếu.

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm với học sinh lớp 12 trong năm học 2016- 2017.
Khi tôi áp dụng đề tài vào việc giảng dạy thì được các em sinh đồng tình hưởng
ứng và tôi đã nhận được các phản hồi tích cực từ các em. Sau khi áp dụng đề tài
các em đã có hứng thú học hơn đối với môn Toán. Đặc biệt với các em học sinh
trung bình và yếu đã thấy tự tin hơn đối với môn Toán vì các em đã biết cách tư
duy để làm được các câu hỏi trắc nghiệm.
Tại các lớp tôi giảng dạy sau khi áp dụng SKKN này vào ôn tập giảng dạy tôi
thấy kết quả được nâng lên rõ rệ. Cụ thể kết quả bài kiểm tra trước và sau áp
dụng SKKN được thống kê như sau:
Thời gian

Lớp

Tổng
số

Trước khi
áp dung.
Sau khi áp
dụng

12C1
12C5
12C1
12C5

40
44
40
44

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5
Số
Số
Số
Tỷ lệ
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng
lượng
9
22,5%
20
50%
11
27,5%
10
22,3%
22
50%
12
27,3%
11
25%
27
70%
2
5%
13

29,5%
28
63,7%
3
6,8%

SKKN này đã được các đồng nghiệp của tôi hưởng ứng và áp dụng có hiệu quả
trong quá trình giảng dạy. Do vậy, nó đã góp phần nâng cao chất lượng của học
sinh đối với môn Toán. SKKN của tôi đã góp phần giúp các học sinh trung bình
và yếu không còn áp lực về môn toán trong kì thi sắp tới.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1 Kêt luận
Trên đây là những sáng kiến mà tôi đã tìm tòi nghiên cứu và đúc rút được trong
quá trình giảng dạy. SKKN đã được tôi và các đồng nghiệp cùng trường áp dụng
vào quá trình giảng dạy. Đối với các trường ở vùng nông thôn, miền núi khi khả
năng học toán của đa số học sinh còn hạn chế thì áp dụng SKKN này là rất hiệu
quả. Đề tài đã có nhiều ứng dụng trong thực tiễn tương đối hiệu quả. Tuy nhiên
không tránh khỏi một số hạn chế nhất định. Mong được sự quan tâm góp ý của tất
cả các đồng nghiệp để đề tài của tôi được phát huy có hiệu quả hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
3.2 Kiến nghị
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học
tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .

19


- Sở cần phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong tỉnh để
chúng tôi có điều kiện học hỏi kinh nghiệm. Đồng thời sở cần biểu dương các

giáo viên có SKKN có hiệu quả để động viên khích lệ.
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy,có tủ sách
lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm
cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- SKKN này có thể nghiên cứu phát triển mở rộng đến các dạng bài tập khó hơn
để áp dụng đối với học sinh khá giỏi.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết sáng kiến

Hoàng Thị Thể.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
+ Sách giáo khoa giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục
+ Sách bài tập giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục
+ Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục
+ Toán nâng cao giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục
+ Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc Gia năm 2017
+ Tham khảo các tài liệu trên mạng internet.

20