Một số biện pháp giúp học sinh yếu kém lớp 12 trường THPT triệu sơn 5 giải bài tập tính đơn điệu của hàm số

Danh mục chữ cái viết tắt
Ký hiệu viết tắt
Ý nghĩa
BGD & ĐT

Bộ Giáo dục và Đào tạo

NXB GD

Nhà Xuất bản Giáo dục

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập

THPT

Trung học phổ thông

THPT QG

Trung học phổ thông Quốc gia

BBT

Bảng biến thiên

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm

TXĐ

Tập xác định

1


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình giải tích 12 bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số
là một bài toán cơ bản và đặc biệt quan trọng vì bài toán này áp dụng trực tiếp
vào khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số, các bài toán chứa
tham số,… Giải quyết tốt vấn đề này không chỉ giúp cho học sinh giải quyết
được các câu hỏi về khảo sát hàm số và các bài toán liên quan trong kỳ thi
THPT QG mà còn có một nền móng vững chắc để học các chương tiếp theo của
giải tích 12.
Tuy nhiên, đối với đối tượng là học sinh yếu kém, các em vẫn gặp rất
nhiều khó khăn đòi hỏi giáo viên phải có những biện pháp giúp các em vượt qua

những khó khăn để tạo lại bước đà ngay từ đầu năm.
Đặc biệt năm 2017 là năm đầu tiên thi THPT QG với hình thức thi trắc
nghiệm đòi hỏi học sinh phải giải nhanh và thật chính xác các câu hỏi thì một
trong những phương pháp tối ưu hơn cả đó là: “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số”.
Biết được đây là vấn đề khá nan giải, cùng kinh nghiệm giảng dạy lớp 12
chưa nhiều và khả năng nghiên cứu còn nhiều hạn chế, nhưng với tinh thần nhiệt
huyết, yêu nghề, thương yêu học sinh, đặc biệt là các em yếu kém, năm học
quyết định tương lai sau 12 năm ngồi trên ghế nhà trường. Vì vậy tôi mạnh dạn
chọn đề tài: “Một số biện pháp giúp học sinh yếu kém lớp 12 Trường THPT
Triệu Sơn 5 giải bài tập tính đơn điệu của hàm số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với SKKN này tôi mong muốn có thể giúp các em học sinh yếu kém có
thể giải được những bài tập cơ bản về “Tính đơn điệu của hàm số”, góp phần
nâng cao chất lượng dạy học và kết quả kỳ thi THPT QG. Giúp cho các đồng
nghiệp có thêm sự lựa chọn khi nghiên cứu và áp dụng tính đơn điệu của hàm số
vào từng nội dung chương trình Toán THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh yếu kém khi thực hành giải toán 12 trường THPT Triệu Sơn 5.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, SKKN sử dụng những phương pháp sau:
Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của BGD & ĐT, phân tích
kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu,...). Bước đầu mạnh dạn thay
đổi từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm và kết quả thu được.
Lựa chọn các ví dụ và bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học
sinh từ đó đưa ra lời giải nhanh và chính xác nhất.

2

1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Khi tôi được phân công nhiệm vụ dạy toán lớp 12B4 là lớp chỉ có đối
tượng học sinh trung bình trở xuống, cùng với năm 2017 là năm đầu tiên BGD
& ĐT tổ chức kỳ thi THPT QG với hình thức thi trắc nghiệm đối với môn Toán.
Trước tình hình đó, tôi vô cùng trăn trở “làm thế nào để học sinh có thể nắm
được kiến thức cơ bản, làm thế nào để học sinh có thể giải nhanh và chính xác
các câu hỏi” và trong quá trình giảng dạy tôi đã trả lời cho được cho câu hỏi đó
là: “Đầu tiên dạy cho các học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, tiếp theo cho học
sinh thực hành giải thành thạo tạo thành kỹ năng, cuối cùng cho học sinh luyện
đề trắc nghiệm”. Đặc biệt, trong quá trình luyện đề trắc nghiệm tôi phân tích các
sai lầm học sinh thường gặp, các điểm chú ý để học sinh có thể tìm nhanh và
chính xác đáp án.

3


2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận
SKKN này dựa trên cơ sở:
Các kiến thức cơ bản về sự biến thiên của hàm số.
Các kiến thức cơ bản về dấu của nhị thức bậc nhất, dấu của tam thức bậc hai.
Các kiến thức cơ bản về đạo hàm.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Về phía giáo viên
Tuy trình độ chuyên môn và khả năng tay nghề của giáo viên còn hạn chế
nhưng nhìn chung tất cả giáo viên đều có tâm huyết, yêu nghề, yêu học sinh và
cố gắng hết mình vì sự phát triển của các em.
2.2.2. Về phía học sinh
Học sinh tuy chưa giỏi nhưng ngoan và biết đoàn kết, giúp đỡ lẫn nhau
trong học tập và rèn luyện.

