Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT lê văn linh một số phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm về thực tế liên quan tới hình học

I. MỞ ĐẦU
I.1.

Lí do chọn đề tài.

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời
sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp
phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Bởi vậy, việc rèn
luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần
thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học.
Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta
cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức
vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại
những kết quả thiết thực. Vì thế, việc dạy học Toán ở trường phổ thông phải
luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn, nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và
giáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả trong các
lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc - như trong Nghị quyết
TW4 (Khóa VII) đã nhấn mạnh:"Đào tạo những con người lao động tự chủ,
năng động và sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra, tự
lo được việc làm, lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây
dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”.
Với vị trí đặc biệt của môn Toán là môn học công cụ; cung cấp kiến thức,
kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con
người lao động mới làm chủ tập thể, việc thực hiện nguyên lí giáo dục “Học đi
đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã
hội” cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối liên hệ qua lại
giữa kỷ thuật lao động sản xuất, cuộc sống và Toán học.
Những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong Chương trình và sách
giáo khoa, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách
đúng mức và thường xuyên. Trong các sách giáo khoa môn Toán và các tài liệu

tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán
trong nội bộ Toán học; số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và
thực tế trong các sách giáo khoa để học sinh học và rèn luyện còn rất ít. Một vấn
đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy Toán ở trường phổ thông, các giáo viên
không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán
học vào thực tiễn mà theo Nguyễn Cảnh Toàn đó là kiểu dạy Toán “ xa rời cuộc
sống đời thường” cần phải thay đổi.
Việc tăng cường rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán
học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn là rất thiết thực và có vai trò
rất quan trọng.
Và một lý do không kém phần quan trọng là trong chương trình đổi mới
thi THPT năm nay Bộ giáo dục đã thay đổi hình thức thi môn Toán từ tự luận
sang hình thức thi trắc nghiệm. Trong đấy, một trong những câu hỏi vận dụng
cao luôn được giáo viên và học sinh quan tâm đó là những câu hỏi gắn liền với
1


thực tế. Đây là một dạng câu hỏi khá mới với học sinh. Ngoài ra các đồng
nghiệp trong nhà trường vẫn còn ít kinh nghiệm giảng dạy về lĩnh vực này.
Với tất cả những lí do trên đã thúc đẩy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Lê Văn Linh một số phương
pháp giải các bài toán trắc nghiệm về thực tế liên quan tới hình học ”.
1.2.Mục đích nghiên cứu.
Với đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Lê Văn Linh một số
phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm về thực tế liên quan tới hình học ”
người viết mong muốn chỉ ra được cái hay, cái phong phú của ứng dụng toán trong
thực tế để học sinh học toán cảm thấy “ bớt khô khan”, “ bớt cứng nhắc” và bớt tính
hàn lâm hơn. Ngoài ra mục đích nghiên cứu đề tài này giúp học sinh có kỹ năng giải
được các dạng toán thực tế để tự tin hơn trong kỳ thi THPT sắp tới.
1.3.Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:
- Các bài toán trắc nghiệm thực tế liên quan tới hình học.
- Hình thành cô đọng lượng kiến thức thiết yếu, nền tảng làm cơ sở cho
giải các bài toán thực tế liên quan tới hình học.
- Phân dạng được các bài tập và hướng dẫn từng cách giải.
- Khám phá, phân tích nhiều lời giải trên một bài toán, làm rõ quan hệ hữu
cơ, sự hỗ trợ bổ sung cho nhau giữa các cách giải, từ đó hoàn thiện kiến thức và
nắm bắt bài toán một cách thấu đáo và có chiều sâu.
Đề tài này được trực tiếp áp dụng ở các lớp 12B, 12H của trường THPT Lê
Văn Linh năm học 2016-2017.
1.4.Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài này tôi sẽ kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, từ nhiều góc độ
và cấp độ khác nhau để phát hiện rõ vấn đề. Tôi có thể kể tên các phương pháp
tiêu biểu sau:
1.4.1.Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến vấn đề giải các bài
thực tế liên quan tới hình học, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ môn.
Ngoài ra tôi còn nghiên cứu trong các đề thi minh họa do Bộ giáo dục ra trong
năm học 2016-2017, trong các đề thi thử THPT của các tỉnh, thành và của các
trường THPT trong cả nước tổ chức cho học sinh trường mình thi và tham khảo
về các vấn đề trong cuộc sống có nhiều yếu tố hình học trong đó như quản lý
giao thông, điều phối sản xuất...để rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp
học sinh giải được các bài toán liên quan tới hình học.
1.4.2.Phương pháp điều tra thực tế, thu thập thông tin:
Thông qua việc dạy và học môn Hình học ở lớp 12THPT, tôi tổ chức thực
nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi của đề tài. Đó là giúp học sinh rút ra
một số nhận xét và phương pháp giải các bài toán thực tế liên quan tới hình học.
2

1.4.3.Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Tiến hành dạy học và kiểm tra
khả năng ứng dụng của học sinh nhằmbước đầu minh chứng cho khả năng giải
quyết các bài toán thực tế liên quan tới hình học.
Nghiên cứu định tính: Mô tả, giải thích hành vi học tập của học sinh khi được
giảng dạy theo kế hoạch bài học được thiết kế trong đề tài.
Nghiên cứu định lượng: Thu thập, tổng hợp kết quả bài kiểm tra để xem xét
hiệu quả việc sử dụng các phương án giải quyết vấn đề vào dạy học.
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1.Cơ sở lý luận của vấn đề.
Mục đích của dạy học toán, là phải mang lại cho học sinh những kiến thức
phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy
logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân
sinh quan đúng đắn cho các em.
Quan điểm này dẫn đến khái niệm hiểu biết toán. Theo PISA, “ Hiểu biết
toán là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trò của toán học
trong cuộc sống, đưa ra những phán xét có cơ sở, sử dụng gắn kết với toán học
theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của cá nhân đó với
tư cách là một công dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh”.
[1,62-62]
Như vậy, liên hệ với mục tiêu dạy học toán, ta thấy quan điểm này hoàn
toàn phù hợp với thực tế là đại đa số học sinh mà chúng ta đào tạo sau này sẽ là
người sử dụng toán chứ không phải là người nghiên cứu toán. Do đó, xu hướng
đổi mới hiện nay là không nặng nề về mức độ nắm các nội dung có mặt trong
chương trình giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã
học vào thực tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể đối mặt trong
cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường.
Để đáp ứng mục đích dạy học toán ở trên nên hình thức thi THPTmôn
Toán năm nay đã thay đổi sang hình thức thi trắc nghiệm. Và dạng toán thực tế
liên quan tới hình học được sử dụng một cách đầy đủ và đa dạng nhất.
Ngoài ra, các bài toán hình học thuần túy là phần kiến thức rất đa dạng đòi