Tinh thần vựơt khó để học tập của học sinh chưa cao, thái độ và động cơ
học tập còn có những điểm chưa tốt.
2.2.3. Chất lượng học tập môn Toán của học sinh lớp 12B4
Khảo sát bằng bài kiểm tra đầu năm.
Để phát hiện chính xác những học sinh yếu kém trong học tập môn Toán,
biện pháp tốt nhất là cho học sinh làm bài kiểm tra.
Kết quả đánh giá chất lượng đầu năm của học sinh lớp 12B4

STT Môn
01

Lớp

Toán 12B4

Sĩ
số
43

T.Bình
Giỏi
trở lên
SL % SL %
5 11,6 0
0

Khá
SL
0

%
0

T.Bình

Yếu

SL % SL %
5 11,6 10 23.2

Kém
SL
28

%
65.2

Nhận xét: Đầu năm học 2016 – 2017 do nguyện vọng của phụ huynh, học sinh
và tình hình của kỳ thi trung học phổ thông quốc gia nên trường THPT Triệu
Sơn 5 đã tổ chức cho học sinh khối 12 kiểm tra chất lượng đầu năm và theo
đúng nguyện vọng, năng lực của học sinh để xếp các em về một lớp. Lớp 12B4
mà tôi giảng dạy đầu năm chỉ có học sinh trung bình trở xuống và các em chỉ có
nguyện vọng dự thi trung học phổ thông quốc gia để xét tốt nghiệp. Điều đó đặt
ra cần phải có những biện pháp cụ thể để giúp các em vươn lên.
Chất lượng học tập môn toán của học sinh lớp 12 như vậy, đòi hỏi nhà
trường và giáo viên phải có những biện pháp phù hợp để giúp đỡ các em. Trước
mắt, trong học kì I năm học 2016– 2017, cần có những biện pháp để giúp những

4

học sinh yếu kém này khắc phục khó khăn khi giải toán, vì đây là nhiệm vụ giáo
dục quan trọng mà nhà trường và thầy cô giáo phải thực hiện có kết quả tốt.
2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Tóm tắt SGK, các kiến thức liên quan [1]
Cho hàm số y=f(x) có TXĐ: D
i) Hàm số f(x) đồng biến trên D nếu f’(x) ≥ 0 ∀ x∈ D ( f’(x)=0 chỉ tại một
số hữu hạn điểm trên D).
ii) Hàm số f(x) nghịch biến trên D nếu f’(x) ≤ 0 ∀ x∈ D ( f’(x)=0 chỉ tại
một số hữu hạn điểm trên D).
iii) GTLN-GTNN của hàm số trên một tập:
f ( x) ≤ M


f ( x) ⇔ 
f ( x) ⇔
M= max
; m= min
D
D
∃x 0 ∈ D : f ( x0 ) = M

 f ( x) ≥ m

∃x0 ∈ D : f ( x 0 ) = m

f ( x) ≤ m,
iiii) f(x) ≤ m thỏa mãn ∀ x∈ D ⇔ max
D
f ( x ) ≥ m,

f(x) ≥ m thỏa mãn ∀ x∈ D ⇔ min
D
f ( x ) ≤ m,
f(x) ≤ m có nghiệm ⇔ min
D
f ( x) ≥ m.
f(x) ≥ m có nghiệm ⇔ max
D

2.3.2. Nghiên cứu nguyên nhân học yếu của từng học sinh
Một học sinh bình thường về mặt tâm lý không có bệnh tật đều có khả
năng tiếp thu môn toán theo yêu cầu phổ cập của chương trình toán THPT.
Những học sinh từ trung bình trở xuống: Các em có thể học đạt yêu cầu
của chương trình nếu được hướng dẫn một cách thích hợp.
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy:
Với môn toán, hầu hết các học sinh yếu kém đều có một nguyên nhân
chung là: kiến thức ở các lớp dưới bị hổng, không có phương pháp học tập, tự ti,
rụt rè, thiếu hào hứng trong học tập.
Ở mỗi học sinh yếu bộ môn toán đều có nguyên nhân riêng, rất đa dạng.
Có thể chia ra một số loại thường gặp là:
+ Do quên kiến thức cơ bản, kỹ năng tính toán yếu.
+ Do chưa nắm được phương pháp học môn toán, năng lực tư duy bị hạn
chế (loại trừ những học sinh bị bệnh lý bẩm sinh). Nhiều học sinh phát triển bình
thường nhưng năng lực tư duy toán học kém phát triển.
+ Do lười học.
+ Do thiếu điều kiện học tập hoặc do điều kiện khách quan tác động, học
sinh có hoàn cảnh đặc biệt (gia đình xảy ra sự cố đột ngột, hoàn cảnh éo le…).
Xác định rõ một trong những nguyên nhân trên đối với mỗi học sinh là
điều quan trọng. Công việc tiếp theo là giáo viên có biện pháp để xoá bỏ dần các