hỏi kiến thức logic tổng hợp. Để học tốt được phần này học sinh phải nắm chắc
các kiến thức, kĩ năng. Học sinh phải thường xuyên sưu tầm các bài tập mới lạ,
thường xuyên làm bài tập để học hỏi, trau dồi phương pháp, kĩ năng khi biến
đổi. Thế nhưng làm được điều này thật không đơn giản bởi một số nguyên nhân
sau:
- Các bài tập trong SGK của phần này không có, các bài tập trong các đề thi
nằm ở mức độ vận dụng cao.
- Có quá nhiều dạng toán và đi kèm với đó là nhiều phương pháp, dẫn tới
việc các em cảm thấy lúng túng khi gặp dạng toán lạ. Kĩ năng nhận biết, biến
đổi quy lạ về quen còn hạn chế.
- Phần lớn các em không biết vận dụng thế nào, bắt đầu ra làm sao.
3


Do đó tôi luôn luôn có ý định tìm ra một phương pháp mới, để truyền dạy
cho học sinh, một phương pháp đơn giản dễ làm, một phương pháp mà học sinh
cảm thấy phấn chấn khi học, một phương pháp giải quyết được nhiều dạng toán
khó mà các em gặp phải trong quá trình ôn luyện.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1. Thực trạng chung:
Những năm học trước, học sinh còn đang mơ hồ, lúng túng trong suy
nghĩ “ không biết học toán áp dụng được gì trong cuộc sống?”. Ra ngoài thực tế
gặp những vấn đề trong cuộc sống cần phải sử dụng toán thì bỡ ngỡ, lúng túng
không làm được trọn vẹn mặc dù đó có thể là học sinh khá giỏi và các kiến thức
toán liên quan đã học.
Ngoài ra làm thế nào để tìm kiếm các ví dụ và bài tập trắc nghiệm về thực
tế liên quan tới hình học? Đây là một dạng toán mới nên các nhà giáo dục, các
giáo viên dạy toán THPT còn nhiều băn khoăn và suy nghĩ. Bản thân tác giả
cũng chưa được tiếp cận tài liệu chính thống nào chỉ rõ các nguyên tắc, các bước
hoặc có nhiều các ví dụ minh họa một cách đầy đủ về việc tìm kiếm và xây dựng

ví dụ thực tiễn ứng dụng trong toán học.
2.2.2 Thực trạng đối với giáo viên:
Trong những năm trước, dạng toán ứng dụng thực tiễn trong hình học đã
có trong sách giáo khoa, sách bài tập ... nhưng không nhiều, không đa dạng. Mặt
khác, dạng toán này ít “có mặt” trong các kỳ thi THPT, thi học sinh giỏi các cấp
nên giáo viên không chú trọng lắm. Đây là dạng toán đòi hỏi giáo viên có kiến
thức sâu rộng và tư duy linh hoạt để hướng dẫn học sinh giải một cách chính xác
và nhanh chóng đáp ứng được yêu cầu của đề thi THPT năm nay và cho cuộc
sống sau này.
2.2.3 Thực trạng việc học của học sinh lớp 12 trường THPT Lê Văn Linh:
Đối với học sinh ở trường THPT Lê Văn Linh còn nhiều em thuộc diện
con hộ nghèo, hộ cận nghèo, hay có cha mẹ đi làm ăn xa phải ở nhà với ông bà,
cô bác. Nên có nhiều gia đình chưa thực sự quan tâm tới việc học tập của con
em mình. Do đó, học sinh chưa ý thức được nhiệm vụ của mình, chưa chịu khó,
tích cực tư duy suy nghĩ tìm tòi cho mình những phương pháp học đúng để biến
tri thức thầy truyền thụ thành của mình. Cho nên sau khi học xong bài, các em
chưa nắm bắt được hết lượng kiến thức thầy giảng nên rất nhanh quên và kỹ
năng tính toán chưa nhanh, nhất là phần ứng dụng thực tiễn vào hình học.
Sau đây là số liệu điều tra lực học môn toán đầu năm học 2016-2017 của
khối 12 trường THPT Lê Văn Linh. Mà cụ thể là 2 lớp tôi được phân công giảng
dạy là lớp 12B và lớp 12H như sau:
Lớp
12B
12H

Tổng số
HS
38
36

Giỏi
SL
2
0

Khá
%
5,3
0

SL
8
5

%
21,0
13,8

Trung
bình
SL
%
21 55,3
23 63,8

Yếu,kém
SL
7
8

%
18,4
22,2
4


2.2.4 Sự cần thiết của đề tài:
Năm học 2016-2017 là năm đầu tiên đổi mới hình thức thi THPT đối với
môn Toán từ tự luận sang trắc nghiệm. Do đó sẽ có sự thay đổi về hình thức dạy
và học của giáo viên và học sinh. Làm thế nào để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi
THPT này? Đó là câu hỏi lớn đối với mỗi giáo viên và học sinh.Các bài toán
thực tế liên quan tới hình học là một dạng toán khó và có phần “hơi lạ” đối với
học sinh lớp 12. Nên người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng
học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc này cần thực hiện trong những tiết học tự
chọn, học thêm bằng biện pháp rèn luyện tích cực: Nêu các dạng toán và phương
pháp giải cho từng ví dụ cụ thể.
2.3.Giải pháp để sử dụng giải quyết vấn đề.
Do các bài toán về thực tế liên quan tới hình học đa dạng và cần kiến thức
tổng hợp nên giáo viên cần củng cố lại những kiến thức liên quan cho học sinh.
Sau đógiáo viên chia dạng và nêu phương pháp giải cho từng dạng (có phân tích,
bình luận từng cách giải (nếu cần thiết). Các bài toán trắc nghiệm về thực tế liên
quan tới hình học có rất nhiều dạng bài tập và mỗi bài có thể có rất nhiều cách
giải. Nên để trình bày hết được các dạng cùng với phương pháp giải của từng
dạng thì đề tài này sẽ vượt quá số trang cho phép. Vì vậy tôi chỉ mạn phép trình
bày một số dạng cơ bản, thông thường nhất và hay gặp trong các kỳ thi THPT.
Khi giáo viên truyền đạt kiến thức trong đề tài này thì học sinh cần phải
nắm vững:
- Công thức tính chu vi, diện tích của các hình, thể tích của các khối hình.
- Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng,
nửa khoảng.

- Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng, tính thể
tích của khối tròn xoay.( Phần lý thuyết cơ bản ở phần phụ lục).
- Dùng thành thạo máy tính bỏ túi CasioFX570ESplus hoặc máy tính
casioFX570VNplus, nhất là chức năng của phím TABLE để tìm GTLN, GTNN
và cách tính tích phân.
Sau đây là những giải pháp mà tôi sẽ sử dụng để rèn luyện học sinh khi
giải những bài toán trắc nghiệm liên quan tới thực tế về hình học:
Các bài toán thực tế liên quan tới hình học có rất nhiều nhưng khi phân
dạng thì thường có thể xếp vào 3 dạng sau:
- Những bài toán thực tế về xét GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng,
đoạn.
- Tính diện tích, thể tích các hình các khối bằng cách cắt, lắp ghép từ các
hình cơ bản.
- Áp dụng các ứng dụng của tích phân để tính diện tích của các hình
phẳng, thể tích của các vật thể tròn xoay.
2.3.1. Những bài toán thực tế về xét GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng,
đoạn.
5


- Trong các bài toán thực tế về hình học có rất nhiều dạng toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất về diện tích, về thể tích, về quảng đường đi, về chi phí để
làm một việc gì đó... mà mỗi dạng toán này có rất nhiều cách giải. Với mỗi bài
có một cách giải tối ưu, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách lựa chọn
cách giải nhanh nhất, hiệu quả nhất phù hợp với thi trắc nghiệm. Ở những bài
toán này thường chia làm hai dạng. Đó là tìm điều kiện để diện tích, thể tích của
vật, quảng đường đi, hoặc chi phí lớn nhất, bé nhất và dạng thứ hai là tìm diện
tích, thể tích của các vật, chi phí sử dụng ... đạt giá trị lớn nhất (bé nhất). Sau
đây tôi sẽ trình bày phương pháp giải từng dạng và nêu một số ví dụ điển hình.
Dạng 1: Tìm điều kiện để diện tích, thể tích của vật, quảng đường đi, hoặc

chi phí lớn nhất, bé nhất.
Cách giải:
Bước 1: Chọn ẩn x là yếu tố cần tìm (Nếu giả thiết chưa có) và đặt điều kiện.
Bước 2: Chuyển đổi ngôn ngữ từ bài toán thực tế sang bài toán đại số bằng cách
lập phương trình tìm biểu thức cần tính giá trị lớn nhất (giá trị bé nhất).
Bước 3: Tìm GTLN (GTNN)của hàm số trên dựa vào một trong các cách sau:
- Cách 1: Sử dụng MTBT nhập công thức hàm số trên và thay từng giá trị của
x (4 đáp án) và so sánh để tìm kết quả đúng.
- Cách 2: Lập bảng biến thiên tìm GTLN (GTNN) trên khoảng, đoạn, nửa
khoảng.
- Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM
n

a + a + ... + an
( a + a + ... + an )
a1a2 ...an ≤ 1 2
⇔ a1a2 ...an ≤ 1 2 n
n
n

n

(a1 , a2 ,..., an ∈ R + )

- Cách 4: Sử dụng chức năng phím table trong MTBT
Ví dụ 1. (Đề minh hoạ lần 1 kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho một tấm nhôm
hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại
như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được
có thể tích lớn nhất.

A. x = 6.
B. x = 3.
C. x = 2.
D. x = 4.
2
Lời giải: Thể tích của hộp là: V ( x ) = x(12 − 2 x) . Ta cần tìm x để V ( x) đạt giá trị
lớn nhất với 0 < x < 6.
Cách 1: Ta thay lần lượt các giá trị của x đã cho vào thể tích và so sánh kết quả.
Ta có: V (6) = 0; V (3) = 108; V (2) = 128; V (4) = 64. Suy ra C là đáp án.
Cách 2: Ta có: V ( x) = 4 x( x 2 − 12 x + 36) = 4 x 3 − 48 x 2 + 144 x.
6


x = 6
.
x = 2

2
Suy ra: V '( x) = 0 ⇔ 12 x − 96 x + 144 = 0 ⇔ 

Mà V (6) = 0; V (2) = 128 nên x = 2 thoả mãn đề bài. Đáp án C.
Cách 3: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
3

 2 x + (6 − x) + (6 − x) 
V ( x) = 2.2 x(6 − x)(6 − x) ≤ 2. 
 = 2.64 = 128.
3


Đẳng thức xảy ra khi: 2 x = 6 − x ⇔ x = 2 .Đáp án C.
AM -GM

Cách 4: Sử dụng chức năng TABLE của MTCT (fx-570ES PLUS,fx-570VN
PLUS) ta thực hiện như sau:
- Bước 1: Nhấn MODE chọn chức năng TABLE bằng cách nhấn số 7.
- Bước 2: Màn hình yêu cầu nhập hàm số f ( x) học sinh hãy nhập V ( x) vào sau
đó nhấn dấu “=”.
- Bước 3: Màn hình hiện “Start?” đây là giá trị bắt đầu, học sinh nhấn số 1 sau
đó nhấn dấu “=”. Màn hình hiện tiếp “End?” đây là giá trị kết thúc, học sinh
nhấn số 6 sau đó nhấn dấu “=”. Màn hình lại hiện tiếp “Step?” đây là khoảng
cách mà học sinh cần chọn để đặt khoảng cách cho các giá trị của x, với bài này
học sinh nhấn số 1 sau đó nhấn dấu “=”.
- Bước 4: Màn hình hiện lên cho ta một bảng gồm hai cột, cột bên trái là giá trị
của x kèm theo đó là các giá trị tương ứng của V ( x) ở bên phải. Dựa vào bảng
này học sinh sẽ suy ra x = 2 thì V ( x) lớn nhất. Đáp án C.
Ví dụ 2. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên bờ biển ở vị trí A
đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là đoạn
BC có độ dài 1 km, khoảng cách từ A đến B là 4 km. Người ta chọn một vị trí là
điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện từ A đến S, rồi từ S đến C như
hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền mất 3000USD, mỗi km
dây điện đặt ngầm dưới biển mất 5000USD. Hỏi điểm S phải cách điểm A bao
nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện là ít nhất.

A. 3, 25 km.
B. 1 km.
C. 2 km.
Lời giải: Đặt AS = x, 0 < x < 4 ⇒ BS = 4 − x.

D. 1, 5 km.

Tổng chi phí mắc đường dây điện là: f ( x) = 300 x + 500 1 + (4 − x ) 2 .
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x) trên (0; 4).
Cách 1: Ta có:
7


13

x=

−(4 − x)
9
4
f '( x) = 0 ⇔ 300 + 500
= 0 ⇔ 3 1 + (4 − x) 2 = 5(4 − x) ⇒ ( x − 4) 2 =
⇔
.
2
19
16
1 + (4 − x)
x =

4

So sánh với điều kiện ta có x = 13 = 3, 25. Đáp án A.
4

Cách 2: Ta có:

f (3, 25) = 1600; f (1) = 1881,13883; f (2) = 1718, 033989; f (1,5) = 1796, 291202.

Như vậy ta cũng tìm ra A là đáp án.
Ví dụ 3. Để tạo một mô hình kim tự tháp Ai Cập, từ một tấm bìa hình vuông
cạnh 5dm, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có đáy là cạnh của hình
vuông rồi gấp lên sau đó ghép lại để thành một hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh
đáy của mô hình bằng bao nhiêu thì mô hình có thể tích lớn nhất.

A. 3 2 dm. B. 5 dm.
2

2

C. 5 2 dm. D.

2 2 dm.

2

Giải: Gọi độ dài cạnh đáy của mô hình là x, chiều cao của
mô hình là h.Ta có: x + 2 BC = 5 2 ⇒ BC =

5 2−x
.
2

2
2
Suy ra: h = BC 2 − AB 2 = x − 10 2 x + 50 − x = 50 − 10 2 x .

4

4

2

Thể tích của mô hình là: V ( x) = 1 .x 2 . 50 − 10 2 x .
3

Ta có: V 2 ( x) =

(

2

)

1 4
.x . 25 − 5 2 x . V ( x) lớn nhất khi V 2 ( x ) lớn nhất hay
18

f ( x) = −5 2 x 5 + 25 x 4

lớn nhất.
x = 0

4
3
Mà f '( x) = 0 ⇔ −25 2 x + 100 x = 0 ⇔ 

x = 2 2

. Suy ra: x = 2 2 thoả mãn đề bài.

Ví dụ 4: Một màn hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so
với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định
·
vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất ( BOC
là góc nhìn). Hãy xác định độ dài
AO để nhìn được rõ nhất.

8


A. AO = 2, 4 m.
B. AO = 2 m.
C. AO = 2, 6 m.
D. AO = 3 m.
Lời giải: Đặt: AO = x, ( x > 0) ⇒ OB = x 2 + 3, 24, OC = x 2 + 10, 24. Ta có:
cos BOC =

OB 2 + OC 2 − BC 2 x 2 + 3, 24 + x 2 + 10, 24 − 1,96
=
=
2OB.OC
2 x 2 + 3, 24. x 2 + 10, 24

x 2 + 5, 76
x 2 + 3, 24. x 2 + 10, 24

.

Góc nhìn BOC lớn nhất khi cos BOC bé nhất.
t + 5, 76

t + 5, 76

.
Cách 1: Đặt: t = x 2 , t > 0. Xét: f (t ) = t + 3, 24. t + 10, 24 = 2
t + 13, 48t + 33,1776
t 2 + 13, 48t + 33,1776 −

Ta có:
f '(t ) =

t 2 + 13, 48t + 33,1776
t 2 + 13, 48t + 33,1776

f '(t ) =

(

0,98t − 5, 6448
t + 13, 48t + 33,1776
2

t + 6, 74

)

3

.(t + 5, 76)

⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = 5, 76.

Suy ra cos BOC lớn nhất khi x = 5, 76 = 2, 4. Đáp án A.
Cách 2: Ta sẽ thử xem trong 4 đáp án đã cho đáp án nào làm cos BOC nhỏ nhất
thì đó là đáp án cần tìm.Đặt: f ( x) =
f (2, 4) =

x 2 + 5, 76
x 2 + 3, 24. x 2 + 10, 24

. Ta có:

24
= 0,96; f (2) = 0,9612260675; f (2, 6) = 0,960240166; f (3) = 0,960240166.
25

Từ đó suy ra A là đáp án.
Ví dụ 5: Một nhóm học sinh dựng lều khi đi dã ngoại bằng cách gấp đôi tấm bạt
hình chữ nhật có chiều dài 12 m, chiều rộng 6 m (gấp theo đường trong hình
minh hoạ) sau đó dùng hai cái gậy có chiều dài bằng nhau chống theo phương
thẳng đứng vào hai mép gấp. Hãy tính xem khi dùng chiếc gậy có chiều dài bằng
bao nhiêu thì không gian trong lều là lớn nhất.

9

A.

5 m.

B. 1,5 m.

C. 1 m.

D.

3 2
2

m.

Lời giải: Không gian trong lều lớn nhất khi diện
tích tam giác ABC lớn nhất.
1
32
9
9
AB. AC .sin A = sin A ≤ sin 90 Ο = .
2
2
2
2
Ο
·
Đẳng thức xảy ra khi: ABC = 90 .
3.3

3 2
.
Suy ra chiều cao của gậy chống là 2 2 =
2
3 +3

Ta có: S ABC =

Đáp án D
Dạng 2: Tìm diện tích, thể tích của các vật,chi phí sử dụng ... đạt giá trị lớn
nhất (bé nhất)
Cách giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ (có thể cần nhiều ẩn) và đặt điều kiện.
Bước 2: Dựa vào giả thiết rút ẩn này theo ẩn kia (nếu nhiều ẩn) để lập được
phương trình biểu thức cần tính GTLN, GTNN đơn giản nhất.
Bước 3: Tìm GTLN(GTNN) của hàm số trên dựa vào các cách:
- Cách 1: Lập bảng biến thiên tìm GTLN (GTNN) trên khoảng, đoạn, nửa
khoảng.
- Cách 2: Nếu là hàm bậc 2 ta dựa vào nhận xét:
−b
Khi a > 0 hàm f ( x) đạt GTNN tại x = .
2a
−b
Khi a < 0 hàm f ( x) đạt GTLN tại x =
2a

Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức AG-MG
n

a + a + ... + an

( a + a + ... + an )
a1a2 ...an ≤ 1 2
⇔ a1a2 ...an ≤ 1 2 n
n
n

n

(a1 , a2 ,..., an ∈ R + )

Ví dụ 6: Một cửa sổ có dạng như hình vẽ, bao gồm: một hình chữ nhật ghép với
nửa hình tròn có tâm nằm trên cạnh hình chữ nhật. Biết rằng chu vi cho phép
của của sổ là 4 m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu.

4
m2 .
A. 4 + π

8
m2 .
B. 4 + π

C.