5


nguyên nhân đó, nhen nhóm lại lòng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đối
với việc học môn Toán.
2.3.3. Phương pháp dạy học toán lớp 12
2.3.3.1. Phương pháp dạy học bài mới
Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề của bài toán.
Giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức mới
Hướng dẫn học sinh thiết lập mối quan hệ giữa kiến thức mới và kiến thức
đã học trước đó.
Giúp học sinh thực hành, rèn luyên cách diễn đạt thông tin bằng lời, bằng
kí hiệu.
2.3.3.2. Phương pháp dạy học các bài luyện tập, ôn tập
Giúp học sinh nhận ra các kiến thức mới học trong các dạng bài tập khác nhau.
Giúp học sinh luyện tập theo khả năng các em.
Hỗ trợ, giúp đỡ nhau giữa các đối tượng học sinh.
Tập cho học sinh thói quen không thoả mãn với bài làm của mình đã làm.
2.3.4. Phân loại đối tượng và đề xuất một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu
kém giải toán 12
Sau khi nghiên cứu nguyên nhân học yếu kém của từng học sinh, nghiên
cứu từng phương pháp dạy học tôi đưa ra biện pháp sau:
Biện pháp : Quan tâm nhiều hơn đối với những học sinh yếu, kém
Quan sát các em thực hiện để phát hiện chỗ sai của các em nhằm nhắc các
em kiểm tra để tự phát hiện.
Nếu bài tập có nhiều cách thực hiện, gợi ý để các em phát hiện .
Khi thấy các em có kết quả thực hành tốt, cho các em trình bày và khen
ngợi để động viên, khích lệ các em.
Khi trao đổi, thảo luận cần đưa các em vào nhóm có học sinh học tốt hơn
với số lượng hợp lí để các em học hỏi bạn thêm….

2.3.4.1. Đối tượng 1: “Hổng kiến thức cơ bản”
Kiến thức ở lớp dưới của các em bị hổng, không thể nào bù đắp ngay
được trong một thời gian ngắn. Tôi đặt quyết tâm trong suốt cả năm học, đặc
biệt là học kì I để giúp nhóm học sinh loại này lấp dần các lỗ hổng kiến thức.
Đối với những học sinh này phải có thêm thời gian học dưới sự hướng dẫn tỉ mỉ
lại những kiến thức cơ bản, trọng tâm theo một hệ thống riêng và yếu tố dẫn đến
thành công là nắm chắc, luyện kĩ. Trong các buổi học trên lớp thường được kiểm
tra, rà soát và củng cố kiến thức, chấm bài tay đôi trong tiết luyện tập, thường
xuyên khích lệ động viên mỗi khi các em được điểm cao hơn. Do đó, các học
sinh này có nhiều tiến bộ, cụ thể là: Thích học toán, hay xung phong lên bảng...

6


2.3.4.2. Đối tượng 2: “Mất tự tin”
Vấn đề cơ bản là giúp các em lấy lại lòng tự tin, phát huy được những tố
chất cơ bản đang tiềm ẩn trong mỗi em trong việc học tập môn toán. Phương
pháp trực quan, hệ thống các bài tập từ dễ đến khó, tìm các cách giải khác nhau
cùng với các câu hỏi vừa sức, các bài toán vui, các bài toán gắn với thực tế chính
là chìa khoá để giải quyết vấn đề.
2.3.4.3. Đối tượng 3: “Thiếu ý thức trong học tập”
Những học sinh này trong lớp thường không chú ý nghe giảng, mỗi khi
làm bài kiểm tra tại lớp thường cẩu thả, không có ý thức kiểm tra lại bài làm.
Thầy (Cô) giáo nhắc nhở thì xem lại qua loa cho xong chuyện. Bài tập và bài
học ở nhà không chuẩn bị chu đáo trước khi đến lớp. Tóm lại, đối với diện học
sinh này cần có sự kết hợp chặt chẽ với phụ huynh nhằm quản lý việc học ở nhà
và việc kiểm tra nhắc nhở thường xuyên ở lớp để từng bước đưa các em vào nền
nếp học tập.
2.3.4.4. Đối tượng 4: “Hoàn cảnh khó khăn”
Các em này thiếu thốn cả vật chất lẫn tình cảm. Tôi bố trí thời gian kèm

cặp, lấp dần lỗ hổng kiến thức, hình thành dần phương pháp học toán cho các
em. Luôn khích lệ động viên để các em không bị mặc cảm, tự ti mà tự tin vào
bản thân mình để từ đó vươn lên trong học tập. Với các em này, thầy (cô) giáo
phải hết lòng thương yêu, giúp đỡ, thầy (cô) là chỗ dựa tinh thần và tình cảm
của các em.
Biện pháp : Tổ chức phụ đạo cho những học sinh yếu kém.
Với học sinh lớp 12 ở đầu năm học, dù các em yếu kém đến mức nào,
cũng chưa cần phụ đạo nhiều, mỗi tuần 2 đến 3 tiết cho môn toán là có thể đủ.
Điều quan trọng là trong buổi phụ đạo phải xác định chính xác “lỗ hổng” của
từng em và tiến hành “lấp lỗ” đúng phương pháp như trong dạy học bài mới, tức
là hướng dẫn các em tự nêu và giải quyết vấn đề, yêu cầu các em tự thành lập lại
các công thức tính mà các em chưa nắm được. Thầy cô tránh làm thay học sinh.
Để có hiệu quả và đỡ tốn thời gian, nên gom học sinh yếu kém lập một
lớp phụ đạo. Giáo viên theo dõi kĩ từng học sinh để nghiên cứu tìm ra biện pháp
giúp đỡ.
2.3.5. Các ví dụ minh họa
Muốn giải quyết tốt được các bài toán về sự biến thiên của hàm số trước
hết học sinh phải nắm chắc công thức tính đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm ( lớp
11), dấu của nhị thức bậc nhất, dấu của tam thức bậc hai (lớp 10), định nghĩa
tính đơn điệu, định lý về tính đơn điệu và dấu của đạo hàm, quy tắc xét tính đơn
điệu của hàm số (lớp 12). Sau đây tôi xin mạnh dạn đưa ra các ví dụ từ đơn giản

7


đến phức tạp, và các câu hỏi trắc nghiệm để học sinh làm quen với hình thức thi
trắc nghiệm.
2.3.5.1. Các ví dụ về xét tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y=4+2x-x2;

d) y=

2x + 1
;
x−2

1
3

b) y= x3+3x2-7x+2;

1
3

c) y=- x3+3x2-9x;

e) y=x4-2x2+3.

Hướng dẫn:
a) Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có: y’=2-2x, y’=0 ⇔ x=1.
Bảng biến thiên:
x

1

-

y’

+

+

0
5

y

-

-

-

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞;1) , nghịch biến trên khoảng (1;+ ∞ ).
Chú ý:
Khi dạy ví dụ này giáo viên cần nhắc lại dấu của nhị thức bậc nhất.
Khi kết luận tính đồng biến, nghịch biến nhấn mạnh cho các em phải nhìn vào
dòng chứa x kết hợp với dấu của đạo hàm (hay chiều của mũi tên).
x = 1
 x = −7

b) Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có y’=x2+6x-7, y’=0 ⇔ 
Bảng biến thiên:

x
y’
y

-∞

+

-7
0

-

1
0

251
3

+∞
+
+∞

−

5
3

-∞
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞ ;-7), (1; + ∞ ) và nghịch biến trên
khoảng (-7;1).
Chú ý:
Khi dạy ví dụ này giáo viên cần nhắc lại dấu của tam thức bậc hai.

8

Khi kết luận tính đồng biến nhấn mạnh cho các em là hàm số đồng biến
trên khoảng (- ∞ ;-7) và (1; + ∞ ), tránh sai lầm kết luận hàm số đồng biến trên
khoảng (- ∞ ;-7) ∪ (1; + ∞ ).
c) Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có y’=-x2+6x-9, y’ ≤ 0 với mọi x ∈ R
y’=0 ⇔ x=3.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ∞;+∞ ), (hay trên tập R).
Chú ý:
Khi giải ví dụ này học sinh thường mắc sai lầm như sau:
Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có y’=-x2+6x-9, y’=0 ⇔ x=3.
Bảng biến thiên:
x
y’

-∞

3
0

+

+∞
-

-9
y
-∞

-∞

Đây là sai lầm rất phổ biến mà tôi gặp kể cả học sinh trung bình. Vì vậy
khi dạy phần này cần nhấn mạnh cho học sinh là chúng ta đang xét dấu của biểu
thức nào? Là nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai.
2.(−2) − 1.1

−5

d) Hàm số xác định với mọi x ≠ 2 . Ta có y’= ( x − 2) 2 = ( x − 2) 2 .
y’ không xác định tại x=2.
Bảng biến thiên:
x
y’

-∞

y

2

+∞

2

-

+∞
-∞

2

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞;2) và (2; + ∞ ).
Chú ý:

9


Học sinh nên áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số y=

ax + b
là y’=
cx + d

ad − bc
để tính nhanh và chính xác (giáo viên có thể cho học sinh chứng minh
(cx + d ) 2

để khắc sâu công thức này).
Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh cách điền các đầu mút lên bảng biến
thiên, học sinh nắm chắc để sau này học sinh làm trắc nghiệm nhìn vào là nhận
biết được đáp án đúng.
Học sinh thường sai lầm kết luận hàm số đồng biến trên khoảng R\{2}.
Việc chú ý những sai lầm là vô cùng cần thiết bởi hình thức thi trắc
nghiệm là phải chọn đáp án đúng hoặc đúng nhất. Đặc biệt là các các đáp án đưa
ra lại dựa vào các sai lầm thường gặp của học sinh.
x = 0

e) Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có y’=4x -4x, y’=0 ⇔  x = 1
 x = −1
3