2 m2 .

8
m2 .
D. 4 + 3π
10

Lời giải: Gọi độ dài của IA và AB lần lượt là a và b (0 < a, b < 4).
Vì chu vi của cửa sổ bằng 4m nên ta có: π a + (2a + 2b) = 4 ⇔ b =

4 − π a − 2a
(1).
2

Diện tích của cửa sổ là:
S (a ) =

π a2
4 − π a − 2a
π a2
π

+ 2a.
⇔ S ( a ) = 4a − 2a 2 −
= −  2 + ÷a 2 + 4a.
2
2
2
2


Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của S (a ) trên (0; 4).
Cách 1: Ta có: S '(a) = 0 ⇔ 4 − 4a − π a = 0 ⇔ a =
 4
 4+π

S (a) = S 
Suy ra: max
0< x < 4

4
.
4+π

8

.
÷=
 4+π

Cách 2: Do S (a) là hàm số bậc hai có hệ số của a 2 âm nên nó đạt giá trị lớn
nhất khi:
a=−

4
 
π 
2.  −  2 + ÷
2 
 

⇔a=

4
 4

⇒ max S (a ) = S 
0< x < 4
4+π
 4 +π

8

.
÷=
 4 +π
Đáp án B.

Ví dụ 7: Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết
rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một
vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện nhỏ
nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5
m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m.

A. 120 m2.
B. 156 m2.
C. 238,008(3) m2.
Lời giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ.
Đặt CJ = x, ( x > 0).
Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng
nên:

D. 283,003(8) m2.

x 12
60

=
⇔ KB = .
5 KB
x

Diện tích của khu nuôi cá là:
S ( x) =

1
150
 60

( x + 5).  + 12 ÷ = 6 x +
+ 60 .
2
x
 x


Ta có S '( x) = 0 ⇔ 6 −

150
= 0 ⇔ x = 5.
x2
11


Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là: S (5) = 120 (m2).
Ví dụ 8: Bác nông dân làm một hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài
song song với bờ tường. Bác chỉ làm ba mặt vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ

tường. Bác dự tính sẽ dùng 180 m lưới sắt để làm nêntoàn bộ hàng rào đó. Hỏi
diện tích lớn nhất bác có thể rào là bao nhiêu.

A. 3600 m2 .
B. 4000 m2 .
C. 8100 m2 .
D. 4050 m2 .
Lời giải: Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ tường, y là chiều dài cạnh
vuông góc với bờ tường. Theo bài ra ta có: x + 2 y = 180 ⇔ x = 180 − 2 y .
Diện tích của khu trồng rau là: S = x. y = (180 − 2 y ). y.
1
1 (2 y + 180 − 2 y ) 2
⇔ S ≤ 4050.
Ta có: S = .2 y.(180 − 2 y ) ≤ .
2
2
4
Đẳng thức xảy ra khi: 2 y = 180 − 2 y ⇔ y = 45 (m). Đáp án D.

2.3.2. Tính diện tích, thể tích của các hình, các khối bằng cách cắt hoặc lắp
ghép từ các hình cơ bản.
Ở dạng toán này các vật được tính diện tích, hay tính thể tích là những
hình thực tế nên nhìn tương đối phức tạp. Vì vậy không có công thức tính trực
tiếp các hình đó. Nên học sinh cần khéo léo nhận dạng các hình phải tính được
cắt ra từ các hình cơ bản nào hoặc được lắp ghép, kết nối từ những hình khối
nào để từ đó áp dụng đúng công thức đã học mà tính toán cho chính xác. Và để
giải được các bài toán này một phần rất quan trọng học sinh cần nắm được đó là
công thức tính diện tích, thể tích các hình, khối cơ bản.
Ví dụ 9: Một người thợ cơ khí vẽ bốn nửa đường tròn trên tấm nhôm hình
vuông cạnh 1 m, sau đó cắt thành hình bông hoa (phần tô đậm trong hình vẽ).

Hãy tính diện tích của bông hoa cắt được.

A. 0,56 m2.
B. 0,43 m2.
C. 0,57 m2.
D. 0,44 m2.
Lời giải: Nhận xét: Diện tích của nửa cánh hoa sẽ bằng diện
tích của một phần tư đường tròn trừ đi diện tích tam giác ABC
(xem hình vẽ bên).
Diện tích của nửa cánh hoa là:

1
1
.3,14.0,52 − .0,52 = 0, 07125 ( m2 ).
4
2
12


Diện tích của bông hoa cắt được là: 0, 07125.8 = 0,57 (m2 ).
Ví dụ10. (Đề minh hoạ kỳ thi THPTQG năm 2017) Từ một tấm nhôm hình chữ
nhật có kích thước 50 cm× 240 cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có
chiều cao bằng 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dưới đây):
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành
mặt xung quang của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của
V1

hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số V .

2

V1

1

V1

V1

V1

A. V = 2 .
B. V = 1.
C. V = 2.
D. V = 4.
2
2
2
2
Lời giải : Gọi bán kính đáy của thùng gò theo cách 1 là R1 và bán kính đáy của
thùng được gò theo cách 2 là R2 . Ta có:

V1
50.π R12
R12
=
=
.
V2 2.50.π R22 2 R22

V1 4
R1
R12
Mà: 240 = 2π R1 = 4π R2 ⇒ = 2 ⇒ 2 = 4. Suy ra: V = 2 = 2. Đáp án C.
R2
R2
2

Ví dụ 11. Một miếng nhôm hình vuông cạnh 1,2 m được người thợ kẻ lưới
thành 9 ô vuông nhỏ có diện tích bằng nhau. Sau đó tại vị trí điểm A và A ' vẽ
hai cung tròn bán kính 1,2 m; tại vị trí điểm B và B ' vẽ hai cung tròn bán kính
0,8 m; tại vị trí điểm C và C ' vẽ hai cung tròn bán kính 0,4 m. Người này cắt
được hai cánh hoa (quan sát một cánh hoa được tô đậm trong hình). Hãy tính
diện tích phần tôn dùng để tạo ra một cánh hoa.

A. 0,3648 m2.

B. 0,3637 m2.

C. 0,2347 m2.

D. 0,2147 m2.

13


Lời giải: Tổng diện tích của hai cánh hoa bằng hai lần diện tích
của phần tô đậm trong hình vẽ.
- Do đó diện tích của một cách hoa bằng diện tích của phần tô

đậm trong hình vẽ.
Suy ra diện tích của cánh hoa là:
 π .1, 22 1
  π .0, 42 1

S =
− .1, 22 ÷− 
− .0, 42 ÷ = 0,3648 (m2). Đáp án A.
2
2
 4
  4


Ví dụ 12. Một cái xô bằng inox có dạng như hình vẽ. Các kích thước (tính cùng
đơn vị dài) cũng được cho kèm theo. Tính diện tích xung quanh của cái xô.

A.1440π .
B. 756π .
C.1323π .
D. 486π .
Lời giải: Nếu úp ngược lại thì cái xô có hình nón cụt, hãy tính diện tích xung
quanh của nó thông qua diện tích
của hai hình nón khác.
S xq = π .12. ( 36 + 108 ) − π .9.108 = 756π

Ví dụ 13: Một tấm nhôm hình tròn
tâm O bán kính R được cắt thành
hai miếng hình quạt, sau đó quấn

O

A

(N)

thành hai hình nón ( N1 ) và ( N 2 ).
Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích
của hai hình nón đó. Tính tỉ số
k=

V1
,
V2

B

o
·
biết AOB = 90 .

A. k = 2.

B. k =

7 105
.
9

C. k = 3.

D. k =

3 105
.
5

(N)

Lời giải: Gọi r1 , r2 lần lượt là bán kính đáy của hình nón ( N1 ), ( N 2 ).
3
4

3
4

1
4

1
4

Ta có: S xqN = π rl1 = π R 2 ⇒ r1 = R; S xqN = π r2l = π R 2 ⇒ r2 = R.
1

2

1
9 2 R 7
2

2
2
Sh
R .
V1 3 1 1 π r1 R − r1
16
4 = 3 105 .
=
=
Suy ra: = 1
Đáp án D
2
2
2
V2
5
1
R
15
π
r
R
−
r
2
2
2
S2 h2
R .
3

16
4

14


2.3.3. Áp dụng các ứng dụng tích phân để tính diện tích của các hình phẳng,
thể tích của các vật thể tròn xoay.
Với dạng toán này cũng rất phong phú về bài tập. Nếu các hình được tính diện
tích hay thể tích có liên quan tới đường cong nhưng không áp dụng được công
thức tính diện tích hình tròn, tính thể tích khối cầu thì ta hướng dẫn cho học sinh
cácứng dụng của tích phân. Quan trọng ở dạng toán này là học sinh biết gắn hệ
trục tọa độ để tìm được phương trình của các đường cong là đơn giản nhất. Từ
đó dựa vào các ứng dụng của tích phân để tính được diện tích của các hình
phẳng, thể tích của các khối tròn xoay chính xác và nhanh nhất.
Ví dụ 14. (Đề thi thử nghiệm kỳ thi THPTQG năm 2017) Ông An có một mảnh
vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông
muốn trồng hoa trên một mảnh đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục
đối xứng như hình vẽ. Biết kinh phí trồng hoa là 100000 đồng/ 1 m2. Hỏi ông An
cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất đó (số tiền được làm tròn đến
hàng nghìn).
8m

y

A. 7862000 đồng.
B. 7653000 đồng.
C. 7128000 đồng.
D. 7826000 đồng.
Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Ta có phương

trình đường elip là:

x2 y 2
+
= 1.
64 25

Phần đường cong phía trên trục Ox có phương trình là:
y = 5 1−
4

4

O

8 x

4

x2
. Suy ra diện tích mảnh đất trồng hoa là:
64

S = 2. ∫ 5 1 −
−4

5

x2
dx.

64

Sử dụng MTCT ta tính được 2S = 76, 5289182 (m2).
Suy ra số tiền để trên mảnh đất này là: 2S .100000 = 7652891,82 (đồng).
Do làm tròn đến hàng nghìn nên số tiền là 7653000 đồng. Đáp án B.
Ví dụ 15. Một thùng rượu vỏ gỗ có bán kính đáy là 30 cm, bán kính lớn nhất ở
thân thùng là 40 cm. Chiều cao của thùng rượu là 1 m. Hãy tính xem thùng rượu
này chứa được bao nhiêu lít rượu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết
rằng cạnh bên hông của thùng rượu có hình dạng của parabol.

15


15329π
lít.
150
305π
C.
lít.
3

A.

502π
lít
3
406π
D.
lít.
3

B.

Lời giải: Toạ độ hoá như hình vẽ. Thể
tích của thùng rượu chính là thể tích
của khối tròn xoay tạo thành khi quay
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = −

1 2
x + 40 , trục Ox và hai đường thẳng x = −50, x = 50 (như trong
250

hình vẽ bên) xung quanh trục Ox.
Công việc tính toán tiếp theo xin để lại cho học sinh.
Ví dụ 16.Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng
người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau
40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m.
Bề dày và bề rộng của nhịp cầu không đổi là 20 cm (mặt cắt của một nhịp cầu
được mô phỏng như hình vẽ). Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao
nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 20 m3.
B. 50 m3.
C. 40 m3.
Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình
vẽ.Gọi parabol đi qua điểm I là ( P1 ) và có
phương trình: y = ax 2 + bx + x. Do ( P1 ) đi qua
gốc toạ độ nên ( P1 ) : y = ax 2 + bx.
Sử dụng tiếp dữ kiện ( P1 ) đi qua I và A ta

suy ra ( P1 ) : y = −

D. 100 m3.

2 2 4
x +
x.
625
25

Do đó parabol phía dưới có phương trình là ( P2 ) : y = −

2 2 4
1
x +
x− .
625
25
5

16


Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là S = 2S1 với S1 là phần diện tích giới hạn bởi các
parabol ( P1 ) và ( P2 ) trong khoảng (0; 25).
25
 0,2  2 2 4 
1 
S
=

2
−
x
+
x
dx
+
dx  = 9,9 (m2).
∫ 
Suy ra:
÷
∫
25 
5 
 0  625
0,2
Thể tích của mỗi nhịp cầu là: V1 = S .0, 2 = 9,9.0, 2 = 1,98 (m3).
Suy ra lượng bê tông để xây dựng các nhịp cầu là: 2.(1,98.10) = 39, 6 (m3) (*).

Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần 40 m3.
Chú ý: Tại (*) chúng ta nhân 2 vì là chúng ta phải xây dựng cả hai bên cầu.
Ví dụ 17. Người thợ gốm nặn một cái chum từ một khối đất hình cầu bán kính
5 dm bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu đối diện nhau. Hãy tính thể tích của cái
chum biết rằng chiều cao của nó là 60 cm.