Bảng biến thiên:
x
y’

-∞

y

+∞

-

-1
0

+

0
0

-

1
0

+∞
+

3
2

+∞
2

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0), (1;+ ∞ ) và nghịch biến trên
các khoảng (- ∞; -1), (1;+ ∞ ).
Chú ý:
Đối với hàm số y=ax4+bx2+c, nếu phương trình y’=0 có 3 nghiệm có 3
nghiệm phân biệt thì khi xét dấu của đạo hàm ta chỉ xét trên một khoảng, các
khoảng còn lại “đan dấu với nhau” (hay nhớ khoảng ngoài cùng, cùng dấu với
hệ số a).
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y= x 2 − 3x + 2 ,

b) y= 4 x − x 2 ,

c) y=

2x
[1],
2
x −9

d) y=

2x 2 − x − 1
.
x +1

Hướng dẫn:

Chú ý: Đối với hàm số chứa căn bậc chẵn, hàm số chứa ẩn ở mẫu chúng ta phải
đặt điều kiện thật chính xác.
a) TXĐ: D=(- ∞;1 ] ∪ [2;+∞ ).

10


Ta có: y’=

2x − 3
2 x 2 − 3x + 2

; Khi x ∈ (- ∞;1) thì y’<0; Khi x ∈ (2;+ ∞) thì y’>0.

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞;1) , nghịch biến trên khoảng
(2; + ∞ ).
b) TXĐ: D=[0;4].
Ta có: y’=

4 − 2x
2 4x − x 2

Bảng biến thiên:
x

, y’=0 ⇔ x = 2 .
0

2

y’
y

+

4

0

-

2
0

0

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2), nghịch biến trên khoảng
(2;4).
c) TXĐ: D=R\ { − 3;3} .
Ta có: y’=

− 2 x 2 − 18
, y’<0 ∀x ∈ D .
( x 2 − 9) 2

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ∞;−3 ), (-3;3) và (3;+ ∞ ).
d) TXĐ: D=R\ { − 1} .
x = 0
2x 2 + 4x
⇔

Ta có: y’=
2 , y’=0
( x + 1)
 x = −2

Bảng biến thiên:
x

-∞

-2

y’

+

0

y

-1
-

-9
-∞

-∞

+∞

0
-

+∞

0

+
+∞
-1

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞;−2 ) và (0; + ∞ ), nghịch biến
trên khoảng (-2;-1) và (-1;0).
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y=-x3+3x2+3mx-1 (1) nghịch biến trên khoảng (0;+ ∞
).[2]
Hướng dẫn:
Ta có y’=-3x2+6x+3m.
Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;+ ∞ ) khi và chỉ khi y’ ≤ 0, ∀x > 0

11


⇔ m ≤ x2-2x, ∀x > 0 .

Xét f(x) = x2 – 2x với x > 0. Ta có f’(x) = 2x – 2; f’(x) = 0  x = 1
Bảng biến thiên:
x

0

+∞

1

f’(x)

-

0

+
+∞

0

f(x)

-1

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài toán
là m ≤ -1.
Ví dụ 4: Một số câu hỏi trắc nghiệm liên quan đên sự biến thiên của hàm số
Câu 1: Cho hàm số y=x3-2x2+x+1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?[3]
1
3

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1 ).
1
3

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞; ).
1
3

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1 ).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ∞ ).
Hướng dẫn:
x = 1
Ta có: y’=3x -4x+1, y’=0 ⇔  1
x=
3

1
Dấu của y’:
x -∞
1
3
2

y’

+

0

+∞

- 0 +

Kết luận : Đáp án A.

Câu 2: Cho hàm số y =

x3 x 2
+
− 2 x + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
3
2

A. Hàm số nghịch biến trên (0;1).
B. Hàm số đồng biến trên (-2;1).
C. Hàm số nghịch biến trên (- ∞;−2) .
D. Hàm số đồng biến trên ( − 2;+∞) .
Hướng dẫn:

12


x = 1

Ta có: y’=x2+x-2, ta có y’=0 ⇔ 
 x = −2
Bảng biến thiên:

x -∞
y’

+

-2
0

1
0

-

13
3

y

+∞
+
+∞

−

-∞

1
6

Kết luận: Đáp án A.
Chú ý:
Ví dụ này nhắc nhở học sinh: Khi nhìn vào bảng biến thiên của bài này
các em chưa nhìn thấy đáp án đúng ngay. Tuy nhiên các em phải bình tĩnh để
suy xét các trường hợp của đáp án và thấy số 0 xuất hiện, khi đó đặt số 0 lên
bảng biến thiên là ta có đáp án.
x−2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?[3]

x +1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞;−1) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞;−1) .