A. 414,96 lít.
B. 128,74 lít.
C. 104,(6) lít.
D. 135,02 lít.
Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.

Thể tích của cái chum là thể tích của hình giới hạn bởi
đường tròn có phương trình y = 25 − x 2 và các đường
thẳng x = ±3 khi quay xung quanh trục Ox.

y

x

3

Suy ra: V = π ∫ (25 − x 2 )dx = 132π ≈ 414,96
−3

Đáp án A

6
m

Ví dụ 18: Một công ty quảng cáo X muốn làm một
12
B
mI
bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một A
E
F
bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao
BC = 6 m , chiều dài CD = 12 m (hình vẽ bên). Cho biết
MNEF là hình chữ nhật có MN = 4 m ; cung EIF có
hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là
M

N
trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. D
4
C
m
Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m 2 . Hỏi
công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?
A. 20.400.000đồng.B. 20.600.000 đồng.C. 20.800.000 đồng.D. 21.200.000đồng.
Lời giải: Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành
1
6

trùng với đường thẳng MN thì parabol có phương trình là y = − x 2 + 6 .
2



- Khi đó diện tích của khung tranh là S = ∫  − x 2 + 6 ÷dx =
1
6
−2 



208 2
m
9

17

- Suy ra số tiền là:

208
× 900.000 = 20.800.000 đồng. Đáp án A
9

Ví dụ 19: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 7 và hình
tròn (C) có tâm A, đường kính bằng 14 (hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể
tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng AC.
A. V =

(

)

343 4 + 3 2 π
6

. B. V =

(

)

343 7 + 2 π
6

. C. V =

(

)

343 12 + 2 π
6

. D. V =

(

)

343 6 + 2 π
6

.

B

B
C

n

C

A

A

D

D

Giải: Công thức tính thể tích chỏm cầu có bán kính R, chiều cao h là:
Vchom cau = π

∫(
R

R −h

)

2
h

R 2 − x 2 dx = π h 2  R − ÷
3


Gọi V1 là thể tích khối nón tròn xoay khi quay tam giác BCD quanh trục AC, V2
là thể tích khối cầu khi quay hình tròn quanh trục AC, V3 là thể tích khối chỏm
cầu khi quay hình phẳng (BnD) quanh trục AC thì V = V1 + V2 − V3
2

1 7 2 7 2
2π.73
4 3 4π.73
=

, V2 = π.7 =
Tính được: V1 = π 
.
÷.
3  2 ÷
2
12
3
3

7 2
Khối chỏm cầu có bán kính R = 7, chiều cao h = 7 −
nên

(

)

(

2

)

3
343 4 + 3 2 π
h  8 − 5 2 π.7

. Do đó: V =
. Đáp án A

V3 = πh  R − ÷ =
3
12

6
2

2.3.3. Các biện pháp tổ chức thực hiện:
2.3.3.1. Về thời gian:
Sau khi cho học sinh học xong bài tích phân thì tiến hành bồi dưỡng tài
liệu trên cho học sinh với quỹ thời gian 10 tiết học:
+) 9 tiết là thực hành 3 dạng bài tập, mỗi dạng 3 tiết.
+) 1 Tiết kiểm tra đánh giá kết quả.
2.3.3.2.Về đối tượng giảng dạy:
Học sinh lớp 12B, 12H năm học 2016- 2017 Trường THPT Lê Văn Linh .
2.4 .Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4.1. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục.
Các bài toán thực tế liên quan tới hình học giúp cho người học nhận thấy toán
học gần gũi với đời sống thực tế, ngoài ra còn giúp cho học sinh có cái nhìn tổng
18


quan hơn về các phần lý thuyết toán học đã được học trong trường THPT, từ đó
có niềm hứng thú và yêu thích môn toán hơn.
Giải được các bài toán thực tế liên quan tới hình học giúp cho học sinh phát triển
tư duy logic, linh hoạt và tổng hợp vì cách giải của các dạng toán này có thể sử
dụng kiến thức đại số ( tìm GTLN, GTNN trên khoảng, đoạn ...) hay giải tích
( Sử dụng tích phân ...) để giải chứ không phải mình kiến thức hình học.
2.4.2. Hiệu quả của SKKN đối với bản thân, đồng nghiệp, nhà trường.

Khi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải
các bài toán trắc nghiệm về thực tế liên quan tới hình học”, Tôi nhận thấy bản
thân tôi đã mở rộng thêm kiến thức, nâng cao sự hiểu biết của mình về kiến thức
cuộc sống, về phương pháp giảng dạy.
Sau khi tham gia dự giờ, thăm lớp áp dụng đề tài, đồng nghiệp cảm thấy hứng
thú hơn với tiết hình học lớp 12, và rút ra được một số kinh nghiệm trong giảng
dạy phần này. Tôi thiết nghĩ trong dạy học, đặc biệt dạy học môn Hình học,
người thầy nên chủ động tìm ra hướng khai thác mới giúp học sinh tiếp cận bài
học một cách chính xác, khoa học, dễ dàng.
2.4.3. Kết quả kiểm nghiệm.
Với phương pháp trên, tôi thực hiện ở các lớp: 12B, 12H tại trường THPT
Lê Văn Linh nơi tôi đang công tác năm hoc 2016 - 2017. Học sinh được kiểm
tra trắc nghiệm khách quan dạng câu hỏi "có hoặc không?": Anh/ chị có thích
học phần các bài toán thực tế liên quan tới hình học không?
Kết quả như sau:
Tổng số
Có hứng thú
Không hứng thú
Lớp
HS
Số học sinh
Tỉ lệ %
Số học sinh
Tỉ lệ %
12B
38
36
94,7%
2
5,3%

12H
36
33
91,7%
3
8,3%
Còn với câu hỏi kiểm tra kiến thức, kĩ năng trong 1 tiết dưới dạng bài toán trắc
nghiệm (Câu hỏi, đáp án ở phần phụ lục).
Kết quả như sau:
Tổng
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Lớp số Số
Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số
Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ
HS HS %
HS %
HS
%
HS
%
HS
%
12B 38
3
7,9
10 26,3

21
55,3
4
10,5
0
0
12H 36
1
2,8
7
19,4
22
61,1
6
16,7
0
0
Như vậy, dạy học theođề tài “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải
các bài toán trắc nghiệm về thực tế liên quan tới hình học”, đã tạo ra hứng thú
và hiệu quả hơn trong việc giải các bài toán trắc nghiệm trong đề thi thử THPT.
Kết quả này cho ta hy vọng kết quả tốt đẹp ở kỳ thi THPT sắp tới.

19


III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua thử nghiệm đã nêu, Tôi thấy giờ dạy hình học lớp 12 không còn
không khí nặng nề như trước, học sinh đã bước đầu nhận được dạng để tìm ra
phương pháp giải, biết xuất phát từ đâu, tự giải được bài toán, có kỹ năng giải

thuần thục. Điều đó cho thấy để giúp được học sinh lớp 12 trường THPT Lê
Văn Linh có một số phương pháp để giải các bài toán thực tế liên quan tới hình
học giáo viên cần hướng dẫn cụ thể, giúp các em nhìn nhận dạng cùng cách giải,
đi từ bài toán dễ đến nâng cao dần. Để thực hiện được điều đó giáo viên cần phải
tích cực nghiên cứu tài liệu, trau dồi năng lực chuyên môn, lắng nghe ý kiến góp
ý của đồng nghiệp cùng sự phản hồi từ học sinh.
Bên cạnh những mặt đạt được cũng còn những hạn chế, một số học sinh
yếu không nắm được cách chuyển từ toán thực tế sang toán phổ thông đang học
nên không giải được; kỹ năng tính toán yếu nên nắm được phương pháp nhưng
giải chưa đúng hoàn toàn được. Tôisẽ cố gắng tìm ra biện pháp để nâng cao hiệu
quả trong những năm sắp tới.
Trong khi viết đề tài này, bản thân không tránh khỏi những sai sót, rất
mong quý thầy cô, và các đồng nghiệp trong tổ toán góp ý chân thành để tôi rút
kinh nghiệm cho những năm sau viết tốt hơn; có phương pháp giảng dạy về toán
ứng dụng tốt hơn.
3.2. Kiến nghị
Để dạy tốt được phần này cho học sinh ở mỗi lớp 12 trong nhà trường thì
cần phải có thêm thời gian dạy trên lớp là 10 tiết, nên tôi mong nhà trường tạo
điều kiện về thời gian cho tôi được dạy trong các tiết tự chọn và các tiết dạy học
thêm của các lớp. Ngoài ra, có thể phổ biến rộng rãi sáng kiến kinh nghiệm này
trong cả tổ toán để các thầy cô giáo đồng nghiệp xem như là một tài liệu tham
khảo để giảng dạy
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 26 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Ký tên

Lê Thị Tuyên

20


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ VĂN LINH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT LÊ VĂN
LINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC
NGHIỆM VỀ THỰC TẾ LIÊN QUAN TỚI HÌNH HỌC

Người thực hiện: Lê Thị Tuyên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2017
21


MỤC LỤC
3.1. Kết luận....................................................................................................20

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP

LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Tuyên
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Văn Linh
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh
giá xếp loại

Kết quả
đánh giá

Năm học đánh
giá xếp loại
22


(Phòng, Sở, xếp loại (A,
Tỉnh...)
B, hoặc C)
1.

“Hướng dẫn học sinh lớp 12
trường THPT Lê Văn Linh
Sử dụng MTBT Casio
Sở GD&ĐT
FX_570MS để giải một số
Thanh Hóa
dạng toán thi HSG cấp

THPT ”

2.

“Rèn luyện học sinh lớp 12
trường THPT Lê Văn Linh Sở GD&ĐT
một số phương pháp tính Thanh Hóa
tích phân ”

C

2011-2012

C

2013-2014

PHỤ LỤC 1:

A. Nội dung kiến thức cần nhớ.
1. Công thức tính chu vi, diện tích của các hình, thể tích của các khối
hình.
• Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao
AH, đặt a = BC , b = CA, c = AB, h = AH .
Chu vi tam giác là: C = a + b + c.
Diện tích tam giác là:
S=

1
1

ah = ab.sin C =
2
2

p ( p − a )( p − b )( p − c ).
23


(với p =

C
).
2

• Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc ở tâm
bằng α (tính theo radian).
α
⇔ P = α R.
2π
α
Diện tích của hình quạt là: S = 2π R 2 . ⇔ S = α R 2 .
2π

Chu vi của hình quạt là: P = 2π R.

• Hình nón, khối nón:
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy
bằng r và có độ dài đường sinh bằng l là: S xq = π rl.
Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay bằng diện tích xung
quanh của hình nón cộng với diện tích đáy của hình nón:

Stp = π rl + π r 2 .
Thể tích của khối nón tròn xoay có có chiều cao h và bán kính đáy bằng r là:
1
V = π r 2 h.
3

• Hình trụ, khối trụ:
Diện tích xuang quanh của hình trụ có bán kính đáy bằng r và
có đường sinh bằng l là: S xq = 2π rl.
Diện tích toàn phần của hình trụ bằng diện tích xung quanh
của hình trụ đó cộng với diện tích hai đáy của hình trụ:
Stp = 2π rl + 2π r 2 .
Thể tích của khối trụ có chiều cao h và có bán kính đáy bằng r
là: V = π r 2 h.
Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng và khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) thì
h = l.

• Mặt cầu, khối cầu:
Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S = 4π R 2 .

R

4
3

Khối cầu bán kính R có thể tích là: V = π R 3 .
2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng, nửa
khoảng.
đây là một bài toán khá quen thuộc với rất nhiều học sinh, tác giả sẽ
không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Tác giả nêu thêm một số công thức sau:
24


•

Cho hàm số y = ax 2 + bx + c, nếu
thì hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất
a>0
trên R khi x = −

•

Cho hàm số y = ax 2 + bx + c, nếu
thì hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất
a<0
trên

•
•

b
.
2a

R

khi x = −

b

.
2a

AM − GM a + b
(a + b) 2 Đẳng
Với a, b là các số thực dương thì ta có:
ab ≤
⇒ ab ≤
.

2

thức xảy ra khi a = b.
Với
là
a, b, c
3

abc

AM −GM

≤

các

số

thực

dương

4

thì

ta

có:

a +b+c
(a + b + c )3
⇒ abc ≤
. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
3
27

Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc.
3. Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích
của khối tròn xoay.
Nếu hàm số
liên tục trên đoạn
y = f ( x)
[ a; b] thì diện tích S của hình
•
b

phẳng giới hạn bởi các đường : y = f ( x), y = 0, x = a, x = b là S = ∫ f ( x) dx.
a

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
•

y = f ( x), y = g ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b là
b

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx.
a

Cho hàm số
•

y = f ( x)

liên tục trên

[ a; b] . Thể tích V của khối tròn xoay tạo

bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = f ( x), y = 0, x = a, x = b, khi
b

2
quay xung quanh trục hoành được tính theo công thức : V = π ∫ f ( x)dx.
a

Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường :
•
y = f ( x), y = g ( x), (0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ); f, g liên tục trên đoạn

[ a; b] ), x = a, x = b,

25