Câu 3: Cho hàm số y=

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞;+∞) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − 1;+∞) .
Hướng dẫn:
Hàm số xác định với mọi x ≠ -1
3

Ta có: y’= ( x + 1) 2 >0 với mọi x ≠ -1.
Kết luận : Đáp án B.
Chú ý: Nếu đúng theo định lý ở phần tính đưn điệu và dấu của đạo hàm (SGK
giải tích lớp 12 trang 9) thì hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞;−1) và ( − 1;+∞)
. Tuy nhiên vì bài toán trắc nghiệm nên khi dạy bài này giáo viên phải nhấn
mạnh cho học sinh phải nhìn vào đáp án và phải chọn đáp án đúng hoặc đúng
nhất.
Câu 4: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?[4]
A. y=5-2cos3x,

B. y=

2x + 3
,
x −1

C. y=cot2x,

D. y=-x3-2x+1.

13


Phân tích:
Trước hết hàm số nghịch biến trên R thì tập xác định của hàm số là R nên
loại bỏ đáp án B và C.
Điều kiện để hàm số nghịch biến trên R là?...Sau đó ta đi vào tính đối với
hàm đơn giản hơn.
Hướng dẫn:
Đáp án: D
Ta có y’=-3x2-2<0 với mọi x ∈ R .
x3
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số. y= +
3

(m+1)x2+(3m+1)x+2 đồng biến trên R [4].
A. 0 ≤ m ≤ 1 ,
B. m ≥ 1 hoặc m ≤ 0 ,
C. 0D. m>1 hoặc m<0.
Phân tích:
Điều kiện để hàm số đồng biến trên R là?...(y’ ≥ 0 , mọi x ∈ R )
a > 0
.
∆ ≤ 0

Tam thức bậc hai ax2+bx+c ≥ 0 mọi x ∈ R là?... 
Hướng dẫn:

Ta có y’=x2+2(m+1)x+3m+1.
Ycbt ⇔ ∆'≤ 0 ⇔ m2-m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 .
Kết luận: Đáp án A.

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

2 + mx
nghịch
2x + m

biến trên từng khoảng xác định của nó.[4]
A. m ≤ -2 hoặc m ≥ 2 .
B. -2 < m < 2.
C. – 2 ≤ m ≤ 2.
D. m < - 2 hoặc m > 2.
Chú ý:
mx + 2
.
2x + m
mx + 2
Hàm số y=
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó khi y’<0.
2x + m

Chuyển y=

Hướng dẫn:
m2 − 4
m
< 0 , ∀x ≠ − ⇔ m2-4<0 ⇔ −2 < m < 2 .

Ta có y’=
2
( 2 x + m)
2

Kết luận: Đáp án B
Câu 7: Cho hàm số y =

mx − 8
, hàm số đồng biến (3;+ ∞ ) khi:
x − 2m

14


A. -2 ≤ m ≤ 2
B. -2 < m < 2.
3
.
2
3
D. – 2 < m ≤ .
2

C. – 2 ≤ m ≤

Phân tích:
Về bản chất thì nội dung câu 7 tương tự câu 6 tuy nhiên về mức độ thì khó hơn.
Đối với những bài có điều kiện giàng buộc thì ta nên dùng bảng biến thiên
rồi đặt khoảng (3;+ ∞ ) lên bảng biến thiên ta có ngay điều kiện của m.

Hướng dẫn:
− 2m 2 + 8
Ta có: y’=
>0 ⇔ -2m2+8 > 0 ⇔ -2( x − 2 m) 2

Bảng biến thiên:
x -∞
y’
y
m
2

2m

3
+

+

+∞

+∞
-∞

m
2

Ycbt ⇔ y’>0, ∀x ∈ (3;+ ∞ ) nên dựa vào bảng biến thiên và (1) ta có:

3
2

-2< m ≤ .

Kết luận: Chọn đáp án D.
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y=
π
4
A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 , B. m ≤ 0 ,

tan x − 2
đồng biến
tan x − m

trên khoảng (0; ).[3]

C. 1 ≤ m < 2 ,

D. m ≥ 2

Phân tích:
Đây là câu hỏi tương đối khó đối với học sinh yếu và trung bình, tuy
nhiên giáo viên chỉ cần hướng dẫn học sinh “quy lạ về quen” là học sinh dễ dàng
vượt qua.
Đặt t=tanx, điều kiện của t là?...(học sinh trả lời)
Vì sao phải đặt? Nếu không đặt thì bài toán có giải được không?...Chỉ với 2 câu
hỏi gợi ý thì bài toán đã trở nên quen thuộc với học sinh.
π
4

Hướng dẫn: Đặt t=tanx, với x ∈ (0; ), ta có t ∈ (0;1), Khi đó y=

t−2
t−m

15


2 − m > 0
m < 2
⇔
m ≠ t
m ∉ (0;1)

2−m

y’(t)= (t − m) 2 . Yêu cầu bài toán ⇔ y’(t) >0 ∀ t ∈ (0;1) ⇔ 

1 ≤ m < 2
⇔
m ≤ 0

Kết luận: Đáp án A.
2.3.5.2. Một số ví dụ áp dụng “tính đơn điệu của hàm số “
Sau một số ví dụ cơ bản trên tôi thấy học sinh nắm được bài, tiếp thu tôi
mạnh dạn đưa thêm một số ví dụ vận dụng “tính đơn điệu của hàm số “.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x3-3x+2+m=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn:
Phương trình x3-3x+2+m=0 ⇔ m= -x3+3x- 2. Đặt y= -x3+3x- 2

x = 1
 x = −1

Ta có: y’=-3x2+3, y’=0 ⇔ 
Bảng biến thiên:
x
y’

-∞

y

+∞

1
0

-

1
0

+∞
-

0

-4
-∞
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài toán là:

-4 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x + 3 = m x 2 + 1 có nghiệm.
Hướng dẫn:
Đặt f(x)=m=
f’(x)=

x+3

x2 +1
1 − 3x

x + 1( x + 1)
2

2

1
3

, f’(x)=0 ⇔ x= .

Bảng biến thiên
x
f’(x)
f(x)

1
3

−∞

+

+∞

0

10

-1
1
Dựa vào BBT: -1Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt?

16


x 3 − 7 x − m =2x-1

Hướng dẫn:
1

x ≥
2
x − 7 x − m =2x-1 ⇔ 
 x 3 − 4 x 2 − 3x − 1 = m

1
Đặt f(x)=x3-4x2-3x-1, x ≥ .
2

3

x = 3
Ta có: f’(x)=3x -8x-3, f’(x)=0 ⇔  − 1
x=
3

2

Bảng biến thiên:
1
2

x

3

f’(x)

−

f(x)

+∞

0

+

27

8

+∞
-19

Dựa vào BBT ta có: -19
− 27
.
8

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{0}, liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên như sau:
x

-∞

y’

0

1

-

+

+∞

0

+∞
-

2

y
-1

-∞

-∞

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao chp phương trình f(x) = m
có 3 nghiệm thực phân biệt.[3]
A. [-1; 2]
B.(-1; 2)
C. (-1; 2)
D. (-∞; 2).

17


Hướng dẫn: ( Sau khi học sinh đã được luyện các ví dụ trên thì ví dụ này trở
nên quá đơn giản).
Kết luận: Chọn đáp án B.
2.3.5.3. Một số bài tập tự giải [5]
Bài 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
2x + 3
.

x+5

a) y = x3 – 2x2 + x + 1;

c)

b) y = -x4 – 2x2 + 2;
Bài 2: Tìm m để hàm số:

d) x + 2 + 2 2 − x .

x3
a) y = + (m + 1) x 2 − (m + 1) x + 2 đồng biến trên khoảng (1;+ ∞ ).
3

b) y = x 3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 1 đồng biến trên khoảng (2; + ∞ ).
mx + 9
(m ≠ ±3) đồng biến trên khoảng (1;+ ∞ ).
x+m
x−m
d) y =
đồng biến trên khoảng (-1;+ ∞ ).
x+m

c) y =

Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – mx – 2 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (- ∞ ;0).
Bài 4: Cho hàm số y = x3 –mx2–(2m2 – 7m + 7)x + 2(m – 1)(2m + 2). Tìm m để
hàm số đồng biến trên (2; + ∞ ).

Bài 5: Tìm tất cả các giá trị thực của thàm số m để hàm số y = 2x 3 – mx2 + 2x
đồng biến trên khoảng (-2;0).
A. m ≥ -2 3
B. m ≤ -2 3
13
2
13
D. m ≥
2

C. m ≥ −

Bài 6: Hàm số y = 1 − x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (0; + ∞ )
B. (- ∞ ;-1)
C. (-1;1)
D. (0;1)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Với hoạt động giáo dục

18


Tôi đã áp dụng cách giải quyết vấn đề như trên vào giảng dạy thấy đa số các
em học sinh yếu kém đều tiếp thu được bài, biết vận dụng linh hoạt vào giải bài
tập tương tự. Cụ thể như sau:
Kết quả thực nghiệm lần 1:

STT Môn

01

Lớp

Toán 12B4

Sĩ
số

T.Bình
trở lên
SL
%

43

15

34,89

Giỏi

Khá

SL % SL
0

0

5

T.Bình

Yếu

%

SL

%

SL

11,63

10

23,26

15

%
34,8
9

Kém
SL

%

13

30,22

Nhận xét:
Tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi tăng so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm.
Tỉ lệ học sinh đạt loại khá cũng không chênh lệch so với kết quả kiểm tra
trước thực nghiệm.
Tỉ lệ học sinh trung bình ở lớp thực nghiệm nhiều hơn so với kết quả kiểm
tra trước thực nghiệm và nhiều hơn.
Tỉ lệ học sinh chưa đạt yêu cầu đã giảm rõ ở lớp thực nghiệm khi so với
kết quả kiểm tra trước thực nghiệm và lớp đối chứng.
Tóm lại, qua thực nghiệm lần 1 cho thấy: biện pháp giúp đỡ học sinh yếu
kém ở lớp 12 đã cho kết quả đáng khích lệ, đó là đã làm giảm đáng kể số học
sinh yếu, kém. Tuy nhiên, để khẳng định thêm, tôi thực nghiệm lần 2 ở lớp thực
nghiệm lần 1 bằng bài kiểm tra.
Kết quả thực nghiệm lần 2: Để khẳng định lại kết quả thực nghiệm lần 1,
tôi tiến hành thực nghiệm lần 2. Kết quả như sau:
STT
01

Môn
Toán

Lớp
12B4

Sĩ
số
43

T.Bình
Giỏi
trở lên
SL
%
SL %
26 60,46 0
0

Khá

T . Bình

SL
%
SL
10 23,25 16

%
37,21

Yếu
SL
%
SL
10 23,25 7

Kém
%

16,29

Nhận xét: Qua số liệu của bảng, chứng tỏ biện pháp giúp đỡ học sinh yếu
kém khi giải toán về một phần kiến thức ở lớp 12 đã cho kết quả đáng tin cậy.
Tuy chưa làm tăng tỉ lệ học sinh giỏi, chỉ làm tăng nhẹ tỉ lệ học sinh khá và
trung bình nhưng đã làm giảm tỉ lệ học sinh yếu kém. Vì thế, để nâng cao chất
lượng dạy học Toán ở lớp 12, giáo viên cần tìm hiểu và đề xuất những biện pháp mới.
2.4.2. Với bản thân
Trong quá trình giảng dạy khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm trên tôi đã tìm
được phương án tối ưu nhất trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được hệ

19


thống chương trình, rèn luyện được kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải toán, gây
hứng thú học tập cho học sinh.
2.4.3. Với đồng nghiệp
Tôi đã trao đổi sáng kiến kinh nghiệm của mình với đồng nghiệp và đã được
đồng nghiệp đóng góp ý kiến. Những ý kiến đó là vô cùng quý giá không chỉ với
riêng tôi mà đó còn là những kinh nghiệm đối với từng đồng nghiệp trong tổ.
2.4.4. Với nhà trường
Tôi nhận thấy chất lượng giáo dục và dạy học nhà trường ngày càng đi lên.

20


3. Kết luận
3.1. Kết luận
Việc áp dụng SKKN này trong giảng dạy môn toán cho đối tượng học
sinh yếu, kém đã cho những kết quả khả quan trong việc tạo cho học sinh hứng

thú học tập, tạo niềm tin vào bản thân.
Tuy nhiên đây là kinh nghiệm của bản thân rút ra từ thực tế giảng dạy ở
lớp 12, chưa qua hết một năm học cho nên những điều rút ra chưa hẳn đã đúng
hoặc phù hợp với moi người, mọi nơi và mọi điều kiện. Rất mong được sự góp ý
kiến bổ sung của các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
3.2.1. Đối với học sinh
Cần vượt qua mọi khó khăn về hoàn cảnh, sự tự ti, mặc cảm và cùng với
sự cố gắng nỗ lực không mệt mỏi của bản thân sau 12 năm miệt mài đèn sách,
có như vậy mới đạt được thành công trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT
Quốc gia.
3.2.2. Đối với giáo viên
Khuyến khích giáo viên sáng tạo về phương pháp, phương tiện dạy học.
Giáo viên phải luôn xác định yêu cầu dạy học phù hợp với từng đối tượng học
sinh, phù hợp với tâm sinh lý của học sinh THPT.
Thường xuyên tổ chức cho giáo viên trao đổi kinh nghiệm, thực hiện các
chuyên đề, trong đó chú trọng các biện pháp giúp đỡ học sinh yếu kém trong học
tập các môn học.
3.2.3. Đối với nhà trường.
Thống kê và tổ chức phụ đạo riêng cho học sinh ngay từ đầu năm, nhưng
phải đảm bảo số lượng học sinh vừa phải trên từng lớp thì mới có chất lượng tốt.
3.2.4. Đối với Sở giáo dục.
Tiếp tục tổ chức hội thảo về đổi mới phương pháp dạy học; khuyến khích
và động viên kịp thời đối với những sáng kiến tốt nhất, tạo điều kiện để nhân
rộng cho mọi giáo viên tham khảo và thực hiện.
XÁC NHẬN CỦA
Triệu Sơn, ngày 25 tháng 5 năm 2017
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến

Trịnh Thị Hiền
TÀI LIỆU THAM KHẢO

21


[1] SGK, sách giáo viên và sách bài tập giải tích 12, NXB GD.
[2] Các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng môn toán của bộ GD.
[3] Đề thi minh họa của Bộ GD & ĐT.
[4] Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017 môn toán NXB GD.
[5] Nguồn tài liệu từ internet.

22